Анализ изучения темы "Делимость и остаток"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основания обучения математике в средней школе

1.1 Методика обучения понятиям как способ формирования теоретического мышления

1.2 Понятие числа как стержневое понятие школьного курса математики

Глава 2. Анализ изучения темы «Делимость и остаток»

2.1 Изучение темы «Делимость и остаток» в начальной школе

2.2 Изучение темы «Делимость и остаток» в средней школе

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Актуальность. Курс математики IV--V классов представляет собой органическую составную часть всей школьной математики.

Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математике в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.

В содержании школьного предмета математики выделяется несколько сквозных идейных линий: числовая, функциональная, формально-оперативная, содержательно-прикладная, вычислительно-графическая, алгоритмическая и др. Не все они одинаково воплощаются на разных этапах обучения математике, но все значимы [7].

В курсе математики IV--V классов они реализуются на числовом, алгебраическом и геометрическом материале. Такая компоновка учебного материала, являясь достижением методической науки, значительно обогащает содержание курса, служит облегчению усвоения изучаемых знаний и содействует развитию мышления школьников.

Распределение учебного материала осуществляется таким образом, что при изучении числовых множеств систематически используется геометрический и алгебраический материал.

Изучение многих вопросов о числе проводится с использованием геометрической интерпретации: при сравнении чисел, введении понятия модуля числа, сложения положительных и отрицательных чисел используются активно координатный луч и координатная прямая, при изучении свойств и законов действий -- буквенная символика, при обосновании свойств действий и выводе правил -- понятия площади прямоугольника и объема параллелепипеда [12].

Такая организация учебного материала способствует наилучшему раскрытию содержания изучаемых знаний и взаимосвязей между ними.

Исходя из вышеперечисленных фактов, мы сформулировали тему нашего исследования: «Делимость и остаток».

Объектом нашего исследования является методика математики в средней школе.

Предмет исследования - делимость и остаток.

Цель исследования - выявить место и роль изучения темы «Делимость и остаток» в обучении математике в средней школе.

Гипотеза исследования - изучение темы «Делимость и остаток» в средней школе идет с опорой на знания, полученные в начальной школе, и служит опорой для изучения таких понятий как НОК, НОД и сокращение дробей.

Задачи исследования:

1. Проанализировать психологическую, педагогическую, методическую литературу по теме исследования.

2. . Дать характеристику основным понятиям работы.

3. Охарактеризовать место и роль изучения темы «Делимость и остаток» в обучении математике в средней школе.

Основные методы исследования - анализ литературы.

Глава 1. Теоретические основания обучения математике в средней школе

1.1 Методика обучения понятиям как способ формирования теоретического мышления

математика делимость остаток обучение

В процессе мышления, т. е. обобщенного и опосредованного отражения сознанием объективной действительности, можно выделить различные формы: понятие, суждение, умозаключение. Понятие - одна из важнейших форм мышления. Понятие - это такая форма мышления, в которой вьщелены существенные свойства объектов, отделенные и абстрагированные от несущественных свойств. Понятийное мышление, т. е. мышление в понятиях, -высшая стадия развития интеллекта. Мышление в индивидуальном сознании развивается от практически-действенного к наглядно-образному и далее к словесно-логическому. Образование понятий в сознании является и условием, и сутью, и показателем общего интеллектуального развития [9].

По мере формирования понятийного мышления наблюдается изменение каждой познавательной функции. Восприятие становится наглядным мышлением. Запоминание из механического превращается в опосредованное логическое, внимание становится произвольным. Происходит коренная перестройка интеллектуальной деятельности. В понятийные структуры включается весь опыт индивида: чувственный, мнемический, визуально-пространственный, операционно-логический, словесный.

Знание об объекте на понятийном уровне - это знание разнокачественных свойств (существенных и несущественных), знание закономерностей возникновения и связей с другими объектами, т. е. это интегральная структура. «.. Природа каждого отдельного понятия предполагает наличие определенной системы понятий, вне которой оно не может существовать». (Выготский Л. С. Мышление и речь // Собр. соч. Т. 2. М.: Педагогика, 1982. С. 270.)

Понятийное мышление позволяет индивидуальному сознанию познавать мир и себя. Отдельные элементы процесса образования понятий проявляются на самых ранних стадиях развития индивидуального сознания. Если ребенок овладевает словом, называет какой-то объект соответствующим термином, то это говорит о том, что в его сознании имеют место операции, связанные с выделением понятия и являющиеся компонентами понятийного мышления. Педагогическая психология утверждает, что мышление в понятиях формируется в подростковом возрасте [4].

Почему математика имеет большое значение для развития интеллекта? Частично ответ на поставленный вопрос можно найти в рассматриваемом разделе о понятиях и их определениях. Как ни в одном другом школьном предмете, в математике учащиеся сталкиваются с необходимостью конструировать, формулировать и применять определения понятий, осознавать закономерности их построения, устанавливать порядок на множестве понятий: приводить их в систему, проводить классификацию понятий. Все эти действия, входя в структуру умственного опыта, обогащают его.

В понятии отражены существенные свойства объектов и абстрагированы от несущественных. Существенные свойства составляют содержание понятия. Существенными свойствами понятия (разные авторы называют их по-разному: существенными признаками, характеристическими свойствами) называются такие, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы выделить определенный класс объектов, чтобы некоторый объект отнести к определенному понятию [9].

Например, существенными свойствами понятия арифметический квадратный корень из данного числа являются следующие: 1) это - положительное число; 2) квадрат его равен данному числу. Несущественными свойствами понятия арифметический квадратный корень является принадлежность этого числа различным числовым множествам: натуральных, дробных, иррациональных чисел.

