Методика изучения функций и их графиков в VII классе средней общеобразовательной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Функции» в VII классе основной школы

1. Функции и их графики

1.1 Что такое функция

1.2 Вычисление значений функции по формуле

1.3 График функции

1.4 Линейная функция и ее график

1.5 Прямая пропорциональность

1.6 Взаимное расположение графиков линейной функции

1.7 Функции у=х² и у=х³ и их графики

Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Функции»

в VII классе общеобразовательной школы

2. Методика преподавания функций в VII классе

2.1 Психолого-педагогический аспект

2.2 Анализ методических особенностей изложения темы «Функции» в различных учебниках по алгебре

2.3 Изучение функций в VII классе с помощью средств образного характера

2.4 Преподавание темы «Линейная функция и ее график»

2.4.1 Чтение графиков

2.4.2 Понятие функции

2.4.3 График функции

2.4.4 Линейная функция

2.5 Индивидуально-групповые занятия по теме «Линейная функция»

2.6 Методика преподавания функций х² и х³

2.7 Практическое применение темы «Функция» в VII классе

2.8 Технические средства обучения в теме «Функция

2.9 Роль межпредметной связи в обучение математике

Заключение

Список литературы

Приложение. Лабораторные работы по теме «Построение графиков и исследование линейных функций»

Приложение2. Урок-соревнование по теме «Линейная функция и ее график

Введение

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Поэтому изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический. Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.

В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Ученый-сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер-радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно - важность самостоятельной работы над ним.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней; увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства. Так как процедура рисования графиков функций с использованием большинства языков программирования сводится к воспроизведению на экране последовательности точек.

Данная курсовая работа посвящена одной из центральных тем курса школьной математики. Невозможно полностью осознать ту роль и то прикладное значение, которое имеют функции. На основе этой темы излагается очень большое количество материала средней школы.

В курсовой работе объектом исследования является процесс изучения алгебры в VII классе средней общеобразовательной школы.

Предметом исследования выступает методика изучения функций y=kx+b, y=x², y=x³ и их графиков в VII классе средней общеобразовательной школы.

Цель данной работы разработать методические рекомендации по теме «Функция» в VII классе средней общеобразовательной школы.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач:

1. Изучить и проанализировать основные теоретические положения по данной теме.

2. Провести анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы.

3. Определить методические особенности изучаемой темы.

4. Подобрать дидактический материал.

5. Создать обучающую и контролирующую программу по теме «Функция».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

1. Анализ научной и методической литературы, а также учебных пособий.

2. Ознакомление с современной периодической публикацией и современным опытом преподавателей.

3. Обобщение и систематизация опыта преподавания темы «Функция».

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что данный материал может использоваться студентами педагогических вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики, при этом имея возможность вносить свои поправки и умозаключения. Для начинающих специалистов данная работа интересна некоторыми методическими рекомендациями.

Особенностью изложения материала является его явно выраженная прикладная направленность: много внимания уделяется графикам реальных зависимостей, важное место занимают лабораторные работы, вопросы и задачи прикладного и практического характера.

При изучении линейной функции явно формулируется мысль о том, что с помощью этой функции описываются процессы, протекающие с постоянной скоростью.

В ходе решения задач учащиеся моделируют с помощью изучаемых функций самые разнообразные реальные ситуации.

Глава 1. Функции и их графики

1.1 Что такое функция

Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно - лишь в начале прошлого века. И хотя математики имели дело с различными конкретными функциями почти на каждом шагу многовекового развития науки, все же должен был быть пройден долгий путь постепенной кристаллизации элементарных понятий и их обобщений, пока ученые пришли к необходимости общего определения функции и нашли его.

Таков и общий путь возникновения новых понятий. Вспомним, например, как возникло и развивалось понятие о числе (не об иррациональном или комплексном, а о самом простом, натуральном числе). Историками установлено, что наименования натуральных чисел - один, два, три и т.д. - сравнительно позднего происхождения; когда-то, в незапамятные времена, во всех языках такие выражения, как «три пальца» или «три дерева», обозначались совсем разными словами (да и теперь еще в языках некоторых племен нет отвлеченных числительных).

Таким образом, тот факт, что между «тремя пальцами», «тремя деревьями», «тремя людьми» и т.д. есть что-то общее, был замечен и зафиксирован в языке в виде отвлеченных числительных в итоге большого периода исторического развития. Можно сказать, что образование отвлеченных числительных в языке - первая математическая абстракция, созданная человеком.

