Технология изучения элементов математической логики в рамках курса математики основной школы

54

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Различные виды внеклассной деятельности

1.1 Внеклассная деятельность как одна из форм работы

1.2 Педагогические основы изучения математической логики в средней школе в рамках внеучебной деятельности

Глава 2. Логический компонент школьных учебников по математике

2.1 Анализ учебников математики за 5-6 классы

2.2 Анализ учебников алгебры 7-9 классов

2.3. Анализ существующих методик по формированию и развитию у школьников общелогических и логических умений

Глава 3. Разработка программы эклективного курса математической логики в основной школе

3.1 Методические основы разработки эклективного курса математической логики

3.2 Разработка эклективного курса математической логики

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Перемены, произошедшие в сфере образования, а именно личностно-ориентированный подход к образованию, его гуманизация и гуманитаризация, уровневая и профильная дифференциация, привели к смещению акцентов с информационной функции обучения на развивающую. Сегодня в процессе обучения учитель должен не только передать определенную сумму знаний, но и научить школьников самостоятельно получать новую информацию и творчески ее перерабатывать, В этой ситуации проблеме формирования у школьников логической грамотности должно быть уделено существенное внимание.

Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных предметов, В этой ситуации на учителя математики ложится основная нагрузка по формированию у школьников логической грамотности, В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет школьникам лучше усваивать математику.

Таким образом, на сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения школьного курса математики и элементов логики.

Проблеме формирования у школьников логических знаний и умений на уроках математики и на факультативных занятиях по математике посвящены работы О.В. Алексеевой, М.А. Артамонова, В.Г. Болтянского, Б.Ф. Высокого, М.Е. Драбкиной, В.Г Ежковой, В.И. Игошина, Л.А. Калужнина, А.Н. Капиносова, Т,А, Кондрашенковой, И.Л. Никольской, Ф.Ф. Притуло, А.А. Столяра, А.И. Фетисова и др.

Исторически существовало три подхода к решению проблемы формирования у школьников логической грамотности.

1. Введение логики в курс средней школы как отдельного учебного предмета.

2. Включение элементов логики в содержание базовых школьных предметов, в частности математики.

3. Изучение элементов логики на факультативных курсах по математике.

В истории нашей школы был период (1947 - 1956 гг.), когда логика изучалась как отдельный учебный предмет в 10 (11) классе. Однако практика показала, что кратковременное обучение элементам логики, да еще и в конце школьного обучения, не дает заметного развивающего эффекта. В итоге логика как самостоятельная учебная дисциплина была исключена из школьной программы.

В 60-е гг. проблемой формирования и развития у школьников логических умений занялись М.А. Артамонов, М.Е. Драбкина, К.А. Рупасов, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, А.И. Фетисов. Однако большинство исследователей рассматривали логику только как средство повышения эффективности процесса обучения самой математике. Вопрос же о формировании «логической грамотности, как необходимой и важнейшей составной части общей культуры мышления» был впервые поставлен лишь в 70-е гг. И.Л. Никольской. Именно она уточнила понятие «логическая грамотность» и предъявила требования к логической подготовке выпускников средних школ.

Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно.

Отметим, что предложенный И.Л. Никольской подход носил обобщенный характер и требовал конкретизации. В итоге в 80-е и 90-е гг. уже применительно к конкретным ступеням обучения появляются работы Т.А. Кондрашенковой, А.Н. Капиносова, О.В. Алексеевой. Однако предложенные методики были направлены на формирование и развитие у школьников только общелогических умений и оставили в стороне группу логических умений.

В настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики общеобразовательной средней школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике. И только учебники для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон содержат необходимый теоретический и задачный материал.

Таким образом, несмотря на актуальность проблемы формирования у школьников знаний и умений по логике и математической логике, в настоящее время отсутствует необходимое методическое обеспечение.

Кроме того, накопленный в данной области опыт не полностью снимает ряд противоречий, связанных с логической подготовкой школьников:

- противоречие между потребностями в знании школьниками элементов математической логики и фактическим уровнем их логической грамотности;

- противоречие между необходимостью создания целостной системы обучения логике в средней школе и ориентацией созданных методик на формирование и развитие отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и обшелогических умений;

- противоречие между целесообразностью длительного изучения логики, а именно на протяжении всего периода обучения в школе, и локальностью предлагаемых методик, охватывающих лишь какую-то конкретную ступень обучения в школе.

Выявленные противоречия позволили сформулировать проблему исследования: какой должна быть технология обучения математике в средней школе, чтобы наряду с изучением программного материала курса математики происходило освоение элементов математической логики, и, в более широком контексте, формирование и развитие логических умений школьников.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе (6 класс).

Предметом исследования является целенаправленное и систематическое формирование у школьников логических умений в рамках создания внешкольного кружка математической логики в 6 классе.

Цель исследования - разработать технологию изучения элементов математической логики в рамках курса математики основной школы.

Гипотеза исследования заключается в том, что существует принципиальная возможность такой организации процесса дошкольного обучения математике, при которой наряду с формированием математических знаний и умений целенаправленно и систематически будут формироваться логические умения.

В соответствии с целью исследования и выдвинутой гипотезой решались следующие задачи.

1. Рассмотреть психолого-педагогические основы организации внеклассной работы в основной школе.

2. Охарактеризовать требования к преподаванию математической логики в школе.