Существенными свойствами понятия параллелограмм являются: это - четырехугольник, противоположные стороны его равны, противоположные стороны - параллельны, противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют 180° и т. д. Несущественными свойствами понятия параллелограмм являются величины сторон и углов, цвет изображения, положение на плоскости и другие.

Естественный процесс образования понятий в сознании происходит в результате многократного столкновения с объектами, являющимися представителями этого понятия, в результате мыслительных операций анализа, синтеза, абстрагирования, сравнения, обобщения. Понятие абстрагируется от индивидуальных признаков отдельных восприятий и представлений. В этом процессе психологи выделяют следующую последовательность: восприятие - представление - понятие. Например, понятие прямая является результатом анализа, сравнения, абстрагирования и обобщения таких реальных объектов, как натянутая нить, луч света, железная или шоссейная дорога без поворотов. Эти объекты, их образы анализируются, сопоставляются по мере обогащения опыта. Воспринимается один объект, мысленно воспроизводится другой, известный ранее, происходит сравнение, выделяется сходное [13]. В чем заключается продвижение сознания в рамках упомянутой схемы восприятие - представление - понятие? Это есть продвижение от ощущений, которые первоначально не дифференцируется и которые лишены однозначности, к постепенному осознанию существенных свойств, которые могут быть выявлены уже и при отсутствии ощущений, к абстрагированию существенных свойств в понятии, содержащем в себе все многообразие объектов, входящих в состав понятия.

Вне школьного обучения выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных в сознании индивида происходит самостоятельно. Однако на этот процесс может быть затрачено длительное время. Например, абстрактное понятие числа потребовало от человечества для своего формирования тысячелетий. В школе этот процесс специально организован и протекает, естественно, быстрее.

В формальной логике принято различать понятия двух видов: понятия об объектах и понятия об отношениях между объектами. Примеры отношений: больше, меньше, равенство для чисел; эквивалентность для суждений; равенство, конгруэнтность для фигур и т. д.

В понятиях кроме содержания можно выделить вторую характеристику - их объем, т.е. множество объектов, подпадающих под это понятие. В объем понятия уравнение входят линейные, квадратные, кубические, биквадратные и другие уравнения. Можно по-другому представить объем понятия уравнение: трансцендентные и алгебраические, последние в свою очередь делятся на рациональные и иррациональные и т. д. [15]

Между содержанием понятия и его объемом существует следующая зависимость: если увеличивается содержание понятия, то объем его уменьшается. Если объем одного понятия входит в объем другого, то первое понятие называется видовым, а второе -родовым по отношению к первому. Родовое и видовое понятия относительны. Понятие призма является видовым по отношению к понятию многогранник и родовым по отношению к понятию параллелепипед. Можно выделить различные отношения между объемами понятий, наиболее часто встречающиеся в математике.

Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Содержание понятия - это совокупность его существенных свойств.

Определение необходимо для того, чтобы разные люди понимали друг друга, вкладывая в определенные термины один и тот же смысл. Определение понятий является одним из способов введения в математические дисциплины новых понятий, наделенных необходимыми качествами для включения их в логические операции. Определения сводят определяемые понятия к уже известным. Рассмотрим определение действия вычитания: вычесть из одного числа другое значит найти такое число, которое в сумме со вторым дает первое число. Это определение позволяет вновь вводимое незнакомое понятие о действии вычитания свести к уже известному понятию - сложению двух чисел.

Становится понятным, что восходящий процесс определения неизвестного через известное когда-нибудь должен закончиться и встретятся такие понятия, определения которым будет дать невозможно. Тогда становится необходимым введение неопределяемых понятий. В математике это - точка, прямая, плоскость, число, множество, элемент множества и некоторые другие. Вне математики также имеют место неопределяемые понятия. Это такие категории, как материя и сознание, общее и частное, форма и содержание и т. д., которые можно пояснить только друг через друга, что в формальной логике считается ошибкой «порочного круга» [21].

Необходимость введения неопределяемых понятий осознается учащимися благодаря специально организованной работе учителя. Эта работа может заключаться в составлении генеалогических деревьев для некоторых понятий.

Большинство определений строится с помощью указания ближайшего рода и видовых отличий вводимого понятия от других объектов этого же рода. Рассмотрим, например, определение равнобедренного треугольника как треугольника, у которого две стороны равны. Родовое понятие в этом определении - треугольник, а видовое отличие одно -наличие пары равных сторон. Вообще определение понятия через ближайший род и видовое отличие устанавливает отношение включения для множества объектов, указывая тем самым порядок на множестве определяемых понятий.

Видовых отличий в определении может быть несколько, и они могут быть связаны между собой по-разному: конъюнктивно, дизъюнктивно и в сочетаниях конъюнкции и дизъюнкции [24].

Примером понятия, у которого существенные свойства в определении связаны дизъюнктивно, может быть понятие рационального выражения как выражения, составленного с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления над переменной. Другой пример - что значит решить уравнение.

Примером определения понятия, у которого существенные свойства связаны конъюнктивно, может быть понятие решения системы уравнений с двумя переменными как упорядоченной пары значений переменных, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению [27].

Тогда при подведении некоторого объекта под определение понятия, существенные свойства которого связаны конъюнктивно, необходимо проверить у объекта наличие каждого существенного свойства и только в этом случае можно сделать заключение о принадлежности объекта к понятию. Если же существенные свойства в определении связаны дизъюнктивно, то положительный ответ о принадлежности к понятию может быть дан в случае, если имеет место хотя бы одно из этих существенных свойств (примеры приведите самостоятельно).

Определения в математике нередко содержат кванторы общности или существования, что усложняет структуру определения и затрудняет их применение. Ближайшее родовое понятие в определении выбирается для краткости самого определения. Для ответа на вопрос, почему так принято, достаточно сравнить, какое из определений параллелограмма, через четырехугольник или через многоугольник, будет короче [27].

