Сравнительное исследование приемов обучения младших школьников решению текстовых задач на уроках математики в системах развивающего обучения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Одной из неотложных задач является проблема качественного усовершенствования математического образования вообще, как в средней, так и в начальной школе.

Судьба математической подготовки прежде всего зависит от того, как будет поставлено это дело именно в первые четыре года обучения в школе.

Тому имеются серьезные психологические основания.

По действующим ныне программам на изучение математики в начальной школе отводится около 800 уроков, что составляет почти 40% времени, отводимого на эту дисциплину за всю среднюю школу.

В последние годы в силу ряда причин были нарушены преемственные связи между начальной и средней ступенями школьной математики.

Приведем несколько высказываний известных педагогов-новаторов, а затем рассмотрим и конкретные примеры.

Академик АПН СССР Ш.А. Амонашвили отмечает, что действующие программы не обеспечивают нормальной информационной нагрузки детям в начальной школе [2].

B.Ф. Шаталов справедливо замечает, что в последнее десятилетие уровень сложности задач в школьных учебниках математики недопустимо снизился, и на своих телеуроках он показал, что при эффективной системе обучения даже шестиклассники в массе своей справляются со сложными заданиями из сборников задач для поступающих в вузы.

C.Н. Лысенкова, рассказывая о своем новаторском опыте обучения шестилеток, специально указывает на то, что первоклассникам вполне доступны задачи на разностное сравнение, которое по действующим программам перенесено из I во II класс [23].

Усвоение начальных сведений по математике способствует постижению детьми исходных логических приемов мышления, которыми они пользуются в учебной работе и обыденной жизни. Если в первые четыре года удастся выработать у школьника активные приемы самостоятельного приобретения знаний, то этим будет создана у него база для успешного овладения математикой и в старших классах.

Математика сегодня - это одна из жизненно важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе и компьютерной, требует от индивида определенного минимума математических знаний и представлений. Существуют различные взгляды на объем и качество этого необходимого для социализации минимума. Проблема создания оптимального курса математики для общеобразовательной школы более чем актуальна. На сегодняшний день существует не менее пятнадцати учебников по математике для начальных классов, и почти все они рекомендованы Министерством образования и науки РФ к использованию в учебном процессе.

Последнее десятилетие XX в. характеризуется значимыми изменениями в подходах к определению целей начального математического образования. Эти изменения были порождены сменой приоритетных целей обучения: их обусловленностью на современном этапе проблемой воспитания личности ребенка на основе личностно-ориентированного деятельностного подхода [21]. С этой позиции целесообразным будет тот курс математики для младших школьников, который позволял бы средствами данного предмета реализовать идею развивающего обучения, и в то же время обеспечивал усвоение соответствующих знаний и умений, готовил и позволял бы уже с первых шагов творчески использовать их при решении разнообразных задач как практического, так и теоретического характера.

Базовым положением концепции является положение о том, что начальное звено в системе школьного образования обладает своей собственной непреходящей ценностью, и поэтому обязано предоставить ребенку возможность и условия самореализации в тех видах деятельности, которые являются ведущими в этом возрасте. Одной из неотложных задач педагогики является проблема качественного усовершенствования математического образования вообще, как в средней, так и в начальной школе. Судьба математической подготовки прежде всего зависит от того, как будет поставлено это дело именно в первые четыре года обучения в школе. Тому имеются серьезные психологические основания. По действующим ныне программам на изучение математики в начальной школе отводится около 800 уроков, что составляет почти 40% времени, отводимого на эту дисциплину за всю среднюю школу.

Обучение решению текстовых задач является ключевой проблемой в течение всего курса обучения математики, и это подтверждается результатами Единого Государственного Экзамена по математике. Менее 50% детей справляются с решением текстовых задач. Тем более важно начать обучение решению текстовых задач в начальных классах [3].

Актуальность исследования обусловлена необходимостью определения оптимальных условий эффективного усвоения знаний и развития мышления школьников. Одним из направлений в решении этой проблемы является разработка и внедрение в учебный процесс новых методов обучения, основанных на изучении психологических закономерностей взаимосвязи процессов усвоения знаний и развития мышления с учетом специфики конкретных учебных дисциплин. В настоящее время в педагогической психологии достаточно глубоко изучены общие механизмы мышления в процессе усвоения, такие как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и другие мыслительные операции [17]. В то же время существует сравнительно мало исследований, направленных на выявление особенностей и механизмов мыслительной деятельности учащихся при изучении ими конкретных учебных дисциплин, что является важным для решения проблемы совершенствования методов обучения, разработки новых методов, построенных в соответствии с психологическими закономерностями мышления и его особенностями, определяемыми спецификой учебного предмета.

Вопросами изучения и развития мышления младших школьников занимались Выготский Л.С., Леонтьев А.Н., Немов Р.С., Никольская И.Л. , Рогов Е.И., Рубинштейн С.Л., Эльконин Д.Б., Петрушин В.И.. Назайкинский Е.В., Михайлова М.А.

Исходя из вышеперечисленных фактов, мы сформулировали тему нашего исследования: «Сравнительное исследование приемов обучения младших школьников решению текстовых задач на уроках математики в системах развивающего обучения».

1. Основные методы и приемы обучения решению текстовых задач на уроках математики в системе развивающего обучения Л.В. Занкова

Во втором классе начинается овладение одним из важнейших аспектов математического образования - умением решать задачи. В частности, на этом этапе речь идет о текстовых математических задачах.

