Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский городской педагогический университет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Дипломная работа

по теме: «Изучение элементов математического анализа в классах с непрофильным преподаванием математики»

Студентки

5 курса д/о

Егоровой Марии Николаевны.

Научный руководитель:

Профессор,

Доктор физико-математических наук

Семенов П.В.

Москва, 2011

Содержание

Введение

Глава 1. Научно-методические основы преподавания элементов математического анализа в старших классах с непрофильным преподаванием математики

1.1 Исторический обзор преподавания элементов математического анализа в отечественной школе

1.2 Психолого-педагогические особенности учащихся в классах с непрофильным изучением математики

1.3 Анализ введения понятия производной в учебниках и учебных пособиях для классов с непрофильной дифференциацией

Глава 2. Методика составления задач, включающих элементы математического анализа, в классах с непрофильным преподаванием математики

2.1 Основные проблемы и задачи изучения элементов математического анализа в классах с непрофильным преподаванием математики

2.2 Методика составления задач на поведение касательной к графику функции

2.3 Методика составления задач на геометрический и физический смысл производной

Заключение

Библиография

Введение

Предметом исследования данной дипломной работы является методика преподавания элементов математического анализа в курсе А для старших классов средней школы - для учащихся с непрофильной дифференциацией, или, как их традиционно называют, гуманитарного профиля. Актуальность данной работы объясняется тем, что математический анализ традиционно относится к дисциплинам, преподаваемым в высших учебных заведениях. До настоящего времени окончательно не установился единый взгляд как на необходимость преподавания начал данной области математики в средней школе, так и на то, какой объем знаний доступен школьникам и каким именно образом их следует преподавать.

Сложности при преподавании элементов математического анализа в средней школе вызваны, прежде всего, сложным понятийным аппаратом этой области математики, а также тем, что строгие формулировки и доказательства некоторых изучаемых определений и теорем требуют знаний из других областей высшей математики, которые не входят в школьный курс.

Однако проблему ни в коем случае нельзя считать неизученной. Напротив, она самым пристальным образом привлекает внимание ученых-математиков и педагогов, несмотря на то, что обобщающие работы по теме отсутствуют. Эту проблему так или иначе затрагивали такие известные математики как П.Л. Чебышев (в XIX в.), А.Н. Колмогоров (в XX в.) и целый ряд других.

Согласно принятому в 2006 г. Образовательному стандарту среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень) изучение математики в старшей школе направлено на достижение следующих целей:

«Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, пространственное воображение, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;

формирование представлений об идеях и методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений;

…понимание значимости математики для общественного прогресса».

Такие требования, безусловно, невозможно осуществить без ознакомления учащихся (в том числе в классах с непрофильной дифференциацией) с элементами математического анализа. Основной стандарт предусматривает преподавание в старших классах элементов математического анализа - целый ряд конкретных тем, в том числе в курсе А старшей школы - для учащихся с непрофильной дифференциацией (гуманитарного профиля).

Тем не менее, по настоящее время этот вопрос всегда был и остается предметом дискуссий ученых и преподавателей, т. е. вне всякого сомнения, является актуальным.

Предмет данной дипломной работы состоит в исследовании, анализе и выборе возможных ответов на вопрос, в какой степени возможно, необходимо и реализуемо учебное преподавание элементов математического анализа в классах с непрофильной дифференциацией.

Основной целью данной дипломной работы является изучение особенностей обучения математике учащихся старших классов с непрофильной дифференциацией (гуманитарного профиля), т. е. дать психолого-педагогическое обоснование темы в историческом развитии, и разработать методику преподавания элементов математического анализа в курсе А старшей школы (показать основные подходы в изучении элементов математического анализа). Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие конкретные задачи: показать историю вопроса - как осуществлялись попытки введения элементов математического анализа в курсе отечественной средней школы более чем за полтора века; изучить психолого-педагогическую литературу по поставленной проблеме - психологические особенности возраста учащихся в плане способности к восприятию данной темы; изучить существующие программы для общеобразовательной и профильной школ, в которых особое внимание уделить курсу А; провести анализ существующих школьных учебников по алгебре и началам анализа; разработать систему упражнений для достижения поставленной цели.

Исходя из целей и задач исследования работа включает: введение, основная часть, заключение и библиография. Основная часть состоит из двух глав: «Научно-методические основы преподавания элементов математического анализа в старших классах с непрофильной дифференциацией» и «Методика составления задач, включающих элементы математического анализа, в классах с непрофильным преподаванием математики», каждая из них делится на три параграфа. В первой главе предполагаются следующие разделы: Исторический обзор преподавания элементов математического анализа в отечественной школе, Психолого-педагогические особенности учащихся в классах с непрофильным изучением математики, Анализ введения понятия производной в учебниках и учебных пособиях для классов с непрофильной дифференциацией. Во второй главе предполагаются следующие разделы: Основные проблемы и задачи изучения элементов математического анализа в классах с непрофильной дифференциацией, Методика составления задач на поведение касательной к графику функции, Методика составления задач на геометрический и физический смысл производной. В заключении будут сделаны выводы по теме исследования.

В библиографии приводится список использованной литературы. При ссылке в тексте на опубликованные работы в квадратных скобках указывается номер работы, под которым она числится в списке литературы и, через запятую, номера страниц, откуда взяты сведения.