Суть процесса определения понятия сводится к тому, что из некоторого множества А объектов х выбирается подмножество А,, такое, которое дополнительно обладает свойством Р: А{={х/ хе А а Р(дг)}. Но при этом одновременно выделяется множество А2 = {х/хе А а Р(х)\, которое этим свойством не обладает, причем А = А1 и Д2 иДп42= 0. Из логической структуры определения следует, что полезно вводить сразу два определения для множества объектов А, и А2, особенно если для них имеются соответствующие термины. Например, можно сразу ввести определения дробного и целого выражения, рационального и иррационального числа, выпуклого и невыпуклого многоугольника и т. д. Это естественный способ введения понятий.

Определения могут быть разбиты на два класса: конструктивные и дескриптивные (описательные). В первом случае в определении указывается способ построения определенных объектов. Тем самым решается вопрос о существовании понятия. В описательных определениях лишь перечисляются свойства нового понятия. Но из определения еще не следует, что такие объекты существуют. При изучении описательных определений необходимо рассматривать доказательство существования определенных понятий. Например, описательными определениями являются определения прямой, перпендикулярной плоскости, геометрического места точек и другие. Аксиомы, описывающие основные отношения между неопределяемыми понятиями, являются по сути описательными определениями этих понятий. Аксиомы косвенно настолько определяют эти понятия, что их можно использовать в доказательствах [11].

При определении понятий необходимо выполнять ряд требований. В определение через род и видовое отличие должен включаться ближайший род, что обеспечивает краткость определения. Определяемое (то, которое определяем) и определяющее (то, через которое определяем) понятия должны быть соразмерны, т. е. равны по объему. Нарушение этого правила имеет место в том случае, если определяющее понятие включает в себя недостаточно существенных свойств и получается более широкое понятие, чем определяемое. Если определяющее понятие включает в себя какие-то дополнительные существенные свойства, то получается более узкое понятие, чем определяемое (приведите самостоятельно примеры более узких и более широких определяющих понятий, чем определяемое).

Следующее требование к определению - независимость существенных свойств друг от друга. Другими словами, одни свойства, включенные в определение, не должны быть логическим следствием других. Это требование краткости вводимого определения. В школьном курсе математики это требование, к сожалению, не выдерживается. Пример: определения прямоугольника и ромба в школьном курсе геометрии.

Еще одно требование - определение не должно содержать порочного круга. Порочный круг заключается в том, что одно понятие определяется через второе, а второе через первое. Примером порочного круга является следующая последовательность определений: вычитание определяется как действие нахождения разности двух чисел, а разность - как результат вычитания. Этот круг может быть сложнее. Первое понятие определяется через второе, второе - через третье, третье - снова через первое [21].

Желательно, чтобы определение не было отрицательным, т. е. таким, в котором отрицается наличие некоторого свойства. Но иногда этого не избежать. Когда некоторое множество делится на два класса по наличию и отсутствию какого-либо свойства и это фиксируется в определении, то получается, что определение содержит отрицание. Например, прямые на плоскости можно разделить на пары прямых, имеющих общую точку и не имеющих таковую.

И наконец, определение не должно содержать метафор. Определение «архитектура - застывшая музыка» мало что проясняет в этом понятии, хотя звучит ярко и образно.

Формальная логика требует неизменности определений, сохранения их смысла, но в то же время вследствие движения процесса познания требуется смена определений. В этом проявляется диалектика процесса познания.

В плане изучения определений сточки зрения формальной логики специального разговора требует эквивалентность определений. В определения отдельных понятий, как правило, включаются не все существенные свойства, а лишь те, из которых остальные могут быть получены с помощью логического вывода. И этот набор существенных свойств может быть выбран по-разному.

Процесс выяснения объема понятия называется классификацией. Часто классификация проводится в виде последовательного разбиения множества на два класса (дихотомия) с помощью некоторого свойства.

Классификация предполагает выполнение ряда условий. Классификация проводится по определенному признаку, неизменному в процессе классификации. Сравните: треугольники бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Понятия, получившиеся в результате классификации должны быть взаимно независимыми. Сумма объемов понятий, получившихся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. Каждый класс не должен быть пустым [4].

1.2 Понятие числа как стержневое понятие школьного курса математики

Понятие числа является стержневым понятием школьного курса математики и служит также фундаментом, на котором строится изучение функций, тождественных преобразований, уравнений и т. п. Понятие числа относится к основным понятиям математики. Это значит, что нельзя ответить на вопрос «Что такое число?», используя ранее введенные понятия и отношения между ними. Оно просто, если рассматривать математические понятия, на нем основанные, и бесконечно сложно по многогранности содержания и диалектике развития. Поэтому учение о числе является одним из главных вопросов курса математики средней школы.

Программы средней школы, учебные и методические пособия дают рекомендации, помогающие учителям знакомить учащихся с новыми числами и действиями над ними. Наиболее интересны по этому вопросу рекомендации А.Я. Хинчина. Он считает, что у учащихся должно сложиться представление о числе как об объекте, над которым можно производить арифметические операции. Современная математика имеет дело с различными по природе числами: с натуральными (1,2,3, ...); с целыми (0, ±1, ±2, ±3, ...), включающими и все натуральные; с рациональными (множество целых чисел, дополненное множеством дробей); с действительными (множество всех рациональных и иррациональных чисел); с комплексными; с гиперкомплексными, простейшим видом которых являются кватернионы. Перечисленные классы чисел являются примерами колец и полей, изучаемых в алгебраической науке с единой точки зрения. Примером кольца может служить совокупность всех целых чисел, где всегда выполнимо сложение, вычитание, умножение, но не всегда выполнимо деление (даже если исключить деление на нуль); примером поля может служить множество рациональных чисел, где и вычитание и деление выполнимо (конечно, кроме деления на нуль). Числа и операции над ними изучаются в таких математических дисциплинах, как алгебра и теория чисел.