Вдумаемся в течение жизни каждого человека и мы увидим, что она складывается в основном из решения самых разнообразных задач, которые возникают или по инициативе самого человека (в этом случае он сам ставит перед собой задачу и сам ее решает), или помимо его участия в ее возникновении (т.е. решения задачи требуют возникающие помимо желания человека жизненные ситуации). Речь, конечно, идет о задачах в самом широком смысле этого слова, и школа, по нашему мнению, должна помочь растущему человеку сформировать такие качества личности, которые помогут ему в дальнейшем не пасовать перед возникающими проблемами, используя для этого и изучение каждого предмета программы, в том числе и математику.

Школа должна формировать у детей истинное умение решать задачи, которое, как нам представляется, заключается в способности решить любую задачу доступного для данного возраста уровня трудности, если в ней отсутствуют незнакомые понятия и если для ее решения не требуется выполнить незнакомые операции.

Для начальной школы эти требования обозначают, что в задаче каждое слово должно быть детям понятно и решение задач должно требовать выполнения изученных на данном этапе операций.

Естественно, что за период начального обучения сформировать такое умение решать задачи невозможно. Это длительный и кропотливый путь, для которого начальная школа является только первым, хотя и чрезвычайно важным звеном, результаты которого должна подхватить и развить основная школа.

Для достижения такого результата прямой путь формирования умения решать задачи, основанный на их ранней типизации и формировании «банка» образцов решения типовых задач, неприемлем в силу его минимальной эффективности при любом отклонении от отработанных типов.

К сожалению, стремление получить быстрый внешний результат толкает школу именно на этот путь, при котором осуществляется формальное формирование умения. Для этого в процессе обучения многократно решаются задачи одного типа, что приводит к созданию образца решения таких задач. Переходя от одного типа задач к другому, дети получают некоторый комплект таких образцов. В дальнейшем, сталкиваясь с задачей, ученик отыскивает в этом комплекте подходящий образец и использует его для ее решения. Если образец найден верно, задача решается правильно, если он подобран неверно, решение оказывается ошибочным. Если же ученик не нашел нужного образца, он оказывается беспомощным перед задачей и как правило, отказывается от ее решения, ссылаясь на то, что таких задач еще не решали.

При этом такие ситуации возникают не только при столкновении с незнакомыми типами задач, но и в случае нестандартной формулировки хорошо знакомых. Так, ученики, свободно и уверенно решившие задачу «Хозяин привез на продажу 120 кг фруктов - яблок и груш. Яблок было в 2 раза больше, чем груш. Сколько у него было фруктов каждого вида?», отказались от решения задачи «Отцу и сыну вместе 26 лет. Сыну столько месяцев, сколько лет отцу. Сколько лет каждому?».

Таким образом, успех ребенка зависит главным образом от его памяти и от умения ориентироваться в ее запасах, а также от использования однотипных (стандартных) формулировок предлагаемых задач. Стремясь закрепить созданные в голове ученика образцы, учитель предлагает детям для решения возможно большее количество задач. Нормальным считается положение, когда на один учебный день приходится 3-4 и больше задач.

Есть известное высказывание, которое часто используют для оправдания того количества задач, которое обрушивают на детей:«Чтобы научиться решать задачи, нужно их решать». Однако понимание его как указание на необходимость решения большого количества однотипных задач является, безусловно, неверным, искажающим истинный смысл высказывания. Ведь такая работа только формально является решением задач, в действительности же это использование готового шаблона, не имеющего ничего общего с творческим поиском решения проблемы, предлагаемой текстом задачи.

Значительно более эффективным, хотя и не дающим быстрых внешних успехов, является косвенный путь, основанный на продвижении детей в развитии через постоянное включение их в продуктивную - исследовательскую, преобразующую, творческую деятельность, связанную с задачами.

Рассмотрим, что же такое, решение задачи, из чего оно складывается. Хорошо известны выдвинутые Д. Пойа этапы решения задач: осознание постановки задачи; составление плана решения (гипотеза решения); осуществление выработанного плана; исследование полученного решения. Только выполнение всех этих этапов позволяет считать решение задачи завершенным полностью.

Анализ школьной практики свидетельствует, что преимущественное внимание уделяется второму и особенно третьему этапам.

Первый этап считается пройденным, если ученики смогли сказать, что в задаче дано и что нужно найти.

Последний, четвертый этап зачастую совсем отсутствует или существует в виде элементарной проверки правильности выполнения действий.

Мы исходим из того, что все четыре этапа решения задачи одинаково важны, но на разных ступенях овладения умением решать задачи основное внимание детей необходимо концентрировать на разных этапах.

Так, на первой ступени, к которой и относится большая часть второго класса, особенно важен первый этап - осознание постановки задачи, ее смысла. В это понятие мы включаем умение отличить текстовую задачу от других видов заданий, умение выделить основные части задачи, соотнести их взаимное расположение между собой, осуществить всесторонний анализ ситуации, представленной в задаче, выделение математических отношений, в ней заложенных.

Особое внимание именно к этим аспектам диктуется тем, что главным в умении решать задачи, по нашему глубокому убеждению, является полноценная аналитическая деятельность, выявляющая все необходимые для решения связи. Решение же задач, с которыми сталкиваются дети в начале обучения, не дает реальной возможности даже заметить процесс анализа ситуаций, настолько быстро он протекает на чисто житейском уровне в силу их простоты, ведь именно в это время используются простые прямые задачи, ситуация в которых не вызывает затруднений у большинства учеников. Задания же, которые не требуют решения задачи как главной цели работы с ней, помогают осмыслить эти связи как таковые.

