Необычные задания на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы развития математического мышления младших школьников с помощью необычных задач

1.1 Особенности математического мышления учащихся начальных классов и возможности его развития на уроках

1.2 Роль необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Глава 2. Методика применения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.1 Логические задачи как средство развития математического мышления

2.2 Использование различных способов решения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 1

Приложение 2

Введение

математический мышление логический странный

Актуальность выбранной темы подтверждается тем, что основной задачей учителя становится не примитивно обучить, а обучить учиться. На 1-й план выходит образование универсальных учебных действий. Среди познавательных универсальных учебных действий выдается группа логических действий.

Именно логика является основой для получения ребёнком знаний в различных областях деятельности. Знание основ логики предопределяет успешность обучения. Постижение предметов в начальной школе должно строиться в большей степени на мыслительной деятельности, нежели на работе памяти.

Именно при решении странных заданий оттачивается, шлифуется мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. С начала и до конца обучения в школе математическая задача бессменно помогают ученику вырабатывать правильные математические представления, глубже узнать различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает вероятность применять осваиваемые теоретические расположения, позволяет устанавливать разнообразные числовые соотношения в отслеживаемых явлениях.

Решая задачи, представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают познания думать творчески. Учащиеся обязаны уметь решать не только типовые задачи, но требующие известной самостоятельности мышления, оригинальности, изобретательности.

Все это подтверждает потребность изыскания методики обучения решению странных заданий на уроках математики и во внеурочное время, изыскания их роли в становлении математического мышления младших школьников.

Исходя из этого, нами избрана дальнейшая задача изыскания - это обнаружение педагогических условий могущества странных заданий на становление мышления младших школьников. Цель изыскания - разглядеть применение странных заданий на уроках математики как средство становления логичного мышления у младших школьников.

Объектом изыскания является процесс обучения математике в исходных классах.

Предметом изыскания - воздействие странных заданий на становление математического мышления учащихся исходных классов.

В качестве догадки было выдвинуто предположение, согласно которому нетрадиционные задачи благоприятно влияют на становление математического мышления учащихся исходных классов, если:

- такие задачи регулярно будут предлагаться учащимся на уроках и во внеучебное время;

- при составлении их будут учтены возрастные особенности младших школьников.

В соответствии с загвоздкой, целью, объектом, предметом и догадкой изыскания были поставлены следующие задачи:

· Изучить особенности математического мышления младших школьников и воздействие странных заданий на его становление.

· Для организации опытно-экспериментальной работы провести систематизацию странных задач, доступных для младших школьников.

· Составить методические рекомендации для решения основных видов странных заданий младшими школьниками.

Утилитарная важность итогов изыскания заключается в том, что разработанная нами методология решения странных заданий на уроках и во внеурочное время может быть использована учителя ми исходных классов и студентами в период педпрактики.

Для решения поставленных заданий и проверки начальных предположений был использован комплекс взаимосвязанных и дополняющих друг друга способов. Из организационных способов мы применили сравнительный способ с подмогой поперечных срезов. Из эмпирических способов изыскания, включающих все методы приобретения научных фактов, нами были использованы слежение, беседа и опрос, способ экспертной оценки, обзор продуктов деятельности учителя и учащихся.

Глава I. Теоретические основы развития математического мышления младших школьников с помощью необычных задач

1.1 Особенности математического мышления учащихся начальных классов и возможности его развития на уроках

Под математическим становлением ребенка младшего школьного возраста будем понимать целенаправленное и ступенчато организованное образование и становление общности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.

Цель математического становления школьников - это стимуляция и становление математического мышления (соответствующих возрасту компонентов и качеств этого мышления).

Основным направлением организации математического становления является целенаправленное становление конструктивного и пространственного мышления. [13, 46]

Модель осваиваемого математического представления либо отношения играет роль универсального средства постижения свойств математических объектов. При таком подходе к образованию начальных математических представлений учитывается не только специфика математики (науки, осваивающей количественные и пространственные колляции реальных объектов и процессов), но и происходит обучение школьников общим способом деятельности с математическими моделями реальной действительности и способом построения этих моделей.

Являясь общим приемом постижения действительности, моделирование разрешает эффективно формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение, обзор и синтез, суммирование, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное становление словесно-логического мышления.

Таким образом, позволено считать, что данный подход будет обеспечивать образование и становление математического мышления ребенка, а, следовательно, будет обеспечивать его математическое становление.

Эффективность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и ярусом их математического становления, степенью подготовки к само­стоятельному овладению знаниями. Таким образом, у школьников обязаны быть сформированы определенные качества мышления, твердые навыки умного учебного труда, развит познавательный интерес. Следовательно, абсолютно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в начальной школе большое значение имеет задача образования у учащихся математического мышления.

