Изучение элементов математического анализа в классах с непрофильным преподаванием математики

Для изучения математики по курсу А Министерством Образования РФ рекомендованы учебники:

1. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. 10 кл., Математика. 11 кл.:Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. [21]

2. Вернер А.Л., А.П. Карп Учеб. пособие для 10 кл. гуманит. профиля, Учеб. пособие для 11 кл. гуманит. профиля М.: Просвещение, 2001. [6]

В этих учебниках особое внимание уделяется идейной стороне рассматриваемых вопросов, а достижение высокого уровня развития вычислительных навыков не считается столь важным. Материал в этих учебных пособиях вводится на наглядно-интуитивном уровне.

Рассмотрим учебник « Математика. 10» Мордкович А.Г., Смирнова И.М.:

Интересующая нас тема представлена главой 4-ой («Производная»)

В этой главе происходит первое знакомство учащихся с разделами высшей математики. Вводится понятие предела функции, анализируется, как ведет себя функция в своей области определения (глобальный подход) и около конкретной точки (локальный подход).

I. Вводится понятие предела функции на бесконечности и в точке, понятие приращения функции и приращение аргумента. Подготавливается введение понятия «Производная».

II. Рассматривается физическая задача о вычислении мгновенной скорости прямолинейного движения.

Задача: По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой s=s(t), где t - время (в секундах), s(t) - положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

В результате решения этой задачи получают:

.

III. Объясняется (без точного определения), что будет пониматься под касательной к произвольной плоской кривой.

Дана кривая L (рис. 1), на ней выбрана точка M. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к M, - точку P. Проведем секущую MP. Далее будем приближать точку P по кривой L к точке M. Секущая MP будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки M. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некоторое предельное положение секущей, эту прямую - предельное положение секущей - называют касательной к кривой L в точке M.

IV. Дается задача о проведении касательной к графику функции.

Задача: Дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a, f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (предполагается, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

В ходе решения задачи получаем, что .

V. В процессе решения задачи о скорости и задачи о касательной пришли к новой математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. В учебнике вскользь сказано о том, что многие задачи из других областей знаний приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучать, то есть:

1) присвоить ей новый термин,

2) ввести для нее обозначение,

3) исследовать свойства новой модели.

VI. Дается определение производной.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в конкретной точке х и некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение ?x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции ?x и составим отношение. Если существует предел этого отношения при условии, что ?x > 0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x и обозначают .

Итак, .

VII. После введения определения производной в точке устанавливается, что если указанный предел существует, то можно рассматривать функцию y=f`(x), заданную на этом множестве указанным равенством.

VIII. Объясняется физический (механический) смысл производной: если s(t) - закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t - v=s`(t).

Геометрический смысл производной: если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f`(x) выражает угловой коэффициент касательной - k=f`(x).

IX. Дается истолкование определения производной с точки зрения приближенных равенств:

Приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициент пропорциональности является значением производной (в заданной точке x).

X. Дается пяти-шаговый алгоритм отыскания производной. Затем рассматриваются два примера на использование этого алгоритма.

XI. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, название операции нахождения производной.

XII. Обсуждается вопрос: как связаны между собой два достаточно тонких свойства функции - непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

XIII. Ставится задача, как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции:

Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема.

Итак, изучение темы «Производная» начинается в учебнике с двух классических задач - задачи о скорости и задачи о касательной, процесс решения которых приводит к новой математической модели - .

При изучении производной особое внимание уделяется этой модели, ее геометрическому и физическому истолкованию. В учебнике обращается внимание на то, как снимать с графика функции информацию о ее дифференцируемости (переход от геометрической модели (графика) к вербальной (словесной)).

Понятие производной в учебнике изучается постепенно: сначала на наглядно-интуитивном уровне, потом на рабочем (описательном) и только после этого выходит на формальный уровень. Понятие предела, которое лежит в основе определения производной, в учебнике не дается на формальном уровне. Определение предела числовой последовательности вводится сначала на наглядно-интуитивном, а затем на рабочем уровне. Определения же предела функции, как на бесконечности, так и в точке, остаются на наглядно-интуитивном уровне.

Большинство проводимых в учебнике рассуждений не претендует на формальную строгость, а являются лишь правдоподобными рассуждениями, например, обсуждение вопроса о том, как связаны между собой такие свойства функции как непрерывность и дифференцируемость.

Итоги анализа. Изложение темы «Производная» в учебнике представлено на наглядно-интуитивном, рабочем и формально-логическом уровне. Определение производной дается с использованием понятия предела, которое вводится перед изучением данной темы на наглядно-интуитивном уровне.

Рассмотрим учебник «Математика 11» А.Л. Вернера и др. Интересующая нас тема представлена следующими главами: 6-й («Элементы математического анализа») и 7-й («Элементы вычислительной геометрии»).

I. Осуществляется повторение определения линейной функции.

Вводится понятие углового коэффициента. Вводится понятие возрастающей и убывающей линейной функции в зависимости от знака углового коэффициента.

Далее говорится о том, что для задания линейной функции достаточно указать угловой коэффициент соответствующей прямой и какую-либо точку, через которую она проходит, или две точки. Разбираются примеры и делается вывод, что для любой прямой можно взять на ней две точки с координатами и и переписать уравнение прямой

, где , .

