Роль и место наглядности в обучении математике в средней школе

Рассмотрим некоторые воспитательные функции средств наглядности:

эстетическое воспитание

Эстетика, как известно, - это наука о закономерностях эстетического освоения человеком мира, о сущности и формах творчества по законам красоты. Некоторые предполагают, что между математикой и эстетикой нет ничего общего. Это весьма ошибочное мнение. Многие известные ученые деятели всегда подчеркивали это. Например: «Математика - один из видов искусства» (Норберт Винер), «В математике тоже есть красота, как в живописи и поэзии» (Н.Е. Жуковский), «В математике красота играет громадную роль» (Н.Г. Чеботарев), «Великая книга природы написана математическими символами» (Г. Галилей).

В формировании эстетического отношения к фактам и явлениям в процессе обучения математике важную роль играет правильное применение наглядности, ибо наглядность хорошо может показать определённые элементы красоты математических фактов, изящество доказательств теорем или решения задач.

нравственное воспитание

Изготовление и применение средств наглядности повышают интерес к предмету, вырабатывают у учащихся чувство собственного достоинства, и вследствие этого у них формируются определённые нравственные качества.

умственное воспитание

Поиски новых способов повышения эффективности обучения и умственного развития учащихся осуществляется в разных направлениях. Огромные возможности умственного воспитания содержит обучение математике с применением средств наглядности. Формирование абстрактных математических понятий с применением средств наглядности способствуют активному отношению учащихся к окружающему миру явлений. А с этим неразрывно связана наблюдательность, способность выделять в явлениях и фактах их наиболее существенные стороны и взаимосвязи.

Вследствие правильного применения средств наглядности в процессе обучения у учащихся повышается организованность в своей деятельности, они тщательно анализируют исходные положения и проверяют их, определяют наиболее рациональные пути решения математических задач.

§5. Классификация средств наглядности

Всё многообразие видов наглядности (по характеру отражения окружающей действительности), используемых в школе, можно свести к нескольким типам, различным по своему содержанию и функциям:

натуральные вещественные модели (муляжи, геометрические тела и фигуры, макеты различных предметов, технические образцы и их перспективные изображения, модели, панорамы, …);

условные графические изображения, отличающиеся разнообразием форм и содержания (чертежи, разрезы, сечения, эскизы, наглядные изображения в системе аксонометрических, изометрических проекций,.. );

знаковые модели (графики, диаграммы, формулы, уравнения, отдельные математические выражения и символы, математические знаки);

инструменты (линейка, циркуль, транспортир, угольник, …);

таблицы (плакаты);

экранные средства;

дискретные, точечные средства.

Все эти виды наглядности по-разному связаны с объектом изображения и имеют неодинаковую значимость в раскрытии его отдельных свойств.

Натуральные модели и их наглядные изображения являются простыми заменителями реальных объектов, с которыми они сохраняют полное сходство. Являются наглядной опорой для формирования у учащихся конкретных образов изучаемых объектов, они передают, как правило, конкретные чувственно воспринимаемые свойства отдельных объектов во всей их полноте, многообразии и выполняют роль иллюстраций при усвоении знаний. Эффективность применения моделей становится особенно ясной, если вспомнить такие образцы, как шарнирные параллелограмм и ромб, равносоставленные фигуры, треугольник, основание которого сохраняется постоянным, а вершина перемещается параллельно основанию (стороны его образуются резиновой нитью или шнуром) - в планиметрии, динамические модели тел вращения, модели многогранников, различные стереометрические наборы, прозрачные и полупрозрачные модели сечений, вписанных и описанных тел и т. д. - в стереометрии, модель термометра - для демонстрации свойств целых чисел и т. д.

Например, c помощью модели пирамиды можно пояснить понятие ребра, вершины, высоты, линейного угла двугранного угла и пр. Каркасная (проволочная) модель позволяет показать сечение многогранника плоскостью, взаимное расположение многогранников. С помощью моделей можно облегчить понимание школьниками доказательства теорем.

Важное значение модели приобретают при изучении стереометрии. Исследователи, занимающиеся изучением практики работы учителей на уроках геометрии в 10 - 11 классах, делают выводы, что большинство из учителей находятся под влиянием учебников, в которых вынужденно не используются наглядные пособия. Доказательства теорем проводятся только с использованием чертежей, тогда как в некоторых случаях их с большим эффектом и пользой можно провести на соответствующей модели. Для подтверждения слов приведем пример доказательства следующей теоремы: «Объем наклонной призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на боковое ребро».

Для доказательства нужно изготовить из бумаги (картона, дерева) два многогранника, дополняющие друг друга до прямой призмы (рис. 1). Поменяв положение многогранников так, чтобы совпали грани ABC и KLM, получим нужную наклонную призму с перпендикулярным сечением. Для неё легко провести рассуждения, доказывающие сформулированную теорему.

Рис. 1

Однако необходимо проследить за тем, чтобы использование моделей не привело к ухудшению навыков изображения учащимися пространственных фигур. Для этого нужно организовывать соответствующую деятельность в необходимом объеме.

Условные графические изображения, в отличие от натуральных моделей, способствуют передаче скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Они передают, главным образом, конструкцию (строение) объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное расположение отдельных составных частей.

Условные графические изображения являются более абстрактными (удаленными от объекта изображения), чем натуральная модель. Однако они дают возможность выявить более существенные связи и отношения. Поэтому условные графические изображения выполняют в процессе обучения объясняющую функцию, углубляя представления об изучаемом объекте, позволяя проникать в его более существенные связи и отношения, скрытые от непосредственного наблюдения.

