Тотожні перетворення в полі раціональних чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тотожні перетворення в полі раціональних чисел

ВСТУП

математика тотожний перетворення учень

Тотожні перетворення виразів становлять зміст однієї з чотирьох провідних ліній шкільного курсу алгебри. Уміння вільно виконувати основні тотожні перетворення алгебраїчних виразів необхідні не лише для успішного навчання математики; вони істотно впливають на ефективність оволодіння знаннями з усіх дисциплін природничо-математичного циклу. Так, відомий англійський математик У.Сойєр зазначав, що вміння легко перетворювати елементарні алгебраїчні вирази досить корисне для вивчення алгебри сучасності, а результат, отриманий в науці, багато в чому залежить від здатності грамотно користуватись мовою найпростішої алгебри.

Дійсно, без знання тотожних перетворень не можна розвя'зувати рівняння, доводити теореми, не можна вивчати й вузівську математику. Тому питання про перетворення виразів - одне з найважливіших у шкільному курсі математики, а забезпечення високого рівня оволодіння учнями знаннями й уміннями щодо тотожних перетворень виразів є предметом постійної уваги вчителів математики.

Розгортання лінії тотожних перетворень у сучасному шкільному курсі математики (ШКМ) відбувається за напрямами:

- формування основних понять: вирази (числові та зі змінними); види виразів (цілі - одночлен, многочлен; дріб, дробовий вираз); відповідні значення виразів; тотожно рівні вирази; тотожність; тотожне перетворення; способи тотожних перетворень виразів різних видів);

- формування в учнів умінь і навичок виконання тотожних перетворень;

- застосування тотожних перетворень у розв'язуванні рівнянь, нерівностей, обчисленні значень виразів, виконанні вправ на доведення тощо.

У практиці роботи сучасної загальноосвітньої школи в реалізації лінії тотожних перетворень виразів виокремлюють такі етапи:

- пропедевтичний, що має на меті набуття навичок найпростіших перетворень, які спираються на властивості арифметичних операцій і робляться вже в початковій школі (3-4 класи);

- початки алгебри, мета якого - досягнути швидкості у виконанні завдань на розв'язання найпростіших рівнянь, спрощення формул, що задають функції, в раціональному проведенні обчислень з опорою на властивості дій (5-6 класи).

За мірою накопичення матеріалу з'являється можливість виділити і загальні риси всіх перетворень, що розглядаються, і на цій основі ввести поняття тотожного і рівносильного перетворень (7 клас);

- організація цілісності системи перетворень (синтез). Основна мета цього етапу полягає в формуванні гнучкого і потужного апарату, придатного для використання в розв'язанні різноманітних навчальних завдань. Розгортання цього етапу вивчення перетворень відбувається протягом всього курсу алгебри неповної середньої школи (5-9 класи).

Перехід до наступного етапу здійснюється у підсумковому повторенні курсу в процесі осмислення вже відомого матеріалу, що був засвоєний частинами, за окремими типами перетворень.

У курсі алгебри і початку аналізу (10-11 класи) цілісна система перетворень, вже сформована в загальних рисах, продовжує поступово вдосконалюватися. До неї також додаються деякі нові види перетворень (наприклад, ті, що відносяться до трансцендентних функцій), однак вони тільки збагачують її, розширюють можливості, але не змінюють її структури. Методика вивчення цих нових перетворень практично не відрізняється від тієї, що застосовується в курсі алгебри.

Практика організації навчальної діяльності учнів у навчанні математики надає підстави свідчити, що на сформованість умінь виконувати тотожні перетворення виразів позитивно впливає алгоритмізація різних видів перетворень. У зв'язку з цим у розгляді кожного виду тотожних перетворень доцільно формувати алгоритм його виконання. Такий алгоритм, як правило, народжується в результаті колективної роботи учнів під керівництвом учителя на основі аналізу низки попередньо виконаних підготовчих вправ. Особливістю розгляду основних видів тотожних перетворень виразів у діючих підручниках з алгебри є забезпечення тісного взаємозв'язку у вивченні взаємообернених перетворень. Так, слідом за перетворенням добутку одночлена на многочлен, розглядається винесення спільного множника за дужки; розкладання многочлена на множники способом групування вивчається безпосередньо після перетворення добутку двох многочленів у многочлен стандартного виду тощо. Такий підхід до вивчення тотожних перетворень раціональних виразів забезпечує їх широке застосвання на практиці. Разом з тим у обгрунтуванні кожного виду тотожних перетворень учні повинні чітко усвідомлювати, що правила виконання тотожних перетворень не є чимось абсолютно новим, а природньо витікають з відомих законів і властивостей.

Отже, всі основні види тотожних перетворень раціональних виразів грунтуються на відомих властивостях арифметичних дій, які в свою чергу, є аксіомами і теоремами поля раціональних чисел, що й зумовило вибір теми дослідження: «Тотожні перетворення в полі раціональних чисел».

З точки зору мети і завдань нашого дослідження особливий інтерес має навчальний матеріал 8-9 класу, який несе основне навантаження у формуванні гнучкого і потужного апарату тотожних перетворень, придатного для використання в розв'язанні різноманітних навчальних завдань з математики. Разом з тим саме цей період пов'язаний із впровадженням у масове навчання профільної диференціації, її першого орієнтаційного етапу, оскільки у цьому віці відбувається формування в учнів стійких інтересів до певного напряму в життєвому самовизначенні. Тому проблемою нашого дослідження є: підвищення ефективності викладання змістовно-методичної лінії тотожних перетворень в умовах профільної диференціації навчання.

Метою дослідження є теоретичне обгрунтування властивостей тотожних перетворень в полі раціональних чисел та розробка технології організації навчально-пізнавальної діяльності учнів у вивченні тотожних перетворень раціональних виразів.