Согласно программе по математике вопросы, связанные с расширением понятия числа в школе, начинают изучаться в курсе математики IV--V классов, затем их изучение продолжается в курсе алгебры VI--VIII классов и далее в курсе алгебры и начал анализа в IX--X классах. Причем основные положения, связанные с развитием у учащихся представления о числе, отнесены к курсу математики IV--V классов (введение дробных и отрицательных чисел), что находится в соответствии с местом этого вопроса в фундаментальных разделах математики [6].

Проводя в школьном курсе математики линию развития понятия числа, учитель придерживается принципа расширения множества Л до множества В, определяемого следующими условиями:

Л должно быть подмножеством В (Лег В).

Операции над элементами из множества Л те же, что и для элементов из множества В, но смысл тех операций, которые были только в множестве Л, остается неизменным. Например, при изучении натуральных чисел рассматривалась операция умножения натуральных чисел (8-3 = 24), которая сводилась к сложению. Изучая дробные числа, вводим операцию умножения дробных чисел, которая носит уже другой характер. Теряет ли при этом смысл правило умножения натуральных чисел?

В множестве В должна быть выполнена операция, которая в множестве Л была невыполнима или не всегда выполнима.

Расширение В должно быть минимальным из всех расширений множества Л и должно определяться однозначно с точностью до изоморфизма.

Например, расширение множества целых чисел Z до множества рациональных чисел Q:

ZcrQ;

-3 + 5 = 2

3) 6:2 = 3 6:4 = ?

Некоторые замечания по пункту 4.

Два множества называются изоморфными относительно какой-либо операции, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что это соответствие распространяется и на результаты операции; например, сумме и произведению произвольных двух элементов первого множества будет соответствовать сумма и произведение соответствующих элементов второго множества. В таком случае по соотношениям, имеющимся в одном множестве, можно судить об отношениях, которые существуют в другом, изоморфном ему. Поэтому изоморфные группы, кольца и поля в алгебре' принято считать тождественными. Элементы двух множеств, отвечающие друг другу при изоморфизме, обладают одинаковыми свойствами по отношению к рассматриваемым операциям. Поэтому если одно из множеств значительно легче обозримо, чем другое, то оно может служить в известном смысле моделью этого множества [9].

Алгебра изучает множества с точностью до изоморфизма относительно той операции, которая рассматривается в данной теории, а именно в теории групп относительно одной операции, в теории колец и полей относительно двух операций.

В школьном курсе рассматривается поле рациональных чисел. Ранее в школе рассматривалось поле комплексных чисел. В настоящее время этот материал изучается на факультативных занятиях, эти числовые поля могут служить моделями всех тех полей, которые им изоморфны.

Например, множество всех рациональных чисел и множество всех рациональных точек числовой прямой изоморфны относительно сложения и умножения, если сложение и умножение точек определить следующим образом:

суммой А +В и произведением АВ двух точек числовой оси А (а), В (Ь) называются соответственно точки С(а-\-Ь) и D (ab).

Преподавание вопросов, связанных с развитием учения о числе, учитель строит таким образом, чтобы ясна была связь понятий равенства, суммы и произведения, с одной стороны, и понятия числа, с другой. Нет понятия равенства, суммы, произведения без понятия числа, но нет также понятия числа без понятия равенства, суммы, произведения. Об этих четырех понятиях нельзя в школе говорить порознь. Они имеют смысл лишь в отношениях друг к другу. Числа обладают свойствами, которые мы выражаем в понятиях их равенства, суммы и произведения. Эволюция числа неразрывно связана с эволюцией понятия равенства, суммы и произведения. Развитие этих понятий и есть, по существу, эволюция понятия числа. Мы меняем условия равенства, суммы и произведения и получаем новые числа. Первично не число, а понятия равенства, суммы, произведения. Однако число не вторично. На определенном этапе эволюции новое число, созданное в результате развития равенства, суммы, произведения, в применении к старому числу приобретает в единстве с этими понятиями новые качества. Эволюция понятия равенства, суммы и произведения в применении к только что созданному числу приводит к новому этапу развития понятия числа. В логическом смысле этот процесс направляется идеей перманентности [16].

Таким образом, для того чтобы новые числа были равноправными, были узаконены, необходимо введение определения:

I. 1) Понятия равенства.

2) Понятия «больше», «меньше», т. е. установление критерия сравнения новых чисел между собой и с ранее известными числами.

II. Понятия суммы.

III. Понятия произведения.

Надо показать также, что новые числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленным для изучаемых раньше чисел.

В теоретических курсах понятия I, II, III вводятся путем определений, в школьном курсе математики надо показать целесообразность вводимых определений путем рассмотрения конкретных примеров.

Глава 2. Анализ изучения темы «Делимость и остаток»

2.1 Изучение темы «Делимость и остаток» в начальной школе

Действие деления рассматривается в начальной школе как действие, обратное умножению.

С теоретико-множественной точки зрения смыслу деления соответствует операция разбиения множества на равночисленные подмножества. Таким образом, процесс нахождения результатов действия деления связан с предметными действиями двух видов:

а) разбиение множества на равные части (например, 8 кружков разложили в 4 коробки поровну -- раскладывают 8 кружков по одному в 4 коробки, а затем считают, сколько кружков получилось в каждой коробке);

б) разбиение множества на части по сколько-то в каждой части (например, 8 кружков разложили в коробки по 4 штуки -- раскладывают 8 кружков по 4 штуки в коробки, а затем считают, сколько получилось коробок; деление по этому принципу в методике называют «деление по содержанию»).

