Электричество и магнетизм

Рассмотрим отрезок проводника с током, способный свободно перемещаться по двум направляющим во внешнем магнитном поле (рис.9.5). Магнитное поле будем считать однородным и направленным под углом б по отношению к нормали к плоскости переме-щения проводника.

Рис.9.5. Отрезок проводника с током в однородном магнитном поле.

Как видно из рис.9.5, вектор имеет две составляющие и , из которых только составляющая создает силу, действующую в плоскости перемещения проводника. По абсолютной величине эта сила равна:

,

где I - сила тока в проводнике; l - длина проводника; B - индукция магнитного поля.

Работа этой силы на элементарном пути перемещения ds есть:

.

Произведение lds равно площади dS, заметанной проводником при движении, а величина BdScosб равна потоку магнитной индукции dФ через эту площадь. Следовательно, можем написать:

dA=IdФ.

Рассматривая отрезок проводника с током как часть замкнутого контура и интегрируя это соотношение, найдем работу при перемещении контура с током в магнитном поле:

A = I(Ф₂ - Ф₁)

где Ф₁ и Ф₂ обозначают поток индукции магнитного поля через площадь контура соответственно в начальном и конечном положениях.

Лекция 10

Основные уравнения магнитостатики в вакууме.

3.10 Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса в магнитостатике. Вихревой характер магнитного поля

Потоком вектора через какую-либо поверхность S называется интеграл:

,

где - проекция вектора на нормаль к поверхности S в данной точке (рис.10.1).

Рис.10.1. К определению потока вектора магнитной индукции.

Прежде чем сформулировать теорему Гаусса в магнитостатике, вспомним, что в электростатике аналогичная теорема формулировалась как:

,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S, окружающей электрические заряды (q_s - алгебраическая сумма зарядов, заключенных под этой поверхностью); - вектор электрической индукции ( в вакууме).

Казалось бы, что в полной аналогии с электростатикой мы могли бы написать:

,

подразумевая под алгебраическую сумму неких «магнитных зарядов», охваченных замкнутой поверхностью S, и являющихся источниками магнитных полей с результирующей индукцией (в вакууме).

Но, как оказалось, в природе нет магнитных зарядов, подобных электрическим, а источниками магнитных полей являются движущиеся заряды, то есть электрические токи. Следует, однако, заметить, что законы классической электродинамики допускают существование частиц с одним магнитным полюсом - магнитных монополей. В квантовой механике магнитный монополь - это стабильная частица, несущая положительный или отрицательный магнитный заряд, величина которого значительно превосходит величину элементарного электрического заряда. Впервые гипотезу о существовании магнитного монополя высказал в 1931г. один из основателей квантовой механики Поль Дирак (Dirac P., 1902-1984), поэтому эту частицу называют также монополем Дирака. Тщательные поиски монополя Дирака не увенчались успехом, поэтому вопрос о их существовании остается пока открытым.

Полагая, таким образом, что, приходим к следующей формулировке теоремы Гаусса в магнитостатике:

.

Равенство нулю потока магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность означает, что силовые линии магнитного поля нигде не обрываются и, следовательно, являются замкнутыми (рис.10.2).

Рис.10.2. К формулировке теоремы Гаусса в магнитостатике.

Поля, силовые линии которых замкнуты, называются вихревыми или соленоидальными.

3.11 Теорема о циркуляции магнитного поля. Магнитное напряжение

Циркуляцией магнитного поля вдоль замкнутого контура l называется интеграл:

,

где - проекция вектора на направление касательной к линии контура в данной точке.

Соответствующий интеграл для электрического поля в электростатике, как мы знаем, равен нулю, что отражает свойство потенциальности электростатического поля:

.

Магнитное поле не является потенциальным, оно, как было показано выше, является соленоидальным. Поэтому следует ожидать, что циркуляция магнитного поля вдоль замкнутого контура в общем случае отлична от нуля. Чтобы найти ее величину, выполним сначала некоторые вспомогательные действия.

