Основные этапы.

Деятельность учителя и учеников.

I. ОРГ. МОМЕНТ.

Дождаться тишины.

УМ, УИ: Здравствуйте, присаживайтесь.

II. ПОВТОРЕНИЕ.

1 ученик у доски

Самостоятельная работа по 2 вариантам

УМ: Для начала повторим. Напишите на доске правила дифференцирования:

Д:

УМ: А пока он пишет, проведём письменный опрос. Достаньте листочки. Разделитесь на 2 варианта. Ответьте на следующие вопросы.

1 вариант

2 вариант

1. Какая связь между производной функции и промежутками возрастания и убывания?

2. Что называют точкой минимума?

3. Какая функция называется чётной?

4. Что называют бездумным исполнителем?

1. Какая связь между производной функции и точками экстремума?

2. Что называют точкой максимума?

3. Какая функция называется нечётной?

4. Чем отличается система команд от системы допустимых действий?

III. ВВЕДЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Учитель спрашивает, дети отвечают. Курсив - записывают в тетрадь.

УИ: В своей жизни мы встречаемся с различными ситуациями, например, приготовление супа, решение уравнения на уроке алгебры, открывание двери и многие другие при решении которых мы выполняем определенную последовательность действий.
Какие действия нужно совершить, чтобы налить чай?

Д:

1. Налить в кружку заварки;

2. Налить горячую воду;

3. Насыпать сахар по-вкусу;

4. Налить немного молока.

УИ: Такие последовательности действий мы совершаем каждый день не задумываясь. А ведь такая последовательность действий и есть алгоритм. Таким образом, алгоритм - это точное предписание о последовательности действий, которые должны быть произведены для получения результата. А где мы встречаемся с алгоритмами?

Д: Дома, в школе, ...

УИ: Т.е мы постоянно сталкиваемся с алгоритмом в различных сферах деятельности человека. Обычно мы выполняем привычные действия механически. А давайте подумаем, кто может выполнять алгоритм?

Д: Человек, автомат, компьютер, машина,... т.е. исполнитель.

УИ: Если мы с вами внимательно посмотрим вокруг себя, то увидим что наш мир состоит из множества алгоритмов, при этом эти алгоритмы разнообразны. Но даже в таком многообразие мы можем выделить свойства, которые имеет каждый алгоритм.

Свойства алгоритма:

1. Дискретность - алгоритм должен состоять из действий, следующих в определенном порядке;

2. Определенность - любое действие должно быть строго и недвусмысленно определено в каждом случае;

3. Массовость - один и тот же алгоритм должен быть применим для некоторого класса задач;

4. Результативность - отсутствие ошибок, алгоритм должен приводить к результату за конечное число шагов;

5. Понятность - алгоритм должен быть понятен исполнителю и исполнитель должен быть в состоянии его выполнить.

УИ: Также все эти свойства можно рассматривать, как требования к построению алгоритма, таким образом, при построении алгоритма решения задачи мы должны учитывать все требования.

УМ: А сейчас давайте построим график функции

.

УМ: Построить этот график будет сложновато. Строить таблицу значений утомительно. Она не даст достаточно точной информации о поведении графика. Поэтому будем узнавать поведение графика по мелочам. Какова область определения и область значений этой функции?

Д: R и R.

УМ: Может быть она периодична?

Д: Нет.

УМ: Проверим на чётность / нечётность.

Д: Функция не чётна и не нечётна.

УМ: Найдём точки пересечения с осями.

Д: (0;0) и (1;0).

УМ: Не зря же мы столько уроков изучали производную. Давайте её найдём.

Д: .

УМ: Вспомните, какие данные о графике мы можем получить, исследуя производную?

Д: Мы можем найти промежутки убывания и точки экстремума.

УМ: Давайте найдём.

Д:

1

f '

+

0

-

0

+

f

0

УМ: А теперь соединим эти сведения и построим график.

Д:

Рис. 7

УМ: Работая по такой схеме можно построить любой график. Составим план действий.