Используя подобные предметные действия и рисунки, дети находят результаты деления [14].

В 3 классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов деления, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов деления при решении уравнений:

Если делитель умножить на частное, то получится делимое.

Если делимое разделить на частное, то получится делитель.

Признаки делимости как таковые не рассматриваются в начальной школе специально. Единственным признаком делимости, рассматриваемым в новом учебнике математики можно считать понятие о четности натуральных чисел в учебнике 3 класса:

Числа, которые делятся на 2, называются четными, а числа, которые не делятся на 2, -- нечетными.

Однако целью введения данного определения является не столько знакомство детей с одним из признаков делимости (являющимися крайне полезными с точки зрения формирования вычислительных умений и рациональных вычислений), что видно из формы построения определения, а знакомство детей с еще одним математическим термином (понятием), определенным по соглашению (методом сообщения ребенку термина и его значения).

Умение применять признаки делимости для рационализации вычислений является важным и полезным умением перспективного характера, сохраняющим свою ценность в старших классах [21].

Признак делимости на 2:

Если последняя цифра числа делится на 2, то и само число разделится на 2.

Например:

49 -- последняя цифра 9 на 2 не делится, значит, и все число на 2 не разделится.

12 345 678 -- последняя цифра 8 на 2 делится, значит, и все число на 2 разделится.

12 345 678: 2 - 6 172 839

Признак делимости на 3:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число разделится на 3.

Например:

375 -- сумма цифр 3 + 7 + 5 = 15 делится на 3, значит, и само число разделится на 3. 375 : 3 - 125.

679 -- сумма цифр 6 + 7 + 9 = 22 не делится на 3, значит, и само число не разделится на 3.

Признак делимости на 4:

Если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число разделится на 4.

Например:

3732 -- две последние цифры образуют число 32, которое делится на 4, значит число 3732 разделится на 4. 3732 : 4 = 933.

Число 3700 также разделится на 4, поскольку две последние цифры -- это нули, а нуль делится на любое число. 3700 : 4 = 925.

Признак делимости на 5:

Если число оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5.

Например:

3700 -- делится на 5,3705 -- делится на 5, а 3703 -- не делится на 5.

Признак делимости на 9:

Если сумма цифр числа делится на9, то и само число разделится на 9.

Например:

7245 -- сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5= 18 делится на 9, значит и само число разделится на 9. 7245 : 9 = 805.

7234 -- сумма цифр 7 + 2 + 3 + 4 = 16 не делится на 9, значит и само число не разделится на 9.

Признак делимости на 10:

Если число оканчивается цифрой 0, то оно разделится на 10.

Это единственный признак делимости, рассмотренный в учебнике математики для 4 класса в виде: «Чтобы число разделилось без остатка на 10, достаточно, чтобы в его записи на конце был хотя бы один нуль».

Следует отметить, что данное требование не только достаточное условие, но и необходимое.

Как следствие этого признака делимости, можно рассматривать признак делимости без остатка на 100 (1000): для делимости числа на разрядную единицу нужно, чтобы число имело такое же количество нулей на конце.

Признак делимости на 6:

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно разделится на 6.

Аналогичным образом можно определить делимость на 8. Она следует из одновременной делимости на 2 и на 4.

Вопрос о делимости натуральных чисел предполагает, что речь идет о делении нацело, т. е. без остатка. Таким образом, он предваряет знакомство детей с понятием «деление с остатком».

3. Деление с остатком

Тема «Деление с остатком» предваряет знакомство с письменным алгоритмом деления (в столбик). С математической точки зрения деление с остатком является более общим случаем, чем деление без остатка. Деление без остатка получается в случае равенства остатка нулю. Однако в связи с тем, что в начальной школе действие деления рассматривается как действие, обратное умножению, дети сначала знакомятся с делением без остатка, а затем с делением с остатком.

Конкретный смысл действия деления в общем смысле раскрывается в процессе выполнения операций с предметными множествами: разбиении множества на равночисленные подмножества. При таких операциях не всегда возможно получение равночисленных подмножеств. Для того чтобы продемонстрировать это детям, учитель снова вынужден возвращаться к предметным действиям, манипулируя небольшим количеством предметов, чтобы продемонстрировать детям возможность получения неделимого остатка.

Например:

17 карандашей разложили в три коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?

Выполняя предметные действия в соответствии с заданной ситуацией, дети убеждаются в том, что выполнить такое разбиение множества карандашей невозможно. Остаются 2 карандаша, которые нельзя распределить поровну в три коробки.

На основании выполнения подобных заданий, учитель вводит новую запись, позволяющую определить роль оставшихся в процессе распределения предметов:

17:3 = 5 (остаток 2) и поясняет, что действие, записанное таким образом называют «деление с остатком».

В данной записи: 17 -- делимое, 3 -- делитель, 5 -- неполное частное от деления 17 на 3, 2 -- остаток.

Для проверки правильности выполненного деления следует:

1. Умножить неполное частное на делитель (5 х 3).

2. К полученному произведению прибавить остаток (15 + 2 = 17).

В буквенном выражении данные операции соответствуют общему правилу деления с остатком:

а: Ъ = q (ост. р), тогда а = q * Ъ + р

В общем виде правило деления с остатком в начальной школе не рассматривается.

Основное требование к делению с остатком:

При делении остаток всегда должен быть меньше делителя.

Это основное требование к делению с остатком. При выполнении деления с остатком всегда следует проверять выполнимость этого требования по завершении деления. Если остаток получился больше делителя, это означает, что деление выполнено неверно.