В текущей психологии мышление понимается как социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия гораздо нового, процесс опосредованного обобщённого отражения действительности в ходе её обзора и синтеза. Мышление возникает на основе фактической деятельности из чувственного умения и вдалеке выходит за его пределы.

Чем же отличается математическое мышление от колляции, которая присуща мышлению вообще? [11, 77]

Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного становления которого невозможно достичь эффективных результатов в овладении школьниками системой математических знаний, познаний и навыков. Образование математического мышления младших школьников предполагает целенаправленное становление на предмете математики всех качеств, присущих абсолютно-научному мышлению, комплекса мыслительных познаний, лежащих в основе методов научного умения, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными спецификой самой математики, с постоянным акцентом на становление научно-теоретического мышления.

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой осваиваемых при этом объектов, а также спецификой методов их постижения. Математическое мышление характеризуют появлением определённых качеств мышления. К ним относятся: упругость, оригинальность, глубина, целенаправленность, рациональность, широта, активность, критичность, доказательность мышления, организованность памяти, чёткость и лаконичность речи и записи.

Упругость мышления проявляется в познании изменять способы решения задачи, выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения заданий при изменении задаваемых условий. А.Эйнштейн указывал на упругость мышления как на характерную черту творчества.

Антиподом гибкости мышления является шаблонность мышления. Это желание следовать известной системе правил в процессе решения задачи. Шаблонность мышления частенько является следствием «натаскивания» учащихся по определённым видам типовых задач. Нередко, скажем, школьники начинают решать незнакомую им задачу тем способом, тот, что им «1-й пришёл в голову». Именно на преодоление этого качества мышления направлены нестандартные задачи. Другое качество математического мышления - активность. Она характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой задачи, желанием всенепременно решить эту проблему, изучать различные подходы к её решению.

Становлению этого качества у учащихся помогает рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи.

Следующее качество - целенаправленность мышления, которая включает стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, а также стремлением к поиску наикратчайших путей её решения.

Целенаправленность мышления даёт вероятность огромнее экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком длинно. [21, 61]

Такова, скажем, задача о вычислении суммы 1+2+3+…+97+98+99+100. Поставив целью упростить вычисление посредством применения каких-либо законов сложения, школьник без труда установит известный способ вычисления этой суммы: 1+2+3+…+97+98+99+100= (1+99)+(2+98)+…+(49+51)+5+100=5050.

Целенаправленность мышления помогает проявлению рациональности мышления, которая характеризуется наклонностью к экономии времени и средств для решения задачи, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение, использовать в ходе решения схемы, условные обозначения.

Рациональность мышления нередко проявляется при наличии широты мышления, которая характеризуется, как способность формировать обобщённые способы действий, имеющие широкий диапазон переноса и применения к частным, познание охватить проблему в целом, не упуская при этом имеющих значение деталей; обобщить задачу, расширить область приложения результатов, полученных в процессе её разрешения.

Это качество мышления проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для них факты в процессе уже знакомой им деятельности. Так, скажем, изучив распределительный закон умножения касательно сложения, записанный в форме а*(в+с)= ав+ас, учащиеся проявят широту мышления, если сразу сумеют применить данный закон в вычислении: 2,5 *73,7 + 26,3 * 2,5.

Глубина мышления характеризуется умением выявлять, сущность которого из осваиваемых фактов в их связи с другими фактами.

Известно, что познание происходит двояко: в сознании отражается не только сам объект умения, но и его фон, представляющий общность связанных с этим объектом различных свойств его самого и других, связанных с ним объектов.

Процесс отделения фона от самого объекта - сложный процесс. Величина фона зависит от умений изучать данный объект в его существенных свойствах достаточно огромно. [7, 49]

Таким образом, глубина мышления проявляется, прежде всего, в познании отделить основное от второстепенного, обнаружить логическую конструкцию рассуждения, отделить то, что грозно подтверждено, от того, что принято «на веру». Глубина мышления экстраординарно ясно проявляется при решении такого вида странных задач, как математические софизмы.

Все рассмотренные выше качества могут развиться лишь при наличии активности мышления, которая характеризуется постоянством усилий, направлены на решение некоторой задачи, желанием обязательно решить поставленную проблему, изучать различные подходы к её решению, постигать различные варианты постановки этой задачи в зависимости от изменения условий.

Активность мышления у учащихся проявляется также в желании рассмотреть различные способы решения одной и той же задачи, обратится к исследованию полученного вывода.

Так, скажем, учащиеся проявят определенную активность мышления, если спросят учителя: «Почему на нуль разделять немыслимо?».