Наиболее эффективный путь построения такой работы - коллективное обсуждение предложений и гипотез самих учеников, выдвинутых в результате их самостоятельной деятельности.

Как уже было сказано выше, решение простых прямых задач с точки зрения продвижения детей в развитии и формировании истинного умения решать задачи дают крайне незначительный эффект, поэтому важно установить роль таких задач в системе Л.В. Занкова, выявить ситуации, в которых использование таких задач желательно или даже необходимо. Рассмотрим основные варианты таких ситуаций.

Прямые простые задачи используются для первоначального осознания смысла вновь вводимой математической операции или для более глубокого проникновения в содержание уже знакомой операции. Так, задание 184 способствует осознанию умножения как действия, заменяющего сложение равных слагаемых, а задание 334 углубляет представление об умножении, знакомя с использованием его для увеличения числа в несколько раз.

Ведущую роль играют такие задачи в тех случаях, когда основное внимание детей должно быть сосредоточено не на решении задачи, а на других, связанных с ней проблемах, например, при знакомстве с условием и вопросом задачи. В таких случаях сложная ситуация, отраженная в задаче, создала бы дополнительные трудности, отвлекающие детей от основного направления работы.

Из дальнейшего изложения станет ясно, что в начале работы с задачами такие ситуации будут главным ее направлением, а следовательно, дети будут рассматривать достаточно большое количество простых прямых задач, как данных в готовом виде, так и полученных самими учениками в процессе выполнения разнообразных заданий.

И, наконец, прямые простые задачи необходимы для индивидуальной работы с теми учениками, для которых более сложные задачи представляют непреодолимую трудность. Умелое и своевременное включение таких задач в канву урока позволит и этим детям вносить свой вклад в общую работу, сохранять уверенность в своих силах и постепенно продвигаться вперед.

Главная цель предстоящей во втором классе работы с задачами - научить, детей работать с текстом задачи.

Эта работа начинается со знакомства с этим видом заданий в сопоставлении их с другими, уже знакомыми детям, заданиями. На основе такого сравнения ученики выделяют основные признаки новых заданий, среди которых важнейшим является отсутствие прямого указания на те действия, которые необходимо выполнить, чтобы получить требуемый ответ. Сравнению задач с другими видами заданий и выявлению признаков, позволяющих считать задание задачей, посвящены задания 50, 54, 57, 61, 82.

В процессе их выполнения помимо названного выше основного признака задачи дети выделяют наличие определенного сюжета, т.е. задача рассматривается на данном этапе как задание-рассказ, в котором необходимо узнать ответ. Этот признак, конечно, не является существенным, но для младших школьников он достаточно важен, а также позволяет глубже осознать существенные признаки задачи.

Дети могут найти и свои дополнительные признаки, которые помогут им определять рассматриваемый текст как задачу. Если они не мешают формированию правильного понятия, не сужают область его определения, отвергать их не следует. По мере углубления представления о задаче такие признаки или отпадут, или, наоборот, обогатят это понятие. Примером такого обогащения, возникшего по инициативе учеников, может служить признак, представленный в задании 144 - соответствие друг другу условия и вопроса текста.

После такого первого знакомства с задачей как специфическим математическим заданием начинается исследование текста задачи с целью выделения тех «кирпичиков» из которых она построена. Первый этап этой работы связан с выделением условия и вопроса (без предварительного введения терминов). Дети сами пытаются разделить текст задачи на две смысловые части и обосновать предложенное деление. Первоначально проблема решается элементарно, т.к. задача в задании 63 состоит из двух предложений, и по этому формальному признаку легко распадается на нужное число частей.

Однако уже в задании 66 опоры на количество предложений оказывается недостаточно - ведь текст задачи состоит из трех предложений, а нужно выделить две части. При выполнении задания возможны попытки деления текста на 3 части по числу предложений. Все предложенные варианты необходимо обсудить с точки зрения соответствия условиям задания и обоснованности решения проблемы.

Задание 71 позволяет еще раз вернуться к аналогичной ситуации, закрепив понимание смысловой связи между предложениями текста.

Если этих заданий для части детей окажется недостаточно, учитель может предложить аналогичные дополнительные задания, но следует иметь в виду, что остановка в развитии вопроса может принести больше вреда, чем пользы, погасив интерес многих учеников к изучаемому вопросу. Дети же, которые не полностью осознали принцип выделения частей задачи, получат возможность углубить свое понимание в дальнейшем.

В задании 74 вводятся термины условие задачи и вопрос задачи, которые связываются с выделением части, содержащей информацию о том, что в задаче известно, и части, которая сообщает, что нужно узнать.

Аналогично строится и работа по выделению данных и искомого, чему посвящены задания 85, 90 и 94.

Таким образом, представление детей о новом виде заданий - задаче значительно расширяется: это задание, отвечающее выделенным признакам и имеющее условие, вопрос, данные и искомое.

После этого работа с задачами осуществляется в трех основных направлениях:

анализ текста с точки зрения его принадлежности к задачам;

установление взаимосвязи между всеми найденными частями задачи;

осознание роли каждой из частей в тексте задачи.

Что касается первого из перечисленных направлений, то в течение практически всего года большая часть заданий, связанных с задачами, начинается с исследования предложенного текста с точки зрения его принадлежности к этому виду заданий (см. задания 57, 61, 82, 85, 90, 94, 99, 107, 112, 120, 128 и многие другие).

Помимо учебника задания на различение текстов-задач и не задач находятся и в тетрадях на печатной основе. Рекомендуем задания 4 и 13 тетради 2 использовать для контроля над овладением понятием «задача».

