Возможности учебника "Математика. 4 класс" М.И. Моро в формировании алгоритма деления многозначных чисел

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

учебник исследовательский вычислительный

Актуальность темы исследования. Широкое внедрение в школьную практику новых технологий, авторских программ, концепций, учебников оказало огромное влияние на принятие учителями новой парадигмы образования.

Однако нельзя не констатировать тот факт, что большинство учителей оказались не готовыми к реализации идей развивающего обучения.

Особенно остро обозначились противоречия в практике формирования вычислительных умений и навыков. В силу сложившихся традиций, так называемой знаниевой парадигмы, учитель по прежнему ориентируется на отработку частных случаев вычислительных приемов, используя для этой цели показ образца вычисления, однотипные примеры тренировочного характера, не уделяя при этом должного внимания работе по осознанию школьниками взаимосвязи изучаемых понятий и общих способов вычислений, развитию систематичности их мышления.

Стремление учителей изменить ситуацию приводит к тому, что одни учителя используют в работе два учебника - один выполняет развивающие функции, другой (традиционный) - нацелен на формирование вычислительных умений и навыков; другие предъявляют повышенные требования к подготовке ребенка, поступающего в школу; третьи увеличивают объем домашних вычислительных заданий. Это приводит к перегрузке школьников, провоцирует стрессовые ситуации, снижает интерес к математике, повышает тревожность детей, формирует у них комплекс неполноценности, отрицательно влияет на их здоровье.

Отечественная школа всегда уделяла большое внимание проблеме формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков, так как содержательную основу начального математического образования составляют понятия числа и четырех арифметических действий. В работах методистов нашли отражение различные аспекты проблемы обучения младших школьников устным и письменным вычислениям: логика выстраивания приемов вычислений; рационализация вычислительных приемов и входящих в них операций, подбор упражнений, как основного средства формирования устных и письменных вычислений в начальной школе; включение процесса обучения вычислениям в изучение различных тем начального курса математики; дифференциация и индивидуализация процесса формирования вычислительных умений и навыков.

Исследования зарубежных и отечественных ученых убедительно свидетельствуют, что глубина и прочность знаний учащегося зависит от способа усвоения. Как отмечает Комарова И. В., глубина и осознанность сведений об окружающем мире будут максимальными при самостоятельном учебно-исследовательском поиске, осуществленном в ходе собственных интеллектуальных усилий. Комарова, И. В. Организация учебно-исследовательской деятельности в начальной школе (доклад, Региональная конференция пединициатив 2007) // Петрозаводск, 2007. - С.45.

А. И. Савенков отмечает, что в школе уже много лет продолжается противодействие традиционного и исследовательского обучения. По-прежнему традиционное обучение, строится не на методах самостоятельного, творческого исследовательского поиска, а на репродуктивной деятельности, направленной на усвоение уже готовых, кем-то добытых истин. Благодаря этому обучению у ребенка в значительной мере утрачивается главная черта исследовательского поведения - поисковая активность. Итогом становится потеря любознательности, способности самостоятельно мыслить, делая в итоге практически невозможными процессы самообучения, самовоспитания, а, следовательно, и саморазвития. Савенков, А. И. Психология исследовательского обучения / А. И. Савенков // Москва, Академия развития. 2005. - С.67.

Именно поэтому подготовка ребенка к исследовательской деятельности, обучение его умениям и навыкам исследовательского поиска становится важнейшей задачей образования и современного учителя. Закладка основных содержательных линий математического образования, включающего в себя, в том числе и общие исследовательские умения, происходит также на начальном этапе обучения. Уже на начальном этапе изучения математики возможно использование элементов учебных математических исследований, организованных как задания исследовательского характера. Таким образом, формирование навыков вычисления и учебно-исследовательской деятельности учащихся -- одна из актуальных задач современного образования.

Проблема: Как организовать исследовательскую деятельность младших школьников при формировании вычислительных умений.

Объект: Формирование вычислительных умений у младших школьников.

Предмет: исследовательские задания как средство формирования умения выполнять деление многозначных чисел.

Цель: Выявить влияния системы исследовательских заданий на усвоение алгоритма деления многозначных чисел.

Гипотеза: использование исследовательских заданий при изучении алгоритма деления многозначных чисел будет способствовать успешному его усвоению.

Задачи:

Выявить особенности учебно-исследовательской деятельности младших школьников при изучении математики.

Проанализировать учебник М.И. Моро «Математика. 4 класс» с целью выявления в нем исследовательских заданий.

Разработать систему исследовательских заданий для усвоения алгоритма деления многозначных чисел и проверить ее эффективность.

Методы: изучение педагогической, психологической и методической литературы по проблеме исследования, наблюдение за деятельностью учащихся, анкетирование, педагогический эксперимент.

ГЛАВА 1. Особенности учебно-исследовательской деятельности младших школьников при изучении математики

1.1 Психолого-педагогические основы формирования исследовательских способностей

Исследовательскую деятельность следует рассматривать как особый вид интеллектуально-творческой деятельности, порождаемый в результате функционирования механизмов поисковой активности и строящийся на базе исследовательского поведения. Но если поисковая активность определяется лишь наличием самого факта поиска в условиях неопределенной ситуации, а исследовательское поведение описывает преимущественно внешний контекст функционирования субъекта в этой ситуации, то исследовательская деятельность характеризует саму структуру этого функционирования. Она логически включает в себя мотивирующие факторы исследовательского поведения (поисковую активность) и механизм его осуществления. В роли этого механизма у человека выступает мышление. Наиболее продуктивным в данном случае оказывается деление мышления на конвергентное и дивергентное. Оба, выделенные Дж. Гилфордом, вида продуктивного мышления важны для успешного осуществления исследовательского поведения в ситуациях неопределенности.

