Методическое сопровождение темы "Определенный интеграл" в классах естественнонаучного профиля

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая схема применения определенного интеграла

1.2 Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

1.3 Особенности обучения математике в профильной школе

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

2.1 Особенности работы с прикладными задачами

2.2 Введение понятия «Определенный интеграл» в классах естественнонаучного профиля

2.3 Прикладные задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

Деятельность учителя математики в современной школе требует широких знаний, поскольку с 2010 - 2011 учебного года в соответствии с Концепцией профильного обучения старшая общеобразовательная школа полностью перешла на профильное обучение школьников. Определены основные направления профилирования (естественно - математический, филологический, общественно - гуманитарный, художественно - эстетический, спортивный, технологический, универсальный). Математика является обязательной учебной дисциплиной для изучения школьниками в классах всех профилей.

В Концепции профильного обучения отмечается, что профильные предметы обеспечивают прикладную направленность обучения за счет интеграции знаний и методов познания и применения их в разных сферах деятельности, в том числе и профессиональной, которая определяется спецификой профиля обучения.

Обеспечить прикладную направленность обучения, как это определено нормативными документами, можно за счет разнообразия системы задач - включением прикладных задач, содержание которых отвечает профилю обучения. Современные школьные учебники содержат определенное количество прикладных задач, которые касаются применения математических методов в разных науках и сферах деятельности человека, но для каждого конкретного профиля их недостаточно. Поэтому учителю необходимо уметь подбирать прикладные задачи разного содержания в соответствии с определенным профилем обучения школьников.

Объектом данной работы является изучение определенного интеграла в профильной школе.

Предмет - процесс изучения определенного интеграла в классах естественнонаучного профиля.

Цель выпускной квалификационной работы - разработать методическое сопровождение темы «Определенный интеграл» в классах естественнонаучного профиля.

В связи с этим необходимо решить следующие задачи:

- подобрать и проанализировать литературу по теме исследования;

- проанализировать школьные учебники по математическому анализу, с точки зрения введения понятия «интеграл» и наличия прикладных задач из естественнонаучной области;

- рассмотреть особенности обучения математике в классах естественнонаучного профиля;

- выделить особенности работы с прикладными задачами;

- разработать и подобрать материалы для проведения занятий и контроля по данной теме.

Работа насчитывает 46 страницы, состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, насчитывающего 30 наименований, и двух приложений.

Во введении сформулированы актуальность темы, объект, предмет, цель и задачи исследования, приведена структура работы и краткая характеристика каждой из ее частей.

В первой главе рассматриваются общие схемы применения определенного интеграла при решении задач. Также приводится анализ школьных учебников алгебры и начал математического анализа с точки зрения введения понятия «интеграл» и наличия прикладных задач. Рассмотрены особенности преподавания математики в профильной школе.

Во второй главе представлены особенности работы с прикладными задачами. Рассмотрены задачи из естественнонаучной области, при решении которых применяется интегрирование.

В заключении оценены полученные результаты и сформулированы основные выводы исследования.



ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1 Общая схема применения определенного интеграла

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Истоки интегрального исчисления берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками Древней Греции. Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, а также их применение к решению прикладных задач были разработаны в конце XVII века.

Итогом многовекового развития интегрально исчисления стала теория интеграла, фактами которой пользуются в наше время. Сформировалось четкое понятие определения интеграла и его свойств. Рассмотрим определение, свойства и схемы применения определенного интеграла.

Пусть функция определена на отрезке и .

Выполним следующие действия.

1.	С	помощью точек	( <x1 <	...<хn)
разобьем	отрезок	на	частичных отрезков	,	, …
	.
2.	В	каждом	частичном отрезке	выберем
произвольную точку		и вычислим значение функции в ней, т.е.
величину		.
3.	Умножим найденное значение функции	на длину
		соответствующего частичного отрезка:	.
4.	Составим сумму	всех таких произведений:

Таким образом,

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок

- областью (отрезком) интегрирования [24].

Рассмотрим условия существования определенного интеграла.

Необходимое условие - интегрируемая функция должна быть ограничена на промежутке разбиения.

Необходимое и достаточное условия существования определенного интеграла. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы было ? ?

Сумма такого вида называется интегральной суммой функции	на
отрезке		Обозначим через	длину наибольшего частичного отрезка:
5.	Найдем предел данной интегральной суммы	, когда
так, что	.
Если при этом интегральная сумма	имеет предел	,	который не
зависит ни от	способа разбиения отрезка	на частичные отрезки, ни от
выбора точек	в них, то число	называется определенным интегралом от
функции		на отрезке и обозначается

- точные нижняя и верхняя границы [21].

Достаточное условие - теорема существования определенного интеграла (теорема Коши).

Если функция непрерывна на отрезке, то определенный интеграл существует.