Учитель будет помогать становлению у школьников активности мышления, если сумеет убедить их в том, что принятое в математике условие о неосуществимости деления на нуль разумно. В самом деле, проверка действия деления умножением говорит о том, что при делении на нуль мы не получаем никакого результата (пускай а = 0 и 0: 0 =n , где n - любое число, так как n * 0 = 0).

Качество мышления, противоположное данному качеству, есть пассивность мышления. Оно возникает в результате формального усвоения математических знаний.

В числе качеств математического мышления важное место занимает критичность мышления, которая характеризуется познанием оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости.

В процессе обучения математике это качество мышления проявляется наклонностью к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного вывода, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции. [11, 113]

С критичностью мышления тесно связана доказательность мышления, характеризуемая умением терпеливо и скрупулезно относиться к собиранию фактов, довольных для вынесения какого- либо суждения; стремлением к обоснованию каждого шага решения задачи, умением отличать результаты достоверные от правдоподобных (раскрывается при решении математических софизмов); вскрывать подлинную причинность связи посылки и заключения.

Наконец, к числу основных качеств мышления относится организованность памяти. Память каждого школьника является необходимым звеном в его познавательной деятельности, зависит от её нрава, целей, мотивов и определенного содержания.

Организованность памяти обозначает способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и позитивному воспроизведению стержневой учебной информации и упорядоченного навыка.

Ясно, что в обучении математике следует развивать у школьников как оперативную, так и долговременную память; обучать их запоминанию исключительно существенного, общих методов и приёмов решения задач; формировать познание систематизировать свои знания и навык.

Организованность памяти даёт вероятность соблюдать правило экономии в мышлении. Следовательно нецелесообразно загружать память учащихся бесполезной либо незначительной информацией, не накапливать у них навык учебной деятельности, бесполезной для дальнейшего. Так, скажем, до недавнего времени школьники «разучивали» решение типовых текстовых задач, не имеющих большого познавательного значения; это весьма отрицательно сказывалось и на становлении их памяти. [26, 14]

В процессе обучения математике становлению и укреплению памяти школьников помогают:

а) мотивация постижения;

б) составление плана учебного материала, подлежащего запоминанию;

в) широкое использование в процессе запоминания сравнения, аналогии, классификации.

Все перечисленные качества математического мышления сильно взаимосвязаны и проявляются в учебной математической деятельности школьников не изолированно.

1.2 Роль необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Становление логического мышления - одна из основных заданий начального обучения. Роль математики в становлении логического мышления исключительно громадна. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными мыслительными операциями: обзором и синтезом, сравнением, обобщением, абстрагированием и конкретизацией; делают индуктивные результаты, проводят дедуктивные рассуждения. Познание думать логически - надобное условие благополучного усвоения учебного материала.

Изменение приоритетных направлений становления текущей системы образования ставит перед школой задачу образования творчески мыслящих людей, обладающих нестандартным взглядом на проблемы, владеющих навыками исследовательской работы. К сожалению, для текущей начальной школы в России все еще характерна репродуктивная действие. На уроках школьники приблизительно все время решают типовые задачи. Привыкая к выполнению стандартных типовых заданий, имеющих исключительное решение и, как водится, исключительный итог, тот, что заранее предопределен на основе некоторого алгоритма, учащиеся привыкают к однотипным действиям, начинают думать по стандарту, реально не имеют вероятности делать само­стоятельно, эффективно развивать индивидуальный умственный потенциал, прежде всего логическое мышление. Чай творчество - это умение отказаться от клише мышления, для того дабы сделать что-то новое.

Широкие вероятности в этом отношении открывает решение школьниками странных задач. Нестандартная задача - это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Надобен поиск решения, что требует творческой работы мышления и помогает его становлению. [9, 55]

Универсального метода, позволяющего решить каждую нестандартную задачу, в математике нет, так как нестандартные задачи в какой - то степени неповторимы. Однако при обучении решению странных заданий позволено и нужно следовать тем же педагогическим условиям, что и при

работе со стандартными задачами. Рассмотрим некоторые из них.

Во -первых, надобно вызвать у учащихся интерес к решению той либо иной задачи. Для этого надобно тщательно отбирать интересные задачи. Это могут быть задачи - шутки, задачи-сказки, ветхие задачи, превращения математические фокусы, отгадывание чисел и т.д.

Во - вторых, задачи не обязаны быть ни слишком легкими, ни очень трудными, так как, не решив задачу либо не разобравшись в ее решении, предложенном учителем, школьники могут потерять веру в свои силы. В этом случае важно соблюсти меру помощи. Подсказка должна быть минимальной.

В - третьих, работу по обучению решению странных заданий следует вести систематически, начиная с I класса.

При решении странных заданий применяются те же способы решения, что и для стандартных: алгебраический, арифметический, графический фактический, метод предположения , метод подбора.