3. Рассмотреть содержание современных учебников математики на предмет наличия в них элементов математической логики.

4. Выявить и проанализировать состав и содержание логических элементов в современных учебниках по математике.

5. Разработать эклективный курс математической логики в основной школе.

Глава 1. Различные виды внеклассной деятельности

1.1 Внеклассная деятельность как одна из форм работы

Вопросу внеурочной деятельности посвятили свои исследования такие авторы, как В. О. Кутьев, В. Д. Шадриков, И. Д. Демакова и др. Так, В. О. Кутьев в своей работе "Внеурочная деятельность школьников" отмечает, что "внеурочная деятельность - это такая организация труда, познания и общения, в процессе которой учащиеся овладевают социальным опытом, преобразуют окружающую их среду, приобретают необходимые практические умения и навыки". [30, С. 4].

В психолого-педагогическом словаре под редакцией А.В.Петровского, под внеурочной деятельностью понимаются организованные и целенаправленные занятия с учащимися, проводимые школой во внеучебное время для расширения и углубления знаний, умений и навыков, развития самостоятельности, индивидуальных способностей учащихся, а также удовлетворения их интересов и обеспечения активного и разумного досуга. [32, С. 60].

В. Д. Шадриков в понятие внеурочная деятельность включает систему занятий и общения учащихся в школе после уроков. Сюда, по его мнению, входят и элементы учебной деятельности, организуемой после уроков и направленную на воспитание сознательного отношения к учению, развитие познавательных интересов и овладение культурой умственного труда. [39. С. 11].

Об объективных показателях системы внеурочной деятельности, которые определяют действия педагога по реализации конкретных задач

В. О. Кутьев в своей работе "Внеурочная деятельность школьников" пишет следующее: "Существенное значение для результативности имеют такие показатели, как периодичность участия школьников во внеурочных мероприятиях (ежедневно, еженедельно, каждую четверть, ежегодно); число и состав участников внеурочных объединений (общешкольных, классных, групповых, разновозрастных, дифференцированных, по интересам); характер взаимодействия педагогов со школьниками (при ведущей роли учителя, совместном сотрудничестве, полной детской самостоятельности); оптимальное сочетание добровольности и обязательности участия детей в занятиях после уроков; достаточно разнообразный набор организационно-педагогических форм и средств воспитательной работы с учетом возрастных особенностей, интересов и склонностей учащихся". [30, С. 15].

Во внеурочной деятельности, с точки зрения В. Д. Шадрикова, учащимся предоставляется возможность включаться в определенные общественные отношения и выделять те параметры деятельности, которые имеют для них большой личностный смысл. [39. С. 23].

В зависимости от целей и содержания внеурочной деятельности формы ее бывают различны. Например, И. П. Подласый выделяет следующие формы: кружки, семинары, конференции, факультативные занятия, экскурсии, конкурсы, встречи с интересными людьми и другие формы. [31, С. 231]. математическая логика

На наш взгляд, данные формы внеурочной деятельности способны удовлетворить основные потребности школьников - общение со сверстниками, самоутверждение в группе. Важно, чтобы любая форма организации внеурочной деятельности наиболее полно раскрывала ее содержание, создавала оптимальные условия для развития школьников.

Таким образом, внеурочная деятельность - широкое и неоднозначное понятие, которое включает в себя разные, неоднородные по содержанию, методике проведения, формам и способам руководства занятия.

В настоящее время многие педагоги знают и широко применяют такие понятия как внеклассная, внеурочная и внеучебная деятельность школьников. При этом мы часто заменяем одно понятие другим, не задумываясь о происхождении или значении этих понятий. Например, проведение конкурсов самодеятельности и постановку спектаклей часто называют внеучебной деятельностью школьников. Однако многие такие мероприятия решают и учебные задачи (конкурс чтецов по программным произведениям), что относит их к внеурочной деятельности школьников.

Попробуем разобраться в этом вопросе, рассмотрев различные виды деятельности школьников и их взаимосвязь.

Виды деятельности школьников условно можно классифицировать по следующим признакам:

· по месту проведения (классная и внеклассная деятельность);

· по времени проведения (урочная и внеурочная деятельность);

· по отношению к решению учебных задач (учебная и внеучебная деятельность).

Рассмотрим взаимосвязь классификаций по месту и по времени проведения деятельности школьников.

В классе могут проводиться как урочные, так и внеурочные занятия. Многие урочные занятия проводятся вне класса (урок природоведения в парке, физкультура на спортивном стадионе). Экскурсии, турпоходы проводятся вне класса и во внеурочное время.

В связи с вышесказанным допустимо отождествлять понятия классной и урочной деятельности, а так же внеклассной и внеурочной деятельности.

Рассмотрим взаимосвязь деятельности школьников по времени проведения и по отношению к решению учебных задач.

Невозможно провести взаимосвязь между урочной и внеучебной деятельностью, т.к. на уроках непосредственно решаются поставленные учебные задачи. Многие внеурочные занятия, такие как кружки и факультативы призваны решать учебные задачи. Художественные, театральные студии, спортивные секции проводятся во внеурочное время, но могут быть не связанными или опосредованно связанными с решением учебных задач, что относит их либо к внеучебной, либо к внеурочной деятельности школьников соответственно.