Приведем ряд свойств определенного интеграла.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

2. Если интегрируема в промежутке то она интегрируема и в промежутке , причем

3. Если интегрируема в наибольшем из промежутков, тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

4. Если интегрируема в промежутке , то и, также интегрируема в этом промежутке, причем выносить за знак интеграла. где можно

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на отрезке функций алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: равен

6. Если интегрируема в промежутке, неотрицательна и b>a, то справедливо неравенство

7. Если интегрируемые на промежутке функции и удовлетворяют неравенству , то

8. Если значения функции и - соответственно наименьшее и наибольшее, непрерывной на отрезке , то

При изучении начал анализа можно рассмотреть различные приложения определенного интеграла. Все они реализуются по определенной схеме, имеющей два варианта: метод интегральных сумм и метод дифференциала. Первый метод базируется на понятии определенного интеграла, второй является модификацией первого.

Пусть требуется найти значение некоторой величины , связанной с отрезком изменения независимой переменной . Предполагается, что эта величина аддитивна т.е. такая, что при разбиении отрезка точкой на части значение величины , соответствующее всему отрезку , равно сумме ее значений, соответствующих [16].

Рассмотрим первый метод для нахождения величины :

1. С помощью точек (х0 <x1 < ...<хn) разобьем отрезок на n частей. В соответствии с этим величина A разобьется на n «элементарных слагаемых» .

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

При нахождении приближенного значения , допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т.д.

Получим приближенное значение величины A в виде интегральной суммы:

Искомая величина A равна пределу интегральной суммы, т.е.

Указанный «метод сумм» основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых [13].

Второй метод представляет собой несколько видоизмененную схему первого и называется «метод дифференциалов» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1. На отрезке выбираем произвольное значение x и рассматриваем переменный отрезок . На этом отрезке величина A становится функцией x: т.е. считаем, что часть искомой величины A есть неизвестная функция где - один из параметров величины A;

2. Находим главную часть приращения малую величину т.е. находим дифференциал где f(x), определяемая при изменении x на функции

Из условия задачи, функция переменной x.

3. Считая, что путем интегрирования

При в пределах от a до b: находим искомую величину

Таким образом, получаем два метода для применения определенного интеграла [16].

Данные методы используются при решении задач и в школьном курсе математики, поэтому учителю необходимо знать их особенности. Применяя один из методов, можно составить модель, как для математической, так и для прикладной задачи. Если на начальных этапах у школьников возникнут затруднения, при выборе метода, то учитель должен направить обучающихся, помочь им обосновать выбор наиболее рационального способа решения задачи.



1.2 Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

Провед?м анализ школьных учебников алгебры 11 класса, с точки зрения введения понятия интеграла и наличия прикладных задач естественнонаучного профиля.

При введении понятия определенного интеграла авторы учебников используют два подхода.

1. Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции, при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения подводящих задач, например, задачи о площади криволинейной трапеции; задачи о работе силы и др. Затем, обобщая полученные результаты, переходят к определению интеграла, как предела интегральных сумм.

Данное определение объемное, но идея метода наглядно отображает геометрическую интерпретацию интеграла - площадь криволинейной трапеции. Вместе с определением интеграла получается и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла чаще применяют формулу Ньютона - Лейбница, которая при данном подходе доказывается.

В учебнике Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла сначала рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Рассматриваются два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы площади криволинейной трапеции (площадь криволинейной трапеции равна приращению первообразной на данном отрезке) и с помощью интегральных сумм (криволинейная трапеция разбивается на прямоугольники, сумма площадей которых равна площади данной трапеции). Второй способ сводится к определению интеграла. Методом интегральных сумм выводятся формулы для вычисления объемов тел и формулы для решения физических задач, например, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью метода интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача нахождения кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Таким образом, видно, что в учебнике представлены прикладные задачи физической направленности. Упражнения делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл», рассматриваются задачи, подводящие к данному понятию: задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении сводятся к одной и той же математической модели. Автор, говорит о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке функции :

- разбивают отрезок на n равных частей;

- составляют сумму

- вычисляют предел

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции по отрезку . В данном учебнике набор задач сводится к прямому вычислению определенного интеграла.

Прикладные задачи из естественнонаучной области появляются в современных изданиях учебников, но это одна две задачи, которые авторы рассматривают в качестве примеров. Для самостоятельного решения такие задачи не предлагаются.

В учебнике Башмакова М.И. «Алгебра и начала анализа» тема

«Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция определенная на конечном отрезке . Интегралом от функции на отрезке называется площадь е? подграфика». Далее объясняется способ вычисления этой площади с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод в задачах о нахождении объема лимона и работы по перемещению точки.

Вданном учебнике рассмотрено большое число задач на применение интеграла в физике - это задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим выводом.

Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Однако, для самостоятельного решения учащимся предлагается мало задач в том числе и прикладных.

