Формирование у младших школьников вычислительных умений и навыков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение.

1. Теоретические основы формирования вычислительных умений и навыков младших школьников.

1.1 Понятие о вычислительных умениях и навыках.

1.2 Методика формирования устных и письменных приёмах вычисления.

1.3 Особенности формирования вычислительных умений и навыков по учебникам Моро.

2. Описание опытно - экспериментальной работы по формированию вычислительных умений и навыков по программе Моро.

2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных умений и навыков младших школьников.

2.2 Содержание и организация формирующей работы по развитию вычислительных умений и навыков.

2.3 Контрольный этап эксперимента.

Заключение.

Список использованных источников и литературы.

Приложение.



Введение

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных умений и навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

В век компьютерной грамотности значимость вычислительных умений и навыков, несомненно, уменьшилась. Использование компьютера, калькулятора во многом облегчает процесс вычислений. Но пользоваться техникой без осознания вычислительных навыков невозможно, да и микрокалькулятор не всегда может оказаться под рукой. Следовательно, владение вычислительными умениями и навыками необходимо. Научиться быстро и правильно выполнять вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости для дальнейшего обучения. Поэтому вооружение учащихся прочными вычислительными навыками продолжает оставаться серьезной педагогической проблемой.

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др.

Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века. Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и др.), применению средств ТСО (В.И. Кузнецов), дифференциации и индивидуализации процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И.Фаддейчева).

Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения, и нашло отражение в учебниках математики.

Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. В начальном курсе математики предусмотрен такой порядок введения вычислительных приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большее число операций, а приемы, усвоенные ранее, включаются в новые в качестве основных операций.

Переориентация методической системы на приоритет развивающей функции по отношению к образовательной, характеризующейся изменением характера деятельности учащихся, личностно-ориентированным подходом к обучению, несколько ослабила внимание к развитию и закреплению вычислительных навыков у учащихся.

Учебники математики ориентированы на общие вычислительные навыки, и учитель может легко обучить алгоритму вычислений. Но в учебниках, к сожалению, нет «отработки частных способов вычислений», равно как нет и общих способов.

Отмечается ухудшение качества вычислений учащихся, обучающихся и по обычным, и по развивающим учебникам. Особенно пострадала культура устного счета. «Стремление учителей изменить ситуацию приводит к тому, что одни учителя используют в работе два учебника: один выполняет развивающие функции, другой (традиционный) -- нацелен на формирование вычислительных умений и навыков. Другие учителя увеличивают объем домашних заданий. Это приводит к перегрузкам школьников, провоцирует стрессовые ситуации, снижает интерес к математике».

Объектом исследования является математическое образование младших школьников.

Предмет исследования - задания, способствующие формированию у младших школьников вычислительных умений и навыков.

Цель исследования - разработать совокупность заданий, способствующих эффективному и осознанному формированию вычислительных навыков.

В соответствии с целью исследования были определены следующие задачи:

1. Изучить и охарактеризовать понятие «вычислительный навык», описать этапы его формирования.

2. Выбрать типы заданий, направленных на формирование вычислительных навыков в начальной школе.

3. Описать логику проведения констатирующего этапа эксперимента по выявлению уровня сформированности вычислительных навыков у учащихся 2 класса.

4. Разработать совокупность заданий, способствующих эффективному и осознанному формированию вычислительных навыков.

В процессе работы были использованы следующие методы исследования:

1. Теоретический: анализ и обобщение.

2. Эмпирический: изучение и анализ психолого-педагогической литературы, учебников и программ по математике, педагогический эксперимент по изучению уровня сформированности вычислительных навыков.

3. Методы математической обработки информации, полученной в ходе эксперимента, и обобщение результатов.

4. Методы презентации: таблицы, диаграммы.

Экспериментальная база: МОУ СОШ №23 г. Йошкар-Ола, 2 «А» класс.

Структура курсовой работы состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и литературы, приложения.



1. Теоретические основы формирования вычислительных умений и навыков у младших школьников

1.1 Понятие о вычислительных умениях и навыках

Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс обучения математике, который предусматривает формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями.