В данной работе основное внимание обращено на тему «Производная» и темы, связанные с ней, так как они наиболее доступны для учащихся классов с непрофильной дифференциацией. Допуская предельное упрощение, они, тем не менее, сохраняют свое развивающее значение. Также необходимо учитывать, что все темы, касающиеся элементов математического анализа, даются в развитии темы «Производная».

Глава 1. Научно-методические основы преподавания элементов математического анализа в старших классах с непрофильной дифференциацией

1.1 Исторический обзор преподавания элементов математического анализа в отечественной школе

Долгое время в России преподавание высшей математики, в том числе и начал математического анализа, было прерогативой высших или специальных учебных заведений (университеты, военные, военно-морские, технические училища и корпуса и т. д.). В средних общеобразовательных учебных заведениях преподавались арифметика, алгебра, геометрия.

Какие-либо элементы высшей математики отсутствовали и в учебном плане для гимназий 1828 года по математике [23, с. 402-403], и в Программе по математике для гимназий 1846 г. [23, с. 403-405] - первых общеобязательных документах подобного рода для средних учебных заведений.

Попытки ввести элементы высшей математики в гимназический курс относятся лишь к середине XIX в. Это вытекало из проекта нового гимназического устава: «В 1858 г. Ученый комитет составил первый проект нового гимназического устава. В основе этого проекта лежала ценная прогрессивная мысль: дать возможность своим ученикам гимназий уже на школьной скамье определить свою будущую специальность…» [24, с. 213] В эти годы резко возросла потребность в специалистах с техническим и естественнонаучным образованием.

«В проекте устава 1858 г. были четко сформулированы цели преподавания математики в гимназиях, - отмечает историк математики В.Е. Прудников. - Они заключались: 1) в развитии умственных способностей; 2) в сообщении сведений, необходимых для всякого образованного человека; 3) в приготовлении к специальным занятиям физико-математическими науками и приложениями их к практической деятельности. Достижение первых двух целей считалось одинаково необходимым для каждого ученика гимназии, достижение же третьей цели - необходимым только для некоторых… В зависимости от поставленных целей курс математики в гимназиях намечалось разделить на два отдела: общий и специальный… Общий отдел должен был оканчиваться в первых пяти классах, специальный являлся предметом преподавания в последних трех классах. …Кроме того, предполагалось (в курсе VI класса по алгебре) познакомить учеников с некоторыми особенно важными главами анализа (понятие функции, производная, строка Тейлора, способ линейного приближения и т. д.)…» [24, с. 215]

Это нашло отражение в Учебном плане 1858 г. по математике, который «давал возможность учащимся уже на гимназической скамье ознакомиться с элементами анализа…» [24, с. 217]

В подготовке проекта нового гимназического устава и Учебного плана 1858 г. активное участие принимал выдающийся русский ученый-математик П.Л. Чебышев, который долгое время являлся членом Учебного комитета Министерства просвещения.

Однако нововведение не прижилось. «…В течение шести лет (1858-1864) учебный план Чебышева по математике для гимназий подвергался несколько раз коренной переработке, - отмечал тот же автор. - В результате первой переработки в 1860 г. из указанного плана были исключены главы анализа…» [24, с. 219]

Причина этого, возможно, заключалась в отсутствии единой методики преподавания математики. «К середине XIX в. в России определились два основных направления в методике математики. Одно из них составляли педагоги-математики, которые считали, что главное значение в преподавании математики в школах имеет сам предмет, а не способ изложения предмета… - пишет В.Е. Прудников. - Другое направление в методике математики составляли педагоги, которые в методике обучения видели единственное спасение. Они готовы были науку на всяком шагу принести в жертву приемам изложения науки… Среди русских педагогов-математиков в первой половине XIX в. были такие, которые и «формальную» и «материальную» цели в обучении считали одинаково важными. К ним принадлежал Н.И. Лобачевский… Чебышев продолжал эту лучшую традицию отечественной методики математики…» [24, с. 238-240]

В подобном плане работали и составители учебников. В известном до революции «Руководстве алгебры и собрании алгебраических задач для гимназий» Малинина и Буренина (М., 1870) нет элементов высшей математики, в другом также широко распространенном «Курсе начальной алгебры» Краевича (СПб., 1865) есть элементы высшей математики, но начала математического анализа не затрагиваются [23, с. 552, 570-571].

Тем не менее делались попытки ввести в курс средней школы элементы высшей математики, в частности, попытки ввести понятие предела. Делалось это методом иллюстрации на материале геометрии:

«Переход от способа пропорций к способу пределов будет совершенно естественный, если понятие о геометрической переменной и ее пределе будет выясняться на определении длинны прямой несоизмеримой с единицею меры ее. В самом деле, если единицу меры разделим на n равных частей и одну из этих будем откладывать на данной прямой AB от точки A и, затем, допустим, что эта часть отложилась m раз до точки N, при чем получится остаток BN < 1/n единицы, то, при увеличении n, остаток NB будет уменьшаться, а длина AN будет увеличиваться и приближаться к AB, но никогда ее не достигнет. Выяснив таким образом значения переменных и ее пределов, следует ознакомить учащихся с главными теоремами о пределах, необходимыми для определения длины окружности и т.д.» [25, с. 466]

В бывших реальных училищах к общим математическим дисциплинам прибавлялись элементарные курсы анализа и аналитической геометрии. В 1900-е гг. под влиянием идей известного математика Клейна в России также стало развиваться движение за реформу преподавания алгебры в средней школе (Лебединцев и др.). Как надстройка и подготовительная ступень к высшей школе мыслилось введение кратких пропедевтических курсов анализа и аналитической геометрии [3, с. 402-403].

