Методика изучения функций и их графиков в VII классе средней общеобразовательной школы

Функциональные понятия получают свою конкретизацию при изучении линейной функции и ее частного вида прямой пропорциональности.

Учащиеся, должны понимать, как влияет знак коэффициента k на расположение в координатной плоскости графика функции у = kх, как зависит от значений k и b взаимное расположение графиков двух функций вида

y=kх+b.

Формирование всех функциональных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что способствует усилению прикладной направленности курса алгебры. Функции у = х², у = х³ и их графики.

Основная цель - выработать умение выполнять действия над степенями с натуральными показателями.

В данной теме дается определение степени с натуральным показателем. При вычислении значений выражений, содержащих степени, необходимо обратить внимание на порядок действий. Учащиеся должны получить представление о нахождении значения степени с помощью калькулятора. Обоснование свойств степеней позволяет познакомить учащихся с доказательствами, проводимыми на алгебраическом материале.

При изучении свойств функций у = х² и у = х³ важно рассмотреть особенности расположения их графиков в координатной плоскости.

Авторы учебника «Алгебра 7» Алимов Ш.А. и др. хоть учебник и отличается изложением материала, но соответствует учебной программе. Понятия вводятся постепенно по мере необходимости. Помимо классических разделов алгебры в учебник включён научно-популярный материал, содержащий жизненные задачи и задачи исторического характера. Внимание уделяется не только прохождению нового материала, но и повторению пройденного ранее в младших классах. На форзаце учебника указаны основные формулы и графики изучаемых тем. Особенность учебника в том, что изучается только линейная функции, а х² и х³ не изучается и полностью оставляется на восьмой класс. Ему отводится на изучение данной темы всего 12 часов.

2.3 Изучение функций в VII классе с помощью средств образного характера

В школе в большей мере осуществляется аналитический и формальный подход к изучению функций. Графикам же уделяется недостаточное внимание. Не разработаны упражнения образного (графического) характера на освоение понятий и утверждений. В качестве упражнений на закрепление приводятся в основном функции, заданные аналитически, поэтому упускаются из вида несущественные их свойства. Ученики запоминают определения понятий, формулировки свойств формально, без подкрепления графическими примерами.

Практика показывает: использование наглядно-образного материала, раскрывающего общее в изучаемом материале, активизирующего познавательную деятельность учащихся, повышает их интерес и качество знаний.

Игнорирование образного мышления приводит к тому, что некоторые из ребят, не воспринимая формального, бессодержательного характера изучения понятий, теряют интерес к учебе. Поэтому использование образного мышления учеников является актуальной задачей, особенно при обучении математике, самой абстрактной из наук.

Важным при обучении математике является вывод психологов о том, что «восприятие начинается с некоторого ожидания или гипотезы». Это обеспечивает человеку не только реакцию на события, но и дает возможность предугадывать их. Из сказанного выше следует важное педагогическое положение: готовясь к формированию у школьников мысленного образа математического объекта, учитель должен в первую очередь позаботиться о создании у детей адекватного ожидания и привлекать такой наглядно-образный материал, который бы подкреплял это ожидание и не входил с ним в противоречие.

Традиционно понятие функции вводится с использованием таких бытовых ситуаций, которые создают неадекватное ожидание. Оно

формирует неверное направление мысли ученика и такой образ функции, которые затем приводят к многочисленным ошибкам. Обычно этими примерами являются изменение температуры воздуха и некоторые другие, описывающие непрерывные процессы. В действительности же чаще приходится иметь дело с разрывными функциями. Поэтому для создания адекватного ожидания был использован такой прием. Представьте, говорим ученикам, что по канату - оси Ох в системе координат хОу - идет человек и несет в вертикальном положении шест в виде идеального (математического) отрезка. Один конец шеста касается каната, а другой оставляет точки в плоскости, в которой передвигается шест. Волшебник, наблюдающий за передвижением шеста, произвольным образом меняет длину шеста, делает ее нулевой, изменяет направление шеста или убирает его вовсе. Представьте мысленно, каким может оказаться множество оставленных шестом точек. Укажите такие множества среди предложенных на рис. 1 вариантов. Приведите с помощью рисунка свои примеры.

Рис.1

Анализируем с учениками рисунки (сторону клеточки полагаем равной единице). На рисунке 1,а показана ситуация, когда волшебник убрал шест сразу после прохождения им абсциссы 1 и возвратил его в момент прохождения абсциссы 2. В момент, соответствующий абсциссе 5, волшебник мгновенно изменил направление шеста. Об этом говорит светлый кружок в точке с координатами (5; 2). Выясняем также, что на рис. 1,в описана ситуация, когда волшебник возвращал шест на мгновение и только при прохождении отдельных точек (абсцисс). Определяем, что множества точек на рис. 1, г, д шест не может оставить.

После проделанной работы проводится анализ ситуации с шестом, вводится в рассмотрение его «длина» (положительная, нулевая или отрицательная), вводятся понятия независимой и зависимой переменных, определение функции и приводятся некоторые конкретные примеры функций. Эти понятия учитель вводит явным образом, поясняя конкретными примерами у доски.

Такое образное представление функции ее графиком с «привязкой» к понятному способу его получения облегчает восприятие и создает ожидания учащихся о возможных конкретных функциях, среди которых могут появиться как непрерывные, так и разрывные, как устроенные «просто», так и. «экзотические». Одна ситуация с шестом позволяет моделировать разнообразнейшие функции.

Основополагающим при изучении рассматриваемой темы является дидактическое требование связывать изучаемые понятия с реальной действительностью, помогающей осознать многообразие ее проявлений и специфику описания математическими моделями, понятиями. Графики функций позволяют наглядно представлять поведение последних.