Условные графические изображения позволяют представить не один, а сразу несколько различных предметов, обладающих общими конструктивными особенностями. На их основе создаются схематизирующие обобщения.

Условно графические изображения могут передавать различные состояния объектов - статическое и динамическое: процесс создания, изменения, изготовления.

Основная трудность у учащихся состоит в том, что за статическим изображением схемы они «не видят» динамических изменений объектов. Они без труда воспроизводят схему, но не могут представить по ней объект - движущийся, видоизменяющийся, преобразующийся, что ведет к «рассогласованию» образа схемы и объекта.

Знаковые модели существенно отличаются как от предметных, так и от условных изображений, рассмотренных выше. Это наглядность, но наглядность особая. В ней уже не просматривается связь с реальным объектом. С её помощью моделируются не отдельные свойства, и даже не их конструктивные особенности, а всеобщие абстрактные зависимости, общие объектам, разнородным по своему внешнему виду и конкретным особенностям.

Знаковые модели очень специфичны и поэтому не могут использоваться с другими видами наглядности без специального обучения способам их восприятия, содержания и назначения. Они несут в себе семантическую функцию, являются наглядными «носителями» теоретических знаний. Например, при изучении свойств функций (возрастание, убывание, максимум, минимум, нули функции и др.) целесообразно их аналитическую запись переводить на язык графиков и на этой основе тренировать учащихся «читать» графики функций.

Одной из разновидностей учебно-наглядных средств являются инструменты. Они представляют собой устройства, позволяющие производить некоторые математические действия. Дидактическая ценность их значительно выше, чем-то внимание, которое уделяется им в школьной практике. Вот некоторые виды инструментов: линейка, циркуль, транспортир, угольник, пропорциональный циркуль, центроискатель, поперечный масштаб, пантограф, эккер, малка, астролябия, биссектор и т.д. Все они описаны в соответствующей литературе, однако на практике широко применяются только первые четыре.

Требование активной деятельности учащихся является важнейшим при использовании наглядных пособий. Его забвение может также привести к формализму в знаниях учащихся. Участие последних в конструировании пособий способствует более осмысленному овладению учебным материалом, формированию необходимых образов осуществления способов действий. Особенно это относится к сложным учебно-наглядным пособиям, в том числе и к инструментам. Формальное заучивание способа их применения без вскрытия существа дела будет препятствовать осознанию учениками сути, и приводить к ошибкам. Глубокое понимание содержательной стороны, основанное на образных представлениях, возможно только тогда, когда ученик прослеживает генезис применяемого учебно-наглядного пособия.

Следующим указанным видом учебно-наглядных средств являются таблицы. Таблицы (плакаты) делятся на справочные, иллюстративные, рабочие и комбинированные. Справочные таблицы содержат справочный материал по той или иной теме школьного курса математики. Это могут быть тригонометрические формулы, формулы площадей, объемов, таблицы квадратов чисел и т.д. Хорошо структурированные, они помогают ученикам быстрее запомнить нужную информацию, лучше понять связи между формулами. Если же не ставить такой цели, то применение таблиц может оказать негативное влияние, выражающееся в том, что школьники не будут стремиться запомнить соответствующий материал. Предназначение иллюстративных таблиц -- разъяснять возникновение математических понятий, применение на практике, раскрывать их содержание, иллюстрировать применение алгоритмов, формул, методов решения задач и т.д.

Обычно стены классов школ заполнены различными таблицами. Предполагается, что учащиеся будут применять их в своей самостоятельной работе. Тем не менее, картина такова: в поисках ответа ученики предпочитают заглядывать в учебники, тетради или пользоваться заранее приготовленными шпаргалками. Особую трудность в быстром и оперативном использовании представляют таблицы, предлагающие набор формул или графиков. Такие таблицы составляются как справочный материал и содержат большой запас сведений теоретического характера. Распознавание объектов, закономерностей связей между ними затруднено из-за обилия информации, сосредоточенной в столбцах и строках, не всегда удобной для восприятия структурой и т.д. Одно из важнейших требований к таблицам - материал, помещенный в них, должен способствовать активной деятельности учеников, а не сводить их роль к пассивному созерцанию информации. При этих условиях многократное использование таблиц обеспечит более глубокое запоминание содержащегося в них материала, с одной стороны, и даст возможность быстро навести необходимую справку - с другой. Но если некоторый объект должен рождаться пред глазами учащихся, преобразовываться, то помещение его в готовом виде на таблице не принесет для учащихся пользы, а будет скорее во вред.

В отдельный вид можно отнести экранные средства. К ним относятся: кодоскоп (графопроектор), эпидиаскоп, диапроектор, кинопроектор. Главная задача технических средств обучения - повышение эффективности учебно-воспитательного процесса. Обеспечивая образную сторону знаний учащихся, технические средства обучения отвечают принципам научной достоверности, доступности обучения, принципу систематичности, связи теории с практикой, сознательности и активности мышления. Технические средства обучения воздействуют на учащихся, определяют возникновение непроизвольного внимания, что содействует непроизвольному запоминанию материала. А такой характер усвоения, как известно, наиболее надежен.

