Методика формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

По дисциплине: Методика преподавания математики

По теме: «Методика формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников»



Содержание

Введение

§1. Роль и место обучения вычислениям в курсе начальной математики

§2. Опора на обобщения при обучении детей вычислениям. Формирование навыков

§3. Ошибки в вычислениях и пути их преодоления

§4. Основные положения системы ознакомления с вычислительными приёмами и формирования вычислительного навыка

§5. Формирование устных вычислительных умений и навыков в концентре «Сотня» (сложение и вычитание)

Заключение

Библиография

Приложение



Введение

математика начальный сложение вычитание

Перемены в жизни современной школы требуют от учителя умения придать учебно-воспитательному процессу развивающий характер, практическую направленность, активизировать познавательную деятельность учащихся. Практическая направленность в обучении младших школьников математике должна проявляться и в усилении внимания к формированию устных и письменных вычислений.

Формирование у школьников I-IV классов вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

Действующая сейчас программа по математике предусматривает «формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приёмов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметический действий и вытекающими из них следствиями».

Такой подход к формированию вычислительных навыков должен себя оправдывать в практике работы школы. Тем не менее, многие дети уже с I класса при сложении и вычитании в пределах сотни используют только письменные вычислительные приёмы. При таком подходе к обучению математике нельзя говорить о полноценном умственном развитии ребёнка.

Многие учащиеся не различают устные и письменные вычислительные приёмы. При оценке знаний учитель зачастую не учитывает рациональность и быстроту вычислений. Проверочные контрольные работы в начальных классах предлагаются однообразные: задача, несколько примеров и задание на вычерчивание геометрической фигуры. Учителя угадывают тип задачи, «натаскивают» детей на решении подобных задач, позволяют пользоваться черновиками, в которых дети записывают примеры в столбик, а затем найденный результат переносят на «чистовик». Такое обучение протекает без учёта индивидуальных возможностей, так как из-за черновиков учитель не видит хода мысли ребёнка, его затруднений или успехов.

Таким образом, формирование вычислительных умений в пределах 100 традиционно считается одной из ведущих и самых «трудоёмких» тем I класса. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов ставит необходимость «жёсткой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее владение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одарённостью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для методической школы. В связи с этим значительная часть всех существующих сегодня учебников математики для начальной школы отведена формированию устных вычислительных умений и навыков.

Рассматривая проблему формирования вычислительных навыков у младших школьников, методисты, как правило, обращаются к «технологической» стороне этого процесса, предлагая учителю целый ряд чисто «технических» приёмов выполнения этих вычислений, получивших название «удобных способов». Применение этих «удобных способов» демонстрируют соответствующие страницы учебников. Учитель чаще всего придерживается рекомендованных учебником способов вычислений, приучая к ним детей. Вопрос о том, действительно ли этот способ «удобен» всем ученикам, обычно не дискутируется. При такой тактике формирования вычислительной деятельности, естественно, возникает проблема её формирования. Эта проблема начинает приобретать «хроническое» состояние уже с I класса, становится нормой, с которой учитель заранее смиряется. Иными словами, в любом классе есть ученики, испытывающие постоянные трудности при устных вычислениях, при этом «по умолчанию» считается, что это их обычная проблема и уж если «не дано, так не дано».

Знакомя детей с вычислительными приёмами и формируя соответствующие навыки, учителю полезно ознакомиться с психологическими и нейрофизиологическими исследованиями в связи с изучением уровня разработанности проблемы учёта типа учебной деятельности ребёнка. В частности, особое внимание уделить проблеме учёта преобладающего стиля мыслительной деятельности человека соответственно возрастному созреванию.

Психологи выделяют два характерных стиля мыслительной деятельности в большей или меньшей степени, как правило, присущих каждому человеку: аналитический и синтетический. В первом случае, мысль человека более успешно двигается по пути от общего к частному, во втором - от частного к общему. В исследованиях В.В. Давыдова ученики этих двух типов называются «теоретиками» и «эмпириками». В общем и целом, отмечается, что в начальных классах первых намного меньше, чем вторых. Также отмечается, что среди первых больше детей, успешно усваивающих курс математики, в том числе и не испытывающим особых проблем с освоением вычислительных приемов как устных, так и письменных, большая часть детей, испытывающих трудности при усвоении школьного курса математики, среди «чистых синтетиков».

Формирование и развитие того или иного типа мыслительной деятельности в детском возрасте находится в значительной зависимости от этапов созревания мозговых структур правого и левого полушария. Исследования нейрофизиологов показывают определённые возрастные закономерности в развитии право- и левополушарных способностей. В частности, до 9-10 лет для большинства людей характерно преобладание в развитии функций, связанных с правым полушарием (синтетический тип), затем более активно формируются функции, связанные с левым полушарием (аналитический тип) и во взрослом возрасте для большинства людей этот тип является преобладающим. Развитие аналитического типа мыслительной деятельности стимулирует и общепринятая система образования, основанная на постоянной активизации центров письма и речи, которые, как известно, находятся в левом полушарии. Правое же полушарие «отвечает» за процесс сенсорного восприятия окружающего мира - образ, цвет, звук, ориентировка в пространстве, кинестетика, осязание и т.д. Для его активного функционирования необходимы «внешние опоры», опоры, непосредственно воспринимаемые сенсорикой и имеющие образный характер.