Например, при делении любого числа на 7 остаток может быть 1, 2, 3,4, 5,6. Но не может быть 8 или 9.

Для закрепления понимания данной закономерности учитель предлагает детям задания вида:

1. Какой остаток может получиться при делении натурального числа на 2; на 3; на б?

Ответ: При делении на 2 остаток может быть только 1; при делении на 3 -- остаток может быть 2 и 1; при делении на б остаток может быть 1, 2, 3, 4, 5.

2. Ученик выполнил деление 144 : 15 = 8 (ост. 24). В чем заключается его ошибка? Исправьте ошибку.

Ответ: Остаток должен быть меньше делителя, а в данном случае 24 >15, значит, деление выполнено неверно.

3. Найдите делимое в примерах:

о: 12 = 3 (ост. 1) Ь: 26 = 7 (ост. 4) Ответ: По общему правилу деления с остатком О=12.3+1 = 36+1 = 37 6 = 26-7 + 4=182 + 4=186.

4. Найдите делители в примерах:

56 : о= 11 (ост. 1) 93 : Ь= 2 (ост. 3)

Ответ: По общему правилу деления с остатком

а- 11 + 1 = 56; а- 11 = 56-1; а- 11 = 55; о=55:11; а= 5

Ь- 2 + 3 = 93; Ь- 2 = 93 - 3; Ь- 2 = 90; Ь= 90: 2; Ь= 45

Для нахождения результатов деления с остатком в начальной школе используют два основных приема:

1) При делении вида 27:5 основным приемом нахождения результата является опора на таблицу умножения. В качестве неполного частного подбирается такое значение множителя, чтобы при умножении на 5 (на делитель) получалось число, ближайшее к 27 (делимому). В данном случае -- это число 5. Остаток в таком случае равен 2, что удовлетворяет основному требованию к делению с остатком [17].

Например:

Раздели 34: 9.

Подбираем значение частного так, чтобы при умножении его на 9 получилось число, ближайшее к 34. Это 3. Проверим 9 х 3 = 27. Найдем остаток 34 - 27 = 7. Сравним его с делителем 7 < 9.

Значит, 34 : 9 = 3 (ост. 7).

Если ребенок лучше помнит таблицу деления, то можно ориенироваться на нее. В этом случае рассуждения будут несколько иными. Например:

Раздели 34: 9.

Вспомним самое большое число до 34, которое делится на 9. Это 27. 27 : 9 = 3. Проверим остаток: 34 - 27= 7. 7 < 9, значит, деление выполнено верно. 34 : 9 = 3 (ост. 7)

2) При делении с остатком вида 85 :15 применяется прием подбора частного с проверкой, поскольку этот случай не может опираться на знание табличного умножения или деления. В этом случае примерную цифру частного следует проверять умножением до тех пор, пока не подберется цифра, умножение которой на делитель даст в результате число, близкое к делимому.

Например:

Раздели 85: 15.

При подборе цифр частного следует применять все рациональные приемы, оговоренные ранее. В данном случае можно использовать прием округления: число 15 округляем до 20 и сразу проверяем цифру 4: 20 * 4 = 80 < 85 -- не подходит. Проверяем цифру 5 сразу на делителе: 15 * 5 = 75. Находим остаток: 85 - 75 = 10 < 15.

Значит деление закончено и выполнено верно: 85:15 = 5 (ост. 10).

В новом учебнике математики для 3 класса рассмотрен особый случай вида 3 : 4. Рассмотрение таких случаев является необходимой подготовкой к обучению делению в столбик, поскольку могут попадаться случаи, когда неполное делимое не делится на делитель, и в этом случае в частном в данном разряде записывается 0.

Например:

Раздели 612: 6.

При делении данного числа имеем 6 сот.: 6 = 1 сот.

дес. нельзя разделить на 6 так, чтобы в частном получились десятки, поэтому в разряде десятков запишем 0, добавим к 1 дес. еще 2 ед. и разделим 12:6 = 2.

единицы запишем в разряд единиц. Таким образом 612:6 = 102.

Выполнить этот случай письменного деления невозможно с полным осознанием смысла процесса, если ребенок не знаком со случаями получения нулей в неполном частном [24].

Для знакомства с этими случаями рассматривают деление вида 3:4.

Рассуждают следующим образом: 3 нельзя разделить на 4 так, чтобы получить целые единицы в частном, поэтому в частном запишем 0, а неразделенное число 3 запишем в остаток:

3:4 = 0 (ост. 3)

В новом учебнике математики для 3 класса при знакомстве с делением с остатком вводится новый вид записи действия деления -- «уголок»

Этот вид записи ребенок будет в дальнейшем использовать при письменном делении. Здесь эта запись используется в ознакомительном плане.

2.2 Изучение темы «Делимость и остаток» в средней школе

Изучению темы «Делимость чисел» в 5 классе отводится 15 часов.

Таблица 1.

Поурочное распределение часов темы «Делимость чисел»

№ п/п	Название пункта учебника	Дидактические материалы	Число уроков	Комментарий к минимальному курсу
6.1	Делители и кратные	0-22	3	У: № 514--534, 536, 539--540
6.2	Простые и составные числа	0--23; П--18	2	У: № 542--549
6.3	Делимость суммы и произведения		2	Может быть полностью опущен
6.4	Признаки делимости	0--24; П--19	3	Запомнить и уметь применять признаки делимости на 10, на 5, на 2. У: № 569--573, 576--583
6.5	Деление с остатком		3	У: № 595--601
6.6	Разные арифметические задачи		1	Может быть полностью опущен
	Зачет № 4		1

Основные цели: познакомить учащихся с простейшими понятиями, связанными с понятием делимости чисел (делитель, простое число, разложение на множители, признаки делимости). Обзор главы. Учебный материал прежде всего ориентирован на идейную сторону вопроса. Знания учащихся обогащаются новыми сведениями, связанными с понятием делимости натуральных чисел; они приобретают опыт проведения несложных доказательных рассуждений [26].