Второе направление осуществляется наблюдениями за взаимным расположением в задаче условия, вопроса, данных и искомого. Результатом проведенных наблюдений становится осознание того, что данные всегда находятся в условии, а искомое - в вопросе. Понимание такой взаимосвязи становится особенно актуальным, когда дети начинают сталкиваться с задачами, данными не в канонической формулировке. Это происходит во втором полугодии в заданиях 268, 311, 320, 395 и т.д.

Поясним, что мы подразумеваем под канонической и неканонической формулировками задачи. Канонической мы называем формулировку, в которой сначала в повествовательной форме изложено все условие, а затем следует вопрос, представленный вопросительным предложением. Любое отклонение от такой формы изложения задачи мы относим к неканоническим. Таких неканонических форм может быть пять, и каждая из них специально рассматривается в курсе математики в течение второго и третьего годов обучения. Представим их описание:

после условия задачи следует ее вопрос, изложенный повествовательным предложением («Длина отрезка ЛВ равна 7 см, а отрезок СЕ на 5 см длиннее. Найди длину отрезка СЕ.)

часть условия в повествовательной форме стоит в начале текста, другая его часть объединена с вопросом в сложное вопросительное предложение («Длина отрезка ЛВ равна 7 см. Какова длина отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее?»);

часть условия в повествовательной форме стоит в начале текста, другая его часть объединена с вопросом в сложное повествовательное предложение («Длина отрезка ЛВ равна 7 см. Найди длину отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее»);

весь текст задачи объединен в одно сложное вопросительное предложение, начинающееся с ее вопроса («Чему равна длина отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее отрезка ЛВ, длина которого равна 7 см?»);

весь текст задачи объединен в одно сложное повествовательное предложение, начинающееся с ее вопроса («Найди длину отрезка СЕ, если он на 5 см длиннее отрезка АВ, длина которого 7 см».).

Такие формулировки задачи, в отличие от канонической, не позволяют ученикам при анализе текста использовать внешние формальные признаки. Верно выделить в них условие и вопрос можно только опираясь на сущностные смысловые категории. Анализу задач, данных в неканонической форме, их преобразованию посвящены задания 263, 303, 311, 385, 393, 397, 404.

Необходимо иметь в виду, что эта линия работы только начинается во втором классе и будет продолжена в дальнейшем.

Параллельно с осознанием взаимосвязи между условием, вопросом, данными и искомым происходит и продвижение в третьем из названных выше направлений - установлении роли каждого из них в задаче. Здесь мы выделяем две основных позиции:

осознание того, что отсутствие хотя бы одной из перечисленных частей задачи приводит к тому, что она перестает существовать как таковая;

осознание связи между изменением любой части задачи и ее решением.

Первая из них реализуется в работе с текстами, в которых отсутствует тот или иной из элемент (часть) задачи. Она заключается в анализе предложенных текстов, приводящем к выявлению отсутствующей части задачи, и дополнении предложенного текста до задачи. Мы считаем это направление чрезвычайно важным, и ему посвящено в учебнике большое количество заданий:155, 159, 178, 180, 187, 192, 226, 231, 247 и т.д.

Продвижение по второй позиции осуществляется при выполнении заданий, в которых главным содержанием являются наблюдения за изменениями (или их отсутствием) в решении задачи при изменении одной из ее частей.

Мы рекомендуем использовать три варианта таких заданий:

задачи с неизменным условием и разными вопросами (112, 163, 168, 199, 206 и т.д.);

задачи с неизменным вопросом и изменяющимся условием (133, 141, 206, 210, 219 и т.д.);

задачи с изменяющимися данными при сохранении смысла условия и неизменном вопросе. Такие задачи не представлены в учебнике в готовом виде, они естественно возникают при дополнении до задачи текстов, в которых отсутствуют данные, например, задания 178, 180, 231 и др.

Т.к. изменение искомого всегда связано с изменением вопроса, то отдельно эти изменения не рассматриваются.

В качестве примера приведем краткое описание возможных вариантов выполнения задания, в котором рассматриваются задачи с одинаковыми условиями и разными вопросами.

163. 3) Прочитай задачи и сравни их условия.

а) У Кати 8 кукол и 6 игрушечных зверюшек. Сколько всего игрушек у Кати?

б) У Кати 8 кукол и 6 мягких зверей. На сколько у нее больше кукол, чем зверей?

Сравни вопросы задач. Что можно о них сказать?

Реши задачи. Сравни решения. В чем их различия?

Подойдет ли к условию этих задач вопрос: На сколько меньше у Кати зверей, чем кукол?

Реши новую задачу. Что ты заметил?

Текст задания уже представляет один из возможных вариантов построения работы с ним, характеризующийся постоянной сменой раздельной и одновременной деятельности детей с данными задачами.

При этом этапы раздельного рассмотрения задач носят вспомогательный характер, готовят детей к этапам совместного их рассмотрения.

Однако вполне возможны и другие варианты работы с заданием. Например, детям предлагается сначала только первый текст, который они анализируют и устанавливают, что он является задачей, после чего выполняется решение (путь к нему выбирает учитель в зависимости от возможностей детей: это может быть подробное обсуждение или только поиск ответа на узловой вопрос - искомое число будет больше или меньше каждого из данных, а может быть и полностью самостоятельное решение с последующим обсуждением).

Затем дети читают вторую задачу и сравнивают ее с решенной.

Центральным моментом обсуждения является высказывание предположений о том, будет ли решение новой задачи таким же или другим, и попытки обосновать эти мнения. При этом решение второй задачи выступает в качестве проверки высказанных предположений.