Следующая абстракция в этом направлении, появившаяся уже в видимое историческое время, две-три тысячи лет назад, была связана с формированием общего понятия о числе. Оказалось, что можно думать и говорить не только о конкретных числах -тройке или четверке, - - но и любом натуральном числе вообще. Высказывание «сумма двух чисел не меняется при перемене порядка слагаемых» относится не к каким-либо конкретным числам, но к числам вообще. Такое высказывание требует предварительного определения произвольного числа. Древние построили его, но для новой математики оно оказалось неприемлемым, и уже много раз оно давалось по-новому; в общем, окончательного определения натурального числа, с которым согласились бы все математики, нет и в наше время.

Аналогичный процесс происходил и с понятием о произвольной функции. У древних математиков, а также и у математиков нового времени вплоть до конца XVII в., когда работами Ньютона и Лейбница было завершено построение дифференциального и интегрального исчислений, не было общего определения функции. В то время еще не было и нужды в таком общем определении, отдельные конкретные функции представляли большое поле исследования. Если бы Ньютона или Лейбница спросили, что такое «функция вообще», то ответ, по всей видимости, состоял бы в том, что «функция вообще» есть результат некоторых (алгебраических или простейших трансцендентных) операций над независимыми переменными. В печати подобная формулировка впервые появилась в одной работе ученика и сотрудника Лейбница Иоганна Бернулли в 1718г. Там функция так и определена как «аналитическое выражение».

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей "Геометрии" лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения - формулы.

Термин «функция» (от латинского functio - исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 - 1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII в. Леонард Эйлер (1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. Функцию как зависимость одной переменной величины от другой ввел чешский математик Бернард Больцано (1781 - 1848). Ниже нами приведены различные определения функции, распространенные в настоящее время.

Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных.

И.Бернулли, 1718.

Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки.

Л.Эйлер, 1748.

Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых.

Л.Эйлер, 1755.

Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.

С.Лакруа, 1797.

Функция от х есть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость может существовать и оставаться неизвестной.

Н.И.Лобачевский, 1834.

у есть функция от х, если всякому значению х соответствует вполне определенное значение у, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие.

П.Дирихле, 1837.

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты. В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

Рассмотрим примеры:

Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Пусть сторона квадрата равна с см, а его площадь равна S см².

Для каждого значения, переменной, а можно найти соответствующее значение переменной S.

Так,

если а 3, то S= 3² = 9;

если а = 15, то S = 15² = 225;

если а = 0,4, то S = 0,4² = 0,16.

Зависимость переменной S от переменной а выражается формулой

S = a²

(по смыслу задачи а>0).

Переменную а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются выбранными значениями а,- зависимой переменной.

Пример. 2. На рисунке 1 изображен график температуры воздуха в течение суток.

Рис. 1

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ? t ? 24, можно найти соответствующую температуру р (в градусах Цельсия). Например,

если t = 6, то р=-5;

если t = 12, то р = 2;

если t = 17, то р = 3.

Здесь t является независимой переменной, а р переменной.

В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента.

Так, площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Например, область определения функции, рассмотренной в примере 1, состоит из всех положительных чисел, а в примере 2 - из всех чисел от 0 до 24.

1.2 Вычисление значений функции по формуле

Функции, которые мы рассматривали в предыдущем пункте, задавались различными способами.

Наиболее распространенным способом является задание функции с помощью формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Пример 1. Пусть функция задана формулой

,

где _3 ? х ? 3

Найдем значения у, соответствующие целым значениям х: если х = - 3, то удобно записать в виде таблицы, поместив в верхней строке значения аргумента, а в нижней строке -- соответствующие значения функции:

X	3	-2	-1	0	1	2	3
У	-5	-3,5	-2	-0,5	1	2,5	4

Мы выбирали каждый раз значение х на 1 больше предыдущего. Говорят, что мы составили таблицу значений функции с шагом 1.

В рассмотренном примере была указана область определения функции. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой у =х(х +5), состоит из всех чисел, а область определения функции, заданной формулой

,

состоит из всех чисел, кроме числа 2. С помощью формулы, задающей функцию, решают также задачу отыскания значений аргумента, которым соответствует Данное значение функции.

Пример 2. Функция задана формулой

у= 12x - 3,6.

Найдем, при каком значении х значение функции равно 2,4.

Подставим в формулу у = 12х - 3,6 вместо у число 2,4. Получим уравнение с переменной х:

2,4=12х -3,6.

Решив его, найдем, что х = 0,5.

Значит, у = 2,4 при х = 0,5.

Заметим, что мы смогли решить эту задачу, так как она свелась к уравнению, способ решения которого нам известен.

1.3 График функции

Рассмотрим функцию, заданную формулой

,

где - 2 ? х ? 3. По этой формуле для любого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Возьмем например, целые значения аргумента. Получим:

Если х = -2, то у = -6;

Если х = -1, то у = 3;

Если х = 0, то у = 2;

Если х = 1, то у = 1,5;

Если х = 2, то у = 1,2;

Если х = 3, то у = 1.



