Электричество и магнетизм

Тока нет:

Рис.5.3а. Электрическое поле проводника при отсутствии тока.

Ток есть:

Рис.5.3б. Электрическое поле проводника при наличии тока.

Таким образом, для существования тока в проводнике необходимо выполнение двух условий: 1) наличие носителей заряда и 2) наличие электрического поля в проводнике.

2.2 Закон Ома для однородного участка цепи. Сопротивление проводников.

Между падением потенциала - напряжением U и силой тока в проводнике I существует функциональная зависимость , называемая вольтамперной характеристикой данного проводника (ВАХ). Вид этой зависимости для разных проводников и устройств может быть самым разнообразным.

Как показывает опыт, для многих проводящих материалов выполняется зависимость: ,

получившая название закона Ома (Ohm G., 1787-1854) для однородного участка цепи. (ВАХ приведена на рис.5.4).

Рис.5.4. ВАХ проводника, подчиняющегося закону Ома.

Коэффициент пропорциональности R называется сопротивлением проводника. Сопротивление однородного проводника (рис.5.5) зависит от материала, из которого он изготовлен, его формы, размеров, а также от температуры.

Рис.5.5. Однородный проводник.

Размерность сопротивления: [R] = . Кратные единицы измерения: 1кОм = 10³Ом ; 1Мом = 10⁶Ом.

с - удельное сопротивление. Размерность с в СИ: [с] = Ом•м.

Для многих веществ зависимость сопротивления от температуры в широком интервале температур вблизи Т?300К определяется эмпирической зависимостью от температуры их удельного сопротивления:

,

где б - температурный коэффициент сопротивления; - значение при .

Для металлов , поэтому сопротивление металлов в указанной области температур пропорционально температуре (рис.5.6).

Рис.5.6. Зависимость сопротивления металлов от температуры.

Для электролитов б<0, зависимость их сопротивления от температуры имеет вид, изображенный на рис.5.7. Для разных электролитов б различно.



Рис.5.7. Зависимость сопротивления электролитов от температуры.

2.3 Дифференциальная форма закона Ома

Если проводник неоднороден по своему составу и/или имеет неодинаковое сечение, то для характеристики тока в различных частях проводника используют закон Ома в дифференциальной форме. Для его вывода выделим внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис.5.8) с образующими, параллельными вектору плотности тока . Если выделенный объем достаточно мал, его можно считать однородным и применить к нему закон Ома:

, где

, откуда

Рис.5.8. К выводу закона Ома в дифференциальной форме.

Или в векторном виде:

Величина называется коэффициентом электропроводности или проводимостью материала. Единицей измерения у в СИ является (Ом•м)^-1=См (сименс).

2.4 Сторонние силы. ЭДС источника тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи

Для протекания электрического тока в проводнике необходимо, чтобы на его концах поддерживалась разность потенциалов. Очевидно, для этой цели не может быть использован заряженный конденсатор. Действительно, если включить в цепь проводника заряженный конденсатор (рис.5.9) и замкнуть цепь, то под действием сил электростатического поля заряды придут в движение, возникнет кратковременный ток, после чего установится равновесное распределение зарядов, при котором потенциалы концов проводника выравниваются и ток прекращается. Другими словами, электростатическое поле конденсатора не может осуществить постоянную циркуляцию зарядов в цепи (то есть электрический ток), что является следствием потенциальности электростатического поля - равенства нулю работы сил электростатического поля по замкнутому контуру. Таким образом, для поддержания постоянного тока в замкнутой цепи необходимо действие сторонних сил неэлектростатического происхождения и не являющихся потенциальными силами.

Кратковременный ток.

Рис.5.9. Заряженный конденсатор не может служить источником постоянного тока.

Эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией носителей заряда через границу двух разнородных проводников, магнитными полями, другими причинами.

Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают по перемещению зарядов в замкнутой цепи. Величина, равная работе сторонних сил А_ст, отнесенная к единице положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС). Единицей измерения ЭДС в СИ (как и напряжения) является В (Вольт).

Работа сторонних сил по замкнутому контуру не равна нулю (рис.5.10):

Рис.5.10. Источник электродвижущей силы в замкнутой цепи.

Участок цепи, содержащий источник ЭДС, называется неоднородным (рис.5.11). Всякий источник ЭДС характеризуется величиной ЭДС е и внутренним сопротивлением r.

- напряжение на концах участка цепи.

Рис.5.11. Неоднородный участок цепи.

Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид:

При соединении концов неоднородного участка цепи идеальным проводником образуется замкнутая цепь, в которойпотенциалы ц₁ и ц₂ выравниваются и мы приходим к закону Ома для замкнутой (или полной) цепи:

Если сопротивление внешней цепи , то имеем случай короткого замыкания. В этом случае в цепи течет максимальный ток:

При имеем разомкнутую цепь. В этом случае ток в цепи равен нулю:

2.5Напряжение на зажимах источника тока.

Как видно из рис.5.12:

или

Рис.5.12. Напряжение на зажимах источника тока.

График зависимости приведен на рис.5.13.

При коротком замыкании V = 0.

V = е для разомкнутой цепи.

Рис.5.13. Зависимость V от сопротивления внешней нагрузки R.