Исследовательские способности необходимо рассматривать как комплекс трех относительно автономных составляющих: поисковой активности; дивергентного мышления; конвергентного мышления. Первый параметр - поисковая активность - выступает в роли первоисточника и главного двигателя исследовательского поведения. Он характеризует мотивационную составляющую исследовательских способностей. Стремление к поисковой активности в значительной мере предопределено биологически, вместе с тем это качество развивается под воздействием средовых факторов. Высокая мотивация, интерес, эмоциональная включенность - необходимые составляющие исследовательского поведения, указывающие на наличие поисковой активности.

Несложно заметить, что дивергентная продуктивность - чрезвычайно важный элемент психологической готовности индивида, совершенно необходимый в ситуациях исследовательского поведения. Это требуется и на этапе выявления проблем, и на этапе поиска возможных вариантов решения (гипотез). Такие важные характеристики дивергентного мышления, как продуктивность, оригинальность и гибкость мышления, способность к разработке идей, выступают необходимыми условиями успешного осуществления исследовательской деятельности. Блонский, П. П. Память и мышление / П. П. Блонский // Санкт-Петербург ,2001. - С. 134. Например, способности находить и формулировать проблемы, генерировать максимально большое количество идей в ответ на проблемную ситуацию, оригинальность, способность реагировать на ситуацию нетривиальным образом - все это не только проявления способности к дивергентному мышлению, но и неотъемлемые составляющие исследовательского поведения человека. Их обязательно нужно рассматривать как компонент исследовательских способностей.

Кроме того, мы должны понимать, что в реальных ситуациях, требующих исследовательского поведения, и поисковая активность, и дивергентное мышление мало полезны без высокоразвитого конвергентного мышления. Оно не только тесно связано с даром решать проблему на основе логических алгоритмов, через способность к анализу и синтезу, но и принципиально важно на этапах анализа и оценки ситуации, на этапах выработки суждений и умозаключений. Конвергентное мышление выступает важным условием успешной разработки и усовершенствования объекта исследования (или ситуации), оценки найденной информации и рефлексии. Диагностика и развитие исследовательских способностей предполагают выявление и совершенствование этих трех характеристик. Дзанагова, Р. М. Раскрытие творческих способностей учеников /Р. М. Дзанагова // Начальная школа. 2007. №6 . -С. 91-100.

Очевидно, что наличием самого факта поисковой активности исследовательская деятельность не исчерпывается и не может исчерпываться. Она включает в себя также анализ получаемых результатов, оценку на их основе динамики ситуации и в соответствии с этим прогнозирование (построение гипотез) дальнейшего ее развития. Сюда же можно присовокупить моделирование и реализацию своих будущих, предполагаемых действий - коррекцию исследовательского поведения. В дальнейшем все это, будучи проверенным на практике (наблюдение и эксперимент) и вновь оцененным, выводит поисковую активность на новый уровень, и вся схематически описанная последовательность повторяется.

Успешное осуществление исследовательской деятельности требует наличия у субъекта специфического личностного образования - исследовательских способностей. Исследовательские способности логично квалифицировать, в соответствии с традициями отечественной психологии, как индивидуально-психологические особенности личности, выступающие субъективными условиями успешного осуществления исследовательской деятельности. Савенков, А. И. Психологические основы исследовательского подхода к обучению / А. И. Савенков // М., 2006. - С.52. Как и все иные способности, они могут рассматриваться с разных сторон.

Исследовательские способности обнаруживаются в степени проявления поисковой активности, а также в глубине, прочности овладения способами и приемами исследовательской деятельности, но не сводятся к ним. Причем очень важно понимать, что речь идет и о самом стремлении к поиску, и о способности оценивать (обрабатывать) его результаты, и об умении строить свое дальнейшее поведение в условиях развивающейся ситуации, опираясь на них.

Под способами и приемами исследовательской деятельности следует понимать способы и приемы, необходимые при осуществлении исследовательской деятельности. Это умение видеть проблемы, умение вырабатывать гипотезы, умение наблюдать, умение проводить эксперименты, умение давать определения понятиям и др.

Вопрос о том, когда собственные исследования детей стали применяться в образовательной практике, имеет ясный и вполне точный ответ: они использовались всегда и были востребованы с глубокой древности, с того момента, как проявилась в человеческом сообществе сама потребность в обучении.

Как известно, изначально эта общественная потребность проистекает из двух источников. Первый - инстинктивное, биологическое в своей основе, стремление младших осваивать новый для себя опыт, подражая старшим и самостоятельно исследуя окружающий мир. Второй источник - природное, закрепленное в генотипе и проявляющееся во всем животном мире стремление старших заботиться о передаче младшим навыков приспособления к окружающей среде. Беспалько, В. П. Основы теории педагогических систем / В. П. Беспалько // Воронеж, 1977. - С.88.

Какую-то часть сведений о мире ребенок всегда воспринимал репродуктивным путем от старших, а какую-то осваивал самостоятельно, подражая взрослым, играя, исследуя действительность. При этом он должен был наблюдать, экспериментировать и делать на этой основе собственные выводы и умозаключения. Таким образом, мы условно можем выделить два пути получения образования ребенком - репродуктивный и продуктивный. В разные времена соотношение этих двух принципиально разных путей обогащения опыта индивида существенно менялось, на первый план в образовательной практике выходил то один, то другой. Буряк, В. К. Самостоятельная работа учащихся / В. К. Буряк // М., 1984. - С.36. В целом же линия исследовательского обучения развивалась непоследовательно, в рамках общей демократизации образования, приближения обучения к познавательной деятельности, к интересам и потребностям самого учащегося. Развитие культуры во всех ее аспектах не только приводило к появлению новых явлений, но и содействовало повышению динамики самих изменений. Это постепенно делало мир все более и более динамичным и непредсказуемым, а вместе с тем все настойчивее заставляло систему образования отказываться от доминирования догматичного содержания и репродуктивных методов обучения над гибким содержанием и продуктивными методами. Ивашова, О. А. Роль исследовательской деятельности младших школьников в овладении математической культурой // «Культ-Информ-Пресс», 2003. -С. 93-118.

