Предлагаем возможный вариант протокола выступлений таблица 1.:

Таблица 1. Критерии оценки представления темы по курсу «Алгебра и начла анализа» в 10 классе

№	Критерии	Оценка
1		Информативность презентации	10
	1.а	Выявление взаимосвязей между рассматриваемыми понятиями, фактами, выводами
	1.б	Структурированность и логичность текста и выступления, презентации
	1.в	Корректность и полнота выводов (уровень общения)
	1.г	Существенность выделенных признаков подобия и различия
2		Свободное владение темой, умение рассуждать при ответах на вопросы	7
3		Активность команды	5
4		Дополнительный материал, включая выводы, полученные при ответах на вопросы	5
5		Умение задавать вопросы.	3
6		Взаимоотношения между членами команды.	5
		ИТОГО:	35

Познавательные УУД

На уроках алгебры и начал анализа познавательные и регулятивные учебные действия неотделимы друг от друга. Поэтому в качестве примера можно привести исследовательскую работу в качестве примера познавательных действий. При проведении такой работы важно: планирование работы учащегося и его совместной работы с учителем. Это нужно оформить в виде календарного графика, в который можно вносить коррективы.

План подготовительного этапа:

1. Подбор информационных источников

2. Работа с источниками.

3. Составление тематического плана выступления.

4. Отбор материала.

5. Подготовка презентации.

6. Репетиция выступления.

Приведём примеры упражнений, способствующих развитию УУД на уроках алгебры и начал анализа в 10 классе:

Упражнение 1.Логическое упражнение состоит из двух частей: 1) решить анаграммы (прямая, парабола, гипербола, степень);

2) исключить лишнее слово, т. е. определить логическую закономерность, лежащую в основе подбора этих терминов, и, исходя из нее, исключить логически несовместимое слово. В нашем случае лишним словом будет «степень», так как «степень» - показатель величин, а «прямая», «парабола» и «гипербола» -- графики функций. Таким образом, ученики не только усваивают математическую терминологию, но и развивают логическое мышление.

Решить анаграммы и исключить лишнее слово

пентесь; барлаопа; япармя; ериполгаб.

Упражнение 2. Здесь лишних слов нет, так как все присутствующие термины являются тригонометрическими функциями. Если же рассмотреть это упражнение с точки зрения периодичности, то, естественно, будут лишние слова. Таким образом, можно рассмотреть различные варианты ответов.

Решить анаграммы и исключить лишнее слово синус; тангенс; котангенс; секанс; косинус.

Упражнение 3. Это комбинированный логический тест. В него включены задания, содержащие как вербальную версию, так и символико-графическую. Такие упражнения требуют не только наблюдательности, но и умения устанавливать необычные связи между объектами.

Например:

Проанализировав первую часть, придем к выводу, что, взяв буквы с третьей по шестую, мы получим слово «тема». Аналогично, взяв буквы с пятой по восьмую, получим слово «метр».

Упражнение 4.

Вставьте пропущенное слово логарифм 5 ? x ? 7 риф степень 4 ? x ? 7 ?

При изучении производной с целью формирования умений и навыков нахождения производной можно предложить учащимся следующее задание:

Упражнение 5. Вставьте пропущенные выражения

5x3 - 6х 15x2 - 6 30 x

2 sin x 2 cos x -2 sin x

x sinx ? ?

Упражнение 6. С целью повторения изученного материала полезны такие упражнения:

Вставьте пропущенное число



Log63 log612 2

Sin12cos18 cos12cos72 Ѕ

?

Упражнение 7.

Составьте соответствующее выражение

log(x-1)(9-x) ?

Упражнение 8. При изучении свойств показательной функции можно предложить логические тесты следующего типа:

Вставьте пропущенное число 28 (220) 46 34 (?) 92

Упражнение 9.

Вставьте пропущенное число 254 (54) 6253 168 (?) 412

Упражнение10. При изучении взаимнообратных функций предлагается решить следующие упражнения:

Впишите пропущенную функцию

y= log5x y=5x

y= x2 ?



Впишите пропущенную функцию

y= 10x y= lgx

y= sin x ?

Упражнение 11.Развивает умение проводить сравнение.

Вставьте пропущенное слово возрастание - максимум убывание - ?

Упражнение12. Такие упражнения могут быть с успехом использованы при повторении, систематизации и обобщении знаний.

Вставьте соответствующую функцию

cos x - sin x

ax - ?

Упражнение13. Это упражнение являетсясимволико-графическим логическим тестом.

Прежде чем предлагать его учащимся для самостоятельного решения, необходимо коллективно рассмотреть решение одного логического теста путем проведения эвристической беседы. Как пример приведем предполагаемую эвристическую беседу при решении следующего упражнения:

Вставьте пропущенное число

2(x-2)+4=6 4х- 5 = х+ 10

7x=3(x+4)-4 (?) х + 2 = 4(1 - 2х) + 25

1. Из скольких частей состоит упражнение? (Если рассмотреть его по вертикали, то мы имеем три части, а если по горизонтали -- две части. Исходя из того, что знак вопроса связывает части упражнения по горизонтали, будем рассматривать соответствующую горизонтальную версию.)[27]

2. Что представляет собой первая часть? (Два уравнения и число 3/5.)

3. Как взаимосвязаны эти уравнения с числом 3/5? (Возможны два варианта: а) связь между коэффициентами соответствующих уравнений; б) связь между корнями этих уравнений.)