2.6 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Электрическая цепь, содержащая в себе узлы, называется разветвленной. Узел - место в цепи, где сходятся три или более проводников (рис.5.14). Для расчета разветвленных цепей применяют правила Кирхгофа (Kirchhoff G.,1824-1887), являющиеся прямым следствием основных законов теории электричества. Этих правил два.

Рис.5.14. Участок разветвленной цепи.

Первое правило: алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле равна нулю:

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда в применении к узлу, через который протекают постоянные токи. Если в цепи имеется N узлов, то пишется N -1 уравнение для любых узлов.

Второе правило: для любого замкнутого контура, выделенного внутри разветвленной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:

Второе правило Кирхгофа является следствием равенства нулю циркуляции электро- статического поля по замкнутому контуру, то есть следствием его потенциальности.

2.7 Соединение сопротивлений

Соединение сопротивлений бывает последовательным, параллельным и смешанным.

1) Последовательное соединение.

При последовательном соединении ток, текущий через все сопротивления, одинаковый, а падения напряжения разные (рис.5.15).

Рис.5.15. Последовательное соединение сопротивлений.

 , откуда следует, что

2) Параллельное соединение.

При параллельном соединении падения напряжения на всех сопротивлениях одинаковые, а токи, текущие в них, разные (рис.5.16).

Рис.5.16. Параллельное соединение сопротивлений.

, откуда следует, что

2.8 Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоули-Ленца

При протекании по проводнику электрического тока проводник нагревается. Нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над носителями заряда:

,

Рис.5.17. Проводник с током.

Джоуль (Joule J., 1818-1889) и независимо от него Э.Х.Ленц (1804-1865) установили экспериментально, что количество теплоты, выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени протекания тока:

Если сила тока изменяется со временем, то за промежуток времени Дt = t₂ - t₁ выделится теплота:

Написанные соотношения выражают собой закон Джоуля - Ленца.

Если теплоту измерять в калориях, то: .

Количество теплоты, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени, называется удельной мощностью:

, где - плотность тока.

Это соотношение представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

Работа, производимая током за единицу времени, называется мощностью:

.

Размерность мощности в СИ: (ватт).

2.9 КПД источника тока

Перемещая электрические заряды по замкнутой цепи, источник тока совершает работу. Различают полезную и полную работу источника тока. Полезная работа - это та, которую совершает источник по перемещению зарядов во внешней цепи; полная работа - это работа источника по перемещению зарядов во всей цепи:

- полезная работа;

- полная работа.

Соответственно этому, различают полезную и полную мощность источника тока:

Коэффициентом полезного действия (КПД) источника тока называют отношение:

Выясним, при каком сопротивлении внешней цепи полезная мощность максимальна.

Имеем: , где ;

, откуда

.

Рис.5.18. Зависимость Р_полезн от R.

Условие называется условием согласования источника и нагрузки. В этом случае мощность, выделяемая источником во внешней цепи, максимальна (рис.5.18). Отметим, что при выполнении условия согласования КПД источника тока , то есть максимальная полезная мощность и максимальный КПД несовместимы. Из приведенного графика видно также, что одну и ту же полезную мощность можно получить при двух различных сопротивлениях внешней нагрузки .

Лекция 6

Основы классической теории электропроводности металлов.

2.10 Природа носителей тока в металлах

Для выяснения природы носителей тока в металлах был поставлен ряд опытов.

Опыт Рикке (Riecke C., 1845-1915). В 1901г. Рикке осуществил опыт, в котором он пропускал ток через стопку цилиндров с тщательно отполированными торцами Cu-Al-Cu (рис.6.1). Перед началом опыта образцы были взвешены с высокой степенью точности (Дm = ±0,03 мг). Ток пропускался в течение года. За это время через цилиндры прошел заряд q = 3,5•10⁶ Кл.

По окончании опыта цилиндры были вновь взвешены. Взвешивание показало, что пропускание тока не оказало никакого влияния на вес цилиндров. При исследовании торцевых поверхностей под микроскопом также не было обнаружено проникновения одного металла в другой. Результаты опыта Рикке свидетельствовали о том, что носителями тока в металлах являются не атомы, а какие-то частицы, которые входят в состав всех металлов.

Такими частицами могли быть электроны, открытые в 1897г. Томсоном (Thomson J., 1856-1940) в опытах с катодными лучами. Чтобы отождествить носители тока в металлах с электронами, необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей. Это было осуществлено в опыте Толмена и Стюарта (Tolman R., 1881-1948, Stewart B., 1828-1887).

Опыт Толмена и Стюарта. Суть опыта, проведенного в 1916г., состояла в определении удельного заряда носителей тока при резком торможении проводника (рис.6.2). В опыте для этой цели использовалась катушка из медного провода длиной 500м, которая приводилась в быстрое вращение (линейная скорость витков составляла 300м/с), а затем резко останавливалась. Заряд, протекавший по цепи за время торможения, измерялся с помощью баллистического гальванометра.

Найденный из опыта удельный заряд носителя тока , оказался очень близким к величине удельного заряда электрона, откуда был сделан вывод о том, что ток в металлах переносится электронами.