Таким образом, физиологии мозга ребенка младшего школьного возраста (6- 9 лет), с теоретической точки зрения, более соответствует синтетический (конструктивный) тип изложения материала, сопровождаемый внешними опорами образного характера, и такой стиль учебной деятельности является наиболее адекватным для большинства младших школьников. Практически, неравномерность процесса развития мозговых структур как раз и «даст» то неравномерное соотношение аналитиков и синтетиков (теоретиков и эмпириков), которое характерно для начальных классов, т.е. преобладание вторых и намного меньшее количество первых, которое отмечается психологами.

Обращаясь же к конкретной проблеме формирования вычислительных навыков у детей, следует отметить, что «удобным способом» формирования у них вычислительной деятельности является способ, соответствующий их типу мышления, т.е. синтетический.



§1. Роль и место обучения вычислениям в курсе начальной математики

Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел и законов арифметических действий важнейшее место в начальном обучении всегда занимало формирование у детей вычислительных навыков.

В системе и методике обучения детей вычислениям в разное время и в разных странах принципиальные расхождения наблюдались лишь в определении относительного значения устных и письменных приемов вычисления, а также в самом подходе к формированию соответствующих навыков. Так, например, для американской школы всегда было характерным увлечение письменными приемами и то, что при формировании навыков вычислении основное значение придавалось механическим тренировочным упражнениям, занимавшим большую часть времени, отводимого на обучение арифметике.

В противоположность этому, русская школа всегда отличалась очень большим вниманием к устным вычислениям и стремлением добиться глубокого понимания детьми используемых вычислительных приемов при выполнении арифметических действий как в устной, так и в письменной форме.

Одной из прочно укоренившихся традиций школьного обучения стали у нас обязательные, ежедневные упражнения в устном счёте, проводимые буквально на каждом уроке математики в начальных классах.

Чем же объясняется такая приверженность к устным вычислениям, какая характерна для нашей школы?

Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счёт всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках арифметики теоретических знаний. Устный счёт способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и из сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др. Упражнениям в устном счёте всегда придавалось также большое воспитательное значение: считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, развитию памяти детей, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления.

Сравнивая устные и письменные приёмы вычислений, некоторые методисты неоднократно отмечали, что во всех этих отношениях устный счёт открывает значительно более широкие возможности, чем письменные вычисления.

Против такого резкого противопоставления высказывались другие авторы методических руководств; подчеркивалось, в частности, что и при выполнении письменных вычислений требуется известная степень сознательности. Необходимо подчеркнуть и другую сторону: автоматизм должен в определенной мере участвовать и при выполнении устного счёта.

Следует и в этом случае говорить о выработке у школьников особых умений на основе специально подобранных упражнений. Даже тот этап устного счёта, который кажется наиболее творческим, а именно анализ чисел, подлежащих счёту, и выбор наиболее рациональных путей вычисления, требует выработки специальных умений, приобретаемых только путём упражнения.

Попутно отметим, что в школе дети делают больше всего ошибок в письменных вычислениях (с большими числами) не потому, что они не знают приёмов вычислений, а потому, что они перестают удерживать своё внимание на самом процессе.

Решающую роль в рационализации обучения вычислительной технике должно сыграть более широкое, чем это было до сих пор, использование обобщений учебного материала учащимися.

§2. Опора на обобщения при обучении детей вычислениям. Формирование навыков

Основные приёмы устных и письменных вычислений, которыми дети должны овладеть в начальной школе, основаны на свойствах чисел в десятичной системе счисления и свойствах арифметических действий. Однако знакомятся с приёмами вычислений дети значительно раньше, чем узнают те общие закономерности, на которых они основаны.

Однако и здесь уже, буквально с первых шагов обучения, предметом наблюдения детей должны становиться и сами числа. Так, знакомя детей с образованием числа 2 присоединением 1 к 1, а затем числа 3 - присоединением 1 к 2, числа 4 - присоединением 1 к 3 и т. д., учитель должен довести до сознания детей, что вообще каждое следующее число может быть получено путём присоединения 1 к предыдущему. Аналогично этому, рассматривая последовательно состав каждого числа в отдельности, нужно стремиться к тому, чтобы дети уловили главное, а именно: что всякое число может быть составлено из отдельных единиц или из различных групп и т. п.

Совершенно ясно, что на этом этапе обучения не может быть никакой речи о словесной формулировке учащимися этих общих положений, однако и здесь уже можно и нужно всемерно стимулировать перенос детьми тех знаний, которые были приобретены при изучении одних чисел на другие.