Возможен и вариант, при котором задачи вообще рассматриваются на разных уроках математики, а сравнение их самих и их решений завершает всю проделанную с ними работу.

Особо нужно сказать о пунктах 4 и 5 задания, которые при выборе любого варианта завершают исследование влияния изменения вопроса при неизменном условии, через разрешение возникшей коллизии: решение новой - третьей задачи противоречит только что полученному выводу о том, что изменение вопроса при неизменном условии изменяет решение задачи.

Аналогично строится работа с группами задач, отличающихся друг от друга другими элементами.

Легко заметить, что в обучении математике, и в том числе в работе с задачами, активно используется прием сопоставления, сравнения рассматриваемых объектов. Это имеет место и при работе с текстом задач, и при их решении.

Особо важное значение имеет сопоставление задач при формировании внимания к каждому нюансу их текста, к каждому слову в них.

Ярким примером таких сопоставлений являются задачи в заданиях 115, 125, 133, 141, в которых сравниваются следующие задачи:

Маше подарили для коллекции 6 копеек несколькими монетами. Какие монеты она могла получить?

Маше подарили для коллекции 6 копеек четырьмя монетами. Какие монеты она могла получить?

Девочка получила для коллекции 6 копеек тремя монетами. Какие это могли быть монеты?

Девочке подарили для коллекции 6 копеек тремя разными монетами. Какие это могли быть монеты?

Девочке подарили для коллекции 6 копеек двумя монетами. Какие это могли быть монеты?

Нетрудно заметить, что в тексты задач последовательно вносятся изменения двух категорий - влияющие на их решения, и не оказывающие такого влияния. Рассмотрим изменения первой категории. По объему они минимальны (каждый раз заменяется или добавляется одно слово), но приводят к существенным изменениям в решении. Первая из приведенных задач, в силу неопределенности условия, имеет 8 вариантов решения, полный перебор которых и составляет полное ее решение. Вот эти варианты:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1 + 1; 3 + 1 + 1 + 1; 2 + 2 + 1 + 1;

3 + 2 + 1;2 + 2 + 2;5 + 1;3 + 3.

Замена в задачах 2, 3, 5 слова «несколькими» словами «четырьмя» «тремя» и «двумя» сокращает в каждом случае количество вариантов до двух, а добавление в задаче 4 слова «разными» приводит к единственному возможному варианту (3 + 2 + 1).

Проведенные наблюдения помогут на завершающем этапе выполнения задания 141 самостоятельно внести в условие одно слово так, чтобы у задачи тоже стало единственное решение.

Изменения, не влияющие на решение (например, замена имени Маша на слово девочка), являются первым шагом к предстоящей работе с краткой записью задачи.

Главная цель таких заданий - сформировать у учеников внимание к каждому слову текста задачи.

Одним из основных аспектов работы с текстом задачи является установление заложенных в ней связей между данными и искомым. Осуществить это возможно двумя разными путями - аналитическим и синтетическим, которые хорошо известны каждому учителю. Отдавая должное синтетическому пути установления связей в задаче, мы рекомендуем в работе с детьми (особенно во втором классе) использовать аналитический путь, т.е. формировать у них умение исследовать задачу, начиная с ее вопроса. Такое предпочтение объясняется тем, что дети склонны «играть» числами - прочитав начало задачи, сразу предлагать выполнить то или иное действие, а при вопросе «Почему нужно это действие?» тут же предлагать другое. Аналитический путь исследования связей задачи позволяет противостоять этим попыткам, приучает учеников рассматривать задачу целиком.

Учитывая важность соединения логических словесных построений с наглядными образами, мы рекомендуем использовать построение схем, отражающих процесс установления заложенных в задаче связей Знакомство с такими схемами и с их использованием начинается в задании 199 и в дальнейшем используется настолько часто, насколько это считает необходимым учитель.

Важным новым направлением работы с текстом задачи является знакомство с его краткой записью. Мы рассматриваем краткую запись задачи как эффективное средство облегчения поиска путей решения задачи, в котором находит отражение глубина и полнота анализа математических связей, заложенных в задаче. Однако, по нашему мнению, это происходит только в том случае, когда дети самостоятельно и сознательно проходят весь путь сокращения текста задач до полного исключения всех второстепенных, не имеющих принципиального значения для ее решения деталей, а не получают в готовом виде конечный результат этого процесса, использование которого чаще всего воспринимается детьми как ненужная, насильственно навязанная учителем работа.

Многочисленные наблюдения дают право утверждать, что маленькие школьники воспринимают каждое слово в задаче как важное, не видят в ней «лишних» несущественных слов. Именно поэтому первым толчком к сокращению текста задач мы считаем использование таких специально составленных задач, где таких несущественных деталей так много, что они значительно мешают не только пониманию смысла задачи, но и осознанию предложенного текста как задачи. Такой текст представлен в задании 296, но подобным же образом учитель может преобразовать любую задачу учебника.

Например, первая задача из задания 282 может быть дополнена так:В густом и тенистом саду на большой круглой клумбе среди других цветов расцвели 28 роз. Они были белые, розовые, красные, бордовые, желтые, чайные. Некоторые из них полностью раскрыли свои венчики, а у других только начали раскрываться тугие бутоны. Тихим и ясным летним утром в воскресенье к клумбе подошла девочка в нарядном голубом платье и с большим белым бантом в длинных русых волосах. Большими острыми ножницами она срезала 11 роз и отнесла их маме. Сколько роз осталось на клумбе?