Рассмотрим взаимосвязь внеурочной и внеучебной деятельности школьников. Представим взаимосвязь внеурочной, учебной и внеучебной деятельности школьников в виде множеств (см. схему 2):

Внеурочная работа - составная часть учебно-воспитательного процесса школы, одна из форм организации свободного времени учащихся. Направления, формы и методы внеурочной (внеклассной) работы практически совпадают с направлениями, формами и методами дополнительного образования детей.

Схема 2. Взаимосвязь внеурочной, учебной и внеучебной деятельности школьников

Внеурочная работа ориентирована на создание условий для неформального общения ребят одного класса или учебной параллели, имеет выраженную воспитательную и социально-педагогическую направленность (дискуссионные клубы, вечера встреч с интересными людьми, экскурсии, посещение театров и музеев с последующим обсуждением, социально значимая деятельность, трудовые акции). Внеурочная работа - это хорошая возможность для организации межличностных отношений в классе, между обучающимися и классным руководителем с целью создания ученического коллектива и органов ученического самоуправления. В процессе многоплановой внеурочной работы можно обеспечить развитие общекультурных интересов школьников, способствовать решению задач нравственного воспитания.

Такая трактовка внеурочной работы условна, но ее выделение из системы дополнительного образования детей представляется целесообразным, так как позволяет лучше понять ее границы и специфику.

Несомненно, внеурочная работа тесно связана с дополнительным образованием детей, когда дело касается создания условий для развития творческих интересов детей и включения их в художественную, техническую, эколого-биологическую, спортивную и другую деятельность.

Дополнительное образование школьников - составная часть системы образования и воспитания детей, подростков, учащейся молодёжи, ориентированная на свободный выбор и освоение учащимися дополнительных образовательных программ.

Само дополнительное образование школьников органически связано с учебно-воспитательным процессом в школе, внеурочной работой.

Цель дополнительного образования школьников, а значит и внеурочной деятельности - развитие мотивации детей к познанию и творчеству, содействие личностному и профессиональному самоопределению учащихся, их адаптации к жизни в обществе, приобщение к здоровому образу жизни.

Связующим звеном между внеурочной работой и дополнительным образованием детей выступают различные факультативы, школьные научные общества, объединения профессиональной направленности, учебные курсы по выбору. В зависимости от целей и задач, решаемых ими, содержания и методов работы их можно отнести и к той и к другой сфере образовательного процесса. Однако следует помнить о том, что дополнительное образование школьников предполагает, прежде всего, реализацию образовательной дополнительной программы по конкретному направлению деятельности или области знаний.

В школе предпочтение отдаётся учебному направлению внеурочной работы - учебной деятельности школьников.

Учебная деятельность - один из основных видов деятельности школьников, направленный на усвоение теоретических знаний и способов деятельности в процессе решения учебных задач.

В свою очередь, внеучебная деятельность - это один из видов деятельности школьников, направленный на социализацию обучаемых, развитие творческих способностей школьников во внеучебное время.

Таким образом, все перечисленные выше виды деятельности школьников, несмотря на наличие индивидуальных специфических характеристик, тесно связаны между собой, что должно быть отражено в развитии процессов информатизации соответствующих направлений образовательной деятельности и объединении информационных средств и ресурсов, используемых при информатизации разных видов деятельности школьников.

1.2 Педагогические основы изучения математической логики в средней школе в рамках внеучебной деятельности

Резкое ускорение процесса обновления информации и внедрение компьютеров во многие сферы жизни общества привели к смещению акцентов с увеличения объема знаний, предназначенных для усвоения школьниками, на развитие у них логических и общелогических умений.

«Практика показывает, -- отмечает Т.А. Кондрашенкова [58, с. 3], -- что формирование логических умений не происходит само собой, в ходе изучения основного содержания того или иного предмета. В исследованиях советских психологов убедительно показано, что в процессе обучения логические приемы мышления целесообразно рассматривать как объекты специального усвоения». В этой ситуации основные школьные дисциплины должны иметь формирование логических и общелогических умений учащихся в качестве одной из своих целей.

Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других школьных дисциплин. Естественно поэтому, что на математику ложится основная нагрузка по привитию школьникам логической грамотности. Важно, что эта задача не является чужеродной для самой математики, поскольку знание основ логики, как считает В.И. Игошин, «способствует более осознанному и более глубокому изучению самой математики» [49, с. 61]. Как отмечает М.Е. драбкина [31, с. 21], «Обучение математике должно обеспечивать отчетливое осознание не только математических, но и логических понятий курса математики. Отрыв одних от других приводит к недостаточному пониманию содержания важнейших математических предложений и их связей, затрудняет усвоение математики, замедляет логическое развитие учащихся». Таким образом, сложилось единое мнение в понимании того, что наиболее целесообразно изучение элементов логики в единстве с изучением математики.

В связи со всем вышесказанным возникают следующие вопросы.

1) С какого класса целесообразно начинать обучение элементам логики?

2) Какова длительность временного периода, в течение которого должно

происходить обучение логическим понятиям и логическим действиям? И.Л. Никольская [83] установила экспериментально, что кратковременное обучение основам логики не дает заметного развивающего эффекта. Такой эффект может быть достигнут, если обучение умениям оперировать логическими понятиями и правильно строить и анализировать суждения происходит в течение длительного времени по ходу изучения основных математических линий.