Известно, что существуют определенные этапы решения задачи, выполнение которых разрешает считать решение завершенным всецело:

Обзор текста задачи;

Составление плана решения

Осуществление выработанного плана

Изыскание полученного решения.

Экстраординарно труден для учащихся 1-й этап - обзор текста задачи. Следовательно надобно с самого начала обучения решению заданий формировать у младших школьников общее умение изучать задачи. Решающее значение имеет умение найти и составить план решения задачи. С этой целью используют рассуждения от данных к желанным величинам и, наоборот, от желанных (вопроса задачи) к данным величинам, возможна их комбинация. Поиск плана решения задачи позволено осуществлять, скажем, с подмогой аналогии, установив сходство отношений в данной задаче с отношениями в задаче, решенной ранее. [10, 112]

Вообще процесс решения каждый нестандартной задачи состоит в последовательном применении 2-х основных операций: 1) сведение (путем преобразования либо переформулирования) нестандартной задачи к другой, ей эквивалентной, но уже стандартной; 2) разбиение нестандартной задачи на несколько вспомогательных стандартных подзадач. Для того дабы легче было осуществлять способы разбиения и моделирования, пригодно с самого начала при решении странных заданий приучить школьников к построению вспомогательной модели задачи - схемы, чертежа, графа, графика, таблицы. Это помогает становлению определенного и абстрактного мышления во связи между собой, так как модель задачи, с одной стороны, дает вероятность реально представить зависимости между величинами, входящими в задачу, а с другой - помогает абстрагированию от сюжетных деталей, от предметных, описанных в тексте задачи.

Что касается третьего этапа, то он нередко реализуется уже при составлении плана решения либо может быть реализован без особого труда. Четвертый этап следует считать необязательным, но желанно и его осуществлять там, где это возможно.

Начинать знакомство с нестандартными задачами лучше:

С заданий с недостающими данными;

С нерешаемых задач, развивающих познание осуществлять обзор новой атмосферы;

С заданий на определение обоснованности;

С заданий на образование умения проводить дедуктивные рассуждения (при их решении учащиеся обязаны проявить смекалку, додуматься, что задача вообще не решается либо что в задаче есть лишние данные либо данных не хватает). [13, 49]

В качестве одного из основополагающих принципов текущей концепции преподавания математики на 1-й план выдвигается идея приоритета развивающей функции обучения математике. В соответствии с этим стержневой целью математического образования становится не постижение основ математической науки, а становление умения математически, а значит логически постигать явления реального мира. Следовательно использование учителем начальной школы различного рода странных заданий в учебном процессе является надобным элементом обучения математике.

Логические задачи обладают высоким потенциалом. Они помогают воспитанию одного из важнейших качеств мышления - критичности, приучают к обзору воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.

Дидактическая ценность таких заданий неоспорима. Попадая в заблаговременно приготовленную ловушку, ученик испытывает досаду, сожаление от того, что не придал особого значения тем нюансам, из-за которых он попал в неуклюжее расположение. Простое сообщение детям о том, что учащиеся, как водится, допускают в заданиях такого рода ошибки, малодейственное. Потому как оно, несмотря на общность и адресность, не является для определенно взятого ученика личностно значимым. Во-первых, событие, о котором сообщается, происходило когда-то давно, в прошлом, а во-вторых, любой из учеников наивно полагает, что в число неудачников сам Он не попадает. [18, 115]

Дабы получить целостное представление обо всём многообразии логических задач, их вероятностях в становлении критичности мышления младших школьников, приведём одну из имеющихся типологий этих задач.

I тип. Задачи, данные которых в той либо иной мере навязывают неверный итог. (Сколько прямоугольников позволено насчитать в изображении окна?

II тип. Задачи, данные которых тем либо иным способом подсказывают неверный путь решения. (Тройка лошадей проскакала 15 километров. Сколько километров проскакала каждая лошадь?)

Хочется выполнить деление 15 : 3 и тогда итог: 5 км. На самом деле деление исполнять вовсе не необходимо, от того что каждая лошадь проскакала столько же, сколько и всякая тройка, т.е. 15 км.)

III тип. Задачи, вынуждающие придумывать, составлять, строить такие математические объекты, которые при заданных условиях не могут иметь места. (Применяя цифры 1 и 4 запишите трёхзначное число, дающее при делении на 3 остаток, равный 2. Придумать такое число невозможно, от того что каждое число, удовлетворяющее условию задачи, делится на 3 без остатка.)

IV тип. Задачи, вводящие в заблуждение из-за неоднозначности трактовки терминов, словесных циклов, буквенных либо числовых выражений. (На листе бумаги написано число 606. Какое действие необходимо совершить, дабы увеличить это число в полтора раза? Здесь имеется в виду не математическое действие, а легко игра с листом бумаги. Если опрокинуть лист, на котором написано число 606, то увидим запись 909, т.е. число, которое в полтора раза громаднее числа 606.)