Подчеркивается, что выражение углового коэффициента в виде дает возможность прояснить его геометрический смысл. Вводится понятие угла наклона как угла, образованного прямой с положительным направлением оси абсцисс, и определение:

«Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла ее наклона к оси абсцисс»

II. Вводится понятие касательная к графику функции

Этот пункт является ключевым для формирования понятий «касательная» и «производная». Основная идея изложения - замена кривой отрезком прямой. Применяя эту идею при рассмотрении параболы , получаем:

вблизи точки (1;1) для числа , где очень мало,

. - очень мало, отбросим эту величину и запишем приближенное равенство: , или . И т. д.

Для точки и , запишем равенство:

;

.

«Прямая, задаваемая уравнением , называется касательной к графику функции в его точке с абсциссой . Точку называют точкой касания.»

Подготавливается введение понятия касательная в общем случае: аналогичные рассуждения применяются для функции .

III На наглядно-интуитивном уровне вводится понятие предела функции в точке, дается его обозначение, разбирается решение простейших задач: и т. д.

IV Вводятся понятия «производная» и «касательная». Необходимость введения понятия «производная» мотивируется утверждением, что угловой коэффициент прямой, «близко примыкающей» к графику функции f вблизи точки x₀, равен .

V Производится вычисление производных в простейших случаях, вводятся новые обозначения, обсуждается вопрос, что функция может и не быть дифференцирована в точке.

VI Раскрытие физического смысла производной как скорости на примере следующих задач:

1. Точка движется по прямой, зависимость ее перемещения от времени выражается формулой . Найти скорость точки через 3 секунды, в момент времени . Вывод: .

2. Вещество вступает в химическую реакцию. Зависимость его массы от времени выражается формулой . Как определяется скорость протекания реакции в момент времени ? Т. е. демонстрируется полезность разработанного языка в задачах естествознания.

VII Основные сведения о вычислении производных приводятся как правило без доказательств, а подтверждающие рассуждения не являются обязательными. Целью изучения является скорее демонстрация возможности вычисления производных в различных случаях, чем достижение устойчивого умения. На основе производных некоторых функций, найденных в § 1 вводятся без доказательства правила дифференцирования функций:

Дается таблица производных основных элементарных функций. Вычисляются производные основных функций, на примере конкретных задач вводится производная от сложной функции и вторая производная.

Демонстрируется полезность введенных понятий, широту их применений, многообразие вопросов, на которые удается ответить с их помощью. Все время подчеркивается наглядный геометрический смысл утверждений. При этом решаются технически достаточно простые задачи.

Изложение понятия «производная» осуществляется с опорой на его геометрический смысл. Определение предела вводится на наглядно-интуитивном уровне. Традиционные задачи естествознания рассматриваются лишь в заключении как еще одно подтверждение важности введенного понятия. Авторы учебника придерживаются мнения, что для учащихся гуманитарных классов гораздо важнее понять наглядный смысл рассматриваемых понятий и необходимость их введения, чем научиться в дальнейшем проводить сравнительно сложные вычисления производных.

Преподавание общеобразовательного курса Министерством образования РФ допускается также с использованием ряда других многопрофильных учебников. Рассмотрим некоторые из них:

«Алгебра и начала анализа 10-11» кл. под ред. А.Н. Колмогорова.

Элементам математического анализа отводится значительная часть известного учебника Колмогорова: глава II («Производная и ее применение»), глава III («Первообразная и интеграл») и часть главы IV (Раздел 44-й: «Понятие о дифференциальных уравнениях»).

I. Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия «гладкой» кривой. Графики функций, которые они изучали ранее (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности, корень) являются «гладкими» кривыми.

II. Выясняются особенности устройства «гладкой» кривой. Для решения поставленной задачи строятся графики функций y=x² и y=2x-1, затем увеличивается единица масштаба сначала в 10 раз, потом в 100 раз. На основе этого делается вывод:

При значении аргумента близких к 1, график функции y=x² практически не отличается от маленького отрезка прямой y=2x-1, то есть точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

III. Дается понятие о касательной:

Прямую, проходящую через точку (x₀, f(x₀)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях x близких к x₀, называют касательной к графику функции f в точке (x₀, f(x₀)).

IV. Для объяснения геометрического смысла производной ставится задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.

Эта задача рассматривается на примере функции y=x².

В ее решении на интуитивном уровне показывается, что график этой функции в малой окрестности точки x₀ близок к отрезку касательной l. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты секущих, проходящих через точки (x₀, x₀²) и (x₀+?x, (x₀+?x)²), будут близки к угловому коэффициенту касательной - k, если ?k будет неограниченно приближаться к нулю (то есть точка x приближается к x₀).

Угловой коэффициент k(?x) секущей, походящей через точки (x₀, y(x₀)) и (x₀+?x, y(x₀+?x)), равен .

Для функции y=x²:

k(?x) = = = =

Остается выяснить, к какому значению близок k(?x), если ?x приближается к нулю. Очевидно, что k(?x) близок к 2x₀. Следовательно, при очень малых значениях ?x угловой коэффициент секущей близок к 2x₀. При x₀=1 получаем k=2. Учитывая то, что искомая касательная проходит через точку (1, 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: y=2x-1.