4. Что представляет собой число 3/5? (Отношение корня уравнения, находящегося слева, и корня уравнения справа.)

5. Итак, что необходимо сделать для того, чтобы вставить пропущенное число? (Необходимо решить уравнения и составить дробь, числитель которой -- корень уравнения слева, а знаменатель - корень уравнения справа.)

6. Решите и вставьте пропущенное число. (Ответ: 2/3.)

Эту беседу можно дополнить и вопросами:

1. Что называется корнем уравнения?

2. Что значит решить уравнение?

3. Что называется обыкновенной дробью?

4. Что показывает числитель и знаменатель дроби?

Аналогичные эвристические беседы необходимо проводить и при решении указанных выше заданий вербального типа. Учителю необходимо показать учащимся образец логических рассуждений при решении анаграмм, при составлении новых слов и т. д.

Задания символико-графического типа в основном предназначаются для формирования умений и навыков применения теоретического материала при решении задач, для повторения и закрепления материала, для его систематизации и обобщения. Они представляют собой эффективный способ взаимосвязи алгебраического материала с изображением математических фигур, что также способствует формированию у учащихся правильных геометрических представлений [24].

Конечно, для старших классов эти упражнения имеют свою содержательную основу. Дидактические цели использования логических тестов также разнообразны: формирование умений и навыков, закрепление нового материала, обобщение и систематизация знаний и др.

Упражнение14.При изучении логарифмической функции можно включить такие задания, в которых используются различные редко используемые свойства логарифмических, показательной и тригонометрической функции, так называемые «подводные камни».

Например, в задании «Решите уравнение »

Для получения верного ответа x = 8;

достаточно решить следующую совокупно двух систем:

Казалось бы, если logba = logcа, то необходимо b = с.

Для того чтобы «убедиться» в этом, достаточно перейти к логарифмам по основанию a:

получив в результате равенство logab = logac. Из него действительно следует, что b = с. Однако равенства logb а = logcа и logab = loga с не эквивалентны. Первое из них имеет место при а =1 второе при а = 1 теряет смысл. Эта задача проверяет также понимание формулы

, поскольку в процессе решения

приходится искать все решения уравнения sinх =1, лежащие в интервале (-1; 9).

Упражнение15. Составьте не менее трёх примеров на преобразование графика логарифмической функции.

Упражнение16. Придумайте не менее трёх примеров на преобразование графика показательной функции.

Упражнение17. Подготовить в творческом стиле (инсценировка, пьеса, сказка и т.д.) доклад на тему: «об истории логарифмов», «о числе е», «о числе р» или на другую, предложенную вами.

Комплекс педагогических условий формирования универсальных учебных действий старших школьников является именно комплексом, построенным по принципу взаимодополнительности, где каждый элемент в отдельности направлен на решение частных задач, и лишь их интеграция дает нам возможность системного формирования универсальных учебных действий старших школьников [24].

1.4 Специфика обучения алгебре и началам анализа в 10 классе в различных УМК

УМК Колмогоров А.Н., «Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы»

Цели:

- формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

- овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования и освоения выбранной специальности на современном уровне;

- развитие логического мышления, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции;

- воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Задачи:

- овладение разнообразными способами деятельности; приобретение и совершенствование опыта:

- решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

- планирования и осуществления алгоритмической деятельности;

- построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач.

- дать представление о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

- формировать ИКТ компетентность через уроки с элементами ИКТ;

- формировать навык работы с тестовыми заданиями;

Обоснование выбора УМК для реализации рабочей учебной программы[1]

Для реализации программного содержания используется авторский учебно-методический комплект, разработанный на основе данной программы. Принципиальной особенностью данного УМК является его направленность на углубление общеобразовательной подготовки, развитие основных познавательных процессов и повышение уровня обшей культуры обучающихся. В соответствии с данной особенностью все программные вопросы рассматриваются в учебниках не в узкопрактическом или специальном технологическом плане, а на более широкой культурологической платформе, на основе творческой самостоятельной деятельности учащихся.

К особенностям авторского УМК следует также отнести:

* практико-ориентированную направленность содержания обучения;

* формирование социально ценных практических умений, опыта преобразовательной деятельности и развитие творчества; По содержанию учебный материал систематизирован с учётом последовательности в овладении и использовании как практических умении и технологии, так и теоретических знаний. Структура учебника и распределение материала по разделам и темам отражают последовательность его изучения в течение учебного года, что создаёт наиболее благоприятные условия для учителя и учащихся в работе с учебником.

Важную роль играет иллюстративный учебный материал, который является равноправным с текстом носителем дидактической информации. Методический аппарат каждого учебника программирует процесс обучения, задаёт направление работы на уроке, что в значительной мере облегчает учителю подготовку к уроку и его проведение.

В учебниках и рабочих тетрадях реализован вариативный и разноуровневый подход к обучению. Содержание авторской программы и логика изложения программного материала в УМК полностью соответствуют требованиям федерального компонента государственного стандарта начального образования.