В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» рассмотрение задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. Теоретическое обоснование применения определенного интеграла рассматривается в таких физических задачах, как задачи на работу силы, работу электрического заряда, на вычисление массы стержня переменной плотности, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Также рассматривается применение определенного интеграла и в геометрических задачах - задачи на нахождение площади круга и объема тела вращения. Эти задачи выделены в отдельный параграф «Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах». Однако, автор учебника приводит небольшую систему упражнений, при чем не использует в практических задачах тех формул, которые были ранее выведены.

2. Интеграл как приращение первообразной.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.

При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге, все равно приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.

В учебнике Алимова Ш. А. «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной функции f(x). Разность называют интегралом от функции на отрезке . Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны их очень мало. В современных изданиях учебник дополняется примером применения интегрального исчисления при решении задач по биологии. Это только одна задач, рассмотренная в качестве примера.

Основные моменты анализа учебников можно представить в таблице.

Таблица 1. «Сравнительный анализ школьных учебников алгебры и начала анализа»

№	Автор, учебник.		Способы введения	Наличие прикладных
п\п			понятия определенного	задач.
				интеграла.
	I.	Интеграл как предел интегральных сумм
1.	Башмаков	М.И.	Вводится		понятие	Физические	задачи
	«Алгебра и начала	интегральных	сумм.	на	вычисление
	анализа»		Рассматривается задача	площади,		работы,
			о	механическом	перемещения,
			движении,	приводящая	электрического
			к	задаче	вычисления	заряда, массы
			площади
			криволинейной
			трапеции
2.	Колмогоров	А.Н.	Рассматривается задача	Задачи		на
	«Алгебра и начала	о вычислении площади	вычисление	объемов
	анализа»		криволинейной	тел,		работы
			трапеции	c	помощью	переменной силы,
			интегральных сумм	центра масс
3.	Мордкович	А.Г.	Рассматриваются	Задачи о вычислении
	«Алгебра и начала	задачи, подводящие к	площади		плоских
	анализа»		понятию определенного	фигур
			интеграла:	вычисление
				15

			площади
			криволинейной
			трапеции,	массы
			стержня,	перемещении
			точки
4.	Никольский	С.М.	Рассматривается задача	Геометрические	и
	«Алгебра и начала	о вычислении площади	физические	задачи:
	анализа»		криволинейной	вычисление площади
			трапеции		круга,	объема	тела
					вращения,	работы
					электрического
					заряда,		давления
					жидкости на стенку
	II.Интеграл как приращение первообразной
5.	Алимов	Ш.А.,	Рассматривается задача	Задачи			на
	Колягин	Ю.М.,	о вычислении площади	нахождение	работы
	Ткачева	М.В.	криволинейной	силы	при	сжатии
	«Алгебра и начала	трапеции	через	(растяжении)
	анализа»		отыскание		пружины,
			первообразной	вычисление	массы
			функции		вещества

Из анализа учебников видно, что первый способ введения понятия определенного интеграла (как предела интегральных сумм) является основой для первого метода вычисления интеграла. Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления в разных областях показывает учащимся значение и силу высшей математики. Чтобы объяснить материал учащимся в доступной форме, учителю необходимо определить какой подход к введению понятия «Определенный интеграл» реализован в данном учебнике, и соответственно этому строить изучение темы.

Можно сделать вывод о том, что прикладным задачам уделяется очень мало внимания. Чаще всего это задачи, которые раскрывают физический и геометрический смысл интеграла. В современных изданиях учебников решения таких задач нет.

вводятся	примеры применения интегрального исчисления при	решении
задач из других областей: химии, биологии, экономики. Это 1 - 2	задачи,
которые	рассматриваются в качестве примера. Для самостоятельного

В пояснительной записке к новым стандартам по математике сказано, что в современной российской школе математика изучается на трех уровнях, которые условно обозначаются как углубленный, общий (курс Б) и гуманитарный (курс А). Эта линия прослеживается в проекте нового стандарта по математике. Наряду с профильным и базовым уровнем, фиксируются и требования к уровню подготовки выпускников для «общекультурного» уровня [6]. Современные учебники имеют гриф

«Допущено Министерством образования РФ» и входят в Федеральный перечень. Учебники составлены в соответствии с программой курса математики для средней школы общеобразовательного уровня, на изучение которого отводится три урока в неделю, и преподавание ведется в рамках единого курса. Концептуальную основу учебников составили широко апробированные в российских школах учебные пособия. В современные издания учебников Алимова Ш.А. и Мордковича А.Г. вводятся прикладные задачи в области химии, биологии, экономики (рассматриваются в качестве примеров). Таким образом, учителю необходимо самому подбирать прикладные задачи разного содержания в соответствии с определенным профилем обучения школьников.