Відповідно до мети поставлені такі завдання дослідження:

1. Проаналізувати, систематизувати та узагальнити теоретичні відомості з теми дослідження.

2. Розробити логіко-дидактичний аналіз змістовно-методичної лінії тотожних перетворень сучасного ШКМ.

3. Визначити суть та схарактеризувати особливості профільної диференціації навчання.

4. Розробити технологію вивчення теми «Раціональні вирази» в умовах профільної диференціації навчання.

Обєкт дослідження - навчальний процес з математики в профільній школі.

Предмет дослідження: науково-методичне забезпечення технології вивчення тотожних перетворень раціональних виразів в умовах профільної диференціації навчання.

У ході дослідження було зроблено припущення, що ефективність формування в учнів умінь і навичок тотожних перетворень раціональних виразів визначається науково обгрунтованою технологією, яка включає таки етапи: діагностичний, який передбачає з'ясування рівнів сформованості в учнів умінь і навичок тотожніх перетворень цілих алгебраїчних виразів; виявленняння «проблемного поля» кожного школяра з метою з'ясування утруднень в опануванні тотожними перетвореннями виразів; проектний, на якому прогнозується, планується діяльність учителя й учнів з метою організації на початку навчального року поглибленого повторення тотожних перетворень цілих виразів, забезпечуючи тим самим систематизацію набутих раніше знань; дяльнісний, у процесі якого організується навчально-пізнавальна діяльність учнів у вивченні тотожних перетворень дробових раціональних виразів у відповідності до виявлених рівнів реальних навчальних можливостей школярів; рефлексивний, який вимагає аналізу попередніх етапів діяльності, корекцію отриманих результатів навчання.

Практичне значення одержаних результатів дослідження полягає в тому, що технологія вивчення теми «Раціональні вирази» пройшла дослідно-експериментальну перевірку й дозволяє реалізувати її в навчальному процесі з математики в профільній школі.

Розроблені в дослідженні засоби диференціації навчання можуть бути використані вчителями в організації навчально-пізнавальної діяльності учнів загальноосвітніх шкіл у вивченні тотожних перетворень раціональних виразів курсу математики сучасного ШКМ.

Структура дипломної роботи складається зі вступу, двох розділів, висновків, списка використаних джерел, двох додатків.

РОЗДІЛ І.ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ АБСТРАКТНОЇ АЛГЕБРИ

1.1 Поняття кільця і поля

В елементарній алгебрі розглядають різні конкретні множини, наприклад, множину цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел, множину многочленів, дробово-раціональних функцій тощо. Над елементами цих множин доводиться виконувати дії, які прийнято називати алгебраїчними. Нагадаємо загальне визначення алгебраїчної дії.

Нехай M - деяка множина. Говорять, що в множині M визначена алгебраїчна дія, якщо вказано закон, за яким будь-яким двом (різним чи однаковим) елементам а і b цієї множини, взятим у певному порядку, ставиться у відповідність цілком певний елемент з цієї множини.

До визначення алгебраїчної дії, як бачимо, входить вимога однозначності дії та її здійсненності для будь-яких двох елементів множини. У цьому визначенні міститься також указівка на порядок, в якому беруться елементи множині M у виконанні над ними дії. Це означає, що парам елементів a,b i b,a можуть відповідати різні елементи множин М, тобто алгебраїчна дія, визначена в множині М, може бути не комутативною.

Алгебраїчну дію, визначену в множині М, можна назвати додаванням; тоді с називають сумою елементів a і b і символічно записують c=a+b; алгебраїчну дію, визначену в множині М, можна назвати множенням, тоді с називають добутком елементів a і b та записують c=ab.

Дії віднімання й ділення, що виконуються в багатьох множинах, які розглядаються в елементарній алгебрі, також називають алгебраїчними. Але їх не можна вважати новими незалежними діями, оскільки вони е похідними відповідно від дії додавання й дії множення. Дійсно, ми говоримо, що в множині M (в якій визначена дія додавання) здійснюється дія віднімання, якщо для будь-якої пари елементів a,b множини M існує в цій множині єдиний елемент d такий, що b+d=a. Елемент d називають різницею елементів a і b та записують d=a-b. Аналогічно ми говоримо, що в множині М (в якій визначена дія множення) здійсненна дія ділення, якщо для будь-яких двох елементів a і b множини М існує в цій множині єдиний елемент q такий, що bq=a. Елемент q називають часткою елементів a і b та позначають .

Отже, як бачимо, дію віднімання й дію ділення визначають відповідно через дію додавання й дію множення. Про здійсненність дії віднімання або дії ділення в множні М може йтись тільки тоді, коли в множині М визначена відповідно дія додавання або дія множення.

Дії віднімання і ділення називають оберненими діями відповідно до дії додавання й до дії множення.

Піднесення до цілого степеня й добування кореня з цілим додатним показником - алгебраїчні дії, які також немає підстав вважати новими діями. Дійсно, піднесення числа а до цілого додатного степеня n, зводиться до множення:

піднесення числа a до цілого від'ємного степеня n зводиться до ділення І на :

дія добування кореня степеня n з чисел, у свою чергу, визначається через дію піднесення до степеня.

Серед множин, що розглядаються в елементарній алгебрі, є такі, в яких дії додавання і множення визначені, але обернені їм дії - віднімання й ділення - нездійсненні. Такою, наприклад, є множина натуральних чисел. Є також множини, як, наприклад, множина цілих чисел, в яких визначена дія додавання і здійсненна обернена до неї дія віднімання, а також такі, як, наприклад, множина відмінних від нуля раціональних чисел, в яких визначена дія множення і здійсненна обернена до неї дія ділення.