Для учеников нужно придумать такие реальные ситуации, которые были бы им понятны и интересны, например движение велосипедиста по горной дороге или закономерность увеличения или уменьшения скорости в гонках на машинах. Описание их с помощью графика должно быть достаточно простым. В то же время первое знакомство с графиками не должно заложить неправильных представлений, которые могут оказаться стойкими и трудно поддающимися исправлению в дальнейшем. Поэтому не рекомендуется приводить только те явления, которые описываются непрерывными графиками. Необходимо привлекать и разрывные графики. Первый опыт работы ученикам запоминается надолго, и в дальнейшем они будут воспринимать разрывные функции как рядовое явление. Практика использования разнообразных задач графического характера в VII классе по теме «Функции» показывает, что детям посильны и интересны такие задания, которые на первый взгляд им не под силу.

Поэтому в VII классе уже на втором уроке, посвященном понятию функции, ученики выполняют следующее упражнение.

1. Каждой из перечисленных ниже реальных ситуаций (1*--12*) соотнесите график функции (из а - 0, рис. 8), который описывает ее.

1 *. На голове человека растут волосы, которые тот регулярно стрижет (х - время, прошедшее от одной из стрижек, у ~ длина определенного волоса).

2*. Конус погружают в воду вниз вершиной (рис. 2) (х - глубина погружения, у -- масса вытесненной воды).

3*. Конус погружают в воду вниз основанием (рис. 3) (х - глубина погружения, у - масса вытесненной воды).

4*. Тело, состоящее из двух цилиндров (рис. 4), погружают в воду (х - глубина погружения, у - масса вытесненной воды).

5*. Тело, состоящее из двух цилиндров (рис. 5), погружают в воду (х -глубина погружения, у - масса вытесненной воды).

6*. Через каждый час рабочего времени на склад сдают изготовленные детали (х - время работы, у - количество деталей на складе).

7*. У человека есть деньги, которые он тратит на покупки (х - время, у - количество денег у гражданина).

8*. Яблоко растет, затем его срывают и сушат (х - время, у - масса яблока).

9*. Вода на поверхности озера в течение года (х - время, прошедшее с начала года, у - температура верхнего слоя воды).

10*. Мяч подняли над полом и выпустили из рук (х -- время, у -высота мяча над полом).

11*. Точка А вращается вокруг точки О (рис.6) (х - время, у -расстояние от точки А до прямой а).

12*. Два тела А и В установлены на невесомой планке, которая имеет точку опоры О (рис.7). Тела находятся в равновесии (х - расстояние от В до О, у -- масса тела В).

В случае с погружением конусов и цилиндров от учеников не требуется каких-либо специальных знаний об объемах этих тел. Достаточно интуитивных представлений, чтобы понять, как меняется масса вытесненной воды в зависимости от глубины погружения.

Известно, что понятие лучше усваивается, если оно рассматривается с разных сторон, включается во взаимно-обратные действия. Поэтому при изучении понятия «функция» предусматривается задание, в некотором смысле обратное предыдущему. Оно выглядит так.

Рис.8

2. Пофантазируйте! Какие реальные ситуации могут описывать функции, графики которых изображены на рис. 8? Укажите для каждой функции, что соответствует независимой переменной х, а что соответствует зависимой переменной.

В дополнение к приведенным выше заданиям учащиеся придумывают дома реальные ситуации и описывают их функциями, строя графики. Такая система работы, когда основное внимание обращается на образное представление функциональных зависимостей, на активную познавательную деятельность учеников, на связь математики с действительностью, приносит свои плоды.

Приведем еще пример задания, которое с большим интересом встречается учениками, так как оно демонстрирует разнообразие протекания, казалось бы, одинаковых реальных ситуаций. Оно же показывает, как можно сделать более интересными и развивающими стандартные упражнения из школьных учебников.

3. На складе было 50 т угля. Ежедневно на склад поступало по 10 т. На рис. 10, а-е даны графики, описывающие зависимость количества угля р (в тоннах) от времени t (в сутках). По каждому графику составьте рассказ о том, что происходило с углем. Как он поступал на склад, в каком количестве? Расходовался ли?

При выполнении последнего задания ученик встречается с большим разнообразием конкретных способов поступления угля, описываемых разными графиками. Воображение рисует новые реальные ситуации, которые могли происходить с углем. Деятельность ученика не дробится на мелкие, не связанные между собой, части; яснее проступает различие между разными графиками и соответствующими им реальными ситуациями. Школьник учится наглядно-образно представлять непрерывные и разрывные процессы.

Рис.9

г

Рис. 10

Приведем другие задания по теме «Функции».

4. Какой из графиков (рис. 10) может быть графиком функциональной зависимости числа п забитых в ворота мячей от времени t.

5. Укажите область определения D(f) и множество значений Е(f) функций по их графику (рис. 11) (сторона клетки равна 1).



Рис. 11

Следующие шесть заданий направлены на освоение учениками знаков, обозначающих значения функций.

6. Какая таблица (а - г) задает зависимость у от x;, которая является функцией f? Найдите для нее:

1)f(3)+ f(5); 2) f(1)- f(4).

а)

X	1	2	3	4	5	6	7
У	7	1	4	0	7	2	-2

б)

X	-2	3	5	2	1	4	6
У	5	1	4	8	6	7	-3

в)

X	1	3	2	5	1	4	6
У	2	4	6	8	3	5	7

г)

X	1	2	3	4	5	6	7
Y	5	4	1	2	6	4	3

7. Дан график функции y =f(х) (рис. 12). В той же системе координат постройте точки A(-l; f(-1) + 2), 5(1; f(1) + 2) и С(3; f(3) + 2). Укажите координаты этих точек. Постройте график функции

y =f(х) + 2.

Рис. 12 Рис. 13

8. Даны графики двух функций (рис. 14): у= f(x) и у= g(x). Каким равенством связаны f(х) и g(x)? Напишите его.

9. Дана функция f(x) = 2х + 3. Вычислите f(1), f(3) и f(5). Сравните a=f(3) - f(l) и b=f(5) - f(3).