1.3 Особенности обучения математике в профильной школе

В основном нормативном документе «Концепция профильного обучения» сказано, что профильное обучение, организованное в старших классах общеобразовательных школ, предполагает учет интересов, способностей обучающихся и способствует их профессиональному самоопределению. Согласно Концепции, профильное обучение является «средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющим за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования»[8].

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником собственной, индивидуальной образовательной траектории. Переход к профильному обучению, преследует, следующие основные цели:

- обеспечить углубленное изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

- создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

- способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

- расширить возможности социализации обучающихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Способы организации профильного обучения, можно разделить по двум основаниям: степень вариативности и субъект выбора. Концепция профильного обучения предлагает следующие способы организации профильного обучения:

- однопрофильная школа,

- однопрофильный класс,

- многопрофильный класс,

- непрофильный (универсальный) класс.

Однопрофильный класс или однопрофильная школа подразумевают «специализированную подготовку» для всех учащихся класса или школы в одном направлении, представленном учебным планом данного образовательного учреждения. Это означает, что право выбора сочетания курсов, изучаемых на базовом и профильном уровне, полностью находится у администрации образовательного учреждения. Учащийся же выбирает не отдельные курсы, а весь комплекс содержания образования в целом.

Для так называемых «универсальных» или «непрофильных» классов содержание образования формируется по такой же схеме, что и для однопрофильной школы или класса. Единственным отличием является то, что вместо академического углубления по отдельным предметам осуществляется более широкий охват предметов для изучения.

К профильным классам близки классы с углубленным изучением отдельных предметов. Общее для всех этих форм обучения - ориентация старшеклассников на развитие способностей к самостоятельному поиску знаний и их усвоению, на изучение определенных способов деятельности, характерных для профильных предметов или предметов, изучаемых углубленно [29].

В период значительных социальных перемен в нашей стране в 90-е гг.

ХХ в. широкое распространение получили классы с углубленным изучением отдельных предметов. Создавались биологические, химические и другие классы, в которых практиковалось углубленное изучение только одного

учебного предмета. В дальнейшем в практике работы школ распространились классы с ориентацией на выбранную профессию, профилированные на вуз, хорошо зарекомендовавшие себя как форма к поступлению в него. Интерес к ним объяснялся возможностью подготовки к вступительным экзаменам в университет в стенах школы и организацией совмещенных выпускных и вступительных экзаменов.

В тот же период начала развиваться такая форма обучения, как профильные классы, в которых учащиеся ориентированы не на учебное заведение, а на конкретную учебную дисциплину. В классе одного профиля могут обучаться школьники, желающие получить в дальнейшем различные профессии в одной области знаний. Например, в классе естественно-научного (биологического) профиля обучающиеся ориентируются на профессии медика, биолога, эколога, психолога.

Существующими нормативными документами предусматриваются следующие профильные классы (они получили широкое распространение в практике работы школ): математический (физико-математический), естественнонаучный, гуманитарный и др. В Федеральном компоненте государственного стандарта общего образования перечислены следующие профили: физико - математический, физико - химический, химико - биологический, биолого - географический, социально - экономический, социально - гуманитарный, филологический, информационно - технологический, агротехнологический, художественно - эстетический, оборонно - спортивный, индустриально - технологический, универсальный (общеобразовательный).

В «Концепции профильного обучения» предусматриваются следующие возможности для выбора профиля школой. Школа может сохранить только общеобразовательные (универсальные) классы, т.е. остаться непрофильной, выбрать один профиль в зависимости от материально-технических условий, кадрового педагогического состава, предпочтений обучающихся или стать монопрофильной. Фактически для школ поддерживать более двух профилей чрезвычайно трудно, поэтому большинство школ создает один - два профильных класса. Также можно использовать такие формы обучения, как классы гибкого состава, индивидуальные образовательные траектории учащихся [3].

Исследования Крутецкого В.А., Пурышевой Н.С., Смирновой И.М. показали, что обучающимся естественнонаучных классов свойственны восприятие предмета как целого, гибкость мыслительной деятельности, логическое и чувственное восприятие объекта. При решении задачи они обращают внимание на соответствие ее условия реальной действительности. Первоначальное осмысление задачи происходит именно здесь, а уже потом они переводят ее на математический язык [3]. В процессе преподавания математики в классах естественнонаучного профиля следует учесть эти особенности. Важным этапом для формирования интереса к математике у обучающихся профиля является предпрофильная подготовка. Она направлена на то, чтобы развивать интерес школьников к предмету, знакомить их с новыми идеями и методами решения задач, расширять представления об изучаемом предмете, решать интересные задачи. Материал следует подбирать таким образом, чтобы можно было проиллюстрировать применение математики на практике, показать связь математики с другими предметными областями.