V тип. Задачи, которые допускают вероятность «опровержения» семантически верного решения синтаксическим либо иным нематематическим способом. (Крестьянин продал на рынке трёх коз за 3 рубля. Спрашивается: «По чему каждая коза пошла?». Очевидный итог: «по одному рублю» - опровергается: козы по деньгам не ходят, а ходят по земле.)

Описанные разновидности заданий не исчерпывают всего их многообразия, но дают представление о способах их составления и использования в обучении математике.

Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является вестимой цепью известных действий. Следовательно представление нестандартной задачи касательно. Успех в решении зависит не только от того, решались ли раньше подобные задачи, сколько от навыка их решения вообще, от числа всецело разобранных решений с помощью учителя с подробным обзором всех интересных аспектов задачи. Нерешённая задача подрывает у учащихся уверенность в своих силах и отрицательно влияет на становление интереса к решению заданий вообще, следовательно учитель должен проследить за тем, дабы поставленные перед школьниками нестандартные задачи были решены. Но коллективно с тем решение странных заданий с помощью учителя - это вовсе не то, чего следует добиваться. Цель постановки в школе странных заданий - обучить школьников решать их самостоятельно. [22, 59]

Нестандартные задачи делятся на 2 категории:

1 категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа заданий математических олимпиад.

2 категория. Задачи типа математических развлечений.

Первая категория странных заданий предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем либо иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные расположения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

Вторая категория странных заданий прямого отношения к школьной программе не имеет и, как водится, не предполагает громадный математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию заданий входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сего времени не получено.

Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Но связанные с необходимостью всякий раз применять для их решение заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех собранных знаний, приучают к поискам подлинных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения очаровательными примерами, принуждают восхищаться силой разума. [26, 34]

Вывод

Становится очевидным один существенный недостаток школьных задачников: очень немножко задач, предусматривающих связь между разделами курса.

Таковы требования психологии, выполнение которых помогает становлению математического мышления школьника. Учитель начальных классов, безоговорочно, должен рассматривать их в практике организации урока, домашнего задания, а также в организации вне учебных занятий и досуга учащихся. Он должен не натаскивать школьников на различных таблицах сложения, вычитания, умножения, на механическом запоминании различных правил, а, прежде всего, должен приучать с охотой и рационально думать. «Не необходимо мучить учеников длиннейшими и скучнейшими механическими вычислениями и упражнениями. Когда они понадобятся кому-либо в жизни, он их проделает сам, - да на это есть всевозможные вычислительные машины», - так писал Е. И. Игнатьев ещё в начале нашего века.

Ещё одна характерная особенность странных математических заданий состоит в том, что они способны вызвать интерес к результату решения, а заманчивость получения результата вдохновляет на преодолевание трудностей процесса решения заданий и тем самым помогает воспитанию умственной активности. Увлекательные упражнения гонят прочь умственную и волевую лень, тренируют мышления, вырабатывают манеру к умственному труду, потребность в нём, воспитывают настойчивость в преодолении трудностей, вызывают целебно действующее на организм радостное сознание успеха в случае самостоятельно найденного решения. [20, 120]

Включая нестандартные задачи в арсенал развивающих средств, учитель приобретает прекрасное пособие не только для разумного заполнения досуга учащихся, для игры, но и для ежедневной умственной гимнастики.

Глава II. Методика применения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.1 Логические задачи как средство развития математического мышления

Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решаются с помощью одних лишь логических операций. Логические задачи могут решаться реально и реально решаются обычными рассуждениями. Иногда решение их требует длинных рассуждений, надобное направление которых заранее нереально предугадать. Эти трудности преодолеваются, если для решения этих заданий использовать аппарат алгебры, высказываний. Правда, в этом случае возникают другие трудности, связанные с переводом условий заданий на язык алгебры высказываний и с использованием аппарата этой алгебры. Умение решать задачи средствами обычной алгебры (составление и решение уравнений) помогает им преодолевать эти трудности.

Современные изыскания показали, что именно в начальной школе закладываются основы доказательного мышления. На данном этапе школьного обучения основная цель работы состоит в том, дабы школьники обучились делать результаты из тех суждений, которые предлагаются им в качестве исходных, дабы они смогли ограничиться содержанием этих суждений, не привлекая других знаний. Некоторые дети, скажем, рассуждая о том, кто из ребят самый сильный, если Вова мощнее Марины, а Марина слабее Кати, делают вывод, что Вова сильнее всех, потому что мальчики бессменно сильнее девочек.