В таком специальном тексте дети легко найдут большое количество «лишних» слов, не имеющих значения для решения задачи и даже мешающих найти его.

Первый такой текст лучше написать на доске и предложить детям сократить его коллективно («лишние» слова лучше зачеркивать или закрывать полосками бумаги, а не стирать). Каждое предложение детей обсуждается. В результате останется текст, близкий к данному в задании 282 или в пункте 3 задания 296.

После такой коллективной работы можно предложить каждому ученику самостоятельно сократить текст в уже упомянутом задании 296, затем рассмотреть задание 300, а также задание 44 (тетрадь 3).

При желании количество заданий можно увеличить, используя любые задачи учебника как основу.

После того, как ученики получили первоначальный опыт сокращения таких специальных текстов, необходимо переходить к работе по сокращению обычных задач. Этому посвящены задания 315, 320, 322. В результате получаются записи, имеющие вид прерывистого текста. Например, разобранную выше задачу из задания 281 можно сократить до такой записи:Было - 28 роз, взяли - 11 роз. Сколько осталось?

Конечно, дети приходят к такой записи постепенно и не все одновременно, каждый выполняет сокращение текста настолько, насколько считает возможным, постепенно продвигаясь к максимальной лаконичности. Когда ученики в основном освоят краткую словесную запись, начинается знакомство с общеупотребительными условными обозначениями, используемыми в краткой записи задачи. Так, в задании 330 вводится обозначение стрелкой указания на соотношение между рассматриваемыми в задаче величинами или числами, в задании 361 появляется обозначение искомого числа при помощи знака ?, а в задании 367 "- знак объединения - фигурная скобка. Смысл каждого знака дети устанавливают самостоятельно, сравнивая разные варианты краткой записи одной задачи.

Знакомство с условными обозначениями ни в коем случае не следует воспринимать как сигнал к обязательному переключению всех учеников со словесного способа краткой записи на знаковую. Как и во многих других случаях, каждый ребенок имеет право выбрать и использовать тот способ, который ему больше нравится, является более понятным.

Одним из важных направлений в работе с задачами является сравнение задач, близких по сюжету, но значительно отличающихся по математическому смыслу Наиболее яркими представителями таких задач являются обратные задачи, знакомство с которыми начинается в задании 282. Как и в других случаях, представленный вариант работы с задачами не является единственным и обязательным. Учитель может использовать и любой другой путь, который он считает более удачным для своего класса (например, задачи могут быть разобраны и решены изолированно друг от друга на разных уроках и только после этого проведено сравнение их текстов и найденных решений и сделан соответствующий вывод о связи между задачами).

В задании 287 появляется еще одна задача, обратная задачам задания 282. Сравнение всех трех задач дает возможность осознать механизм их образования, связь между количеством данных исходной задачи и количеством обратных к ней задач. Ответ на вопрос, можно ли составить еще задачи, обратные какой-нибудь из данных, покажет, уловили ли дети эту связь.

В задании 311 детям впервые предлагается самостоятельно составить задачу, обратную данным простым задачам. В дальнейшем такие задания возникают неоднократно, позволяя ученикам разного уровня возможностей все более активно включаться в их выполнение. Нужно сказать, что составление задач, обратных к простой, у большинства учеников не вызывает особых трудностей, особенно если ими хорошо понята связь между обратными действиями.

С середины второй четверти дети начинают знакомиться с составными задачами. Первоначально такие задачи появляются в сопоставлении с простыми, которые являются их составными частями. Примерами таких заданий являются задания 199, 206, 223 и т.д. учебника и задания 12, 15 (тет. 3) и т.д. тетрадей на печатной основе. Однако главным направлением работы с простыми и составными задачами является преобразование составных задач в простые и простых в составные самими учениками. Это направление зарождается в задании 210, которое одновременно знакомит детей и с терминами «простая задача» и «составная задача».

По мере усложнения предлагаемых детям задач и совершенствования их умения работать с текстом задачи внимание учителя и учеников все более перемещается с первого этапа их решения - осознание постановки задачи - на два следующих этапа - выдвижение гипотезы решения (составление плана решения) и проверку выдвинутой гипотезы (осуществление составленного плана). Это ни в коем случае не означает игнорирование первого этапа, который является основой всех последующих, его осуществление должно к этому времени стать само собой разумеющейся органической частью работы с задачей. Если этого не произошло, необходимо максимально активизировать работу по преодолению сложившейся ситуации.

Как уже было сказано выше, на начальном этапе работы с задачами рассматривается большое количество текстов, которые по той или иной причине не являются задачами. Среди них присутствуют и такие, в которых полностью отсутствуют данные и которые в силу этого дети не считают задачами. В конце года появляются тексты, где данные отсутствуют частично. Тексты, в которых есть не менее двух данных, но их недостаточно для получения ответа на поставленный в таком тексте вопрос, мы условно называем задачами с недостающими или с недостаточными данными.

В отличие от текстов, где данные отсутствуют полностью, такие тексты в большей или меньшей степени требуют полноценного всестороннего анализа, составления плана решения для выявления недостаточности имеющихся данных. При этом возникает необходимость в преобразовании исходного текста таким образом, чтобы задача имела решение. Дети могут использовать два принципиально разных способа таких преобразований:

дополнение условия недостающими данными;

изменение вопроса так, чтобы для ответа на него было достаточно данных исходного текста.

Рассмотрим некоторые из возможных вариантов преобразований задачи с недостающими данными из задания 356.

Исходный текст: Три хоккейные команды забили за игровой сезон 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы. Сколько шайб забила третья команда?