Вывод: можно точно определить для каждой гладкой кривой положение касательной в данной точке.

V. Для объяснения механического смысла производной решается задача об определении мгновенной скорости движения.

Если движение равномерное, то в любой момент времени скорость есть отношение пройденного пути ко времени.

Если движение не равномерно, то механический смысл производной иллюстрируется более сложной задачей.

Задача: Найти мгновенную скорость тела, брошенного вверх со скоростью v₀. Высота его в момент t находится по формуле h(t)= v₀t-gt²/2.

1..

2..

3. Уменьшаем ?t, приближая его к нулю, в этом случае значение тоже стремится к нулю. А поскольку v₀-gt₀ постоянны, то получаем

 при

Итак, .

VI. Составляется общая схема решения рассмотренных выше двух задач:

1. С помощью формулы, задающей функцию f, находим ее приращение в точке x₀:

2. Находим выражение для разностного отношения .

3. Выясняем, к какому числу стремится , если считать, что ?x стремится к нулю.

VII. Определение производной дается без использования понятия предела.

Определение: производной функции f в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

при ?x, стремящемся к нулю.

VIII. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, понятие производной как функции, название операции нахождения производной, ее обозначение.

IX. Выделяются формулы дифференцирования, полученные в ходе объяснения материала.

Итоги анализа. Изучение производной в учебнике представлено на двух уровнях:

1. На наглядно-интуитивном, на котором создается материальный образ математического объекта. Производная рассматривается с двух позиций: как угловой коэффициент касательной и как мгновенная скорость движения.

2. На формально-логическом, где определение производной дается, но оно использует ранее не изучавшееся понятие предела.

«Алгебра и начала анализа 10-11» Ш.А. Алимов, Ю.М. и др.

I. Изучение темы «Производная» начинается с рассмотрения задачи о мгновенной скорости.

Задача: На станции метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью поезд метро должен пройти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с²?

II. Рассматривается связь между средней и мгновенной скоростью движения.

Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t), то есть задана функция s(t).

Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим промежуток времени от t до t=h, где h - малое число. За время от t до t=h точка прошла путь длиной s(t=h)-s(t).

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна отношению:

.

Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью в момент времени t и обозначается v(t). Число v(t) называют пределом данного отношения, при h стремящемся к нулю, и записывают так:

Далее на конкретном примере применяют выше приведенные рассуждения.

III. Вводится понятие разностного отношения, производной, ее обозначение.

IV. Дается определение производной.

Определение: Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x - точка этого промежутка и число h не равное 0 такое, что x+h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения

при h > 0 (если этот предел существует) называется производной функции f(x) в точке x.

Таким образом,

V. Вводится понятие дифференцируемой функции в точке, название операции нахождения производной.

VI. Выводятся формулы для производных функции x², x³, kx+b.

Итоги анализа. Введение понятия производной предваряется знакомством со средней и мгновенной скоростью движения, что приводит к понятию разностного отношения. Определение производной дается как предел разностного отношения. Понятие предела функции в курсе не рассматривается, а определение предела разностного отношения дается на интуитивной основе и разъясняется на конкретных примерах. При нахождении производных простейших функций пользуются наглядными представлениями. Это соответствует той идее курса, согласно которой элементы математического анализа в средней школе излагаются на наглядной интуитивной основе с акцентом на их практическое применение к решению простейших задач математики и физики.

«Алгебра и начала анализа 10». Башмаков М.И.

В учебнике элементам математического анализа отводятся две главы: II («Производная и ее применение») и V («Интеграл и его применение»).

I. Показывается механический смысл производной.

Определяют среднюю скорость на отрезке [t₁; t₂] как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

.

Затем показано, как определять мгновенную скорость: берется отрезок времени [t; t₁], вычисляется средняя скорость на этом отрезке. Начинаем уменьшать отрезок [t; t₁], приближая t₁ к t. Значение средней скорости при приближении t₁ к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t.

На примере свободного падения тела находим мгновенную скорость.

Используя слово «предел» дается понятие мгновенной скорости в точке t - это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи:

.

II. Дается геометрический смысл производной.

Формирование понятия касательной на наглядно-интуитивном уровне.

1) Представьте, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.

2) Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.

3) Даны три графика и на них в разных масштабах изображены участки одной и той же параболы вблизи точки (l;l). На первом графике ясно видно, что парабола искривлена, на втором искривление уже менее заметно, а на третьем участок кривой почти неотличим от отрезка прямой линии, которая и является касательной к параболе в точке (l;l).

Далее дано более точное объяснение, что такое касательная:

Пусть кривая является графиком функции y=f(x), а точка P, лежащая на графике, задана своими координатами (x,y). Касательная является некоторой прямой, проходящей через точку P, чтобы построить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим ее угловой коэффициент касательной k. Сначала найдем угловой коэффициент k₁ секущей PP₁. Пусть абсцисса точки P₁ равна x₁. Тогда

.

Для нахождения k надо устремить x₁ к x.

Таким образом .