С появлением компьютеров и сетевого пространства развивается совершенно новый вид наглядности. Её можно назвать дискретной, точечной. С помощью «клика» (по-английски «click» - нажатие клавиши или компьютерной мышки) можно последовательно обращаться в любую точку информационного пространства. При этом сознание по закону соответствия структур начинает работать в совершенно новом режиме мышления. «Точечная наглядность» формирует в сознании современного поколения новую для педагогики картину мира. Пока трудно оценить, лучше или хуже эта новая наглядность, но то, что она строится на иных основах, уже очевидно. Об этом виде наглядности речь пойдет в следующей главе.

Необходимо подчеркнуть, что результативное использование средств наглядности в учебном процессе не ограничивается подбором соответствующих пособий и техникой их демонстрирования. Наиболее существенной стороной здесь является решение вопроса о том, как целесообразней сочетать разные средства. Ведь цель любого педагога -- достижение активной учебно-познавательной деятельности школьников.

Таким образом, наглядные и технические средства обучения способствуют не только эффективному усвоению соответствующей информации, но и

активизируют познавательную деятельность обучающихся;

развивают способность увязывать теорию с практикой, с жизнью;

формируют навыки технической культуры;

воспитывают внимание и аккуратность;

повышают интерес к учению;

делают процесс обучения более доступным.

Следует отметить, что все названные основные виды наглядности очень часто дополняются ещё одним своеобразным видом, это так называемая внутренняя наглядность, когда в процессе обучения как бы осуществляется опора на прежний опыт обучающихся, когда им предлагается просто представить какую-либо ситуацию, какое-то явление. Например, при решении задач на движение по и против течения реки учащимся совсем не надо совершать «путешествие» по воде. Здесь можно предложить ситуацию собственного «перемещения» в ветреную погоду: при каком условии легче идти, когда ветер дует навстречу вашему движению или наоборот. Таким образом, логически рассуждая, приходим к выводу скорости движения объекта по и против течения реки.

§6. Организация восприятия средств наглядности и требования, предъявляемые к ним при обучении математике

Для эффективного использования наглядности в процессе усвоения знаний большую роль играет не только тщательный отбор наглядных средств, в соответствии с содержанием знаний, но и организация их восприятия. Важное значение имеет постановка перед учащимися сенсорных задач в момент предъявления наглядного материала (указание на то, что в заданном материале необходимо найти, определить, сравнить, мысленно преобразовать и т.п.). Именно указание на способ работы с наглядным материалом формирует активность, динамичность и осознанность восприятия, без чего не может быть полноценного усвоения знаний.

Наглядный материал служит как бы внешней опорой внутренних действий, совершаемых ребёнком под руководством учителя в процессе овладения знаниями. Введение в обучение наглядного материала должно учитывать по крайней мере два следующих психологических момента:

какую конкретную роль наглядный материал должен выполнять в усвоении и

в каком отношении находится предметное содержание данного наглядного материала к предмету, подлежащему осознанию и усвоению.

Место и роль наглядного материала в процессе обучения определяются отношением деятельности учащихся с наглядным материалом к той деятельности, которая составляет суть процесса обучения.

Это отношение может быть трояким. Во-первых, та и другая деятельность могут совпадать между собой, что обеспечивает прямую действенность наглядности. Далее, первая деятельность может подготовлять собой вторую, и тогда требуется лишь правильно и чётко выделить соответствующие этапы педагогического процесса. И наконец, та и другая деятельность могут не быть связаны между собой, в таком случае наглядный материал бесполезен, а иногда может играть даже роль отвлекающего фактора. Пример этого: в учебнике по алгебре авторов Ш.А.Алимова и др. для учащихся 7 класса (М., «Просвещение», 2006) есть задача на странице 115: «Из пункта А в пункт В катер движется со скоростью 20 км/ч, а из В в А - со скоростью 30 км/ч. Какова средняя скорость катера?» Она иллюстрируется следующим рисунком 2.

Рис. 2

Этот рисунок в данном случае выступает в роли наглядного материала. Какова будет деятельность школьников с этим материалом? Очевидно, что они будут просто рассматривать изображённые катера, дома, замечать некоторые их особенности. Но эта деятельность совершенно не связана с той, которая достигает цели обучения: в данном случае - выявление общего способа решения задач «на нахождение средней скорости».

Поэтому приведённый рисунок не только не помогает осуществлению цели обучения, а мешает этому. В данном случае целесообразней использовать, например, схему-модель на рисунке 3.

Рис. 3

Важно не только уметь воспринимать предъявленную наглядность, переосмысливать её с учетом учебной задачи, но и перекодировать её содержание. Последнее требование связано с тем, что учащиеся постоянно имеют дело с разнотипной наглядной информацией, переходят от использования одних видов наглядности к другим. На уроках математики учащиеся постоянно обращаются к геометрическим моделям, двух- и трехмерным изображениям, работают в системе и тех и других, постоянно переходят от одних к другим. Овладевая понятиями, они воспроизводят их словесно, условно - символически, наглядно - графически. Например, при усвоении понятия «числовые промежутки» учащиеся должны уметь называть их словесно, фиксировать с помощью символической записи и изображать графически (рис. 4).

Рис. 4

Нередко требование выразить одно и тоже знание в различных системах, то есть перекодировать их, вызывает серьезные трудности у школьников. Ведь создаваемые при этом образцы имеют не одинаковое содержание. Различны условия их создания и оперирования ими.

Целостность восприятия, за которую отвечает правое полушарие головного мозга человека, возможна только при установлении логических связей между составляющими элементами, свойствами понятия. Поэтому наглядное пособие должно помогать их установлению. Если свойство объекта не является решающим в отнесении его к некоторому понятию, то оно должно быть представлено в наглядном пособии вариативно, чтобы не послужить причиной неверного обобщения учащимися. Надо отметить, что сплав наглядно-образного и понятийно-логического является важным в формировании содержательных знаний.