10. На рис. 14 даны графики двух функций. Для первой функции найдем по графику: f(-2) = 6 и f(2) = 3. Следовательно, можно записать такое равенство: f(-2) =f(2) + 3 или f(-2) = 2f(2).

Рис. 14

Проделайте аналогичную работу для каждой функции, используя ее значения при заданных значениях х:

1) f(-6), f(4); 2) f(-5), f(5); 3)f(-4), f(-1);

4) f(-3), f(2); 5) f(-2), f(0); 6) f(l), f(6).

11. График первой функции состоит из 14 точек, а график второй - из 13 точек (рис. 15). Для каждой изданных функций найдите такие х (если они существуют), чтобы выполнялось следующее равенство:

1) f(х)=f(х + 3); 2)f(х)=f(х + 5);

3) f(х)= -f(x + 4); 4) f(х)=f{x + 3) - 1;

5) f(х)=f(x + 4) + 2; 6) f(х) =f(х + 4) - 2;

7) f(х) =f(х + 5) - 1; 8) f(х)= f(x + 2) + 1;

9) f(х)=f(х + 2) - 2.

Рис. 15

12. На каждом рисунке (рис. 16) построены по два графика линейных функций у = k₂x и у = k₂х. Найдите значения k₁ и k₂. Убедитесь, что эти прямые взаимно перпендикулярны. Найдите произведение коэффициентов k₁ и k₂ Сделайте вывод.

Рис. 16

2.4 Преподавание темы «Линейная функция и ее график»

Данная тема является начальным этапом в обеспечении систематической фундаментальной подготовки учащихся. Функциональные понятия конкретизируются при изучении линейной функции и ее частного вида - прямой пропорциональности. Формирование всех фундаментальных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождаются рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что способствует усилению прикладной направленности курса алгебры.

До VII класса идет накопление знаний, необходимых для введения понятия функции. Рассматриваются зависимости площадей фигур от длины их сторон, радиусов; решаются задачи, в которых одна величина зависит от другой и т.д. Этот курс можно назвать пропедевтическим.

Требования к уровню подготовки учащихся по данной теме Учащийся, заканчивающий VII-й класс, должен уметь:

1. Находить значения функции, заданной таблицей или формулой.

2. Строить графики линейных функций.

3. Находить нули и промежутки знакопостоянства линейной функции.

4. Понимать, как влияет коэффициент k на расположение графика линейной функции, как зависит от значений k и b взаимное расположение графиков функций вида у = kх + b.

По программе на тему «Линейная функция» предлагается отвести 15 ч [4] и распределить их следующим образом (учебник «Алгебра, 7» Ю.Н. Макарычева и др.):

Прямоугольная система координат на плоскости - 1ч.

Что такое функции, вычисление значений функции по формуле - 2ч.

Изучение темы график функции - 1ч.

Решение задач. Контролирующая самостоятельная - 1ч.

Изучение темы линейная функция - 1ч.

Решение задач по теме линейная функция - 1ч.

Обобщающая самостоятельная работа - 1ч.

Изучение темы прямая пропорциональность - 1ч.

Урок закрепления пройденного материала - 1ч.

Обобщающая самостоятельная работа по двум пройденным темам-1ч.

Взаимное расположение графиков линейных функций - 1ч.

Урок закрепления пройденной темы и контролирующая самостоятельная работа - 1ч.

Обобщение и систематизация Главы 2 и решение задач на межпредметную связь - 2ч.

Контрольная работа - 1ч.

2.4.1 Чтение графиков

Для учащихся график является опорным образом при усвоении значительного числа функциональных понятий. Поэтому цель данного пункта состоит в том, чтобы дать учащимся возможность активно поработать с графиками и в ходе их анализа разобрать все характеристики функций, которые будут изучаться в следующих пунктах.

Надо отметить, что учащиеся работают с графиками реальных процессов при изучении понятия функции VII классе (глава 2, § 4.). Больше времени необходимо уделять самостоятельному построению графиков. При выполнении отдельных упражнений (по выбору учителя) полезно предлагать учащимся самим придумывать вопросы по графикам или же рассказывать, какую дополнительную информацию можно извлечь из этого графика.

В объяснительном тексте рассматриваются четыре примера. Первый - зависимость площади квадрата от длины его стороны - позволяет закрепить известный из курса геометрии материал и продемонстрировать учащимся, как изменяется площадь квадрата при увеличении стороны. Вопрос о увеличении площади квадрата в зависимости от длины стороны, обсуждаемый в тексте, следует разобрать детально, так как к этому примеру учащиеся обратятся вновь при изучении функции х².

С помощью других примеров учащиеся учатся находить соответствующие значения функции и обратно. Они плавно подводят к понятию функциональной зависимости или функции. Рассматривая эти графики, школьники учатся сопоставлять различные характеристики изображаемых процессов и извлекать разнообразную информацию. Ученики так же знакомятся с понятиями значения функции и области определения функции.

Комментарии к некоторым упражнениям

252. Площадь прямоугольника со сторонами 9 см и х см равна S см². выразите формулой зависимость S от х. Для значения аргумента х = 4; 6,5; 15 найдите соответствующее значение функции.

Данное задание позволяет закрепить только, что пройденный материал, т.е. умение составлять функциональную зависимость и находить соответствующие значения функции из этой зависимости.

Дополнительно, например, можно спросить, можно ли составить обратную зависимость, т.е. по известной стороне и площади найти сторону. Полезно предложить учащимся самим придумать аналогичные зависимости из физики.

256. На рисунке 9 показано изменение высоты сосны у (в метрах) в зависимости от ее возрастах (в годах). Найдите:

рис. 9

1) Определите по графику:

а) высоту сосны в возрасте 10; 40; 90; 120 лет;

б) на сколько выросла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет; от 60 до 100 лет?

1) Определим высоту сонны в разные годы жизни. По графику находим, что в 10 лет ее рост составлял 5 м., в 40 лет 18 м., а в 120 лет 32 м.