М.А. Бантова определила вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами. «Приобрести вычислительные навыки -- значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». [5, с.39]

Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. Полноценный вычислительный навык обучающихся характеризуется следующими показателями: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. [5]

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операции. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.

Рациональность - ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщенность -ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свернутость) - ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции. Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операции осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операции. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8-5,9+6, 15-9, 7-6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов.

Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения.

В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. Например, сначала ученики усваивают свойство умножения суммы на число, а затем это свойство становится теоретической основой приема внетабличного умножения. Так, при умножении 15 на 6 выполняется следующая система операций, составляющая вычислительный прием:

1) число 15 заменяем суммой разрядных слагаемых 10 и 5;

2) умножаем на 6 слагаемое 10, получится 60;

3) умножаем на 6 слагаемое 5, получится 30;

4) складываем полученные произведения 60 и 30, получится 90.

Как видим, здесь применение свойства умножения суммы на число (термин «распределительный закон» в начальном курсе не вводится) определило выбор всех операций, поэтому и говорят, что прием внетабличного умножения основан на свойстве умножения суммы на число или что свойство умножения суммы на число -- теоретическая основа приема внетабличного умножения.

Легко заметить, что кроме свойства умножения суммы на число здесь использованы и другие знания, а также ранее сформированные вычислительные навыки: знание десятичного состава чисел (замена числа суммой разрядных слагаемых), навыки табличного умножения и умножения числа 10 на однозначные числа, навыки сложения двузначных чисел. Однако выбор именно этих знаний и навыков диктуется применением свойства умножения суммы на число. Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих умений и навыков.

Назовем эти группы приемов:

1. Приемы, теоретическая основа которых -- конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а + 2, а + 3, а + 4, а + 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля. Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Они, собственно, и дают возможность усвоить конкретный смысл арифметических действий, поскольку требуют применения конкретного смысла. Вместе с тем эти первые приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий.

Таким образом, хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования свойства прибавления суммы к числу), эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.

2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47 ± 3, 30 - 6, 9 + 3, 12 - 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 Ч 5, 5 Ч 14, 81 : 3, 18 Ч 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.

Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.

3. Приемы, теоретическая основа которых -- связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9 Ч 7, 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18, 9 : 1, 0 : 6. При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.

4. Приемы, теоретическая основа которых -- изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 - 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей.

5. Приемы, теоретическая основа которых -- вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 - 10, 16 - 6, 57 Ч 10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).

6. Приемы, теоретическая основа которых -- правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а Ч 1, аЧ 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.

Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46 + 19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это -- реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы -- есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.

В ходе формирования вычислительных умений и навыков М.А. Бантова выделяет следующие этапы:

1. Подготовка к введению нового приёма.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.

Например, можно считать, что ученики подготовлены к восприятию вычислительного приёма ±2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1; готовностью к введению приёма внетабличного умножения (13 Ч 6) будет знание учащимся правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умноженная числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел.

Центральное звено при подготовке к введению нового приёма - овладение учеником основными операциями.

2. Ознакомление с вычислительным приёмом.

На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному.

В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись:

13 Ч 6=(10+3) Ч 6=10 Ч 6+3 Ч 6=60+18=78

Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух.

Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.

3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного умения и навыка.

На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы здесь важно предусмотреть этапы в становлении у учащихся вычислительных умений и навыков:

1. На первом этапе закрепляется знание приема: учащиесясамостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись

34 Ч 5 = (30 + 4) Ч 5 = 30 Ч 5 + 4 Ч 5 = 3 Ч 10 Ч 5 + 20 = 3 Ч 5 Ч 10 + 20 = 15 Ч 10 + 20 = 150 + 20 = (100 + 50) + 20 = 100 + (50 + 20) = 100 + 70 = 170

2. На втором этапе происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор, порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т.е. промежуточных вычислений. Надо учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Развёрнутая запись не выполняется. Сначала проговаривание ведётся под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание вслух помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных операций способствует их свёртыванию.