2.11 Основные положения классической электронной теории проводимости металлов Друде - Лоренца

Исходя из представлений о свободных электронах как основных носителях тока в металлах, Друде (Drude P., 1863-1906) разработал классическую теорию электропровод-ности металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем (Lorentz H., 1853-1928).

Основные положения этой теории сводятся к следующим:

1).Носителями тока в металлах являются электроны, движение которых подчиняется законом классической механики.

2).Поведение электронов подобно поведению молекул идеального газа (электронный газ).

3).При движении электронов в кристаллической решетке можно не учитывать столкновения электронов друг с другом.

4).При упругом столкновении электронов с ионами электроны полностью передают им накопленную в электрическом поле энергию.

Средняя тепловая скорость хаотического движения электронов при

Т?300К составляет .

При включении электрического поля на хаотическое движение электронов накладывается упорядоченное движение (называемое иногда «дрейфовым»), происходящее с некоторой средней скоростью ; возникает направленное движение электронов - электрический ток. Плотность тока определяется по формуле.

Оценки показывают, что при максимально допустимой плотности тока в металлах j = 10⁷ А/м² и концентрации носителей 10²⁸ - 10²⁹м^-3 , . Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения электронов .

2.12 Вывод законов Ома, Джоуля-Ленца и Видемана-Франца на основе теории Друде-Лоренца.

Закон Ома.

Ускорение, приобретаемое электроном в электрическом поле (рис.6.3).

Рис.6.3. К выводу закона Ома.

На пути свободного пробега л максимальная скорость электрона достигнет величины

,

где ф - время свободного пробега: .

Среднее значение скорости упорядоченного движения есть:

.

Подставив это значение в формулу для плотности тока, будем иметь:

,

Полученная формула представляет собой закон Ома в дифференциальной форме:

,

где у - удельная электропроводность металла:

.

Закон Джоуля - Ленца

Кинетическая энергия электрона, которую он имеет к моменту соударения с ионом:

.

При столкновении с ионом энергия, полученная электроном в электрическом поле , полностью передается иону. Число соударений одного электрона в единицу времени равно , где л - длина свободного пробега электрона. Общее число столкновений за единицу времени в единице объема равно . Тогда количество тепла, выделяющегося в единице объема проводника за единицу времени будет:

.

Последнюю формулу можно представить в виде закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

,

где с =1/у - удельное сопротивление металла.

Закон Видемана-Франца.

Из опыта известно, что металлы, наряду с высокой электропроводностью, обладают также высокой теплопроводностью. Видеман (Wiedemann G., 1826-1899) и Франц (Franz R.,) установили в 1853г. эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к к коэффициенту электропроводности у для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре:

.

Рассматривая электроны как одноатомный газ, можем на основании кинетической теории газов написать для коэффициента теплопроводности электронного газа:

,

где - удельная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме.

Разделив к на у, приходим к закону Видемана-Франца:

.

Подставив сюда k = 1,38·10^-23 Дж/К и е = 1,6·10^-19 Кл, найдем, что

,

что очень хорошо согласуется с экспериментальными данными.

2.13 Затруднения классической теории электропроводности металлов. Сверхпроводимость металлов. Открытие высокотемпературной сверхпроводимости.

Несмотря на достигнутые успехи, классическая электронная теория проводимости металлов Друде-Лоренца не получила дальнейшего развития. Связано это с двумя основными причинами: 1) трудностями, с которыми столкнулась эта теория при объяснении некоторых свойств металлов; 2) созданием более совершенной квантовой теории проводимости твердых тел, устранившей затруднения классической теории и предсказавшей ряд новых свойств металлов.

Выделим основные затруднения теории Друде-Лоренца:

1.Согласно классической теории, зависимость удельного сопротивления металлов от температуры в то время, как на опыте в широком интервале температур вблизи Т?300К для большинства металлов наблюдается зависимость с ~ Т.

2.Хорошее количественное совпадение с законом Видемана-Франца оказалось в известной степени случайным. В первоначальном варианте теории Друде не учитывал распределение электронов по скоростям. Позже, когда Лоренц учел это распределение, оказалось, что отношение

,

что значительно хуже согласуется с экспериментом. Согласно же квантовой теории,

.

3. Теория дает неправильное значение теплоемкости металлов. С учетом теплоемкости электронного газа С=9/2R, а на практике С=3R, что примерно соответствует теплоемкости диэлектриков.

4. Наконец, теория оказалась полностью неспособной объяснить открытое в 1911г. Камерлинг-Оннесом (Kamerligh-Onnes H., 1853-1926) явления сверхпроводимости (полного исчезновения сопротивления) металлов при низких температурах, а также существования остаточного сопротивления, в сильной степени зависящего от чистоты металла (рис.6.4).

Интересно отметить, что в отношении низкотемпературных сверхпроводников (металлов) действует правило: металлы с более высоким удельным сопротивлением с имеют и более высокую критическую температуру сверхпроводящего перехода Т_кр (см. таблицу).

Таблица. Свойства низкотемпературных сверхпроводников.