Полезно предложить учащимся придумать аналогичные закономерности с чем-нибудь еще.

Можно так же разобрать и обратную задачу нахождения возраста в зависимости от роста,

2.4.2 Понятие функции

В этом пункте вводятся понятие функции, а также некоторые связанные с ним понятия: зависимая и независимая переменные, аргумент, область определения функции. С этого момента начинает использоваться функциональная символика у = f (х). Рассматриваются способы задания функции - графиком, формулой, таблицей.

Функция здесь трактуется как зависимая переменная, значения которой однозначно определяются значениями другой переменной. Однако необходимо иметь в виду, что целью является не столько введение строгого определения понятия функции, сколько ознакомление учащихся с различными ситуациями, в которых употребляется термин «функция», введение нового словаря и обучение его применению. В тексте специально подчеркивается многозначность слова «функция» и широкий диапазон его применения в математике - для обозначения и зависимой переменной, и самой зависимости, и правила, по которому устанавливается зависимость между переменными.

Особенностью принятого подхода является также его явный прикладной характер. Это выражается, в первую очередь, в том, что само понятие функции вводится и иллюстрируется на основе зависимостей, взятых из реальной жизни. Специально обращается внимание на некоторые различия в применении символики в математике и в физике, обсуждается вопрос о сужении области определения функций в практических задачах -- физических, геометрических и т.д.

В результате изучения пункта учащиеся должны понимать и правильно употреблять функциональную терминологию (функция, аргумент, область определения функции), записывать функциональные соотношения с использованием символического языка

(f(x) = х² - 2, у =f(х), f(З) = 20 и т.п.), в несложных случаях выражать

формулой зависимость между величинами, находить по формуле значение функции, соответствующее данному аргументу, и аргумент, которому соответствует данное значение функции.

№ 256, 258,270 - 272 - это упражнения на задание формулами функций, описывающих самые разнообразные реальные ситуации. Заметим, что это новая для учащихся работа. В ходе выполнения указанной группы упражнений школьники овладевают новыми понятиями и осваивают введенную терминологию.

Упражнения № 261 - 264 направлены на усвоение функциональной символики.

Упражнения № 265 - 270 дублируют упражнения № 261 - 264. Все они направлены на отработку умения понимать и применять функциональную символику, но в более сложных ситуациях. Выполнять их можно непосредственно после решения упражнений № 262, 263.

2.4.3 График функции

Теоретический материал разделен на два логических фрагмента. Первый - это введение новых обозначений для числовых промежутков и задавались с .помощью неравенств: отрезок, интервал, луч (замкнутый и открытый). Таким образом, с этого момента учащиеся могут пользоваться любым из обозначений. Например, множество чисел, больших 2, можно обозначать двумя способами: х > 2 и (2;).

Второй фрагмент -- это собственно материал, связанный с графиками функций. Рассматриваемые в пункте две задачи являются центральными на данном этапе изучения материала. Первая -- это нахождение с помощью графика значения функции, соответствующего заданному значению аргумента, а также значений аргумента, которым соответствует данное значение функции. Вторая - это построение графиков функций по точкам.

Пример, рассматриваемый в заключение, помогает разъяснить, что не всякое уравнение или график задают функцию. Этот пример носит иллюстративный характер, и спрашивать всех учащихся, задает тот или иной график функцию, не следует.

В ходе выполнения упражнений школьники учатся описывать графическую ситуацию по-разному, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки. Например: «функция у = f(x) принимает значение, равное 0, при х = -1 и х = 2», «график функции у =f(x) пересекает ось х в точках с абсциссами, равными -1 и 2», «уравнение f(x) = 0 имеет корни -1 и 2». В результате, учащиеся должны понимать эквивалентность соответствующих формулировок и свободно переходить от одной из них к другой. Большое внимание в упражнениях уделяется также построению графиков функций, заданных самыми разными формулами, по точкам с помощью составления таблиц значений.

Комментарии к некоторым упражнениям

3. Кривая MN - график некоторой функции (рис. 1). Найдите по графику значение функции, соответствующее значению аргумента -2; -1; 0; 1; 5.



4. Используя график функции, изображенный на рисунке 2, заполните таблицу:

X	-3	-1,5	-0,5	0	0,5	3,2
У

Укажите пять значений аргумента, которым соответствуют положительные значения функции, и пять значений аргумента, которым соответствуют отрицательные значения функции.

Воспроизведите этот график в тетради.

Упражнение полезно для формирования умения читать и строить график функции. При его выполнении, для предупреждения ошибок, следует обратить внимание учащихся на масштаб по оси х и по оси у.

Следует также заметить, что при построении графика в тетради можно взять другой масштаб, например, увеличить график, приняв за единицу 4 клетки.

2.4.4 Линейная функция

Линейная функция - это первая конкретная функция, с которой знакомятся учащиеся. Так как учащиеся уже умеют строить график зависимости, заданной формулой у = kх + b (глава 4, пункты 4.1 и 4.2), то этот график служит опорой при введении всех понятий и свойств.

Как при изучении теоретического материала, так и в ходе решения упражнений (№ 296 - 298, 304 - 307, 325 - 327), рассматривается большое число примеров реальных процессов и ситуаций, описываемых линейной функцией (в том числе и прямой пропорциональностью). В результате учащиеся приходят к пониманию того, что величины разной природы могут быть связаны между собой зависимостью одного и того же вида. Это важно при формировании представлений о математическом моделировании, а также о практической значимости математических знаний. В качестве проверки усвоения материала полезно предлагать учащимся приводить примеры известных им реальных зависимостей, являющихся линейными.

В результате изучения материала учащиеся должны уметь строить график линейной функции, находить с помощью графика промежутки знакопостоянства. В несложных случаях они должны уметь моделировать реальную ситуацию, описываемую линейной функцией (записывать соответствующую формулу, строить график этой зависимости, учитывая особенности области ее определения), интерпретировать графики реальных процессов, состоящие из отрезков, в том числе определять, на каком участке процесс протекал быстрее или медленнее.