34 Ч 5 = (30 + 4) Ч 5 = 30 Ч 5 + 4 Ч 5 = 150 + 20 = 170

3. На третьем этапе происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. здесь происходит свёртывание и основных операций. Учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления, а называть или записывать только окончательный результат. 34 Ч 5 = 170

4. На четвёртом этапе наступает предельное свёртывание выполнения операций. Учащиеся выполняют все операции в свёрнутом плане, предельно быстро, т.е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

На всех этапах формирования вычислительного умения и навыка решающую роль играют задания на применение вычислительных приёмов, причём содержание заданий должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующем этапе. Важно, чтобы было достаточное число заданий, чтобы они были разнообразными как по форме, так и по числовым данным. Надо иметь в виду, что свёртывание выполнение операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развёрнутой записи приёма. Продолжительность каждого этапа определяется сложностью приёма, подготовленностью учащихся и целями, которые ставятся на каждом этапе. Правильное выделение этапов позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков.

В системе Л. В. Занкова формирование навыков проходит три принципиально различных этапа, при этом учитель может использовать два пути: прямой и косвенный.

Прямой путь в чистом виде предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операции, на основании которого школьники многократно ее выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык.

Косвенный путь предполагает, прежде всего, включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельной поиск алгоритма выполнения операции.

В системе общего развития Л.В. Занкова главным является именно косвенный путь формирования вычислительных навыков, прямой же использует учитель тогда и в той мере, как это необходимо, так как в чистом виде ни один из путей использовать нельзя.

Первый этап - осознание основных положений, лежащих в фундаменте выполнения операции, создание алгоритма ее выполнения. На этом обязательно прослеживается, оценивается и создается каждый шаг в рассуждениях детей, устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками. Отсюда вытекает характерный признак этого этапа - подробная запись выполнения операции, с которой в данный момент работают ученики. На этом этапе практически не используется прямой путь. Он возникает только при выполнении промежуточных, знакомых детям операций. Результатом этого этапа является выработка алгоритма выполнения операции и его осознание.

284 Ч 25 = 284 Ч (20 + 5) = 284 Ч 20 + 284 Ч 5 = 284 Ч (2 Ч 10) + 1420 = (284 Ч 2) Ч 10 + 1420 = 568 Ч 10 + 1420 = 5680 + 1420 = 7100.

На этом этапе почти не используем прямой путь, если только при выполнении знакомых детям операций, т.е. промежуточных (умножение на однозначное число, на единицу с нулями и выполнение сложения).

В результате деятельности на этом этапе появляется алгоритм выполнения операции.

Главным направлением второго этапа является формирование правильного выполнения операции. Для достижения этой цели необходимо не только использование выработанного на первом этапе алгоритма выполнения операции, но, может быть, в еще большей степени, свободная ориентация в ее нюансах, умение предвидеть. К чему приведет то или иное изменение компонентов операции. В силу этого на втором этапе используются оба пути формирования навыков, однако косвенный путь продолжает быть ведущим, прямой же используется в качестве подчиненного. Ученикам даются такие задания, которые ставят детей в позицию активного творческого поиска, где они используют свои знания в нестандартном преобразованном виде.

Например, даем задание: изменить в произведении 284 Ч 25 одну цифру так, чтобы значение произведения стало пятизначным числом.

В результате найденных преобразований каждый ученик получает от 6 - до 12 произведений, изменяя цифру во втором или в первом множителе:

284 Ч 35, 284 Ч 45, 284 Ч 55, 284 Ч 65, 284 Ч 75 (85, 95, 55)

384 Ч 25, 484 Ч 25 (584, 684, 784, 884,984) Ч 25.

От учащихся не требуется нахождения и составления всех возможных решений. Мы объединяем все случаи, которые нашли разные ученики, анализируем, находим с ними определенную закономерность, отыскиваем пропущенные варианты.

Важная особенность таких заданий - возможность индивидуализации их выполнения каждым учеником, так как нет жестких установок на количество требуемых решений, а только рекомендации: «Постарайся найти не одно решение».

