Развитие познавательного интереса у учащихся 5-х и 6-х классов на уроках математики

В учебнике содержится множество отступлений, исторических фактов, что может способствовать активизации познавательной деятельности учащихся.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин «Математика. 6 класс»

Доступность теоретического материала такова, что слабому ученику без помощи учителя сложно выучить новый материал, зато сильный ученик после самостоятельного изучения темы при выполнении домашней работы способен увидеть ценные теоретические факты и, поэтому глубже понять новый материал..

В учебнике много правил, определений, их формулировки просты и понятны, что способствует формированию математически грамотной речи.

Проблемные ситуации в основном представлены в виде задач в начале пунктов.

На каждую тему выделяется достаточное число упражнений, содержание многих из которых привлекает своей необычностью, много задач житейского характера, имеются задачи, связанные с произведениями русских литературных классиков, что должно быть особенно привлекательно для учащихся, больше склонных к изучению гуманитарных наук.

Широко используются приемы активизации учебной деятельности школьников, связанные с различными игровыми и занимательными моментами. Имеются достаточно много нестандартных развивающих задач, «это позволяет значительно расширить возможности для развития мышления и речи учащихся, разнообразить приемы решения задач, расширить их представления о способах решения задач в далекие времена, может способствовать развитию школьников, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике».

В конце каждой главы представлены пункты «Для тех, кому интересно», содержащие в себе интересную информацию и упражнения.

При работе с данным учебником дополнительная литература может понадобиться только при желании учителя включить в урок значительное число нестандартных задач. Если такая цель не поставлена, то имеющегося в учебнике материала вполне достаточно.

Приведем пример интересной проблемы: «задача-исследование: начертите окружность радиусом 3 см. проведите какую-нибудь прямую, не пересекающую окружность. Постройте касательные к этой окружности, параллельные проведенной прямой».

С.М. Никольский «Арифметика 6»

В учебнике присутствуют исторические сведения и занимательные задачи. В каждом пункте есть теоретическая часть, а затем практическая часть. Основные теоретические моменты выделены в тексте специальным образом. В учебнике много правил, определений, их формулировки просты и понятны, что способствует формированию математически грамотной речи.

Задачный материал обеспечивает потребности учителя при задании домашних заданий на закрепление пройденной темы. В то же время в учебнике довольно много разнообразных «нестандартных» задач, способствующих углублению знаний учащихся.

В учебнике уделено значительное внимание элементам теории вероятностей и математической статистики. Здесь также подобран большой задачный материал.

На страницах учебника можно найти множество интересных исторических фактов, «старинных задач», что может способствовать активизации познавательной деятельности учащихся.

Учебник подходит для учеников различной подготовленности, его можно использовать как в гуманитарных, так и в профильных классах.

И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика 6»

В учебнике большое внимание уделяется построению математических моделей. Теоретическая часть написана простым языком, даже для самостоятельного изучения учащимися. Автор работает с учениками, то есть идет разговор между автором и учеником. Задачи представлены в каждом пункте в учебнике. Эти задачи помогают учиться думать, рассуждать, делать выводы, расширить круг математических знаний и представлений.

Авторы дают возможность ученику после изучения им очередного параграфа самому делать выводы. Этому способствуют также и продуманные тренировочные упражнения. Важное и полезное значение имеют домашние контрольные работы, расположенные в конце некоторой группы параграфов, и в конце учебника.

Вывод: рассмотрев учебники, которые применяют в школах с точки зрения развития познавательного интереса, их можно распределить следующим образом:

на первое место мы ставим учебник авторского коллектива под руководством С.М.Никольского, на второе - учебник авторского коллектива под руководством Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, на третье место - учебник И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича, на четвертое место - учебник авторского коллектива под руководством Н.Я. Виленкина.

Для будущего профильного класса мы рекомендовали бы только два учебника - учебники Г.В. Дорофеева и С.М. Никольского. Отметим, что учебник под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина имеется один, но с нашей точки зрения, существенный недостаток: учебник ориентирован на сильных и мотивированных учащихся. Учащиеся со слабой подготовкой будут работать по этому учебнику с большой нагрузкой, а не мотивированные слабые ученики не смогут его читать.

В учебнике авторского коллектива под руководством Н.Я. Виленкина слишком мало интересных, занимательных задач, что может не позволить полностью развить умственные способности учащихся.

Учебник И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича построен очень интересно. Этот учебник обеспечивает непосредственный контакт автора с учениками. Однако в нем не много задач повышенной трудности и задач с нестандартным содержанием. То есть можно сделать вывод, что учебник более подойдет для средне и слабо успевающих учеников.

В учебнике авторского коллектива под руководством С.М. Никольского: теоретическая часть доступна каждому ученику, практических задач много и они очень интересны. В данном учебнике много занимательных и нестандартных задач, что позволит развить способности ученика в полном объёме.

активизация познавательный математический мотивационный



Глава 2. Методические разработки организации активной учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении курса математики 5 и 6 классов

Курс математики 5-6 классов - важное звено математического образования и развития школьников. На этом этапе заканчивается в основном обучение счету на множестве рациональных чисел, формируется понятие переменной и, даются первые знания о приемах решения линейных уравнений, продолжается обучение решению текстовых задач, совершенствуются и обогащаются умения геометрических построений и измерений. Серьезное внимание уделяется обучению детей проводить рассуждения и простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. При этом учащимися постепенно осознаются правила выполнения основных логических операций над высказываниями.