Если при изучении чисел первого десятка эти первоначальные обобщения будут достигнуты, то на основе их можно будет повысить и уровень изучения сложения и вычитания в пределах 10. Здесь опять-таки каждый случай сложения и вычитания можно рассматривать в отрыве от других, опираясь главным образом на наглядность, как это чаще всего и делается на практике. Однако гораздо более эффективным оказывается другой путь, когда учитель доводит до сознания детей общее положение, лежащее в основе этих случаев .

При изучении темы «Второй десяток» дети овладевают основными приёмами устных и письменных вычислений (представление числа в виде суммы разрядных единиц, способы сложения и вычитания без перехода и с переходом через десяток) и поэтому очень важно довести до их сознания именно эти общие принципы, не ограничиваясь запоминанием таблицы сложения в пределах 20. Знание этих принципов не только поможет детям сознательно использовать тот или иной вычислительный приём - оно послужит хорошей подготовкой к рассмотрению в дальнейшем свойств арифметических действий.

В концентре «Сотня» продолжается работа над формированием и совершенствованием навыков устных вычислений. Значительно смелее, чем это делалось до сих пор, можно опираться при изучении действий в пределах 100 во II классе на знания, приобретенные детьми в I классе. Нужно сделать все, чтобы дети увидели, как много общего в решении новых примеров с теми, которые решались в I классе. А для этого необходимо, прежде всего, сопоставить аналогичные по способу решения примеры. Демонстрируя способ решения на наглядных пособиях, лучше для этого использовать те же пособия, что и в I классе, словесные пояснения давать в той же форме и т. п.

Дети довольно легко улавливают сходство между сложением (и вычитанием) в пределах 20 и в пределах 100. Однако, заметив сходство, они не всегда так же хорошо видят отличия, а поэтому допускают ошибки в решении. В связи с этим полезно так организовать упражнения, чтобы примеры этих видов давались в противопоставлении.

Во II классе дети практически знакомятся с некоторыми новыми свойствами арифметических действий. Так, кроме переместительного и сочетательного свойства, они широко используют при вычислениях распределительное свойство умножения и др. Соответствующие законы и здесь обычно не формулируются, Но фактически дети могут уже при решении соответствующих примеров производить действия на основе общего правила, отнюдь не обращаясь каждый раз к использованию наглядного материала.

Опыт применения свойств арифметических действий и десятичной системы счисления при изучении приемов устных вычислений в I-II классах является прекрасной базой для окончательной отработки соответствующих обобщений в IV классе. При обучении письменным вычислениям в III-IV классах огромное значение имеет осознание детьми смысла тех операций, которые производятся в каждом конкретном случае.

Уделяя большое внимание сознательности усвоения детьми приёмов устных и письменных вычислений, учителя не всегда, однако, в полной мере используют приобретаемые детьми общие знания в дальнейшей работе. Так, при переходе от одного концентра к другому, от изучения действий с числами в пределах 1000 к изучению действий во все большей области чисел много времени расходуется нерационально на объяснения учителя, которые очень немногое добавляют к тому, что говорилось прежде.

Больше внимания следует уделить осознанию детьми общих особенностей чисел десятичной системы счисления при переходе от одного концентра к другому. На этой основе, уловив сходство действий с числами разной величины, дети смогут самостоятельно перенести знания, умения и навыки, приобретённые, например, при изучении сложения и вычитания в пределах 1000, на выполнение этих действий с числами любой величины.

Известно, что возможность активно мыслить достигается только при условии, если значительная часть известных детям арифметических операций выполняется без особого напряжения, достаточно быстро и тем самым освобождается время для интенсивной умственной работы но отношению к новому, более сложному материалу. Поэтому очень важно при обучении арифметике сформировать такие навыки, которые носят автоматизированный характер, что обозначает переход от осознанного к механическому выполнению действии.

Важнейшее условие формирования полноценных навыков состоит в том, чтобы обеспечить достаточную осознанность их на самом начальном этапе и не спешить с переводом их в разряд автоматизированных действий. Соблюдение этого условия даст возможность ученикам быстро выполнять большое количество необходимых действий и в то же время осуществлять их под контролем сознания. В этом случае ученики всегда могут (при первом же требовании со стороны, или если они сами чувствуют неуверенность, давая ответ) вернуться к пройденному этапу осознанного выполнения действий.