Каждую из найденных пар значений х и у изобразим точкой в координатной плоскости, считая значение х абсциссой, а соответствующее значение у ординатой (рис.1) Выбирая другие значения х из промежутка от -2 до 3 и вычисляя соответствующие им значения у по формуле

будем получать другие пары значений х и у.

Каждой из этих пар также соответствует некоторая точка координатной плоскости. Все такие точки образуют график функции, заданной формулой

, где -2 ? х ? 3 (рис. 2)

Определение. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты -- соответствующим значениям функции.

Рассмотрим примеры

Пример 1. Построим график функции, заданной формулой

у=х(6 - х), где -1 < х < 5.

Составим таблицу соответственных значений аргумента и функции:

X	-1	0	1	2	3	4	5
У	-7	0	5	8	9	8	5

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице. Соединим их плавной линией (рис.3). Получим график функции, заданной формулой у= х(6 - х), где -1<х<5. Чем больше отметим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены, тем точнее будет построен график функции.



С помощью графика функции по значению аргумента можно найти соответствующее значение функции. Можно также решить обратную задачу: по указанному значению функции найти те значения аргумента, которым оно соответствует.

Пример 2. По графику функции, изображенному на рисунке 5 справа, найдем:

а) значение функции при х = 3;

б) значения х, при которых значение функции равно 7.

в) Через точку оси х с абсциссой 3 проведем перпендикуляр к оси х. Точка пересечения этого перпендикуляра с графиком функции имеет координаты (3; 5). Значит, при х = 3 значение функции равно 5.

г) Проведем через точку оси у с ординатой 7 прямую, параллельную оси х. Эта прямая пересекает график в двух точках: с координатами (5; 7) и (9; 7). Значит, функция принимает значение, равное 7, при х = 5 и при х = 9.

График дает наглядное представление о зависимости между величинами. Так, по графику температуры воздуха можно узнать, когда температура равнялась нулю, была выше нуля, ниже нуля, возрастала, убывала и т. д. Например, с помощью графика, изображенного на рисунке 7, можно определить, что температура была равна 0 °С в 9 ч и в 22 ч; была положительной с 9 ч до 22 ч; возрастала с 3 ч до 15 ч.

На практике часто используются приборы для автоматической регистрации хода того или иного процесса (изменения в течение суток атмосферного давления, изменения в течение суток уровня моря, изменения давления пара в цилиндре двигателя в зависимости от положения поршня и т.п.). Эти приборы вычерчивают графики соответствующих функциональных зависимостей.

1.4 Линейная функция и ее график

Рассмотрим вопрос о графике линейной функции.

При этом мы будем предполагать, что область определения функции состоит из всех чисел. Построим график линейной функции у = 0,5х - 2.

Составим таблицу соответственных значений х и у:

X	-6	-4	-2	0	2	4	6	8
У	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 2). Все отмеченные точки лежат на одной прямой. Эта прямая (рис. 2) является графиком линейной функции у = 0,5х - 2.

Вообще, графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

Рассмотрим примеры функций.

Пример l. Ha шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км (рис. 1). Мотоциклист выехал

из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет,50 t км и будет находиться от А на расстоянии 50t + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой

s = 50t + 20, где t>0

Пример 2. Ученик купил тетради по 3 к. за штуку и ручку за 35 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость покупки (в копейках) буквой у. Получим:

у = 3х+35, где х -- натуральное число.

В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными формулами вида

у= kх+b, где х - независимая переменная, k и b - числа. Такие функции называют линейными.

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

у = kх+b, где х -- независимая переменная, k и b -- некоторые числа.

Пример 3. Построим график функции

у = 2х+3.



Функция

у = 2х+3

линейная, поэтому ее графиком является прямая. Используя формулу

у = 2х + 3, найдем координаты двух точек графика:

Если х=-2, то у =2•(-2)+3=-1;

Если х=1, то у = 2•1+3=5

Отметим точки А (-2;-1) и B (1; 5). Проведем через эти точки прямую (рис. 3). Прямая АВ есть график функции

При построении графика линейной функции часто бывает удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой 0.



Пример 4. Построим график функции

у = -0,8х+1.

Найдем координаты двух точек графика:

если х = 0, то у = -0,8•0+1 = 1;

если х = 5, то у = -0,8•5 + 1 =-3. Отметим точки М(0; 1) и К (5;-3) и проведем через них прямую (рис. 4). Прямая МК - график функции y=0,8x+1

При k = 0 формула

у = kх+b,

которой задается линейная функция, имеет вид

у= 0х+b, т.е. у = b.