По мнению широкого круга специалистов (В.И. Игошина, А.А. Столяра и др.), «наиболее важным периодом с точки зрения логического развития школьника являются 5-6 классы» [48, с. 56]. Необходимость столь раннего введения элементов математической логики может быть обоснована и с практической точки зрения. Курс математики в общеобразовательной школе разбивается на три этапа:

1) единый курс «Математика» (1-6 классы);

2) курс математики основной школы (7-9 классы), состоящий из двух отдельных курсов «Алгебра» и «Геометрия»;

3) курс математики старшей школы (10-1 1 классы), также состоящий из двух курсов.

Изучение математики на втором этапе вызывает у школьников определенные трудности. Одна из причин состоит в том, что в начале изучения систематических курсов алгебры и геометрии учащиеся сталкиваются как с большим количеством новых понятий, так и с необходимостью проведения доказательств, уровень строгости которых существенно выше, чем на предшествующем этапе изучения математики в силу этого учитель математики, работающий в 5-б классах, должен уделять существенное внимание как раз логической подготовке учащихся.

Заметим, что необходимость введения элементов логики объясняется, не только потребностями курса математики, но и потребностями других школьных дисциплин. Анализ школьных учебников по различным предметам показал, что в них содержатся задания, для выполнения которых требуется выполнить то или иное логическое действие (сделать вывод, обосновать, разбить на группы и т.д.). Следовательно, определенные логические знания и умения нужны школьникам для успешного усвоения ими различных учебных предметов. Рассматривая вопрос в более широком контексте, заметим, что знание основ логики необходимо многим людям в их профессиональной деятельности, в частности юристам, экономистам и т. д.

Таким образом, произошедшие в сфере образования изменения, потребности курса математики и других школьных дисциплин, мнение специалистов в области методики преподавания логики -- все это приводит к следующим выводам.

1. Элементы логики должны стать предметом специального изучения в общеобразовательной средней школе.

2. Наиболее целесообразно изучение элементов логики в единстве с изучением курса математики.

З. Элементы логики должны изучаться не эпизодически, а на протяжении всего периода обучения математике в средней школе, причем началом для изучения элементов логики должен стать 5 класс.

Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению вопросов, связанных с привитием школьникам логической грамотности, определимся с основными терминами. Речь идет о следующих понятиях: логическая грамотность, общелогические умения, логические умения.

Понятие «логическая грамотность» было уточнено и впервые выделено как термин И.Л. Никольской (1973 г.):

Логическая грамотность -- свободное владение некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис его развития» [83, с. 4]. Кроме того, И.Л. Никольской были выделены знания и умения из области логики, которые должны быть сформированы у выпускников средних школ. Перечислим их.

- Умение дать определение знакомого понятия.

- Знание правил классификации.

- Знание точного смысла (функции) слов «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда» как логических связок.

- Умение выделять логическую форму предложения.

- Умение формулировать в утвердительной форме отрицания сложных предложений и предложений с кванторами.

- Знание смысла слов «следует» (логически), «равносильно» (логически), «необходимо (необходимое условие)», «достаточно (достаточное условие)».

- Понимание смысла и навыки правильного употребления словосочетаний.

- Умение проверять правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую ошибку.

- Знание наиболее употребительных приемов доказательства [83, с. 5--6].

Определимся теперь с тем, какие умения мы будем называть общелогическими, а какие -- логическими умениями.

Общелогические мыслительные умения -- умения, необходимые в любой интеллектуальной деятельности, в частности для изучения школьных дисциплин (Т.А. Кондрашенкова, [58, с. 5]). Сюда относятся следующие группы умений:

1) умения, связанные с определением понятий;

2) умения, связанные с классификацией понятий;

3) умения, связанные с выполнением логических действий «умозаключение» и «доказательство» (простейшие умозаключения, доказательства в 1-3 шага, опровержение с помощью контрпримера).

Под логическими умениями мы понимаем умения, связанные с понятиями математической логики. К логическим умениям относятся следующие группы умений:

1) умения, связанные с правильным пониманием и употреблением логических слов («и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», «все», «некоторые») и словосочетаний вида «не менее (не более) п»;

2) умение выделять логическую форму утверждений;

3) умение строить отрицания как простых, так и сложных высказываний;

4) умения, связанные с правильным пониманием терминов «логическое следование» и «равносильность»;

5) умения, связанные с правильным пониманием терминов «необходимое условие», «достаточное условие», «необходимое и достаточное условие));

6) умения, связанные с построением обратного утверждения и противоположного утверждения;

7) умения проводить «математические доказательства».

Исходя из данных нами определений, становится ясно, что обще- логические умения и логические умения можно трактовать как составные части логической грамотности, дополняющие друг друга.

В рамках нашего интереса к проблеме формирования и развития у школьников логических и общелогических умений нельзя обойти стороной работу А.Я. Хинчина «О воспитательном эффекте уроков математики» [125].

В соответствии с заголовком статьи исследуется именно воспитательный эффект уроков математики, однако, как убедительно показывает автор, воспитывающее воздействие оказывает не что иное как логический компонент математики. действительно важнейшая общекультурная задача образования -- «приучение воспитьиваемых к полноценной аргументации» -- приобретает на уроках математики ряд конкретных форм:

1) борьба против незаконных обобщений;

2) борьба против необоснованных аналогий;

3) борьба за полноту дизъюнкций;

4) борьба за полноту и выдержанность классификации.