После революции 1917 г. преподавание элементов высшей математики в средних школах не предполагалось. Нужно отметить, что в первые послереволюционные годы была распространена т.н. «комплексная система» (позднее она была названа «лженаучной»): отдельные математические дисциплины также «комплексовались», в результате чего получался один «курс математики», в котором главы из арифметики, алгебры, геометрии чередовались между собой… После постановлений ЦК ВКП(б) от 5/IX 1931 и 25/VIII 1932 каждый из математических предметов получил самостоятельное существование в виде систематического курса с определенной программой» [3, с. 402-403]. Элементам высшей математики в этих курсах не было места.

Проблема введения начал математического анализа в курс отечественной среднеобразовательной школы вновь возникла в 70-е гг. XX в. Необходимо помнить, что в этот период в мировой школе обучения математике происходила т. н. модернизация школьного курса математики, связываемая обыкновенно с именем Н. Бурбаки. Некоторые специалисты впоследствии расценили конкретную реализацию этих идей как «ошибку века».

О необходимости модернизации школьного курса математики в отечественной школе говорил выдающийся ученый-математик и педагог А.Н. Колмогоров (1903-1987). Приведем несколько положений из его статьи «Современная математика и математика в современной школе», которую можно назвать программной по данному вопросу:

«Когда говорят о «модернизации» школьного курса математики, обычно имеют в виду две по существу различные тенденции:

1. Иногда речь идет о систематическом построении школьного курса на основе элементарных понятий теории множеств…

2. В других случаях центр тяжести переносится на внедрение в школьное преподавание элементов дискретной математики…

Часто, впрочем, вторая тенденция служит скорее для украшения первой и придания ей видимости неизбежного следствия из настоятельных требований практики…

Перспективные практические потребности смыкаются со стремлением к более строгому с логической стороны построению школьного курса математики в духе первой из отмеченных выше тенденций…

Совершенно необходимо точное согласование модернизации школьного курса математики со стилем употребления математики в преподавании смежных предметов…

Задача состоит в том, чтобы уже в школе убедительно показать, что «современная математика» позволяет строить математические модели (здесь и далее курсив авт. - Примеч. дип.) реальных ситуаций и процессов, изучаемых в применениях, не только не хуже, но логически последовательнее и проще, чем традиционная…» [10, с. 10-11]

О программном значении данной статьи свидетельствует тот факт, что опубликованная впервые в журнале «Математика в школе», она была затем включена в сборник «На путях обновления школьного курса математики» (М., 1978) и вновь была опубликована в журнале «Математика в школе» в связи со 100-летней годовщиной со дня рождения ученого.

А.Н. Колмогоров известен как автор учебников по математике для средней школы, по которым обучалось не одно поколение и в которых значительное место занимали начала математического анализа. При всех их положительных сторонах, большинство признавали их слишком сложными и, в конце концов, преподавание начала анализа в средней школе в 80-е гг. XX века было прекращено. Некоторые современные ученые, например академик Ю.М. Колягин, достаточно критически оценивают попытки тогдашней реформы математического образования. В его статье прямо говорится о провале реформы [11].

Полемизируя с Ю.М. Колягиным, профессор Томского университета и одновременно - член Союза журналистов СССР, член-корреспондент Академии гуманитарных наук Л.Ф. Пичурин отмечает, что «с этой строгой оценкой трудно полностью согласиться. Не все в этой реформе было так уж плохо. Общая наша беда состояла в те годы в постепенном и не очень заметном переходе от единой школы к школе единообразной и даже однообразной. Ведь уже в начале 60-х гг., когда задача послевоенного восстановления страны была полностью решена, стало ясно, что теперь, в связи с переходом к обязательному всеобщему среднему образованию, нам нужна дифференциация обучения. В рамках традиций 30-х гг., в рамках единой школы, готовящей прежде всего в технический вуз, такой переход был невозможен. <…> В условиях хотя бы незначительной дифференциации школы модернизация по А.Н. Колмогорову - А.И. Маркушевичу (едва ли стоит так уж жестоко соотносить их идеи с идеями Н. Бурбаки) оказалась бы вполне реальной и даже прогрессивной. Но сделать это быстро и для всех было нельзя!» [22, с. 8-9]

В настоящее время вопрос о введении в школьный курс математики начал анализа становится особенно актуальным в связи с попытками дифференцировать этот некогда общий курс к различным типам школ. Возникает вопрос, необходимо ли преподавать начала анализа в курсах школ гуманитарного профиля?

В этой связи интересна точка зрения известного ученого и педагога, автора оригинального пособия по математике для поступающих в вузы Г.В. Дорофеева, который считает гуманитаризацию и дифференциацию математического образования важнейшим механизмом реализации развивающей функции обучения математике. При этом он отмечает, что «Современные подходы к организации системы школьного образования, в том числе и математического образования, изначально предопределенные отказом от единообразной, унитарной средней школы, ориентированы на гуманизацию и гуманитаризацию школьного образования. При этом гуманитаризация школьного математического образования реализуется как гуманитарная ориентация обучения математике… (здесь и далее жирный шрифт авт. - Примеч. дипл.) Являясь одним из основополагающих принципов новой концепции обучения математике в школе, гуманитарная ориентация, образно говоря, может быть выражена тезисом: «Не ученик для математики, а математика для ученика»…» [8, с. 16].