Таким образом, можно сделать вывод, что учебный материал и систему упражнений необходимо адаптировать к особенностям обучающихся классов разных профилей. Также следует проводить тщательный отбор изучаемого содержания, т.к. для каждого профиля оно будет отличаться. Изменяется и количество часов отводимых на изучение дисциплин - сокращение времени на изучение математических дисциплин, увеличение числа часов отводимых на изучение дисциплин естественного цикла. Поэтому целесообразно применять интегрированные задания, которые дают возможность в рамках одного урока охватить знания по нескольким предметам.



ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

2.1 Особенности работы с прикладными задачами

В настоящее время нет единого подхода к трактовке понятия «прикладной задачи». Из известных определений понятия «прикладная задача» - задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (Н.А. Терешин). На основе существующих в настоящее время разделов прикладной математики выделяются задачи на математическое моделирование, алгоритмизацию и программирование. Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму. К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования: интеграл контрольный обучение профильный

- в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;

- задачи должны соответствовать программе курса, вводится в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;

- вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задач должны «сближаться» с реальной действительностью;

- способы и методы решения задач должны быть приближены к практическим приемам и методам;

- прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность [9].

Прикладные задачи дают широкие возможности для реализации общедидактических принципов в обучении математике в школе. Практика показывает, что прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами. Все приемы и средства обучения, которые учитель использует в ходе урока, должны быть ориентированы на реализацию прикладной направленности обучения во всех возможных проявлениях. Так, учителю следует как можно чаще акцентировать внимание учащихся на универсальность математических методов, на конкретных примерах показывать их прикладной характер.

Прикладные задачи, которые используются на практических занятиях и во время самостоятельной работы, способствуют лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, а также формированию у школьников умений применять изученное на практике.

В общем случае решение прикладной задачи включает в себя следующую последовательность этапов: анализ условия, перевод его на математический язык, составление математической модели, ее преобразование, получение математического решения, исследование и интерпретация в терминах задачи полученного решения. При этом каждый из этих этапов также представляет собой определенную совокупность действий.

В процессе содержательно - логического анализа текста задачи порядок действий можно описать следующим образом:

1. Выделить условие и главный вопрос задачи.

2. Выписать величины, о которых говорится в тексте задачи.

3. Выяснить, какие из них являются известными, какие неизвестными.

4. Определить, что необходимо найти (величину, соотношение между величинами и др.).

5. Установить заданные в условии взаимосвязи между понятиями, выбрав независимую переменную.

При переводе текста задачи на математический язык последовательность действий может быть такой:

1. Ввести обозначения переменных и постоянных величин в соответствии с условиями:

- если имеются общепринятые буквенные обозначения, то использовать их для данных величин (например, сила тока - , масса - );

- если таких обозначений нет, то воспользоваться следующим правилом: если величины переменные, то обозначить их строчными латинскими буквами: независимые - и т.д., зависимые - и т.д.

2. Зафиксировать на математическом языке известные по условию отношения между величинами.

3. Если возможна графическая интерпретация, то построить схему, чертеж и т.п.

В процессе поиска решения прикладной задачи можно выделить следующие действия:

1. Установить взаимосвязи между известными и неизвестными величинами на основе результатов анализа и кодировки текста задачи.

2. На основе выявленных взаимосвязей составить математическую модель условия задачи.

Преобразование математической модели часто связано с методами преобразования определенных классов математических объектов: уравнений, неравенств, их систем и др. В общем виде этот этап описывается как последовательность действий:

1. Определить вид полученной модели как математического объекта.

2. Вспомнить и выбрать из известных в математике приемов преобразования модели адекватные ее виду.

3. Если способ преобразования неизвестен, то

- обратиться к теории;

- использовать комбинацию известных приемов и методов, возможно, разбивая модель на подмодели и сводя ее к известным алгоритмам;

- изобрести «свой» способ;

- проверить правильность и корректность составления модели, вернувшись к анализу задачи.

4. Преобразовать полученную модель и получить результат в виде формулы или числа.

5. Осуществить проверку правильности преобразований математической модели, например, подстановкой, выполнением обратных операций.

Процесс интерпретации математического решения предполагает содержательное описание математической информации с использованием естественного языка или языка той научной области, в терминах которой сформулирована прикладная задача. Схема интерпретации математического результата прикладной задачи включает следующие виды действий:

1. Проверка адекватности полученного результата условиям задачи.

При необходимости следует провести дополнительное исследование полученного решения (например, математическими средствами).

2. Перевод полученного результата с математического языка на язык области приложения.

3. Представления результата в содержательных терминах задачи [28].

Учителю необходимо знать данные особенности и этапы решения прикладных задач, для того чтобы грамотно и эффективно организовать процесс обучения. Использование прикладных задач способствует формированию метапредметных универсальных учебных действий у обучающихся. Высокий уровень сформированности УУД проявляется в

случаях применения знаний и умений	в ситуациях, отличных от тех, в
которых эти знания усваивались.	Поэтому,	кроме	определенных
теоретическихзнаний и умений,	школьники	должны	приобрести
простые	навыкипринятияобоснованных решений	в	различных
ситуациях.
	25

2.2 Введение понятия «Определенный интеграл» в классах естественнонаучного профиля

Последовательность введения понятия «Определенный интеграл» во многих учебниках реализуется по следующей методической схеме:

1. Рассмотрение подводящих задач;

2. Обобщение полученных моделей;

3. Определение нового понятия, изучение его свойств.