Металл	Удельное сопротивление, 10-8 Ом•м	Тк , К
Титан Алюминий Ртуть Свинец	1,7 2,5 94 22	0,4 1,2 4,1 7,2

Феноменологическая теория низкотемпературной сверхпроводимости была создана в 1935г. Ф.и Г. Лондонами (London F., 1900-1954, London H., 1907-1970), но лишь спустя почти полвека (в 1957г.) явление сверхпроводимости получило окончательное объяснение в рамках микроскопической (квантовой) теории, созданной Дж.Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером (Bardeen J., Cooper L., Schrieffer J.).

В 1986г. Дж. Беднорцем (Bednorz J.) и К. Мюллером (Mьller K.) было открыто явление высокотемпературной сверхпроводимости в керамических металлоксидах (лантана, бария и др. элементов), являющихся диэлектриками при комнатной температуре. Критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние для этих материалов около 100К.

Теория высокотемпературной сверхпроводимости в настоящее время находится в стадии разработки и пока далека от своего завершения. Неясен даже механизм возникновения высокотемпературной сверхпроводимости.

Лекция 7

Электрический ток в различных средах.

2.14 Электрический ток в электролитах. Законы электролиза Фарадея

Электролиты относятся к так называемым проводникам второго рода. В отличие от металлов и полупроводников (проводников первого рода), протекание тока в которых не сопровождается какими-либо химическими превращениями, в электролитах протекание тока всегда сопровождается химическими превращениями. Электролитами являются растворы солей, кислот и щелочей в воде и некоторых других жидкостях, а также расплавы солей, являющихся в твердом состоянии ионными кристаллами.

Носителями тока в электролитах являются положительные и отрицательные ионы, на которые диссоциируют (расщепляются) молекулы растворенного вещества. Степень диссоциации характеризуется коэффициентом диссоциации б, показывающим, какая доля молекул растворенного вещества находится в диссоциированном состоянии. Коэффициент диссоциации зависит от химической природы растворителя и концентрации растворяемого вещества. В частности, чем ниже концентрация растворяемого вещества, тем выше коэффициент диссоциации.

Если в электролит ввести твердые проводящие электроды и подать на них напряжение, то ионы придут в движение - возникнет электрический ток (рис.7.1). Положительные ионы (катионы) движутся к отрицательному электроду (катоду); отрицательные ионы (анионы) - к положительному электроду (аноду).

Рис.7.1. Электрический ток в электролите.

Достигнув соответствующих электродов, анионы и катионы отдают избыточные или получают недостающие электроны и превращаются в нейтральные молекулы. Таким образом, прохождение электрического тока через электролит сопровождается выделением на электродах составных частей электролита. Это явление называется электролизом. Основные законы электролиза были установлены в 1836г. Майклом Фарадеем (Faraday M., 1791-1867):

Первый закон Фарадея. Количество вещества, выделившегося на каждом из электродов при электролизе, пропорционально заряду, протекшему через электролит:

,

где К- электрохимический эквивалент, зависящий от природы вещества.

Второй закон Фарадея. Электрохимический эквивалент всех веществ пропорционален их химическому эквиваленту:

где - атомный вес, - валентность химического элемента; -число Фарадея.

Выделение вещества на электродах начинается лишь с некоторого напряжения, называемого пороговым напряжением разложения электролита U_p. Начиная с этого напряжения, в электролите появляется ток, плотность которого подчиняется закону Ома:

где n⁺ и n^- - концентрация положительных и отрицательных ионов, соответственно; q⁺ и q^- - заряды ионов; u⁺и u^- - подвижности ионов; у - электропроводность электролита.

Подвижность ионов зависит от их природы и свойств растворителя. С повышением температуры подвижность ионов возрастает. В электролитах подвижность ионов очень мала. Так, для водных растворов при комнатной температуре она составляет 10^-8-10^-7 (для сравнения, подвижность электронов в металлах ~10^-4).

Если молекула диссоциирует только на пару ионов, то и . В этом случае

На рис.7.2 представлена ВАХ электролита: , R - сопротивление слоя электролита между электродами.

Рис.7.2. Вольтамперная характеристика электролита.

Электролиз находит самые разнообразные технические применения: гальванопластика и гальваностегия; электрометаллургия; электрополировка металлов; получение тяжелой воды и другие.

2.15Электропроводность газов. Основные виды газового разряда. Плазма.

В естественном состоянии газы не являются проводниками электрического тока. Для получения электрического тока в газе его необходимо ионизировать, то есть создать в нем носители заряда. При ионизации молекул газа образуются положительно и отрицательно заряженные ионы и свободные электроны. Следовательно, носителями тока в газах являются ионы и электроны. Процесс, обратный ионизации, называется рекомбинацией. При рекомбинации ионы и электроны вновь объединяются, образуя нейтральные молекулы. Постоянный электрический ток в газе возможен лишь тогда, когда процессы ионизации превалируют над процессами рекомбинации.

Протекание электрического тока в газе называют газовым разрядом. Различают несамостоятельный и самостоятельный газовые разряды. Для поддержания несамостоятельного газового разряда требуется внешний ионизатор. Внешними ионизаторами могут служить ультрафиолетовые и рентгеновские лучи, пучки быстрых заряженных частиц, ионизирующие излучения радиоактивных веществ (б- ,в-, г- лучи); нагрев газа до высокой температуры (термическая ионизация). Самостоятельный газовый разряд поддерживается за счет внутренних процессов ионизации, которые протекают в газе при приложении электрического поля.