Продолжается формирование умения решать текстовые задачи. Здесь рассматриваются некоторые новые виды текстовых задач, решаемых специальными приемами.

1. Делители и кратные

Методический комментарий

В этом пункте вводятся новые понятия, которые постепенно должны войти в активный запас знаний учащихся. Однако обращаем внимание учителя на то, что такой термин, как «общий делитель», специально не вводится, а понимается как естественный оборот речи. Например, число 2 является общим делителем чисел 8 и 10, так как и 8, и 10 делится на 2.

В ходе решения задач и учитель, и ученики могут употреблять разные обороты речи. Например, можно сказать: «Укажите какой-нибудь делитель данного числа». А можно сформулировать вопрос иначе: «Найдите какое-нибудь число, на которое делится данное число». Учащиеся должны понимать обе приведенные формулировки.

Обращаем внимание учителя на то, что в тексте учебника показаны разные приемы нахождения всех делителей данного числа. Каждый из них осуществляется способом перебора, который может быть организован по-разному. Однако умение найти все делители числа не является обязательным результатом изучения темы. Главное, чтобы учащийся мог проверить, является ли одно число делителем другого, указать какие-нибудь делители данного числа, знать, что любое число делится на 1 и само на себя, понимать, что если число можно представить в виде произведения двух или нескольких чисел, то каждое из этих чисел является его делителем.

В этом пункте вводится еще одно новое понятие, связанное с делимостью, -- понятие кратного. Учащимся надо разъяснить взаимосвязь понятий «делитель» и «кратное», а в ходе выполнения упражнений № 523--528 научить определять, является ли одно из двух чисел кратным другому; находить числа, кратные данному; находить общее кратное двух чисел. Кроме того, они должны знать, что чисел, кратных данному, бесконечно много, и не забывать, что любое натуральное число кратно самому себе.

Заметим, что термины «наибольший общий делитель» (НОД) и «наименьшее общее кратное» (НОК) не вводятся через специальное определение, а разъясняются учителем: НОД -- это больший из всех общих делителей, НОК -- это меньшее из общих кратных. Умение находить НОД и НОК не входит в обязательные результаты изучения этой темы. Отметим, что далее при изучении дробей (раздел «Для тех, кому интересно») учащиеся смогут познакомиться с приемом нахождения НОД и НОК двух чисел путем разложения чисел на простые множители [17].

2. Простые и составные числа

Методический комментарий

В этом пункте вводятся новые понятия, связанные с делимостью чисел. В результате обучения учащиеся должны уметь распознавать, является ли число простым (№ 542--543), и уметь разложить составное число на простые множители (№ 544). Разложение на простые множители выполняется последовательным выделением простых делителей. При наличии учебного времени желательно обратиться к обучающей работе О--23, в которой показан иной алгоритм разложения числа на простые множители.

При изучении данных вопросов возможен исторический экскурс в мир простых чисел. Как минимум здесь следует рассмотреть решето Эратосфена и воспользоваться им для поиска простых чисел в пределах сотни. Этим можно ограничиться. Однако в сильном классе желательно остановиться на некоторых вопросах, связанных с простыми числами (упражнения группы Б). Кроме того, можно отметить, что по мере продвижения в область больших чисел простые числа встречаются все реже и реже, но наибольшего простого числа не существует. Бесконечность множества простых чисел была доказана еще Евклидом. Встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2 (так называемые «близнецы»). Таблица простых чисел, лежащих в пределах первых 11 000 000 натуральных чисел, показывает наличие весьма больших «близнецов» (например, 10 006 427 и 10 006 429). Существует гипотеза, согласно которой среди простых чисел имеется бесконечно много пар «близнецов».

3.Делимость суммы и произведения

Методический комментарий

Основное назначение этого пункта -- расширение теоретических сведений о делимости натуральных чисел. При изучении теории и решении задач учащимся приходится проводить доказательные рассуждения, которые способствуют развитию логического мышления.

Свойства делимости произведения и суммы доказываются на примерах, которые, однако, носят общий характер. Важно, чтобы учащиеся поняли основную идею этих доказательств: «Чтобы доказать, что некоторое числовое выражение (произведение или сумма) делится на число а, его достаточно представить в виде произведения, один из множителей в котором равен а».

Заметим, что этот материал является сложным для восприятия детьми данного возраста, и он не относится к кругу обязательных вопросов. Поэтому в слабом классе или при отсутствии времени его можно не изучать в полном объеме.

4.Признаки делимости

Методический комментарий

При работе по учебнику и дидактическим материалам (работа О--24) учащиеся знакомятся с довольно широким кругом признаков делимости (на 2, на 5, на 10, на 3, на 9, на 4, на 25). В результате они должны понимать смысл термина «признак делимости», уметь воспользоваться каким-либо признаком, если им предложена его формулировка, привести пример, иллюстрирующий этот признак. Запомнить же учащиеся должны только признаки делимости на 2, на 5, на 10 и на 3. Эти признаки должны войти в активный запас знаний учащихся.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что признаки делимости можно подразделить на две группы. Одни из них объединяет то, что вопрос о делимости решается по последней цифре числа (или по двум последним). Это признаки делимости на 2, на 5, на 10, на 4, на 25. В других случаях (признаки делимости на 3 и на 9) -- по сумме цифр данного числа. Учащиеся должны иметь возможность «поработать» с различными признаками делимости, хотя бы в простейших ситуациях.