Линейная функция, задаваемая формулой у = b, принимает одно и то же значение при любом х.

Пример 5. Построим график функции у= -2.

Любому значению х соответствует одно и то же значение у, равное -2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой -2, например Р(0;-2) и N (4;-2), и проведем через них прямую (рис. 5). Прямая PN - график линейной функции у= -2.

Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то ее график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

1.5.Прямая пропорциональность

Рассмотрим пример. Пусть V - объем железного бруска в кубических сантиметрах, m - его масса в граммах. Так как плотность железа равна 7,8 г/см³, то m= 7,8V. Зависимость массы железного бруска от его объема является примером функции, которая задается формулой вида

у =kх, где х -независимая переменная, k - число, отличное от нуля.

Такую функцию называют прямой пропорциональностью.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида

у = kх, где х -- независимая переменная, k - не равное нулю число.

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула

у = kх получается из формулы y = kх + b при b = 0.

Отсюда следует, что графиком прямой пропорциональности служит прямая. Эта прямая проходит через начало координат, так как при х = 0 значение у равно 0.

Итак, графиком, прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Пример. Построим график функции у = 0,5х.

Эта функция - прямая пропорциональность. Найдем координаты какой-нибудь точки графика, отличной от начала координат:

если х = 4, то у = 0,5 - 4 = 2.

Отметим точку М (4; 2) и проведем через нее и начало координат прямую (рис.1). Эта прямая - график функции у = 0,5х

Расположение графика функции у = kх в координатной плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы

у = kх находим, что если х = 1,то у = k. Значит, график функции

у = kх проходит через точку (1; k).

При k>0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при k<0 - в четвертой. Отсюда следует, что при k>0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k<0 - во второй и четвертой.

На рисунке 2 построены графики прямой пропорциональности при различных значениях k.

1.6 Взаимное расположение графиков линейной функции

Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны (Рис. 1). Рассмотрим, например, графики функций, заданных формулами

у=0,9х - 1 и

у= 0,8x+1 с различными коэффициентами при х (рис. 2).

Выясним, пересекаются ли эти графики.

Пересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соответствует одно и то же значение у для обеих функций. Чтобы найти это значение х, надо решить уравнение

0,9х - 1 = 0,8х+1.

Имеем: 0,9х - 0,8х= 1 + 1,

0,1x = 2,

х = 20.

При х = 20 обе функции

у = 0,9х - 1 и у = 0,8х+1 принимают одно и то же значение, равное 17.

Точка (20; 17) принадлежит как одному, так и другому графику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций y=0,9х - 1 и у=0,8х+1, пересекаются.

Рассмотрим теперь линейные функции, заданные формулами

у=0,5х+4 и у=0,5х - 2 с одинаковыми коэффициентами при х (рис. 3).

Чтобы выяснить, пересекаются ли графики этих функций, надо решить уравнение

0,5х+4=0,5х-2. Так как это уравнение не имеет корней, то прямые, которые являются графиками функций

у= 0,5х+4 и у = 0,5x-2,



Не имеют общих точек, т. е. они параллельны.

Вообще, графики двух линейных функций, заданных формулами вида у=kх+b, пересекаются, если коэффициент при различны, параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

Докажем это. Пусть

у = k₁x+b и у = k₂х +b₂ - две различные линейные функции. Чтобы выяснить, каково взаимное расположение их графиков, рассмотрим уравнение

Имеем

k₁x - b₁=k₂x + b₂

k₁x - k₂x= b₂ - b₁

(k₁ - k₂)x= b₂ - b₁.

Если k₁ ? k₂, mо это уравнение имеет единственный корень. В этом случае графики функций пересекаются. Если k₁= k₂ и b₁=b₂, то уравнение не имеет корней. В этом случае графики функций параллельны.

На рисунке 4 изображены прямые, которые являются графиками линейных функций, заданных формулами вида у=kх+b с одинаковыми коэффициентами при х и различными значениями b. Все эти прямые параллельны и наклонены к оси х под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэффициента k. Число k называют угловым коэффициентом прямой - графика функции

у = kх + b.

Используя термин «угловой коэффициент прямой», доказанное выше свойство можно сформулировать так: если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны. Из формулы

у=kх+b следует, что при х = 0 значение у равно b.

Значит, график функции

y = kх+b пересекает ось у в точке с координатами (0; b),

На рисунке 5 изображены прямые, которые являются графиками функций, заданных формулами вида

у= kх+b с различными k и одним и тем же значением b.

Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси.

1.7. Функции у=х², у=х³ и их графики

Зависимость площади квадрата от его стороны и зависимость объема куба от его ребра являются примерами функций, которые задаются формулами вида

у = х² и у = х³.