При этом Г.В. Дорофеев при отборе содержания гуманитарно ориентированного курса математики предполагает включить в него в частности «Начала математического анализа: измерение величин, действительные числа, приближения и приближенные вычисления, числовые функции, производная, интеграл, дифференциальные уравнения» [8, с. 34].

Л.Ф. Пичурин отмечает разные задачи при изучении математики в школах физико-математического, технического и гуманитарного профиля:

«…Школы физико-математического, технического профиля должны готовить в вуз, не подменяя его… Совершенно иные задачи в изучении математики стоят перед школами гуманитарного профиля… Нельзя даже ставить задачу обучения математике в гуманитарной школе как задачу уменьшения объема знаний и облегчения содержания курса пропорционально отведенному времени. Однако в реальности она именно так и ставиться: «Коль вместо шести часов отведено три или два, то и на каждую тему оставим в два или три раза меньше времени, соответственно убрав какие-то доказательства, сняв обобщения, упростив задачи; но все остальное - список тем, характер изложения и т. д. - оставим в стандартном виде». Увы, именно так многие понимают «реформу» обучения математике в гуманитарных школах.

Представляется, что для определения целей и содержания курса математики в гуманитарных школах следует ответить на кажущийся простым, но очень нелегкий вопрос о том, зачем вообще люди занимались и занимаются математикой…» [22, с. 9]

В определенном смысле, отмечает Л.Ф. Пичурин, «математика есть чисто гуманитарная наука, она есть глава философии, и именно поэтому, а не ради умения выполнять практические бытовые подсчеты человек должен овладеть ею… Для использования в повседневной жизни человеку вполне достаточно знаний практической арифметики и наглядной геометрии, которые дает начальная школа, но для полноты духовной жизни ему нужно из математики очень многое» [22, с. 10]. Эти мысли, на наш взгляд, перекликаются с идеями Г.В. Дорофеева.

Как следствие, необходима выработка специального курса математики для средних учебных заведений гуманитарного профиля: «Представляется совершенно необходимой не формальная, а содержательная дифференциация обучения математике. Ее начало - тщательная разработка принципиально различных программ для двух (пока!) основных направлений обучения. С программами обучения в школах математического направления ситуация представляется более или менее очевидной. <…> Иное дело - вопрос о содержании курса математики, учебниках, методике обучения, подготовки учителей для гуманитарных школ. На наш взгляд, этот вопрос по-настоящему серьезно нигде не ставился, а споры на эту тему ведутся лишь теми, кого Ю.М. Колягин относит к нашим "инноваторам" и нашим "педагогическим верхам"» [22, с. 11].

Методические проблемы изучения элементов математического анализа в общеобразовательной школе затронул в ряде своих работ ученый и педагог А.Г. Мордкович. «Споры о том, должны в школьном курсе математики присутствовать элементы математического анализа или нет, на сегодняшний день можно считать законченными: должны. - писал он еще десять лет тому назад, - Проблема в другом: какие элементы математического анализа включить в программу 10-11 классов и на каком уровне их изучать» [17, с. 64].

В своей более поздней работе А.Г. Мордкович дал подробную концепцию изучения в школе элементов математического анализа: «Предел, производная, интеграл… Должны эти понятия включаться в программу школьного курса математики или нет? Если да, то в чем их воспитывающая и развивающая ценность для школьников, в каком объеме и на каком уровне строгости излагать их в школьных учебниках и на уроках алгебры и начала анализа? Что делать с понятием «предел» - этим своеобразным жупелом как для учителей математики, так и для функционеров от математического образования. Как преодолевать методические трудности изучения в школе элементов математического анализа. Эти вопросы постоянно находятся в зоне повышенного внимания педагогической общественности…

В методике преподавания математики есть три ключевых вопроса: что преподавать? как преподавать? зачем преподавать? Главный из этих вопросов - последний, но именно он долгое время был не самым актуальным. Оно и понятно: в авторитарном обществе (в котором все мы так долго жили) не обсуждают зачем, обсуждают только что и как. В современном обществе на первое место выходит вопрос зачем…

Если в недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании - обучение, передача информации, то сегодня социальный заказ заключается в том, что главное в образовании - развитие… Поэтому если раньше учили математике, то сегодня учат математикой (это, конечно, полемическое передергивание, точнее будет сказать так: надо учить математике и математикой)» [18, 79-80; см. также: 16, с. 26].

В подтверждение своих слов автор несколько раз ссылался на одного из крупнейших математиков современности академика В.И. Арнольда, на его доклад «Жесткие и мягкие математические модели» (сент. 1997 г.), который содержит важные мысли о проблемах математического образования. «По его мнению, - пишет А.Г. Мордкович, - основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций (что как раз и является стержневой идеей нашего курса алгебры 7-11), а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, так как это - основные понятия языка, на котором говорит природа, определенный золотой фонд общечеловеческой культуры. Безусловно, выпускник средней школы должен иметь представления о пределе и производной, о их применении для исследования реальных процессов. В то же время относительно первообразной и интеграла такой уверенности у меня нет, элементы интегрального исчисления присутствуют в нашем учебнике (и в задачнике) только потому, что они есть в государственной программе» [18, 87; см. также: 16, с. 26-27].

А.Г. Мордкович касается и третьего вопроса, каким должен быть уровень предъявления школьнику элементов математического анализа.