Детская потребность в исследовательском поиске обусловлена биологически. Любой здоровый ребёнок уже рождается исследователем. Неутолимая жажда новых впечатлений, любознательность, стремление наблюдать и экспериментировать, самостоятельно искать новые сведения о мире рассматриваются как важнейшие черты детского поведения. Постоянно проявляемая детская активность - естественное состояние ребёнка. Именно это внутреннее стремление к познанию через исследование порождает исследовательское поведение и создаёт условия для исследовательского обучения. Начальная школа - важная ступень не только базового образования. Оно является основой для формирования азов исследовательской культуры. Дебашина, Е. Ю. Самостоятельная работа на уроках математики в условиях развивающего обучения / Е. В. Дебашина // Начальная школа. 2003. № 7. -С.76.

В эпоху, когда личность стоит на первом месте, как в социальном, так и в учебном пространстве, необходимо создавать благоприятные условия для ее реализации. Ученые и методисты отмечают, что в последнее время наблюдается тенденция к потере интереса со стороны учеников к школьному образованию. Педагоги испытывают большие сложности в активизации внимания школьников к обучению. До сих пор учителя находятся в постоянном поиске новых методов, приемов и форм организации обучения, потому что многие проблемы в рамках классно-урочной системы не решаются. Вместе с тем современные социальные условия, изменившие цели обучения, требуют от педагогов реализации идеи индивидуального подхода в условиях массовости образования. Именно поэтому поиски и достижения специалистов способствуют открытию новых идей.

Таким образом, перед современной школой стоят сложные задачи по обновлению содержания и структуры образования. Сегодня важно учить детей использовать свой опыт, знания, умения и качества личности для решения конкретных проблем, формировать научную картину мира, научить находить путь от научного описания к способностям ориентироваться в конкретных явлениях. Главная проблема школы - это переход от информативного метода обучения к активной творческой деятельности всего педагогического сообщества, т.е. педагогического коллектива, учащихся и родителей.

1.2 Понятие учебно-исследовательской деятельности, ее особенности в младшем школьном возрасте

Учебная исследовательская деятельность определяется как деятельность учащихся по исследованию различных объектов с соблюдением процедур и этапов, близких научному исследованию, но адаптированных к уровню познавательных возможностей учащихся. Далингер, В. А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики / «Вестник Омского государственного педагогического университета», 2007. -С.71-73.

Организация учебно-исследовательской деятельности в начальной школе позволяет акцентировать внимание на цели, содержание, формы, методы и средства и предполагает проектирование программы включения младших школьников в учебно-исследовательскую деятельность, ее поэтапную реализацию с систематическим анализом получаемых результатов и корректировку в соответствии с анализом результатов.

В процессе включения младших школьников в учебно-исследовательскую деятельность перед учителем встает проблема организации решения единых учебно-исследовательских задач при различном уровне развития исследовательского опыта учащихся, это и является основной целью включения младших школьников в учебно-исследовательскую деятельность. В решении этой проблемы следует исходить из того, что необходимо подбирать такие приемы и формы работы, в которых ученики смогли проявить и обогатить свой индивидуальный исследовательский опыт. Для этого предусмотрена организация учебно-исследовательская деятельность на основе дифференциации и индивидуализации. Ямалтдинова, Д. Г. Организация самостоятельной деятельности учащихся /Д.Г.Ямалтдинова// Начальная школа. 2008. №2. -С. 43-45.

Дифференциация деятельности проводится фронтально по отношению ко всему классу и предполагает сочетание как элементов частного и общего («наводящие», дополнительные вопросы и задания), так и элементов репродуктивной и продуктивной деятельности. Такая дифференциация осуществляется преимущественно при коллективном решении проблем. В процессе работы детям оказывается индивидуальная помощь и поддержка.

Необходимо активно использовать групповые формы работы. Для этого дети объединяются в группы двумя способами:

1 способ - в группе объединяются дети с одинаковым уровнем развития исследовательского опыта (по совокупности признаков);

2 способ - в группе работают ученики с различным исследовательским опытом.

Возможны следующие варианты совместной работы:

группа выполняет общее задание одновременно на одном и том же «поле труда», но каждый член группы делает свою часть этой общей работы независимо друг от друга;

общее задание при тех же условиях выполняется последовательно каждым членом группы;

при тех же условиях задача решается при непосредственном одновременном временном взаимодействии каждого члена группы со всеми остальными членами.

Главное, на что стоит ориентироваться при организации групповой работы на уроке - дифференцировать не общие проблемы, а подходы к их решению путем недостающих элементов (подобранных вспомогательных задач). Степень участия каждого школьника в учебно-исследовательской деятельности будет определяться уровнем его активности.

Для начальной школы не характерна дистанционная поддержка исследовательской деятельности учащихся, т.к. они имеют слишком маленький опыт осуществления отдельных элементов такой деятельности. Однако в начальной школе можно создавать базу исследовательской деятельности:

методологическую (усвоение структуры исследовательской деятельности и отдельных исследовательских умений и методов, общих и специальных для предмета);

общую логическую (работа над общими умственными и логическими умениями);

содержательную (овладение предметными знаниями и умениями);

субъектную (накопление личностного опыта осуществления исследовательской деятельности). На этой базе легче развивать исследовательскую деятельность учащихся основной школы. Смолкина, Е. В. Исследовательская деятельность учащихся как средство реализации личности в общеобразовательном пространстве / Е. В. Смолкина // Начальная школа. 2007. №2. -С. 28-31.