Построим график функции у= х². Составим таблицу соответственных значений х и у:

X	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
У	9	6,25	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4	6,25	9

Построим точки, координаты которых указаны в таблице (рис. 1).

Чтобы точнее построить график вблизи начала координат, вычислим еще несколько значений функции:

X	-0,4	-0,3	-0,2	-0,1	0,1	0,2	0,3	0,4
У	0,16	0,09	0,04	0,01	0,01	0,04	0,09	0,16

Из таблицы видно, что график функции вблизи начала координат почти сливается с осью х.

Через отмеченные точки проведем плавную линию (рис. 2). Получим график функции у = х². Ясно, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси у. График функции у=х² называют параболой Выясним некоторые свойства функции у=x²

1) Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

2) Если х?0, то у>0. Действительно,

квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.

3) Противоположным значениям, х соответствует одно и то же значение у. Это следует из того, что (-х)² = х при любом х. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси у.

Построим теперь график функции у=х³. Составим таблицу соответственных значений х и у, округляя значения у до сотых:

Построим точки, координаты которых указаны в таблице), через отмеченные точки проведем плавную линию Получим график функции у = х³. Ясно, что этот график неограниченно продолжается справа от оси у вверх и слева от оси у вниз.

Заметим, что вблизи начала координат график функции почти сливается с осью х (если х = 0,1, то у=0,001; если х = 0,2, то у=0,008; если х = 0,3, то y=0,027).

Выясним некоторые свойства функции у = х³.

1) Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

2) Если х>0, то у>0; если х<0, то у<0. Действительно, куб положительного числа есть число положительное, а куб отрицательного числа есть число отрицательное. Значит, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3) Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у. Это следует из того, что при любом значении х верно равенство (-х)³ = -х³. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.

функция формула график

Глава 2. Методика преподавания функций в VII классе

2.1 Психолого-педагогический аспект

Говоря о математике как об учебном предмете, мы прежде всего хотим осветить проблему влияния этого учебного предмета на целостный процесс формирования личности ученика. Вот что по этому поводу говорил (возможно, слишком категорично) B.C. Ильин. Ни один преподаватель «не должен оценивать степень эффективности своей работы по тому, как успешно реализуются отдельные функции процесса (например, усвоение учащимися знаний или умений). Каждый преподаватель обязан организовать процесс так, чтобы реализовать систему функций, адекватную структуре личности, и одновременно с усвоением знаний и умений формировать и личность в целом».

«Как относиться» - это, значит, решить для себя, какие принципы положить в основу планирования содержания и методов обучения, какие требования предъявлять учащимся, как строить общение с ними, как оценить их знания, возможности, способности, т.е. как определить основные направления и пути реализации характера обучения. Найти ответы на эти вопросы поможет анализ возрастных особенностей учащихся. Коротко остановимся на возрастной динамике каждого школьного возраста.

В этом возрасте подросток стремится не только больше знать, но и больше уметь. Не пытайтесь все делать сами, больше доверяйте, поручайте все сложные дела, - не бойтесь ошибок, -идет нормальный процесс накопления опыта.

Подросток стремится все понять, сам во всем разобраться, уяснить свое отношение ко всему, что и кто его окружает. Отсюда склонность спорить, оспаривать, казалось, даже очевидные вещи, перестают принимать «на веру». В частых в это время спорах пытаются выявить свою точку зрения, и, если это удается, подросток начинает страстно утверждать ее, даже навязывая другим, что очень хорошо использовать при изучении темы «Функции» в VII классе средней общеобразовательной школы.

В среднем школьном возрасте учащиеся начинают овладевать самостоятельной постановкой проблем и задач. В системы подключаются задачи осознания собственной деятельности, ее элементов и операций. Рефлексия -- является важным психическим новообразованием учащихся. Формированию рефлексии способствует введение в обучение составления графических записей. Поэтому на уроках по изучению темы «Функция» следует использовать много графических примеров.

Действие оценки, как показывают психологические исследования, на начальных этапах обучения формируются у учащихся в виде точной копии оценок учителя, как их буквальное воспроизведение. Однако уже в этом возрасте важно формировать самостоятельность и активность учащихся в оценке своей деятельности. Подростки интенсивно овладевают всеми формами самоконтроля как необходимой основой перехода к сложным формам регуляции. Выделение общения как ведущей деятельности подростка способствует формированию действия оценки с ориентацией на работу товарищей в процессе совместных форм учебной деятельности, с подключением взаимоконтроля и взаимооценки.