Придерживаясь данного направления, стоит также остановиться на взглядах на проблему формирования культуры мышления школьников на уроках математики Т.А. Ивановой [115]. Ею были выделены следующие компоненты культуры мышления.

1. Осознание предмета математики, ее ведущих понятий и осмьисленное оперирование ими как при изучении математики, так и в ее приложениях и в практической деятельности.

2. Владение логической составляющей математической деятельности:

- понимание логической структуры определения понятия (род, видовьте отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов);

- умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия;

- умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

- умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

- понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

- понимание сущности доказательства, полноценности аргументации;

- владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

3. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

- умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

- умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

4. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных.

5. Владение алгоритмической составляющей математической деятельности:

- понимание сущности алгоритма;

- умение пользоваться готовыми алгоритмами;

- умение самостоятельно создавать алгоритм какого-либо действия.

6. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно [115, с. 85 -- 86].

Очевидно, что многие из названных Т.А. Ивановой компонентов культуры мышления относятся к объекту и предмету настоящего исследования.

Удивительно, но фактически о том же самом говорится в работе Л.Н. Казаковой [51], но уже применительно к урокам литературы. Так, Л.Н. Казакова выделяет следующие составляющие логической культуры учащихся.

1. Умение ясно и точно формулировать свои мысли. Речь идет о словесном выражении научных понятий и суждений. Логика как наука обеспечивает нас методологией определения понятий, знанием структуры суждений, условий их истинности, кодифицирует ошибки.

2. Умение логически связно рассуждать.

3. Умение обосновывать свою точку зрения. Обоснование -- достаточно сложная в логическом отношении операция. Важно различать полное обоснование и частичное обоснование: первое имеет своей основой использование средств дедуктивной логики, а второе допускает включение индуктивных методов рассуждений.

4. Умение правильно формулировать вопросы и давать на них ответы.

5. Культура участия в рациональной дискуссии, научном споре [51, с. 28].

Таким образом, решение проблемы формирования и развития у школьников логических и общелогических умений напрямую связано с более широкой проблемой -- проблемой развития общей культуры мышления.

Глава 2. Логический компонент школьных учебников по математике

2.1 Анализ учебников математики за 5-6 классы

Учебник математики для 5-го класса открывает линию учебников для основной и средней общеобразовательной школы, во всех учебниках которой реализована единая концепция развивающего обучения. Вместе с тем, каждый учебник обладает своей спецификой, обусловленной как программой, так и психофизиологическими особенностями школьников соответствующего класса.

Так, при изучении математики в 5-6 классах акценты делаются на:

- осуществление преемственности с курсом математики начальной школы;

- углубление интереса школьников к изучению математики;

- развитие самостоятельности мышления школьников;

- создание основ для изучения систематических курсов алгебры и геометрии, которые начинаются в 7-м классе.

Вопросы преемственности приобрели особую актуальность в последние 20 лет в связи внедрением в обучение математики в начальной школе развивающих педагогических систем Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова и Л.В. Занкова. Линии математики в этих комплектах представлены учебниками Э.И.Александровой, И.И. Аргинской и Н.Б.Истоминой. Нельзя не сказать и об учебниках Л.Г. Петерсон, в которых, как считает сама Людмила Георгиевна, интегрируются идеи Эльконина-Давыдова и Занкова. При обучении по этим учебникам у школьников формируются привычки анализировать, классифицировать, самостоятельно находить характеристические свойства объектов. В пятом классе мы продолжаем эту линию за счет включения в учебник подсистемы специальных заданий. В то же время эти задания помогают приобрести соответствующие умения и школьникам, которые занимались в начальной школе по традиционным учебникам.

Интерес к изучению математики поддерживается доступностью курса для школьников, так как успешность в изучении предмета является необходимой основой для развития интереса. С этой целью мы старались разгрузить изложение материала от второстепенных деталей, концентрируя внимание школьников на основном содержании. Тексты учебника краткие по объему и написаны простым языком.

Фабулы многих задач содержат интересные факты из географии, техники, биологии, истории. Как известно, однообразие утомляет и снижает интерес. Поэтому соседние задания в системе упражнений, как правило, отличаются либо по содержанию, либо по формулировке. Это заставляет школьников чередовать виды деятельности, переключаясь с алгоритмической деятельности на интеллектуальную и обратно.

Как и в других учебниках математики, в нашем учебнике есть задачи на смекалку. Однако у нас тематика таких задач, как правило, соответствует основному содержанию пункта, в который они включены.

И, наконец, в нашем учебнике есть список дополнительной литературы, с чтения которой для многих профессиональных математиков начался их путь в науку.

Большое внимание и в объяснительных текстах, и в системе заданий уделяется развитию навыков самостоятельного мышления. В систему упражнений включены задания, развивающие умения выделять общие свойства объектов, обосновывать свои решения, строить контрпримеры, искать рациональные пути решения, а также различные нестандартные задания, для выполнения которых школьникам не даются алгоритмы.

К таким заданиям относятся и все задачи на смекалку.

Одним из важных условий формирования самостоятельности мышления, как и любой самостоятельной деятельности, является навык самоконтроля. Самоконтролю в учебнике уделяется особое внимание. В системе упражнений есть специальные задания, выполнение которых заставляет школьника уяснить основные теоретические факты, установить взаимосвязи между разными алгоритмами. Каждый пункт учебника завершается вопросами и заданиями для самоконтроля. В разделе ответов учебника приводятся не только ответы практически ко всем заданиям, но имеются и советы а также решения к некоторым из них, что в первую очередь направлено на формирование самоконтроля школьников.