Известные в психологии примеры двойственных изображений подсказывают включить требование отсутствия двойственности восприятия учебно-наглядного пособия, если таковое не является специальной целью.

Возможность двойственной трактовки наглядного пособия иногда помогает выполнению поставленных задач или формулированию новых.

Например, наглядное пособие в виде треугольной призмы (или её изображения) с построенным в ней сечением плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие граням (рис. 5), можно воспринять как объекты (или их изображения), находящиеся в одной плоскости. Тогда это двойственное толкование поможет сформулировать интересную задачу: «Даны три параллельные прямые и три точки, лежащие внутри полос, определяемых этими прямыми (рис. 6). Построить треугольник с вершинами на данных прямых так, чтобы его стороны проходили через данные точки».

Рис. 5 Рис. 6

Характеристикой учебно-наглядных пособий является их статичность или динамичность. К статичным относят такие, у которых нельзя изменить взаимное расположение их элементов; к динамичным - те пособия, которые позволяют сделать это. Опыт показывает, что, динамичные пособия более функциональны. Однако важно, чтобы динамичность достигалась не в ущерб основным требованиям к пособиям.

Некоторые учителя смотрят на наглядность как на средство, специально придуманное для работы с учащимися. Такой узко дидактический взгляд на наглядность принижает её роль в познании и не может привести к правильному формированию математических понятий ни на каком этапе познания действительности.

При использовании средств наглядности следует придерживаться следующих правил обучения:

Нельзя игнорировать даже самые простые, технически несовершенные, устаревшие наглядные средства, если они дают положительный результат. Это могут быть, к примеру, самодельные пособия, изготовленные учителем или учащимися. Такие старые пособия порой не дают должного эффекта не потому, что они плохи сами по себе, а потому что неправильно используются.

Наглядные пособия необходимо использовать не для того, чтобы «осовременить» процесс обучения, а как важнейшее средство успешного обучения.

При использовании наглядных средств обучения должно соблюдаться определённое чувство меры. Если учитель даже располагает большим количеством хороших пособий по конкретному учебному материалу, это не значит, что они все обязательно должны быть использованы на уроке. Это ведёт к рассеиванию внимания, и усвоение материала будет затруднено.

Демонстрировать наглядные пособия нужно лишь тогда, когда они необходимы по ходу изложения учебного материала. До определённого момента желательно, чтобы все приготовленные наглядные пособия (модели, схемы и пр.) были каким-то образом закрыты от взора учащихся. Их необходимо демонстрировать в определённой последовательности и в необходимый момент. Исключение составляют наглядные пособия типа плакатов каких-либо сложных математических формул, таблиц умножения, математических постоянных величин, которые необходимо запомнить и т.п. Такие наглядные пособия должны постоянно находиться перед глазами учащихся.

С целью концентрации внимания учащихся необходимо руководить их наблюдениями. Прежде чем демонстрировать наглядное пособие, нужно разъяснить цель и последовательность наблюдения, предупредить о каких-то побочных, несущественных явлениях.

Ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств.

А.Н. Колмогоров отмечает эвристическую роль наглядности: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: совсем наглядное геометрическое построение, какое-либо новое геометрическое неравенство и т.д.»

Под эвристическим методом понимается такая организованная учителем учебная деятельность, при которой вместо изложения учебного материала в готовом виде учитель подводит учащихся к «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к составлению задач. Далее, везде, где это, возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными. В средней школе достаточно ясно показывается, на сколько полезны графики для изучения свойств функций. Поэтому … «геометрическое изображение, или, как говорят, «геометрическая интуиция», играет большую роль при исследовательской работе во всех разделах математики, даже самых отвлеченных». (Колмогоров А.Н. [23]). Наглядным примером, раскрывающим суть эвристического метода, может служить следующий фрагмент. В классе предстоит решить задачу: «Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине». Вместо неё предлагается задание: «Попытайтесь установить зависимость между длиной медианы, проведённой из вершины тупого угла треугольника, и длиной стороны, к которой она проведена». Обычно никто из учащихся эту зависимость не обнаруживает, так как они стараются выразить её формулой. Тогда предлагается то же задание, но для медианы, проведенной из вершины острого угла треугольника. Как только кто-либо из учащихся догадывается, что в первом случае длина медианы меньше половины длины стороны, а во втором - больше, наступает оживление. В классе возникает проблемная ситуация. Ставится вопрос: «А как будет в случае прямоугольного треугольника?» Учащиеся формулируют соответствующие задачи и решают их. Работа ускоряется, если учащимся предлагается проследить за указанной зависимостью при изменении угла на таком чертеже, как на рисунке 7.

Рис. 7

Глава II. Методические рекомендации по применению наглядности в обучении математике в средней школе

§1. Наглядность и моделирование

Исследуя проблему наглядности, В.В. Давыдов приходит к следующему весьма важному выводу: «…там, где содержанием обучения выступают внешние свойства вещей, принцип наглядности себя оправдывает. Но там, где содержанием обучения становятся связи и отношения предметов, - там наглядность далеко не достаточна. Здесь… вступает в силу принцип моделирования». ([14]). А так как в курсе математики основным содержанием являются разного рода отношения, то, следовательно, основным для этого курса является не принцип наглядности, а принцип моделирования.