Непорожню множину К називають кільцем, якщо в ній визначені дії додавання і множення, причому ці дії задовольняють таким умовам:

1) дія додавання комутативна, тобто для будь-яких елементів a і b множини

К

2) дія додавання асоціативна, тобто для будь-яких елементів a,b і c з множини

К

3) для дії додавання в множині К здійсненна обернена дія - віднімання;

4) дія множення асоціативна, тобто для довільних елементів a,b і c множин

К

5) дії додавання і множення пов'язані дистрибутивним законом, тобто для будь-якиих елементів a,b і c множини К

(a+b)c = ac+bc; c(a+b) = ca+cb;

Якщо дія множення також комутативна, тобто якщо ab=ba для будь-яких елементів a і b, то кільце називається к о м у т а т и в н и м. В курсі елементарної алгебри розглядають лише комутативні кільця.

Прикладами кілець є множина цілих чисел, множина парних чисел, множина раціональних чисел, множина многочленів та інші.

У курсі вищої алгебри доводять, що в будь-якому кільці існує єдиний елемент 0, такай, що сума будь-якого елемента а кільця і 0 дорівнює а, тобто а+ 0 = а. Елемент 0 називають нулем даного кільця.

Для будь-якого елемента а кільця існує в кільці елемент -а такий, що а+(-а)= 0. Елемент -а називають протилежним елементу а.

Комутативне кільце, яке містить принаймні один відмінний від нуля елемент і в якому здійсненна дія ділення, крім ділення на нуль, називається полем.

Прикладами полів є множини раціональних, дійсних, комплексних чисел, множина дробово-раціональних функцій.

У курсі вищої алгебри також доводять, що у будь-якому полі існує єдиний елемент 1 (одиниця поля), такий, що для будь-якого елемента а даного поля маємо: а*1 = а.

Для будь-якого елемента а даного поля існує в полі єдиний обернений елемент , який задовольняє умові: а* = 1.

У будь-якому полі добуток двох елементів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні один із співмножників дорівнює нулю.

1.1.1 Упорядковані поля

Важливу роль у математиці відіграють так звані упорядковані поля. У кожному з цих полів установлено відношення порядку, пов'язане з алгебраїчними діями, визначеними в полі.

Визначення упорядкованого поля. Поле Р називається упорядкованим, якщо для його елементів встановлено відношення a<b (a менше від b), що має такі властивості:

1) для будь-яких елементів a і b поля Р має місце одне й тільки одне зі співвідношень: a = b, a < b, b < a;

2) якщо а<b і b<c , то а<c;

З) якщо a<b, то a+c<b+c для будь-якого с з поля Р;

4) якщо а<b і c>0, то ac<bc;

Властивості 3) і 4) пов'язують відношення порядку з діями, визначеними в полі. Властивість 3) називають законом монотонності додавання; властивість 4) - законом монотонності множення.

Якщо, а<b то говорять, що b більше від a , і пишуть b>a. Означене таким чином відношення a>b в упорядкованому полі Р має такі властивості:

1. Для будь-яких елементів a і b поля Р має місце одне і тільки одне з співвідношень: a = b, a > b, b >a,

Справедливість цього твердження випливає безпосередньо з вимоги

2) визначення упорядкованого поля:

якщо a>b і b>c , то a>c.

Дійсно, з a>b і b>c випливає, що c<b і b<a. Тому за вимогою 2) визначення упорядкованого поля c<a і отже, a>c.

3. Якщо a>b, то a+c>b+c для будь-якого с з поля Р. Дійсно, якщо a>b, то b<a. Тому за вимогою 3) визначення упорядкованого поля b+c<a+c для будь-якого с поля Р і, значить, a+c>b+c.

4. Якщо a>b, c>0 то ac>bc.

Дійсно, з a>b випливає, що b<a. Тому за вимогою 4) визначення упорядкованого поля bc<ac, значить, ac>bc.

В основу визначення упорядкованого поля можна покласти також відношення a>b і означити упорядковане поле так:

Поле Р називається упорядкованим, якщо для його елементів встановлено відношення a>b (a більше від b), що задовольняє переліченим вище вимогам 1-4.

Виходячи з такого визначення упорядкованого поля Р, можна в цьому полі визначити відношення a<b, умовившись вважати а меншим від b, коли b>a. Можна також довести, що означене таким чином відношення a<b задовольняє всім чотирьом вимогам першого визначення упорядкованого поля.

3 викладеного вище випливає, що поле Р, упорядковане за першим визначенням, буде упорядкованим і за другим визначенням і, навпаки, поле, упорядковане за другим визначенням, буде упорядкованим і за першим. Тому ці два визначення упорядкованого поля називають рівносильними.

Елемент а упорядкованого поля Р називають додатним, якщо він більший від нуля; елемент а упорядкованого поля Р називають від'ємним, якщо він менший від нуля.

Теорема. Елемент а упорядкованого поля Р тоді і тільки тоді більший від елемента b цього поля, коли a-b>0.

Дійсно, якщо a-b>0, то (a-b)+b>0+b, тобто a>b.

Навпаки, якщо a>b, то a+(-b)>b+(-b), тобто a-b>0.

З визначення упорядкованого поля випливають всі основні властивості нерівностей, які відомі ще зі шкільного курсу математики. Інакше кажучи, на властивостях, про які йдеться у визначенні упорядкованого поля, ґрунтується доведення основних властивостей нерівностей. Тому теорію нерівностей можна побудувати лише в упорядкованих полях. Серед числових полів упорядкованими є поле раціональних і поле дійсних чисел. Легко перевірити, що визначені в цих полях поняття "менше" i "більше" задовольняють відповідно вимогам першого і другого визначень упорядкованого поля.

Поле комплексних чисел не може бути упорядковане.

Доведемо це. З визначення упорядкованого поля випливають такі наслідки:

а). Якщо a<b i c<d, то a+c<b+d.