Анализ УМК Мордкович А.Г., Смирнова И.М. «Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс» (базовый уровень)

Преподавание математики по УМК д.п.н. А.Г.Мордковича обусловлено следующими факторами: УМК А.Г. Мордковича отвечает современным требованиям преподавания математики. Главная задача УМК заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством продвижения в предмете, т.е. приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. Привлекательность УМК А.Г.Мордковича для учителей состоит в том, что впервые автор формулирует концепцию учебного курса, утверждая, что математика - гуманитарный (общекультурный) предмет, который не только обеспечивает необходимую математическую подготовку учащихся, но и позволяет субъекту правильно ориентироваться в окружающей действительности, оказывает существенное влияние на развитие речи обучаемого. Математика описывает реальные процессы на математическом языке в виде математических моделей. Поэтому математический язык и математическая модель - ключевые слова в постепенном развертывании курса, его идейный стержень. При наличии идейного стержня математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в тоже время развивающая дисциплина общекультурного характера. Название учебника: Математика (базовый уровень)

В пояснительной записке к новым стандартам по математике сказано, что в современной российской школе математика изучается на трех уровнях, которые условно обозначаются как углубленный, общий (курс Б) и гуманитарный (курс А). Эта традиция сохраняется в проекте нового стандарта по математике. Наряду с профильным и базовым уровнем, фиксируются и требования к уровню подготовки выпускников для «общекультурного» уровня. Для полноценной реализации стандарта на всех трех уровнях издательством «Мнемозина» подготовлены учебно-методические комплекты по математике для классов с гуманитарным профилированием. Учебники имеют гриф «Допущено Министерством образования РФ» и входят в Федеральный перечень. Книги написаны в соответствии с программой курса математики для средней школы общеобразовательного уровня (курс А), на изучение которого отводится три урока в неделю, и преподавание ведется в рамках единого курса. Концептуальную основу учебников составили широко апробированные в российских школах учебные пособия: учебник и задачник для общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа. 10--11 кл.» (А. Г. Мордкович и др.; изд-во «Мнемозина»); учебник для гуманитарных классов «Геометрия. 10--11 кл.» (И. М. Смирнова; изд-во «Мнемозина»). В каждом параграфе содержится изложение теоретического материала, адресованного непосредственно учащимся, достаточное число примеров с решениями и разноуровневые упражнения для самостоятельного решения. Некоторые параграфы отмечены звездочкой (*). Это необязательный материал, который может быть использован для подготовки учащихся к поступлению в вузы. В конце учебников представлены два варианта планирования: в первом предлагается последовательное изучение алгебраических и геометрических тем, во втором -- параллельное. В состав УМК для 10-го и 11-го классов наряду с учебниками войдут дидактические материалы и методическое пособие для учителей[1].

Качественное математическое образование является одним из ключевых ресурсов, обеспечивающих инновационное развитие России.

Выводы по первой главе

Качественное математическое образование является одним из ключевых ресурсов, обеспечивающих инновационное развитие России, сильным конкурентном преимуществом нашей страны. Новые задачи, стоящие перед страной, требуют и обновление содержания математического образования, обеспечения качественного образования для всех и предоставление возможности развития каждого ученика. Новая парадигма подчёркивает системно-деятельностный подход в обучении. Наполнились новым содержанием основные дидактические компоненты: “чему учить” (в плане содержания образования), “как учить” (современные технологии и методики обучения), “для чего учить” (новые цели образования). Государственные стандарты обучения, Единый государственный экзамен, профилизация старшей ступени школьного образования создают условия для усиления ответственности учителя за выбор учебно-методических комплектов, выбор тех или иных методов обучения, современных образовательных технологий.



ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ СТАРШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

2.1 Формирование универсальных учебных действий старшего школьника на уроках алгебры и начал анализа из опыта работы учителя математики Красиковой Дарьи Васильевны

Одной из основных задач, которые стоят перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, способного самостоятельно принимать решения и точно, эффективно, разумно действовать в современном мире. Без изменения подходов в нынешних условиях развития образования невозможно достичь поставленных образовательных задач.

Одной из таких важнейших задач современной системы образования является формирование совокупности универсальных учебных действий, обеспечивающих компетенцию научить учиться, способность личности к саморазвитию и совершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Развитие универсальных учебных действий зависит от способа построения содержания занятий.

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер.

Регулятивные действия обеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности. К ним относит:

· Целеполагание - как постановку учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

· планирование -- определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;

· прогнозирование -- предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

· контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

· коррекция -- внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

· оценка -- выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

· саморегуляция - как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодолению препятствий.

Среди познавательных и общекультурных универсальных действий считает наиболее важным:

• самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, постановку и решение проблемы;

• поиск и выделение необходимой информации;

• применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

• структурирование знаний;

• выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

• самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера,

• рефлексию способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

В связи с этим Дарья Васильевна в своей работе использует эффективные способы, приемы, средства и формы организации деятельности учащихся и оценивания их образовательных достижений.

Для осуществления технологического подхода разработала развернутое тематическое планирование (технологические карты) по учебным темам или блокам. Структура карты такова: тема занятия, примерные сроки, перечень предметных результатов с графами «обучающийся научится» и обучающийся получит возможность научиться». Введён раздел «Оценочная деятельность учителя и учащихся» и «Формирование УУД», где указываются виды оценочной деятельности.

Например, такие как: умение использовать готовые критерии, разрабатывать и формулировать новые; работать с эталоном; корректировать свои знания и умения; умение выявлять свои достижения; умения установить границы знания и незнания учебного материала; определять образовательные маршруты; проводить рефлексию своей деятельности; самооценка и взаимооценка; оценка учителя и т.д. Так же прописан перечень универсальных учебных действий, формируемых в данном блоке.