Принцип моделирования не противопоставляется принципу наглядности - он лишь является его высшей ступенью, его развитием и обобщением, связанным с принципиальными изменениями в целях обучения и типах учебного процесса.

Рассмотрим понятие модели. Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт новую информацию об этом объекте.

Все модели можно разделить на два типа: Материальные модели (геометрически подобные оригиналам) и Идеальные модели. Идеальные в свою очередь делятся на образные (рисунки, чертежи, схемы), знаковые (математические уравнения), мысленные (наши представления о каком-либо явлении).

Создание материальных и идеальных (образных и знаковых) моделей производится на основе предварительного создания мысленных моделей - наглядных образов моделируемых объектов. Те и другие связаны друг с другом. Идеальная (мысленная) модель может быть прототипом материальной модели, как её план, предваряющий создание некоторого образца. В свою очередь материальная модель может послужить основанием для переформирования идеального содержания и создания идеальной модели.

Модель не просто даёт нам возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, а создаёт образ его наиболее существенных свойств, отражённых в модели. Все остальные свойства, не существенные в данном случае, отбрасываются.

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Рассмотрим оба этих аспекта использования моделирования в обучении.

Метод моделирования в содержании обучения.

В недавнем прошлом в нашей школе господствовал объяснительно-созерцательный тип обучения, когда в основе учебного процесса «лежит воспроизводящая познавательная деятельность учащихся», которая и развивает «главным образом воспроизводящее мышление» (М.Н.Скаткин [44]).

В современных условиях, когда объём необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации.

Поэтому необходимо, чтобы учащиеся в процессе обучения овладели общими методами познания, общими способами учебной познавательной деятельности. А для этого нужно выделить, отделить эти методы и способы от тех понятий и явлений, для изучения которых они используются, и сделать их самостоятельным предметом изучения.

Как это можно сделать? Выход в том, чтобы дать учащимся модели этих методов и способов в виде наглядных и легко обозримых схем, графиков или в каком-то другом виде. Тогда непосредственным предметом изучения станут эти чувственно воспринимаемые модели, а через них - опосредствованно - и сами методы и способы.

Итак, моделирование в обучении необходимо для того, чтобы сделать возможным полноценное и прочное овладение учащимися методами познания и способами учебной познавательной деятельности.

В качестве примера такого использования моделирования может служить эвристическая схема умственного действия распознавания принадлежности объекта к указанному понятию (множеству).

Задача состоит в том, чтобы установить принадлежит ли заданный объект к указанному понятию (множеству) или нет. Например, надо узнать, является ли данный четырёхугольник параллелограммом или нет.

Для решения подобных задач можно вместе с учащимися составить эвристическую схему распознавания:

Выбрать удобное определение понятия или какое-нибудь общее необходимое и достаточное условие.

Проанализировать выбранное определение (условие) и выделить в нём все признаки понятия.

Установить, какими логическими цепочками связаны между собой эти признаки.

Если все цепочки типа «и», то надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, и если хотя бы один признак не выполняется, то объект не принадлежит к указанному понятию; если же все признаки выполняются, то он принадлежит к этому понятию.

Если же некоторые признаки связаны цепочками типа «или», то для принадлежности объекта к понятию достаточно выполнения хотя бы одного (или только одного - в случае строго разделительного смысла цепочки «или») из этих признаков. Эту схему удобно изобразить в виде блок-схемы (рис. 8).

Рис. 8

Пример граф-схемы распознавания параллелограмма на основе его определения: «Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом» (рис. 9).

Рис. 9

Обозначения:

Ч-к - четырёхугольник со сторонами a, b, c и d

П-м - параллелограмм

П-м - не параллелограмм

Знак «+» означает, что соответствующий признак выполняется, а знак «-», что этот признак не выполняется.

Опыт и эксперименты показывают, что такие схемы и графы легко усваиваются даже учащимися 6-го класса, и они с интересом занимаются их построением и использованием в своей работе.

Но моделирование в обучении необходимо не только для этого. Важнейшей задачей общего образования является формирование у учащихся научного, диалектико-материалистического мировоззрения. Научное мировоззрение предполагает, что у учащихся сформированы ясное понимание соотношения объективного мира и научных знаний, чёткое осмысление и оценка явлений окружающего мира в свете научных теорий. У школьников должно быть сформировано понимание значимости научных абстрактных понятий (т.е. научных моделей) в познании реальной действительности, ибо «абстрактно отражают природу глубже, вернее, полнее» (В.И. Ленин, полн. собр. соч., Т29, с 152). Поэтому совсем небезразлично, как воспринимают учащиеся изучаемые научные понятия. Значит, явное знакомство учащихся с модельным характером науки, с понятиями моделирования и модели необходимо также в целях формирования у них диалектико-материалистического мировоззрения.

Рассмотрим модельный характер математики. Все математические понятия (например, геометрическая фигура) представляют собой особые модели количественных отношений и пространственных форм окружающей действительности. Эти модели математика сконструировала в процессе своего многовекового исторического развития. Но и в настоящее время любое творчество в области математики связано с созданием новых моделей. Для изучения построенных математических моделей в математике разработаны многочисленные методы (измерение длин, площадей и объёмов геометрических фигур и тел). Все эти методы и составляют в совокупности аппарат математики. Наконец, в математике разработаны и особые методики для использования в практике результатов исследования математических моделей. Примером такой методики являются приёмы решения практических задач с помощью уравнений. Эти методики использования математики в практике образуют особую область математической науки, которую обычно называют прикладной математикой.