Дійсно, за властиостивістю 3) маємо: a+c<b+c i b+c<b+d.

Звідси за властивістю 2) випливає: a+c<b+d;

б). В упорядкованому полі елементи а і -а не можуть бути обидва додатними або обидва від'ємними.

Дійсно, якщо припустимо, що а<0 і -а< 0, то в силу наслідку а),

а +(-а)< 0.

Якщо ж припустити, що 0 < а і 0 < -а, то в силу того ж наслідку,

0 < а + (-а). Але а + (-а) = 0.

Отже, кожне з припущень приводить нас до суперечності;

в). Якщо a>0 i b>0 , то і a*b>0 у силу властивості 4.

г). Якщо а 0, то а² > 0. Дійсно, якщо а > 0 , то за попереднім наслідком, а² = а*а > 0. Якщо ж а<0 , то, за наслідком б), -а>0 і, значить,

а²=(-a)*(-a)>0.

д). Сума квадратів будь-яких відмінних від 0 елементів упорядкованого поля Р додатна.

Дійсно, якщо кожен з елементів a,b,c ...,d відмінний від нуля, то, в силу попереднього наслідку,

Тоді, за наслідком a),

З наслідку д) випливає, що поле комплексних чисел не може бути упорядковане. Справді, в цьому полі є числа і й 1, сума квадратів яких дорівнює 0: , чого за властивістю д) в упорядкованому полі бути не може.

1.2 Первинні терміни й аксіоми аксіоматичної теорії раціональних чисел

Виходимо з визначення: системою раціональних чисел називається мінімальне поле, яке є розширенням кільця цілих чисел.

Наступні терміни приймаємо в якості первинних:

а) Q - множина, елементи якої називають раціональними числами;

б) + i - додавання і множення - бінарні операції на Q;

в) 0- нуль - нейтральний елемент додавання на Q;

г) Z- підмножина Q, його елементи називають цілими числами;

д) - додавання і множення - бінарні операції на Z.

У відповідності до визначення систему (Q;+,*,0,Z,) називають системою раціональних чисел, якщо вона задовольняє п'ятнадцяти аксіомам, які складають три групи [31]:

група А:

Q _I

Q _II

Q_III ;

Q_IV

Q_V

Q_VI

Q_VII

Q_VIII

Q_IX

Q_X ;

група Б:

Q_XI - кільце цілих чисел;

Q_XII ZQ;

Q_XIII

Q_XIV

група В:

Q_XV (аксіома мінімальності). Усяка підмножина М множини Q, якщо:

а) включає Z і

б) збігається з Q.

Якщо (Q;+,*,0,Z) - система раціональних чисел, то:

- систему (Q;+,*,0) будемо називати полем раціональних чисел;

- систему (Q;+,0) адитивною групою раціональних чисел;

- систему (Q;*) - мультиплікативною напівгрупою раціональних чисел;

- систему - мультиплікативною групою раціональних чисел.

1.2.1 Властивості раціональних чисел

Зауваження: система

- система натуральних чисел.

Теорема І. Будь-яке раціональне число є часткою цілих чисел, тобто

При цьому, якщо і , то

Доведення. Позначимо через М підмножину Q всіх таких раціональних чисел, які можна представити у вигляді частки цілих чисел. Маємо:

,

тобто , , значить, .

Теорема 2. Поле раціональних чисел можна лінійно і строго упорядкувати, причому єдиним способом. Порядок у полі раціональних чисел архімедів і продовжує порядок у кільці цілих чисел.

Доведення. Позначимо через підмножину Q визначену умовою

Переконаємося перш за все, що належність раціонального до множини не залежить від форми запису числа . Дійсно, якщо то але

Звідси при випливаває, що числа і обидва або натуральні, або від'ємні цілі.

Нехай тепер

Можливі три випадки:

1) ;

2)

3)

Легко довести також, що

Таким чином, - додатна частина поля (Q;+,*).

Припустимо, що будь-яка додатна частина поля (Q;+,*).

Доведемо, що .

Маємо . Звідси випливає, що і .

За теоремою про критерій однозначності лінійного порядку .

Легко побачити, що .

Звідси випливає, що порядок у Q продовжує порядок у Z.

Нехай ;

Оскільки порядок у кільці цілих чисел архімедів, то для додатних цілих kn і lm можна знайти натуральне с таке, що c*kn>lm.

Звідси .

Таким чином, порядок у полі раціональних чисел архімедів.

Теорема 3. Будь-яке лінійно упорядковане поле містить підполе, що ізоморфне полю раціональних чисел.

Доведення. Нехай система - лінійно упорядковане поле. Оскільки система (P;+,0,>) - лінійно і строго упорядкована напівтрупа, то, якими б не були цілі числа ,

Далі помітимо, до для будь-яких цілих :

.

З цих зауважень легко вивести, що відображення f множини раціональних чисел Q у множину Р , яке визначається умовою

є ізоморфне відображення поля раціональних чисел на деяке підполе поля (P;+,*,0,е).

1.2.2 Категоричність аксіоматичної теорії раціональних чисел

Теорема 4. Аксіоматична теорія раціональних чисел категорична. Доведення. У припущенні, що аксіоматична теорія раціональних чисел не суперечна, доведемо, що обидві будь-які моделі, на яких виконуються усі п'ятнадцять аксіом нашої теорії, ізоморфні. Припустимо, що

дві моделі нашої теорії. Оскільки будь-які кільця цілих чисел ізоморфні, то існує ізоморфне відображення кільця () на кільце (). Але за теоремою 1, будь-який елемент із Q₁ можна представити у вигляді частки елементів із Z₁; будь-який елемент із Q₂ - у вигляді частки елементів із Z₂. Цим і скористаємося для задання ізоморфного відображення першої системи на другу.