Комментарии к некоторым упражнениям

307. В бак налили воды, температура которой 10 °С, и нагрели ее до 100 °С, причем через каждую минуту температура повышалась на 1,5 °С. Задайте формулой зависимость температуры воды у (в градусах Цельсия) от времени нагревания х (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику: а) какую температуру имела вода через 5 мин, через 10 мин после начала нагревания; б) через какое время вода нагрелась до 85 °С.

При составлении формулы зависимости учащиеся могут ошибаются и предлагать формулу

у= 10х + 1,5.

В этом случае, чтобы увидеть характер зависимости между у и х, можно составить таблицу, в которой будут записаны суммы, получаемые за каждый из нескольких первых дней работы.

В результате получаем формулу

у = х + 1,5

Прежде чем строить прямую, целесообразно обсудить, какой масштаб следует выбрать, чтобы рисунок был понятным и аккуратным. По оси х удобно принять одну клетку за единицу (5 мин), а по оси у - две клетки за 10 единиц (10 градусов).

Данное задание помогает развить у ученика умение работать с графиками, т.е. их построение, чтение, составление функциональной зависимости.

2.5 Индивидуально-групповые занятия по теме «Линейная функции»

Проведения уроков по рекомендованному плану выявил определенные недостатки. Учащиеся строят мало графиков функций у=kх+b. Поэтому им трудно по виду формулы определить, как расположен график, где он пересекает ось Оу, и как следствие этого, с большим трудом проходят уроки по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций».

Чтобы облегчить изучение темы, предлагаемый план был изменен, в процесс обучения был введен исследовательский момент (лабораторные работы № 1, 2), добавлены к изучению вопросы: «Частные случаи линейной функции и их графики», «Исследование линейных функций», «Графики простейших функций, содержащих модули», которые отсутствуют в учебнике.

В своем выступлении на курсах МИПКРО для учителей Юго-Западного округа А.Г. Мордкович, автор альтернативных учебников, утверждал, что учащиеся VII-го класса без особых затруднений исследуют графики линейных функций по общему плану (исключая вопросы: ограниченность, выпуклость, монотонность, периодичность, экстремумы). Свое утверждение он основывал на обобщении опыта работы учителей по его учебникам. Поэтому я предлагаю ввести рассмотрение этого вопроса в учебный процесс.

Необходимость введения темы «Графики простейших функций, содержащих модули» вызвана тем, что задания на построение таких графиков в последнее время все чаще встречаются на вступительных экзаменах в различные колледжи и вузы, а в учебниках Ю.Н. Макарычева и др. они не рассматриваются.

Таким образом, предложим следующее примерное поурочное планирование на факультативах:

1. Линейная функция и ее график; частные случаи - 3 ч.

2. Лабораторно-практическая работа № 1 «Построение графиков и исследование функций вида

x = kх + b при k = const» - 1ч.

3. Лабораторно-практическая работа № 2 «Построение графиков и исследование функций вида

y = kх + b при b - const» - 1ч.

4. Прямая пропорциональность, ее применение к прикладным задачам - 2ч.

5. Тестирование: «Линейная функция и ее график», «Взаимное расположение графиков линейных функций» - 1ч.

6. Обобщающий урок (по результатам тестирования коррекция знаний учащихся) - 1ч.

Так же рекомендуется на факультативных занятиях изучить графики функций у = ± | х |; у = ±| х | + b; у = ±| kх b | - 1ч.

Традиционные аспекты изучения данной темы далее изложены конспективно, существенные отличия и важные вопросы рассмотрены подробнее.

* Определение линейной функции:

Функция вида

у = kх + b, где k и b - некоторые заданные числа, называется линейной.

Построение графика функции у = 2х + 3 (с помощью таблицы), закрепляя тем самым навыки нахождения значений функции по заданному значению независимой переменной х (аргумента).



X	-3	-2	-1	0	1	2	3
У	-3	-1	1	3	5	7	9

Вывод о том, что графиком линейной функции является прямая линия (отсюда и название самой функции).

* Вспоминаем из курса геометрии основное свойство прямой: через две точки можно провести прямую и притом только одну. Следовательно, для построения графика линейной функции (прямой)достаточно задать только две точки. Лишний раз подчеркиваем взаимосвязь различных разделов математики (в данном случае алгебры и геометрии) и подводим под это следствие научную основу. В учебнике же просто констатируется: для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек.

* Построение графика функции y = -3х - 2 по двум точкам.

X	-2	0
Y	4	-2

* Рассматриваем функции

у = 2х + 3 и у = -3х-2 на координатной плоскости:

первый график расположен в I, II и III координатных четвертях, поднят по оси Оу на 3 ед.; второй график расположен во II, III и IV координатных четвертях и опущен по оси Оу на 2 ед.

Делаем вывод, что положение графика на координатной плоскости зависит от значений параметров k и b.

* Рассматриваем частные случаи линейной функции и соответствую-щие им графики, составляя удобную и наглядную таблицу.

Необходимость введения этого раздела вызвана тем, что в учебнике рассматривается только один частный случай - прямая пропорциональность. Однако в сборнике текстовых заданий для тематического и итогового контроля, разработанном лабораторией аттестационных технологий МИПКРО в различных тестах достаточно много заданий, требующих знания всех частных случаев линейной функции и их графиков.

2. График функции

у = kx, k0 (табл.: а - г)

При b = 0 линейная функция у = kх + b имеет вид у = kх.

Если k 0, то ее графиком является прямая проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно задать какую-нибудь одну ее точку, отличную от начала координат.

Если k = 1, то функция имеет вид у = х, ее график - прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов (табл.: а).

Если k = -1, то функция имеет вид у = -х, ее график - прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов.

Графики функции y = kх при k ± 1 представлены в таблице (в, г).

Если k > 0, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если k<0, то образует тупой угол с положительным направлением оси Ох.