Один из компонентов исследовательской деятельности - исследовательские умения, которые определяются как система интеллектуальных, практических умений и навыков учебного труда, необходимого для самостоятельного исследования или его части. Для их формирования можно решать учебно-исследовательские задачи (задачи, процесс решения которых требует выполнения одного или нескольких исследовательских умений), используя традиционные технологии в сочетании с информационными, уделяя последним больше внимания, когда они имеют преимущества.

Таким образом, взаимодополнение личностного, ситуационного и задачного подхода к организации учебно-исследовательской деятельности в начальных классах позволяет достаточно полно реализовать потенциалы этой деятельности. Поэтапное включение младшего школьника в учебно-исследовательскую деятельность является одним из эффективных путей обогащения индивидуального исследовательского опыта ребенка.

Особенность профессиональной подготовки учителя к организации учебно-исследовательской деятельности младших школьников состоит в том, что он не только должен уметь организовывать учебно-исследовательскую деятельность учащихся, но и сам в совершенстве владеть методами научного исследования (уметь формулировать проблему, задачу, вопрос; разработать гипотезу, определить схему эксперимента, найти факторы, пути и средства научного анализа и т.д.).

Психолого-педагогические особенности возраста не позволяют обучать абстрактным приемам деятельности в отрыве от конкретного содержания. Вместе с тем ставятся задачи, связанные с освоением ребенком новых, надпредметных способов деятельности. При этом на данной ступени обучения происходит существенный рост самостоятельности учащихся в отношении тех или иных действий, касающихся проектного замысла и реализации своего проекта. Учебные исследования младших школьников не нуждаются ни в громоздком наукообразном оформлении, ни в масштабном и помпезном представлении и должны быть достаточно просты в восприятии.

С позиции личностного подхода в качестве ведущего ориентира и главного критерия успешности организации учебно-исследовательской деятельности выступает обогащение исследовательского опыта школьников. Основная задача учителя при этом будет состоять не только в том, чтобы планировать общую, единую и обязательную для всех линию обогащения исследовательского опыта, а в том, чтобы помогать каждому ученику с учетом имеющегося у него опыта совершенствовать свои индивидуальные способности, развиваться как личность.

Задачный подход к организации учебно-исследовательской деятельности означает, что освоение учебного материала происходит посредством решения учебно-исследовательских задач, предполагающих выполнение определенных действий. Основной единицей учебно-исследовательской деятельности является учебно-исследовательская задача, которая формулируется на основе учебного материала, предъявляется школьнику в виде проблемной задачи, а ее решение строится адекватно логике исследования и предполагает определенные действия. В условиях начальной школы основной характеристикой учебно-исследовательской задачи выступает признак проблемности, выполнение же конкретных этапов исследования может протекать с большей или меньшей степенью самостоятельности для ученика. Пержинская, Е. В. Как организовать исследовательскую работу в 1 классе / Е. В. Пержинская // Начальная школа. 2008. № 5. -С. 55-57. Это связано как с объективной сложностью задачи и задания, так и уровнем подготовленности ученика к выполнению операциональных действий, приемов исследовательской деятельности. Кроме того, в начальных классах подготовка детей к выполнению отдельных исследовательских действий обеспечивается системой исследовательских заданий.

Ситуационный подход к организации деятельности предполагает управление учебно-исследовательской деятельностью как взаимодействие ее субъектов. Его суть состоит в неразрывности прямого и обратного воздействия, органического сочетания изменений воздействующих друг на друга субъектов. Ученическое исследование предполагает не только решение значимых для учащихся проблем, но и овладение способами решения этих проблем. При организации учебно-исследовательской деятельности необходимо создавать учебные ситуации, при разрешении которых учащиеся овладевают знаниями и способами решения проблем в процессе познания в большей или меньшей степени организованного учителем.

Таким образом, организация учебно-исследовательской деятельности в начальной школе на основе единства личностного, ситуационного и задачного подходов предполагает:

тщательное и систематическое изучение педагогами исследовательского опыта младших школьников и дифференциацию этого опыта по выраженности различных его составляющих (когнитивного, деятельностного, аксиологического);

создание учебных ситуаций, при разрешении которых учащиеся овладевают знаниями и способами решения проблем в процессе познания в большей или меньшей степени организованного учителем;

конструирование системы учебно-исследовательских задач (заданий), сориентированных на поэтапное обогащение исследовательского опыта детей. Ямалтдинова Д. Г. Организация самостоятельной деятельности учащихся /Д.Г.Ямалтдинова// Начальная школа. 2008. №2. -С. 43-45.

Анализ методической литературы показал, что учебно-исследовательская деятельность младших школьников должна выполнять ряд объективных педагогических требований:

учитывать возрастные психолого-педагогические особенности мыслительной деятельности;

основываться на базовом стандарте и служить основой для углубления и получения новых знаний;

способствовать формированию научного мышления, которое отличается системностью, гибкостью, креативностью;

содействовать формированию научного мировоззрения;

стимулировать познавательную активность и развитие творческого потенциала учащихся. Ямалтдинова Д. Г Организация самостоятельной творческой деятельности младших школьников на уроках математики / Д. Г. Ямалтдинова // Начальная школа До и После. 2007. №10. С.90-94.