Учащиеся, выполняющие вычисления без достаточного их осознания, обнаруживают полную беспомощность в том случае, если они допустили ошибку. В этих случаях учителю не надо жалеть времени на то, чтобы возвратить такого ученика к пройденным ранее этапам обучения и восстановить весь тот путь рассуждений, который лежит в основе выполнения той или иной операции; нужно привлечь для этой цели и наглядные пособия. Навыки, которые формируются в процессе обучения арифметике, различны по степени сложности. Одни из них представляют собой прямую связь (ассоциацию) между восприятием условия и ответом. Другая категория навыков представляет цепь связей, в этом случае ответ может быть получен только через ряд промежуточных звеньев, причём каждое предшествующее звено непосредственно влечёт за собой последующее. На первоначальном этапе обучения в основе этих операций лежит серия определённых правил, но когда навык вычислении уже выработай, ученик выполняет действия, не вспоминая соответствующих правил. Эти действия можно назвать поэтому правилосообразными действиями . При этом правила, в соответствии с которыми совершаются действия, носят обобщенный характер, то есть они охватывают широкий круг различных конкретных явлении. Возможность опереться на общее правило при выработке навыков является средством экономии времени и сил в учебной деятельности, в частности при выполнении вычислений. Общее правило освобождает ученика от необходимости заучивать все частные случаи. Для автоматизированного выполнения учеником действий имеет значение не только понимание им правил, лежащих в основе действия, но и система упражнений.

§3. Ошибки в вычислениях и пути их преодоления

Основная идея, выдвигаемая в психологии применительно к проблеме ошибок, сводится к следующему: ошибка не есть только отсутствие правильного ответа, она является результатом определенного процесса, природу которого необходимо выявлять. В практике обучения этим положением нередко пренебрегают, интересуясь только тем, в каких примерах или задачах ошибаются дети, и делая во всех этих случаях один и тот же вывод: раз есть ошибка, значит, нужно дополнительное упражнение. Этот вывод не ко всем случаям применим. Различная природа ошибки диктует и различные методы борьбы с ней. В одном и том же примере могут быть разные по своему происхождению ошибки. Больше того, даже одна и та же ошибка может иметь различную природу.

Необходимо руководствоваться определённой классификацией ошибок, для того чтобы разобраться во всем их многообразии. Изучение ошибок в счете у наших школьников дает возможность наметить такую классификацию.

Все ошибки в области счёта можно распределить на две основные группы в зависимости от того, в чем лежит причина ошибки - в условиях выполнения данной операции или в качестве усвоения арифметического знания и навыка.

Ошибки, вызванные условиями выполнения операции, являются «механическими» ошибками. Они возникают тогда, когда в силу тех или иных условий (утомления, утраты интереса, волнения, отвлечения внимания и т. п.) у школьника ослабляется сознательный контроль при решении примеров. Эти ошибки свидетельствуют не о незнании или недостаточном усвоении той или иной арифметической операции - они связаны только с ослаблением внимания в процессе выполнения данной операции. Поэтому ошибки этого вида неустойчивы. Пример, решённый ошибочно в первый раз, решается правильно во второй раз, даже тогда, когда первая ошибка не была исправлена. К числу таких механических ошибок относятся, прежде всего, оговорки, описки, когда вместо одного числа произносится или пишется другое число, которое с ним имеет какое-либо сходство. Это сходство может проявляться в различных отношениях - в звучании произносимых чисел или в начертании цифр; оно может иметь акустическую, оптическую или моторную основу.

Замена одного представления другим - сходным, может происходить не только в конечном звене процесса - при написании или произнесении готового результата, но и на более ранних этапах при восприятии чисел (слуховом или зрительном).

В эту группу ошибок входят также так называемые «персеверативные» ошибки, когда одно какое-либо число навязчиво удерживается в сознании. Такова природа следующей ошибки 43 + 7=70; в этом случае в сумме ошибочно написана та цифра, какая была дана во втором слагаемом.

В некоторых случаях это явление выражается в форме ассимиляции или уподобления одного числа другому. Такова ошибка в примере 6 + 7=12, когда, по-видимому, второе слагаемое было уподоблено первому (6 + 6). Аналогичное происхождение имеет следующая ошибка: 47 + 9=66. В данном случае цифра десятков уподоблена цифре единиц.

Эти ошибки механического типа очень разнообразны и с трудом поддаются объяснению. Поэтому попытки выяснить, при каких условиях создается более легкая возможность для появления ошибок подобного рода, заслуживают большого внимания. Исследования обнаружили, что при выполнении всех четырёх действий примеры, содержащие одинаковые цифры, дают наибольшее количество ошибок. В ряде случаев при наличии одинаковых цифр усиливалась персеверативная тенденция.

Ослабление сознательного контроля в силу утомления своеобразно проявляется в письменных вычислениях: наблюдается рост ошибок по мере перехода от низших разрядов к высшим. Этот факт был подвергнут специальному изучению А. С. Пчёлко.

На основании решения ряда подобных примеров А. С. Пчёлко делает следующий вывод: «При сложении нескольких слагаемых число ошибок увеличивается по мере продвижения к старшим разрядам. По-видимому, множество чисел и обилие операций над ними быстро утомляют учащихся и рассеивают, их внимание, кроме того, каждая ошибка в предыдущих разрядах влияет на результаты сложения единиц последующих разрядов» .