Рассмотрим ряд прикладных задач из естественнонаучной области, которые могут быть использованы на уроках алгебры в 11 классе при введении понятия «Определенный интеграл».

При введении понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм, понятным для обучающихся будет пример задачи на вычисление прироста популяции животных.

1. Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. В «старых» установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молодая, ее взаимоотношения с другими местными популяциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например, сознательное вмешательство человека, то скорость роста популяции может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь. Скорость роста популяции определяется зависимостью от времени, т.е. Найти прирост численности популяции за промежуток времени от Считать скоростью роста популяции - прирост числа особей в единицу времени [6].

При решении задачи используется метод интегральных сумм, который является, практически, определением интеграла.

Введем обозначения:

- скорость роста популяции.

- прирост численности за промежуток время [ ].

Решение задачи проводим в несколько этапов:

a) Разобьем промежуток времени [ ] на n равных частей.

b) Рассмотрим одну из таких частей - промежуток времени

[ ]. Можно считать, что в этот промежуток времени скорость роста популяции была постоянной (т.к. промежуток очень мал), такой, как в момент времени Таким образом, получаем, что .

c) Прирост численности популяции за время [ ] равен произведению на т.е.

d) Тогда величина прироста популяции равна:

, )

) + ) .

Такую сумму называют интегральной суммой функции на отрезке

[ ]. При этом функция должна быть непрерывной на данном отрезке и может принимать любые значения.

Если и , то значение суммы Его называют определенным интегралом от функции по отрезку [и обозначают так:

Таким образом, можно определить прирост численности популяции за определенный промежуток времени как интеграл от функции скорости роста популяции. В данной задаче определенный интеграл приобретает новый смысл - биологический.

Приведем еще одну прикладную задачу, где интеграл определяется как приращение первообразной. Данная задача также понятна и наглядна для школьников.

2. На дне бака с водой образовалась дыра, из которой вытекает вода. В момент времени t скорость потока воды можно вычислить по

?

Изучение нового материала можно начинать с постановки данных задач как проблемных, что позволит активизировать мыслительную деятельность обучающихся и будет способствовать лучшему усвоению новых знаний. Либо учитель проводит рассуждения вместе со школьниками в целях экономии времени, а оставшуюся часть времени отводит на решение практических задач.

формуле -	. Найти объ?м воды, вытекающий из бака за промежуток
времени [	] [9].
Объ?м воды, находящейся в баке, обозначим через	. Этот объ?м со
временем меняется, т.е.	- это функция времени :
За промежуток времени [	] из бака вытечет	- воды.
Также поток воды - это величина, которая определяет скорость
изменения количества воды в сосуде:			.
Следовательно, вычисление объ?ма воды, вытекающей из бака за
промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции
Разность	называют	интегралом от	функции	на
отрезке [	] и обозначают так:

После изучения нового материала необходимо провести первичное закрепление, например, решать задачи аналогичные данным, постепенно увеличивая трудность. Для этого можно использовать следующие задачи.

3. Задача на вычисление биомассы популяции. В течение жизни биомасса особи заметно меняется, следовательно, изменяется общая биомасса популяции. Пусть означает возраст в тех или иных единицах времени, а P( ) - средняя масса особи возраста Определить формулу для вычисления биомассы всех особей в возрасте от 0 до [28].

- возраст особей популяции.

N( ) - число особей популяции, возраст которых равен .

P( ) - средняя масса особи возраста .

M( ) - биомасса всех особей в возрасте от 0 до .

a) Разобьем промежуток времени [ ] на равных частей.

b) Рассмотрим один из таких промежутков [ ]. Будем считать, что в этом промежутке общая биомасса популяции не менялась - была такой как в момент.

c) Значение общей биомассы на промежутке [ ] равно.

d) Найдем приближенное значение общей биомассы популяции в возрасте [ ].

e) Точное значение вычислим как интеграл от выражения представленного в виде интегральных сумм

?

В данной задаче интеграл приобретает еще одно применение - расчет массы всех особей определенного возраста.

Для самостоятельного решения обучающимся можно предложить следующие задачи.

4. На основе полученного результата задачи 1, определите формулу для вычисления численности культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин. Если известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания скорость роста популяции экспоненциальна, т.е.. Такие условия создают, пересаживая время от времени, развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой [6].

Примерное решение задачи:

- скорость роста популяции.