Третий этап формирования навыка нацелен на достижение высокого темпа выполнения операции. Именно на этом этапе на первый план выходит прямой путь формирования навыка. Главная задача учителя - построить работу так, чтобы дети хотели выполнять необходимые вычисления и получали от этого удовольствие.

Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

1.2 Методика формирования устных и письменных приёмов вычисления

На уроке математики формирование вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются задания. Овладение вычислительными навыками имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение:

- образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы;

- воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности;

- практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным (например, при технических расчетах у станка, в поле, при покупке и продаже).

В своей работе учителя придерживаются определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работа в классе на каждом уроке должна выполняться всем классом, а не учителем и группой успевающих учеников. То есть необходимо создать такую ситуацию - ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса. Ведь одна из задач учителя заключается не в доказательстве незнания или слабого знания ученика, а во вселении веры в ребенка, что он может учиться лучше, что у него получается. Нужно помочь ребенку поверить в собственные силы, мотивировать его на учебу.

Рассмотрим основные типы заданий:

1. Задания с использованием сравнений:

Для активизации познавательной деятельности учащихся при формировании вычислительных можно использовать метод наблюдений. В процессе наблюдения учащиеся сравнивают, анализируют, делают выводы. Полученные таким образом знания являются более осознанными и тем самым лучше усваиваются.

В качестве примера рассмотрим изучение такого вопроса, как изменение суммы в зависимости от изменения одного из слагаемых. В основе познания учениками данной зависимости лежит прием сравнения.

Задание №1. Решите примеры и сравните их:

2+1; 2+2

Необходимо обращать внимание учеников на то, что в одном и в другом примере стоит знак «+», а первые слагаемые одинаковы. Эти примеры схожи. Затем выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, а во втором - 4.

Ребята отмечают, что во втором примере прибавляем большее (2 > 1), поэтому и получаем большую сумму.

Переходя к сравнению выражений подбираем такие выражения, в которых ученики смогут усмотреть различные признаки различия и сходства.

Задание №2. На доске записаны примеры:

5+3; 4+3; 8-3; 6+3; 7-3; 9-3;

Угадайте сходство или различие записанных выражений. Ученики обычно указывают такие признаки сходства, как знак действия, затем обращают внимание на то, что в первой группе прибавляется число 3, а во второй - вычитается число 3. Затем целесообразно поставить вопрос: «Что произойдет с ответами примеров в первой группе и во второй? Почему ответы в первой группе больше, чем ответы во второй?»

Очень полезно задание и такое:

Задание №3. Что вы замечаете в данных примерах?

1+1; 2+1; 3+1; 4+1; 6+1; 7+1;

Ученики должны обратить внимание не только на тот факт, что во всех примерах знак «+» и второе слагаемое везде равно 1, но и на то, что последовательность 1, 2, 3, 4 … нарушена, т.к. пропущен пример 5 + 1.

Подобные задания способствуют развитию математической наблюдательности учеников, их умению видеть сходства и различия, выявлять определенные закономерности. В процессе выполнения таких заданий уясняется смысл понятия «сравнить».

Так же могут предлагаться задания с ошибками, которые требуют исправления:

Задание №4. Найди ошибку:

3‹5; 4›6; 6›1;

Могут предлагаться задания, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить:

8Ч(10+2)=8Ч10+…

Выражения таких заданий могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких заданий - способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

2. Задания на классификацию и систематизацию знаний.

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основа заданий на классификацию. Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия:

1) ни одно из подмножеств не пусто;

2) подмножества попарно не пересекаются;

3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.

Предлагая детям задания на классификацию, эти условия необходимо учитывать.

Задание №1. Найди значения разностей

742-531; 898-769; 374-223; 586-218; 457-132; 465 -427;

По какому признаку распределены разности по этим столбикам?

3. Задания на выявление общего и различного.

Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика таких заданий. Благодаря им учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Задание №1. Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме.



Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3Ч4=12; 4Ч3=12.

Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.

Вывод: «Если множители переставить, то произведение не изменится» или «От перестановки множителей значение произведения не изменится».

4. Задания с многовариантными решениями.