«Сейчас почти никто не оспаривает тезис о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями. В учебном предмете не обязательно соблюдать законы математики (например, такие: все начинается с аксиом, нельзя начинать изучение теории без строгого определения основного понятия, все утверждения надо доказывать и т.д.), зачастую более важны законы педагогики и особенно психологии» [16, с. 27-28].

А.Г. Мордкович полностью разделяет слова академика В.И. Арнольда, который в брошюре «Жесткие и мягкие математические модели» пишет, что «…доминирование математиков[-исчислителей]… привело к засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно в преподавании…» И еще одна цитата: «Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе какого-либо другого преподавания математики» [18, 87; см. также: 16, с. 31].

В общеобразовательной школе преподавание математики, особенно элементов математического анализа должно в большей степени опираться на иллюстрации, наглядность, правдоподобные рассуждения, т.е. на правое полушарие мозга, что требует от преподавателя творческого подхода [18, 87].

Эти мысли автор неоднократно повторял и на страницах журнала «Математика в школе»: «Предел, производная, интеграл… Должны эти понятия включаться в программу школьного курса математики или нет и если да, то в чем их воспитывающая и развивающая ценность для школьников и в каком объеме и на каком уровне строгости излагать их в школьных учебниках и на уроках алгебры и начала анализа…» [20, с. 2]

По мнению А.Г. Мордковича, «одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, ведь это - основные понятия языка, на котором «говорит природа», определенный золотой фонд общечеловеческой культуры. Безусловно, выпускник средней школы должен иметь представления о производной, о ее применении для исследования реальных процессов. Относительно первообразной и интеграла такой уверенности у меня нет…» [18, 80; см. также: 20, с. 2].

Основные трудности в преподавании начал математического анализа в средней школе А.Г. Мордкович видит в методике преподавания:

Поскольку, как говорилось выше, школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями, то в нем возможны четыре уровня обоснования тех или иных свойств, утверждений, фактов:

1) принятие на веру…

2) наглядно-интуитивный уровень…

3) правдоподобные рассуждения…

4) формально строгое доказательство.

Основная трудность в работе учителя математики при изложении начал анализа состоит, на взгляд автора, в адекватном и концептуальном выборе уровня строгости предъявления материала школьникам [18, 80-81; см. также: 20, с. 2-3].

Тем не менее, в своих методических рекомендациях по изучению курса алгебры и начал анализа в X-XI классах общеобразовательной школы А.Г. Мордкович рассматривает вопрос ознакомления учащихся с понятиями как производной, так и первообразной. В рекомендациях по поурочному планированию для X класс (3 ч в неделю), тема 4: Производная (37 ч) ставит основной целью «познакомить учащихся с новой математической моделью - производной, показать приложения производной для решения геометрических и физических задач, для исследования свойств функции и построения графиков функций; при этом основное внимание уделяется не формальному аппарату (техника дифференцирования), а содержательным интерпретациям, имеющим большой общекультурный и развивающий потенциал. Понятие предела вводится на наглядно-интуитивной основе…». Те же рекомендации для XI класса (3 ч в неделю), тема 1: Интеграл (9 ч) предполагает как основную цель «познакомить учащихся с понятием первообразной, с общим видом первообразных для данной функции, с простейшими свойствами первообразной (неопределенный интеграл при этом рассматривается как удобное и общепринятое обозначение для множества всех первообразных); дать учащимся представление об определенном интеграле, о его вычислении с помощью формулы Ньютона-Лейбница, о его использовании для вычисления площадей криволинейных трапеций…» [19, с. 13]

Методическим вопросам преподавания математики было посвящено одно из заседаний проходившего в Москве в 2002/03 учебном году семинара «Передовые идеи преподавания математики в России и за рубежом»:

«Заключительное заседание 15 мая было посвящено обсуждению одной из фундаментальных проблем, стоящих перед математикой и педагогикой - как и на каких принципах должен быть построен процесс обучения математике, чтобы он позволял каждому учащемуся овладеть всеобщими основами математической культуры, а не загромождать память «частным набором» стандартных знаний и умений. С докладом на эту тему выступил А.Г. Симакин (Москва). Он достаточно аргументировано отстаивал идею о том, что методической основой процесса обучения должны стать постановка проблем и поиск их решения, ибо только проблемное обучение способно возбудить и развить ум учащегося» [27, с. 78-79].

Таким образом, на наш взгляд, проблему ни в коем случае нельзя считать неизученной. Напротив, она самым пристальным образом привлекает внимание ученых-математиков и педагогов, т. е. вне всякого сомнения, является актуальной.

1.2 Психолого-педагогические особенности учащихся в классах с непрофильным изучением математики

Для решения вопроса о возможности преподавания элементов математического анализа в средней школе, особенно для учащихся, малоспособных к математике, необходимо обратиться к вопросу о психологических особенностях такой категории учащихся.

Изучение этого вопроса активно велось с начала 60-х гг. XX века. К настоящему времени накоплен определенный опыт исследований, в частности работы В.А. Крутецкого [12, 13, 14, 15], которые в основе и рассмотрены в данном разделе работы.

В его исследованиях изучена проблема «математической неспособности» учащихся, в чем она конкретно проявляется и в чем заключается ее природа [14, с. 5]. При этом автор подчеркивает, что «речь идет об относительной неспособности школьников к математике. Абсолютной неспособности к математике, своего рода "математической слепоты" не существует» [14, с. 6]. Относительная неспособность к математике, по мнению автора, заключается в том, что изучение математики дается учащимся с трудом, они не могут рассчитывать на большой успех в математической деятельности, как в смысле быстроты продвижения, так и уровня достижений.