Становлению логического мышления могут помогать следующие задачи. [29, 155]

Задача. Было три фигурки: треугольник, круг и квадрат (учитель одновременно изображает это в левой части доски). Каждая из них жила в одном из трёх домиков: 1-й домик был с высокой крышей и маленьким окном, 2-й с высокой крышей и большим окном, 3-й с низкой крышей и большим окном (говоря это, учитель рисует домики).

Треугольник и круг жили в домиках с громадным окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей (по мере рассказа учитель даёт схематическое изображение этих суждений справа от их изображения домиков). Необходимо отгадать, в каком домике живёт каждая фигурка (изображение вопроса задачи ещё правее).

Разбор задачи осуществляется с помощью следующих вопросов.

Что нам вестимо про фигурки? (Нам вестимо, что треугольник и круг живут в домиках с громадным окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей).

Про какую фигурку вестимо громаднее всего? (Про круг).

Что известно? (Вестимо, что круг живёт в домике с высокой крышей и с большим окном).

Есть ли у нас такой домик? Да, это домик 2. Напишем цифру 2 в итог рядом с кругом.

Что теперь позволено узнать? (Позволено узнать, где живёт треугольник. Он живёт в домике 3). Почему? (Потому что в задаче сказано, что треугольник живёт в домике с громадным окном. А так как в одном таком домике живёт круг, то в другом живёт треугольник). Напишем в итоге рядом с треугольником цифру 3. А где живёт квадрат? (Квадрат живёт в домике 1, потому что данный домик остался свободным). Напишем в итоге рядом с квадратом цифру 1.

Решение большинства логических заданий позволено подчинить последующему плану: [28, 88]

1. выделить в условии то, что относится к суждению о парах предметов;

2. определить предмет, о котором вестимо громаднее всего;

3. сделать результат об этом предмете;

4. сделать результаты об остальных предметах.

В тех случаях, когда школьники испытывают затруднения при решении логических задач, с ними нужно проводить работу на материале упрощённых задач. Так, сначала нужно предложить задачу, на материале которой позволено ясно представить толк рассуждения при выборе знаков предметов.

Скажем: Было две фигурки: круг и квадрат и два домика с окном. Круг жил в домике с окном, квадрат жил в домике 2. Где жил круг?

На материале заданий такого типа ребёнок учится решать огромнее сложные задачи, а основное - делать альтернативный результат, тот, что выступает важным звеном в рассуждении при решении логических задач.

Позднее решения заданий на логическое мышление с опорой на наглядно представленное условие осмысленно проводить работу только с текстовой частью условий этих заданий (то есть без изображения суждений), дабы школьники практиковались рассуждать. Наравне с этим пригодно также предлагать детям само­стоятельно составлять подобные задачи. Здесь возможны два этапа. На первом этапе учитель предлагает два звена данные, где говорится о предметах и их знаках, а суждения, характеризующие связи предметов и знаков, школьники придумывают сами. На втором этапе школьники сами придумывают всю задачу. [24, 28]

Экстраординарно нравятся учащимся начальных классов логические задачи со сказочным сюжетом. Являясь интересным по форме, они усиливают интерес к самой задаче, побуждают ребёнка решать проблему, вызывают желание помочь полюбившимся героям. Красота решения, неожиданный поворот мысли, логика рассуждений, всё это усиливает эмоциональное восприятие детей.

Очень важно подобрать посильные для учеников задания, соответствующие их вероятностям, становлению. Пригодно и дать 1-й толчок для побуждения ребёнка заняться решением, а позже этого усилить его сопротивляемость перед встающими трудностями. Чай нередко бывает, что даже способный ученик не хочет просто прочитать задачу, не то что решать её, а следовательно целесообразно использовать внешнюю занимательность текстов. Цель может быть достигнута, если условие задачи будет схоже на сказку.

Желание помочь попавшему в беду любимому герою, стремление разобраться в сказочной атмосферы - всё это стимулирует умственную действие ребёнка.

В то же время значимо и обратная связь: в ряде случаев встреча со сказочными героями в мире математики побуждает ученика ещё раз прочитать литературное произведение, поразмышлять, глубже заглянуть в него.

При составлении заданий надобно добиваться, дабы поведение сказочных героев соответствовало духу самой сказки: единоборство за добросовестность Ивана-царевича и хитрость Кощея Бессмертного, верность дружбе неунывающего Буратино и желание поживиться за сторонний счёт лисы Алисы и кота Базилио и т.д. Симпатии школьников на стороне положительных героев. Добродушно торжествует, зло наказано, отрицательные качества высмеиваются. Сказки и через задачи продолжают воспитывать детей.