В этом возрасте идет стремление подростка утвердиться в позиции взрослого, почувствовать себя самостоятельным и уверенным в себе. Подросток хочет найти свое место в жизни, устремляет взгляд в будущее, однако пока это сочетается с позицией школьника; он еще слишком поглощен школой, учением, взаимоотношениями с товарищами. Поэтому необходимо дело, которое отличалось бы от всего, что он делал раньше, и по содержанию и по организации. К этому стремлению нужно относиться уважительно и помочь.

Возрастные возможности старших подростков и их стремление определить свое место среди окружающих приводят к важному следствию: в этот период возникает известное расхождение между тем положением, которое подросток занимает среди окружающих в качестве школьника, и тем, которое ему хотелось бы занимать, на которое он внутренне претендует. Он действительно стал взрослее во всех отношениях: более самостоятелен и умел, расширился кругозор и интересы, стал способен управлять своим поведением, что порождает потребность в какой-то новой позиции, он хочет признания со стороны окружающих его больших возможностей и, стало быть, больших прав, четко проявляется «стремление к взрослости», «к самостоятельности», «к самоутверждению». Стремление к взрослости приводит часто к поиску собственного образа жизни и деятельности. Направления поиска могут быть различны: бросить школу, начать зарабатывать деньги, некоторые пытаются утвердить себя в новой позиции, подражая поведению взрослых, начинают одеваться по-взрослому и т.д.

Впервые появляется стремление составить некоторую общую картину мира, общее представление о самом себе; появляется еще неосознанное до конца стремление упорядочить и объединить свои взгляды и отношения. Мышление как бы становится на службу потребности подростка разобраться во всем окружающем. Вместе с тем, развитие мышления в этот период характеризуется еще неумением подростка охватить богатство и многогранность действительности с позиции усвоенного им общего понятия. В этой связи подростку хочется выяснить: зачем живет человек, какова будет жизнь в дальнейшем, зачем живет он сам, каким он станет, когда будет взрослым. Формируются зачатки мировоззрения и связанного с ним общего мироощущения. Большое значение для этого имеет продвижение подростка в его умственном развитии. В этот период у старших подростков возрастает способность к абстрактному мышлению, к анализу и обобщению фактов и явлений, т.е. к более совершенному способу познания действительности. Данная особенность в сочетании с небогатым пока еще жизненным опытом делает часто подростка очень односторонним в своих суждениях и взглядах, слишком прямолинейным и нетерпимым. Он еще не умеет выявлять причинно-следственные связи, вникать и учитывать точку зрения другого человека. Это особенность находит свое выражение и в отношении с людьми, с которыми он общается. Иногда человек лишь одним хорошим словом или поступком, или даже красивым жестом может завоевать расположение подростка и заставить его закрыть глаза на присущие этому человеку недостатки. И наоборот, какой-нибудь неблаговидный поступок, который не характерен для личности в целом, может в корне изменить отношение подростка к этому человеку. Этим объясняются имеющие место в этом возрасте «крушение авторитетов», безжалостность и жестокость.

Следует помнить, что отношения старших подростков со взрослыми значительно усложняются; прямое непосредственное давление (приказ, немотивированное требование) вызывает протест. Зато охотно принимается опосредованное руководство в виде совета или ненавязчивого предложения прийти на помощь. Если взрослый хочет успешно взаимодействовать с подростками, он должен «завоевать из сознание», убедить их в правильности своих предложений. Если же моральные установки самого подростка являются неправильными, ему необходимо найти доказательства несостоятельности и должности взглядов подростка. Другая особенность взаимоотношения взрослых со старшими подростками заключается в необходимости оказывать им доверие и предоставлять возможно большую самостоятельность. В руководстве старшими подростками есть и еще одно условие: чтобы иметь авторитет у детей этого возраста, надо его завоевать.

Очертив общую характеристику возрастной особенности учащихся, попытаемся наметить особенности совершенствования психических процессов в подростковом возрасте.

Учащиеся седьмых классов - это преимущественно подростки 12-14 лет. Учеба в школе в этот прериод занимает большое место в жизни подростка. Именно в этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребёнок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Среди школьных предметов для развития логической памяти как нельзя лучше подходит алгебра.

Позитивное здесь - готовность подростка к тем видам учебной деятельности, которые делают его более взрослым в его собственных глазах. Такая готовность может быть одним из мотивов учения. Для подростка становятся привлекательными самостоятельные формы занятий. Подростку это импонирует, и он легче осваивает способы действия, когда учитель лишь помогает ему.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Конечно, интерес к учебному предмету во многом связан с качеством преподавания. Большое значение имеют подача материала учителем, умение увлекательно и доходчиво объяснить материал, что активизирует интерес, усиливает мотивацию учения. Постепенно на основе познавательной потребности формируются устойчивые познавательные интересы, ведущие к позитивному отношению к учебным предметам в целом.