Значительную часть учащихся т. н. «гуманитарных классов» составляют именно такие «малоспособные к математике» ученики.

В первую очередь, способность к математике связана с соотношением первой и второй сигнальных систем, точнее - с уровнем развития второй сигнальной системы. Способными математиками могут быть и представители «мыслительного» типа и представители «художественного» типа при условии хорошего развития второй сигнальной системы. Соотношение же сигнальных систем определяет различные структуры математических способностей [14, с. 6-7].

О связи способностей к математике и особенностей высшей нервной деятельности говорят и многие современные ученые и педагоги. В частности, один из крупнейших математиков современности академик В.И. Арнольд в своей брошюре «Жесткие и мягкие математические модели» пишет: «Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое - за пространственную ориентацию, интуицию и все, необходимое в реальной жизни. У "математиков-исчислителей" гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого… Мягкое моделирование требует гармонической работы обоих полушарий мозга». Аналогичное мнение приводит известный автор ряда учебников А.Г. Мордкович: «Меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие мозга!» [19 , с. 87]

В результате экспериментального исследования В.А. Крутецким выделены шесть основных типов учащихся, малоспособных к математике, в плане относительного развития и соотношения наглядно-образных и словесно-логических компонентов в структуре математической деятельности.

1-я группа характеризуется весьма низким уровнем развития и наглядно-образных и словесно-логических компонентов в структуре математической деятельности. При общей недостаточности развития того и другого компонента все же заметно преобладает словесно-логический:

1) Слово превалирует над образом, словесные впечатления значат больше, чем наглядные, хотя они и не являются достаточно сильными.

2) Слабая дифференцировка внешне (зрительно) сходного материала при сравнительно более высоком уровне дифференцировки словесно-логического материала, наглядные математические представления и образы носят зачастую плохо дифференцированный, глобальный характер.

3) Способность к наглядным представлениям как планиметрического, так и стереометрического характера развита очень слабо.

4) Математическая мысль очень мало опирается на наглядные образы.

5) Предпочтение словесно-логического пути решения задач без опоры на наглядные образы.

6) Переключение из конкретно-наглядного плана интеллектуальной деятельности в словесно-логический осуществляется с меньшими трудностями, чем обратное переключение.

7) Склонность к абстракции в математике (хотя она и не слишком ясно выражена), стремление отвлечься от конкретных значений, несущественных признаков.

8) Довольно определенно выражена склонность к обобщению, но чаще всего несовершенному, поспешному.

9) При общей слабости процессов анализа и синтеза анализ все-таки оказывается более развитым, погруженные в анализ (часто несовершенный) ученики мало способны к синтетическому восприятию алгебраических выражений.

10) Школьники этого типа не отличаются хорошей математической памятью, но при этом словесно-логический материал запоминается лучше, чем наглядно-образный.

2-я группа характеризуется преобладанием наглядно-образных компонентов над словесно-логическими при слабом развитии последних. В ее пределах выделяются две модификации: над слабыми словесно-логическими компонентами преобладают слабые же наглядно-образные, слабые словесно-логические компоненты буквально подавляются сильно развитыми наглядно-образными.

2а подгруппа характеризуется весьма низким уровнем развития и наглядно-образных и словесно-логических компонентов в структуре математической деятельности, но первый компонент все-таки преобладает:

1) Образ превалирует над словом. Наглядные впечатления, не будучи достаточно сильными, все-таки значат больше, чем словесные.

2) Лучшая дифференцировка внешне (зрительно) сходного материала, подобная дифференцировка словесно-логического материала очень несовершенна, а порой вообще беспомощна.

3) Способность к наглядным представлениям выражена довольно слабо, но лучше чем у 1-ой группы.

4) Математическая мысль нуждается в постоянной опоре на наглядные образы и фактически стремится опереться на них.

5) Предпочтение наглядно-образного пути решения задач и значительно реже прибегают к рассуждению без опоры на наглядные образы.

6) Переключение из конкретно-наглядного плана интеллектуальной деятельности в словесно-логический осуществляется с трудом, обратный путь сравнительно легче.

7) Весьма труден процесс абстракции в математике, даже тогда, когда чувственная база такой абстракции является вполне достаточной.

8) Обобщение - очень трудный процесс.

9) Слабость процессов анализа и синтеза в простейших формах математической деятельности.

10) Не отличаясь хорошей математической памятью, школьники запоминают и сохраняют наглядно-образный материал явно лучше, чем словесно-логический.

2б подгруппа характеризуется резким преобладанием хорошо развитых и наглядно-образных компонентов над слабыми словесно-логическими, что накладывает своеобразный отпечаток на характер интеллектуальной деятельности учащихся: в одних случаях наглядно-образный компонент своеобразно компенсирует функции словесно-логического, в других - буквально подавляет словесно-логический компонент, в третьих - своеобразно активизирует словесно-логическую деятельность. Характерные особенности этого типа учащихся:

1) Образ явно преобладает над словом. Сильные наглядные впечатления часто тормозят словесно-логическую деятельность.

2) Довольно хорошая дифференцировка внешне (зрительно) сходного материала, подобная дифференцировка же словесно-логического материала проходит на весьма низком уровне.

3) Наличие хорошо развитых, ярких и четких наглядных представлений, умение вызывать мысленный образ объекта, опираться на него при решении математических задач.