Для формирования УУД в соответствии с ФГОС в свои уроки она включает разные виды деятельности. Для того, чтобы замотивировать учащихся, создать эмоциональный настрой, вызвать интерес к учебному материалу, подготовить обучающихся к предстоящей деятельности, применяет занимательные элементы, задания на смекалку, логику, развитие памяти, внимания.

1) В этом помогают современные средства: интерактивная доска, документ, камера.

Был представлен фрагмент устного счета, на котором проводится подготовительная работа к получению новых знаний. Результат этого этапа: дети воспроизвели опорные понятия, усвоенные ранее, включились в деятельность самоопределения, через предложенные вопросы, готовы к решению новой задачи. Формировались следующие УУД: осуществление необходимой информации, контроль, самоконтроль, оценка и самооценка результатов деятельности.

2) Особое внимание уделяет этапу целеполагание. Добивается понимания учащимися того, что им предстоит сделать на уроке. Дети сами определяют тему урока и цели, опираясь на содержание.

Результат: дети определили тему и цели урока, они понимают, чему будут учиться на уроке. Происходит формирование следующих УУД:

-поиск нужной содержательной информации, целеполагание, обзор информации и планирование коллективной работы.

3) Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала организует в виде групповой работы, работы в парах. Дети четко знают алгоритм работы в группе. В качестве помощника в работе предлагает маршрутные листы, где прописаны этапы работы по шагам.

На этом этапе формирует УУД: умение работать с текстом, находить нужную информацию, умение договариваться, приходить к общему мнению в совместной деятельности, умение работать в коллективе.

4) Для обобщения результатов деятельности включает этап рефлексии. Дети оценивают свою деятельность, активность на уроке по различным критериям либо в баллах, либо ставят себе оценку (самооценку). Использует разного вида листы самооценки, самоконтроля.

5) Для смены деятельности учащихся на уроке, учитывая возраст обучающихся, их быструю утомляемость, активно включает разного вида динамические паузы. Например, гимнастика для глаз, для рук - в воздухе нарисовали геометрические фигуры и т.д., или электронные паузы. После таких минуток дети получают небольшую разрядку и готовы дальше работать.

В качестве средств реализации технологичности разработаны и введены в практику Сборники с перечнем планируемых результатов обучения для учащихся, выписанных из тематического планирования. Перечни планируемых результатов обучения составлены на основе учебной программы по предметам федерального компонента и стандартов. Кроме планируемых результатов обучения в Сборнике указываю оценку степени усвоения темы в каждом блоке (по результатам контрольных работ, срезов). Дарья Васильевнаприменяет разные формы фиксации достижений. Например, фиксирую достижения учащихся по всем видам контроля в Диагностической тетради учителя (это тетрадь, где фиксируются результаты выполнения текущего и итогового контроля и результаты «досдачи» и «пересдачи» учащимися), на Листах индивидуальных достижений учащихся (это графики усвоения учащимися материала по предметам за темы, на которых можно увидеть уровень их обученности).

2.2 Методические рекомендации по формированию УУД у старших школьников на уроках математики разработанные на основе обобщения опыта

Анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил выделить требования, соблюдение которых обеспечит создание на уроке условий, способствующих формированию УУД старших школьников.

Перед обучающимися должны быть поставлены конкретные, достижимые, понятные, диагностируемые цели. По возможности, целеполагание осуществляется совместно с обучающимися исходя из сформулированной (желательно - обучающимися) проблемы. Обучающиеся должны знать, какие конкретно знания и умения (способы деятельности) они освоят в процессе деятельности на уроке; они должны знать план (способы) достижения поставленных задач.

Содержание урока должно быть направлено на качественную отработку планируемых результатов урока, определенных программой. Только эти знания могут быть подвергнуты контролю. Вся остальная информация может носить вспомогательный характер и не создавать перегрузок. Результат урока является объектом контроля, что требует обеспечения систематической диагностики всех (личностных, метапредметных, предметных) планируемых результатов как целевых установок урока.

Следует помнить, что максимально эффективно усваивается информация, которая:

• находится в зоне актуальности (т.е. согласуется с текущими, осознаваемыми потребностями и интересами человека);

• подается в контексте происходящего в окружающем ребенка мире, сочетается с текущей ситуацией, с известной информацией;

• затрагивает чувства конкретного человека (что требует формирования личностного отношения к информации);

• активно проводится через разные каналы восприятия (что определяет необходимость использования комплекса разнообразных приемов организации образовательной деятельности обучающихся);

• является базовой для принятия решения (т.е. требует разработки заданий по практическому использованию информации);

• транслируется другому человеку в процессе вербального общения.

Необходимо использование разнообразных эффективных приемов организации результативной образовательной деятельности обучающихся с учетом их возрастных и индивидуальных особенностей. Основная задача учителя - создать условия, инициирующие деятельность обучающихся посредством учебных заданий.

Выбранные педагогом методы обучения и приемы организации образовательной деятельности обучающихся должны удовлетворять следующим требованиям: научности, доступности (обучающимся), результативности, воспроизводимости (другими учителями), эффективности. Учитель выбирает методы в зависимости от целей и задач учебного занятия, его содержания, специфики работы с конкретными обучающимися. Главный критерий оптимальности выбора метода - его результативность (качественное достижение конечного запланированного результата образования).

Наиболее практически значимыми являются методы:

1)Объяснительно-иллюстративный (объяснительно-рецептивный) - используется для первичного ознакомления с учебным материалом и направлен на восприятие обучающимися готовой информации.