Дополнив условие задачи любыми данными о второй команде, дети получат возможность найти ответ на вопрос исходного текста.

Например, простейший вариант такого дополнения:

Три хоккейные команды забили за игровой сезон 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы, другая - 25. Сколько шайб забила третья команда?

Возможны и более сложные варианты дополнения условия, когда решение возникающей задачи требует большего количества шагов. Замена вопроса исходного текста на вопросы: Сколько шайб забили остальные команды вместе? На сколько шайб больше забили вторая и третья команды чем первая?

В результате получаем тоже решаемую задачу.

Рассматриваемая задача с недостающими данными предоставляет и не всегда осуществимую возможность преобразования обеих ее частей - и условия, и вопроса. Результатом такого преобразования может быть, например, такой вариант:

Две хоккейные команды за игровой сезон забили 82 шайбы. Одна команда забила 34 шайбы. Сколько шайб забила другая команда?

Основная ценность работы с задачами с недостающими данными заключается именно в возможности получения большого количества вариантов их преобразования в полноценные решаемые задачи разного уровня трудности, что дает возможность каждому ученику действовать на доступном ему уровне. Наибольший эффект эта работа даст, если коллективное обсуждение исходного текста, которое приводит к заключению, что в задаче не хватает данных, сменяется самостоятельной работой по ее преобразованию, а затем возвратом к коллективному обсуждению получившихся задач.

При выполнении заданий, связанных с задачами с недостающими данными, важно иметь в виду, что во втором классе происходит только первое знакомство с ними, которое будет продолжено в последующих классах начальной школы. Это свидетельствует о том, что во втором классе достаточно, если дети только получат представление о существовании таких задач и о том, что, внеся в нее изменения, можно получить полноценную задачу, имеющую решение.

При решении простых задач наиболее предпочтительной является запись выбранного для решения действия и его результата с соответствующим наименованием, за которым следует развернутый ответ

Помимо текстовых арифметических задач, о которых сказано выше, и учебник, и тетради на печатной основе содержат значительное количество разнообразных задач и заданий, которые мы условно объединим общим названием «логические задачи». В учебнике к ним в первую очередь нужно отнести задания 134, 157, 172, 195, 202, 214, 291, 370, 377, в которых именно построение логической цепочки рассуждений без опоры на выполнение арифметических действий с числовыми данными является главным содержанием.

Решение таких задач, особенно учитывая то, что они относятся к самым разным разделам математики, оказывает большое влияние на развитие детей в целом и формирование математического мышления в частности.

Не менее важно и то, что нестандартность формулировок таких задач всегда вносит в урок яркую эмоциональную ноту, возбуждает интерес и внимание детей, а их решение будит их фантазию и смекалку.

Работа с такими заданиями должна основываться на свободном общении детей друг с другом, их спорах, рассуждениях, попытках доказательства своей правоты. Учителю необходимо иметь в виду, что в этой работе главным является не конечный результат, а процесс его достижения.

В связи с этим основной опасностью работы с логическими задачами является ее затягивание, стремление, во что бы то ни стало завершить решение. Если такое стремление исходит от учеников; работа может продолжаться столько времени, сколько требуют дети. Если же появились первые признаки угасания интереса (еще не осознанные учениками, но замеченные учителем), работу с. задачей необходимо прервать и вернуться к ней через некоторое время на другом уроке. Поскольку интерес к задаче сохранился, часть учеников будут продолжать обдумывать пути ее решения и при возвращении к ней смогут работать более продуктивно, помогая остальным включиться в обсуждение новых предложений.

Оформление решения логических задач учебника выполняется в свободной форме каждым учеником. Это может быть, например, словесное описание, рисунок, просто ответ и т.д.

Предложенные варианты оформления сравниваются и обсуждаются с точки зрения возможности восстановить смысл задачи по ее решению. Такой подход помогает ученикам постепенно обогащать опыт рационального оформления решений.

(Тетради содержат большое количество как логических задач, так и заданий, для выполнения которых основным является цепочка логических рассуждений. К ним относятся: тетрадь 1 - задания 4, 5, 9, 37, 39, 46, 47, 50, 54, 56, 57, 58; тетрадь 2 - 2, 6, 8, 14, 15, 19, 23, 30, 31, 32, 35, 39, 42, 44, 46, 48, 50, 51, 56; тетрадь 3 - 3, 4, 5, 6, 8, 14, 16, 17, 24, 25, 27, 28, 29, 38, 39, 42, 49; тетрадь 4 - 2, 3, 12, 13, 14, 21, 24, 29, 30, 33, 34, 35, 37, 47, 50.)

2. Основные методы и приемы обучения решению текстовых задач на уроках математики в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова

В начальном курсе математики большое внимание уделяется решению задач. Любую задачу можно рассматривать как словесную модель некоторой практической ситуации с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента или установить наличие отношения между компонентами этой ситуации. Наибольшую трудность для учащихся в решении задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. запись решения. Для облечения поиска решения задачи детей необходимо учить пользоваться вспомогательными моделями: предметами, схемами, таблицами, рисунками [39]. Для установления отношений между величинами, данными и искомыми в задаче, удобно использование в качестве модели линейных схем, которые являются одновременно краткой записью задачи. Еще до знакомства с задачей учащихся нужно учить устанавливать соответствие между предметными, текстовыми, схематическими и символическими моделями, которые они смогут использовать для интерпретации текста задачи. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой:от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной, от нее - к математической. Такие модели в сочетании с заданиями на сравнение, выбор, преобразование, конструирование способствуют формированию умения решать задачи. Например, задания на подбор схемы к тексту задачи, подбор выражения к рисунку, преобразование условия (вопроса) задачи в соответствии с изменением решения и наоборот, и т.п. Использование вспомогательных моделей является средством, которое помогает младшим школьникам усвоить многие математические понятия.