4) Математическая мысль нуждается в постоянной опоре на наглядные образы и становится беспомощной, когда такая опора отсутствует.

5) Избрание наглядно-образного пути решения задач и нежелание прибегать к рассуждению, к которому обращаются только вследствие неудачных попыток опереться на образ.

6) Переключение из конкретно-наглядного плана интеллектуальной деятельности в словесно-логический осуществляется с большим трудом, зато обратный путь проделывается легко.

7) Процесс абстракции в математике труден, поскольку означает отвлечение от того, в чем школьник как раз силен и что придает ему известную уверенность.

8) Учащиеся этого типа сталкиваются с большими трудностями в процессе обобщения (в плане словесно-логическом), они скорее видят, чем соображают.

9) Аналитико-синтетическая деятельность сильнее выражена в первой сигнальной системе, чем во второй.

10) Хорошая память на наглядно-образный материал и значительно худшая память в сфере словесно-логической.

3-я группа характеризуется относительным равновесием наглядно-образных и словесно-логических компонентов мыслительной деятельности, при сравнительно низком уровне развития и тех и других. Она занимает среднее положение между 1-й группой и подгруппой 2а.

1) В большинстве случаев ничего нельзя сказать о преобладании слова над образом или образа над словом.

2) Испытуемые с трудом дифференцируют и наглядно-образный и словесно-логический материал.

3-5) способность к наглядным представлением очень невелика.

6) Переключение из наглядно-образного плана интеллектуальной деятельности в словесно-логический или обратно осуществляется одинаково с известными трудностями, учащимся трудно и опереться на образ и оторваться от образа.

7-8) Абстрагирование от конкретных значений, отвлечение от несущественных признаков, обобщение существенных признаков представляют серьезные трудности, иногда обобщение бывает поспешным, необоснованным, иногда, наоборот, задержанным.

9) Относительно преобладания синтеза или анализа или склонности к тому или другому нельзя сказать ничего определенного.

10) Школьники этой группы не отличаются хорошей математической памятью, нельзя определить сколько-нибудь существенной разницы в эффективности запоминания словесно-логического и наглядно-образного материала.

4-я группа характеризуется явно выраженным преобладанием хорошо развитых словесно-логических компонентов над слабо развитыми наглядно-образными. Слово играет доминирующую роль в структуре интеллектуальной деятельности, а наглядные образы, конкретные впечатления - сугубо подчиненную роль. Логичность в каком-то смысле заменяет образность. Словесные формулировки усваиваются вполне удовлетворительно, и именно они своеобразно организуют математическую деятельность. Варьирование несущественных признаков помогает школьникам выделить и обобщить существенные признаки. Но слово иногда отрывается от действительности: хорошо зная формулы и хорошо анализируя их в словесно-логическом плане, ученики нередко начинают путаться, как только переходят к выполнению конкретных действий. Процессы абстракции и обобщения не представляют особых трудностей, но часто обобщение не имеет достаточной чувственной опоры. Анализ заметно преобладает над синтезом. Словесно-логическая, обобщенная память развита вполне удовлетворительно, в то время как наглядно-образный материал запоминается и сохраняется с трудом, за исключением случаев особой выразительности.

5-я группа характеризуется равновесием относительно хорошо развитых наглядно-образных и словесно-логических компонентов, которые гармонично сочетаются при ведущей и организующей роли последних. Формулировки, правила и соответствующие им конкретные действия без особого труда связываются в единую систему. Дифференцировка словесно-логического и наглядно-образного материала всецело зависит от сложности объекта, количества и качества варьирующих признаков. Отмечается способность к наглядным представлениям, хотя она часто недостаточно тренирована. Планиметрические представления находятся на более высоком уровне, чем стереометрические. В зависимости от характера задач видно, предпочитает ли ученик наглядно-графические средства или обходится без них. Переход из конкретно-наглядного плана мышления в словесно-логический и обратно осуществляется с трудностями примерно одинакового уровня. Процессы абстракции и обобщения оптимальнее всего протекают в условиях правильной вариации несущественных признаков при наличии достаточной чувственной базы. Отсутствует преимущественная склонность к анализу или синтезу. Математическая память находится на уровне, обеспечивающем более или менее успешное изучение школьного курса математики.

Экспериментальные исследования [5; 12; 13; 14; 15] позволили сделать вывод, что различные типы «математической неспособности» определяются слабостью второй сигнальной системы, а особенности этой неспособности определяются соотношением сигнальных систем. В частности это соотношение определяет: 1) специфические трудности, возникающие в процессе изучения математики; 2) специфические ошибки, которые допускает ученик; 3) специфический путь обобщения математических отношений.

Соответственно этому существуют различные пути преодоления указанных трудностей, различные методические приемы [14, с. 58-61]. Изучению этой проблемы - установлению специфики малоспособности к математике и поиску путей ее преодоления - было посвящено другое исследование В.А. Крутецкого [15]. Оно показало, что основным компонентом (определяющим многие другие особенности умственной деятельности малоспособных к математике учеников) является неспособность к обобщению математического материала. Малоспособным к математике учащимся доступна лишь элементарная степень обобщения математического материала. Более высокий уровень обобщения (минимально необходимый для сколько-нибудь удовлетворительного овладения математикой) наступал лишь постепенно, в результате очень большого труда и при прямой помощи экспериментатора. В ряде случаев такое обобщение возникало только в результате специально организованной экспериментатором работы. В трудных случаях обобщение не возникало совсем [15, с. 72].