Одним из краеугольных камней фундамента, на котором строится систематический курс алгебры, являются вычислительные умения школьников. Поэтому большое внимание уделяется вычислительной практике. Для формирования более прочных навыков школьники учатся действовать с обыкновенными дробями, смешанными числами и десятичными дробями уже в пятом классе. Действия с обыкновенными дробями с разными знаменателями в пятом классе ограничиваются достаточно простыми случаями, когда приведение дробей к общему знаменателю не требует разложения знаменателей на простые множители. Более сложные случаи будут изучены в курсе шестого класса, где рассматривается делимость чисел. Это позволяет значительно больше времени уделить формированию и закреплению вычислительных навыков с обыкновенными дробями. Мы сознательно отказались от использования калькулятора на этом этапе.

С числовой линией тесно связаны такие математические понятия, как неравенства, равенства и уравнения. С уравнениями школьники знакомятся уже в начальной школе, а в пятом классе мы только поддерживаем уже полученные школьниками знания и тренируем их в составлении уравнений по текстам задач. Однако большинство задач в пятом классе предполагает решение по действиям. Основной этап развития линии уравнений будет связан с изучением пропорций и отрицательных чисел в шестом классе.

Использовать буквы ученики также начинают в начальной школе, а в пятом классе они продолжают работать с буквенными выражениями и равенствами: находят значения буквенных выражений, раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, записывают законы арифметических действий, формулы периметров, площадей фигур, а также объемов некоторых тел.

В 5-м классе школьники знакомятся с понятием процента и решают три основные задачи на проценты. В шестом классе ученики встретятся с задачами, где процентная база по ходу решения изменяется, в частности, с задачами на «сложные проценты».

Геометрический материал учебника знакомит школьников с основными понятиями геометрии, которые затем будут активно использоваться в систематическом курсе. Знакомство с основными геометрическими фигурами, стереометрическими телами и их свойствами в 5-6 классе носит преимущественно эмпирический характер. Так, например, к понятию равенства фигур приводят практические задания по наложению одной фигуры на другую. Школьники учатся использовать угольники, циркуль и транспортир. В учебнике представлены не все геометрические задачи, которые предстоит решать пятиклассникам - часть задач, особенно те, в которых ученики проводят построения на готовых чертежах, помещены в рабочую тетрадь, а часть включена в самостоятельные работы и вошла в методические рекомендации для учителя.

Система упражнений учебника сплетена из задач, имеющих различные дидактические функции. Для облегчения использования учебника номера заданий имеют соответствующую маркировку. Все задания можно разделить на две основные части: стандартные и нестандартные задания. Номера наиболее простых стандартных заданий никак не отмечены. Эти задания условно можно отнести к «обязательному минимуму». Номера более трудоемких, но стандартных с точки зрения плана решения заданий, обозначены значком «». Номера нестандартных заданий, обсуждение которых предполагается со всем классом, обозначены значком «». Понятно, что к нестандартным заданиям относятся и задания на смекалку, имеющиеся в каждом пункте учебника.

Учебники математики 5-6 классов, также как учебники алгебры и учебники алгебры и начал анализа, представляют лишь одну составляющую нашего учебно-методического комплекта. Вторая составляющая - это методические рекомендации для учителя. Наши рекомендации включают в себя разнообразный дидактический материал: самостоятельные и контрольные работы, математические диктанты, тесты, устные упражнения, которые нашли свое воплощение в подробных сценариях уроков.

Учебно-методический комплект для 5 и 6 классов имеет еще одну составляющую - рабочие тетради. В них, в основном, вошли задания, требующие от школьников трудоемких предварительных записей или рисунков. К таким заданиям, в первую очередь, относятся различные таблицы, задания, связанные с координатным лучом, координатной прямой, координатной плоскостью и геометрические задачи. Учебник и методические рекомендации для учителя необходимы для организации обучения. Наличие у каждого школьника рабочей тетради делает обучение более продуктивным, позволяя экономить время на переписывании заданий. В методических рекомендациях для учителя к каждому уроку расписаны задания из учебника и рабочей тетради. Задания в рабочей тетради могут быть использованы как для первичного закрепления навыка, для отработки навыка, так и для контроля знаний учащихся.

В начале идет геометрический материал, при изучении которого мы возвращаемся к вопросу о размере и форме, который в 5 классе привел учеников к понятию равенства фигур. В шестом классе ученики подойдут к понятию подобия фигур, которое в свою очередь приводит к понятию масштаба, отношениям и пропорциям. От деления в заданном отношении школьники переходят к рассмотрению вопросов делимости. Признаки делимости оказываются удобной базой для введения понятия множества и основных операций с множествами. Понятие симметрии фигур применяется при введении координатной прямой. Действия с отрицательными и положительными числами - основная задача 6 класса. Знакомство с отрицательными числами позволяет с помощью переноса членов из одной части в другую решать уравнения первой степени с одним неизвестным. При решении задач ученики продолжают отрабатывать навыки арифметических действий с обыкновенными и десятичными дробями. Рассматриваются формулы длины окружности, площади круга, кругового сектора, объема шара и площади сферы. Вводится понятие географических координат, координатной плоскости, на которой, в частности, решаются различные геометрические задачи, отмечаются множества точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным условиям. Изучаются столбчатые и круговые диаграммы.