Такое многообразие задач, сформулированных в учебниках математики для 5 и 6 классов, определило их (учебников) достаточно сложную структуру, что, в свою очередь, требует от учителя планирования и проведения в этих параллелях, также сложных по структуре, многоцелевых уроков.

В данной главе будет для примера рассмотрено планирование уроков при изучении курса математики по учебникам Н.Я. Виленкина «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс».

§1. Примерное планирование учебного материала по математике с использованием активизации учебно-познавательной деятельности учащихся

В настоящее время программой отводится на изучение математики в 5-х и 6-х классах по 5 уроков в неделю. В начале года следует оценить степень развития и подготовленности детей, пришедших в 5 и 6 классы, и определить для них достаточный объем учебного времени - не менее 5 часов в неделю. Для классов со средней и недостаточной математической подготовкой лучше выделить 6 недельных часов. Ниже представлено планирование для класса с хорошей математической подготовкой, и расчет взят на 5 часов в неделю.

Календарно-тематическое планирование для 5-х классов

№	тема урока	Примеры задач
1	Натуральные числа и шкалы	1.В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек: Президент 1 2 3 4 5 После того, как президент выбран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления: 1 2 3 4 5 - президент 2,3,4,5 1,3,4,5 1,2,4,5 1,2,3,5 1,2,3,4 - вице- президент Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: . 2. Запишите наибольшее и наименьшее семизначное число. Решение. Наименьшее число- 1 000 000 Наибольшее число- 9 999 999 3.Как, имея два сосуда вместимостью 5 л и 7 л налить из водопроводного крана 6 л.? Решение. 1) Наполняем семилитровый сосуд, переливаем из него 5 л в пятилитровый, затем 5 л выливаем, а оставшиеся 2 л в семилитровом сосуде выливаем вновь в пятилитровый. 2) Снова наполняем семилитровый сосуд, отливаем из него 3 л в пятилитровый сосуд. Тогда в семилитровом сосуде останется 4 л. Выливаем все из пятилитрового сосуда и выливаем в него 4 л из семилитрового сосуда. 3) Наполняем вновь семилитровый сосуд, отливаем из него 1 л в пятилитровый сосуд. Таким образом, в семилитровом сосуде получаем 6 л.
2	Сложение и вычитание натуральных чисел	Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 с. За сколько секунд он поднимется с первого этажа на пятый? Решение: Если с первого на третий этаж требуется 6 секунд, следовательно, с третьего на пятый этаж нам потребуется тоже 6 секунд. Значит, 6+6=12 секунд- время проезда лифта с первого на пятый этаж.
3	Умножение и деление натуральных чисел	Степа придумал такой математический фокус: «Задумай число. Умножь его на 5. Полученное произведение умножь на 2. То, что получится, разделить на 10. В результате получилось задуманное число». Почему Степа всегда оказывался прав? Решение: Пусть а- задуманное число. (а*5)*2= а(2*5)= а*10; а*10:10= а. Задание учащихся к восприятию буквенной записи свойств арифметических действий.
4	Площади и объем	В одной старинной математической рукописи шутливо обсуждалась возможность асфальтирования дороги для муравья ( длиной 100 км и шириной 1 мм). Сможете ли вы найти площадь этой дороги? Решение: S= 100 км*1 мм = 100 000 м *0, 001 м = 100 мІ = 1 а.
5	Обыкновенные дроби	Витя - отличный хоккеист. Недавно он принял участие в матче за честь школы. Игра продолжалась два периода по 30 минут. Третья часть матча Витя подбирал себе коньки, клюшку и одевался в хоккейную форму, ? матча он сидел на скамейке запасных. Остальное время он играл. Сколько шайб он забросил? Решение: Ни одной, так как Витя в матче не играл. Учащиеся могут предложить такое решение: 1) 30*2=60 (мин) 2) ? от 60 минут составляет 20 минут 3) ? от 60 мин составляют 40 минут 4) 20+40= 60 (мин) Учитель предлагает найти другой способ решения. Если ученики не могут этого сделать, то учитель показывает его: ?+?= 1 (1- весь матч). Важно обратить внимание учащихся на тот факт, что при этом способе решения не используется продолжительность матча, то есть в условии задачи это данное можно опустить.
6	Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей	Укажите два числа, которые на координатном луче расположены между числами 3, 1 и 3, 11. Решение. Припишем к дробям нули, для того, чтобы их сравнить 3, 1= 3, 100 3,11= 3, 110 3, 100< 3, 110 Следовательно, можно сделать вывод, что между дробями лежат числа: 3, 101; 3, 102. Тоесть дроби, которые лежат в промежутке от 3, 100 до 3, 110.
7	Умножение и деление десятичных дробей	Одного человека спросили: -сколько вам лет? -порядочно, - ответил он.- Я старше некоторых своих родственников в 600 раз. Возможно ли это? Решение: Да, если родственник- младенец. Пусть, например, ему 0,1 года (то есть 1,2 месяца), тогда 0,1*600= 60 (лет), что вполне допустимо.
8	Инструменты для вычислений и измерений	Учитель начертил на доске четырехугольник, острые углы которого равны 60 и 45 градусам, а один из углов прямой. Какие углы можно построить с помощью этого четырехугольника. Решение: Можно построить: 45 градусов, 60 градусов, 90 градусов, 180 градусов, 30 градусов, 150 градусов и т.д.

Календарно-тематическое планирование для 6-х классов

№	Содержание учебного материала	Примеры задач
1	Делимость чисел	Чему равно делимое? Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное? Решение: Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя. Делитель в 6 раз больше частного и равен 36. Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.
2	Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями	Что я выпил в итоге - кофе с молоком или молоко с кофе? От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе? Решение: Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1 стакан. Молока долили сперва полстакана, затем треть стакана, и, наконец, шестую часть стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан. Следовательно, кофе и молоко выпито поровну.
3	Умножение и деление обыкновенных дробей	Всегда ли нужен измерительный прибор? Как от куска материи 2/3 метра отрезать 50 сантиметров, не имея мерительного прибора? Решение: Если от куска материи длиной 2/3 метра отрезать полметра, то длина оставшейся части составит 1/6 метра. Отделить от имеющегося куска 1/6 метра можно, сложив кусок вчетверо 2/3:4 = 1/6.
4	Отношения и пропорции	Ребро одного куба равно 10 см, а другого- 5 см. Найдите: Отношение объёма малого куба к объёму большого куба. Решение: V1= 10*10*10= 1000 (большой куб) V2= 5*5*5= 125 (маленький куб) 1000:125= 8- отношение. Ответ: 8.
5	Положительные и отрицательные числа	Однажды Саша в течение целого часа пытался отыскать два противоположных числа, которые оба были бы отрицательны, но безуспешно. Почему? Решение: Потому что противоположные числа (отличные от нуля) имеют разные знаки.
6	Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел	Учитель записывает на доске числа -3, 5, -7 и говорит: «Я сложил два числа и от полученной суммы отнял третье. В результате у меня получилось некоторое отрицательное число. Какое?» Решение: -15= (-3+(-7))-5. Учащиеся выполняют обычно это задание подбором. Учитель задает вопрос, почему у всех вычитается число 5, а не какое-либо другое. Этим вопросом стимулируется потребность обосновать данный факт. Если вычесть число -3 или -7, то сумма не будет отрицательной. Учитель указывает, что это простое рассуждение позволяет сразу записать верное равенство.
7	Умножение и деление положительных и отрицательных чисел	Петя отыскал два числа, произведение которых больше нуля, а частное меньше нуля. Сможете ли вы назвать такие числа? Решение: Нет. Таких чисел не существует. Учащимся полезно уяснить, что если произведение двух чисел больше (меньше) нуля, то их частное тоже больше (меньше) нуля.
8	Решение уравнений	Уравнение думает за нас Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына? Решение: Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет, отцу будет 32+х лет, сыну 5+х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение 32+х=10(5+х). Решив его, получаем х=-2. «Через минус 2 года» означает «два года назад». что о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына -- такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.
9	Координаты на плоскости	Найдите координаты букв на рисунке и расшифруйте имя греческого бога. Морская богиня, супруга Посейдона. (6; 6), (2; 3), (5; 8), (2; 5), (6; 4), (7; 6), (2; 5), (6; 4), (6; 6) 9 Ч 8 Е Ф 7 К З 6 Ш Н О В С А Р 5 И Г 4 У Я Т 3 М Э 2 П Л Ч Д Б 1 1 2 3 4 5 6 7 Решение: Амфитрита Эти задания можно заранее распечатать и каждому учащемуся предоставить, можно раздать им на дом в качестве домашнего задания.

§ 2. Приемы и способы повышения познавательного интереса и мотивации и их применение на уроках

Проблемы развивающего обучения в курсе математики 5-6 классов

У учеников 5-6 классов интерес к математике недостаточно устойчив, поэтому для поддержания и развития интереса к предмету следует включать в процесс обучения занимательные задания. Эти задачи должны быть составлены так, чтобы на начальных этапах их решение было под силу любому ученику и приносило положительные эмоции. Процесс усложнения задач должен для учащихся проходить незаметно «от простого к сложному» "по спирали", т.е. для решения новых задач используются знания, полученные при решении предыдущих задач.

Задача № 1

Из трех монет одна фальшивая, она легче остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая?

Решение

Требуется одно взвешивание: положим по одной монете на каждую чашку весов. Возможны два случая:

а) весы находятся в равновесии, тогда третья монета фальшивая; 6) равновесия нет, а этом случае фальшивая монета там, где вес меньше.

Задача № 2

Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов. Возможны два случая:

а) имеет место равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая находится среди тех монет, которые не взвешивались:

и) если одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета. Необходимо найти фальшивую монету среди трех имеющихся, что умеем делать (см. Задачу № 1).

Задача № 3

Из трех монет одна фальшивая, но неизвестно, легче она или тяжелее остальных. За сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая и легче или тяжелее она остальных?

Решение

Задача является развитием задачи № 1.

Первое взвешивание: положим по одной монете на каждую чашку весов. Возможны два случая:

а) имеет место равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, и остается узнать, легче фальшивая монета настоящей или нет, что можно сделать, сравнив ее по весу с третьей (фальшивой) монетой.

б) Если одна из монет легче, то третья монета - настоящая. Сравним ее вес с более легкой монетой. Если есть равновесие, то фальшивой будет более тяжелая монета, если равновесия нет, то более легкая.

По такому принципу подобраны все задания. Цель работы учителя - научить учащихся 5-6 классов решать конкретные задачи, помочь школьникам приобрести необходимый опыт и выработать собственную систему эвристических приемов, позволяющих решать незнакомые задачи.

Нестандартные задачи

“Нестандартные задачи -- это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения”.

Следует заметить, что понятие “нестандартная задача” является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной, в зависимости от того, знаком ли решающий задачу ученик со способами решения задач такого типа или нет.

Например, задача “Найдите значение выражения ” является для учащихся нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для них стандартными.

Таким образом, нестандартная задача -- это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

Иногда учителя единственным способом обучения решению задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д. Пойа, что, если преподаватель математики “заполнит отведенное ему учебное время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности”.

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению, видимо, нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт работы многих передовых учителей, добивающихся хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране, так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения нестандартных задач.

Прежде всего, отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед учителем,-- вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Как это сделать -- решать самому учителю. Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами, опытом, служащие понятной ученику цели.

Так, в период педагогической практики в 2008-2009 учебном году был проведен эксперимент в средней школе № 83 г. Москвы.

Ученикам 5 класса, в составе которого на момент проведения эксперимента было 18 человек, на самостоятельной работе в качестве дополнительного задания была предложена следующая задача: учащиеся самостоятельно сделали параллелепипед (оклеили спичечный коробок цветной бумагой, одинаковые стороны коробка одним цветом), было предложено посчитать площадь поверхности и объем своего параллелепипеда. Ученики самостоятельно измеряли стороны прямоугольников, считали площади прямоугольников, а затем вычисляли площадь поверхности параллелепипеда. У учащихся были разные коробки: у некоторых были коробочки побольше, у других поменьше и поэтому им очень понравилось проводить эксперимент. После проведения эксперимента учащиеся сравнивали значения, которые у них получились. У двоих учеников получились другие результаты, чем у большинства, поэтому они пересчитывали. Ученики научились самостоятельно проводить опыт, а также наглядным образом решить задачу.

Нам представляется, что этот интерес можно объяснить новой необычной ситуацией в сфере знакомых вещей: для решения таких задач новых знаний не требуется, но требуется новый подход к ним, новые мыслительные приёмы. То есть происходит "шлифовка" мышления, его тренаж, что вполне соответствует запросам растущего организма.

К нестандартным задачам на уроках, как правило, относят задачи на смекалку, математические ребусы, кроссворды, логические задачи, задачи с элементами комбинаторики.

Приведем примеры логических задач:

1) На скамейке сидят Мари, ее мама, бабушка, кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари?

Решение:

Раз бабушка сидит рядом с Мари, но не рядом с куклой, значит, с другой стороны от нее не сидит никто, либо там сидит мама.

Если там не сидит никто, то и кукла, и мама сидят с другой стороны от Мари. Но тогда окажется, что кукла и мама сидят рядом, а это неправда. Значит, наше предположение неверно, и с другой стороны от бабушки сидит мама.

Ответ: бабушка

2) У Маши 3 брата и 2 сестры. Сколько братьев и сестер у ее брата Миши?

3) Васиного отца зовут Иван Николаевич, а дедушку - Семен Петрович. Каково отчество Васиной мамы?

Математические софизмы

Софизмом называется умышленное ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного вывода, приводящего к парадоксальному или неправильному результату. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Софизмы древних ученых нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Очень часто софизмы ставят в неявной форме проблему доказательства. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.

Разбор софизмов - вещь очень увлекательная!

Математические софизмы можно применять при изучении математики в школе для развития познавательной деятельности, причем делать это можно на любом этапе урока:

· на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;

· в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку);

· при проведении различных математических соревнований, для разнообразия процесса обучения;

· на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

· при написании реферативных и исследовательских работ.

Математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем. С большим интересом воспринимают софизмы ребята особенно 5-6-х классов.

При разборе математических софизмом выделяются основные ошибки, “прячущиеся” в них:

1. деление на 0;

2. неправильные выводы из равенства дробей;

3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4. нарушения правил действия с именованными величинами;

5. путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;

6. проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

7. неравносильный переход от одного неравенства к другому;

8. выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

9. логические выводы, приводящие к парадоксальному результату.

Самыми популярными являются 1 - 3.

Рассмотрим несколько примеров:

Софизм 1: 4=5 или 2 * 2 = 5

1) Возьмем числовое тождество: 4:4=5:5

2) Вынесем за скобки в левой части "4" и в правой части "5":

4(1:1)=5(1:1)

3) Сократим в левой и в правой части на (1:1): получаем 4=5.

4) Отсюда можно сделать вывод, что 2 x 2 = 5

В чем ошибка?

Ответ: Ошибка допущена при вынесении общего множителя за скобки. Если вынести за скобки 4 и 5, то в скобках должно остаться 1/4 и 1/5 соответственно, а не 1. Если записать это действие в дробях, то сразу станет всё понятно.

Этот софизм можно включить в урок уже после изучения темы «Умножение дробей» в качестве материала для разнообразия.

Софизм 2: 5=6

1) Возьмем числовое тождество:

35+10-45 = 42+12-54

2) Вынесем общие множители правой и левой частей за скобки:

3) Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем: 5=6.

В чем ошибка?

Ответ: Ошибка допущена при делении обеих частей равенства 2) на общий множитель. Он равен нулю, значит, деление производить неправомерно.

Софизм 3 :Один рубль не равен 100 копеек

1) 1 руб.=100 коп. - это верное утверждение.

2) 10 руб.=1000 коп.

3) Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует: 1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.

Ответ: Здесь нарушены правила действий с именованными величинами

Применение этого софизма является также пропедевтикой использования именованных величин при решении физических задач.

Софизм 4: Демографический взрыв

«Кому из нас не приходилось слышать о том, как быстро увеличивается численность населения земного шара? Президент Лиги борцов против контроля за рождаемостью мистер Нинни не согласен с общим мнением. Он считает, что численность населения земного шара убывает и что вскоре у каждого будет больше пространства, чем нужно». Рассуждает мистер Нинни следующим образом:

У каждого из нас двое родителей. Но у каждого из родителей также по двое родителей, поэтому у нас по две бабушки и по два дедушки, по четыре прабабушки и по четыре прадедушки. С каждым поколением в глубь истории число предков у каждого из нас удваивается. Если вы вернетесь вспять на 20 поколений в эпоху средневековья, то насчитаете 1048576 предков! И столько же предков у каждого из ныне живущих людей. Следовательно, численность населения земного шара была в миллион раз больше, чем теперь!

Мистер Нинни, несомненно, заблуждается. Но где ошибка в его рассуждениях?

Рассуждения его правильны, если принять следующие два предположения:

1) на генеалогическом дереве каждого ныне живущего человека ни один предок не появляется более одного раза;

2) ни один человек в прошлом и настоящем не фигурирует более чем на одном генеалогическом дереве.

Ни одно из этих предположений не выполняется во всех, без исключения, случаях. Если у некой супружеской четы пятеро детей и у каждого из детей по пять детей, то наша супружеская чета будет прародителями (бабушкой и дедушкой) на 25 генеалогических деревьях. Кроме того, на любом дереве, если вернуться назад на достаточно большое число поколений, ветви будут пересекаться из-за браков между дальними родственниками.

В своих рассуждениях Нинни (и в этом состоит его ошибка) не учитывает ни того, что одни и те же люди могут фигурировать в различных генеалогических деревьях, ни того, что множества предков каждого из ныне живущих людей имеют массивное пересечение. "В демографическом взрыве", о котором толкует Нинни, миллионы людей сосчитаны миллионы раз!

Многие с удивлением узнают, как быстро возрастают члены последовательности, у которой каждый следующий член вдвое больше" предыдущего. Если один человек вздумает уплатить другому в первый день 1 доллар, во второй - 2 доллара, в третий - 4 доллара и т. д., то, как ни трудно в это поверить, на двадцатый день размер выплаты составит более миллиона долларов!

Сюда же можно отнести работу с «интересными» изображениями

Невозможное колесо Роджера Шепарда

Невозможная арка

Табурет

Укладка (автор Оскар Ретерсвальд)

(автор Александр Шумов)

Кроссворды

На уроках кроссворды целесообразны не для проверки эрудиции учащихся, а для лучшего усвоения ими фактического материала.

Логические задания кроссвордов подбираются с возрастными и психологическими особенностями учащихся.

Назначение загадки состоит в выработке у учащихся внимания и акцентирования его на изучаемом материале. Для пополнения словарного запаса детей, знакомства с лексическим значением слова, развития слуховой, а позднее зрительной памяти, выработки орфографической зоркости.

Расширяя кругозор детей, развивая и обогащая речь, загадки имеют неоценимое значение в формировании способности к творчеству: логического мышления (способность к анализу, синтезу, сравнению, сопоставлению), элементов эвристического мышления (способность выдвигать гипотезы, ассоциативность, гибкость, критичность мышления). Вот что писал по этому поводу К.Д.Ушинский: "Загадку я помещал не с той целью, чтобы ребенок отгадал сам загадку, хотя это часто может случиться, так как многие загадки просты; но для того, чтобы доставить уму ребенка полезное упражнение; приладить загадку, дать повод к интересной и полной классной беседе, которая закрепится в уме ребенка именно потому, что живописная и интересная для него загадка заляжет прочно в его памяти, увлекая за собой все объяснения, к ней привязанные".

Процесс отгадывания, по мнению современных педагогов, является своеобразной гимнастикой, мобилизующей и тренирующей умственные силы ребенка. Отгадывание загадок оттачивает и дисциплинирует ум, приучая детей к четкой логике, к рассуждению и доказательству. Отгадывание загадок можно рассматривать как процесс творческий, а саму загадку ,как творческую задачу.

Поддержание познавательной активности учащихся в ходе контроля за уровнем знаний - важное условие успешности учебного процесса. Однако известно, что повторное воспроизведение детьми учебного материала, будучи важным в плане закрепления и контроля, снижает интерес к предмету, если проводится дублирующим образом и в форме простого повторения. Оживить опрос и активизировать в процессе его работу учащихся могут занимательные формы проверки усвоения фактического материала - кроссворды.

Первоначально, вводя кроссворды в свою практику, следует объяснить учащимся, как их нужно решать. Лучше всего сделать это сначала совместно со школьниками, а затем постепенно предоставлять ребятам большую самостоятельность.

Относительную трудность при использовании кроссвордов представляет их вычерчивание. Можно предварительно начертить кроссворд и написать текстовое пояснение на доске. Можно наложить на кроссворд просвечивающий лист бумаги и таким образом вписать ответ без предварительного вычерчивания.

Можно использовать кроссворды в виде кармашков, лицевая часть которых представляет собой трафарет с прорезями вместо букв, а на изнаночной стороне напечатаны задания для решения. Внутри кармашка вложен чистый листок с фамилией ученика. Такой кармашек позволяет многократно использовать одну и ту же сетку-решетку кроссворда для индивидуальной работы.

Тематические кроссворды можно использовать как для фронтальной, так и для индивидуальной работы с учащимися. Также можно предложить учащимся в качестве домашнего задания составить свой математический кроссворд.

Пример:

По горизонтали: 2. Общая длина границы плоской фигуры. 3. Инструмент для проведения прямой линии. 5. Результат операции умножения. 7. 1\90 прямого угла. 8. Древнегреческий ученый, механик и математик, его основные работы -- вычисление площадей плоских фигур и поверхностей тел. 11. Результат вычитания. 14. Сотая часть числа. 15. Древнегреческий математик, доказавший бесконечность множества простых чисел, жил в III веке до н.э. 16. Тысяча миллионов. 18. Любой элемент, над которым производится операция сложения.

По вертикали: 1. Прибор для построения и измерения углов. 4. Наименьшее из натуральных чисел. 6. Знак, употребляемый для отделения друг от друга различных выражений и чисел. 9. Число, состоящее из одной или нескольких равных долей единицы. 10. Часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки. 12. Число, которое делят на другое число. 13. Десятигранник. 17. Число, записанное с помощью 1 и 100 нулей в десятичной системе счисления.

Ответы:

По горизонтали: 1. Периметр. 2. Линейка. 5. Произведение. 7. Градус. 8. Архимед. 11. Разность. 14. Процент. 15. Евклид. 16. Миллиард. 18. Слагаемое.

По вертикали: 1. Транспортир. 4. Единица. 6. Запятая. 9. Дробь. 10. Отрезок. 12. Делимое. 13. Декаэдр. 17. Гугол.

Ребусы

Числовые ребусы - это примеры, в которых все или некоторые цифры заменены звездочками или буквами. При этом одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. Решать математические ребусы можно разными способами. Легче всего попросить компьютер перебрать все варианты. Но это бессмысленно: для того и составлены ребусы, чтобы решать их своей головой, находя способы перебирать не миллионы и не тысячи, а один- два варианта (впрочем, бывают ребусы, в которых самый быстрый способ решения - перебрать десяток вариантов).

Примеры:

1. Решите ребусы:

а) АХ·УХ=2001; б) БАО·БА·Б=2002

2. Решите ребусы (нужно найти все возможные варианты)

3. Ученик выполнил умножение двух двузначных чисел и зашифровал свои действия, заменив разные цифры разными буквами: . Докажите, что он ошибся при умножении.

Решение: число делится на 11, поскольку сумма чисел на нечетных местах равна сумме чисел - на нечетных, а ни одно из чисел ab, cd на 11 не делится.

4. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма оставшихся девяти оказалась равна 2002. Какие числа остались на доске?

5. Однажды на досуге Иа - Иа и Пятачок решили попробовать зашифровать цифры буквами. Иа - Иа удалось записать некоторое трехзначное число, затем сумму его цифр, а затем сумму цифр этой суммы. Вот что у него получилось:

Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое Пятачок.

Находятся учащиеся, которые справляются с этой задачей без чьей-либо помощи. Если их немного, не стоит торопиться с тем, чтобы они рассказали свое решение всем. Достаточно ответа на вопрос: с чего ты начал?

Если же таких учащихся не нашлось, дается подсказка: подумайте, какой может быть сумма цифр трехзначного числа, может ли она начинаться с цифры 3, с цифры 4 и т.д.? если нет, то почему?

Решение (один из способов рассуждений).

1) И + О = И, значит, О = 0. Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 (9+ 9 + 9 = 27). Поскольку, О = 0, а И может быть равно только 2 или 1, сумма цифр задуманногочисла равна либо 20, либо 10. Проверим оба варианта.

Если И = 2, то ИО=20, тогда А должно быть равно 16. Но цифры 16 не существует. Если И = 1, то ИО=10, тогда А должно быть равно 8. Это возможно. Значит, Иа-Иа задумал число 181.

2) Аналогично у Пятачка: число ЧО может быть равно 20 или 10, т.е. Ч может быть равно 2 или 1. Проверим эти варианты.

Если Ч = 2, то П = 9. Это возможно.

Если Ч = 1, то П определить невозможно, так как П + П = 9, а 9 не делится на 2.

Значит, Пятачок задумал число 929.

6. (Старинная китайская задача) Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3 X 3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

Решение:

Такие задачи довольно просто решаются и очень любимы детьми. Учитель может проверить выполнение задания индивидуально или после всем классом. Задачи разного уровня сложности, поэтому даже слабый ученик может получить задание соответствующее ему.

Задачи, примеры которых мы привели и аналогичные задачи, дети решают с большим интересом, и очень ими любимы. Учитель может проверять выполнение подобных заданий индивидуально или вместе со всем классом. Полезно использовать задачи разного уровня сложности, чтобы даже слабый ученик смог справиться хотя бы с одним-двумя заданиями. В противном случае, можно «потерять» часть учеников: тех, у кого пропала вера в возможность самостоятельного решения хотя бы одной задачи. Можно, например, включать в домашние задания такие задачи:

7. Делится ли число 12345678910111213141516 на 2, на 3, на 4?

8. С помощью одних четвёрок, знаков арифметических операций и скобок запишите числа от 0 до 10. Например, .

9. С помощью трех 2 запишите наибольшее число. (Можно использовать различные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.)

10. С помощью трех 5 запишите наибольшее число. (Можно использовать различные арифметические операции.)

Дидактические игры

При изучении математики много времени приходится тратить на отработку различных навыков. В этот период ученики теряют интерес к предмету. Чтобы поддержать этот интерес, учителя используют различные приемы активизации деятельности учащихся на уроке. Одним из таких приемов является дидактическая игра. Она позволяет сделать процесс обучения увлекательным, незаметно преодолевать трудности, создать высокую активность на уроке.

Как показывает педагогическая практика и анализ педагогической литературы, до недавнего времени игру использовали лишь на занятиях математического кружка, при проведении тематических вечеров, предметных сборов и др., а возможности использования дидактической игры в учебном процессе в известной мере недооценивались.

Современная дидактика, обращаясь к игровым формам обучения на уроках, справедливо усматривает в них возможности эффективной организации взаимодействия педагога и учащихся, продуктивной формы их общения с присущими им элементами соревнования, непосредственности, неподдельного интереса.

Включение в урок дидактических игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создает у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету. Игра должна рассматриваться как могущественный незаменимый рычаг умственного развития ребенка [9].

Я не считаю, что использование игровых ситуаций на уроке дает возможность учащимся овладеть математикой «легко и счастливо». Но необходимо использовать все возможности для того, чтобы дети учились с интересом, чтобы большинство подростков испытали и осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании умственных способностей, в преодолении трудностей.

Дидактическая игра--средство обучения и воспитания. Игру следует рассматривать как деятельность, доставляющую удовольствие ради удовольствия. На дидактическую игру нужно смотреть как на вид преобразующей творческой деятельности в тесной связи с другими видами учебной работы.

И на конкретных уроках я хочу рассмотреть и показать организационную и содержательную стороны построения уроков математики, содержащих элементы игры как форму взаимодействия учителя с учащимися, в процессе которой через систему действий реализуются учебно-воспитательные возможности, заложенные в содержание учебного материала. Так, например, при закреплении признаков делимости натуральных чисел на 2,3,5,9,10; усвоение признаков делимости на 4, 6, 11,25.



Заседание в клубе «любителей лото»

Каждый участник игры получает карту и фишки. Ведущий показывает карточку с числом, участники закрывают фишками числа, на которые данное число делится.

Например, показывается карточка с числом 1030. ребята закрывают числа 2, 5, 10. Блок карточек составлен таким образом, чтобы закрылись все числа на карте ученика. Кто закрыл, тот-победитель. Но игру можно закончить и раньше, в этом случае ведущий знает, какие числа должны остаться незакрытыми.

1-й вариант

2		9	3		5
	5		2	3		9
3		4		5		2
	10	2		4	3

1-й блок карточек: 565, 624,1030, 3225, 17118, 34992;

2-й блок карточек: 120, 355, 1644, 2762, 10305, 55422.

2-й вариант

2		9	3		5	6
	5		2	3	11		9
3		4		5		2	6
	10	2	25	4	3

1-й блок: 484, 565, 624, 1030, 3225, 17118, 34924;

2-й блок: 120, 375, 352, 2762, 6444, 10305.

Я проводила эту игру в разных классах одной параллели, и повышенное внимание на уроках было одинаково. Учащиеся настолько увлечены, что не замечают, как проходит урок.

Нестандартные уроки

На уроке организуется фронтальная, коллективная и индивидуальная формы учебной работы. Различные формы проведения урока не только разнообразят учебный процесс, но и вызывают у учащихся удовлетворение от самого процесса труда. Не может быть интересным урок, если ученик постоянно включается в однообразную по структуре и методике деятельность. Рамки традиционного урока становятся тесными, поэтому рождаются новые формы организации обучения [22].

Безусловно, нестандартные уроки не могут повторяться каждый день - теряется обучающая функция урока, которая состоит именно в выработке привычки к тому или иному виду деятельности.

Нетрадиционный урок - одна из таких форм организации обучения и воспитания школьников. Эффективность нетрадиционных форм обучения и развития хорошо известна. Такие занятия приближают школьное обучение к жизни, реальной действительности. Дети охотно включаются в такие занятия, ибо нужно проявить не только свои знания, но и смекалку, творчество.

С помощью нетрадиционных уроков можно решить проблему дифференциации обучения, организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся, физического эксперимента. Такие уроки можно проводить в классах с различным уклоном, будь то гуманитарный класс, либо физико-математический.

Нетрадиционных форм проведения занятий по математике существует множество: это урок-КВН, урок-телемост, урок-сказка, урок-хоккей, урок-театр, урок-путешествие, урок-концерт, урок-исторический обзор, лабораторные работы, в том числе используя информационные технологии и так далее. Все уроки перечислить просто невозможно. И каждый из этих уроков носит в себе определенные цели и задачи.