III. Вводится понятие дифференцирования функции f, как предельный переход в выражение вида при стремлении x₁ к x.

IV. Дается определение производной.

Определение: Производной функции y=f(x) называется предел отношения

при стремлении x₁ к x.

После определения вводится понятие приращения аргумента и приращение функции. С использованием этих понятий дается такое определения производной: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак,

или

V. Приводится алгоритм вычисления производной.

1) Вычисляют ?y - приращение функции на отрезке [x;x+?x] и составляют отношение .

2) Представляют, что ?x приближается к нулю и переходят к пределу, то есть находят, к какому значению приближается отношение при.

Итоги анализа. Понятие производной вводится на основе неформального (с опорой на интуицию и наглядные соображения) рассмотрения задачи о нахождении мгновенной скорости движения. Появляется первоначальное представление о производной как о мгновенной скорости.

Далее скорость прямолинейного движения связывается с крутизной графика функции y=s(t), которую удобно «мерить» угловым коэффициентом касательной к этому графику. Таким образом, учащиеся подводятся к мотивировке введения понятия производной, а также знакомятся с механическим и геометрическим смыслом производной.

Хотя в учебнике используется термин «предел» и его символическая запись, но формирование этого понятия не предусматривается, поэтому пункт «предельные переходы» из вводной беседы рассматривается в ознакомительном плане.

Итак, в изложении темы «Производная» в рассматриваемых учебниках имеются общие моменты: изложение темы дается на наглядно-интуитивном уровне, на котором создается материальный образ математического объекта, дается формальное определение производной.

В школьных учебниках существуют различные подходы к изложению темы «Производная», основного элемента математического анализа, который вводится для учащихся средней школы. В одних учебниках понятие производной вводится без явного предварительного рассмотрения теории пределов, в других - традиционным классическим способом.

Отсюда вытекают основные различия отдельных учебников: в учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред. А.М. Колмогорова в явном виде нет понятия предела, оно интерпретируется понятием «стремится». В учебнике «Математика 10» А.Г. Мордковича и в учебнике «Математика 11» А.Л. Вернера понятие предела дается на наглядно-интуитивном уровне перед изучением понятия производной. В учебниках «Алгебра и начала анализа, 10-11» Ш.А. Алимова и «Алгебра и начала анализа, 10-11» М.И. Башмакова при изложении темы «Производная» используется понятие предела, хотя формирование этого понятия не предусматривается.

Основной вывод, который на наш взгляд вытекает из всего сказанного в первой главе, заключается в том, что преподавание элементов математического анализа возможно и необходимо, но оно должно носить ознакомительный и развивающий характер. В соответствии с этим, задачи, предлагаемые учащимся по данной теме, должны быть вычислительно простыми, но при этом формировать общее представление о реальном мире и о процессах, которые в нем происходят, носить функциональный характер.

математика учебник преподавание

Глава 2. Методика составления задач, включающих элементы математического анализа, в классах с непрофильной дифференциацией

2.1 Основные проблемы и задачи изучения элементов математического анализа в классах с непрофильной дифференциацией

В предыдущей главе мы рассмотрели историю изучения элементов математического анализа в школе, выделили психолого-педагогические особенности учащихся, малоспособных к математике, а также провели обзор и анализ учебников для 10-11 классов, тех разделов, которые содержат элементы математического анализа.

Как мы уже отмечали в 1-й главе, о необходимости или, по крайней мере, желательности преподавания этого материала для всех учащихся средней школы свидетельствуют более чем полуторавековые попытки ввести его во все программы средней школы. Исследования педагогов и психологов свидетельствуют о возможности успешного усвоения этого материала подавляющим большинством учащихся, в том числе в классах с непрофильной дифференциацией. Сейчас вопрос о введении в школьный курс математики начал анализа в настоящее время становится особенно актуальным в связи с попытками дифференцировать этот некогда общий курс к различным типам школ.

Основной вывод, который на наш взгляд вытекает из всего сказанного, заключается в том, что преподавание элементов математического анализа возможно и необходимо, но оно должно носить ознакомительный и развивающий характер. В соответствии с этим, задачи, предлагаемые учащимся по данной теме, должны быть вычислительно простыми, но при этом формировать общее представление о природных процессах в мире, носить функциональный характер.

Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике (базовый уровень) предусматривает, что изучение математики в старшей школе направлено на достижение, в числе прочих, таких целей, как «формирование представлений об идеях и методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования процессов и явлений; воспитание средствами математики культуры личности, знакомство с жизнью и деятельностью видных отечественных и зарубежных ученых-математиков, понимание значимости математики для общественного прогресса», которые, безусловно, невозможно осуществить без ознакомления учащихся (в том числе в классах с непрофильной дифференциацией) с элементами математического анализа.

Поэтому обязательный минимум содержания основных образовательных программ, предусмотренный тем же Образовательным стандартом, предлагает ряд тем, относящихся непосредственно к началам математического анализа, в том числе: представление о пределе и о непрерывности функции, понятие о производной функции, о физическом смысле производной функции как скорости изменения этой функции, о геометрический смысле производной как углового коэффициента касательной, знакомство с таблицей производных и правилами нахождения производных, с применением производной к исследованию функции и построению графиков, понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции, о первообразной, о первообразных элементарных функций.