В таблице 1 перечислены основные типы самостоятельного газового разряда и процессы, обусловливающие их.

Таблица 1. Типы самостоятельного газового разряда.

Тип разряда	Давление	Факторы, поддерживающие разряд
Тлеющий	<1-2 мм. рт.ст.	Ионизация электронными ударами, вторичная эмиссия электронов с катода.
Коронный	атмосферное	Ионизация электронными ударами при высокой напряженности электрического поля (> 3•106 В/м).
Искровой	атмосферное	Ионизация электронными ударами при высокой напряженности электрического поля (> 3•106 В/м), ионизация газа излучением искры.
Дуговой	атмосферное	Термоэлектронная эмиссия

К самостоятельному виду газового разряда следует отнести также такое явление, как шаровая молния. Следует сказать, что природа этого явления до сих пор не установлена. Существуют десятки моделей шаровой молнии, но ни одна из них не объясняет полностью всех особенностей этого необычного явления.

Для снятия ВАХ газового разряда применяют установку, упрощенная схема которой показана на рис.7.3. В трубке, заполненной исследуемым газом, имеется специальное окошко, через которое поступает ионизирующее излучение (обычно используют ультрафиолетовые или рентгеновские лучи). Газоразрядная трубка снабжена двумя электродами (катодом и анодом), включенными в измерительную цепь, содержащую источник напряжения, которое подается на трубку.

Рис.7.3. Установка для снятия вольтамперной характеристики газового разряда.

Типичная ВАХ газового разряда приведена на рис.7.4. Зависимость силы тока от напряжения имеет сложный нелинейный вид, то есть она не подчиняется закону Ома.

Рис.7.4. Вольтамперная характеристика газового разряда.

Области несамостоятельного газового разряда соответствует область напряжений U<U_гаш; области самостоятельного газового разряда - область U>U_зажиг. Отметим, что всегда U_гаш<U_зажиг, что обусловлено присутствием остаточных носителей тока при снятии обратной ветви ВАХ. Насыщение тока наступает тогда, когда все носители тока достигают электродов при данной мощности внешнего ионизатора.

Особым состоянием вещества является плазма. Плазма - это практически полностью ионизированный газ, в котором плотности положительных и отрицательных зарядов одинаковы. Плазма, возникающая при газовом разряде называется низкотемпературной или газоразрядной. Плазма, возникающая вследствие высокой температуры разогрева вещества, называется высокотемпературной или изотермической. Также плазму характеризуют по степени ионизации (см. таблицу 2).

Таблица 2. Классификация плазмы.

По степени ионизации	По температуре
Слабо ионизованная (б~ долей %). Частично ионизованная (б~ 1%). Сильно ионизованная (б~ 100%).	Низкотемпературная (Тi < 105 К) Высокотемпературная (Тi~ 106 -108 К)

Концентрация носителей тока в плазме очень велика, поэтому плазма обладает хорошей электропроводностью. А поскольку подвижность электронов примерно на три порядка величины больше, чем у ионов, электропроводность плазмы обусловлена в основном электронами.

2.16 Электрический ток в вакууме. Работа выхода электрона из металла. Явление термоэлектронной эмиссии

Под вакуумом обычно понимают такое состояние разреженной среды (газа), когда можно пренебречь столкновениями между молекулами; в этом случае длина свободного пробега молекул газа сравнима с размерами сосуда.

Для получения электрического тока в вакууме необходимо создать в эвакуированном объеме направленный поток заряженных частиц. Для этого катод вакуумного устройства подвергают одному из видов воздействия, перечисленных в таблице 3, вследствие чего возникает эмиссия (испускание) свободных электронов. При приложении электрического поля между катодом и анодом электроны устремляются к положительно заряженному аноду - возникает электрический ток.

Таблица 3. Основные виды эмиссии электронов.

Вид эмиссии	Условия возникновения
Ионно-электронная	Бомбардировка катода положительными ионами.
Вторичная электронная	Бомбардировка анода электронами.
Термоэлектронная	Нагрев катода.
Фотоэлектронная	Воздействие на катод электромагнитным излучением.

Во многих вакуумных электронных устройствах и приборах используют явление термоэлектронной эмиссии. Термоэлектронная эмиссия - это испускание электронов нагретыми телами (обычно металлами) в вакуум или другую среду.

Для того, чтобы покинуть поверхность твердого или жидкого тела электрону необходимо преодолеть потенциальный барьер, то есть совершить работу. Минимальная энергия, которую надо затратить, чтобы удалить электрон из твердого или жидкого вещества в вакуум (в состояние с равной нулю кинетической энергией), называется работой выхода электрона.

Понять происхождение работы выхода электрона из металла можно, исходя из следующих соображений. Случайное удаление электрона из металла (вследствие тепловых флуктуаций энергии электрона) создает в том месте, которое покинул электрон, избыточный положительный заряд ионов кристаллической решетки (рис.7.5). Возникающие при этом силы «электростатического изображения» заставляют электрон (скорость которого не очень велика) вернуться обратно в металл. Таким образом, отдельные электроны все время покидают поверхность металла и возвращаются обратно в него. В результате поверхность металла оказывается окруженной тонким (~10^-9м) облаком отрицательно заряженных электронов. Это облако совместно с положительными зарядами ионов приповерхностного слоя металла образует двойной электрический слой. Силы, действующие в таком слое на электрон, направлены внутрь металла, то есть препятствуют удалению электрона с поверхности металла.