Припустимо, що такі елементи , що

Вважаємо, що .

Далі, міркуючи, як у доведенні теореми 1, неважко побачити, що f здійснює ізоморфне відображення однієї моделі на другу.

1.2.3 Несуперечність аксіоматичної теорії раціональних чисел

Теорема 5. Аксіоматична теорія раціональних чисел несуперечна.

Точніше ми доведемо несуперечність аксіоматичної теорії раціональних чисел відносно аксіоматичної теорії цілих чисел.

Доведення. Побудуємо модель, на якій виконуватимуться всі 15 аксіом нашої теорії. План доведення:

1) побудова поля;

2) включення кільця цілих чисел. З цією метою доведемо, що деяке підкільце побудованої інтерпретації нашої теорії ізоморфне кільцю цілих чисел а отже, і є таким;

3) перевірка виконання аксіоми мінімальності.

Припустимо, що - будь-яка система цілих чисел.

1а). Розглянемо множину Р пар цілих чисел (a,n) таких, що . Визначимо на Р бінарні операції і таким чином:

Як відомо, системи - комутативні напівгрупи з нейтральними елементами (0,1) і (1,1) відповідно.

1б). Введемо на множині Р бінарне відношення за умовою:

Відомо, що це відношення - відношення еквівалентності. Неважко перевірити, що воно монотонно відносно обох операцій. Визначивши на множині класів еквівалентності тернарні відношення + і * узгодженнями:

робимо висновок, що відповідність, за якою з парою (a,n) співставляється клас еквівалентності , що містить цю пару, є гомоморфне відображання системи на систему .

Відомо, що системи і - комутативні напівгрупи з нейтральними елементами відповідно.

1в). Доведемо, що система - комутативне кільце.

Перш за все зауважимо, що

Перевіримо далі дистрибутивність множення відносно додавання.

Маємо:

Але .

Тому

Таким чином, система - комутативне кільце.

Неважко бачити, що клас , де є нулем цього кільця.

1г). Доведемо, що система - поле.

Припустимо, що і , тобто . Нам досить перевірити, до рівняння розв'язуване у кільці .

Але це так, оскільки

2). Виділимо у підмножину за допомогою такої умови:

Перевіримо, що належність до не залежить від вибору представника класа . Дійсно, якщо a=cm , то

Порівняємо з цілим числом с клас Маємо Далі, легко показати, що:

для будь-яких с і с'. Таким чином, - ізоморфне відображення кільця цілих чисел на

Отже: а) система сама є кільцем цілих чисел;

б) поле - розширення кільця .

3). Доведемо, що на побудованій інтерпретації виконується аксіома 15 (мінімальності). Припустимо, що М - яка завгодно підмножина , що задовольняє двом умовам:

а) вона включає ;

б) для будь-яких і з М, якщо - не нуль кільця, то їх частка належить М.

Покажемо, що у такому випадку М = . Нам достатньо показати, що будь-який елемент з належить М. Якщо с=0 , то і таким чином, . Припустимо, що .

Маємо

Таким чином, клас є часткою двох класів із , а тому входить до М.

Теорему доведено.

РОЗДІЛ ІІ. ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ТЕХНОЛОГІЇ ВИВЧЕННЯ ТОТОЖНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ РАЦІОНАЛЬНИХ ВИРАЗІВ

2.1 Логіко-дидактичний аналіз змістовно-методичної лінії тотожних перетворень

1. Основні типи перетворень і етапи їх вивчення.

Вивчення різноманітних перетворень виразів і формул займає значну частину навчального часу в курсі шкільної математики. Найпростіші перетворення, що спираються на властивості арифметичних операцій, робляться вже в початковій школі у III - ІV класах. Але основне навантаження по формуванню вмінь і навичок виконання перетворень несе на собі курс шкільної алгебри. Це пов'язане як з різким збільшенням кількості та різноманітності перетворень, що здійснюються, так і з ускладненням діяльності по їх обґрунтуванню та з'ясуванню умов застосування, з виділенням і вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення, логічного наслідку.

Можна виділити такі етапи засвоєння застосувань перетворень буквено-числових виразів і формул.

Початки алгебри. На цьому етапі використовується система перетворень, яка представлена правилами виконання дій над однією чи обома частинами формул. Наведемо типовий приклад.

Приклад. Розв'язати рівняння:

а) ; б) ; в)

Загальна ідея розв'язання полягає у спрощенні даних формул за допомогою декількох правил. У першому завданні спрощення досягається за допомогою застосування тотожності (розподільчого закону): . Засноване на цій тотожності тотожне перетворення переводить дане рівняння в рівносильне йому рівняння . Друге рівняння потребує для свого розв'язання не тільки тотожного, але й рівносильного перетворення; в такій якості тут використовується правило перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння в іншу зі зміною знаку. Ми бачимо, що вже в розв'язанні такого простого завдання використовуються обидва типи перетворень - і тотожне, і рівносильне. Це положення зберігається, звісно, і для більш громіздких завдань, таких, як третє.

Мета цього етапу - досягнути швидкості у виконанні завдань на розв'язання найпростіших рівнянь, спрощення формул, що задають функції, в раціональному проведенні обчислень з опорою на властивості дій.

Формування навичок застосування конкретних видів перетворень. Система прийомів і правил проведення перетворень, що використовується на етапі початків алгебри, має дуже широку область додатків: вона використовується у вивченні всього курсу математики. Однак саме через свою малу специфічність ця система потребує додаткових перетворень, що враховують особливості структури виразів, що перетворюються і властивості функцій і виразів, що вводяться. Засвоєння відповідних видів перетворень починається з введення формул скороченого множення. Потім розглядаються перетворення, що пов'язані з операціями піднесення до степеню, з різноманітними класами елементарних функцій - показникових, степеневих, логарифмічних, тригонометричних. Кожен з цих типів перетворень проходить етап вивчення, на якому увага зосереджується на засвоєнні їх характерних особливостей.