В результате изучения математики в старшей школе на базовом уровне предполагается, что выпускник будет уметь в числе прочего: вычислять производные элементарных функций с помощью таблицы производных (показательной, логарифмической, тригонометрических, степенной функций) и правил нахождения производных (производная суммы, произведения, частного); исследовать функции на монотонность и экстремумы, находить наибольшие и наименьшие значения функций; применять полученные знания: при решении геометрических, физических и других прикладных задач на наибольшие и наименьшие значения, при построении графиков функций.

Вопрос в плане изучения элементов математического анализа в школе - нужно ли преподавание элементов математического анализа для учащихся с непрофильной дифференциацией и возможно ли оно как элемент школьной программы - решен положительно.

Основная проблема, которая вытекает из вышеперечисленного и которой посвящена вторая глава, это выбор уровня теоретических сведений и практических задач, которые будут доступны для учащихся непрофильной дифференциации, методика преподавания основ математического анализа.

Из, таким образом, поставленной проблемы вытекают две основные задачи: отбор практических задач, соответствующих выбору обучаемых, и выбор уровня обучения в соответствии с уровнем практических задач.

В данной работе мы решили ограничиться темами «Производная, ее геометрический и физический смысл, так как они наиболее доступны для учащихся классов с непрофильной дифференциацией. Допуская предельное упрощение, они, тем не менее, сохраняют свое развивающее значение.

Как известно, в гуманитарных классах преобладают учащиеся, малоспособные к математике. Малоспособность к математике связана, в первую очередь, с особенностями работы мозга.

Как уже говорилось в первой главе, различные типы «математической неспособности» определяются слабостью второй сигнальной системы, особенности этой неспособности определяются соотношением сигнальных систем.

Исследования показали, что основным компонентом (определяющим многие другие особенности умственной деятельности малоспособных к математике учеников) является неспособность к обобщению математического материала. Малоспособным к математике учащимся доступна лишь элементарная степень обобщения математического материала.

При этом установлено, что неспособность к обобщению математического материала - это не отсутствие обобщающей способности вообще, а отсутствие обобщающей способности только в сфере математических величин, отношений и символов. Дело не в слабости отвлеченного мышления вообще как такового, а в слабости его в области математических категорий и отношений [15, с. 77].

Неспособность к обобщению математического материала тесно связана с другой психологической особенностью, характеризующей умственную деятельность малоспособных к математике учащихся в другом мнемическом плане, слабостью памяти на математические обобщения. Речь идет не о том, что у малоспособных к математике учащихся плохая память, и не о том даже, что у них плохая память на обобщения, ее недостаточность обнаруживается только в операциях с математическим материалом, проявляется только в сфере математических отношений и символов [15, с. 78].

Еще одна особенность умственной деятельности малоспособных к математике учеников - ярко выраженная затрудненность в переключении от одной умственной операции к другой, своеобразная скованность их математического мышления.

Иначе говоря, для малоспособных к математике учеников характерно, что сформировавшиеся у них математические обобщения, способы решения, определенный, принятый ими ход мысли оказывает тормозящее влияние на формирование близких обобщений, новых способов решения или новых ходов мысли.

Таким образом, найти пути преодоления неспособности к математике возможно и необходимо искать, основываясь также на психологических особенностях.

Традиционная методика преподавания элементов математического анализа предполагает, что для усвоения обобщенных знаний необходимо правильное взаимодействие слова и образа, для чего требуется достаточно широкая конкретизация, то есть варьирование той наглядной опоры, на которой базируется это обобщение [9]. Иными словами, для учащихся, малоспособных к математике, необходима единая методика, сочетающая образные и логические элементы.

Однако методические возможности этим не исчерпываются. Как уже говорилось в первой главе, исследованиями были установлено четыре типа неспособности к математике. Но это не значит, что надо устанавливать четыре различные методики обучения. Можно взять только два крайних типа: с преобладанием наглядных компонентов над отвлеченными и с обратным соотношением (третий тип - промежуточный, а четвертый - фактически является сильным вариантом первого).

Разница этих типов заключается не в том, что представители одного типа обобщают математический материал лучше, а представители другого типа - хуже. Все они обобщают плохо. Разница состоит в том, что для каждого из типов существует свой, специфический путь обобщения [15. с. 89].

Общая идея при разработки конкретных методических путей может быть выражена в следующей форме: следует основываться на тех особенностях, которые в мышлении ученика являются более сильной стороной и, отталкиваясь от них, преодолевать специфические слабости его математического мышления. В.А. Крутецкий называл этот принцип атакой на слабость с позиции силы, хотя и признавал эту формулировку не вполне удачной [15, с. 89-90].

Мышление группы учащихся первого типа в процессе их математической деятельности характеризуется следующими чертами: образ превалирует над словом; наглядные впечатления значат больше, чем словесные, и подавляют их; обобщают эти учащиеся с трудом и при этом нуждаются в постоянной опоре на наглядные образы и конкретные действия; им трудно оторваться от образа и перейти к словесной формулировке. Для этой группы при обобщении нужно отталкиваться от образа, от конкретных действий (в этом учащиеся сильнее) и все внимание направить на формирование словесных обобщений (где учащиеся слабее). Здесь наиболее оптимальным путем формирования математических обобщений является обобщение на основе наглядности (от образа к слову, обобщенной мысли).