Как и учебник пятого класса, учебник шестого класса завершает глава «Повторение», в которой на фоне кратких исторических сведений школьникам предлагаются основные типы задач, рассмотренных в курсе. 5 и 6 класса. В эту же главу включены четыре практикума по вычислениям, решению текстовых задач, по планиметрии и по развитию пространственного воображения школьников. Предполагается использование материала практикумов в течение всего учебного года.

Изучение программы по математике для общеобразовательных учреждений показало, что элементы логики в качестве объекта изучения не входят в содержание курса математики средней школы. Остается выяснить, присутствует ли в действующих школьных учебниках по математике материал, направленный на формирование логической грамотности учащихся.

В силу этого необходимо ответить на следующие вопросы.

1) Существуют ли учебники по математике, в которых рассматриваются отдельные вопросы из области логики?

2) Какова доля логических задач в отдельно взятом учебнике по отношению к общему количеству задач учебника? (При этом нас интересуют как учебники, в которых присутствуют элементы логики, так и учебники, в которых вопросы из области логики не рассматриваются).

Для получения ответов на поставленные вопросы нами был проведен анализ основных действующих учебников по математике, соответствующих различным ступеням обучения:

1) учебников по математике для 5-б классов;

2) учебников по алгебре и по геометрии для 7-9 классов;

3) учебника по алгебре и началам анализа и учебника по геометрии для 10-11 классов.

Прежде чем перейти к изложению результатов анализа основных учебников по математике, укажем, какие задачи были отнесены нами к логическим задачам.

Задачи, предлагаемые в школьных учебниках по математике, в зависимости от того, какие знания и умения нужны для их решения, условно могут быть разделены на следующие группы.

1. Задачи, для решения которых необходимо и достаточно знание материала, изучаемого в курсе математики.

В данную группу задач входят: вычислительные примеры; примеры по решению уравнений и неравенств; текстовые задачи; упражнения, связанные с темой «Функция»; геометрические задачи.

2. Задачи, для решения которых необходимо не только знание основного материала курса математики, а нужно еще проявить сообразительность и смекалку.

Например, к этой группе может быть отнесена следующая задача:

«Некто имеет 12 пинт меда и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в б пинт. У него 2 сосуда: один вместимостью в 8 пинт, а другой вместимостью в 5 пинт. Каким образом налить б пинт меда в сосуд на 8 пинт? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?».

Видно, что для решения этой задачи нужно владеть элементарными вычислительными навыками. Однако готового алгоритма решения этой задачи нет, для получения правильного ответа необходимо проявить сообразительность.

3. Задачи, для решения которых не нужно никаких знаний из курса математики, но у школьников должны быть хорошо сформированы такие мыслительные навыки как умение рассуждать по аналогии, делать обобщения, конкретизировать и т. Д.

4. Задачи, для решения которых не требуется никаких специальных знаний из области математики, но нужны умение проводить логический анализ ситуации, умение отличать доказанное от недоказанного и умение выводить следствия из известных фактов путем логических рассуждений.

5. Задачи, для решения которых, помимо знания курса математики, также требуется обладать некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий.

К пятой группе относятся следующие классы задач:

1. Задачи, в которых требуется определить, какие из предложенных утверждений являются верными, а какие -- нет.

2. Задачи, в которых необходимо вставить пропущенное в утверждении число, знак действия и т.п. так, чтобы получилось верное утверждение.

3. Задачи, в которых требуется построить предложения, по смыслу отрицающие данные.

4. Задачи, в которых нужно обосновать истинность или ложность утверждения.

5. Задачи, связанные с логическим действием «классификация».

Таким образом, учебники по математике для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон более полно по сравнению с учебниками отвечают идеям интеграции школьного курса математики и элементов логики. Однако в вышеназванном учебнике не уделено должное внимание изучению основных логических операций (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции) и соответственно построению отрицаний конъюнкции и дизъюнкции. Между тем, как раз умения, связанные с пониманием и правильным употреблением логических союзов, и умения строить отрицания сложных высказываний.

Итак, проведенный анализ учебной программы для средней школы и основных действующих учебников по математике привел к следующим заключениям.

1. Элементы логики не входят в программный материал по математике.

2. Большинство школьных учебников по математике не содержит теоретического материала из области логики и доля логических задач в этих учебниках весьма незначительна.

З. Среди всего многообразия учебников по математике в наибольшей степени требованию одновременного изучения курса математики и элементов логики отвечает учебник для 5-6 классов авторов Г.В. _орофеева и Л.Г. Петерсон. Однако и в данном учебнике не рассматривается весь спектр вопросов из области логики, необходимый для успешного привития школьникам логической грамотности.

Таким образом, в практике современной школы не реализуются объективно существующие возможности для интеграции курса математики и элементов логики, и, в более широком контексте, возможности формирования и развития логических и общелогических умений школьников.

2.2 Анализ учебников алгебры 7-9 классов

Перед тем, как перейти непосредственно к рассмотрению учебников Г.К. Муравина, К.С. Муравина и О.В. Муравиной, остановимся несколько подробнее на системе упражнений.

Система упражнений сплетена из заданий, представляющих три основные группы.