За мірою накопичення матеріалу з'являється можливість виділити і загальні риси всіх перетворень, що розглядаються, і на цій основі ввести поняття тотожного і рівносильного перетворень.

Слід звернути увагу на те, що поняття тотожного перетворення дається в шкільному курсі алгебри не загально, а тільки стосовно до виразів. Перетворення розділяються на два класи: тотожні перетворення - це перетворення виразів, а рівносильні - перетворення формул. У випадку, коли виникає потреба в спрощенні однієї частини формули, в цій формулі виділяється вираз, який слугує аргументом тотожного перетворення, що застосовується. Відповідний предикат при цьому вважається незмінним. Наприклад, рівняння і вважаються не просто рівносильними, а однаковими.

Організація цілісності системи перетворень (синтез). Основна мета цього етапу полягає в формуванні гнучкого і потужного апарату, придатного для використання в розв'язанні різноманітних навчальних завдань.

Розгортання другого етапу вивчення перетворень відбувається протягом всього курсу алгебри неповної середньої школи. Перехід до третього етапу здійснюється у підсумковому повторенні курсу в процесі осмислення вже відомого матеріалу, що був засвоєний частинами, за окремими типами перетворень.

У курсі алгебри і початку аналізу цілісна система перетворень, в загальних рисах вже сформована, продовжує поступово вдосконалюватися. До неї також додаються деякі нові види перетворень (наприклад, ті, що відносяться до тригонометричних функцій), однак вони тільки збагачують її, розширюють її можливості, але не змінюють її структури. Методика вивчення цих нових перетворень практично не відрізняється від тієї, що застосовується в курсі алгебри.

Необхідно нагадати про один тип перетворень, який є специфічним для курсу алгебри і початків аналізу. Це перетворення виразів, що містять граничні переходи, і перетворення, що ґрунтуються на правилах диференціювання і інтегрування. Пояснимо основні відмінності цих, «аналітичних» перетворень від «алгебраїчних» перетворень, що розглядаються в даному розділі. Воно полягає в характері множини, яку пробігають змінні в тотожностях. В алгебраїчних тотожностях змінні пробігають числові області, а в аналітичних цими множинами є певні множини функцій. Найбільш чітко це видно в найпростішому прикладі формули, що виражає правило диференціювання суми: ; тут і - змінні, що пробігають множину диференційованих функцій із загальною областю визначення. Не дивлячись на те, що зазначена відмінність не фіксується у вивчені в курсі алгебри і початків аналізу, практика показує, що перетворення, які розглядаються, засвоюються досить впевнено; цьому сприяє їх зовнішня схожість з перетвореннями алгебраїчного типу. Аналогію між ними можна підкреслити, користуючись таким мовленнєвими зворотами, як «алгебра границь», «алгебра диференціювання». Поглиблюватися ж в пояснення різноманітних алгебраїчних і аналітичних тотожностей в основному курсі шкільної математики, мабуть, недоцільно. Це тема факультативних занять.

Тотожності, що вивчаються в шкільному курсі алгебри і алгебраїчному матеріалі курсу алгебри і початків аналізу, можна розподілити на два класи. Перший складається з тотожностей скороченого множення, справедливих в будь-якому комутативному кільці, і тотожності справедливої в будь-якому полі. Другий клас утворений тотожностями, що пов'язують арифметичні операції і основні елементарні функції, а також композиції елементарних функцій. Більшість тотожностей другого класу також мають спільну математичну основу, яка полягає в тому, що степенева, показникова і логарифмічна функції є ізоморфізмами різноманітних числових груп. Наприклад, має місце твердження: існує єдине неперервне ізоморфне відображення адитивної групи дійсних чисел в мультиплікативну групу додатних дійсних чисел, при якому 1 відображається в задане число ; це відображення задається показниковою функцією з основою . Аналогічні твердження мають місце і для степеневої, і для логарифмічної функцій. За їх допомогою можуть бути строго доведені всі тотожності, які вивчаються в курсі шкільної математики для функцій, що розглядаються. Дещо складніше провести математичний опис тотожностей для тригонометричних функцій, однак і тут можна показати, що ці поняття пов'язані з поняттям гомоморфізму груп.

Особливості організації системи завдань у вивченні тотожних перетворень. Основний принцип організації будь-якої системи завдань - пред'явлення їх від простого до складного з урахуванням необхідності здолання учнями посильних труднощів і створення проблемних ситуацій. Указаний основний принцип вимагає конкретизації щодо особливостей певного навчального матеріалу. Для опису різноманітних систем завдань в методиці математики використовується поняття циклу вправ. Цикл вправ характеризується з'єднанням у послідовності вправ декількох аспектів вивчення й прийомів розміщення матеріалу. По відношенню до тотожних перетворень уявлення про цикл може бути таким: цикл вправ, пов'язаний з вивченням однієї тотожності, навколо якої групуються інші тотожності, що знаходяться з нею в природному зв'язку. До складу циклу поряд з виконавськими входять завдання, що вимагають розпізнавання застосування тотожності, що розглядається. Тотожність, що вивчається, застосовується для проведення обчислень на різноманітних числових областях. Ураховується специфіка тотожності; зокрема, організуються пов'язані з нею звороти мовлення.

Завдання в кожному циклі розбиваються на дві групи. До першої групи відносяться завдання, які виконуються у початковому знайомстві з тотожністю. Вони є навчальним матеріалом для декількох уроків, що йдуть поспіль, об'єднаних однією темою. Друга група вправ пов'язує тотожність, що вивчається, з різноманітними додатками. Ця група не утворює композиційної єдності - вправи тут «розкидані» за різноманітними темами.