Для этих учащихся необходимо создавать богатую чувственную базу, обеспечивать достаточно широкое варьирование той наглядной опоры, на которой будет базироваться словесное обобщение. Учитель должен активно побуждать учащегося, чтобы тот самостоятельно осуществил обобщение. Нужно помнить, что варьирование наглядных образов производится с целью оторвать мысль именно от единичного; все единичное надо в этом смысле подавить, мысль надо освободить от скованности ее восприятием частного, поставить ее над восприятием частного.

Мышление группы учащихся второго типа в процессе их математической деятельности характеризуется следующими чертами: слово превалирует над образом; словесные впечатления значат больше, чем наглядные, и подавляют их; мысль мало опирается на наглядные образы, слово часто отрывается от действительности, обобщение часто бывает поспешным и неоправданным; им трудно оторваться от словесной формулировки и перейти в план конкретных действий. Для этой группы при обобщении нужно отталкиваться от словесной формулировки и все внимание направить на формирование чувственной опоры, соответственных конкретных действий. Здесь наиболее оптимальным путем формирования математических обобщений является обобщение на основе слова (от слова, мысли к образу).

Для этих учащихся необходимо тщательно анализировать словесную формулировку, обращать внимание на ее тонкости и, отталкиваясь от нее и на ее основе, формировать чувственную базу математического понятия. Учитель должен активно побуждать учащихся создавать конкретную базу понятия, находить частное, соответствующее отраженному в словесной формулировке общему. Нужно помнить, что формулировка вводится не как самоцель, а как средство формирования, нужно опереть мысль на единичное, на восприятие частного.

Эти два пути формирования математических обобщений В.А. Крутецкий условно назвал индуктивным и дедуктивным [15, с. 90-91]. Исследователь предостерегал от противопоставления этих двух путей, поскольку оба они должны вести к одному результату - формированию обобщенного математического обобщения, опирающегося на достаточно широкую конкретную базу.

На наш взгляд, право на существование заслуживает как традиционная методика, так и методика дифференцированная.

Так А.Г. Мордкович в своих методических рекомендациях по изучению математического анализа в средней школе широко применяет как образные, так и логические элементы в самом разнообразном соотношении:

«Рассмотрим для примера исследования функции с помощью производной. Этой темой можно проверить методическую культуру учителя математики и авторов школьных учебников. Ведь речь идет о теоремах, необходимость знания которых и явилась причиной введения элементов математического анализа в школьный курс математики. В то же время строгие доказательства этих теорем требуют знания многих фактов математического анализа, которые в школьном курсе математики не рассматриваются. Какой путь выбрать учителю: сообщить теоремы без доказательства и без комментариев? ограничиться наглядно-интуитивными представлениями и правдоподобными рассуждениями? все-таки попытаться дать строгие доказательства?

В учебниках и учебных пособиях для общеобразовательной школы встречаются различные варианты. Например: без доказательства, но с опорой на графические иллюстрации формулируется теорема Лагранжа, а затем с ее помощью строго доказывается теорема о влиянии знака производной на характер монотонности функции на промежутке. Это не лучший вариант, он не логичен т. к. можно сразу проиллюстрировать связь между знаком производной и характером монотонности функции. К тому же графическая иллюстрация этой теоремы сложна и в вузовском курсе математического анализа ее обычно дают после, а не до доказательства теоремы.

Другой вариант, который используется в учебных пособиях: заменяют строгие доказательства правдоподобными рассуждениями, основанными на физическом или геометрическом смысле производной. Это вполне приемлемо при условии, что правдоподобные рассуждения не выдаются за доказательства.

«Посмотрите на рисунки 59 и 60 , - говорит учитель. - На первом из них представлен график возрастающей функции и проведена касательная к нему в произвольной точке. Что мы видим? Касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол - значит, производная функция в выбранной точке положительна. На рисунке 60, изображающем график убывающей функции, касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол - значит, производная отрицательна. Видим, что между знаком производной и характером монотонности функции есть связь. В курсе математического анализа доказано, что это действительно так». (Далее формулируются соответствующие теоремы.)

Главное, чтобы изложение: а) фактологически не противоречило математике как науке; б) было доступно школьникам; в) нравилось учителям.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 59 Рис. 60

Концепция выбора уровня строгости изложения материала, связанного с элементами математического анализа должна определяться совокупностью нескольких положений:

1. если некоторое утверждение, используемое в предмете, в принципе не доказуемое в школьном курсе, то оно принимается без доказательства.

2. если некоторое утверждение в принципе доказуемое в школьном курсе, но это доказательство искусственно, технически сложно и не имеет существенного развивающего значения, то оно не приводится.

3. если некоторое утверждение в школьном курсе в принципе доказуемо и это доказательство имеет развивающее значение, то оно приводится.

Приведем вариант беседы учителя с учениками на уроке, посвященном исследованию функции на экстремум.