План исследования функций:

1) Найти D(f);

2) E(f);

3) период, если есть;

4) проверить на чётность / нечётность;

5) найти точки пересечения с осями;

6) производную;

7) промежутки возрастания и убывания;

8) точки экстремума и значения функции в точках экстремума;

9) построить график.

УИ: Ребята, посмотрите внимательно, чем является этот план?

Д: Алгоритмом.

УИ: Давайте проверим, выполняются ли требования к алгоритмам. Дискретен ли этот план, определён ли порядок?

Д: Да.

УИ: Однозначно ли определён каждый пункт?

Д: Да.

УИ: Можем ли мы использовать этот план для построения графиков других функций?

Д: Да.

УИ: Выполнив план, мы получим результат? Какой?

Д: Да. График.

УИ: Понятен ли алгоритм, можем ли мы его выполнить?

Д: Да.

УИ: Значит все требования выполнены.

IV. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Дети по очереди говорят пункты алгоритма.

Учитель диктует задание

Примеры записаны на доске.

УИ: А теперь самостоятельно разработайте алгоритм нахождения экстремума функции f(x).

Д: Для нахождения экстремума функции f(x) нужно:

1. Найти производную функции f '(x);

2. Приравнять её к 0;

3. Найти корни полученного уравнения;

4. Определить знак производной по обе стороны от каждой точки;

5. Определить вид экстремума (точка, где производная меняет свой знак с + на -, является максимумом, а с - на + - минимумом).

УИ: Решить самостоятельно следующее задание: БИ умеет выполнять следующие действия:

1) взять Х;

2) поджарить Х;

3) смолоть X в мясорубке;

4) закатать Х в Y;

5) сварить X;

6) нарезать X;

7) положить X на Y,

где вместо букв X и Y можно подставить слова «мясо», «тесто», «сыр», «то, что получилось»(ТЧП), «хлеб». Используя эти действия, составьте:

а. алгоритм приготовления пельменей;

б. алгоритм приготовления чего-либо еще съедобного;

в. алгоритм приготовления чего-нибудь несъедобного;

г. какой-нибудь неисполнимый алгоритм.

УИ: Проверим, что у вас получилось. Заполните таблицу.

а

б

в

г

1

2

3

4

5

6

7

УМ: А теперь постройте графики следующих функций:

V. ПОСТАНОВКА Д/З.

Учитель диктует д/з

УИ: Дома решить следующее задание: Представьте себе, что ваш младший братишка впервые пойдет в магазин за хлебом. Напишите для него алгоритм, объясняющий, как добраться до магазина и как обращаться с деньгами (совет: предварительно обсудите список его допустимых действий; например, является ли для него допустимым переход через дорогу).

УМ: Построить график функции на отрезке [-3; 3]

VI. ИТОГИ.

Учителя выставляют оценки за урок.

УИ: Что такое алгоритм?

Д: Это точное предписание о последовательности действий, которые должны быть произведены для получения результата.

УИ: Какие свойства алгоритмов вы знаете?

Д:

1) Дискретность - действия, следуют в определенном порядке;

2) Определенность - любое действие определено;

3) Массовость - алгоритм применим для класса задач;

4) Результативность - отсутствие ошибок;

5) Понятность.

УМ: Назовите алгоритм исследования графика функции.

Д:

1) Найти D(f);

2) E(f);

3) период, если есть;

4) проверить на чётность / нечётность;

5) найти точки пересечения с осями;

6) производную;

7) промежутки возрастания и убывания;

8) точки экстремума и значения функции в точках экстремума;

9) построить график.

УМ: Кто работал у доски - дневники на стол.

УМ, УИ: На этом урок окончен, можете быть свободны.

Основные этапы.

Деятельность учителя и учеников.

I. ОРГ. МОМЕНТ.

Дождаться тишины.

УМ, УИ: Здравствуйте, присаживайтесь.

II. ПОВТОРЕНИЕ.

Фронтальный опрос.

Учитель пишет на доске, дети диктуют.

На доске и в тетрадях нарисован рис.9.