Рис.7.5. Двойной электрический слой у поверхности металла.

Типичные значения работы выхода электрона из металла (таблица 4) А_вых ~ 2-5 эВ (1 эВ = 1,6•10^-19 Дж).

Таблица 4. Работа выхода электрона.

Металл	Работа выхода, эВ
Cs	1,9
Na	2,3
Ag	4,7
W	4,5
W + Cs	1,6
Pt	5,3
Pt + Cs	1,4

Минимальными значениями А_вых обладают щелочные металлы. Работа выхода очень чувствительна к состоянию поверхности металла. Так, например, нанесение на поверхность вольфрама тонкой пленки оксида цезия снижает работу выхода с 4,5 эВ до 1,6 эВ (см. таблицу 4). Работа выхода электрона из металла не зависит от температуры.

Рассмотрим работу вакуумного диода - двухэлектродной электронной лампы с подогревным катодом (рис.7.6).

Рис.7.6. Схема включения вакуумного диода для снятия ВАХ.

При отсутствии напряжения между анодом и катодом (U=0) через диод течет слабый ток I₀ (рис.7.7). Его существование обусловлено тем, что часть электронов, покидающих катод вследствие термоэлектронной эмиссии, достигает анода за счет собственной кинетической энергии. Если на анод подать отрицательное напряжение, электроны будут испытывать торможение и терять свою кинетическую энергию. При некотором напряжении U = U_з<0 , называемом задерживающим потенциалом, когда самые быстрые электроны перестанут достигать анода - ток через диод прекратится.



Следовательно, по величине задерживающего потенциала можно оценить максимальную скорость , с которой электроны покидают катод при данной температуре его разогрева. Принимая во внимание, что вблизи анода скорость электронов , имеем на основании закона сохранения энергии: , откуда находим:

.

При подаче на анод положительного напряжения электроны будут испытывать ускорение. В цепи диода появится ток, величина которого зависит от напряжения по закону Богуславского-Лэнгмюра (Богуславский С.А., 1883-1923; Langmuir I., 1881-1957) или, как говорят, «закону трех вторых»:

,

где С - некоторая постоянная, зависящая от конструкционных особенностей диода.

Таким образом, ток, текущий через диод, не подчиняется закону Ома, то есть вакуумный диод является нелинейным элементом. Это свойство диода используется во многих радио- и электротехнических устройствах, в частности, для детектирования (выделения) радиосигналов и выпрямления переменных напряжений.

Когда все электроны, покидающие катод, достигают анода, наступает насыщение тока (рис.7.7). Строгий квантовомеханический расчет показывает, что плотность тока насыщения j_нас зависит от температуры катода Т согласно формуле:

,

где В = 1,2•10⁶ А/(м•К)² - постоянная величина, одинаковая для всех металлов; k = 1,38•10^-23 Дж/K - постоянная Больцмана.

Эта формула носит название формулы Ричардсона-Дэшмана (Richardson O., 1879-1959; Deshman J.,).

Имея экспериментальные зависимости j_нас(Т), можно довольно точно определить работу выхода электрона из металла. Для этого применяют метод прямых Ричардсона. Суть его состоит в следующем. Прологарифмировав формулу Ричардсона-Дэшмана, получим:

.

Отсюда видно, что если построить эту зависимость в «спрямляющих координатах» , то она будет иметь вид прямой линии с отрицательным наклоном (рис.7.8).

Рис.7.8. Прямая Ричардсона.

Работу выхода А_вых определяют по тангенсу угла наклона экспериментальной зависимости j_нас(Т), построенной в этих координатах:

, откуда .

Лекция 8

3. МАГНИТОСТАТИКА

Магнитостатика - раздел электродинамики, изучающий взаимодействие постоянных электрических токов и магнитные поля, создаваемые этими токами.

Постоянное магнитное поле.

3.1 Взаимодействие проводников с током. Закон Ампера

Известно, что постоянный магнит оказывает действие на проводник с током (например, рамку с током); известно также обратное явление - проводник с током оказывает действие на постоянный магнит (например, на магнитную стрелку компаса) - рис.8.1.

Рис.8.1. Действие постоянного магнита на рамку с током и проводника с током на магнитную стрелку компаса.

Естественно поставить вопрос: а не может ли один проводник с током оказывать непосредственное действие на другой проводник с током? Положительный ответ на этот вопрос дал в 1820г. Ампер (Ampere A., 1775-1836), установивший силовой закон взаимодействия проводников с током.

Рис.8.2. Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током.

Так, два прямолинейных параллельных проводника (рис.8.2) притягиваются, если токи в них текут в одном направлении и отталкиваются, если токи имеют противоположное направление.

Для того, чтобы сформулировать закон Ампера в современном виде, введем понятие элемента тока как вектора, равного произведению силы тока I на элемент длины проводника (рис.8.3). Элемент тока в магнитостатике играет ту же роль, что и точечный заряд в электростатике.