«Рассмотрим график функции. Две точки обращают на себя особое внимание: в точке х₁ функция достигает значения, большего по сравнению с близлежащими, а точке х₂ - меньшего. Точку х₁ называют точкой максимума функции, а точку х₂ - точкой минимума функции. Значения функции в эти точках обозначают соответственно, так: y_max , у_min. Точку максимума и точку минимума функции объединяют общим названием - точки экстремума.

Обратим внимание, что в точке х₁ к графику функции можно провести касательную, причем она параллельна оси абсцисс, - значит в этой точке производная равна нулю. А в точке х₂ производная не существует. Точки, в которых производная равна нулю, назовем стационарными, а точки, в которых производная не существует, - критическими. Экстремум может достигаться только в стационарных и критических точках. Почему? Представим, что в некоторой точке производная положительна (или отрицательна), проведите к графику функции соответствующую касательную. Она «потащит» график за собой снизу вверх (или сверху вниз), так, что в данной точке не будет ни максимума, ни минимума.

А всегда ли в стационарной или критической точки у функции будет экстремум? Нет. Обратим внимание: график функции у = х³ , есть стационарная точка х = 0, но в ней нет ни максимума, ни минимума. А графика кусочной функции у = f(x), где

х², если х < 1

f(x) =

х, если х > 1

У этой функции есть критическая точка х = 1, в которой нет ни максимума ни минимума. Экстремум достигается в тех точках, при переходе через которые меняется характер монотонности функции, т. е. производная меняет свой знак» [18, с. 81-86].

Иными словами: «…Больше иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие мозга!» [19 , с. 88]

Анализ учебников, проведенный в первой главе показывает, что многие задачи по этой теме априорно предполагают надежную и устойчивую связь между аналитическим заданием функции и ее графиком, между уравнением прямой и положением этой прямой, т. е. между алгеброй и геометрией. Но как отмечено во втором параграфе указанной главы, подобные связи между наглядными представлениями и формально-логическими умениями являются далеко не устойчивыми для учеников, малоспособных к математике. Естественной поэтому является попытка двигаться при изучении этой темы более мелкими шагами, отрабатывая каждый из них в отдельных упражнениях. Перечислю основные положения, которых, на мой взгляд, следует придерживаться при составлении упражнений, включающих элементы математического анализа, в классах с непрофильной дифференциацией.

1. дробление учебного материала на более мелкие дидактические единицы

2. выделение среди них элементарных составляющих

3. отбор типов задач, не связанных с длительными вычислениями

4. связь с базовым курсом алгебры

5. по возможности прикладная направленность

6. подготовка к возможной сдачи экзамена в форме ЕГЭ

Покажем на конкретных примерах, как и почему задачи на геометрический смысл касательной, достаточно типичные для действующих учебников можно и нужно трансформировать в задания для учеников гуманитарных классов.

Рассмотрим типичное задание № 24.23 [21]:

Напишите уравнение тех касательных к графику функции , которые параллельны заданной прямой:

а) ; б).

Аналогичные задания присутствуют и в сборнике по единому экзамену:

«Касательная к графику функции параллельна прямой . Напишите уравнение этой касательной».

Решение подобного рода заданий предполагает хорошую связь между аналитическим заданием функции и ее графиком. Для решения необходимо:

а) знать, что у параллельных прямых равны угловые коэффициенты,

б) знать, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания,

в) найти производную функции,

г) составить уравнение и вычислить абсциссу точки касания,

д) записать уравнение касательной.

Даже упрощение этого задания зачастую бывает сложно для учащихся гуманитарных классов.

Рассмотрим № 188 [1]

«Постройте график функции и проведите к нему касательную через точку с абсциссой . Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной.

а) , , , , ;

б) , , , , .»

Это задание предлагается в учебнике сразу после введения определения производной и формирует понятие касательная. Для его решения необходимо:

1. построить график квадратичной функции, т. е. решить квадратное уравнение ;

2. найти на графике точку с абсциссой ;

3. начертить касательную к графику в этой точке (для четырех случаев),

4. знать геометрический смысл углового коэффициента и уметь определять его знак.

Основываясь на этом примере, можно создать более простые задания, соответствующие перечисленным выше требованиям.

Пример 1.

На графике параболы отметьте точку с абсциссой . Изобразите прямую , которая проходит через отмеченную точку и касается параболы. Какое из следующих утверждений является верным?

1) пересекает ось абсцисс левее начала координат,

2) пересекает ось ординат ниже начала координат,

3) пересекает ось абсцисс правее выше начала координат,

4) пересекает ось ординат выше начала координат.

Проверим, соответствует ли данное задание всем требованиям, перечисленным выше:

1, 2. В этом задании используется только наглядное представление о касательной.

3. Не предполагается каких-либо длительных вычислений.

4. Повторяется понятие параболы и умение находить и отмечать точку на графике.

5. Задание сформулировано таким образом, что оно раскладывается на ряд элементарных операций, и каждому этапу решения соответствует одно достаточно простое действие.

6. Задание похоже на тестовые задания ЕГЭ. Выбор ответа из некоторого предложенного списка активирует обратную связь между решением и условием, это способствует более надежному закреплению базовых умений и навыков.