Данные задачи со сказочными сюжетами во многих случаях громоздки. Выбранная форма сказки влечёт за собой касательно огромной её объём - чай при составлении задачи приходится следовать литературному тексту сказки. Но в таком случае школьники с громадным удовольствием читают условие, вникают в его толк - а работа с текстом является существенной частью психологической подготовки школьника к решению задачи. [13, 57]

Дабы не быть голословным, приведём пример подобной задачи.

Иван против Кащея Бессмертного.

Помогу тебе, Иван, вызволить Василису Прекрасную, - сказала Баба Яга.

По душе ты мне пришёлся. Да и от Кащеева коварства много я страдала, уж очень хочется его проучить.

Вот тебе, Иван, клубок. Приведёт он тебя прямо к Кащею Бессмертному. В одной из них томится Василиса Прекрасная, в другой находится Змей Горыныч, а третья темница - пустая. Учти, что все надписи на дверях темницы неверные.

Бросил Иван клубок на землю. Покатился клубок, а Иван - за ним. Длинно ли, коротко ли, он дошёл до Кащея Бессмертного. Затребовал Иван у него Василису Прекрасную.

Повёл Кащей Ивана в подземелье. Показал там три темницы, на дверях которых написано:

темница 1 - “Здесь Василиса Прекрасная»;

темница 2 - «Темница 3 не пустая»;

темница 3 - «Здесь Змей Горыныч».

Отпущу, Иван, с тобой Василису Прекрасную, если угадаешь, в какой она темнице. Покажешь на дверь, за которой Змей Горыныч, - быть тебе им растерзанным. Покажешь на пустую темницу - быть тебе в ней узником до конца дней своих.

Задумался Иван … Ребята, порекомендуйте Ивану, на какую дверь показать.

Итог. Василиса Прекрасная во 2 темнице.

Надпись на двери темницы 2 неверная, то есть темница 3 пустая. Значит, 1 и 2 темницы не пустые. Надпись на двери 1 темницы тоже неверная. Значит, там Змей Горыныч. Тогда во 2 темнице Василиса Прекрасная. [25 ,184]

Логические задачи являются к тому же чудесным индикатором математических способностей именно потому, что не требуют никаких математических знаний и навыков, помимо элементарных. Следовательно изначально логические задачи доступны уже первоклассникам, учителю лишь надобно заинтересовать решением задачи, придать ей занимательность.

Доступность логической задачи не обозначает лёгкость её решения. Дабы её решить, необходимо приложить значительные умственные усилия. И тем весомее будет с точки зрения самооценки учащихся её правильное решение.

Таким образом, логические задачи являются прекрасным средством становления математического мышления. Они развивают умение логически рассуждать, выводить одно из другого, повышают активность мысли.

2.2 Использование различных способов решения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Решение странных заданий составлением уравнения.

Для этого необходимо:

· провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме 2-х алгебраических выражений;

· найти основание для соединения этих выражений знаком «=»и составить уравнение;

· найти решения полученного уравнения, организовать проверку решений уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Скажем, о поисках основания для соединения 2-х алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом вероятности объединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они подлинный толк этих отношений (скажем, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз» и т.п.). Дальше требуется осознание, каким именно математическим действием либо, свойством действия либо какой связью (зависимостью) между компонентами и выводом действия может быть описано то либо иное определенное отношение.

Приведём пример оформления записи разбора нестандартной задачи, решаемой составлением уравнения. [8, 15]

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста коллективно». Какова масса рыбы?

Х кг - масса туловища;

(1+Х/2) кг - масса головы;

Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем уравнение:

Х=1+ Х/2+1

Х - Х/2=2

Х/2=2

Х=4

4 кг - масса туловища;

1+1/2*4=3 (кг) - масса головы;

3+4+1=8 (кг) - масса всякой рыбы;

Итог: 8 кг.

Численное решение странных заданий позволено получить графическим способом. Данный метод нагляден и достаточно прост. Рассмотрим методику его проведения на определенном примере. [17, 16]

Задача. У 2-х рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?»

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», - ответил 1-й.

«А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», - подсчитал 2й.

Я сосчитал, а теперь посчитайте вы.

Решение:

Сколько рыбы в корзине первого рыбака? Как обозначим это условие на чертеже?

Заметим на чертеже, сколько рыбы было у 2 рыбака.

Можем ли мы узнать, сколько рыбы составляет половину корзины 2 рыбака? Откуда это следует?

Сколько всякого было рыбы у 2 рыбака? А сколько у 1 рыбака?

Способы решения комбинаторных задач.

Включение комбинаторных заданий в начальный курс математики оказывает положительное влияние на становление младших школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных заданий помогает становлению такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это».