2)Репродуктивный - подразумевает воспроизведение «готовых», сообщенных обучающимся знаний и способов деятельности; организацию деятельности обучающихся по готовому алгоритму. Такой метод наиболее приемлем на этапах первичного освоения учебного материала.

Важно отметить, что использование данных методов не исключает деятельности обучающихся по выполнению учебной задачи (т.е. традиционное объяснение учителя предвосхищается постановкой учебной задачи, определяющей деятельность обучающихся во время объяснения: выделить ключевые слова, составить логическую схему, заполнить таблицу и т.п.). учебный моральный требование познавательный

3)При проблемном изложении учитель ставит перед обучающимися проблему; совместно с учениками выводит гипотезу, строит мысленный эксперимент, анализирует его различные варианты, при водит обучающихся к результату. Данный метод показывает обучающимся путь научного познания мира. Наиболее типична проблемная беседа. Этот метод применяется для изучения нового материала, углубления, закрепления и систематизации учебного материала.

4)Частично-поисковый (эвристический) метод предполагает видение обучающимися проблем через постановку вопросов, требующих от них самостоятельного поиска недостающей информации, доказательств, выявления причинно-следственных связей, формулировки выводов. Учитель в данном случае выполняет роль наставника.

5)Исследовательский метод подразумевает самостоятельную деятельность обучающихся (учитель - консультант) по решению конкретной проблемы. Группа обучающихся самостоятельно формулирует проблему (тему исследования), выдвигает гипотезу, разрабатывает алгоритм работы над проблемой, проводит необходимые исследования, собирает недостающую информацию, формулирует итоговые результаты. Для успешной реализации целей и задач каждого конкретного урока учитель должен отобрать те приемы организации образовательной деятельности обучающихся, которые обеспечат максимальную эффективность в достижении поставленных задач.

Для формирования универсальных учебных действий у старших школьников учителю необходимо соблюдать следующее:

• обращать внимание на развивающую ценность любого задания, используя специализированные развивающие задания, постановки вопросов, например, таксономию Блума;

• отмечать успехи ребенка в сравнении с его прошлыми результатами;

• показывать для чего нужно то или иное знание, как оно пригодится в жизни, ненавязчиво транслируя смысл учения детям;

• привлекать детей к открытию новых знаний при усвоении нового материала;

• уделять большое внимание самопроверке детей, обучая их как можно найти и исправить ошибку;

• ставить цели урока и работать с детьми в направлении целей - «чтобы чего- то добиться, цель должен знать каждый участник урока»;

• обращать внимание на развитие памяти и логических операций мышления, разных аспектов познавательной деятельности;

• обращать внимание на общие способы действий в той или иной ситуации;

• находить способ увлечь детей знаниями;

• давать шанс исправить ошибку, показывать, что ошибка -это нормально, главное - уметь учиться на ошибках;

• учить ребенка ставить цели и искать пути их достижения, а также решения возникающих проблем;

• учить разным способам выражения своих мыслей, искусству спора, отстаивания собственного мнения, уважения мнения других;

• использовать интерактивные возможности ИКТ.

Продемонстрируем соблюдение выделенных рекомендаций на примере уроков по теме «Тригонометрия».

Урок № 1

Тема: «Начала тригонометрии».

Цель урока: расширение знаний учащихся о понятиях синус, косинус, тангенс угла, теоретическое обоснование единства терминов тригонометрический круг, числовая окружность, единичная окружность.

Задачи урока:

Предметные:

Отработка навыков вычисления тригонометрических функций углов прямоугольных треугольников.

Отработка навыков использования тригонометрического круга.

Метапредметные:

Развивать умения:

* использовать различные способы поиска способов решения поставленных задач (в справочных источниках и открытом учебном информационном пространстве сети Интернет),

* сбора, обработки, анализа, информации в соответствии с коммуникативными и познавательными задачами и технологиями учебного предмета,

* формировать у учащихся информационные познавательные УУД.

Личностные:

Расширение знаний по предмету. Актуализация полученных знаний, практическое применение математических знаний. Научить различным способам решения поставленной задачи и извлечения информации для создания собственных устных или письменных заданий, ответов на вопросы, аргументации своей точки зрения

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Ход урока

Приложение к уроку:

1. Число, тема урока - «Начала тригонометрии».

Слово “тригонометрия” впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое rpiycovov - треугольник, fiETpeco - мера. Иными словами, тригонометрия наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время (мин)
1.Организационный этап	Помогает учащимся сформулировать тему и цель урока.	С помощью опорных слов формулируют тему и цель урока. Составляют план урока.	3
2.Формирование компетенций и усвоение новых знаний и умений	Подведение итога устной работы. Основные ошибки, допускаемые при решении прямоугольных треугольников.	Работа с историческим текстом. Проверка правильности полученных результатов, анализ допущенных ошибок в работе с задачами на прямоугольный треугольник	10
	Введение нового понятия. Постановка проблемы.	Слушают учителя, делают конспект. Анализ представленного пути вычисления значений тригонометрических функций угла. Записывают основной вывод: «Если взять точку в любом месте окружности, её координатами будут косинус и синус угла.»	10
3.Первичная проверка понимания	Организует самостоятельную работу учащихся по решению предложенных заданий. Практическая работа по теме урока. Используя тригонометрический круг, сравните синусы, косинусы углов - 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 225, 240 градусов.	Заполняют пропуски в таблице сравнений значений синусов указанных углов. Делают вывод о полученных соотношениях.	10
4.Закрепление знаний и способов действий	Организует проверку полученных результатов и помогает сделать вывод.	Делают вывод о рациональности нового метода сравнения значений тригонометрических функций.	3
5.Обобщение и систематизация знаний	Обращает внимание учащихся на мнемонические правила запоминания соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.	Проговаривают мнемоническое правило.	3
Информация (содержание) о домашнем задании, инструктаж по его выполнению, ответы на вопросы учащихся	Творческое домашнее задание	Записывают домашнее задание	3
7.Рефлексия	Просит учащихся сформулировать вывод урока (полученный алгоритм сравнения значений тригонометрических функций), указать особенности применения этого метода. Просит оценить свою работу на уроке и работу одноклассников. Комментирует выставление оценок.	Формулируют алгоритм сравнения значений тригонометрических функций. Осмысление результатов своей деятельности и работы группы. Самооценка.	3