На основе этого примера можно создать целый класс заданий, используя не только параболу, но и другие элементарные функции, например: , ,,. Также можно задавать вопросы о расположении касательной к графику функции относительно координатных четвертей или относительно какой-либо конкретной точки. Аналогичные задачи можно составить с двумя касательными.

Пример 2.

К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная . Выберите верное утверждение:

1) касательная не проходит через первую координатную четверть,

2) касательная пересекает четвертую координатную четверть,

3) касательная пересекает вторую координатную четверть,

4) касательная не пересекает четвертую координатную четверть.

Пример 3.

К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная , а в точке абсциссой проведена касательная . Выберите верное утверждение:

1) касательные пересекается выше начала координат

2) касательные пересекаются ниже начала координат

3) касательные не пересекаются

4) касательные пересекаются правее начала координат.

Пример 4.

К графику функции в точке с абсциссой проведена касательная , а в точке с абсциссой проведена касательная . Выберите верное утверждение:

1) касательные пересекаются в первой координатной четверти

2) касательные пересекаются в четвертой координатной четверти

3) касательные пересекаются в третьей координатной четверти

4) касательные пересекаются во второй координатной четверти

Перечисленные выше примеры также соответствуют принятым требованиям к задачам. С их помощью легко можно повторить графики элементарных функций.

2.2 Методика составления задач на поведение касательной к графику функции

Задачи на геометрический смысл производной дают наиболее элементарные сведения учащимся об элементах математического анализа. Их цель - просто и наглядно проиллюстрировать понятия предела (не вводя его точного определения) и производной.

Основные задачи на геометрический смысл производных должны быть направлены на формирование образа касательной к графику функции, ее расположения в координатной плоскости.

В первую очередь, учащиеся должны научиться строить касательные в определенных точках основных элементарных функций. Подобные задания в традиционной форме и в упрощенном варианте для учащихся гуманитарных классов были рассмотрены в первом параграфе данной главы.

Следующим элементарным понятием, с которым необходимо познакомить учащихся на пути к понятию производной, является определение наклона касательной к графику функции в конкретной точке. Для решения подобных задач ученики должны знать понятие положительного и отрицательного наклона прямой (графика линейной функции). Это определение дано в некоторых учебниках, например в учебнике [6].

Сравним, насколько данное задание соответствует тем положениям, которые приведены в первом параграфе данной главы.

Материал раздроблен на более мелкие дидактические единицы: из всей темы «геометрический смысл производной» взято понятие касательной и отрабатывается умение проводить касательную к графику функции в заданной точке. В задании отсутствуют какие-либо вычисления. Закрепляется навыки работы с графиком функции: чтение графика, нахождение на нем точек. Задание аналогично заданиям ЕГЭ.

Данное задание не является единичным, на его основании можно создать целый класс подобных упражнений, меняя графики функций.

Задачи подобного типа помогают также развитию логической составляющей у учащихся гуманитарных классов. С их помощью, на конкретном примере отрабатывается выбор «или», т. е. осуществляется развитие простых логических умений.

Более сложный тип задач по развитию логической составляющей представляет собой двухступенчатые задачи на касательную к графику функции, для решения которых необходимо сначала выбрать из числа предложенных два или более верных утверждений, а затем - подтвердить или опровергнуть правоту высказываний.

Данное задание также соответствует требованиям, указанным выше: в нем отрабатывается умение анализировать график элементарной функции в заданной точке и проводить касательную, а также происходит знакомство с логическими операторами «и», «или», что очень важно для учащихся гуманитарных классов т. к. обычно логическая составляющая у них развита слабо. Задание аналогично заданиям ЕГЭ.

Возможно, что задания в виде тестов из-за своей необычности будут сложны для учащихся. Тогда их следует предварить более простыми заданиями.

Поскольку усложненный вариант подобного задания соответствует требованиям к задачам, то и его упрощение также будет им соответствовать.

После того как будут отработаны задания на знак наклона касательной к графику функции в определенных точках, следующим этапом нужно отработать с учащимися поведение касательной к графику функции на промежутке. Данный навык понадобится в дальнейшем для исследования поведения функции, а также более абстрактного понятия - знака производной.

В этом задании отрабатывается базовое умение определять наклон касательной на промежутке, которое, несомненно, важно для исследования функций. Аналогично можно составить целый класс заданий, используя графики различных функций.

Другим типом задач на поведение касательной к графику функции на промежутке могут быть задачи про изменение знака наклона касательной.

Каждое из приведенных заданий позволяет на его основании создать целый класс подобных упражнений, меняя графики функций. А также, по каждому перечисленному типу можно составить логические задания, аналогичные примеру 6.

После того как учащимися будет отработан знак наклона касательной, можно переходить к отработке знака производной функции в точке и на промежутке.

2.3 Методика составления задач на геометрический и физический смысл производной

Задачи на определение знака производной должны быть направлены на формирование понимания таких свойств функции как монотонность, экстремумы функции, минимумы и максимумы функции.

В принципе задачи аналогичны задачам с наклоном касательной, но предметом исследования становится не реальная геометрическая линия (касательная), а отвлеченное понятие (производная).

На первом этапе для упрощения понимания следует использовать простые и хорошо известные учащимся графики функций (например, параболу).