Как известно, интеграл, взятый между двумя любыми точками 1 и 2 в электрическом поле, есть электрическое напряжение между этими точками:

.

По аналогии мы можем ввести понятие «магнитного напряжения», определив его как:

.

Вычислим магнитное напряжение между двумя точками 1 и 2, взятыми на силовой линии магнитного поля прямолинейного проводника с током (рис.10.3).

Рис.10.3. К вычислению магнитного напряжения проводника с током.

Напряженность магнитного поля на расстоянии r от оси проводника определяется по формуле:

.

Тогда:

,

где - длина дуги окружности, вдоль которой производится интегрирование.

При обходе по всей силовой линии (окружности) угол и, следовательно:

.

Мы видим, что при обходе по замкнутому контуру, охватывающему проводник с током, циркуляция магнитного поля оказывается отличной от нуля и численно равной силе тока, текущего в проводнике; также она не зависит от формы и размеров выбранного контура.

Если контур, охватывающий проводник, не является плоским, то при перемещении вдоль контура радиальный отрезок, соединяющий проводник с текущей точкой контура, будет не только поворачиваться вокруг проводника, но и перемещаться вдоль него. Однако суммарный угол поворота проекции этого отрезка на плоскость, перпендикулярную току, все равно будет равен 2р, то есть результат останется тем же.

В том случае, когда контур не охватывает проводник с током, радиальный отрезок при обходе контура будет поворачиваться сначала в одну сторону, а потом в другую. При этом суммарный угол поворота (с учетом знака направления обхода) будет равен нулю.

В общем случае, если контур охватывает несколько проводников с током (рис.10.4),

Рис.10.4. К формулировке теоремы о циркуляции магнитного поля.

то обобщением полученного результата будет написание выражения, составляющего содержание теоремы о циркуляции магнитного поля:

,

где в правой части стоит алгебраическая сумма всех токов, охваченных данным контуром, причем ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта и отрицательным, если ток имеет противоположное направление.

3.12 Магнитное поле соленоида и тороида

Применим полученные результаты для нахождения напряженности магнитного поля на оси прямого длинного соленоида и тороида.

1) Магнитное поле на оси прямого длинного соленоида.

Соленоид представляет собой катушку, намотанную на цилиндрический каркас. Если длина соленоида много больше его диаметра, то такой соленоид называют длинным (в отличие от короткой катушки с противоположным соотношением размеров). Магнитное поле максимально внутри соленоида и направлено вдоль его оси. Вблизи оси соленоида магнитное поле можно считать однородным.

Для нахождения напряженности магнитного поля на оси прямого длинного соленоида с помощью теоремы о циркуляции магнитного поля, выберем контур интегрирования, как показано на рис.10.5.

Рис.10.5. К расчету напряженности магнитного поля на оси соленоида.

На участке 1-2 направление магнитного поля совпадает с направлением обхода контура, а его напряженность постоянна в силу однородности поля. На участках 2-3 и 4-1 вне соленоида проекция магнитного поля на направление обхода равна нулю. Наконец, на участке 3-4, удаленном достаточно далеко от соленоида, можно считать, что магнитное поле отсутствует.

С учетом сказанного имеем:

,

где

, , , .

Но согласно теореме о магнитном напряжении этот интеграл равен , где N - число витков соленоида, сцепленных с контуром интегрирования. Следовательно

,

откуда находим: ,

где через обозначено число витков на единицу длины соленоида.

2) Магнитное поле на оси тороида.

Тороид представляет собой катушку, намотанную на каркас, имеющий форму тора. Магнитное поле тороида целиком сосредоточено внутри него и является неоднородным. Максимальное значение напряженность магнитного поля имеет на оси тороида.

Рис.10.6. К расчету напряженности магнитного поля на оси тороида.

Для нахождения напряженности магнитного поля вблизи оси тороида применим теорему о циркуляции магнитного поля, выбрав контур интегрирования, как показано на рис.10.6.

Имеем:

.

С другой стороны, этот интеграл равен , откуда следует, что

.