На доске и в тетрадях нарисован рис.10

Рис. 8

УИ: Можно ли решение квадратного уравнения через дискриминант назвать алгоритмом?

Д.: Можно.

УИ: Действительно, это алгоритм с 3 условиями. Давайте составим блок схему. Что мы должны сделать в начале?

Д.: Нужно ввести начальные данные.

УИ: Какие в этом алгоритме начальные данные?

Д.: Коэффициенты a,b и с.

Рис. 9

УИ: Что дальше?

Д.: Первое условие D < 0. Если «Да», то «Корней нет», если «Нет», то следующее условие и т.д.

УИ: А может ли в нашем алгоритме в третьем условии быть ответ «Нет»?

Д.: Нет, не может, так как для этого надо ответить «Нет» на условие D < 0 и D = 0, т.е на этом шаге не может быть ничего другого, кроме D > 0.

УИ: Значит вместо 3 условия можно просто записать оператор, который был под ответом «Да» в 3 условии. Это весь алгоритм или еще что-нибудь?

Д.: Это все.

УМ: Рассмотрим другие виды квадратных уравнений. Какое уравнение получится, если с или b = 0?

Д.: Неполное.

УМ: Как решать неполное квадратное уравнение, если b = 0?

Д.:

УИ: Какие накладываются условия на это решение?

Д.: .

УИ: Составим блок-схему этого решения неполного квадратного уравнения. Для задания в условии в Паскале ? не очень удобно. Как сделать проще?

Д.: В условии записать > и поменять местами веточки «Да» и «Нет»

УМ: Какой еще вид квадратных уравнений остался?

Д.: с = 0.

УМ: Как будем решать?

Рис. 10

Д.:

УИ: Накладываются ли какие-либо условия на это решение?

Д.: а ? 0

УМ: Но будет ли в этом случае уравнение квадратным?

Д.: Нет.

УИ: Значит никакие условия не накладываются.

УМ: Какой еще 1 вид квадратных уравнений пропустили?

Д.; Приведенное, когда а = 1. x2 + px +q = 0

УМ: Как решается такое уравнение?

Д.: По теореме Виета: Эта система решается методом подбора.

III. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Примеры записаны на доске. В каждом блоке 2 примера решаются у доски, остальные в тетради.

УМ: А сейчас решаем примеры. Все свои ответы записывайте на листочек. Потом проверять будем.

Блок 1.

5x2 - 11x + 2 = 0

2p2 + 7p -30 = 0

9y2 - 30y + 25 = 0

35x2 + 2x - 1 = 0

2y2 - y - 5 = 0

16x2 - 8x + 1 = 0

Блок 2.

3x2 - 4x = 0

-5x2 + 6x = 0

10p2 + 7p = 0

4a2 - 3a = 0

6z2 - z = 0

2y + y2 = 0

Блок 3.

4x2 - 9 = 0

9y2 -1 = 0

3m2 + 1 = 0

-x2 + 3 = 0

-0,1x2 + 10 = 0

6v2 + 24 = 0

Блок 4.

x2 - 11x + 2 = 0

r2 + 7r -30 = 0

y2 - 30y + 25 = 0

x2 + 2x - 1 = 0

y2 - y - 5 = 0

x2 - 8x + 1 = 0

IV. ЛАБОРОТОРНАЯ РАБОТА

Делятся на варианты, рассаживаются за компьютеры.

Через 7 минут

УИ: А теперь разделитесь на 3 варианта и садитесь за компьютеры. 1 вариант пишет программу для решения полных квадратных уравнений по 1 блок-схеме. 2 вариант - неполное квадратное уравнение (b = 0) по 2 блок-схеме. 3 вариант - решение неполных квадратных уравнений (с = 0). Это простой алгоритм, блок-схему разработайте сами.

УИ:А теперь с помощью программ проверим решение ваших уравнений. 1 вариант забивайте коэффициенты из 1 блока уравнений, 2 вариант - 2 блок, 3 вариант - 3 блок.

V. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Примеры записаны на доске

УМ: А теперь решите следующие уравнения (можно с помощью компьютера).

VI. ПОСТАНОВКА Д/З.

Ученикам раздается д/з на карточках

УМ: Дома решить примеры на карточках.

3x2 - 2x + 1 = 0

7z2 -9 z = 0

11y + y2 = 0

-3,8x2 + 10 = 0

-6v2 - 17 = 0

x2 + 7x - 2 = 0

y2 - 54y - 32 = 0

УИ: Разработать блок-схему для решения приведенных квадратных уравнений методом Виета.

VII. ИТОГИ.

Учитель выставляет оценки за урок.

УМ: Итак, у кого все ответы на листочках совпадают с решением с помощью программы, поднимите руки. Вам на следующем уроке самый сложный вариант контрольной работы. Так у кого все правильно? Кто поднял, тому 5.

УМ: Кто работал у доски - дневники на стол.

УМ, УИ: На этом урок окончен, можете быть свободны.

Основные этапы.

Деятельность учителя и учеников.

I. ОРГ. МОМЕНТ.

Дождаться тишины.

УМ, УИ: Здравствуйте, присаживайтесь.

II. ПОВТОРЕНИЕ.

Фронтальный опрос.

По одному дети рисуют на доске 3 схемы.

Учитель у доски. Дети пишут в тетради.

Дети подсказывают учителю элементы схемы.

Дети программируют

Дети диктуют результаты

Учитель у доски. Дети пишут в тетради.

Рис. 16

УИ: Напишите эту программу в Паскале.

УИ: Введите в качестве радиуса 1/2, чтобы легче можно было определить погрешность вычисления. n =384.

УИ: Итак, давайте запишем в столбик результаты.

Р6 = 3

P12 = 3,10582...

24 = 3,13262...

P48 = 3,13935...

Р96 = 3,14103...

Р192 = 3,14145...

Р384 = 3,14156....

УМ: Как видим, при каждом последующем удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника мы получаем последовательность значений произведения 2R*n*sin(180°/n). Каждый последующий член этой последовательности больше предыдущего и в то же время каждый её член меньше некоторого определённого числа. Эта последовательность имеет предел, который и принимают за длину окружности. Таким образом, периметр правильного вписанного многоугольника даёт приближённое значение длины окружности, причём по мере удвоения числа сторон этого многоугольника точность значения возрастает.

III. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Задачи диктуются учителем. Решаются у доски по-желанию.

УМ: Решить следующие задачи.

№ 1. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?

№ 2. Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

№ 3. Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника со стороной а;

б) прямоугольного треугольника с катетами a и b;

в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b;

г) прямоугольника со стороной а и острым углом б между диагоналями;

д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24v3 см2.

УИ: Составьте блок-схему алгоритма, вычисляющего радиус по длине окружности. Написать программу и заполнить таблицу.

С

82

18р

6,28

2v2

R

4

3

0,7

101,5

IV. ПОСТАНОВКА Д/З.

Ученикам раздается д/з на карточках

УМ: Дома решить задачу « Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом б; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании а и высотой h, проведенной к основанию.».

УИ: Составить блок-схему алгоритма, вычисляющего длину по радиусу окружности. Написать программу.

V. ИТОГИ.

Учителя выставляют оценки.

УМ: Кто работал у доски - дневники на стол.

УМ, УИ: На этом урок окончен, можете быть свободны.

Основные этапы.

Деятельность учителя и учеников.

I. ОРГ. МОМЕНТ.

Дождаться тишины.

УМ, УИ: Здравствуйте, присаживайтесь.

II. ПОВТОРЕНИЕ.

Самостоятельная работа по 2 вариантам

УМ: А пока он пишет, проведём письменный опрос. Достаньте листочки. Разделитесь на 2 варианта. Ответьте на следующие вопросы.

1 вариант

2 вариант

1. Какая связь между производной функции и промежутками возрастания и убывания?

2. Что называют точкой минимума?

3. Как записывается оператор условия в Паскале?