Рис.8.3. Элемент тока.

Своими опытами Ампер установил, что сила взаимодействия двух элементов тока:

1) ;

2) ;

3) - зависит от взаимной ориентации элементов тока.

Объединяя эти результаты, можем написать закон Ампера в виде:

Углы и₁ и и₂ характеризуют ориентацию элементов тока (рис.8.4); Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц измерения.

Рис.8.4. Взаимодействие двух элементов тока.

В системе СИ: , где - магнитная постоянная.

Закон Ампера является аналогом закона Кулона в магнитостатике и выражает собой силу взаимодействия двух элементов тока. Однако в отличие от закона Кулона, он имеет более сложное написание, что обусловлено тем, что элемент тока (в отличие от точечного заряда) характеризуется не только величиной, но и направлением в пространстве. Заметим, что согласно закону Ампера (см. рис.8.4). Это кажущееся противоречие с третьим законом Ньютона связано с тем, что в действительности мы имеем дело не с элементами токов, а с замкнутыми макроскопическими токами, для которых третий закон Ньютона выполняется.

В векторной форме закон Ампера записывается следующим образом:

.

3.2 Закон Био-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиции

магнитных полей.

Движущиеся электрические заряды (токи) изменяют свойства окружающего их пространства - создают в нем магнитное поле. Это поле проявляется в том, что на помещенные в нем проводники с током действуют силы. Силовой характеристикой магнитного поля является индукция поля , играющая роль аналога напряженности электрического поля , которая характеризует силовое действие электрического поля на заряды.

Как установили на опыте Био (Biot J., 1774-1862) и Савар (Savart F., 1791-1841) индукция магнитного поля, создаваемого проводниками с током различной конфигурации, во всех случаях пропорциональна силе тока в проводнике I и зависит от расстояния r до точки, в которой определяется поле. Анализируя результаты опытов Био и Савара, Лаплас (Laplace P., 1749-1827) пришел к выводу, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как результат векторного сложения (суперпозиции) магнитных полей, создаваемых отдельными элементами тока. Это правило получило название принципа суперпозиции магнитных полей.

Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока , Лаплас получил формулу, названную впоследствии законом Био-Савара-Лапласа:

,

где коэффициент k имеет то же значение, что и в законе Ампера (в СИ: ).

Направление вектора образует с векторами и правовинтовую систему (рис.8.5).

и

Рис.8.5. Взаимная ориентация векторов , и в законе Био-Савара-Лапласа.

Наряду с индукцией , для характеристики магнитного поля вводят также понятие напряженности магнитного поля - величины, определяемой в вакууме как:

.

Единицей измерения индукции поля в СИ является Т Тесла; напряженность магнитного поля измеряется в А/м.

С помощью закона Био-Савара-Лапласа напряженность магнитного поля, создаваемого элементом тока в точке , рассчитывается по формуле:

.

Или в скалярном виде:

,

где и - угол между элементом длины тока и радиус-вектором , проведенным в точку наблюдения (рис.8.5).

Возвращаясь к закону Ампера, мы можем сказать, сила взаимодействия между двумя элементами тока есть результат действия магнитного поля одного элемента тока на другой. Другими словами, можем написать:

,

где

- напряженность магнитного поля, созданного элементом первого тока в том месте, где находится элемент второго тока.

Следовательно, на любой элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле с индукцией , действует сила:

.

Эта формула является аналогом соответствующей формулы в электростатике

,

определяющей силу, действующую на точечный заряд q, помещенный в электрическое поле напряженностью .

Полная сила, действующая на проводник с током, находящийся в магнитном поле, определяется по формуле:

,

где интегрирование производится по всей длине проводника.

В частности, для прямолинейного отрезка проводника с током длиной l, расположенного под углом и к силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией В, имеем:

Эту формулу часто называют силой Ампера.

3.3 Примеры вычисления магнитных полей с помощью закона Био-Савара-Лапласа.

1)Напряженность магнитного поля в центре кругового витка с током.

В данном случае имеем, согласно закону Био-Савара-Лапласа (рис.8.6):

,

откуда находим после интегрирования по всей длине витка - окружности радиуса R:

.

.

Рис.8.6. Магнитное поле в центре кругового витка с током.

2) Отрезок проводника с током конечной длины и бесконечно длинный проводник с током

В этом случае имеем (рис.8.7):

Рис.8.7. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

,

где

, , ,

тогда

.

Интегрируя это выражение в пределах от - x₁ до x₂ , находим:

где .

Переходя в этой формуле к пределу при и , получим формулу для расчета напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током бесконечной длины:

.

3) Магнитное поле движущегося заряда.

Любой проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Но ток в проводнике - есть направленное движение зарядов. Следовательно, можно допустить, что источником магнитного поля являются движущиеся заряды. Тогда магнитное поле, созданное проводником с током в некоторой точке пространства, будет представлять собой суперпозицию магнитных полей, созданных в этой же точке пространства каждым из движущихся зарядов в отдельности.

Пусть - скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; q - заряд носителя тока (в металлах q = - e). Для элемента тока можем написать:

dNq,

где n = dN/dV - концентрация зарядов, dN - число зарядов в элементе объема dV = Sdl.