Комбинаторные задачи позволено решать различными методами. Условно эти методы позволено поделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить нрав выбора, выбрать соответствующую формулу либо комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Итог - это число возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на 1-й план выходит сам процесс составления различных вариантов. И основное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Данный метод не только доступен младшим школьникам, но и разрешает накапливать навык фактического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в грядущем комбинаторных принципов и формул. Помимо того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это позволено сделать огромнее логично.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

Задачи, в которых необходимо произвести полный перебор всех возможных вариантов.

Задачи, в которых использовать приём полного перебора не осмысленно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).

Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам. [16, 84]

Приведём соответствующие примеры задач:

Расставляя знаки «+» и « - « между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Проводится полный перебор вариантов:

два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем 9+2+4, 9-2-4;

два знака могут быть разными, тогда получаем 9+2-4, 9-2+4.

Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Всякого существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию не целесообразно, следовательно проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять огромной круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом громадный и маленький квадраты позволено поставить двумя способами - на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Три компаньона одной фирмы хранят дорогие бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, дабы сейф мог открываться только в присутствии правда бы 2-х компаньонов, но не одного. Как это позволено сделать?

Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону позволено дать по одному ключу либо по два разных ключа, либо по три. [4, 54]

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф.

Могут прийти 1-й и 2-й компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти 1-й и 3-й компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти 2-й и 3-й компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, дабы найти итог в этой задаче, необходимо выполнить операцию перебора несколько раз.

«При отборе комбинаторных заданий нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Мы усердствовали, дабы задачи не выглядели противоестественным, а были ясны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Желанно, для составления заданий использовать фактический материал из жизни».

Способы решения математических софизмов.

Софизм - доказательство ложного заявления, причём оплошность в доказательстве искусно замаскировано. Софизм в переводе с греческого обозначает хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку.

Ошибки, допущенные в софизме обычно сводятся к последующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию неверных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.

Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была сделана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всякого, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления. [22, 67]

Обнаружить ошибку в софизме - это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.

Помимо критичности математического мышления данный вид странных заданий выявляет упругость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого грозно логичного на 1-й взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ложным и делает ложным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению осваиваемого материала, развивает наблюдательность и скептическое отношение к тому, что изучается.

Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Удостоверим, что 2*2=5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство:

4:4=5:5 (1)

Перепишем его в таком виде:

1*(1:1)=5*(1:1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4=5 либо 2*2=5.

Решение: в рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) сделана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения касательно сложения.

Либо другой софизм с использованием «незаконных» обобщения.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек - отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Исключительный сын Ивановых не знает исключительного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Положительно ли это?

Решение: если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Скажем, отец Иванов может знать мать и сына Петровых (как заметил ученик экспериментального класса Морозов Саша).

Правда общих правил для решения странных заданий нет ( по этому эти задачи и именуются нестандартными ), однако мы постарались дать ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении странных заданий разных видов. [13, 85]

Математические ребусы, кроссворды, шарады

Ребус - это загадка, но загадка не совсем обычная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и различных знаков. Дабы прочесть то, что зашифровано в ребусе, надобно правильно назвать все изображенные предметы и понять, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Скажем, правители одного племени послали некогда своим соседям вместо письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это обозначало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мышь, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы осыпям вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Числовые ребусы - это примеры, в которых все либо некоторые цифры заменены звездочками либо буквами. При этом одинаковые буквы заменены звездочками либо буквами. При этом одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. Л.П.Терентьева Решение нестандартных задач уч.пособие Ч.2002 стр.19

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

В ходе исследовательской работы нами были выдвинуты следующие задачи:

· определить вероятности странных заданий в процессе становления математического мышления младших школьников;

· изучить, как используются подобные задачи в практике работы учителей;

· разработать на основе навыка работы передовых учителей методику обучения учащихся поисковой деятельности при решении странных задач.

Руководствуясь перечисленными задачами, наше изыскание проходило в несколько этапов.

1-й этап был посвящён постижению психолого-педагогической, математической, методической литературы по данной теме с целью сравнения вероятностей странных и типичных заданий в качестве средства становления математического мышления.

На втором этапе анализировался навык учителей МОУ СОШ №3 г.Элисты по утилитарному применению странных заданий на уроках математики в начальных классах.

На третьем этапе проводилась разработка и апробация методики обучения учащихся решению странных задач.

У них собран определенный навык в составлении и использовании крошечных книг по интересной математике. Первую из них - «Десять задач» - позволено было сделать из материала книги В.Н.Русанова

В практике современного обучения математике на решение заданий отводится большая часть времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Но из-за использования только типовых заданий это учебное время используется неэффективно, что отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом. [9, 46]

Известный педагог-математик Д. Пойа так высказался по этому поводу: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только типовые, но и требующие вестимой самостоятельности мышления, здорового смысла, оригинальности, изобретательности».