Систематическое обучение решению математических задач предполагает не только представление об учебной задаче и её особенностях, но и выбор единой теоретической концепции собственно математического содержания. В курсе математики за основу взята теория измерения, которая разрабатывалась французским математиком Лебегом, а позднее была развита академиком Колмогоровым.

Основная задача школьного учебного предмета математики состоит в том, чтобы привести учащихся "к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа". Основы этой концепции должны усваиваться детьми уже в начальной школе. Это значит, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием является понятие величины [23].

Многообразие чисел, объединенных концепцией действительного числа, является конкретизацией понятия величины.

Усвоение детьми концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения её общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены детьми на основе конкретизации этих свойств. В таком случае, идея действительного числа будет присутствовать в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано с отношением "равно", "больше", "меньше". Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. В качестве примера математической величины В.Ф.Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину. Совокупность дробей также претворяется в величину, а правильное установление критериев сравнения для множества иррациональных чисел (для претворения его в величину) составляет основу современного построения анализа.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т.д. (или же при их выражении числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в 1 -м классе.

В основу обучения математике положена концепция действительного числа. Однако, в отличие от обычной программы, в обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины [27].

Структуру задачи можно представить с помощью различных моделей. Все модели принято делить на:

предметные (вещественные);

графические;

символические.

К графическим моделям относят рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж (или схему). В педагогической работе важное значение имеют предсхематические действия ребенка, результатом которых являются рисунок и условный рисунок.

Знаковая модель задачи может выполняться как на естественном языке (т.е. имеет словесную форму), так и на математическом (т.е. используются символы).

Знаковая модель задачи, выполненная на естественном языке, -это общеизвестная краткая запись.

Знаковая модель задачи, выполненная на математическом языке, имеет вид выражения:"3+2".

Психологи и многие математики рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска подходящей модели и её преобразования. Каждая модель выступает как одна из форм отображения сущности (структуры) задачи, а преобразование её идет по пути постепенного обобщения, абстрагирования и, в конечном результате, построения её математической модели. Таким образом, чтобы решить задачу, надо построить её математическую модель, но помочь в этом могут другие модели, называемые вспомогательными.

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Необходимо отметить, что в данной работе я не касаюсь краткой записи условия задачи. Этот этап очень важен, однако, я исходила из того, что он традиционно присутствует в работе учителя. Поэтому главное внимание я уделяю тем приемам работы над задачей, которые в меньшей степени используются в традиционной системе, которые помогают мне пробудить у детей интерес к задаче, к поиску решений этой задачи [31].

При решении простых и составных задач на сложение и вычитание используется схематический чертеж.

Схематический чертеж прост для восприятия, так как:

наглядно отражает каждый элемент отношения, что позволяет ему оставаться и при любых преобразованиях данного отношения;

обеспечивает целостность восприятия задачи;

позволяет увидеть сущность объекта в "чистом" виде без отвлечения на частные конкретные характеристики (числовые значения величин, яркие изображения и др.), что трудно сделать, используя другие графические модели;

обладая свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения, что нельзя увидеть, например, выполнив краткую запись задачи;

обеспечивает поиск плана решения, что позволяет постоянно соотносить физическое (или графическое) и математическое действия.

Как было сказано выше, текстовые задачи на сложение-вычитание в 1-м классе строятся как частные случаи отношения величин, поэтому моделирование простой задачи у детей не вызывало затруднения, т.к. величины в задаче находятся в отношении целого и частей.

Рис. 1 - Схематический чертеж

Если величины связаны отношением "больше (меньше) на" (Рис. 1); Сравнение двух величин (Рис. 2).

Рис. 2

Освоение представлений графической, знаково-символической модели в 1-м классе.

Со схемами в системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова дети знакомятся с первых уроков, когда находят среди разных предметов одинаковые по какому-либо признаку: длине, площади, форме, объему [40].

Учащимся выдается набор полосок разных по длине, ширине и цвету. Их задача найти равные по какому-либо признаку. Сразу дети находят одинаковые по цвету, затем, путем наложения, одинаковые по длине. Перед учащимися ставится следующая задача:

Что нужно сделать, чтобы каждый раз не измерять полоски, а найти одинаковые сразу и быстро? Дети предлагают свои варианты: различные значки, но значки должны быть одинаковые, и на одинаковых полосках ставят значки.

А как записать в тетради, что среди полосок есть одинаковые?

Ребята обсуждают задание и приходят к выводу, что нужно зарисовать и поставить значки.

Далее дети выполняют более сложное задание: сравнивают сосуды по объему и находят равные. Равные сосуды необходимо запомнить, а лучше как-то отметить. Опять предлагаются значки.

Затем записывают в тетради с помощью рисунка и значка, что на столе есть одинаковые по объему сосуды.

После этого дети находят сосуды, одинаковые по другим признакам: материалу и высоте. Записывают в тетради, что сосуды равны по высоте с помощью вертикальных отрезков.

На последующих уроках дети с помощью схем учатся находить и определять равные и неравные величины показывать с помощью схем равенство и неравенство величин (Рис. 3).



Рис. 3

Через несколько уроков вводится буквенная символика. Все величины обозначаются буквами русского алфавита.