Многовариантные задания - это система упражнений, выполнение которых поможет глубоко и осознано усвоить правило и выработать необходимый вычислительный навык на его основе.

Задание №1. Запиши число 30 тремя одинаковыми цифрами и знаками действий.

Постарайся найти несколько разных решений.

Задание №2. Какое число надо прибавить к 25, чтобы получить круглое?

5. Задания с элементами занимательности.

Такие задания, в основном, направлены на отработку вычислительных навыков. Элемент занимательности увлекает детей, они стремятся выполнить все действия правильно и посмотреть к чему это приведет.

"Магические или занимательные квадраты" - это занимательная форма тренировки в сложении вычитания и размещения чисел. Решение магических квадратов увлекает школьников всех возрастов.

6. Задания на нахождение значений математических выражений.

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение.

Эти задания имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения, например:

- найдите разность чисел 100 и 9.

- найдите значение выражения С - К, если С = 100, К = 9.

Выражения могут предлагаться в разной словесной форме:

- из 100 - 9; 100 минус 9;

- уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найдите разность;

- найти разность чисел 100 и 9;

- уменьшить 100 на 9 и т.д.

Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.

Выражения могут быть даны с ошибками, которые детям предстоит найти:

Задание №1. Найди ошибки в выражениях:

3+2=5; 4-3=1; 6-4=2; 3+3=6; 5+1=4; 6-1=5;

Выражения могут включать одно и более действий. Выражения с несколькими действиями могут включать действия одной ступени или разных ступеней, например:

47+24-56

72:12Ч9

400-7Ч4 и др.

Могут быть со скобками или без скобок: (90 - 42) : 3; 90 - 42 : 3. Как и выражения в одно действие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку, например:

- из 90 вычесть частное чисел 42 и 3;

- уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3.

Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами (7 - 4), с двузначными (70 - 40, 72 - 48), с трехзначными (700 - 400, 720 - 480) и т.д., с натуральными числами и величинами (200 - 15, 2м - 15см). Однако, как правило, приёмы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами в пределах 100. Так, случай вычитания

четырехзначных чисел 7200 - 4800 сводится к вычитанию двузначных чисел (72сотни - 48сотен) и значит, его можно предлагать для устных вычислений.

Выражения можно давать и в форме таблицы:

Задание №2. Заполни таблицы:

уменьшаемое	12	14	15	17	28
вычитаемое	10	10	10	10	10
разность
слагаемое	1		5		2		4	3
слагаемое	8	6		3	5	3
сумма		7	9	8		9	6	7

Так же такие задания могут быть представлены в виде различных «цепочек»:



Задание №3: Реши цепочки:

Основное значение заданий на нахождение значений выражений - выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, а также они способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.

Могут предлагаться задания, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить:

8Ч(10+2)=8Ч10+…

Выражения таких заданий могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких заданий - способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

7. Комбинаторные задачи.

Комбинаторика - один из разделов современной математики.

Комбинаторные задачи служат средством развития мышления детей, воспитания у них умения применять полученные знания в различных ситуациях посредством выработки навыков и повторения пройденного. Умение выполнять разбиение множеств, составлять комбинации по определенным признакам и классифицировать лежит в основе разнообразных сфер человеческой деятельности.

Задание №1. При умножении двух однозначных чисел получилось число 16.

Чему были равны множители? Найди всевозможные решения.

Задание №2. На складе находилось 7 полных бочонков меда, 7 наполовину заполненных медом и 7 пустых бочонков. Как распределить все бочонки между тремя покупателями так, чтобы каждый получил одинаковое количество меда и бочонков. (Мед не нужно перекладывать из одного бочонка в другой.)

Использование на уроках математики заданий различного типа возбуждает у детей интерес, стимулирует их к активной деятельности и позволяет более прочно сформировать вычислительные навыки.

1.3 Особенности формирования умений и навыков по учебникам Л.В. Занкова

вычисление математический навык умение

В связи с изучением арифметических действий неизбежно встает вопрос о формировании и автоматизации вычислительных навыков. Среди учителей, особенно у тех, кто только начинает работать по системе Занкова или лишь поверхностно с ней знаком, часто бытует мнение, что в системе Л.В. Занкова этому вопросу уделяется недостаточное внимание и решение его не достигает нужного уровня.