Так как главной целью включения младших школьников в учебно-исследовательскую деятельность является обогащение исследовательского опыта младших школьников. Этот процесс проходит в несколько этапов:

выделение этапов обогащения опыта младших школьников с учетом возрастных особенностей и специфики начальной школы;

определение совокупности задач, способов и форм организации учебно-исследовательской деятельности;

распределение задач, способов и форм организации учебно-исследовательской деятельности по времени в соответствии с продолжительностью каждого этапа;

определение предполагаемых результатов деятельности;

отбор содержания и составление учебно-исследовательских задач и заданий.

Таким образом, учебно-исследовательская деятельность, способствует выработке следующих знаний и умений:

самостоятельно объяснять и доказывать новые факты, явления закономерности;

классифицировать, сравнивать, анализировать и обобщать ранее изученные явления, закономерности;

проводить эксперименты, выдвигать и обосновывать гипотезы;

устанавливать причинно-следственные связи и отношения;

рассматривать одни и те же факты, явления, закономерности под новым углом зрения;

применять научные методы исследования (теоретического анализа и синтеза, экспериментального, моделирования и т.д.);

находить несколько вариантов решения, выбирать и обосновывать наиболее рациональный;

рецензировать и оценивать собственную работу исследовательского характера, а также работы товарищей. Ляхова, Л. В. Организация научно-исследовательской деятельности учащихся /Л. В. Ляхова // Начальная школа. 2009. №7. -С.45.

В приобщении детей к исследовательской деятельности учитель нацелен не на результат, а на процесс. Главное -- заинтересовать ребенка, вовлечь в атмосферу деятельности, и тогда результат будет закономерен.

Глава 2. Возможности учебника «Математика. 4 класс» М.И. Моро в формировании алгоритма деления многозначных чисел

2.1 Характеристика методики изучения алгоритма деления многозначных чисел

Начальное обучение математике закладывает основы для формирования приемов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определенные обобщенные знания и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться.

В 4 классе дети должны знать алгоритм письменного деления и уметь делить многозначное число на однозначное, двузначное, трехзначное «уголком» (в том числе и деление с остатком).

Алгоритм письменного деления является одной из наиболее трудных тем начальной школы. Во всех существующих учебниках отдельно рассматривается письменное деление на однозначное число и письменное деление на многозначное число. Это вызвано тем, что, будучи одинаковыми по технике выполнения, эти алгоритмы имеют принципиальное различие: письменное деление на однозначное число опирается на знание таблицы умножения, а подбор цифр в частное при делении на многозначное число осуществляется с помощью прикидки. Между тем хорошее усвоение алгоритма письменного деления на однозначное число является необходимым условием понимания алгоритма письменного деления на многозначное число.

Формально алгоритм письменного деления на однозначное число заключается в следующем: 2356 4. Выясняем, что цифра, стоящая в старшем разряде - 2, не делится на 4. Присоединяем к ней следующую цифру и делим на 4 число 23. Получаем неполное частное 5 и остаток 3, к которому сносим следующую цифру 5 и делим на 4 число 35 и т.д. Традиционная методика ориентирует на то, чтобы давать детям некоторое количество примеров, в ходе выполнения которых ученики могли бы уловить смысл алгоритма и запомнить его. Такой подход способствует, конечно, тому, чтобы большинство детей усвоили алгоритм, однако этот процесс можно ускорить и увеличить долю сознательности усвоения.

Алгоритм можно сделать более содержательным, если воспользоваться следующей моделью натурального числа: единицы - отдельные палочки, десятки - связанные в пучки 10 палочек, сотни - пучки из 10 пучков-десятков и т.д. Эта модель удобна еще и тем, что может быть широко использована при обучении сложению и вычитанию, то есть научить работать с ней можно уже в первом классе, а к третьему она станет привычным рабочим инструментом. Первый шаг алгоритма можно представить себе так: 2 пучка-тысяч пытаемся разложить на 4 равные части. Этого сделать нельзя. Тогда развяжем их, получим 20 пучков-сотен. Вместе с имеющимися 3 сотнями на 4 равные части нужно разделить 23 пучка-сотен. В результате этого деления получается 5 сотен в каждой части и 3 сотни остается. Их превращаем в десятки, операция повторяется и т.д. Использование этой модели, с нашей точки зрения, позволяет детям лучше усвоить каждый шаг алгоритма, осознать поразрядовый смысл деления (делится не 23, а 23 сотни), понять смысл приписывания последующей цифры к остатку от деления предыдущего разряда. При необходимости можно выполнить 1-2 задания «вручную», раскладывая на равные части поочередно пучки-сотни, пучки-десятки и отдельные палочки. Выполнение подобных предметных действий, которое находит широкое применение в методике начальной школы, в данном случае позволит повысить эффективность и сознательность усвоения алгоритма.

Как видно из всего сказанного выше, для того чтобы воспользоваться этой моделью, необходима хорошая усвоенность деления с остатком, для которого, в свою очередь, необходима усвоенность табличного деления. Организацию усвоения деления с остатком мы рассмотрим ниже. Сейчас не будем исходить из того, что этот материал усвоен.

Предварительная работа с моделью числа подготавливает детей к усвоению алгоритма письменного деления. На этапе последующего объяснения важно, чтобы предметом сознания детей по-прежнему оставался поразовый смысл письменного деления. Поэтому мы считаем удобным использовать на этом этапе в качестве ориентировочной следующую запись:

Частность также записывается в разрядную сетку над делимым. Такая запись используется в некоторых зарубежных учебниках математики. Нам она кажется удобной тем, что позволяет подчеркнуть, что в первом шаге мы делим не 12, а 13 сотен и получаем при этом 3 сотни. Это же должно подчеркиваться учителем и в устных пояснениях, а также найти отражение в контроле над выполнением каждого шага алгоритма. Например, работа может проводиться следующим образом: 2742 : 3.