Эта же причина - ослабление сознательного контроля - лежит в основе очень распространённой ошибки, когда учащиеся выполняют не то действие, какое указано имеющимся в примере знаком. Выбор действия в этом случае может определяться своеобразием чисел, данных в примере. Некоторые числа создают очень благоприятные условия для определенной операции. Такова, например, комбинация чисел 56 и 6, которая создает лёгкие условия для операции вычитания. В этом случае при ослаблении сознательного контроля может быть выполнено вычитание, несмотря на то, что в примере стоит другой знак.

Выполнение действия, не соответствующего знаку, может обусловливаться также влиянием предыдущих действий, что можно условно назвать «инерцией» действия. Так, например, ученик решает подряд несколько примеров на сложение; через некоторое время он перестает обращать внимание на знак и делает сложение в том случае, если в примере стоит какой-либо новый знак, например вычитание. Такого рода ошибка довольно типична и встречается на различных ступенях обучения.

Характерной чертой второй группы ошибок является то, что причина их лежит в недостаточном овладении арифметическими навыками. Эта вторая группа ошибок делится на две большие подгруппы, в зависимости от того, какова природа психических процессов, лежащих в основе знаний и навыков.

Если навык вычисления основан на заучивании определённых числовых результатов и если он недостаточно закреплен, то ошибочный ответ в этом случае бывает различен, а иногда он может даже чередоваться и с правильным ответом. В отличие от ошибок этого вида, ошибки второй подгруппы относятся к навыкам, основанным на общем правиле. Характер ошибки определяется в этом случае характером усвоения правила, степенью обобщённости правила, в соответствии с которым выполняется операция. Ошибки такого рода относительно постоянны.

Какие процессы лежат в основе этих ошибок? Какому видоизменению подвергается известное ученику правило при выполнении ошибочной операции?

Изучение ошибок позволяет ответить на этот вопрос. Правило, ранее усвоенное учеником, приобретает неправомерно широкий объем, некоторые необходимые его звенья выпадают, в результате чего правило переносится на случаи, которые ему не подчинены.

Особую разновидность ошибок второй подгруппы (основанных на общих правилах) составляют ошибки, которые порождаются наличием двух сходных правил. Существуют, например, два сходных правила относительно сокращённого прибавления и отнимания 9. В обоих случаях нужно произвести соответствующие действия сначала с десятком и затем обратное ему действие с единицей. Таким образом, в первом случае единицу нужно отнять, а во втором - её нужно прибавить. В ряде случаев эта последняя, частная и дифференцированная задача учениками не осознается. Она осознается ими только в общей и неопределённой форме (нужно произвести некоторое действие с единицей). В этом случае неверный ответ может иметь даже больше шансов на возникновение, чем правильный, поскольку учащиеся имеют тенденцию выполнять с единицей то же самое действие, какое они выполняли перед этим применительно к 10.

В особую группу ошибок ряд исследователей выделяет ошибки, обусловленные привычкой. Проведенный нами анализ ошибок показывает, однако, что понятие «привычки» в применении к ошибкам нуждается в расчленении. Привычка может выражаться в психологически различных процессах. Во-первых, она может выражаться в установке на привычное действие. В этом случае она легко преодолима с помощью усилия внимания. Во-вторых, она может проявляться в форме привычного обобщения (ошибки второй подгруппы только что описанные). В этом последнем случае одного усилия внимания для преодоления ошибки недостаточно - необходимо раскрыть ошибочность обобщения и выработать новое знание, а затем и новый навык.

Методы борьбы с ошибками должны быть различны, и выбор метода определяется природой ошибки. Причины ошибок «механического» типа лежат вне самого арифметического знания и навыка. Следовательно, борьба с этими ошибками должна идти путем повышения у школьника интереса к арифметическим упражнениям, мобилизации его внимания, повышения у него чувства ответственности и т.д.

Методы борьбы с двумя другими видами ошибок совсем иные. В этих случаях причина ошибок кроется в самом арифметическом знании и навыке; следовательно, исправление ошибки должно, прежде всего, касаться именно данного знания и навыка.

Нередко ставится вопрос так: имеет ли положительное значение для преодоления ошибки анализ, разбор этой ошибки, или концентрация внимания ученика на ошибке может принести только вред, а основным мероприятием является упражнение в правильном решении соответствующих примеров?

Как показали исследования, такая постановка вопроса о сравнительной ценности методов безотносительно к природе ошибок является неправомерной. В од ном случае анализ ошибки играет очень большую роль при ее преодолении, а в другом - он совершенно бесполезен. В том случае, когда мы имеем дело с ошибками, основанными на ложном понимании правила, очень важно проанализировать самую ошибку, показать ученику, как она возникла, нужно стремиться к тому, чтобы ученик осознал ошибку. Напротив, совершенно бесполезно (если не вредно) приковывать внимание ученика к ошибке, которая возникла в результате недостаточного закрепления навыка. В этом случае единственный метод борьбы с ошибкой - это дополнительное упражнение в слабо закрепленном навыке.