При этом исследователь установил, что неспособность к обобщению математического материала - это не отсутствие обобщающей способности вообще, а отсутствие обобщающей способности только в сфере математических величин, отношений и символов. Дело не в слабости отвлеченного мышления вообще как такового, а в слабости его в области математических категорий и отношений [15, с. 77].

Неспособность к обобщению математического материала тесно связана с другой психологической особенностью, характеризующей умственную деятельность малоспособных к математике учащихся в другом мнемическом плане, слабостью памяти на математические обобщения. Речь идет не о том, что у малоспособных к математике учащихся плохая память, и не о том даже, что у них плохая память на обобщения, ее недостаточность обнаруживается только в операциях с математическим материалом, проявляется только в сфере математических отношений и символов [15, с. 78].

Еще одна особенность умственной деятельности малоспособных к математике учеников - ярко выраженная затрудненность в переключении от одной умственной операции к другой, своеобразная скованность их математического мышления. Указанная особенность также не является общей, она может проявляться, а может и не проявляться в других областях знания [15, с. 81-82].

Иначе говоря, для малоспособных к математике учеников характерно, что сформировавшиеся у них математические обобщения, способы решения, определенный, принятый ими ход мысли оказывает тормозящее влияние на формирование близких обобщений, новых способов решения или новых ходов мысли.

Основываясь на результатах экспериментов, В.А. Крутецкий предлагает некоторые пути преодоления неспособности к математике. В первую очередь, исследователь склонен считать, что речь должна идти не столько об изменении или о развитии способностей, сколько о преодолении неспособности к математике. Основной эффект надо отнести за счет приемов формирования математических обобщений при наличии неспособности к ним. Иными словами, нужно дать ответы на вопросы: 1) как у школьников, неспособных к математике, развить способность к обобщению математического материала более высокого уровня и 2) каковы пути формирования у них математических обобщений [15, с. 87-88].

Во-первых, школьникам, неспособным к математике, требуется иначе преподносить математический материал. Для создания эффективной методики обучения, необходимо использовать различные приемы, различные пути обучения по отношению к ученикам, обладающим разною степенью развития способностей. В игнорировании этого исследователь видит недостаток многих методических руководств.

Во-вторых, для разных типов учеников, неспособных к математике, существует свой, специфический путь обучения. Поэтому к необходимому уровню математических обобщений можно и нужно идти в процессе обучения разными путями.

Общая идея при выработке конкретных методических путей может быть выражена в следующей форме: следует основываться на тех особенностях, которые в мышлении ученика являются более сильной стороной и, отталкиваясь от них, преодолевать специфические слабости его математического мышления.

Как пример, автор выделяет две группы учащихся: с преобладанием наглядно-образного компонента над словесно-логическим и с преобладанием словесно-логического компонента над наглядно-образным. Для первой группы наиболее оптимальным путем формирования математических обобщений является обобщение на основе наглядности (автор условно называет его индуктивным), для второй группы - обобщение на основе словесной формулировки (автор условно называет его дедуктивным) [15, с. 90-91].

Исследователь предлагает и специальные методики, направленные на развитие способностей учащихся к математике или на компенсацию малоспособности за счет иных ресурсов психической деятельности.

В этой связи уместно вспомнить высказывание А.Г. Мордковича: «…Больше иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга!» [19 , с. 88]

Применительно к теме нашей работы материалы исследований самого В.А. Крутецкого и других исследователей, использованные им, позволяют сделать следующие выводы:

1) в классах гуманитарного профиля преобладают учащиеся, малоспособные к математике;

2) сами по себе элементы высшей математики, в т. ч. функциональная линия и исследование функции, не являются чем-то принципиально сложным и новым в школьной программе;

3) для успешного усвоения учащимися, малоспособными к математике, элементов высшей математики в школьной программе необходима специальная методика, учитывающая особенности различных типов учащихся.

1.3 Анализ введения понятия производной в учебниках и учебных пособиях для классов с непрофильной дифференциацией

В данной главе сделана попытка проанализировать методику изложения элементов математического анализа в учебниках и учебных пособиях для классов с непрофильной дифференциацией. Основное внимание привлекает тема «Производная» как наиболее доступная для подобного рода учащихся.

Основным элементом математического анализа, который вводится для учащихся средней школы, является понятие производной. Понятие предела, первообразной, интеграла и дифференциала, даются в развитие этого понятия. В этом параграфе речь пойдет о различных вариантах изложения этой темы в учебниках.

Из числа учебных пособий, допущенных Министерством образования РФ для преподавания математики по курсу А в старшей школе, в первую очередь следует отметить Учебное пособие для 10-11 кл. гуманитарного профиля В.Ф. Бутузова, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина и др.

В учебнике математики В.Ф. Бутузова элементам математического анализа посвящены третья («Разность и дифференциал, сумма и интеграл») и четвертая («Как измеряются и вычисляются объекты») главы. В первой из них рассказывается о производной, дифференциале и интеграле, во второй - говорится об их практическом применении, прежде всего, для вычисления площадей и объемов различных фигур. Авторы учебника стремятся не только к предельной простоте изложения, но и к его увлекательности. Об этом говорят даже названия отдельных подразделов: «Как измерить объем крокодила», «Объемы туристской палатки и других многогранников», «Надгробие на могиле Архимеда» и т.п.