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

2. Перенесёмся на 20 веков назад. Возьмём прямоугольный треугольник. Что с ним делать? Древние люди знали!

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Гипотенуза (ТП) равна 5. Вычисли отношения сторон этого треугольника:

а/в=3/4; а/с=3/5; в/с=4/5; с/в=5/4 и т.д.

Увеличим стороны треугольника в 2 раза - 6, 8, 10. Рассмотрим отношения сторон, сходственных первому треугольнику: а/в=6/8=3/4; а/с=6/10=3/5; с/и=10/8=5/4 и т.д.

I вывод древних людей: «При сохранении величин углов в прямоугольном треугольнике отношения соответствующих сторон не меняется».

Это утверждение очень важно, настолько важно, что эти отношения заслужили свои специальные названия, свои имена: а/с=sinx; b/c=cosx; a/b=tgx; b/a=ctgx. Эти имена назвали тригонометрическими функциями угла х. Так как отношения сторон - числа, то …

II вывод древних людей: «Тригонометрические функции угла - это числа. Для каждого угла свои.»

3. А почему мы говорим синус угла, косинус угла? В формулах мы видим отношения сторон. Причем здесь угол?

Построим произвольный угол в. Раз есть угол, значит должны быть синус, косинус, тангенс этого угла, Но! У нас нет прямоугольного треугольника!!! Как определить тригонометрические функции угла без прямоугольного треугольника? Задачка… Придётся опять лезть в сокровищницу мировых знаний. К средневековым людям. Те всё умели...

Первым делом возьмём координатную плоскость. Это самые обычные координатные оси, ОХ - по горизонтали, ОY - по вертикали. И… прибьём одну сторону угла к положительной полуоси ОХ. Вершина угла, естественно, в точке О. Крепко прибьём, чтобы не оторвать! Вторую сторону оставим подвижной, чтобы угол можно было менять. Раздвижной у нас угол будет. Конец не прибитой стороны угла обозначим точкой А. Получим вот такую картинку:

Отметим координаты точки А на осях. На ОХ это будет точка В, на ОY - точка С. Понятно, что В и С - это какие-то числа. Координаты точки А.

Так вот, число В будет косинусом угла в, а число С - его синусом!

Посмотрите на треугольник ОАВ. Прямоугольный, кстати… По древнему определению косинус угла в равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. ОС/ОА. Ладно, не возражаем. Причём косинус и синус не зависят от длин сторон. А это вообще отлично! Это значит, что длины сторон можно брать какие угодно. Имеем полное право взять длину ОА за единицу! Неважно чего. Хоть метр, хоть километр, всё равно синус/косинус не меняются. А в этом случае cosв=OC/OA=OC/1=OС - координата точки А по оси Ох (абсцисса), аналогично sinв=AC/OA=AC/1=AC - координата точки А по оси ОУ (ордината). tgв=АС/ОС - отношение ординаты точки к ее абсциссе.

4. А сейчас попробуем найти ответ на вопрос - каким образом все, о чем мы говорили, помогало древним? Зачем им это все было надо?

Возьмем подвижную сторону ОА и повернем её вокруг точки О на полный оборот. Как вы думаете, какую фигуру нарисует при этом точка А? Совершенно верно! Окружность! Вот она. Какую окружность рассматривали/изучали древние с помощью поворотов на заданные углы? Конечно же - небесный свод! При переносе небесного свода на наш чертеж, получим окружность. Так как ее радиус мы взяли равным условной единице - окружность назвали единичной. Так как на этой окружности отмечаем тригонометрические функции - окружность тригонометрическая. И так как синусы, косинусы и прочее - числа, окружность стала числовой. Три термина в одном флаконе.

В данной теме эти понятия: тригонометрический круг, единичная окружность и числовая окружность - одно и то же. В более широком смысле, единичная окружность - это любая окружность с радиусом, равным единице. Тригонометрический круг - практический термин, как раз для работы с единичной окружностью в тригонометрии.

5. Пусть нам дана единичная окружность. Т.е. просто окружность, нарисованная на координатной плоскости, с радиусом, равным единице. Возьмём произвольно точку А на окружности. Отметим её координаты точками В и С на осях. Как нам помнится, её координаты - это cosв (по иксу) и sinв (по игреку). И синус с косинусом отметим. Получим вот такую картинку:

Всё понятно? Внимание, вопрос! Где в!? Где угол в, без которого синуса и косинуса не бывает!? Соединим точку А с центром окружности точкой О - вот и нашли угол в!

Уловили суть тригонометрического круга? Если взять точку в любом месте окружности, её координатами будут косинус и синус угла.