2. График функции у = b.

При k = 0 линейная функция

у = kх + b имеет вид у = b.

Ее графиком является прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке с ординатой b (табл.: д, е).

Если не только k = 0, но и b= 0, то функция у = kх имеет вид у = 0. В этом случае ее график совпадает с осью Ох.

(См. Приложение1. Приложение 2)

2.6 Методика преподавания функций у=х² и у=х³

Данная тема изучается учащимися в теме «Степень с натуральным показателе и рассматриваются как зависимость площади квадрата от стороны и зависимость объема куба от его ребра, эта тема предлагает ученикам практическое применение данной темы. Изучение этой темы очень важно для учеников, так как она имеет свое продолжение в следующих классах при изучении решения квадратного уравнения графическим способом. И в дальнейшем при более подробном исследовании этих функций.

Данная тема является связующим звеном между 7 - 9 и 10 - 11 классом, где продолжаем изучать данную тему на более глубоком уровне.

501. Составьте таблицу значений функции и постройте ее график:

а) у = х² - 1, где -3 ? х ? 3;

б) у = 5 - х², где -4 ? х ? 4.

Квадратичная функция еще не изучалась. Поэтому, чтобы аккуратно построить график, надо взять достаточно много точек из данного промежутка, например, рассматривать значения х с шагом 0,1 (или 0,2). Для облегчения работы можно воспользоваться калькулятором. Было бы хорошо, если бы работа выполнялась на миллиметровой бумаге.

а) Прежде чем составить таблицу значений функции, полезно обратить внимание на то, что отрезок -3 < х < 3 симметричен, т.е. вместе с каждым положительным числом в нем содержится противоположное ему отрицательное число. Если же в заданную формулу подставить противоположные числа, то получится одно и то же значение у. Поэтому составление таблицы может быть сокращено. Если сами учащиеся не заметят этой особенности формулы, можно навести их на эту мысль, предложив найти значения функции, например, при х = 1 и x = -1; х = 2 и х = -2.

2.7 Практическое применение темы «Функция» в VII классе

Для чего же мы изучали тему «Линейная функция»? А для того чтобы применить ее уже при изучении темы «Системы линейных уравнений» применить наши знания на практике. Рассмотрим на примере учебника «Алгебра 7» автор Макарычев Ю.Н.

Первый раз мы сталкиваемся с применением линейной функции при определение графика линейного уравнения с двумя переменными. Его графиком является прямая.

Пример 1. Геометрической иллюстрацией уравнения с двумя неизвестными служит его график на координатной плоскости. Рассмотрим уравнение

х-у= -1. (1)

Выразим из этого уравнения у через х:

y = х+1. (2)

Уравнение (2) можно рассматривать как формулу, задающую функцию у от х. Поэтому графиком уравнения (2) является прямая.

Так как уравнения (1) и (2) выражают одну и ту же зависимость между х и у, то графиком уравнения (1) является эта же прямая.

Для построения прямой достаточно найти какие-нибудь две точки. Например, из уравнения (2) находим: если х = 0, то у = 1; если х = -1, то у= 0. Таким образом, графиком уравнения (1) является прямая, проходящая через точки (0; 1) и (- 1; 0) (Рис. 1). Можно показать, что графиком любого уравнения ах+bу = с является прямая, если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю. В той же координатной плоскости, на которой построен график уравнения (1), построим график уравнения

2х + у = 4. (3)

Из этого уравнения находим: если х = 0, то у = 4; если у = 0, то x= 2.

Следовательно, графиком уравнения (3) является прямая, проходящая через точки (0; 4) и (2; 0) (рис. 2).

Для закрепления материала полезно решить №№ 1113, 1114 эти упражнения помогут ученикам убедиться, что графиком линейного уравнения с двумя переменными будет прямая, из это значит, что зависимость линейная.

Далее мы находим применение линейной функции при решении систем уравнений с двумя переменными графическим способом. Для этого мы из каждого уравнения выражаем y через х, полученные уравнения будут задавать линейные функции. Строим графики этих функций в одной системе координат и находим решение системы. Если графики этих функций пересекаются, то система имеет одно решение, если графики совпадают, то система имеет множество решений, если графики параллельны, то система не имеет решений. Приведем примеры к этим сучаям.

Пример 2. Решить графически систему уравнений

.

Так как графиком уравнения с двумя переменными служит прямая, то решением системы будет точка пересечения или совпадение графиков, т.е. если эти уравнения имеют единственное решение, то оно задается парой чисел (х; у) которая и является решением системы.

Для этого нужно:

1) построить графики каждого из уравнений системы (Рис. 2);

2) найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).

Однако при графическом способе решения системы обычно получается приближенное решение. Решение системы уравнений дает точные значения координат точки пересечения.

Итак, прямые х-у= - 1 и 2x:+у = 4 пересекаются в точке (1; 2), т.е. точка (1; 2) является решением системы причем единственным.

Пример 3. Решить систему уравнений

(4)

Умножим первое уравнение системы (4) на 2:

Левые части уравнений этой системы равны при любых значениях х и у, а правые части не равны. Следовательно, нет таких значений х и у, которые обращают оба уравнения системы в верные равенства.

Ответ. Решений нет.

Геометрически это означает, что графики уравнений системы (4) -параллельные прямые (Рис. 3).

Пример 4. Показать, что прямые х - 2у = 2 и Зх - 6у = 6 совпадают.

Так как уравнение Зх - 6y = 6 получается из уравнения х - 2у = 2 умножением его обеих частей на 3, то эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между х и у. Следовательно,

графиками этих уравнений является одна и та же прямая (рис. 4).

Это означает, что система

имеет бесконечное множество решений: координаты любой точки прямой х - 2x = 2 являются решением данной системы.