Большое внимание в борьбе с ошибками должно быть уделено «профилактике», или предупреждению, ошибок. Всякий учитель хорошо знает, что необходимо, прежде всего, обеспечить действительное понимание учащимися учебного материала для того, чтобы предохранить их в дальнейшем от ошибок.

Но есть ещё и другой раздел в работе по предупреждению ошибок, значение которого недооценивается некоторыми учителями. Мы имеем здесь в виду систему подбора упражнений. При достаточно глубоком понимании правила у школьников может возникнуть ошибка только в силу того, что упражнения на это правило носили слишком однообразный характер.

Дело в том, что для психической деятельности характерна следующая закономерность: при повторном применении однородных действий в одинаковых условиях те элементы ситуации, которые сохранялись на протяжении повторения постоянными, перестают восприниматься. Эта закономерность проявляется не только в области математических навыков, но и во всех других областях. Если учащиеся решали подряд много примеров на одно и то же действие, то они перестают обращать внимание на знак. Но если следовать при подборе упражнений принципу разнородности, причина появления ошибок будет устранена. Ученик, решающий примеры на различные действия в порядке чередования, будет каждый раз обращать внимание на знак. При этом нужно постоянно вырабатывать у детей установку на возможность различных изменений в условии решаемых примеров. Вместо предупреждения, носящего общий характер «будьте внимательны», можно давать время от времени специальные указания: «следите за знаками действия», «следите за тем, можно или нельзя применять в данном случае правило» и т. п.

Имеются все основания думать, что те недостатки, которые ещё имеют место в практике вычислений наших учащихся, объясняются не столько тем, что учащиеся не знают правил, сколько тем, что недостаточно организована система упражнений по практическому использованию этих правил .

§4. Основные положения системы ознакомления с вычислительными приёмами и формирования вычислительного навыка

Раскроем основные положения системы формирования вычислительных навыков, которая определяется действующей программой. Для этого рассмотрим суть вычислительного приёма и вычислительного навыка, дадим характеристику сформированного вычислительного навыка, а также методики работы по формированию вычислительных навыков.

Рассмотрим прежде всего, что такое приём вычисления (вычислительный приём). Пусть надо сложить числа 8 и 6. По принятой в настоящее время методической системе прием вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:

1) замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;

2) прибавление к числу 8 слагаемого 2;

3) прибавление к полученному результату, к 10, слагаемого 4. Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма - применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство); замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка; 10=8 + 2 и 6=2 + 4.

Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций (системы операций), выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве его теоретической основы.

В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений (различным способам вычислений).

Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играют особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свернутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными.

Число операций, составляющих приём, определяется, прежде всего, выбором теоретической основы вычислительного приема.

Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приёмом.

Дадим теперь характеристику вычислительного навыка.

Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки - значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность - ученик осознаёт, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свёртываться.

Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приёмов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщённость - ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщённость так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свёрнутость) - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свёрнутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Программа предусматривает разную степень автоматизации различных случаев выполнения арифметических действий. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5 + 3, 8 - 5, 9 + 6, 15 - 9, 7 6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. В этом смысле и говорят об автоматизации вычислительных навыков. Заметим, что осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операций происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развёрнутое обоснование выбора системы операций.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Перейдём к методике формирования вычислительных навыков.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением начального курса математики и использованием соответствующих методических приемов.

В целях формирования осознанных, обобщённых и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приёма происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема.

Все вычислительные приёмы строятся на той или иной теоретической основе, причём в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это - реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приёмов каждой группы - есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приёмов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.

В принятой сейчас системе изучения арифметических действий предусматривается такой порядок введения приёмов, при котором постепенно вводятся приёмы, включающие большее число операций, а ранее усвоенные приёмы включаются в качестве основных операций в новые приёмы.

В методике работы над каждым отдельным приемом можно предусмотреть ряд этапов.

1. Подготовка к введению нового приёма.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём. Следовательно, чтобы обеспечить соответствующую подготовку к введению приёма, надо проанализировать приём и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки он должен уже приобрести. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый приём.

2. Ознакомление с вычислительным приёмом.

На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

При введении большинства вычислительных приёмов целесообразно использовать наглядность. Для приёмов первой группы это - оперирование множествами. При ознакомлении с приёмами второй группы в качестве наглядности используется развёрнутая запись всех операций, что весьма положительно влияет на усвоение приёма. В ряде случаев наряду с развёрнутой записью используется и оперирование множествами (например, при ознакомлении с приёмами сложения и вычитания в пределах 100).

Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно. В пояснении указывается, какие выполняются операции, в каком порядке и называется результат каждой из них, при этом не поясняются ранее изученные приёмы, входящие в качестве операций в рассматриваемый прием (основные операции).