- число особей на момент времени .

a) N(t) =

b) Подставив значение , получим

?

c) Так как, , то можно записать:

? ?

d)

Как стало известно из эксперимента - скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Определите, во сколько раз увеличится количество бактерий (по сравнению с начальным) за промежуток времени ] [9]?

Пусть - количество бактерий в момент времени .Тогда, скорость размножения бактерий (изменение количества бактерий со временем) можно описать уравнением:

Найдем решение этого уравнения

? ?

Эти задачи учитель может использовать при введении понятия интеграла наряду с задачами, раскрывающими геометрический и физический смысл определенного интеграла. Данные прикладные задачи помогут раскрыть смысл этого понятия с неожиданной стороны, а также позволят интегрировать на одном занятии знания по математике, биологии, географии, химии.

Таким образом, учитель может использовать данные задачи на уроках:

- при введении понятия «Определенного интеграла» наряду с задачами, представленными в учебниках «Алгебра и начала анализа»;

- при отработке метода вычисления интеграла с помощью интегральных сумм;

- для самостоятельной или домашней работы.

- Решение задач прикладного характера способствует лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, развитию умения применять теорию на практике. Также обучающиеся учатся моделировать представленную ситуацию, переводить на математический язык содержание задачи.

2.3 Прикладные задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ

При организации контроля освоения учебного материала по теме «Определенный интеграл» учитель может предложить обучающимся задачи математического содержания т.к. на изучение данной темы отводится небольшое количество часов. Но учитель может использовать и нетрадиционные формы контроля: участие в деловых играх и семинарах, самостоятельная разработка прикладных задач с последующим их анализом. Вс? это способствует развитию у школьников навыка видеть проявление математических закономерностей в повседневной жизни, активно применять математические методы для решения задач в различных областях.

При изучении данной темы необходимо постоянно контролировать, уровень усвоения материала. В начале урока следует проводить фронтальный опрос, актуализацию знаний. В конце урока можно проводить самостоятельные работы.

При планировании формы контроля учителю следует исходить из возможностей данного класса, уровня обученности и степени понимания школьниками теории.

Рассмотрим задачи, которые учитель может предложить обучающимся для самостоятельного решения или включить их в контрольную работу.

1. Заяц пересекает открытое поле со скоростью (время измеряется в секундах, а скорость в метрах за секунду). Какова длина пройденного пути по полю, если заяц пересек его за 3 секунды со скоростью, считая от начала движения.

Необходимо определить путь, пройденный зайцем за промежуток времени [0;3].

Ответ: длина пройденного пути 54 метра.

Примечание: средняя скорость движения зайца составляет 18 м/с.

2. Ор?л, высматривая свою добычу, парит высоко над земл?й.

Определите, на какой высоте находится орел, если от земли он поднимается за 5 секунд со скоростью, определяемой по формуле . Высоту, можно рассматривать как путь, который преодолел орел за 5 секунд.

Ответ: ор?л находится на высоте 750 метров.

Примечание: скорость полета орла во время парения может достигать

240км/ч, высота при этом свыше 700 метров.
3.	Скорость роста	популяции бактерий в момент времени	(время
выражается в часах) задается формулой		Найти прирост
популяции за промежуток времени [2; 6].
Прирост популяции будем находить как интеграл от функции	на
отрезке [2; 6]. Для этого составим следующую формулу:
	?		?	?	?
	6	6
				(				)
	2	2

Ответ: за данный промежуток времени популяция увеличилась на 18930 особей.

4. Из одного килограмма древесины выходит примерно 300 грамм

бумаги. Сколько килограмм бумаги получится из бревна ели

длиной 12

метров и неоднородной плотностью

(плотность

выражается в

).

Для начала необходимо определить массу бревна, а затем рассчитать

выход бумаги.

12

?

0

Получаем, что масса бревна ели 216 кг. Теперь узнаем выход бумаги из этого бревна.

Ответ: из бревна ели длиной 12 метров получится 64,8 кг бумаги.

Кл?н считается умеренно растущим деревом. За год прирост дерева составляет 0,4 - 0,5 метров. Скорость роста зависит от природных составляла 0,5 метра. Следовательно, длина деревьев составляет 4,5 метров.

условий и погодных факторов и определяется формулой

(скорость

v

роста выражается в м/год). Какой высоты достигнут саженцы клена,

длиной

0,5 метра, через 8 лет?

9

?

v

v

1

Итак, за 8 лет кл?н вырос

на 4 метра. Первоначальная

длина

Ответ: высота деревьев равна 4,5 метров.

6. Рассмотрим в атмосфере вертикальный столб воздуха с постоянным сечением S . Плотность воздуха зависит от высоты

h над поверхностью земли. Записать формулу, для вычисления массы воздуха в столбе от высоты до [28].

Атмосферное давление меняется с высотой, следовательно, плотность воздуха является функцией высоты - . Для вычисления массы воздуха необходимо составить следующую формулу:

? ?