Отсюда понятно, что основы науки, которые составляют содержание соответствующего учебного предмета, содержат и систему научных моделей, и аппарат для исследования этих моделей, и методики использования в практике результатов исследования моделей.

Возникает вопрос: а нужно ли, чтобы учащиеся знали модельный характер изучаемых понятий, разве недостаточно того, что они их изучают и учатся в какой-то мере ими оперировать? Что изменится от того, что учащиеся узнают, например, что уравнение, полученное в ходе решения текстовой задачи, есть математическая модель этой задачи?

Нужно, чтобы учащиеся не просто узнали, что слово «модель» может быть отнесено к полученному уравнению. Они должны узнать, что текстовая задача - это описание на естественном языке определённой ситуации. И для решения этой задачи математическими средствами надо построить её математическую модель. Уравнение и есть один из видов математических моделей. При этом учащиеся должны узнать, что это общий метод математического исследования реальных явлений, математического решения реальных задач, возникающих в ходе исследования этих явлений. Тем самым, если раньше математический смысл решения подобных задач был учащимся непонятен или понимался искажённо (так, на вопрос: «Что значит решить задачу?» большинство учащихся отвечает: «Получить ответ»), то при модельном подходе к решению задач этот смысл будет правильно осознан и составление уравнений займёт совсем иное структурное место в деятельности учащихся.

Таким образом, явное введение в содержание образования понятий модели и моделирования, выяснение сущности и роли моделирования в научном познании существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, к учению, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной.

Результаты педагогических исследований показывают, что целенаправленное формирование модельного подхода к изучению математики создаёт благоприятные условия для развития у учащихся основ теоретического мышления, внутренней мотивации учения.

Назрела необходимость явного включения моделирования в содержание учебных предметов, необходимость ознакомления учащихся с современной научной трактовкой понятий моделирования и модели, овладения моделированием как методом научного познания и решения практических задач.

Моделирование как учебное действие.

Необходимость овладения методом моделирования диктуется так же и психолого-педагогическими соображениями.

Задача привить учащимся умения ориентироваться в потоке научной информации требует отказа от объяснительно-созерцательного типа учебного процесса и перехода к новому, активно-творческому типу.

Для этого необходима серьёзная перестройка процесса обучения. Необходимо организовать у учащихся формирование:

и полноценных понятий;

и общих способов умственных действий с этими понятиями (решение задач).

Это означает, что учащиеся должны видеть в изучаемых понятиях наиболее существенные свойства и особенности и понимать их значение для решения соответствующих задач. Для осуществления такого формирования полноценных понятий психология указывает два пути.

Первый путь - это путь варьирования объектов, описываемых изучаемым понятием. Этот путь основан на положении о том, что существенные признаки понятия только тогда осознаются правильно, когда одновременно с ними осознаются вариативные несущественные признаки.

На этом пути достаточна обычная наглядность, но при её применении нужно учитывать необходимость варьирования несущественных признаков. Это значит, что, знакомя учащихся, например, с какой-либо геометрической фигурой, нужно её чертить не в одном каком-то стандартном виде со стандартными обозначениями, а в разнообразных видах, варьируя её положения на плоскости, размеры, обозначения и расположение отдельных элементов. Например, варьировать изображения ромба (стоит на вершине, лежит на стороне). Точно так же при знакомстве учащихся с каким-либо видом алгебраических выражений надо варьировать несущественные его признаки (обозначения переменных, коэффициенты и др.).

Второй путь - это вооружение учащихся при изучении какого-либо понятия ориентировочной основой действий с этим понятием для решения соответствующих задач.

Понятие ориентировочной основы умственных действий введено П.Я. Гальпериным, который считает, что в каждом разумном действии есть ориентировочная, исполнительная и контрольная части. Роль ориентировочной части действия при формировании понятий связана с тем, что «обобщение всегда идёт лишь по тем предметам, которые вошли в состав ориентировочной основы действий, направленных на анализ этих предметов» (Н.Ф. Талызина [45]).

Таким образом можно выделить три различных типа ориентировки в процессе обучения. Первый тип отличается существенной неполнотой ориентиров, даваемых учащимся (обычно в виде образца действия), по сравнению с теми условиями, на которые необходимо ориентироваться для правильного выполнения действия. Такой тип ориентировки по сей день является весьма распространённым в школе. Учитель показывает образец решения задачи нового вида, а затем учащиеся, ориентируясь на этот образец, фронтально и самостоятельно решают огромное число однотипных задач. Опыт показывает, что несмотря на большие затраты времени и сил, лишь некоторые учащиеся овладевают умениями в самостоятельном решении подобных задач, большинство же учащихся так и не научаются безошибочно и самостоятельно решать задачи, если они отличаются от данного образца хотя бы несущественными особенностями.

Метод вариации здесь не может помочь, так как для задач определённого вида имеется всегда огромное число варьируемых признаков и исчерпать их в учебной работе просто невозможно.

Второй тип ориентировки характерен тем, что даётся полная система указаний для безошибочного выполнения действий, но эти указания даются учащимся, во-первых, в готовом виде, а во-вторых, в конкретной форме, пригодной лишь для ориентировки в одном частном случае.

Примером может служить даваемое учащимся в готовом виде правило умножения одночленов («нужно перемножить все числовые множители, а произведения одинаковых букв заменить степенью этой буквы»). Ученик, пользуясь этим правилом, сумеет безошибочно найти произведение одночленов, но для выполнения других действий над одночленами и многочленами уже нужны другие правила. Поэтому школьникам приходится запоминать большое число частных правил действий над одночленами и многочленами.