1) Поместим делимое в разрядную сетку:

2) Что делим в первом шаге? Что получаем? (Так как 2 тысячи нельзя разделить на 3, то превращаем их в сотни и делим 27 сотен на 3. Получаем 9 сотен. В остатке 0 сотен.)

3) Что делим во втором шаге? Что получаем? (Во втором шаге делим 4 десятка. Получаем 1 десяток. В остатке 1 десяток.)

4) Что делим в третьем шаге? Что получаем? (Оставшийся десяток превращаем в единицы - это 10 единиц, да еще 2 единицы. Делим 12 единиц на 3. Получаем 4 единицы. Осталось 0 единиц. Число разделилось полностью.)

После того как алгоритм в общем усвоен, можно переходить к обычной записи, принятой в нашей школе. Естественно, детей придется переучивать. Но так как работа, о которой говорилось выше, предполагает выполнение очень незначительного количества заданий (1-2) с нетрадиционной записью, то переучивание не вызовет серьезных затруднений. Перейдя к обычной записи, еще 1-2 задания необходимо выполнить с подробным комментированием. Эти задания должны включить случай, когда в середине частного получается 0. Как хорошо известно учителям, это наиболее трудный случай письменного деления на однозначное число. Ошибка, когда дети забывают писать 0 в середине частного, является очень распространенной. Чтобы ее избежать, авторы многих школьных учебников предлагают ставить в частном точки, количество которых должно соответствовать количеству цифр частного. Такой выход из положения представляется нам не очень удачным с точки зрения дальнейшего обучения. Этот прием перестанет срабатывать в пятом классе после изучения десятичных дробей. Но так как он прочно усваивается в начальной школе, то дети и в дальнейшем пытаются применить его при делении натуральных чисел. Например: 173 : 5 (5-й класс) - первое неполное делимое 17, значит, в частном будет две цифры. Примерно так будет рассуждать ребенок, перенося знания из начальной школы в новую ситуацию. Эти рассуждения неверны с точки зрения 5-го класса и приводят к трудностям и ошибкам. Раскрытие поразрядового смысла деления с помощью работы с моделью числа, разрядной сеткой и нетрадиционной записью может помочь детям понять и выполнять без ошибок этот трудный случай деления, избежав при этом формирования ненужного стереотипа. Образец подробного комментирования при переходе к обычной записи может быть следующим:

2 тысячи мы не можем разделить на 7 частей. Превращаем их в сотни. Вместе с имеющейся 1 сотней получится 21 сотня. Делим 21 сотню на 7. Получаем 3 сотни. В остатке 0 сотен. Делим следующий разряд - десятки. 2 десятка делим на 7. Получаем 0 десятков, в остатке 2 десятка. Оставшиеся десятки превращаем в единицы. Всего - 28 единиц. Делим 28 единиц на 7. Получаем 4 единицы, в остатке 0 единиц. Число разделилось полностью: 2128 : 7 = 304. Контроль последующих заданий осуществляется по конечному результату. Однако при возникновении ошибок или затруднений учитель может попросить подробно объяснить решение или в случае необходимости вернуться к записи в разрядной сетке.

Теперь рассмотрим организацию усвоения деления с остатком. До изучения деления с остатком под делением понималось деление нацело. Трудность изучения деления с остатком заключается как раз в необходимости перестроить в сознании детей их взгляд на деление. Речь идет о переучивании, а это всегда труднее, чем учить. Между тем в дальнейшем обучении, в частности при изучении признаков делимости, под словом «делится» принято понимать именно деление нацело. Обучение алгоритму деления с остатком предполагает разведение этих двух понятий. Детям нужно объяснить, что с этих пор, когда речь идет о делении, имеется в виду именно деление с остатком. Остаток при этом может быть любой меньший делителя, в том числе и 0. В случаях же, подразумевающих именно деление нацело, специально оговаривается, что делимое, делитель и частное - натуральные числа.

Такое понимание деления очень важно, так как оно является пропедевтикой понимания деления в средней школе, где после изучения дробей можно разделить любые два числа. Если в начальной школе уделить этому вопросу недостаточно внимания, то еще довольно долго после изучения дробей у детей будет возникать сомнение в правильности решения в случаях, когда два натуральных числа нельзя разделить нацело.

Формальный математический алгоритм деления с остатком заключается в следующем: 1) подобрать табличный случай, то есть найти число, которое при умножении на делитель дает число не больше делимого, но максимально близкое к нему. Для детей это означает: 43 : 5, подбираем число. Если 8 ? 5 = 40 < 43. Если же умножить на 5 (8 + 1), то получится 45 - больше, чем 43; 2) найти остаток; 3) убедиться, что остаток меньше делителя.

Содержательной стороной усвоения этого алгоритма должно стать понимание факта, что для любых двух чисел можно найти результат деления, а также того, что это новое понятие является расширением прежнего, то есть деление нацело является частным случаем деления с остатком (остаток равен 0). Это тем более важно, что такой подход соответствует пониманию этого вопроса в математике. Необходимо также сформировать в сознании детей четкое представление о том, что остаток должен быть обязательно меньше делителя.

Приступая к работе над новой темой, детей нужно подготовить к восприятию нового понимания деления и к усвоению нового алгоритма. Это включает следующие моменты: 1) можно найти результат деления, даже если нацело разделить не получается; 2) для этого нужно подобрать такое число, которое при умножении на делитель дает число, максимально близкое к делимому, но не превышающее его, то есть если найденное число увеличить на 1, то при умножении на делитель получится число большее, чем делимое;

3) остаток должен быть меньше делителя.