Поверхностное знакомство с учебниками, как правило, вызывает чувство недоумения и тревоги, связанное с отсутствием привычного подхода к формированию вычислительных навыков - большого количества готового материала (так называемых столбиков-примеров), предназначенного для выполнения вычислений ради вычислений. Этот «пробел» учитель старается заполнить все теми же привычными ему столбиками, не осознавая, что встает на путь прямого искажения системы вместо того, чтобы разобраться в тех подходах, которые замещают в ней привычный путь формирования навыков.

Что бы разобраться в этой проблеме, прежде всего, остановимся на трактовке самого понятия «сформированный вычислительный навык». Надеюсь, что у учителей не вызовет отторжения такое определение: сформированный вычислительный навык - это способность ученика быстро и безошибочно выполнять ту или иную математическую операцию. В процессе формирования любого навыка мы выделяем три принципиально разных этапа.

На первом этапе дети ищут пути выполнения той операции, которой им предстоит овладеть, сравнивают их между собой и выбирают наиболее экономный (рациональный). Например, в 1-м классе это использование и сравнение таких способов, как пересчет, присчитывание, движение по натуральному ряду, использование составленной сокращенной таблицы сложения. Завершается этот этап или выбором основного способа выполнения операции (при изучении операции в пределах табличных случаев), или созданием алгоритма выполнения операции (при рассмотрении их за пределами таблиц). Этот этап занимает довольно много времени и, конечно, замедляет процесс формирования навыка, но дает большие возможности для творческой деятельности детей, а значит, и для их развития.

Следующий этап посвящается формированию правильности выполнения операции. В этот период происходит совершенствование использования найденного алгоритма, которое связано не только и не столько с решением готовых выражений, сколько с активным созданием нового материала, соответствующего определенным условиям, или, наоборот, с выявлением условий создания определенного набора выражений. Основой достижения правильности выполнения каждой операции, по нашему представлению, являются:

- свободное и безошибочное применение соответствующего алгоритма;

- умение предвидеть изменение результата операции при изменении ее компонентов;

- умение вносить в компоненты операции изменения, приводящие к заданному результату.

Такая позиция нашла отражение в специфике построения заданий, относящихся к этому этапу, в течение которого главное внимание концентрируется на правильности выполнения действий: сочетание небольшого по объему готового материала, используемого для выполнения действий (репродуктивная деятельность), с самостоятельным созданием детьми других выражений, отвечающих заложенным в задании требованиям (продуктивная деятельность), что завершается проверкой правильности выполнения продуктивной части задания при помощи решения составленных выражений (репродуктивная деятельность), - то есть заданий, характерных для косвенного пути формирования вычислительного навыка.

После того как у большинства детей исчезают ошибки, связанные с незнанием и непониманием пути выполнения операции, можно переходить к заключительному этапу - формированию скорости выполнения операции. На этом этапе основную роль играют задания, относящиеся к прямому пути, в интерпретации, характерной для системы.

Необходимо отметить, что предложенный путь формирования навыков занимает больше времени, чем прямой, но в системе и нет стремления к достижению быстрого результата. Мы стремимся к созданию прочной теоретической и практической основы формирования осознанного навыка у каждого ученика.

Для формирования любого навыка, в том числе и вычислительного, в любой системе используются два подхода, которые в дальнейшем будут условно называться прямым и косвенным. Прямой подход характеризуется наличием готового образца выполнения изучаемой операции и большим количеством готовых тренировочных упражнений, в процессе выполнения которых ученики овладевают навыком на основе репродуктивной деятельности, где владение навыком выступает как самоцель по принципу «решай, чтобы научиться решать».