При третьем типе учащимся даётся метод анализа объектов для самостоятельного составления полной ориентировочной основы действий.

Этот тип ориентировки для случая действий над буквенными выражениями может быть дан учащимся в виде общей схемы:

чтобы произвести какое-либо действие над буквенными выражениями, нужно каждое из них заключить в скобки и затем соединить соответствующим знаком действия в одно сложное буквенное выражение;

чтобы сложное буквенное выражение преобразовать к стандартному виду, можно использовать все известные правила действий над числами и законы этих действий (переместительный, сочетательный и распределительный) как в прямом, так и в обратном порядке. На основе этой общей схемы частные правила действий над одночленами и многочленами учащиеся могут получить самостоятельно, и все их запомнить тогда уже нет необходимости.

Для того, чтобы учащиеся могли усвоить этот общий метод анализа объектов и составления ориентировочной основы действий по решению частных задач при третьем типе ориентировки, нужно этот метод выделить и отделить от самих конкретных действий по решению частных задач и представить его в легко обозримом и наглядном виде. Cделать это можно путём моделирования, построив обобщённую модель действий по решению любых задач данного вида, например в виде схемы.

В практике обучения математике второй путь является основным, а первый лишь вспомогательным, нужный для первоначального знакомства учащихся с изучаемым понятием.

Таким образом, моделирование в современных условиях работы учителя математики нужно использовать для формирования у учащихся полноценных умственных действий по третьему типу ориентировки, являющемуся наиболее эффективным и развивающим типом учения.

Кроме того, моделирование в обучении математике необходимо и для формирования научно-теоретического стиля мышления. Моделирование следует использовать в обучении математике и для развития рефлексирующей деятельности учащихся. Ведь очень важно, чтобы учащиеся не только умели произвести те или иные умственные действия, но и могли проанализировать эти действия, а главное - имели потребность в таком анализе, имели привычку к нему. К такому анализу надо постепенно приучать учащихся. Этому будут способствовать задания на составление различных схем-моделей изученного материала, составление схем действий по решению задач определённого вида и прочее.

Таким образом, принцип моделирования в обучении математике означает, во-первых, изучение самого содержания школьного курса математики с модельной точки зрения, во-вторых, формирование у учащихся умений и навыков математического моделирования различных явлений и ситуаций, в-третьих, широкое использование моделей как внешних опор для внутренней мыслительной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления.

§2. Применение компьютерных технологий в обучении математике

Внедрение новых технических средств в учебный процесс расширяет возможности наглядных средств обучения. В современных условиях особое внимание уделяется применению такого средства наглядности, каким является компьютер. Применение компьютеров в учебном процессе увеличивает объем информации, сообщаемой ученику на уроке, активизирует, по сравнению с обычными уроками, организацию познавательной деятельности учащихся.

Появление компьютеров вызвало небывалый интерес к их применению во всех сферах деятельности человека. Возможности компьютеров растут столь стремительно, что прогнозы специалистов об их ближайшем будущем напоминают научную фантастику. Так как компьютер стал средством повышения производительности труда во всех сферах деятельности человека, практически все развитые страны начали широко разрабатывать компьютерные технологии обучения.

Умелое использование различных компьютерных технологий приобретает в наши дни общегосударственное значение, и одна из важнейших задач школы - вооружать учащихся знаниями и навыками использования современных компьютерных технологий.

С компьютеризацией обучения во всем мире связаны надежды повысить эффективность учебного процесса, уменьшить разрыв между требованиями, которые общество предъявляет подрастающему поколению, и тем, что действительно дает школа.

Благодаря компьютеру учитель получает возможность более совершенного контроля над процессом обучения, в котором уменьшается степень инструктивного введения в учебные ситуации и необходимость замены пассивных иллюстраций примерами.

Применение компьютерных программных средств на уроке могут позволить учителю:

сделать мыслительное - наглядным, а именно повысить уровень наглядности при обучении математике;

повысить индивидуализацию обучения;

облегчить проверку и анализ различных проверочных работ;

повысить интерес и познавательную активность учащихся.

К сожалению, существует также и ряд проблем при реализации обучения, с использованием компьютерных технологий, а именно:

проблемы технические, поскольку во многих школах отсутствует современная техника (переносные компьютерные классы);

методические проблемы, поскольку существует недостаточное количество подходящих обучающих программ;

ресурсные проблемы, поскольку большинство программ являются лишь техническим инструментом;

временные программы, поскольку пока не разработана методика, требуется значительно больше времени при подготовке к уроку.

Из всего вышесказанного следует, чтобы применять компьютерные технологии на уроках необходимо преодолеть различные трудности, а так же прежде чем вводить какие-либо обучающие программы следует оценить все плюсы и минусы их использования.

При компьютеризации обучения компьютер начинает оказывать решающее влияние на формирование позитивного отношения к учению только при работе школьников с эффективными обучающими программами. Такие программы предполагают ненавязчивый способ оказания помощи, возможность для учащегося самому выбрать темп учения, наличие игровых моментов, неограниченные способы предъявления иллюстративного материала, наличие задач исследовательского характера и т.д. Кроме того, компьютер, вовремя оказывая учащемуся необходимую помощь, избавляет его от чувства неудачи. А, как говорил Г.Селье: «...ничто не обескураживает больше, чем неудача, ничто не ободряет сильнее, чем успех...».