В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознанием жизненной перспективы, своего места в будущем, профессиональных намерений, идеала.

Знания приобретают особую значимость для развития личности подростка. Они являются той ценностью, которая обеспечивает подростку расширение собственно сознания и значимое место среди сверстников. Именно в подростковом возрасте прикладываются специальные усилия для расширения житейских, художественных и научных знаний. Подросток жадно усваивает житейский опыт значимых людей, что дает ему возможность ориентироваться в обыденной жизни.

Эрудированный подросток пользуется авторитетом у сверстников как носитель особого фетиша, что побуждает его приумножать свои знания. При этом сами по себе знания доставляют подростку истинную радость и развивают его мыслительные способности.

Знания, которые получает подросток в процессе учебной деятельности в школе, также могут приносить ему удовлетворение. Однако здесь есть одна особенность: в школе подросток не выбирает сам постигаемые знания. В результате можно видеть, что некоторые подростки легко, без принуждения, усваивают любые школьные знания; другие - лишь избранные предметы. Если подросток не видит жизненного значения определенных знаний, то у него исчезает интерес, может возникнуть отрицательное отношение к соответствующим учебным предметам.

Успех или неуспех в учении также влияет на формирование отношения к учебным предметам. Успех вызывает положительные эмоции, позитивное отношение к предмету и стремление развиваться в этом отношении. Неуспех порождает негативные эмоции, отрицательное отношение к предмету и желание прервать занятия.

Важным стимулом к учению являются притязания на признание среди сверстников. Высокий статус может быть достигнут с помощью хороших знаний: при этом для подростка продолжают иметь значение оценки. Высокая оценка дает возможность подтвердить свои способности. Совпадение оценки и самооценки важно для эмоционального благополучия подростка. В противном случае могут возникнуть внутренний дискомфорт и даже конфликт.

Понятно, что устойчивые учебные мотивы формируются на основе познавательной потребности и познавательных интересов. Познавательные интересы подростков сильно различаются. У одних они характеризуются неопределенностью, изменчивостью и ситуативностью. У других проявляются применительно к узкому кругу учебных предметов, у третьих - к большинству из них. При этом учащихся могут интересовать различные стороны предметов: фактологический материал, сущность явлений, использование в практике.

Овладение учебным материалом требует от подростков более высокого уровня учебно-познавательной деятельности, чем в младших классах. Им предстоит усвоить научные понятия, системы знаков. Новые требования к усвоению знаний способствуют постепенному развитию теоретического мышления, интеллектуализации познавательной сферы.

Новые требования учебный материал предъявляет и к процессам восприятия. Подростку необходимо не просто запомнить схему, какое-то изображение, а уметь в них разобраться, что является условием успешного усвоения учебного материала. Таким образом, постепенно происходит интеллектуализация процессов восприятия, развивается способность выделять главное, существенное.

Находясь на выставке картин, мы рассматриваем произведения искусств и обращаем внимание на то, сумел ли художник передать глубину, завершенность образного содержания. Картина является итогом длительных наблюдений и размышлений художника над жизнью. Представьте, что мы находимся на выставке картин, выполненных с помощью компьютера. В компьютерном «изобразительном искусстве» мы можем увидеть не что иное, как графики функций. Чтобы научиться видеть в таких картинах действительно графики функций, научиться создавать самим такие картины, необходимо знать основные функции и их свойства.

Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический. Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.

Необходимо иметь в виду, что акцент при изучении главы делается не столько на определение понятия функции, сколько на введение нового языка, на овладение учащимися новой терминологией и символикой. При этом новый язык постоянно сопоставляется с уже освоенным, т.е. внимание обращается на умение переформулировать задачу или вопрос с языка функций на язык- графиков или уравнений и наоборот. Так, в ходе изучения материала школьники учатся понимать эквивалентность таких формулировок, как: «найдите нули функции у =f(х)», «определите, в каких точках график функции y=f(x) пересекает ось х», «найдите корни уравнения f(x)=0».

Усвоению материала младшим подросткам может мешать установка только на механическое запоминание. Объем учебного материала велик и воспроизвести его, пользуясь только старыми приемами запоминания, с помощью неоднократного повторения, сложно. Наибольшую эффективность воспроизведения обеспечивает анализ содержания материала, логики его построения, выделение существенного. Подростки, использующие мышление при запоминании, имеют преимущества перед теми, кто запоминает механически. Развитая речь, умение выражать мысль своими словами, творческое воображение содействуют овладению учебным материалом. Сами подростки при этом особое значение придают развитию собственной речи - ведь речь во многом определяет успех в общении.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причём как в практическом плане, так и в теоретическом. Ещё одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании всё принимать на веру. Эта возрастная особенность учащихся может помочь сделать уроки алгебры по теме «Функции» очень интересными для самих учащихся, если их проводить в форме неких практических работ. Ведь в этот период подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением всё самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки стремятся решать наиболее сложные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. В тоже время мышление этого возраста характеризуется стремлением к широким обобщениям.