Для закрепления этой темы хорошо решить №№ 1133-1136 при этом обязательно надо использовать системы содержащие не только х и у, но и другие переменные это поможет ученику при дальнейшем решении систем не зацикливаться при введение новой переменной в систему уравнений. Хотя данный метод не всегда дает точный ответ, но иногда не требуется точно знать ответ достаточно знать лишь приблизительное положение точки пересечения функций для этих целей и используется графический метод.

2.8 Технические средства обучения в теме «Функция»

Облегчение восприятия и усвоения учащимися математических знаний может быть достигнуто разумным использованием различных средств и пособий наглядности - моделей, таблиц, чертежей и рисунков, предназначенных для показа с помощью разнообразных проекционных устройств, демонстрацией специальных кинофильмов и т.д.

Компьютерная технология может осуществляться в различных вариантах, предлагается использовать как “проникающую” технологию, т.е. компьютерное обучение применяется по отдельным темам, разделам, для решения отдельных дидактических задач. Использование новых информа-ционных технологий непосредственно в рамках школьного урока по обычным общеобразовательным предметам может быть описано двумя моделями, различающимися по способу организации деятельности учащихся на уроке:

Урок с компьютерным сопровождением;

Урок в компьютерном классе

По вполне понятным причинам осуществить решение задачи по первой модели гораздо проще. Мультимедийная система была создана в кабинете математики несколько лет назад и используется в первую очередь для демонстрации наглядных образов, способствующих изучению математики. Силами учащихся и учителя можно создана компьютерную поддержку уроков по различным темам (виртуальные наглядные пособия).

Важным положительным эффектом применения компьютерной техники на уроке является повышение мотивации учения. При этом особенно ярко видно влияние новых компьютерных средств преподавания на “слабых” учащихся; для многих из них работа с компьютером оказывается той единственной ступенькой к возрождению интереса к учебе, возможностью добиться успеха. Учащиеся охотно создают презентации, используя дополнительный материал, возможности Интернета, собственные знания по информатике и математике. имер использования мультимедийной системы на уроке.

Использование компьютерных технологий в образовательном процессе вообще и на уроках математики в частности, позволяет придти к следующим выводам:

Мультимедийная система обеспечивает:

Наглядность материала, в том числе, за счет звука, цвета, движения;

Ускорение темпа урока;

Свободу постоянного экспериментирования с целью улучшения методики преподавания;

Последовательный характер обучения за счет планомерного накапливания наглядных электронных пособий, позволяющих с легкостью в любой момент вернуться к уже знакомым, эмоционально окрашенным образам пройденного материала, которые могут быть гораздо экспрессивнее всем известных опорных сигналов.

Компьютер на уроке - это педагогическая реальность, которая твердо вошла в нашу жизнь; при этом рассматриваем компьютер как еще одно дополнение к процессу обучения, а не заменяющее учителя и учебник средство обучения.

Однако чрезмерно частое использование средств наглядности может привести к задержке развития у школьников абстрактного мышления, затруднениям при решении задач, требующих развитого пространственного представления, и т. д.

Естественно, невозможно дать универсальные рецепты "соблюдения меры" в использовании тех или иных средств наглядности. В каждом отдельном случае эта мера определяется практически. Например, пусть решается в классе графически некоторая система уравнений. Сначала учащиеся должны самостоятельно построить графики по условию задачи. Некоторые справляются с этим заданием, другие затрудняются. Учитель пытается добиться выполнения этого задания, проводя дополнительное объяснение. Для тех, кто все еще не понимает задачу, выполняется построение на доске, демонстрируется кадр диафильма или диапозитив.

В другом случае, когда, например, ученики впервые знакомятся с темой, например линейная функция, целесообразно провести демонстрацию этого материал на компьютере к которому подключен проектор, где ученик воочию может убедится как мы получаем график линейной функции. Это возможно при использовании анимации, где графики получаются путем уплотнения точек. Аналогичный способ можно применить и при изучении функции у=х² и у=х³ . Но учителю не следует стараться любой вопрос, любую задачу подкреплять соответствующей наглядностью в той или иной форме.

Настенные таблицы по математике используются для решения различных дидактических задач, но основная их особенность - возможность размещения на стенах классной комнаты на длительное время. Многократное их использование обеспечивает более глубокое запоминание содержащегося в них материала, с одной стороны, и дает возможность быстро навести необходимую справку - с другой.

При демонстрации графиков так же можно пользоваться кодоскопом который допускает демонстрацию разнообразнейших материалов на прозрачной подложке, в том числе текста и рисунков, заранее заготовленных или наносимых учителем на прозрачную карточку или ленту непосредственно на уроке, в процессе изложения, причем учитель при этом обращен лицом к классу, а изображение проектируется на переднюю стенку класса или непосредственно на классную доску (желательно, окрашенную в светлые тона).

Важной особенностью кодоскопа является возможность наложения нескольких кодограмм друг на друга, чем достигается эффект присутствия при построении и создаются большие возможности для графического решения уравнений и их систем.

Новые возможности достигаются при использовании кодоскопа в ходе, опроса учеников. Нескольким ученикам раздаются прозрачные карточки, на которых шариковыми ручками или специальными карандашами ученики записывают ответы. После этого записи учеников демонстрируются через кодоскоп перед всем классом. Если при этом окажется, что требуется внести исправления, ученик возвращается со своей кодограммой на место, где и устраняет недочеты.

Все возрастающая роль в обучении технических средств, наглядных пособий, вспомогательных дидактических материалов приводит к необходимости создания в каждой школе специализированного математического кабинета.

2.9 Роль межпредметной связи в обучение математике

Одной из главных и приоритетных тенденций современного образования является создание так называемых межпредметных связей при изучении отдельных циклов школьных предметов.

Естественно, что данное направление не могло не затронуть и всего комплекса естественно-математических наук. В частности, это хорошо заметно при изучении отдельных тем, входящих в состав учебников по тем или иным дисциплинам. В тесном единстве с химией изучается биология, с географией - экология (мы видим это в частичном совпадении тем этих предметов или при использовании материала одного школьного предмета в целях прочного усвоения другого). Физика же в свою очередь старается в максимальной степени использовать аппарат математики, а та ей его просто-напросто в полном объёме предоставляет.