К стандартным упражнениям относятся две из них. Номера заданий первой группы не имеют специальных обозначений, - эти задания определяют как бы нижнюю границу умений, которые необходимо выработать у школьников. Задания второй группы, номера которых, отмечены белым кружком, хотя и несколько сложнее, чем задания первой группы, однако, в своей массе, не требуют от учащихся особых интеллектуальных усилий, - их целью является обеспечение формирования обязательных умений. Такие задания определяют уровень умений школьников в процессе изучения темы, так как некоторое его снижение по прошествии времени неизбежно. Используя техническую терминологию можно сказать, что «напряжение на входе» всегда выше, чем на «выходе».

Основной формой работы с этими двумя группами заданий является самостоятельная работа (серии самостоятельных работ) с немедленным разбором результатов. Число заданий именно этих двух групп было увеличено при доработке.

В системе упражнений довольно большую часть составляют задания третьей группы, отмеченные черным кружком. Эти задания нестандартные, их дидактическая функция - активизация мыслительной деятельности школьников. Хотя в своей массе эти задания достаточно простые, предполагается, что перед выполнением многих из них в классе вырабатывается и обсуждается план решения. После чего они становятся посильными для большинства школьников.

Задания первых трех групп предназначены для всего класса. Однако в системе упражнений имеются и задания, адресованные только сильным учащимся. Эти задания отмечены значком «*» и их массовое выполнение или даже разбор их решений со всем классом не предполагается.

Кроме того, среди упражнений учебников встречаются специальные отмеченные черным квадратом задания, выполнение которых предполагает использование калькулятора. В учебниках рассматривается обычный калькулятор с функцией извлечения квадратного корня (объяснения в доработанном учебнике ориентированы на соответствующий калькулятор компьютерной программы Windows в отличие от действующих учебников, где рассматривался инженерный микрокалькулятор).

Перейдем теперь к рассмотрению изменений, сделанных в процессе доработки.

Учебник седьмого класса по-прежнему начинается с разговора о математическом языке, однако, лингвистические параллели языка алгебры с родным языком не акцентируются. Понятия высказывания и предложения с переменными рассматриваются теперь только на математическом материале и тесно с ним связаны.

Понятие тождества и тождественного преобразования отнесены в главу III к степеням с натуральными показателями, где сразу рассматриваются на множестве допустимых значений (в предыдущей версии учебника 7-го класса рассматривались только «абсолютные» тождества).

Сюжеты рассматриваемых текстовых задач приведены в соответствие с Практикумом по решению текстовых задач, а экзотические примеры уравнений, исключены. Кроме того проведена конъюнктурная правка данных.

Обратная пропорциональность переменных и функция y=k/x вместе с ее графиком перенесены в восьмой класс.

Сделано существенно более компактным изучение формул сокращенного умножения.

Добавлена новая глава «Вероятность и комбинаторика», в которой даются начальные представления о вероятностях событий, используется классическое определение вероятности, вводятся основные понятия комбинаторики: правило произведения, перестановки, размещения и сочетания. В восьмом классе продолжается решение вероятностных задач по классической схеме, рассматриваются в качестве дополнительного материала комбинации с повторениями и даются начальные представления о статистическом эксперименте и приближенном экспериментальном получении вероятности события. В девятом классе рассматриваются вопросы, связанные с условной вероятностью, а также вводятся основные понятия статистики.

Есть два принципиально различных подхода к изучению элементов теории вероятности и статистики.

Первый подход - от частоты события к вероятности. На большом числе различных статистических экспериментов формируется понятие о частоте события и показывается, что при увеличении числа испытаний частота изменяется весьма мало. После этого вводится понятие вероятности и рассматривается классическая схема.

Второй подход - от классического определения вероятности к частоте. Вводится интуитивно ясное понятие равновероятных событий, и через не менее ясное представление о более вероятных и менее вероятных событиях выходят на классическую схему вычисления вероятности. После этого от вероятности переходят к частоте в связи с приближенным вычислением вероятности.

Первый подход широко распространен в западной школе, в частности, во Франции и Англии. Характерно, что изучение статистики, выраженное в проведении многочисленных статистических измерений, начинается там еще в начальной школе и продолжается достаточно долго (примерно до 9-го класса). Затем школьники переходят к изучению вероятности. В результате они могут неплохо оформлять результаты в виде таблиц и диаграмм, а вот с задачами на вычисление вероятностей, особенно условных, дело у них обстоит не слишком хорошо.

При разработке этого материала для учебника 7-го класса авторы не могли рассчитывать на то, что в предшествующих классах соответствующий материал изучался. Так, в начальной школе только в учебниках Л.Петерсон уделяется внимание некоторым вопросам комбинаторики, да в учебниках 5-6 классов, в которых одним из авторов является Г.В.Дорофеев, сделана попытка поговорить о статистике. И все же, главное, что определило выбор подхода к изучению вероятности в нашем учебнике - это дефицит времени, которое приходится отрывать от изучения других тем.

Материал пунктов «Равновероятные возможности», «Вероятность» и «Вероятности вокруг нас» (пункт из учебника 8 класса, дающий первоначальные представления о статистическом эксперименте) были ранее подготовлены для учебника математики шестого класса и проверялись в практике нескольких учителей математики Московской области. Проверка показала, что материал достаточно хорошо усваивается шестиклассниками, а это позволяет надеяться на его успешное изучение в седьмом и восьмом классах.