Главным преимуществом здесь является очень быстрое достижение требуемого результата, поэтому он так широко распространен и занимает прочные позиции в школьной практике. Однако несомненны и отрицательные стороны. Сам подход к формированию вычислительного навыка за счет упражнений, выполняемых именно для того, чтобы научиться их выполнять, мы считаем противоестественным - ведь человек овладевает технической стороной любого дела не как самоцелью, а ради решения актуальных для него задач. За исключением случаев, когда люди получают удовольствие от самого процесса выполнения арифметических действий, вычисления служат инструментом решения существенных проблем математики как учебного предмета или практических задач, возникающих в жизни. Длинная череда однообразных по своей сути тренировочных упражнений искажает суть математики, подменяя ее чередой однотонных и скучных действий, и в конечном счете вызывает отвращение к этой области знаний. Преобладание репродуктивной деятельности в формировании вычислительных навыков значительно сдерживает возможность продвижения детей в развитии, а в настоящее время развитие школьников является приоритетной задачей обучения в любой системе.

Важнейшей особенностью косвенного подхода к формированию навыков являются отсутствие готового образца выполнения операции, которой предстоит овладеть, самостоятельный поиск способов ее выполнения самими учащимися, что сразу включает детей в продуктивную творческую деятельность.

Такой подход характеризуется высокой эффективностью процесса формирования навыка, полноценным осознанием теоретических и практических знаний, лежащих в основе алгоритмов выполнения вычислительных операций, повышением интереса к математике. При этом большая часть заданий позволяет получить обширный тренировочный материал для формирования навыка.

Недостатком является заметное увеличение времени, затрачиваемого на достижение результата.

Почему же система предпочитает именно косвенный подход к формированию навыков? Дело в том, что практически любое задание по любому учебному предмету, в том числе и по математике, должно способствовать продвижению детей в развитии, а прямой подход полностью исключает эту компоненту. Если бы выработка навыков занимала небольшое учебное время, с этим можно было бы смириться, но это отнюдь не так: выполнение арифметических действий в любом классе начальной школы занимает в общей сложности почти его половину.

Приведем несколько примеров заданий, в которых используется косвенный подход к формированию вычислительных навыков.

Задание 87. Учебник для 1-го класса, часть 3

Найди значения сумм по таблице сложения:

5 + 2

4 + 2

3 + 2

Почему значение каждой следующей суммы меньше предыдущего?

Какие еще равенства таблицы сложения подойдут к записанным?

Найди и запиши их.

Выполнение задания требует от детей репродуктивной деятельности. Эта часть задания способствует закреплению таблицы сложения, которая является важнейшим компонентом общего алгоритма выполнения сложения и вычитания натуральных чисел.

Ответ на следующий вопрос задания требует анализа получившихся равенств и выявления заложенной в них закономерности, что способствует продвижению в осознании зависимости, существующей между слагаемыми и значениями сумм, а также создает благоприятную ситуацию для продвижения детей в развитии.

Задание завершается созданием сумм, подчиняющихся подмеченным закономерностям, и определением их значений. В результате количество сумм, с которыми работают ученики, возрастает как минимум до семи (добавляются суммы 7 + 2, 6 + 2, 2 + 2, 1 + 2), но могут появиться и суммы, которые выходят за рамки изученного материала (например, 9 + 2, 8 + 2, 0 + 2, а может быть и 10 + 2, 11 + 2 и т.д.). Такие творческие элементы заданий дети должны первоначально выполнять самостоятельно, результаты же выносятся на всеобщее обсуждение.

Обсуждение полученных решений - важнейший момент работы с заданием, оно требует от учеников скрупулезного и всестороннего анализа заложенных в задание закономерностей. В зависимости от числа найденных закономерностей дети принимают или отвергают предложенные решения:

- если ученик выделил только основные закономерности - уменьшение первого слагаемого каждой следующей суммы на единицу и сохранение неизменности второго слагаемого, он может или принять все предложенные выше варианты, или, наоборот, принять только суммы 2 + 2, 1 + 2 и, может быть, 0 + 2;

- если замечена еще закономерность: оба слагаемых однозначные числа, то будут отвергнуты суммы с первым двузначным слагаемым;

- если, помимо названных выше закономерностей, ученик заметил, что значения исходных сумм - однозначные числа, он отвергнет суммы 9 + 2 и 8 + 2;

- и, наконец, если замечено, что слагаемые - натуральные числа, будет отвергнута сумма 0 + 2.