6. Подведём итоги урока.

Тема нашего урока «Начала тригонометрии». Мы договорились о единообразии обозначений и некоторых действий, ввели основные, базовые определения тригонометрии. В этой теме мы плавно перешли от тригонометрических функций угла в прямоугольном треугольнике к тригонометрическим функциям любого угла. Для этого нам понадобилось освоить понятия "тригонометрический круг, единичная окружность, числовая окружность".

I. Практическая работа по теме урока.

Рисовать вам этот круг в тригонометрии постоянно придётся. Это не обязаловка, это и есть та легальная шпаргалка, которой пользуются умные люди. Сомневаетесь? Тогда назовите мне по памяти знаки вот таких выражений, к примеру: sin130 градусов, cos150 градусов, sin250 градусов? Я уж не спрашиваю про cos10500 или sin1450...

И нигде-то вы подсказку не найдёте. Только на числовой окружности. Рисуем примерный угол в правильной четверти и сразу видим, куда попадают его синус и косинус. На положительные полуоси, или отрицательные. Кстати, определение знаков тригонометрических функций постоянно требуется в самых различных заданиях...

Надо вам, например, узнать, что больше, sin130 градусов, или sin155 градусов? Попробуй-ка, сообрази просто так…

А мы умные, мы нарисуем тригонометрический круг. И нарисуем на нём угол примерно 130 градусов. Исходя только из того, что он больше 90 и меньше 180 градусов. Ориентируемся на угол, а не на окружность! Уж где пересечёт подвижная сторона угла окружность, там и пересечёт. Отмечаем игрековую координату точки пересечения. Это будет sin130 градусов. А затем, здесь же, нарисуем угол 155 градусов. Примерно нарисуем, зная, что он больше 130 градусов. И меньше 180. Отметим и его синус. Тут уж совсем трудно ошибиться! Конечно sin130 градусов больше, чем sin155 градусов!

Используя тригонометрический круг, сравните синусы, косинусы углов (домашнее задание) - 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 225, 240 градусов.

Сделайте выводы о соотношениях для синусов и косинусов углов!

II. Оценка и самооценка каждого учащегося своей работы на уроке.

III. Домашнее задание.

В чём измеряются углы? Ответ очевиден - в градусах. Ответьте мне тогда, что такое градус?

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было... Веков 40 назад... И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус - это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее... Попробуйте ответить на этот вопрос.

Раздаточный материал

Слово “тригонометрия” впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое rpiycovov - треугольник, fiETpeco - мера. Иными словами, тригонометрия наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

В чём измеряются углы? Ответ очевиден - в градусах. Ответьте мне тогда, что такое градус?

№1. Дан прямоугольный треугольник с катетами а=12, в=5. Найти:

1. Значения cosx, sinx, tgx.

2. Чему могут равняться стороны прямоугольного треугольника, если cosx, sinx, tgx принимают значения, равные значениям пункта 1?

Урок №2

Тема урока: «Арккосинус, решение уравнения cost = a».

Цель урока: создать условия для формирования представления об арккосинусе и овладение способом решения простейшего уравнения cost = a.

Задачи урока:

Предметные:

организовать работу по усвоению новых понятий (научить решать простейшие тригонометрические уравнения вида cost = a, используя, числовую окружность и по формулам, вычислять значения обратных тригонометрических функций; осуществлять отбор корней в простейших уравнениях вида cost = a),

Метапредметные:

упражнять в самостоятельном анализе, сравнении, умозаключениях,

Личностные:

воспитывать трудолюбие, ответственность и самостоятельность в принятии решений,

Тип урока: поисковая беседа.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время (мин)
1.Организационный этап	Сообщение темы урока: «Арккосинус и решение уравнения cost = a». Перед изучением новой темы необходимо повторить материал, изученный ранее.	С помощью опорных слов формулируют цель урока. Составляют план урока.	2
2.Актуализация знаний	Проверка домашней практической работы	Совместная работа с учителем, исправление ошибок в домашней работе Использование числовой окружности при нахождении значений тригонометрических функций числового аргумента и обратно нахождение числового аргумента для заданных значений тригонометрических функций.	5
3.Создание проблемной ситуации	1) Что это за число t, при котором cost = 2/5, cost = -2/5, cost = ѕ , cost = - ѕ ? 2) Как же решается уравнение вида cos t = а?	Ученик сам формулирует проблему, или вопросы, на которые должен найти ответ. Учитель приходит на помощь ученику, если возникают трудности.	5
4.Выдвижение гипотезы	Разрешимо ли это уравнение?	«На линии косинусов есть значение 2/5, значит и решение уравнения существует, как записать его?» Выдвижение гипотезы. Умение обобщать, анализировать, высказывать своё мнение. Формулировка определения.	5
5.Поиск решения проблемы	Учитель приходит на помощь ученику, если возникают трудности или специально создаёт их.	Решение уравнений: cost = 2/5, (t =+-arccos 2/5 + 2Пк, где к-целое) cost = - 2/5, ( t =+-arccos( -2/5) + 2Пк, где к-целое) cos t = 3, ( Решений нет) cos t = ?5, ( Решений нет) cos t = 1, ( t = 2Пк, где к-целое) cos t = -1, ( t = П + 2Пк, где к-целое) cos t =0, ( t = П/2 + 2Пк, где к-целое) cos t = a, ( t =+-arccosa+ 2Пк, где к-целое)	15
6. Проверка найденного решения	Учитель указывает на ошибки, подсказывает путь решения	Решают уравнения: cost = - ѕ, cost = ѕ. Находят значения выражений: arccos 0,5, arccos 5/2, arccos0 cos t = ѕ, arccos(-1)	7
7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению	глава3,§15, №15.1-№15.7(в,г);	Записывают домашнее задание, слушают инструктаж	3
7.Рефлексия	Просит учащихся сформулировать вывод урока. Просит оценить свою работу на уроке и работу одноклассников. Комментирует выставление оценок.	Формулируют алгоритм решения уравнения вида cost = a. Осмысление результатов своей деятельности. Самооценка.	3

Приложение к уроку:

1. Определите координаты точек, значения cost и sint :

п/3, п/2, п, п/4, -п/3, -п/2, -п, -п/4

2. Используя числовую окружность,найти значение t:

cos t = 0, cos t = Ѕ , cos t = 3, t=

cos t = - ѕ, t=

cos t = -1, cos t = v3/2, cos t = ѕ, t=



cos t = -v3/2, cos t = ?Ѕ, cos t = 2/5, t=

cos t = - v2/2, cos t = 1, cos t = ?5, t=

cos t = v2/2, cos t = - 2/5 t=

3. Арккосинус двух пятых (arcus в переводе с латинского значит дуга-арка) arccos2/5

(arc)-математический знак,

cost - исходная функция,

2/5 напоминание о правой части уравнения

cost = 2/5.

Определение: если¦а¦? 1, то arccosa = t- { cost = a, 0 ? t ? П.

arccosa - это такое число из отрезка [0;П], косинус которого равен а.

Урок №3

Тема: «Тригонометрические уравнения».

Цель урока: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднений).

Задачи урока:

Предметные:

закреплять навыки решения тригонометрических уравнений;

Метапредметные:

развивать речь учащихся, их память и способность логически мыслить, анализировать полученные знания;

развивать внимание и целеустремленность; укреплять интерес к математике;

Личностные: формировать умение работать в коллективе, осуществлять самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей;

Тип урока: урок рефлексии.

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время (мин)
1. Этап мотивации к коррекционной деятельности	Организует фронтальную беседу о теме, целях и плане урока.	Записывают тему урока в тетрадь. Объясняют важность научиться решать тригонометрические уравнения для дальнейшего успешного обучения.	3
2. Этап актуализации и пробного учебного действия	Организует самостоятельную работу с помощью ИКТ; организует самопроверку учащимися своих работ по ответам с фиксацией полученных результатов (без исправления ошибок).	Решают самостоятельную работу №1. После выполнения всех заданий показывается ответ; учащиеся сверяют результаты своей работы.	7
3. Этап локализации индивидуальных затруднений, построения проекта коррекции выявленных затруднений, обобщения затруднений во внешней речи	Организует фронтальный опрос учеников для выявления затруднений и объяснения способов решения заданий, которые вызвали трудности, самопроверку учащихся по эталону. Учащиеся, которые выполнили работу без ошибок, получают карточки с дифференцированными заданиями высокого и повышенного уровней.	Анализируют свои решения и определяют место ошибок; выявляют и фиксируют способы действий (алгоритмы, формулы, правила), в которых допущены ошибки. Ученики задают вопросы по решению заданий из работы №1; другие учащиеся объясняют способы решения этих заданий. Исправляют свои ошибки с помощью эталона. Остальные ученики решают дифференцированные задания по карточкам.	10
4. Этап самостоятельной работы с самопроверкой	Организация работы групп (по три человека) по решению заданий повышенного уровня сложности. Собирает самостоятельные работы творческого уровня. Организует самостоятельную работу с помощью ИКТ; организует самопроверку учащимися своих работ по эталону.	Учащиеся, набравшие 1, 2, 3 балла по самостоятельной работе №1, решают самостоятельную работу №2. После каждого задания показывается ответ; учащиеся сверяют результаты своей работы. Остальные ученики работают в творческих группах.	10
5. Этап включения в систему знаний	Проверяет результаты работы учеников в группах. Вызывает по каждому заданию одного ученика для отчета работы группы.	Три ученика объясняют решение заданий, которые выполняла их группа, остальные могут задавать вопросы.	10
6. Этап рефлексии деятельности на уроке	Предлагает учащимся проанализировать результаты работы на уроке; заполнить таблицу рефлексии; выбрать домашнее задание в соответствии с результатами деятельности на уроке (домашнее задание дифференцированное) Выставление отметок.	Анализируют свои успехи и деятельность на уроке. Заполняют таблицу рефлексии. Выбирают и записывают домашнее задание; по желанию берут карточку с работой домой.	5

Приложение к уроку:

Самостоятельная работа № 1 "Тригонометрические уравнения".

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение .

7. Решите уравнение .

8. Решить уравнение - =0.

9. Решить уравнение .

10. Решить уравнение .

Самостоятельная работа № 2 " Тригонометрические уравнения ".

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение .

7. Решите уравнение

8. Решить уравнение - =0.

9. Решить уравнение .

10. Решить уравнение .

Ответы

Работа №1	Работа №2
№ п/п	верные ответы	верные ответы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.	; ,
8.
9.	,;	,;

Урок №4

Тема: «Периодичность тригонометрических функций y = sinx, y = cosx».

Цель урока: продолжение формирования представления о тригонометрических функций и способах решения упражнений на периодические функции.