Описана структура циклу відноситься до етапу формування навичок застосування конкретних видів перетворень. На заключному етапі - етапі синтезу, цикли видозмінюються. По-перше, об'єднуються обидві групи завдань, що утворюють «розгорнутий» цикл, причому з першої групи виключаються найбільш прості за формулюваннями або за складністю виконання завдання. Типи завдань, що залишилися, ускладнюються. По-друге, відбувається злиття циклів, що відносяться до різних тотожностей, через що підвищується роль дій щодо розпізнавання застосовності тієї чи іншої тотожності.

Наведемо конкретний приклад циклу.

Приклад 1. Цикл завдань для тотожності .

Виконання першої групи завдань цього циклу відбувається за таких умов. Учні тільки що ознайомилися з формулюванням тотожності, її записом у вигляді формули, доведенням. Після цього наведено декілька зразків використання заснованого на цій тотожності перетворення; до числа різноманітних прикладів, зокрема, можуть входити приклади, які є аналогічними наведеним нижче.

Перша група завдань

а) Представити у вигляді добутку:

а₁) ; а₂) ; а₃) .

б) Перевірити вірність рівності (100+1)*(100-1)=10000 - 1.

в) Розкрити дужки у виразі .

г) Обчислити: г₁) 49*51; г₂) ; г₃) .

д) Розкласти на множники:

д₁) ; д₂) ; д₃) .

е) Спростити вираз .

Друга група завдань

є) Використовуючи тотожність при , розкласти на множники многочлен .

ж) Виключити ірраціональність у знаменнику дробу .

з) Довести, що якщо - непарне число, то ділиться на 4.

и) Функція задана аналітичним виразом . Звільнитися від знака модуля, розглянувши два випадки: і .

і) Розв'язати рівняння .

Перейдемо до методичного аналізу представленої системи типів завдань.

Завдання а₁) має на меті фіксувати структуру тотожності, що вивчається. Це досягається заміною букв, які використовуються в нормативному записі тотожності і , іншими буквами. Завдання цього типу дозволяють уточнити зв'язок між словесними виразами і символічною формою тотожності. Завдання а₂) орієнтовано на встановлення зв'язку даної тотожності з числовою системою. Виконання завдання спирається на співставлення знакових структур тотожності й виразу, що перетворюється; останній є вже не чисто буквеним, а буквено-числовим. Для опису дій, що здійснюються, необхідно використовувати поняття заміщення букви числом у тотожності. Розвиток навичок застосування операцій заміщення і поглиблення уявлень про неї здійснюється у виконанні завдань типу г₂).

Наступний крок в засвоєнні тотожності для різниці квадратів ілюструється завданням а₃). У цьому завданні запропонований для виконання перетворення вираз не має вигляду різниці квадратів; перетворення стає можливим лише тоді, коли учень побачить, що число 121 можна представити у вигляді квадрату числа, і значить є повний збіг структури даного виразу і структури лівої частини тотожності. Таким чином, виконання цього завдання відбувається не в один крок, а в два: на першому відбувається розпізнавання можливості приведення даного виразу до виду різниці квадратів, на другому відбувається перетворення, яке використовує тотожність. На початку засвоєння тотожності потрібно записувати кожний крок: ; у подальшому деякі операції на розпізнавання виконуються учнями усно. У даному прикладі розпізнавання здійснюється особливо просто; у завданнях д₂), д₃), ж) воно ускладнюється, причому одразу в двох відношеннях. По-перше, тотожність, що вивчається, виконує в цих прикладах прикладну роль, тобто мета завдань полягає у наведенні можливих способів її використання. По-друге, знакові структури виразів, з якими доводиться діяти, вже не настільки прості, як раніше: в прикладі д₂) потрібно встановити зв'язки даної тотожності й інших, що належать до дій з одночленами; в д₃) є можливим застосувати тотожність для різниці квадратів двічі; в ж) учням доведеться здолати певний психологічний бар'єр, здійснюючи вихід в область ірраціональних чисел. Приклад ж) розміщений у другій частині циклу, оскільки його «природне» місце в курсі алгебри - в розділі, що присвячений вивченню формул коренів квадратного рівняння.

Завдання типу б) спрямованні на формування навичок заміни на . У подальшому вивченні тотожності воно розглядається як основа для проведення двосторонніх перетворень. Аналогічну роль відіграють завдання типу в). Приклади типу г), в яких потрібно вибрати один з напрямів перетворень, завершують розвиток цієї ідеї в циклі. Крім указаного, завдання типів б) - є) виконують й інші навантаження. У подальшому в розв'язуванні одного рівняння використання декількох тотожностей стає звичайним явищем. Слід відзначити поступове зростання ролі операцій щодо розпізнавання застосовності тотожності й оцінки доцільності її застосування; цей аспект завдань найбільш чітко видно у прикладі г₁).

У цілому завдання першої групи орієнтовані на засвоєння структури тотожності, операції заміщення в найпростіших, принципіально найбільш важливих випадках, і уявлення про зворотність перетворень, що здійснюються тотожністю.

Основні особливості та цілі, розкриті у розгляді першої групи завдань наведеного циклу, відносяться до будь-якого циклу вправ, що формує навички використання тотожності. Не дивлячись на те, що за мірою вивчення матеріалу курсу алгебри і в подальшому, в курсі алгебри і початків аналізу, відбувається поступове формування елементів алгебраїчної культури, для будь-якої щойно введеної тотожності перша група завдань у циклі повинна зберігати описані особливості; відмінності можуть бути тільки в кількості завдань, на яких вчитель розглядає ті чи інші особливості тотожності, що вивчається.