В соответствии с тем, что принято в современной методике начальной школы, ученикам можно предложить следующую задачу: «Имеется 15 яблок и 4 тарелки. По сколько яблок нужно положить на тарелки, раскладывая поровну, чтобы разложенным оказалось максимальное число яблок? Сколько яблок останется?» Такая задача возвращает детей к предметному смыслу деления: разделить - разложить на равные части. Здесь мы тоже раскладываем на равные части, но разложить все 15 яблок на 4 тарелки поровну не удается, получается остаток. Решая эту задачу, есть возможность показать и общие, и различные черты нового и прежнего подхода к делению. Работа над задачей может также включать и вопрос: «А если бы яблок было 16, какое максимальное количество можно разложить на 4 тарелки, раскладывая поровну? Сколько бы яблок осталось?» Это дает возможность подчеркнуть, что деление нацело - это частный случай деления с остатком, а деление с остатком включает случай, когда остаток равен 0. Оговорка в условии задачи о том, что яблок на тарелках должно оказаться максимально возможное количество, помогает при решении сориентировать детей в принципе подбора неполного частного. Выяснив, что яблок на тарелки нужно класть по 3, необходимо разобрать, почему отвергаются другие варианты. Для этого можно обсудить следующие вопросы: «А правильно ли будет положить по 2 яблока?» - «Нет, так как оставшееся количество яблок позволяет положить еще по одному яблоку на каждую тарелку». - «А по 4 яблока?» - «Нет, так как в этом случае яблок не хватит, чтобы положить на каждую тарелку поровну». Решение задачи оформляется записью, обычной для деления с остатком: 15 : 4 = 3 (ост. 3). После такой работы дети подготовлены к восприятию нового алгоритма. Ориентировочная запись может иметь следующий вид.

17 : 5

1) 5 ? 3 = 15 < 17, 5 ? 4 = 20 > 17;

2) 17 : 5 = 3 (ост. 2);

3) 2 < 5.

Такая запись отражает и принцип подбора неполного частного, и то, что остаток обязательно должен быть меньше делителя. При необходимости она может включать в себя и словесные пояснения: 17 : 5.

1) 5 ? 3 = 15 < 17, 5 ? 4 = 20 > 17 - подберем табличный случай;

2) 17 : 5 = 3 (ост. 2) - найдем остаток;

3) 3 < 5 - убедимся, что остаток меньше делителя.

При этом полезно еще раз обсудить вопрос, почему остаток меньше делителя. Детям необходимо объяснить, что при разложении на равные части остаток больший или равный делителю в свою очередь можно разложить на соответствующее число равных частей, а по смыслу деления с остатком остаток - это то, что разложить на нужное число частей уже не удается.

Ориентировка должна включать в себя и случай, когда остаток равен 0. Соответствующая запись.

15 : 5

1) 5 ? 3 = 15 = 15 ..., 5 ? 4 = 20 > 15;

2) 15 : 5 = 3 (ост. 0);

3) 0 < 5.

Контроль на этом этапе должен включать подбор неполного частного, нахождение остатка, понимание, что остаток должен быть обязательно меньше делителя. Поэтому целесообразно задавать следующие вопросы: 1. Какое неполное частное получается при делении? Почему? (Подбираем число, которое при умножении на 5 дает число, максимально близкое 17, но меньшее, чем 17. Это 3. Так как 5 ? 3 = 15 < 17, а если мы 5 ? 4 = 20 - это уже больше 17); 2. Чему равен остаток? (Находим остаток: 17 - 5 ? 3 = 2); 3. Каков результат сравнения остатка с делителем? (2 < 5 - остаток меньше делителя).

Используя предложенную выше развернутую запись, решаем 1-2 примера. После этого целесообразно предложить еще 1-2 подобных стандартных задания на деление с остатком и решить их, используя обычную, принятую в начальной школе запись с подробным проговариванием вслух каждого шага. Такое количество заданий мы считаем достаточным, чтобы дети в общем усвоили как сам алгоритм, так и осознали все то, что он включает.

В последующие задания целесообразно включать помимо примеров на полное воспроизведение алгоритма примеры, проверяющие усвоенность последнего его шага: остаток меньше делителя. Это могут быть задания типа: «Перечисли, какие могут быть остатки при делении числа на 5», - или более сложные задания: «Докажи, что в выражении а : 4 = 5 (ост. 4) есть ошибка». Такие задания призваны еще раз обратить внимание детей на то, что остаток при делении должен быть меньше делителя.

2.2 Исследовательские задания при изучении деления многозначных чисел

Учебник М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. «Математика. 4 класс» направлен на реализацию основных целей и задач обучения математике. Основное внимание отводится развитию личности ребёнка.

Цель учебника - формировать систему первоначальных математических знаний, воспитывать у обучающихся интерес к математике, умственной деятельности.

Благодаря данному учебнику реализуются следующие задачи обучения:

формирование у обучающихся элементов самостоятельной интеллектуальной деятельности на основе овладения несложными математическими методами познания окружающего мира (умений устанавливать, описывать, моделировать и объяснять количественные и пространственные отношения);

развитие основ логического, знаково-символического и алгоритмического мышления;

развитие пространственного воображения;

развитие математической речи;

формирование системы начальных математических знаний и умений их применять для решения учебно-познавательных и практических задач; формирование умения вести поиск информации и работать с ней;

развитие познавательных способностей;

воспитание стремления к расширению математических знаний;

формирование критичности мышления;

развитие умений аргументировано обосновывать и отстаивать высказанное суждение, оценивать и принимать суждения других.

В основу построения учебника положен концентрический принцип, связанный с последовательным расширением материала, который позволяет соблюсти необходимую постепенность в нарастании трудности содержания курса, и создаёт хорошие условия для совершенствования ЗУН и способов деятельности.