Как ни странно, но математика вступает в самые тесные межпредметные связи лишь с физикой (это мы замечаем при работе с учебниками математики для общеобразовательных школ). И ведь это действительно так! Стоит только открыть учебник, например, «Алгебра 7» под редакцией А.Н.Колмогорова, как сразу же обнаруживаешь эту связь. Те же линейные функции описывающие равномерное движения тел, графики изменения температуры от времени и так далее. Подобное наблюдается и в учебниках для 7-9 классов. Таких примеров можно приводить бесконечно много, и все они сводятся к возникновению вопроса: "Почему же не нашлось таких узловых моментов, которые бы объединили математику со всем спектром естественных наук, изучаемых в рамках общеобразовательной школы?". А ведь они существуют, но не учитываются при написании новых учебников математики. Или просто-напросто нет таких специалистов, которые довольно хорошо владеют всеми этими науками (ведь как известно, все учителя математики в своё время закончили физико-математические факультеты ВУЗов, поэтому для них математика и физика это два "родных" предмета)?

Нет, для обеспечения целостного педагогического процесса, для реализации прикладной направленности в изучении математики всё же необходимо найти ту "ниточку", тот "порожек", с помощью которого можно было бы осуществить и преодолеть сложившееся недоразумение. А в частности, внедрить и показать значимость математики не только для самой себя и физики, но и для других школьных предметов естественного цикла. А показать всю значимость можно лишь при решении определённо поставленных задач практического характера. Тем самым мы сможем в максимальной степени привести в исполнение один из основных дидактических принципов - связь науки с реальной жизнью.

И всё это в руках учителя (прежде всего в его), а уж потом дело стоит за авторами учебной литературы! Поэтому любому учителю просто необходимо находить и составлять задачи такого характера и как можно чаще использовать их на своих уроках, т.е. вся инициатива в подборе упражнений лежит на плечах учителя. Он должен стараться на своих уроках интегрировать материал математики и естественных дисциплин для прочного усвоения учебного материала учащимися. Благодаря таким задачам, мы можем формировать познавательный интерес у школьников не только к своему предмету, но и к предметам своих коллег. Должны по возможности объединяться с другими учителями, чтобы дать интересный интегрированный урок. И пусть это будет не только сочленение математики с физикой (как чаще всего бывает), но и с химией, биологией, экологией и т.д.

Чем больше прикладной направленности мы можем внести в интегрированный урок, тем эффективнее будет реализовываться один из основных дидактических принципов - связь науки с реальной жизнью. Создавая межпредметные связи, мы будем доказывать учащимся то, что математика не существует сама по себе и сама для себя, а она призвана быть центральным звеном всех естественных наук.

Заключение

В данной работе рассмотрены теоретические и методические аспекты изучения темы «Функции в VII классах в средней общеобразовательной школе».

В результате проведения работы были решены все поставленные задачи и тем самым достигнута основная цель.

В ходе работы нами было предложено

-примерное тематическое планирование темы «Функции»;

-теоретическая часть, подкрепленная примерами с подробным решением;

-методические рекомендации по теме «Функция»

-методические рекомендации к индивидуально-групповым занятиям по теме «Линейная функция».

При достижении цели и поставленных задач были использованы методы исследования, а именно изучение и анализ литературы по проблеме исследования, теоретический анализ в разработке и обосновании методических положений, обобщения и систематизация материала.

Данная работа направлена на совершенствование учебного процесса, на применение на практике новых технологий обучения, основанных на принципах гуманизма, индивидуализации и дифференциации обучения и ориентированных на свободное развитие личности школьника.

Таким образом, познакомившись с данной работой, начинающий учитель или студент в полной мере почерпнет из нее все необходимые сведения для активизации познавательной деятельности учащихся при изучении функций в VII классах в основной школе. Данная работа предназначена для начинающих учителей средних школ, желающих более детально познакомиться с темой «Функция», а также для студентов педагогических вузов, которым предстоит педагогическая практика.

Список литературы

1. Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений (Ю.Н. Макарычев и др.) под ред. С.А. Теляковского. - М: Просвещение, 1997.

2. Дудницын ЮЛ. Алгебра, 7-9. Алгебра и начала анализа, 10-11. Планирование и контрольные работы, I полугодие. - М.: НПО «Образование», 1998, с. 9-10.

3. Кочетков Е.С., Кочеткова Е.С. Алгебра и элементарные функции. 9 класс. -- М.: Просвещение, 1967, с. 9.

4. Мещеряков Г.П. Линейная функция и ее график. // Математика в школе 2001 №7 - М.: ООО Школьная пресса. - с. 30-33.

5. Программно-методические материалы. Математика, 5-11. Тематическое планирование. - М.: Дрофа, 1998.

6. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра, 7. -- М.: Интеллект-центр, 1999, с. 53-54.

7. Научно -- теоретическая и методическая //«Математика» - 2002. №13 с. 14-17

8. Научно - теоретическая и методическая //«Математика» - 2003. №15с.8-9

9. Научно - теоретическая и методическая //«Математика» - 2004. №6 с.З

10.Научно - теоретическая и методическая //«Математика» - 2004.

№13 с. 10-12

11.Научно - теоретическая и методическая //«Математика» - 2004.

№14 с. 14-17

12.Научно - теоретическая и методическая //«Математика» - 2004.

№15 с. 12-15

13. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VII классах: пособие для учителя / Т.Н. Миракова. - Львов: “Квантор”, 1991. - 96 с.

14. Обухова Л.Ф. Детская (возрастная) психология. Учебник. -- М., Российское педагогическое агентство. 1996, - 374 с.

15. Выготский Л.С. Педагогическая психология. М: - Педагогика-пресс - 1999 - 534 с.

Размещено на Allbest.ru