4. Как записывается оператор цикла с постусловием в Паскале?

5. Как записывается массив в Паскале?

1. Какая связь между производной функции и точками экстремума?

2. Что называют точкой максимума?

3. Как записывается оператор цикла с предусловием в Паскале?

4. Как записывается оператор цикла с параметром в Паскале?

5. Как записывается массив в Паскале?

III. ВВЕДЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Учитель рассказывают. Курсив - записывают в тетрадь.

Учитель спрашивает, дети отвечают.

УМ: Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b].

Рис. 17

УМ: Как известно такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке x0 отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т.е.при x0 = а, или x0= b. Если х0 (a; b) то точку x0 следует искать среди критических точек данной функции. Получаем следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

1) найти критические точки функции на интервале (а;b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b,

4) среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.

УМ: Следует отметить следующие замечания:

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b]имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. ((x0) = fнб = fmax , где нб - наибольшее, max - максимальное).

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или у бывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее - на другом.

УМ: Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Практически задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса, с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики - линейное программирование

УМ: Рассмотрим алгоритм на примере. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = Зx2 + 4x3 + 1 на отрезке [- 2; 1].

Д: f '(x) = 6x + 12x2

6x + 12x2 = 0

x1 = 0 x2 = -1/2

Оба корня из промежутка [-2;1]. Найдём значение функции в этих и крайних точках.

f(0) = 1;

f(-1/2) = 1,25;

f(-2) = -19;

f(1) = 8.

Наибольшее значение функции f(1) = 8. Наименьшее значение функции f(-2) = -19.

IV. ЛАБОРОТОРНАЯ РАБОТА

Ученики с помощью учителя составляют алгоритм (рис.18)

Ученики самостоятельно пишут программу

Рис. 18

УИ: Пусть первый элемент массива - минимальный (максимальный). Пока не конец массива: сравниваем каждый элемент массива с выбранным минимальным (максимальным). Если текущий элемент массива меньше минимального (больше максимального), то присваиваем минимальному (максимальном) числу значение текущего элемента массива. Рассмотрим схему работы алгоритма при нахождении минимального элемента массива, состоящего из значений функции f(x) на промежутке [a;b] с шагом h.

УИ: А теперь самостоятельно напишите программу на языке Pascal.

УИ: Проверим программу. Найти наименьшее значение функции: f(x) = Зx2 + 4x3 + 1 на отрезке [- 2; 1] с шагом 0,2. Какой получился ответ?

Д: -19.

V. РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ.

Примеры записаны на доске

УМ: А теперь решите следующие задания.

a) f (x) = x3 - 3x2 + 3x + 2; [- 2; 2]

b) y = 9x + 3x2 - x3 на отрезке [- 2; 2]

c) y = 5 + x4 - 8x на отрезке [- 3 ; 2];

d) f (x) = 9 - 6x2 - x3 на отрезке[- 4; 2].

УИ: Решите эти же задания с помощью компьютера.

УМ: Есть ли разницы между ответами? Почему она возникла?

VI. ПОСТАНОВКА Д/З.

Ученикам диктуется д/з

УМ: Дома решить следующее задание. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: y = 4 - 9х + 3x2 + x3 на отрезке [- 2; 2].

УИ: Разработать программу для решения следующей задачи: Дан массив а(10), заполненный датчиком случайных чисел. Найти наибольший положительный элемент массива и увеличить его в 3 раза.

VII. ИТОГИ.

Учителя выставляют оценки за урок.

УМ: Сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Д:

1) найти критические точки функции на интервале (а;b);

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка;

4) среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.

УИ: Опишите суть алгоритма нахождения максимума.

Д: Пусть первый элемент массива - максимальный. Пока не конец массива: сравниваем каждый элемент массива с выбранным максимальным. Если текущий элемент массива больше максимального, то присваиваем максимальном числу значение текущего элемента массива.

УМ: Кто работал у доски - дневники на стол.

УМ, УИ: На этом урок окончен, можете быть свободны.