Пояснение выбора и выполнение операций приводит к пониманию сущности каждой операции и всего приёма в целом, что в дальнейшем станет основой овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Степень самостоятельности учащихся должна увеличиваться при переходе от приёма к приему одной группы. Следует учитывать, что во многих случаях ученики могут самостоятельно найти новый вычислительный приём и выполнить соответствующее обоснование.

3. Закрепление знания приёма и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих приём, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы здесь важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.

На первой стадии закрепляется знание приёма: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие приём, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. Таким образом, здесь учащиеся выполняют самостоятельно то же, что на предыдущем этапе выполняли под руководством учителя. Подробное объяснение и развёрнутая запись позволяют им осознанно усвоить вычислительный приём. Начинается эта стадия, как правило, на том же уроке, на котором учитель знакомит детей с новым приёмом. Заметим, что не следует слишком долго задерживать учащихся на этой стадии, иначе они настолько привыкают к подробной записи и подробному объяснению, что всегда пользуются ими, а это тормозит свертывание выполнения операций.

На второй стадии происходит частичное свёртывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т. е. промежуточных вычислений. Надо специально учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме.

На третьей стадии происходит полное свёртывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции. Чтобы добиться этого, надо и на этой стадии руководить деятельностью учащихся: учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления (основные операции), а называть или записывать только окончательный результат. На этой стадии свёртывание основных операций будет несколько отставать от свёртывания вспомогательных операций, благодаря чему основные операции будут актуализироваться, т. е. ученики воспроизведут именно те операции, выполнение которых позволит им правильно и быстро найти результат арифметического действия. Актуализация основных операций и выполнение их в свёрнутом плане и есть вычислительный навык.

На четвёртой стадии наступает предельное свёртывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свёрнутом плане, предельно быстро, т. е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений. На всех стадиях формирования вычислительного навыка решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приёмов, причём содержание упражнений должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующих стадиях.

Названные стадии не имеют чётких границ: одна постепенно переходит в другую. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приёма, подготовленностью учащихся и целями, которые ставятся на каждой стадии. Правильное выделение стадий позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков .

§ 5. Формирование устных вычислительных умений и навыков в концентре «Сотня» (сложение и вычитание)

Из практики работы известно, что учащиеся затрудняются в основном, в вычислениях с переходом через разряд, в разложении числа на сумму удобных слагаемых (с целью выполнения действия с переходом через разряд), а также с трудом обнаруживают принцип классификации примеров по тому или иному признаку.

На наш взгляд, это связано с тем, что для большинства детей «удобным способом» формирования у них вычислительной деятельности является способ, соответствующий их типу мышления, т.е. синтетический. Таким образом, с целью устранения отмеченных пробелов в знаниях, а также введения вычислительных приёмов в пределах 100 была проведена серия уроков по специальной методике, ориентированной на учащихся с преобладанием синтетического типа мыслительной деятельности (а их большинство). Были использованы специальные схематические модели двузначных чисел, отражающие их десятичную структуру. На базе использования этих моделей строится адекватная схематическая модель приёма вычисления.

Традиционно в начальной школе мы уделяем наибольшее внимание разрядной структуре двузначного и многозначных чисел и гораздо меньше внимания уделяем их десятичной структуре, хотя десяток является основанием десятичной системы счисления. Это можно объяснить тем, что познакомить ребёнка с разрядным разложением числа мы можем уже в 1 классе, используя понятие «разрядные слагаемые», т.е. 15 =10 + 5, 39=30 + 9, а чтобы познакомить его с десятичным разложением того же числа, пришлось бы использовать запись 39 = 10 3 + 9. Поскольку знакомство с действием умножения ни сегодняшним вариантам программ по математике для начальных классов предполагается лишь во II классе, такая запись, естественно, не может быть использована.

Соответственно понятию разрядный состав двузначного числа мы рассматриваем два случая так называемого «разрядного» сложения и вычитания, которые в дальнейшем становятся одним из «опорных» приёмов для обучения сложению и вычитанию с переходом через десяток и других вычислительных приемов в пределах 100.

В соответствии с разрядным составом строится и схематическая разрядная модель числа, с которой связываются соответствующие случаи сложения и вычитания:

39 30 + 9 39 - 9

30 9 9 + 30 39 - 30

Мы использовали другую схематическая модель двузначного числа, имеющую в основе его десятичный состав. Использование схематической модели, доступной непосредственному восприятию ребенка, позволило обойти невозможность использования аналитической записи, отражающей десятичную структуру числа.