Особенностью изложения материала является его явно выраженная прикладная направленность: много внимания уделяется графикам реальных зависимостей, важное место занимают лабораторные работы, вопросы и задачи прикладного и практического характера. При изучении линейной функции явно формулируется мысль о том, что с помощью этой функции описываются процессы, протекающие с постоянной скоростью, вводится идея линейной аппроксимации. В ходе решения задач учащиеся моделируют с помощью изучаемых функций самые разнообразные реальные ситуации.

Поэтому знание психологии своих учеников помогает учителю в его работе, так как учителя нередко задают вопрос: "Как относиться к ученикам?" Вопрос этот не случайный. Его решение связано с пониманием кардинальных проблем возраста, специфики и ведущих тенденций, определяющих особенности учебно-воспитательного процесса, стратегию обучения и воспитания.

В настоящее время обучение математике как одному из наиболее сложных школьных предметов нельзя понимать однозначно. Оно должно быть многоуровневым, причем каждый уровень должен регламентироваться своими целями. И, определяя эти цели, необходимо соблюдать следующие условия:

-- возрастные особенности учащихся;

-- уровень строгости изложения материала, соответствующий уровню развития (обучаемости) учащихся;

-- четкое определение объема (глубины) изучаемого материала в зависимости от решаемых задач обучения (базовое образование, математическая специализация, различные виды профильной дифференциации и т. д.).

Оценивая современное состояние обучения математике в средней школе, следует отметить несколько наиболее слабых сторон этого процесса:

-- нечеткость существующих целей обучения математике, их неконкретность, отсутствие системы и дидактической основы, несогласованность этих целей, с одной стороны, с запросами общества, с другой - с индивидуальными возможностями и особенностями учащихся;

-- весьма слабое использование процесса обучения математике в формировании всесторонне развитой личности учащегося, в познании школьниками окружающего их мира;

-- не проработанность основных способов и приемов учебной математической деятельности учащихся, отсутствие этапной теории овладения этой деятельностью в соответствии с уровнями развития и обучаемости учащихся.

Алгебра способствует полноценному эмоциональному развитию ребёнка, что является очень важным в подростковом возрасте. Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания.

Для нормального развития подростку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно алгебра, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Алгебра может и должна стать предметом, с помощью которого подростки могут сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями.

Но алгебра это продукт, который должен быть приготовлен очень умелым кулинаром. Иначе она может не только утратить свои питательные качества, но и принести вред организму.

2.2 Анализ методических особенностей изложения темы «Функции» в различных учебниках по Алгебре

Существует много различных учебных пособий по алгебре для учащихся в школах. В перечне учебных изданий для общеобразовательных учреждений на 2003/04 учебный год Министерством образования Российской Федерации были утверждены следующие учебные пособия по геометрии для учащихся основной школы: Макарычев ЮН. и др. «Алгебра 7» - Просвещение, 2001 -2002, Алимов Ш.А. и др. «Алгебра 7» - Просвещение, 2002, Мордкович А.Г. «Алгебра 7» - Дрофа, 1998 - 2002.

Каждый из учебников имеет свои плюсы и минусы, они отличаются как содержанием, так и стилем изложения учебного материала.

Теоретический материал учебника «Алгебра 7» авт. Макарычев ЮН. и др. изложен доступно и интересно, с учётом психологических особенностей школьников. Книга разбита на шесть глав, имеет три приложения и снабжена более чем тысячью разнообразных задач разного уровня сложности. В учебнике много оригинальных приёмов изложения, которые используются авторами не ради желания блеснуть своим особым подходом, а ради стремления сделать учебник доступным учащимся и одновременно строгим. Система задач позволяет развить учащихся к математике с учётом их математической подготовки.

Изучению темы «Функции» в школьной программе по учебнику Макарычева Ю.Н. отводится 15 часов.

Функция, область определения функции. Способы задания функции. График функции. Функция

у = kх + b и ее график. Функция у = kх и ее график.

Основная цель познакомить учащихся с основными функциональными понятиями и с графиками функций

у = kx+b (b0), у=kх.

Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической функциональной подготовки учащихся. Здесь вводятся такие понятия, как «функция», «аргумент», «область определения функции», «график функции». Функция трактуется как зависимость одной переменной от другой. Учащиеся получают первое представление о способах задания функции. В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умения находить по формуле значение функции по известному значению аргумента, выполнять то же задание по графику и решать по графику обратную задачу.