Каждая тема раскрывается в определенной последовательности:

постановка проблемы, цели и ее анализ учащимся совместно с учителем;

самостоятельная и с помощью учителя формулировка детьми открывшихся им в ходе наблюдений и анализа изучаемого материала правил, способов действий, признаков понятий и т.д.

уточнение сформулированных учащимся обобщений (правил, способов действий и определений понятий) по учебнику;

введение соответствующей терминологии;

выполнение упражнений, различных по уровню сложности, на применение и уточнение знаний и способов деятельности по теме.

Содержание учебника дает возможность вооружить учащихся прочными, глубокими математическими знаниями, умениями и навыками в соответствии с требованиями программы начального обучения.

Курс направлен на формирование сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений. Материал выстроен логично, построен поурочно. К тому же есть ряд заданий, при объяснении которых можно использовать исследовательский подход.

Исследовательские задания на уроке математики могут, выполняются на любом этапе урока, а так же задаваться на дом, например на этапе актуализация опорных знаний можно использовать эвристические задачи, такие как, задачи на установление сходства и соответствия, задачи на оперирование понятиями «все», «некоторые», «отдельные», задачи на комбинаторные действия.

На этапе открытие новых знаний можно создать проблемную ситуацию, в ходе которой обучающимся предлагается выполнить задание по новой теме самостоятельно, возникает проблема, учащиеся сами должны найти поиск решения задания, а также предлагаются для поиска решения алгоритмические схемы, блоки и задания. Например, для изучения темы «Деление на трехзначное число» создается ситуация успеха на основе алгоритма деления на двузначное число:

-Что из темы нашего урока нам уже знакомо?

Сейчас мы проведём устный счёт и вспомним законы деления.

Создание ситуации успеха

-Где могут нам пригодиться эти знания?

-Какую задачу поставим на сегодняшнем уроке?

-Зная алгоритм деления на двузначное число, составим алгоритм деления на трёхзначное, а для этого - решим пример:

1056:132

(Ученик работает у доски)

Отработка знаний с подробным проговариванием алгоритма деления на трёхзначное число вслух, про себя, решение самостоятельно.

С.60 №287

На этапе закрепления можно использовать логические задачи, на активный перебор вариантов отношений, задачи на установление временных, пространственных и функциональных отношений, а так же решение магических квадратов, треугольников и прохождение по магическим лабиринтам, определение множеств, заполнение таблиц, работу с линейными и столбчатыми диаграммами, решение задач с помощью «дерева выбора», определение истинности и ложности высказываний и т.д.



Для решения задач исследовательского характера использует построение схемы, что способствует упрощению поиска решения задачи. Например, к задачам:

Блиц-турнир

За 2 часа машина проехала - а км с одинаковой скоростью. Сколько км она проедет за 5часов?

За 3 часа лодка проплыл - а км. Сколько времени потратит лодка на b км, если она двигалась с одинаковой скоростью?

Сначала машина проехала х км, а потом -у км. Сколько часов потратит машина, если она едет со скоростью 60 км \ ч?

Один мотоциклист проехал х км за 5ч., второй мотоциклист это же расстояние проехал за 3 часа. У какого мотоциклиста скорость больше и на сколько?

-Какие величины встретились при решении задач блиц-турнира? (скорость, время, расстояние)

- Какая существует взаимосвязь между этим величинами?

Решение задачи.

-Все эти задания помогут нам решить № 317 с. 64

-Прочесть задачу, представить, о чём в ней говорится. Один ученик у доски. Коллективно составляется чертёж к задаче.

За всё расстояние возьмём отрезок. Расстояние между городами 960 км. Из двух городов навстречу друг другу вышли 2 поезда и встретились на середине пути (разделить отрезок пополам). Известна скорость первого и скорость второго поезда. Узнать надо, на сколько часов больше был в пути один поезд, чем другой?

-Кто может решить задачу самостоятельно, приступайте к работе.

С остальными учащимися проводится подробный устный анализ задачи. В ходе анализа задачи составляется такая схема:

Такие схемы представлены в учебнике, а так же предлагается учащимся составить и заполнить схему к задаче, а затем решить ее. Иногда дается задание придумать задачу к данной в учебнике или учителем схеме.

На уроках можно использовать опережающие задания поискового характера для группы сильных учащихся. Так, например, предлагается не только решить неравенства, состоящие из двух примеров, но и самим придумать такие задания, а также решение задач, в которых нужно подобрать значения переменных. Например:

Устный счёт.

3	17	88	29	456
26	27	30	111

Найти пару чисел, объединённых одним признаком

Дополнить данные таблицы.

Большое значение придается сопоставлению, сравнению, противопоставлению связанных между собой понятий, задач, выяснению сходства и различия в рассматриваемых фактах. В задачах часто вопрос не дается в готовом виде, детям нужно самим задать его на основе известных данных, это повышает внимание к задаче, устраняет формальный подход. Много разнообразных заданий для работы над текстовыми задачами (дополнить, составить разные задачи, которые решаются одинаково, решить несколькими способами), что активизирует познавательную деятельность учащихся.

Интересны и очень полезны для развития мышления детей, включённые в учебник арифметические ребусы-задания, в которых требуется восстановить пропущенные цифры. Например:

Эти задания носят занимательный характер и развивают познавательные способности детей.

Удачно используются задания на обучение детей приемам мыслительных операций: анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия.

Геометрический материал учебника позволяет формировать первоначальные геометрические представления. Хорошо представлены виды учебных заданий: задания на выбор, дополнение, соотнесение, сравнение, задания на конструирование, нахождение ошибок, анализ модели. Учебник яркий, красочный. Итак, учебник М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. «Математика. 4 класс» соответствует всем принципам современной дидактики.