Таким образом, чем больше подмечено закономерностей, тем меньше сумм подходит к исходным.

Естественно, ни один первоклассник не может самостоятельно рассмотреть все перечисленные варианты рассуждений, но коллективно можно рассмотреть если не все, то несколько таких вариантов. Пока школьники пытаются сами строить рассуждения, учитель не вмешивается в их работу активно, а только поощряет поиски. Если возможности детей иссякли, учитель может предложить свой вариант.

Задание 1811 . Учебник для 2-го класса

1) Не выполняя сложения, выпиши суммы, в значениях которых число десятков и единиц будет одинаково.

2) Найди значения этих сумм. Ты был прав?

3) Измени в остальных суммах одно слагаемое так, чтобы в значениях сумм тоже стало одинаковое число десятков и единиц (постарайся найти несколько разных решений для каждой суммы).

В п. 1 дети должны творчески использовать знакомый им переместительный закон сложения, в результате чего возникает наиболее очевидный образец изменения одного из слагаемых в оставшихся не- выписанными суммах. При выполнении п. 2 этот образец проверяется, и ученики убеждаются в его верности для данных сумм. При выполнении п. 3 минимальное число сумм, которые получат дети, опирающиеся только на найденный в качестве «образца» вариант, - 4. В действительности же таких сумм 18, так как достичь равенства числа единиц первого и второго разрядов можно не только изменением порядка написания цифр числа (что к тому же не всегда дает такой результат), но и при сложении многих чисел. Для данного задания это будут следующие суммы:

61+5; 61+16; 61+27; 61+38;

1+32; 12+32; 23+32; 34+32;

45+32; 56+32; 67+32;

45+10; 45+21; 45+32; 45+43;

45+54; 70+18; 81+18.

Таким образом, в процессе выполнения задания могут быть найдены 23 суммы.

Отметим, что задание подготавливает почву для того случая, когда дети столкнутся с суммами вида 87 + 78, для которых полученный образец выделения сумм с одинаковым числом единиц первого и второго разрядов непригоден, так как 87 + 78 = 165.

Задание 111. Учебник для 3-го класса

1) Чем похожи разности? Найди их значения.

777-456; 676-253; 836 -513; 578-446.

2) В каждом уменьшаемом измени одну цифру так, чтобы в разряде единиц появился переход через разряд.

3) Выполни задание пункта 2 так, чтобы переход через разряд появился в разряде десятков.

4) Как нужно изменить уменьшаемые, чтобы переход через разряд был и в десятках, и в единицах?

5) Как еще можно преобразовать данные разности, чтобы возникли переходы через разряд?

Выбери одну из данных разностей и выполни такие преобразования.

Пункт 1 задания позволяет выявить степень овладения прикидкой с точки зрения признаков отсутствия перехода через разряд при выполнении вычитания. Если ученик владеет этим умением, он легко заметит, что при вычислении данных разностей переход через разряд отсутствует. Если же это умение не сформировано, дети обнаружат отсутствие перехода через разряд при выполнении вычитания.

Выполнение п. 2-4 посвящено изменению уменьшаемых, при котором появляются переходы в заданном разряде или разрядах. Необходимо отметить, что учитель легко может увеличивать или уменьшать число разностей, которые должны составить дети. Для этого достаточно указать конкретное число преобразований, которые нужно выполнить с каждой разностью. Это может быть одно, два, больше двух или все возможные преобразования.

Так, при выполнении п. 2 можно получить следующие разности:

770-456, 771-456, 772-456,

773-456, 774-456, 775-456,

670-253, 771-253, 772-253,

830-513, 831-513, 832-513,

570-446, 571-446, 572-446,

573-446, 574-446, 575-446.

Всего получилось 18 разностей.

Пункт 3 позволяет получить следующие разности:

707-456, 717-456, 727-456,

737-456, 747-456;

606-253, 616-253, 626-253,

636-253, 646-253;

806-513; 508-446, 518-446, 523-446, 533-446.