Применение возможностей компьютера в учебном процессе позволяет реализовать принцип индивидуализации обучения, активность обучаемых, интенсифицировать учебный процесс.

Использование компьютера и обучающих программ в учебном процессе предоставляет ряд новых потенциалов и преимуществ, как учителю, так и обучаемому по сравнению с традиционным способом обучения. Учитель, использующий на своих уроках компьютерные средства обучения, имеет возможность:

Легко распространять свой опыт, свою модель обучения той или иной учебной дисциплины, так как единожды созданная методика преподавания той или иной темы с помощью обучающей программы легко тиражируется.

Можно реализовать различные методы обучения одновременно для разных категорий учащихся, индивидуализировать тем самым процесс обучения.

Уменьшить количество излагаемого материала за счет использования демонстрационного моделирования.

Проводить отработку различных навыков и умений обучаемых, используя компьютер как тренажер.

Осуществлять постоянный и непрерывный контроль над процессом усвоения знаний.

Поддерживать историю обучения каждого ученика, вести и отрабатывать статистические данные, тем самым более точно и достоверно осуществлять управление учебной деятельностью.

Уменьшить количество рутиной работы, тем самым освободить время для творческой работы и индивидуальной работы с учащимися.

Сделать более эффективной самостоятельную работу учащихся, которая становится контролируемой и управляемой.

Для ученика предусмотрены следующие возможности:

Получает возможность вести работу в оптимальном для него темпе.

Обучается тем методом и на том уровне изложения, который наиболее соответствует уровню его подготовленности и психофизическим характеристикам.

Имеет возможность вернуться к изученному ранее материалу, получить необходимую помощь, прервать процесс обучения в произвольном месте, а затем к нему возвратиться.

Может наблюдать динамику различных процессов, взаимодействие различных механизмов и т.п.

Может управлять изучаемыми объектами, действиями, процессами и видеть результаты своих воздействий.

Легче преодолевать барьеры психологического характера (несмелость, нерешительность, боязнь насмешек и т.п.) из-за определенной анонимности контакта с компьютером.

Отрабатывать необходимые умения и навыки до той степени подготовленности, какая требуется вследствие исключительной "терпеливости" компьютера.

Возможности компьютера как средства учебной деятельности ещё до конца не раскрыты. Тем не менее, уже сегодня можно утверждать, что по своим функциям он является средством не только исполнения алгоритма, но и поиска способа оптимального решения. Компьютер является средством, позволяющим учащимся лучше познать самих себя, индивидуальные особенности своего учения, и в будущем он, несомненно, сможет взять на себя функции «наставника». В последнем случае ситуация учения перейдет в ситуацию обучения.

В процессе обучения, с использованием компьютерных технологий формируется продуктивное (творческое) мышление. Основными показателями такого мышления являются:

оригинальность мысли, возможность получения ответов, далеко отклоняющихся от привычных;

быстрота и плавность возникновения необычных ассоциативных связей;

«восприимчивость» к проблеме, ее непривычное решение;

беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием;

способность найти новые непривычные функции объекта или его части.

Использование компьютера при обучении позволяет создать необходимую информационную обстановку, стимулирующую интерес и пытливость ребенка в изучении математики.

Прежние попытки вести регулярное обучение с помощью компьютерных программ терпели неудачу в первую очередь потому, что не удавалось получить явное преимущество компьютерных технологий перед традиционными формами обучения, из-за несовершенства программных средств. Другая важная причина - компьютер не являлся общедоступным средством обучения.

В настоящее время ситуация меняется. Компьютер становится совершенно естественным средством познания окружающего мира. Эффективность обучения с помощью компьютера зависит от программных средств, которые используются при обучении. Для оценки качества педагогических программных средств (ППС) с целью определения возможности их использования в процессе обучения проводят классификацию по методическому назначению, согласно которой принято выделять следующие программы

-- обучающие, которые предназначены для изучения школьниками нового материала;

-- тренировочные (тренажеры), позволяющие отработать умения и навыки при повторении и закреплении изученного материала;

-- контролирующие, предназначенные для контроля уровня усвоения учебного материала;

-- информационно-справочные, которые предназначены для получения учащимися необходимой информации;

-- моделирующие, позволяющие создать модели объекта, процесса, явления с целью изучения и исследования;

-- демонстрационные, предназначенные для наглядного представления учебного материала, визуализации изучаемых закономерностей, взаимосвязи между объектами;

-- игровые, которые дают возможность «проигрывать» учебную ситуацию с целью принятия оптимального решения или выработки оптимальной стратегии действий;

-- досуговые, предназначенные для внеклассной работы (например, с целью развития внимания, реакции и т.п.).

В качестве наглядного средства обучения компьютер способен реализовать все преимущества технических средств обучения. Современные компьютерные программы позволяют создавать тексты, различные виды графики, мультипликацию со звуковым сопровождением, кино и видеоизображения. При этом важно понимать, каковы границы применения компьютерных программных средств. Компьютер может обеспечить:

индивидуализацию и дифференциацию процесса обучения, а также оптимизацию темпа работы ученика;

осуществление контроля за работой всех учащихся за короткий промежуток времени;

осуществление самоконтроля и самокоррекции;

сокращение времени выработки необходимых навыков учащихся за счет возможности увеличения количества тренировочных заданий;

высвобождение учебного времени за счет выполнения на ЭВМ трудоемких вычислительных работ;

визуализация учебной информации;