С другой стороны, предлагаемая модель позволяет эффективно использовать мыслительные особенности ребёнка с преобладанием синтетического типа мышления (а их среди учеников I-II классов четырёхлетней начальной школы достаточно много), который предрасположен к работе с наглядными моделями изучаемых понятий. При этом используемая модель понятия (двузначного числа) позволяет ребёнку в конкретен «ручной» деятельности моделировать сам приём вычисления, в то же время являясь основой для самопроверки (т.е. даёт возможность убедиться в правильности ответа). Десятичная модель числа вы глядит следующим образом (дети называли ее «солнышко»):

39

10 9

10 10

С этой моделью связаны следующие случаи сложения и вычитания:

39 - 9 39 - 10 39 - 20 30 + 9

39 - 19 30 - 29 39 - 30 9 + 30

Как видим, их гораздо больше, чем в случае опоры на разрядную модель. В то же время все эти случаи не выходят за рамки десятичного состава числа 39, «воплощённого» в его схематической модели.

Используя эту модель, ребёнок не только осваивает вышеозначенные случаи вычисления, представляя себе суть приёма на наглядной уровне, но и действуя руками (просто закрывая пальцем или ладонью вычитаемое), сразу же проверяет правильность полученного ответа: 39 - 19 = 20:

39

10 9

10 10

Таким образом, формируется прием собственной учебной деятельности ребенка с соответствующим содержанием.

Поскольку для чисел второго десятка десятичная модель совпадает с разрядной, использование схематического приёма моделирования будет носить ознакомительный характер:

19 10 + 9 19 - 10

10 9 9 + 10 19 - 9

Активное же использование предлагаемых моделей для осознания десятичной структуры двузначного числа на уроках по учебнику Матсматика-1, позволяет создать прочную базу для усвоения на следующем этапе вычислительных приёмов в пределах 100.

С целью реализации предлагаемого приёма, облегчающего ребёнку вычислительную деятельность, мы использовали специально составленные карточки-листы, в которых ребёнок работал как на печатной основе (контрольный класс обучался по традиционной методике). Приведём пример серии заданий из 10 листов, в которых представлены соответственно подготовительный и основной этапы, где листы 1-5 можно использовать уже в 1 классе на уроках подготовительного этапа, а листы 6-10 на уроках основного этапа.

Лист 1

12 14 17

10 2 10 4 10 7

10 + 2 = 12 10 + … = 14 … + … = 17

12 - 2 = … 14 - … = 4 17 - … = …

12 - 10 = … 14 - … = 10 17 - … = …

Лист 2

15 13 18 19

10 5 10 3 10 8 10 9

8 + 10 19 - 10 5 + 10 13 - 10

18 - 8 10 + 9 15 - 5 13 - 3



Лист 3

9 + 1 8 + 2 12 - 2 13 - 3 13

10 + 3 10 + 4 10 - 1 10 - 7

10 3

9 + 1 + 3 8 + 2 + 4

9 + 1 + 5 8 + 2 + 7

12 - 2 - 1 13 - 3 - 4

12 - 2 - 3 13 - 3 - 1

(10 + 6) - 1 10 + (4 +3) (11 - 1) + 9

(10 + 6) + 1 10 - (4 + 3) (11 - 9) - 9

20 - (2 + 8) 8 + (6 + 4)

20 - (4 + 6) 7 + (8 + 2)

19 - (1 + 8) 7 + (15 - 5)

16 - (6 - 0) 7 - (8 + 2)

Лист 4

13 18 19

10 3 10 8 10 9

15 - 5 17 - 7 7 + 3

17 - 10 15 - 10 7 + 3 + 5

6 + 4 13 - 3

6 + 4 + 7 13 - 3 - 1

18 - (5 + 3) 9 + (2 + 8)

13 - (6 + 4) 10 + (4 + 5)

20 - (1 + 9) 14 - 4 - 1

20 - (7 + 3) 14 - 4 - 3

10 + 8 … 17 20 … 1 + 19

6 - (9 - 4) … (9 - 4) + 6 19 - 9 … 10 =

6 + (7 + 3) … (7 + 3) - 6 16 … 10 + 6

Лист 5

8 - 6 5 + 4

10 + (8 + 6) 10 + (5 + 4)

10 - (8 - 6) 10 - (5 + 4)

10 + 9 - 1 (5 + 10) + 1

17 - 7 - 8 (10 + 6) - 1

6 - 4 + 10 (14 - 10) + 6

, которым трудно даются арифметические вычисления, предлагаемая модель значительно облегчает работу.

Итак, можно сделать выводы, что усвоение алгоритмов устного сложения и вычитания не является лёгким делом для младших школьников. Причину затруднений учащихся в усвоении арифметических действий следует искать в правильной организации учебного процесса. Один из резервов совершенствования процесса обучения математике - направленность всей методической системы обучения математике на личность школьника, на его индивидуальные особенности. Это означает, что на уроках организуется активное учение, формируются учебные и общеучебные навыки при сознательном восприятии учебного материала.



Заключение

В процессе обучения математике, организуя работу над понятием на уроке, учитель должен чётко понимать психологические закономерности формирования понятий и обеспечить прохождение всех необходимых этапов для глубокого и прочного их усвоения детьми. В частности, выполнение данного условия (при обучении устным приёмам вычислений) возможно посредством использования приёма схематического моделирования числа.