На основании закона Био-Савара-Лапласа, напряженность магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом, будет:

или в векторном виде

.

Эта формула отражает релятивистскую (относительную) сущность магнитного поля. Она показывает, что магнитное поле проявляется как результат относительного движения заряда. Отметим, что приведенная формула справедлива при скоростях движения заряда (с=3•10⁸ м/с - скорость света в вакууме).

Лекция 9

Контур с током в магнитном поле.

3.4 Магнитный момент тока.

Во многих случаях приходится иметь дело с замкнутыми токами, размеры которых малы по сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения. Такие токи будем называть элементарными. Пример подобных токов мы имеем во всех атомах - это движущиеся по замкнутым орбитам электроны. Эти токи, вследствие малости атомных размеров можно считать элементарными.

Рассмотрим плоский круговой виток с током радиуса R (рис.9.1). Характеристиками витка являются: сила тока I, текущего по витку, площадь S, обтекаемая током и ориентация витка в пространстве, определяемая направлением единичного вектора нормали к плоскости витка. Совокупность всех этих трех характеристик образует магнитный момент витка с током, который по определению равен:

Рис.9.1. Круговой виток с током.

В теории магнетизма магнитный момент кругового витка с током играет такую же важную роль, как и электрический дипольный момент в теории электричества.

3.5 Магнитное поле на оси кругового витка с током

Согласно закону Био-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля, создаваемого элементом тока dl на расстоянии r от него есть

,

где б - угол между элементом тока и радиус-вектором , проведенным из этого элемента в точку наблюдения; r - расстояние от элемента тока до точки наблюдения.

В нашем случае б = р/2, sinб = 1; , где а - расстояние, отсчитываемое от центра витка до рассматриваемой точки на оси витка. Векторы образуют в этой точке конус с углом раствора при вершине 2 = р - 2в, где в - угол между отрезками а и r.

Из соображений симметрии ясно, что результирующее магнитное поле на оси витка будет направлено вдоль этой оси, то есть вклад в него дают только те составляющие, которые параллельны оси витка:

.

Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до 2рR:

или, подставив значение r:

.

В частности, при а = 0 находим индукцию магнитного поля в центре кругового витка с током:

Этой формуле можно придать другой вид, воспользовавшись определением магнитного момента витка с током:

.

Последнюю формулу можно записать в векторном виде (см. рис.9.1):

.

3.6 Момент сил, действующих на контур с током в магнитном поле.

Поместим в однородное магнитное поле с индукцией плоский прямоугольный контур (рамку) с током (рис.9.2).



Рис.9.2. Рамка с током в магнитном поле.

Согласно закону Ампера, на каждый элемент тока рамки действует сила

.

Результирующая всех этих сил, как нетрудно убедиться, создает пару сил и , стремящихся развернуть плоскость рамки перпендикулярно силовым линиям магнитного поля. Если a - короткая сторона рамки, то величина действующей на нее силы будет . Момент пары сил по величине равен:

,

где b - длинная сторона рамки ( - плечо силы F, б - угол между нормалью к плоскости рамки и силовой линией магнитного поля).

Следовательно, можем написать:

,

где S = ab - площадь рамки.

Учитывая, что магнитный момент рамки , последнюю формулу можно переписать в векторном виде:

3.7 Энергия контура с током в магнитном поле

Контур с током, помещенный в магнитное поле, обладает запасом энергии. Действительно, чтобы повернуть контур с током на некоторый угол в направлении, обратном направлению его поворота в магнитном поле, необходимо совершить работу против сил, действующих на этот контур со стороны поля. По величине эта работа равна

.

Совершенная над контуром работа идет на увеличение его энергии. Поворачиваясь в первоначальное положение, контур возвратит затраченную на его поворот работу, совершив ее над какими-либо телами. Следовательно, запасенная контуром энергия есть:

.

(при выводе этой формулы мы приняли, что при энергия контура W, определенная с точностью до произвольной постоянной, равна нулю).

Полученную формулу можно написать также в виде:

Устойчивое равновесие	Неустойчивое равновесие

Рис.9.3. Положения равновесия контура с током в магнитном поле.

Из приведенной формулы видно, что устойчивому положению равновесия контура с током в магнитном поле (рис.9.3) соответствует ориентация, при которой векторы и параллельны (б = 0); в этом случае энергия контура минимальна и равна . Неустойчивому положению равновесия соответствует ориентация, при которой векторы и антипараллельны (б = р); в этом случае энергия контура максимальна и равна .

3.8 Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Если контур с током находится в неоднородном магнитном поле (рис.9.4), то на него, помимо вращающего момента , действует также сила , обусловленная наличием градиента магнитного поля. Проекция этой силы на направление касательной к силовой лини поля в данной точке определяется по формуле:

.



Рис.9.4. Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Согласно написанной формуле, сила, действующая на контур в неоднородном магнитном поле, зависит от взаимной ориентации векторов и . Если эти векторы параллельны, то сила положительна и контур будет втягиваться в область более сильного поля; если векторы и антипараллельны, то сила отрицательна и контур будет выталкиваться из поля (рис.9.4)

3.9 Работа, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле.