Формирование математических способностей у детей дошкольного возраста

Сравнивая позицию А.П. Усовой с данным положением, можно отметить, что в ее исследовании речь шла о формировании учебной деятельности в первом смысле, как деятельности, направленной на научение как на свою прямую цель. Наиболее важным моментом (новообразованием на современном языке) А.П. Усова считает формирующееся у ребенка понимание того, что источник получения знаний и умений -- это взрослый, обучающий его (воспитатель). «При пояснении и показе одни дети раньше, другие позже «открывают» для себя источник получения знаний, умений... Для детей является новым учиться у взрослого. Перелом наступает с того момента, когда в сознании детей устанавливается связь между результатами их работы и теми пояснениями, тем показом, который дается воспитателем... Вот почему обучение мы начинаем, давая детям такого рода практику, в процессе которой они наглядно убеждаются в необходимости источника для получения результата».

В свое время, в связи с распространением идей «свободного развития» ребенка, не «скованного» специальным обучением, данная позиция была вполне мотивированна и сыграла свою положительную роль. Но сегодня мы понимаем, что подобный подход рождает жесткость и регламентированность процесса обучения, ограниченность содержания обучения типовыми задачами, позволяющими показать образец результата или образец деятельности, формирует у ребенка несамостоятельное мышление, пассивность, прилежание и регулируемость, но не активную творческую поисковость. С данной проблемой уже в полной мере столкнулась школа, и, очевидно, именно это послужило мощным стимулом разработки концепции развивающего обучения именно специалистами школьного образования. Дошкольное образование, не подвергаемое столь тщательному анализу, как школьное, пока не имеет своих теоретиков развивающего обучения, однако разработка концепции непрерывного начального и дошкольного образования неминуемо должна привести к необходимости этого дидактического звена на дошкольном этапе процесса обучения.

Основой для разработки теоретического обоснования построения процесса обучения на дошкольном этапе может послужить положение C.JI. Рубинштейна о втором способе научения.

Можно предположить, что психологическим мотивом стремления к учению у детей дошкольного возраста является желание получить результаты от своей деятельности, причем результаты, соответствующие их представлениям о качестве. И уже дело педагога дать ребенку соответствующие представления, а затем помочь в освоении способов достижения этих результатов.

Рассматривая в этой связи роль педагога в организации учебного процесса, идущего по второму типу (по С.Л. Рубинштейну), можно отметить, что она состоит в организации системы познавательных задач, требующих решения либо в умствен ном, либо в практическом плане.

Нетрудно заметить, что такая трактовка роли педагога в учебном процессе соответствует определению учебной деятельности по Г.А. Вергелес как системы процессов решения учебных задач. Роль педагога состоит в организации этой системы на занятии и такой методической подготовке самого занятия, чтобы дети сумели справиться с решением поставленной задачи своими силами, «законно» пережив при этом чувство успешности. Под методической подготовкой в данном случае подразумевается система подготовительных заданий, специально выстроенных педагогом с целью подвести детей к правильному решению поставленной учебной задачи. В этом принципиальное отличие данной позиции от позиции А.П. Усовой, по-прежнему общепринятой в дидактике дошкольного обучения: речь идет не о демонстрации образца и не об обучении действиям по образцу, а о самостоятельном решении ребенком учебной задачи при условии организации методического обеспечения этого процесса решения с учетом индивидуальных особенностей детей и общих психологических закономерностей процесса обучения детей данного возраста.

Очевидно, что организация процесса обучения, таким образом, требует глубочайшей разработки методической концепции обучения детей дошкольного возраста на соответствующем предметном содержании и следующей за ней частной методики, без которой педагог будет в данной ситуации бессилен. Речь идет о разработке программы «единого систематического цикла общеобразовательной работы», которая одновременно должна быть и «программой последовательности, которая отвечает эмоциональным интересам ребенка и особенностям его мышления...». Выготский Л.С. Собрание сочинений. Т.З. М.: Педагогика, 1997. - с.45 с.

Особенное значение имеет разработка программы математического образования, поскольку, кроме означенных выше проблем, математика обладает своими внутренними «проблемами», будучи наукой строгой, системной, логичной и высоко абстрактной по своей сути, что совершенно не позволяет «неконтролируемой свободы» даже в формировании элементарных математических понятий и представлений.

1.3 Взаимосвязь развития познавательных процессов и математических способностей дошкольников

Четкая познавательная направленность активности ребенка, как отмечает А.А. Люблинская, -- это следствие таких качеств его личности, как любознательность, пытливость, наблюдательность.

Но как показывают исследования психологов, возникновение у детей интереса к предметам и явлениям окружающего мира прямо зависит от тех знаний, которыми обладает ребенок в той или иной области, а также от тех способов, которыми воспитатель открывает для него «меру его незнания», т. е. то новое, что дополняет его знания о предмете. При этом, чем больше ребенок познает, тем сильнее растет его интерес. Рост интереса беспределен. Интерес имеет огромное прогрессивное и перспективное значение в развитии личности. Развитие познавательных процессов. / под ред. А.В. Запорожца, Д.Б. Эльконина. - М.: Просвещение, 1998. - С. 94-114.

Изучая проблему формирования и развития математических способностей дошкольников, мы в течение нескольких лет предлагали организовать дискуссию на эту тему воспитателям и методистам ДОУ, работающим с детьми всех возрастов: от раннего возраста до подготовительной группы. Во всех случаях воспитатели, обычно, уверенно отвечали на вопрос, могут ли они назвать и выделить детей, способных к математике, в своей группе.

Аналогичным образом отвечали на этот вопрос и учителя как начального звена, так и предметники. При этом главным критерием такого выбора у учителей является успешность ребенка в самом предмете (хотя совершенно очевидно, что эта успешность лишь следствие наличия способностей).

Намного более сложной задачей оказывалось обоснование своего выбора способного к математике ребенка для воспитателя ДОУ. И это закономерно, поскольку чем младше ребенок, тем меньше у педагога возможностей подменить причину следствием, ссылаясь на успешность ребенка в предмете, при выявлении способных детей.

Математические способности относятся к группе ранних способностей, что является бесспорным историческим фактом и подтверждением того, что изучением этого вопроса следует заниматься не только специалистам-математикам, но и воспитателям ДОУ.

Дальнейший анализ понятия «способный ребенок» приводит чаще всего к вычленению характеристики «любознательность».

Сенсорные способности обусловливают непосредственное восприятие окружающего мира. Интеллектуальные способности обусловливают его осмысление. Таким образом очевидно, что в основе сенсорных познавательных способностей лежит такой познавательный процесс, как восприятие, а в основе интеллектуальных познавательных способностей -- мышление. При этом остальные познавательные процессы (внимание, память, воображение) выступают в этой иерархии как условия активной и успешной реализации как первых, так и вторых (схема 1).



Схема 1

Таким образом, познавательные способности носят процессуальный характер. Их наличие (сформированность) означает, что они могут обеспечить продуктивный познавательный процесс на любом содержательном материале. Это как бы «процессуальная решетка», обеспечивающая познавательную деятельность ребенка. Прекрасно, когда эта система дана ребенку от природы уже вполне в «рабочем» состоянии, в этом случае педагогу и родителям остается только выполнять роль «кочегара», активно подбрасывающего материал в «топку» познавательной активности ребенка. В этом случае срабатывает именно та закономерность, о которой говорила А. А. Люблинская: чем больше ребенок познает, тем сильнее растет его познавательный интерес.

Однако такая ситуация вовсе не является нормой развития для большинства детей. В преобладающем большинстве случаев необходимо проводить специальную работу по выстраиванию обозначенной выше системы и приведению ее в «рабочее состояние». Развитие познавательных процессов. / под ред. А.В. Запорожца, Д.Б. Эльконина. - М.: Просвещение, 1998. - С. 98.

Основной путь такого выстраивания состоит в целенаправленном развитии всех компонентов системы, а также в тренировке взаимодействия этих компонентов в конкретной познавательной деятельности. Практика показала, что недостаточно, например, развивать ребенку память или работать над развитием воображения. Без включения во взаимодействие и без тренировки этого взаимодействия система может и не заработать. Например, у ребенка может быть прекрасная память или буйное фантазирование, но при этом он совершенно не умеет осмысливать имеющуюся информацию и интерпретировать ее прицельно (генерировать осмысленные идеи, разрабатывать их и т. п.)

Для развития математических способностей важно избирательное восприятие специфических характеристик внешнего мира: формы, размера, пространственного расположения и количественных характеристик объектов. Очевидно, что из этих характеристик быстрее и легче всего воспринимаются сенсорикой форма, размер и пространственное расположение. Как уже отмечалось ранее, для адекватного выделения и восприятия ребенком количественных характеристик требуется специальное обучение. Для формирования и развития восприятия необходимо обеспечить ребенку возможность обследования воспринимаемого объекта, способы и средства создания его адекватной модели (его подобия) сначала в вещественной форме во внешней деятельности, чтобы обеспечить затем его ин-териоризацию во внутреннюю форму -- представление. Таким образом, будет происходить накопление запаса образов воображения. В продуктивном восприятии предмета наиболее важным для ребенка является действие, которым он при этом пользуется: деятельность тактильного обследования должна предшествовать деятельности визуального наблюдения и анализу наблюдаемого предмета, явления и т. п.

Такую последовательность действий ребенка с изучаемым материалом легко обеспечить при преимущественной работе с геометрическим материалом, поскольку для любой геометрической фигуры или геометрического тела несложно сконструировать самые разнообразные модели из самого различного материала, причем все они будут адекватно отражать основные его характеристики. Например, квадрат из бумаги, палочек, пластилина, конструктора, ткани, нитки, а также его рисунок на песке, глине, восковой дощечке, классной доске и т. д. будет моделью одного и того же понятия, отражающей его основные свойства: наличие четырех равных прямолинейных сторон и четырех прямых углов. Все перечисленные модели ребенок может выполнить самостоятельно, собственными руками, а затем провести целую серию наблюдений (выражая их словесно) при обследовании любой из них -- сравнить длины сторон, сосчитать их, сравнить форму и равенство углов, а также установить и многие другие его свойства путем простых манипуляций с моделью. Надельман B.C. Логические приёмы в математических заданиях у дошкольников. Минск: Свет, - 1999. - 98 с.

Способом организации такой познавательной деятельности ребенка является соответствующим образом разработанное задание (упражнение), выполняя которое, ребенок осуществляет продуктивное восприятие объекта (обследование, моделирование) и осмысление воспринятой сенсорной информации (сопровождает чувственное восприятие словом).

Упражнение 1

Цель. Подготовить детей к последующей моделирующей деятельности посредством простых конструктивных действий, актуализировать счетные умения, организовать внимание.

Материалы. Счетные палочки двух цветов, фланелеграф с картонными моделями папочек у педагога.

Задание.

Возьмите из коробки столько палочек, сколько у меня. Положите перед собой так же (11). Сколько палочек? {Две.)

У кого палочки одного цвета? У кого разного цвета? Какого цвета у тебя папочки? (Одна -- красная, одна -- зеленая.)

Один да один. Сколько вместе? (Два.)

Упражнение 2

Цель. Организовать конструктивную деятельность по образцу, упражнять в счете, развитие воображения, речевой деятельности.

Материалы. Счетные палочки, фланелеграф.

Задание.

Возьмите еще одну палочку и положите ее сверху (I I). Сколько стало палочек? Сосчитаем. (Три.)

На что похожа фигура? (На ворота, на букву П). Кто знает слова, начинающиеся на П?

Дети говорят слова.

Упражнение 3

Цель. Развивать наблюдательность, воображение и речевую деятельность; формировать умение оценивать количественную характеристику видоизменяющейся конструкции (без изменения количества элементов); подготовка к правильному восприятию смысла арифметических действий.

Материалы. Счетные палочки, фланелеграф.

Задание.

Верхнюю палочку переложите так: тт. Изменилось ли количество палочек? Почему не изменилось? (Палочку переставили, но не убрали и не добавили.)

На что теперь похожа фигура? (На букву Н.) Назовите слова, начинающиеся на Н.

Упражнение 4

Цель. Формировать конструкторские умения, воображение, память и внимание.

Задание.

Сложить из этих трех палочек разные фигурки.

Дети складывают фигурки и буквы. Называют их, придумывают слова. Кто-нибудь из детей обязательно сложит треугольник.

Упражнение 5

Цель. Формировать образ треугольника, первичное обследование модели треугольника.

Материалы. Счетные палочки, фланелеграф.

Способ выполнения. Педагог предлагает всем сложить такую фигуру;

Сколько палочек вам понадобилось для этой фигуры? (Три.) Кто знает, что это? (Треугольник.) Кто знает, почему он так называется? (Три угла.)

Если дети не могут назвать фигуру, педагог подсказывает ее название и просит детей объяснить, как они его понимают.

Педагог просит обвести фигуру пальцем, сосчитать углы (вершины), касаясь их пальцем.

Упражнение 6

Цель. Закреплять образ треугольника на кинестезическом и визуальном уровне. Распознавать треугольник среди других фигур (объем и устойчивость восприятия). Обводить и штриховать треугольники (развивать мелкие мышцы руки).

Материалы. Рамка-трафарет с прорезями в форме геометрических фигур, бумага, карандаши.

Примечание. Задание является проблемным, поскольку на используемой рамке есть несколько треугольников и фигур, на них похожих острыми углами (ромб, трапеция).

Задание.

Найдите на рамке треугольник. Обведите его. Заштрихуйте треугольник по рамке. (Штриховка производится внутри рамки, кисть движется свободно, карандаш «стучит» по рамке.)

Упражнение 7

Цель. Закреплять визуальный образ треугольника. Распознавать нужные треугольники среди других треугольников (точность восприятия). Развивать воображение и внимание, мелкую моторику.

Материалы. Трафарет, бумага, карандаши.

Задание.

-- Посмотрите на этот рисунок: Кошка-мама, кот-папа и котенок. Из каких фигур они составлены? (Круги и треугольники.)

Кто нарисовал такой треугольник, какой нужен для котенка? Для кошки-мамы? Для кота-папы? Дорисуйте своего кота.

Дети дорисовывают, используя тот треугольник, который у них есть, т. е. у каждого получается свой кот. Затем они дорисовывают остальных кошек, ориентируясь на образец, но самостоятельно.

Педагог обращает внимание на то, что кот-папа самый высокий.

Правильно поставьте рамку, чтобы кот-папа получился самый высокий.

Данное упражнение не только способствует накоплению у ребенка запасов образов геометрических фигур, но и развивает его пространственное мышление, поскольку фигуры на рамке расположены в различных положениях и, чтобы найти нужную, необходимо узнать ее в другой позиции, а затем повернуть рамку для ее рисования в такой позиции, которую требует рисунок.

Приведенные фрагменты занятий показывают способ построения взаимосвязанной системы заданий для формирования и развития сенсорных познавательных способностей на математическом материале. Очевидно, что деятельность ребенка в данном фрагменте является также организующей его внимание и стимулирующей воображение. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления (формирование научного мышления у ребёнка). М.: Наука, 1994. - с.43.

Перейдем к другой группе познавательных способностей -- к интеллектуальным способностям. Как уже было сказано, в их основе лежит развитое мышление. Процесс развития мышления методически состоит в формировании и развитии обобщенных приемов умственных действий (сравнение, обобщение, анализ, синтез, сериация, классификация, абстрагирование, аналогия и др.), что является общим условием функционирования самого мышления как процесса в любой области познания, в том числе и в математике. Безусловным является то, что сформированность умственных действий является абсолютной необходимостью для развития математического мышления, не случайно эти умственные действия именуются также приемами логических умственных действий. Их формирование стимулирует развитие математических способностей ребенка. Одним из самых значительных исследований в этой области явилась работа швейцарского психолога Ж. Пиаже «Генезис числа у ребенка», в которой автор достаточно убедительно доказывает, что формирование понятия числа (а также и арифметических операций) у ребенка коррелятивно развитию самой логики: формированию логических структур, в частности формированию иерархии логических классов, т. е. классификации, и формированию асимметричных отношений, т. е. качественных сериаций. Классификация и сериация являются приемами умственных действий, формирование которых невозможно без предварительного развития у ребенка операций сравнения, обобщения, анализа и синтеза, абстрагирования, аналогии и систематизации. Агеева Е.Л. Формирование у старших дошкольников представлений о логических отношениях на основе наглядно-пространственного моделирования.: Автореф. кан. дис. по псих. - М., 1998. - 24 с.

Легко показать на приведенном выше фрагменте занятия, что каждое из приведенных упражнений одновременно «работает» также на формирование всех этих мыслительных приемов. Например, упражнение 1 учит ребенка сравнивать; упражнение 2 -- сравнивать и обобщать, а также анализировать; упражнение 3 учит анализу и сравнению; упражнение 4 -- синтезу; упражнение 5 -- анализу, синтезу и обобщению; упражнение 6 -- фактическая классификация по признаку; упражнение 7 учит сравнению, синтезу и элементарной сериации.

Таким образом, математическое содержание оптимально для развития всех познавательных способностей (как сенсорных, так и интеллектуальных), приводит к активному развитию математических способностей ребенка.

Итак, взаимосвязь математических и познавательных способностей выглядит следующим образом (схема 2).

Схема 2

Итак, суть вопроса организации внешних условий развития математических способностей ребенка возвращает нас к проблеме отбора адекватного математического содержания для занятий с детьми дошкольного возраста. Чем младше ребенок, тем больше необходимость того, чтобы он мог получать информацию об изучаемых объектах и их отношениях непосредственно через сенсорные каналы, причем наиболее важны в возрасте до 6-7 лет руки и глаза. Не случайно все, что воспитатель приносит на занятие, ребенок стремится хотя бы потрогать, а лучше -- получить в собственные руки для манипулирования. Оптимальным для такого манипулирования является геометрический материал.

Количественная характеристика является опосредованной, для ее восприятия надо быть подготовленным к пониманию того, что эта характеристика есть и что она, как правило, не зависит от других свойств и качеств предмета (у мухи ног больше, чем у слона; а в Попугаях Удав не длиннее, чем в Мартышках, хотя Попугаев -- 38, а Мартышек -- 3). Иными словами, количественные характеристики объектов и явлений (и тем более отношения между ними) не являются воспринимаемыми ребенком непосредственно, а требуют специального предварительного обучения для адекватного восприятия и осмысления.

Сложность этих понятий часто не осознается даже воспитателями-практиками. Например, на вопрос, можно ли дать ребенку в руки число или показать детям число на занятии, часто можно услышать: «Да, можно». На вопрос: «Что именно вы покажете, знакомя ребенка с числом два? » -- воспитатели часто отвечают: «Цифру 2» или «Два кубика» и т. п. Эти ответы показывают, что даже взрослый человек не всегда дифференцирует такие элементарные математические понятия, как число, цифра и множество. Правильное восприятие и адекватное понимание этих понятий требует предварительного специального обучения ребенка, однако это не означает, что нельзя заниматься математическим развитием малыша. Геометрический материал является полноценным математическим материалом, просто он менее привычен для традиционного восприятия взрослого в содержании обучения дошкольника, чем арифметический. С психологической и методической точки зрения геометрический материал намного удобнее при обучении дошкольника, поскольку воспринимаем сенсорикой и легко поддается наглядному (вещественному и графическому) моделированию. При этом любой геометрический объект имеет количественные характеристики, как воспринимаемые при минимальной подготовке ребенка (количество сторон, углов), так и позволяющие многократно возвращаться к анализу этих объектов с целью выявления новых численных характеристик (в дальнейшем в школе ребенок познакомится со способами измерения длин сторон и градусной мерой углов, способами вычислений периметров и площадей и т. д.). Например, в рассмотренном выше фрагменте занятия любая конструкция (конструктивная ситуация) имела количественную характеристику, но не требовала символизации (цифрового обозначения), хотя и могла ею сопровождаться. Этот же фрагмент занятия в символьном сопровождении мог бы быть предложен для проведения в старшей и даже подготовительной группе (естественно, при некоторой модернизации и усложнении содержания упражнений). Как видим, речь не идет о полном отказе от работы с количественными характеристиками объектов и отношений между ними, речь идет об изменении иерархии этой работы в соответствии с принципом природосообразности (т.е. в соответствии с психологическими особенностями усвоения детьми математических понятий), а также в соответствии с дидактическими принципами организации развивающего обучения. 3имняя Е.А. Вербальное мышление (психологический аспект). М.:Наука, 1999.-с. 72-85.

Таким образом, перестроение методологической базы математического развития дошкольников на основе использования моделирования как ведущего способа и средства изучения математических понятий и отношений между ними требует определенного смещения акцентов в отборе и выстраивании содержательной основы этого процесса.

Выводы по 1 главе

Психологическим мотивом стремления к учению у детей дошкольного возраста является желание получить результаты от своей деятельности, причем результаты, соответствующие их представлениям о качестве. И уже дело педагога дать ребенку соответствующие представления, а затем помочь в освоении способов достижения этих результатов.

Особенное значение имеет разработка программы математического образования, поскольку, кроме означенных выше проблем, математика обладает своими внутренними «проблемами», будучи наукой строгой, системной, логичной и высоко абстрактной по своей сути, что совершенно не позволяет «неконтролируемой свободы» даже в формировании элементарных математических понятий и представлений.

Для развития математических способностей важно избирательное восприятие специфических характеристик внешнего мира: формы, размера, пространственного расположения и количественных характеристик объектов. Очевидно, что из этих характеристик быстрее и легче всего воспринимаются сенсорикой форма, размер и пространственное расположение.

Как уже отмечалось ранее, для адекватного выделения и восприятия ребенком количественных характеристик требуется специальное обучение. Для формирования и развития восприятия необходимо обеспечить ребенку возможность обследования воспринимаемого объекта, способы и средства создания его адекватной модели (его подобия) сначала в вещественной форме во внешней деятельности, чтобы обеспечить затем его интериоризацию во внутреннюю форму -- представление.

Таким образом, будет происходить накопление запаса образов воображения. В продуктивном восприятии предмета наиболее важным для ребенка является действие, которым он при этом пользуется: деятельность тактильного обследования должна предшествовать деятельности визуального наблюдения и анализу наблюдаемого предмета, явления и т. п.

Такую последовательность действий ребенка с изучаемым материалом легко обеспечить при преимущественной работе с геометрическим материалом, поскольку для любой геометрической фигуры или геометрического тела несложно сконструировать самые разнообразные модели из самого различного материала, причем все они будут адекватно отражать основные его характеристики.

Способом организации такой познавательной деятельности ребенка является соответствующим образом разработанное задание (упражнение), выполняя которое, ребенок осуществляет продуктивное восприятие объекта (обследование, моделирование) и осмысление воспринятой сенсорной информации (сопровождает чувственное восприятие словом).



Глава 2. Методические основы формирования математических способностей у детей дошкольного возраста

2.1 Основные понятия курса математики для детей дошкольного возраста

Сформулируем основные принципы отбора содержания курса развития математических понятий и представлений дошкольников:

1. Принцип преимущественного использования модельного подхода к обучению, т. е. возможности представления понятий в виде вещественных и графических моделей, обеспечивающих наглядно-действенный и наглядно-образный характер обучения.

2. Принцип системности, обеспечивающий взаимосвязь изучаемых в курсе понятий.

3. Принцип преемственности, обеспечивающий целенаправленный образовательный процесс ребенка по возрастам и подготовку к изучению математики в школе.

Соблюдение первого принципа позволяет осуществлять математическое развитие дошкольника на основе действия с моделями изучаемых объектов. Моделирующая деятельность ребенка на разных возрастных этапах реализуется в различных видах: на раннем этапе -- в виде предметного конструирования, далее -- в виде графического, а затем символического моделирования. Архипова И.А. Подготовка ребенка к школе: Кн. для родителей будущего первоклассника. - Екатеринбург: У-Фактория, 2004. - с.15 .

Вновь приобретаемые знания и умения математического характера не являются самоцелью занятия, а играют развивающую роль, так как они становятся базой для формирования обобщенных способов действий с математическими объектами и общих приемов умственной деятельности (сравнения, обобщения, абстрагирования, классификации, анализа и синтеза.) В свою очередь, формирование этих умственных операций влечет за собой более интенсивное формирование и развитие словесно-логических (понятийных) форм мышления, составляющих для ребенка этого возраста зону ближайшего развития. Таким образом, соблюдается первый и важнейший постулат организации развивающего обучения. Бабкина Н.В. Развивающие игры с элементами логики. - М., 1998.- с. 16.

Второй принцип состоит в том, что каждое новое понятие должно быть органически связано как с рассмотренными ранее, так и с последующими, т.е. программа курса должна представлять собой систему взаимосвязанных понятий.

Содержание курса (программа) представляет собой перечень математических понятий и видов моделирующих (конструктивных) действий, в процессе выполнения которых дети усваивают эти понятия.

Младшая группа (от 3 до 4 лет) Примерный перечень представлений и моделирующих действий, которыми овладевают дети в процессе обучения математике

Геометрические понятия и отношения

Первичные представления о форме геометрических фигур (круглые, треугольные, четырехугольные). Фигуры и тела (плоские и объемные). Простые задания на распознавание (выбор нужной фигуры из нескольких различных) и сравнение (выбор фигуры из похожих фигур). Выделение признаков цвета и формы фигур. Поиск одинаковых и похожих. Сериации с геометрическими телами и фигурами. Конструирование геометрических фигур из различных материалов. Часть и целое: конструирование геометрических фигур из отдельных частей. Ориентировка в пространстве и на плоскости: ориентировка относительно себя, своего тела и другого объекта. Взаимное расположение фигур и предметов (над, под, за, перед, выше, ниже, внутри и снаружи).

Подготовка к формированию понятия числа

Сравнение предметов по различным признакам с постепенным выделением количественных характеристик. Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия. Знакомство с отношениями: больше, меньше, равно. Выделение одного, двух, трех предметов из группы по принципу числовой фигуры. Соотнесение слов числительных с соответствующими группами предметов (один, два, три...). Знакомство с количественным и порядковым счетом (до 5).

Символ числа -- цифра.

Формирование представлений о величинах

Сравнение предметов по величине: длине и массе на основе сенсорных и кинестезических ощущений (прикладывание, визуальная прикидка на руке), по площади и емкости (наложением и экспериментально: наливанием, насыпанием). Формирование представления о значимости этих признаков для объекта.

Формирование конструктивных умений

Конструирование тел и фигур из отдельных частей, из палочек и специальных наборов (мозаик). Конструирование сюжетных композиций и орнаментов из произвольных и оформленных деталей (конструктивные аппликации). Конструктивное рисование (дорисовка и штриховка по контурной рамке).

Средняя группа (от 4 до 5 лет) Примерный перечень понятий и моделирующих действий, которыми овладевают дети в процессе обучения математике.

Геометрические понятия

Уточнение представлений о форме геометрических фигур: простые задания на распознавание, на сравнение, на сериацию, на классификацию (по размеру, по форме, по цвету). Выполнение сюжетных рисунков и орнаментов из геометрических форм, их закрашивание с использованием контурной рамки. Конструирование геометрических фигур из отдельных частей (геометрические мозаики, наборы «Сложи фигуру», палочки).

Конструирование предметных и сюжетных композиций из геометрических мозаик и палочек.

Круг и овал. Треугольник и четырехугольник. Квадрат. Прямоугольник. Объемные тела (шар, куб, прямая призма типа «кирпич», конус, цилиндр). Элементы проективного обследования этих фигур в практической деятельности.

Подготовка к формированию понятия числа

Сравнение предметов по различным признакам со словесным описанием сравнения. Сравнение групп предметов. Выделение одного, двух, трех предметов из группы по заданному признаку. Понятия: много--мало, столько же, несколько, одинаково, поровну.

Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия: больше, меньше, равно; больше на, меньше на. Способ сравнения путем пересчета элементов множества. Различные способы уравнивания множеств.

Предметная модель натурального числа. Количественная характеристика множеств. Счет предметов в различном направлении и пространственном расположении. Понимание того, что последнее числительное относится ко всей группе предметов, а не только к последнему из них. Понимание того, что общее количество предметов в группе не зависит от размера, цвета, формы, расстояния между предметами.

Счет на слух, по осязанию, счет движений. Присчитывание и отсчитывание предметов по одному с называнием итога: «Сколько всего?», «Сколько осталось?»

Соотнесение числа с количеством предметов. Знакомство с цифрами. Соотнесение цифры, числа и количества.

Количественный и порядковый счет (до 10). Умение правильно ответить на вопрос: «Который по счету?» Представление об упорядочении множества путем нумерации его элементов (правила счета).

Формирование динамичной модели состава чисел (в виде соотношения: целое -- часть) для чисел 2, 3, 4, 5.

Подготовка к формированию представления об арифметическом действии

Связь между изменением количественной характеристики множества и предметным действием (изменением): объединение и добавление ведет к увеличению количества, выделение и изъятие части -- к уменьшению количества. Способы уравнивания групп предметов путем увеличения количества предметов в меньшей группе или уменьшения их количества в большей группе. Сопровождение практических действий словами: добавил, стало больше, стало поровну, убавил, стало меньше.

Формирование представлений о величинах и их измерении

Размер предметов. Понятия: большой -- маленький, больше -- меньше, одинаковые по размеру; высокий -- низкий, выше -- ниже, равные по высоте; длинный -- короткий, длиннее -- короче, равные по длине -- на основе сравнения двух (нескольких) предметов, отличающихся одним или несколькими параметрами.

Способы сравнения (приложение, наложение, прикидка на руке). Понимание сходства и различия предметов по их размерам. Умение правильно использовать термины для обозначения размера предметов при их сравнении. Составление групп предметов с заданными свойствами.

Сравнение предметов по длине и массе на основе сенсорных и кине-стезических ощущений (прикладыванием, визуально, наложением, прикидкой на руке).

При сравнении свойств, поддающихся измерению (длина, масса, емкость), использование моделей-заместителей (меток) и различных мерок.

Сравнение длин прикладыванием и с помощью естественной мерки (шаг, локоть, ладонь) и условной мерки.

Формирование пространственных представлений

Ориентировка в окружающем пространстве: впереди, позади, перед, над, под, за и т. д. Установление отношений: выше -- ниже, ближе --дальше, сбоку, на, следом и умение смоделировать эти отношения между объектами, используя заместители.

Ориентировка на плоскости листа.

Работа с объемными формами. Плоский рисунок объемного тела (фронтальный вид) и композиции объемных тел.

Формирование временных представлений

Времена года. Названия сезонов и порядок их следования. Сутки. Время суток (утро, день, вечер, ночь). Наглядная модель времен года.

Формирование умения решать конструкторские задачи

Конструирование по образцу, по заданию, по контуру, по модели и по рисунку из различных материалов. Конструирование предметных и сюжетных рисунков, аппликаций, орнаментов. Конструирование рисунков и аппликаций с опорой на контурную рамку.

Старшая группа (от 5 до 6 лет) Примерный перечень понятий и моделирующих действий, которыми овладевает ребенок в процессе обучения

Геометрические понятия и отношения

Уточнение представлений о форме геометрических фигур: задания на распознавание, сравнение, классификацию с разнообразными наборами фигур и объемных тел. Выполнение рисунков и орнаментов из геометрических форм и их штриховка по контурной рамке. Конструирование геометрических фигур из отдельных частей (геометрическая мозаика, наборы «Сложи фигуру», палочки).

Точка. Прямая. Кривая. Ломаная. Их моделирование из шнура, палочек и др. Получение прямой сгибанием листа.

Внутренняя и внешняя части фигуры. Граница фигуры. Замкнутые и незамкнутые линии. Треугольник. Четырехугольник. Круг и окружность. Полукруг. Овал. Симметричный орнамент.

Подготовка к формированию понятия числа

Свойства предметов: цвет, форма, размер. Соотношение «одинаковые» -- «разные» на основе практических упражнений, в сравнении предметов (одинаковые по одному признаку, разные по другому признаку). Составление групп предметов, одинаковых по какому-либо одному признаку и различных по другим признакам. Понимание смысла слов: каждый, все, остальные, кроме.

Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия: больше, меньше, равно; больше на, меньше на. Различные способы уравнивания множеств.

Счет по порядку. Соотнесение числа с соответствующим количеством реальных предметов, обозначение количества соответствующим числом. Порядковый и количественный счет в пределах 10 и более (по возможности).

Предметная модель натурального числа и отрезка натурального ряда. Число 0. Принцип построения натурального ряда чисел. Место числа в числовом ряду. Получение чисел путем присчитывания и отсчитывания по 1. Последующее и предыдущее числа. Сравнение чисел различными способами. Знакомство со знаком сравнения. Представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Число и цифра. Соотнесение числа и цифры, цифры и количества обозначаемых ею предметов.

Состав чисел 2, 3, 4, 5 и более с опорой на динамичную модель числа (вида часть -- целое).

Подготовка к формированию представлений об арифметических действиях

Связь между изменением количественной характеристики множества и предметным действием: объединение и добавление ведет к увеличению количества, выделение и изъятие части -- к уменьшению количества. Практические действия с предметами, раскрывающие сущность сложения и вычитания как подготовка к арифметическим действиям.

Обозначения этих действий знаками «+», «-». Смысл действий сложения и вычитания. Выполнение этих действий с опорой на предметную модель (способ получения результатов -- пересчет).

Формирование представлений о величинах и их измерении.

Сравнение предметов по величине: длине, массе, объему, площади на основе сенсорных и кинестезических ощущений (прикладыванием, визуально, прикидкой, наложением). При сравнении свойств, поддающихся измерению и сравнению (длина, масса, площадь, сила звука, высота звука), использование моделей-заместителей. Выбор и использование произвольных условных мер для измерения длин, масс сыпучих и жидких тел.

Сравнение масс с использованием мерок: уметь отмерить столько же, больше на, меньше на. Естественные меры. Использование счета мер для сравнения величин.

Пространственные и временные понятия

Положение предметов в пространстве: далекий -- близкий, дальше -- ближе, вверху -- внизу, выше -- ниже; правый -- левый, справа -- слева, спереди -- сзади, внутри -- снаружи; около, рядом, посередине, между, за, перед, на, над, под. Умение ориентироваться на листе в тетради, в альбоме.

Время как величина, поддающаяся измерению. Временные понятия: сегодня, завтра, вчера. Части суток: утро, день, вечер, ночь. Их последовательность. Неделя, дни недели.

Формирование умения решать конструкторские задачи

Конструирование геометрических фигур из палочек и отдельных частей. Конструирование сюжетных рисунков, аппликаций, моделей по образцу, контуру, заданию, замыслу. Конструирование симметричных орнаментов внутри различных форм (в полосе, круге, квадрате). Работа с контурной рамкой. Работа с циркулем. Вырезание по контуру.

Три проекции прямой прямоугольной призмы («кирпича».) Конструирование по чертежу. План. Работа с конструктором по техническому заданию.

Результатом усвоения содержательной линии этой программы являются следующие знания и умения ребенка:

• сравнивать предметы по размеру, цвету, форме, сопровождая сравнение словом;

• считать различные предметы в пределах 10, отвечать на вопросы; «Сколько?», «Который по счету?»;

• сравнивать две группы предметов на основе практических упражнений и выяснять, где предметов больше, меньше, одинаково, отвечать на вопросы: «Где больше (меньше)?», «Как сделать поровну?», «Как сделать на 1 (2, 3) больше (меньше)?»;

• ориентироваться на странице альбома и тетрадном листе (различать верх, низ, левую и правую части и т. п.);

• понимать выражения: между, за, перед, посередине, раньше, позже и т. п.

• обладать начальными графическими навыками: обводка, штриховка, рисование и срисовывание по клеткам; рисование и срисовывание на нелинованной бумаге с соблюдением пространственного расположения заданных форм (внутри -- снаружи, соприкосновение и т. п.);

• узнавать и различать геометрические фигуры в различных положениях, уметь конструировать их из палочек и различных частей.

Приведем примеры.

При знакомстве с величинами:

— В младшей группе (3-4 года) ребенок учится замечать и выделять наличие различных свойств и качеств в предметах и группах предметов. Формируются первые представления о значимости этих признаков для объекта. Ребенок учится сравнивать предметы по величине: длине и массе на основе сенсорных и кинестезических ощущений (прикладывание, визуально, прикидка на руке), по площади и емкости (наложением и экспериментально: наливанием, насыпанием), определяя таким образом более тяжелый и более легкий предмет; больший и меньший по площади (без употребления термина); больший и меньший по емкости (без употребления термина) и т. п.

— В средней группе (4-5 лет) ребенок учится использовать модели-заместители (метки) и различные мерки при сравнении свойств, поддающихся измерению (длина, масса, емкость).

— В старшей группе (5-6 лет), углубляя знания о величинах, ребенок учится самостоятельно выбирать и использовать произвольные условные меры для измерения длин предметов, масс сыпучих и жидких тел; учится сравнивать массы с использованием мерок: отмеривать «столько же», «больше на», «меньше на»; учится пользоваться естественными мерами при сравнении длин (ладонь, локоть, шаг); учится использовать счет мер для сравнения величин, что готовит его к пониманию двойственной природы натурального числа (число как характеристика количества элементов дискретного множества и число как мера величины).

При подготовке к знакомству с натуральными числами:

— В младшей группе (3-4 года) ребенок учится сравнивать предметы по различным признакам с постепенным выделением количественных характеристик; сравнивать множества предметов способом установления взаимно однозначного соответствия; знакомится с отношениями: больше, меньше, равно, выполняя предметные действия с совокупностями; учится выделять один, два, три предмета из группы; учится соотносить слова -- числительные с соответствующими группами предметов (один, два, три...); знакомится с количественным и порядковым счетом (до 5); знакомится с символом числа -- цифрой.

— В средней группе (4-5 лет) продолжается изучение свойств натуральных чисел: ребенок учится выделять один, два, три предмета из группы по заданному признаку; знакомится с понятими: много -- мало, столько же, несколько, одинаково, поровну; при сравнении множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия учится применять количественные характеристики: больше, меньше, равно; больше на, меньше на; учится различным способам уравнивания множеств.

Учится строить предметную модель натурального числа; учится считать в различном направлении предметы, находящиеся в различном пространственном расположении. При этом формируется понимание того, что последнее числительное относится ко всей группе предметов, а не только к последнему из них, а также понимание того, что общее количество предметов в группе не зависит от размера, цвета, формы, расстояния между предметами; учится соотносить число и количество; получает первые представления об упорядочении множества путем нумерации его элементов (правила счета).

— В старшей группе (5-6 лет ) происходит дальнейшее расширение знаний ребенка о связях понятия «натуральное число »: ребенок знакомится с предметной моделью отрезка натурального ряда и учится строить ее из различных материалов; знакомится с числом 0 и его местом в ряду чисел; получает первые представления о принципе построения натурального ряда чисел; учится способу получения чисел путем присчитывания и отсчитывания по 1; знакомится с понятиями «последующее и предыдущее числа» ; учится сравнивать числа различными способами; знакомится со знаком сравнения; получает первые представления о бесконечности множества натуральных чисел. Белошистая А.В. Обучение математике с учетом индивидуальных особенностей ребенка. // Ж. Вопросы психологии. - 2000. - № 5.- С. 119.

Такое «спиралевидное» построение программы математического развития ребенка дошкольного возраста отвечает современным представлениям о сути и способе построения развивающей программы предметного обучения. Игровая математика для дошкольников и младших школьников./ Авт.-сост. И.Б. Вилкова. - М.: ИИП-фирма «Веды», 1995. - 34 с.

Реализованный в приведенной выше программе подход находится также в соответствии с наиболее современной и прогрессивной психологической теорией развивающего обучения, называемой законом системной дифференциации. В соответствии с этим законом методическая система строится вначале в виде некоторой простой неразвитой или малоразвитой структуры, которая постепенно дифференцируется в разных направлениях и становится все более сложной, расчлененной и многоуровневой. При таком построении программы и системы обучения когнитивные структуры личности, осуществляющие процесс анализа материала, становятся все более расчлененными, способными ко все лучшему выделению отдельных частей материала из включающего их контекста; целое все меньше и меньше довлеет над своими частями, ребенок все лучше и свободнее изолирует отдельные части (свойства, связи) из целого и оперирует ими независимо от целого и друг от друга.

2.2 Развитие содержательных компонентов математического мышления дошкольников

Методика развития аналитико-синтетических способностей у детей старшего дошкольного возраста.

Анализ - выделение свойств объекта, или выделение объекта из группы, или выделение группы объектов по определенному признаку.

Например, задан признак: "Найти все кислые". Сначала у каждого объекта множества проверяется наличие или отсутствие этого признака, а затем они выделяются и объединяются в группу по признаку" кислые".

Синтез - соединение различных элементов (признаков, свойств) в единое целое. В психологии анализ и синтез рассматриваются как взаимодополняющие друг друга процессы (анализ осуществляется через

синтез, а синтез - через анализ).

Задания на формирование умения выделить элементы того или иного объекта (признаки), а также на соединение их в единое целое можно предлагать с первых же шагов математического развития ребенка. Приведем, например, несколько таких заданий

1. Задание на выбор предмета из группы по любому признаку: "Возьми красный мячик"; "Возьми красный, но не мячик"; "Возьми мячик, но не красный".

2. Задание на выбор нескольких предметов по указанному признаку: "Выбери все мячики"; "Выбери круглые, но не мячики".

3. Задание на выбор одного или нескольких предметов по нескольким указанным признакам: "Выбери маленький синий мячик"; "Выбери большой красный мячик". Задание последнего вида предполагает соединение двух признаков предмета в единое целое.

Аналитико-синтетическая мыслительная деятельность позволяет ребенку рассматривать один и тот же объект с различных точек зрения: как большой или маленький, красный или желтый, круглый или квадратный и т. д. Однако речь не идет о введении большого количества объектов, как раз наоборот, способом организации всестороннего рассмотрения является прием постановки различных заданий к одному и тому же математическому объекту. Как подготовить ребенка к школе: Пособие для детей, родителей и воспитателей детских садов./ Сост. Л.С. Михайлова. - Волгоград: Волгоградск. изд-во «Братья Гринины», 1997. Ч.1. - с 36 с.

В качестве примера организации занятий, развивающих способности ребенка к анализу и синтезу, приведем несколько упражнений для детей пяти-шести лет.

Упражнение 1

Материал: набор фигур - пять кругов (синие: большой и два маленьких, зеленые: большой и маленький), маленький красный квадрат.
Задание: "Определи, какая из фигур в этом наборе лишняя. (Квадрат.) Объясни почему. (Все остальные - круги.)".

Упражнение 2

Материал: тот же, что к упражнению 1, но без квадрата.
Задание: "Оставшиеся круги раздели на две группы. Объясни, почему так разделил. (По цвету, по размеру.)".

Упражнение 3

Материал: тот же и карточки с цифрами 2 и 3.

Задание: "Что на кругах означает число 2? (Два больших круга, два зеленых круга.) Число 3? (Три синих круга, три маленьких круга.)".
Упражнение 4

Материал: тот же и дидактический набор (набор пластиковых фигурок: цветные квадраты, круги и треугольники).

Задание: "Вспомни, какого цвета был квадрат, который мы убрали? (Красного.) Открой коробочку “Дидактический набор”. Найди красный квадрат. Какого цвета еще есть квадраты? Возьми столько квадратов, сколько кругов (см. упражнения 2, 3). Сколько квадратов? (Пять.) Можно сложить из них один большой квадрат? (Нет.) Добавь столько квадратов, сколько нужно. Сколько ты добавил квадратов? (Четыре.) Сколько их теперь?(Девять.)".
Традиционной формой заданий на развитие визуального анализа являются задания на выбор "лишней" фигуры (предмета). Приведем несколько заданий для детей пяти-шести лет.

Упражнение 5

Материал: рисунок фигурок-рожиц. Все рожицы улыбаются, кроме одной.

Задание: "Одна из фигурок отличается от всех других. Какая? Чем она отличается?"

Упражнение 6

Материал: рисунок фигурок-человечков. У всех человечков руки подняты вверх, а у одного опущены вниз.

Задание: "Среди этих фигурок есть лишняя. Найди ее. Почему она лишняя?"

Более сложной формой такого задания является задание на выделение фигуры из композиции, образованной наложением одних форм на другие. Такие задания можно предлагать детям пяти - семи лет.

Упражнение 7

Материал: рисунок двух маленьких треугольников, образующих один большой.

Задание: "На этом рисунке спрятано три треугольника. Найди и покажи их".

Примечание. Нужно помочь ребенку правильно показать треугольники (обвести маленькой указкой или пальцем).

В качестве подготовительных полезно использовать задания, требующие от ребенка синтеза композиций из геометрических фигур на вещественном уровне (из вещественного материала).

Упражнение 8

Материал: 4 одинаковых треугольника.

Задание: "Возьми два треугольника и сложи из них один. Теперь возьми два других треугольника и сложи из них еще один треугольник, но другой формы. Чем они отличаются? (Один высокий, другой - низкий; один узкий, другой - широкий.) Можно ли сложить из этих двух треугольников прямоугольник? (Да.) Квадрат? (Нет.)".

Психологически способность к синтезу формируется у ребенка раньше, чем способность к анализу. То есть, если ребенок знает, как это было собрано (сложено, сконструировано), ему легче анализировать и выделять составные части. Именно поэтому столь серьезное значение уделяется в дошкольном возрасте деятельности, активно формирующей синтез, - конструированию.