Доказательные рассуждения в пункте проводятся на конкретных примерах, которые носят общий характер. Обращаем внимание учителя на то, что если пункт «Делимость суммы и произведения» не изучался, то рассуждения, обосновывающие признаки делимости на 9 и на 3, должны быть опущены.

Упражнения, в ходе которых приходится выяснять, является ли одно число делителем другого, полезно иногда дополнить вопросом: «Чему равно частное?» Цель -- еще раз потренироваться в устном счете.

Целесообразно организовать игру типа «Не сбейся». Трое по очереди называют в порядке возрастания числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из условий: число оканчивается цифрой 3 или оно делится на 3. Игру можно начинать с любого натурального числа. Учащиеся, например, будут называть такие числа: 33, 36, 39, 42, 43, 45, 48, 51, 53, 54. В игре может участвовать любое число детей. Участник, допустивший ошибку, выбывает из игры. Лидер может получить оценку «отлично».

Дополнительно для работы в сильном классе после выполнения заданий № 589--590 предлагается следующее задание: «Докажите, что число 2 438 195 760 делится на каждое из чисел от 2 до 18».

На доске записывается данное число и под ним аккуратно записываются «цепочкой» все числа от 2 до 18 (в ходе доказательства числа не стираются и не вычеркиваются, так как с ними будет выполнена еще дополнительная работа).

С помощью признаков делимости устанавливается, что данное число делится на 2, 3, 4, 5, 9, 10. (Заметим, что для этого, вообще говоря, достаточно установить факт делимости на 4, 9 и 10.)

Теперь ясно, что данное число делится на 6 (так как оно делится на 2 и на 3), делится на 12 (так как оно делится на 4 и на 3), делится на 15 (так как оно делится на 3 и на 5), делится на 18 (так как оно делится на 9 и на 2). Вопрос о том, являются ли делителями оставшиеся числа, можно решить непосредственным делением. (Заметим, что на 16 делить необязательно; достаточно разделить на 8 и убедиться, что в частном получается четное число, или разделить на 4 и убедиться, что в частном получилось число, кратное 4.)

Таким образом, данное число делится на все числа от 2 до 18. Это число интересно еще и тем, что оно записано всеми цифрами от 0 до 9 и в записи числа каждая цифра встречается только одни раз. Еще примеры таких чисел: 3 785 942 160, 4 753 869 120, 4 876 391 520.

Завершить работу можно таким заданием: «Укажите еще какие-нибудь числа, на которые делится данное число». (Очевидно, что делителями данного числа являются произведения взаимно простых чисел, находящихся среди указанных делителей.)

5. Деление с остатком

Методический комментарий

Основное содержание пункта составляет вопрос о делении с остатком. Это понятие известно из начальной школы. Здесь акцент делается на классификацию чисел по остаткам от деления на данное число. При этом деление без остатка (одно из чисел кратно другому) рассматривается как частный случай деления с остатком (остаток равен нулю).

Заключение

Математика сегодня -- это одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе и компьютерной, требует от индивида определенного минимума математических знаний и представлений. Существуют различные взгляды на объем и качество этого необходимого для социализации минимума. Проблема создания оптимального курса математики для общеобразовательной школы более чем актуальна.

Последнее десятилетие XX в. характеризуется значимыми изменениями в подходах к определению целей начального математического образования. Эти изменения были порождены сменой приоритетных целей обучения: их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятельностного подхода.

В связи с тем, что курс математики IV--V классов представляет собой органическую составную часть всей школьной математики, он опирается на знания, полученные в начальной школе.

С делением учащиеся знакомятся в начальной школе как с действием обратным умножению. Так как начальная школа работает сегодня по разнообразным программа, то и багаж математических знаний у детей, обучающихся по разным программам отличается. Тема «Деление с остатком» присутствует во всех программах начальной школы, а тема «Делимость чисел» - В программе Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова. Л.В. Занкова.

В ходе работы были решены следующие задачи:

1. Была проанализирована психологическая, педагогическая, методическая литература по теме исследования.

2. Были даны определения основным понятиям работы.

3. Было охарактеризовано место и роль изучения темы «Делимость и остаток» в обучении математике в средней школе.

Следовательно, наша гипотеза о том, что изучение темы «Делимость и остаток» в средней школе идет с опорой на знания, полученные в начальной школе, и служит опорой для изучения таких понятий как НОК, НОД и сокращение дробей, получила подтверждение.

Список использованной литературы

Богоявленский Д. Н. Формирование приемов умственной работы учащихся как путь развития мышления // Вопросы психологии. - 1962. - № 4.

Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. - М., 1985.

Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе. - Ростов н/Д., 2005. - 252 с.

Выготский Л.С. Мышление и речь // Собр. соч. - М.: Педагогика, 1998.

Григорьева Т.П., Иванова Т. А., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е. Н. Основы технологии развивающего обучения математике. - Н. Новгород, 1997.

Груденов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М.: Педагогика, 1987.

Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. - М.: Просвещение, 1981.

Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М., 1997.

Кабанова-Меллер Е.Ц. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968.

Менчинская НА. Психология обучения арифметике. - М., 1955.

Метельский Н.В. Дидактика математики: Курс .лекций по общим вопросам. - Минск, 1975.

Небылицын ВД. Основные свойства нервной системы человека. - М., 1966.

Непомнящая Н.И. Становление личности ребенка 6--7 лет. - М., 1992.

Никольская И.Л., Семенов ЕЕ. Учимся рассуждать и доказывать. - М.: Просвещение, 1989.

Оганесян В. А. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. - М.: Просвещение, 1980.

Пиаже Ж. Генезис числа у ребенка. / Пер. с фр. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. - М., 1969.

Пономарев Я.А. Знания, мышление и умственное развитие. - М., 1967.