На відміну від першої друга група завдань у циклі спрямована на більш повне використання й урахування специфіки саме даної тотожності. Завдання другої групи передбачають уже сформовані навички використання тотожності, що вивчається, для різниці квадратів (в найбільш простих випадках); мета завдань цієї групи - поглибити розуміння тотожності за рахунок розгляду його різноманітних застосувань у різних ситуаціях, в сполученні з використанням матеріалу, який відноситься до інших тем курсу математики.

Розглянемо з цієї точки зору розв'язок завдання л):

або .

Останнє рівняння дійсних коренів не має, тому - єдиний корінь рівняння.

Ми бачимо, що використання тотожності для різниці квадратів складає лише частину в розв'язанні прикладу, виступаючи провідною ідеєю проведення перетворень.

Відзначимо особливості циклів завдань, пов'язаних з тотожностями для елементарних функцій. Ці особливості обумовлені тим, що, по-перше, відповідні тотожності вивчаються у зв'язку з вивченням функціонального матеріалу і, по-друге, вони з'являються пізніше тотожностей першої групи і вивчаються з використанням вже сформованих навичок проведення тотожних перетворень.

Кожна щойно введена елементарна функція різко розширює область чисел, які можуть бути означені й названі індивідуально. Тому до першої групи завдань циклів повинні увійти завдання на встановлення зв'язку цих нових числових областей з вихідною областю раціональних чисел. Наведемо приклади таких завдань.

Приклад 2. Обчислити:

Поряд з кожним виразом вказана тотожність, у циклах, за якими можуть бути присутні запропоновані завдання. Мета таких завдань - у засвоєнні особливостей записів, що включають символи нових операцій і функцій, і в розвитку навичок математичного мовлення.

Значна частина використання тотожних перетворень, пов'язаних з елементарними функціями, випадає на розв'язання ірраціональних і трансцендентних рівнянь. До циклів, що відносяться до засвоєння тотожностей, входять тільки найбільш прості рівняння, але вже тут доцільно проводити роботу по засвоєнню прийому розв'язання таких рівнянь: зведення його шляхом заміни невідомого до алгебраїчного рівняння.

Послідовність кроків при цьому способі розв'язання така:

а) знайти функцію , для якої дане рівняння представимо у вигляді ;

б) зробити підстановку і розв'язати рівняння ;

в) розв'язати кожне з рівнянь , де - множина коренів рівняння .

У використанні описаного способу частіше за все крок б) виконується в неявному вигляді, без введення позначення для . Крім того, учні частіше за все віддають перевагу тому шляху розвязання, який швидше і простіше приводить до алгебраїчного рівняння.

Приклад 3. Розв'язати рівняння .

Перший спосіб Другий спосіб

Крок а)

___________________________________________________

Крок б)

_____________________________________________________

Крок в)

Неважко побачити, що у першому способі шаг а) більш складний, ніж у другому. Першим способом «складніше почати», хоча подальший хід розв'язання значно простіший. З іншого боку, у другого способу є дві переваги, що полягають в більшій легкості, більшій відпрацьованості в навчанні зведення до алгебраїчного рівняння.

Для шкільного курсу алгебри типові завдання, в яких перехід до алгебраїчних рівнянь здійснюється навіть ще простіше, ніж в даному прикладі. Основне навантаження таких завдань відноситься до виділення кроку в) як самостійної частини процесу розв'язання, пов'язаного з використанням властивостей елементарної функції, що вивчається.

Таким чином, приходимо до класифікації завдань в циклах, що відносяться до розв'язань трансцендентних рівнянь, які містять показникову функцію:

1) рівняння, що зводяться до рівнянь виду і мають просту за формою відповідь: ;

2) рівняння, що зводяться до рівняння , де - ціле число, або , де ;

3) рівняння, що зводяться до рівняння і потребують явного аналізу форми, в якій записано число .

Аналогічно можна класифікувати завдання і для інших елементарних функцій.

Важливим питанням, яке необхідно враховувати у вивченні тотожностей з елементарними функціями, є розгляд області визначення. У вивченні тотожностей з раціональними виразами ця необхідність проявляє себе тільки у виконанні операцій скорочення алгебраїчних дробів.

Приклад 5. а) Побудувати графік функції . б) Розв'язати рівняння . в) На якій множині формула

є тотожністю?

Типова помилка, яку здійснюють учні в розв'язанні завдань а), полягає у використанні рівності без урахування умови . У даному випадку в підсумку шуканий графік має вигляд параболи замість вірної відповіді - права вітка параболи. У завданні б) показане одне з джерел отримання складних систем рівнянь і нерівностей, коли необхідно враховувати області визначення функцій, а в завданні в) - вправа, яка може виконувати роль підготовчої.

Ідея, якою об'єднані ці завдання - необхідність вивчення області визначення функції, може виявитися тільки у співставленні таких, різнорідних за зовнішньою формою завдань.

Доведення тотожностей. Значна частина тотожностей, що вивчаються в курсах алгебри та алгебри і початків аналізу, доводиться в них чи хоча б пояснюється. В якості опори, на якій будуються доведення тотожностей, використовуються властивості арифметичних операцій. Нерідко, особливо у вивченні тотожностей для тригонометричних функцій, для доведень застосовуються геометричні поняття і методи, пов'язані з геометричними величинами і з координатною площиною. Варто відзначити, що геометричні доведення деяких тотожностей не тільки повчальні та наочні, але й сприяють посиленню міжпредметних зв'язків; тому їх корисно розглядати поряд з доведеннями алгебраїчного характеру.

Доведення тотожностей можна розділити на три типи в залежності від того, наскільки вони задовольняють вимогам строгості:

а) неповністю строгі судження, що вимагають використання методу математичної індукції для надання їм повної строгості. Ці доведення застосовуються для виведення правил дії з многочленами, властивостей степенів з натуральними показниками;