Используя приведенные задачи, учитель может организовать урок обобщения и систематизации знаний или контрольный урок в форме деловой игры. Приведем план такой игры.

Игра «Кастинг на работу».

Цель: отработка техники интегрирования при решении прикладных задач.

Аудитория: игра может проводиться для параллели 11 классов, либо в одном классе.

Престижная фирма объявила набор молодых сотрудников на вакантные должности. К сотрудникам предъявляют следующие требования:

- иметь прочные теоретические знания;

- уметь моделировать различные процессы при решении практических задач;

- работать в команде, проявляя коммуникативные качества, и стараться достичь высоких результатов.

В ходе конкурса будет определена команда, участники которой быстрее и качественнее других способны решать предлагаемые задачи. За каждое правильно выполненное задание команда получает баллы.

Школьники делятся на группы - команды будущих сотрудников по пять человек. Каждая команда выбирает своего представителя, предлагает название.

Игра проходит в несколько этапов.

1. Разминка.

На первом этапе необходимо разгадать кроссворд (Приложение 1).

Количество баллов определяется по числу правильных ответов.

2. На втором этапе проводится работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок с пятью заданиями (по одному для каждого участника). Первый ученик, выполнив любое задание, передает листок следующему. Работа считается оконченной, когда учитель получается листок с правильно выполненными заданиями. Также задания представлены на слайде. Вы можете решить все задания, чтобы проверить правильность решения членов своей команды. Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания правильно.

Проверка работ осуществляется с помощью слайда (Приложение 2).

Подсчитываются заработанные баллы.

? ?

?	?	?

3.Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому школьники работают в тетрадях.

Каждой команде необходимо решить задачи № 1 - № 3 приведенные в начале параграфа. Задачи представлены на слайдах (Приложение 2). Решение записывается на доске, команды проверяют свою работу.

4. На четвертом этапе каждый участник команды выбирает задачу, которую он должен решить самостоятельно. Задачи представлены на слайде (Приложение 2). За каждое правильное решение команда получает определенное количество баллов.

В итоге игры определяется команда, набравшая наибольшее количество баллов. Ее участники будут приняты на работу в фирму. По окончанию игры учитель оценивает работу каждого ученика, ему помогают представители команд.

Взаимосвязи целей деловой игры с умением строить математическую модель и ожидаемым результатом можно представить в таблице.

Таблица 2. Взаимосвязь целей деловой игры с умением строить математическую модель и ожидаемым результатом

№ п\п	Цель	Математическая		Предполагаемый
			модель		результат
1.	Закрепить	понятие	Определение		Осознание	важности
	«Определенный	функции.	Запись	теории,		понимание
	интеграл»		решения	задачи	с	школьниками связи
			помощью	формулы	теории	и	практики,
			интеграла			мотивация	к
						изучению	данной
						темы
2.	Отработать	способы	Решение	задачи	с	Отработка	умений и
	вычисления		использованием		навыков
	определенного	формулы	Ньютона-	произведения
	интеграла		Лейбница			расчетов		внутри
						модели
3.	Научиться оценивать	Интерпретация		Оценка	полученного
	полученные		полученных данных,	ответа,		принятие
	результаты		перевод	ответа	на	решения		о
			язык задачи		достоверности
						результата

Систематическое решение прикладных задач и самостоятельное их составление обучающимися позволяет в полной мере развивать такие универсальные учебные действия (сформулированные во ФГОС):

- умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности е? решения;

- умение определять понятия, устанавливать аналогии, устанавливать причинно - следственные связи, строить логические рассуждения и делать выводы;

- умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

В современном мире нужны активные формы и методы обучения, при которых перед обучающимися ставятся жизненные задачи, требующие одновременного применения теоретических знаний и быстрого выполнения практических действий. Такой подход ведет к формированию неподдельного интереса к математике и является залогом ее успешного изучения, также способствует формированию общих и профессиональных компетенций будущих специалистов.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной выпускной квалификационной работе был рассмотрен вопрос о методических подходах к изучению определенного интеграла в классах естественнонаучного профиля.

В ходе исследования получены следующие результаты:

1. Приведены основные теоретические сведения об определенном интеграле: определение, свойства, схемы применения при решении задач.

2. Проанализированы школьные учебники математического анализа, с точки зрения введения понятия интеграл и наличия прикладных задач выбранного профиля. По результатам анализа можно сделать следующие выводы:

- при введении понятия определенного интеграла авторы учебников используют два подхода: интеграл как предел интегральных сумм (у большинства авторов) и интеграл как приращение первообразной;

- в школьных учебниках представлены задачи, которые раскрывают физический и геометрический смысл интеграла. Прикладные задачи из естественнонаучный области рассматриваются редко.

3. Рассмотрены особенности изучения математики в рамках естественнонаучного профиля и установлено, что