Педагоги школы ориентированы на моделирование такой учебной деятельности, в которой ученик мог бы максимально самореализоваться. Это - система творческих, развивающих заданий, применение знаний в нестандартной ситуации, подготовка и участие в школьных и районных турах олимпиад и интеллектуальных конкурсах, проведение интегрированных уроков, организация работы факультативов и предметных кружков. Очень важным моментом в организации учебно-воспитательной работы является проведение предметных недель в школе, во время которых формы проведения уроков становятся более разнообразными. Это уроки-соревнования, познавательные игры по типу телепередач, уроки-инсценировки, уроки-аукционы мыслей и т. д. Предметные недели вызывают у учащихся внутреннюю мотивацию учебной деятельности и позволяют включить слабых учащихся в познавательный процесс. Престижность участия в предметных неделях у учащихся связана с возможностью войти в число знатоков по предмету

В зависимости от направленности можно подобрать методы, эффективные именно для данного класса. Например, для класса с ярко выраженным гуманитарным уклоном, можно провести уроки математики с историческим материалом. Например, рассмотрим нестандартный урок в 5 классе:

Математический КВН - 5 класс

Цели и задачи:

· развитие интереса к математике;

· развитие логического мышления, быстроты реакции, внимания;

· воспитание чувства ответственности, коллективизма и взаимопомощи;

· применение навыков счёта, развитие умений взаимопроверки, совершенствование умений рационально планировать свою деятельность;

· восприятие математики через мир песен, стихов, рисунков, пословиц и поговорок.

Содержание конкурса

При подборе заданий учитывалось:

· развитие творчества (“Визитка”, “Художники”, “Пантомима”);

· от простого к сложному, от общих знаний к предметным (“Разминка”);

· умение детей работать в группе (“Решаем вместе”, “Художники”);

· индивидуальная ответственность за общий результат (“Капитаны”, “Решаем вместе”).

При составлении конкурсов учитывалась смена деятельности.

Прогнозируемый результат:

· эмоциональные переживания, радость победы, огорчение при поражении, удовлетворение или неудовлетворение собой или другими, т. е. проведённое мероприятие не должно оставить учеников равнодушными;

· изменение в личности ребёнка (появился интерес к предмету, притупился страх перед математикой - это можно будет наблюдать на уроках).

О, математика земная, гордись прекрасная, собой.

Ты всем наукам мать родная и дорожат они тобой.

Твои расчёты величаво ведут к планетам корабли,

Не ради праздничной забавы, а ради гордости Земли!

В веках овеяна ты славой, светило всех земных светил.

Тебя царицей величавой недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава, стройна в полёте, как стрела

Твоя немеркнущая слава в веках бессмертье обрела.

Я славлю разум человека, дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века, царицу всех земных наук!

Звучит музыка. Команды занимают свои места. Представляется жюри.

№1. “ВИЗИТКА”

В этом конкурсе команды должны представиться: название команды, девиз, приветствия жюри, соперникам, болельщикам.

№2. “РАЗМИНКА”

Каждой команде по очереди задаются вопросы, на которые они должны ответить.

1. Какой ключ не отмыкает замок? (Скрипичный)

2. Какую траву и слепой узнает? (Крапиву)

3. Из какой посуды не едят? (Из пустой)

4. Сколько яиц можно съесть натощак? (Одно)

5. Петух, стоя на одной ноге весит 5кг. Сколько он будет весить, стоя на двух ногах? (5кг)

6. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)

7. У родителей 6 сыновей и у каждого из них есть сестра. Сколько всего детей в семье? (7)

8. Тройка лошадей пробежала путь 30км. Сколько пробежала каждая лошадь? (30км)

9. Какое число приказывает? (Три)

10. Сколько единиц в дюжине? (12)

11. Сколько разных букв в названии нашей страны? (5)

12. Когда сутки короче: зимой или летом? (Одинаковы)

13. Катались 2 сына на трёхколёсных велосипедах, и их отец - на двухколёсном велосипеде. Сколько всего было колёс?(8)

14. Дед, бабка, внучка, Жучка, кошка, мышка тянули-тянули и вытянули репку. Сколько глаз смотрело на репку?(12)

15. Какие два числа, если их перемножить, дают такой же результат, что и при их сложении? (2 и 2)

16. Из-под забора видно 6 пар лошадиных ног. Сколько этих животных во дворе? (3)

17. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число? (в 11 раз)

18. Чтобы дойти Ивану Васильевичу до работы требуется 1,5 часа. С работы, торопясь домой, он возвращается по той же дороге за 90 минут. Чем вы объясните такую разницу? (Нет разницы)

19. Сколько лет двадцатилетнему человеку было 4 года назад? (16)

20. Каким по счёту является “Ь” в названии последнего месяца осени? (6)

Дополнительные вопросы:

- Сколько рогов у трех коров? (6)- Сколько музыкантов в квартете? (4)- Наименьшее двузначное число? (10)- Чему равен пуд? (16 кг)

№3. “РЕШАЕМ ВМЕСТЕ”

Каждой команде предлагается решить пример. Команда самостоятельно выбирает тактику своих действий таким образом, чтобы решить быстро и правильно.

(1218 : 3 + 3785 x 68) x (371 + 23 x 78 - 2165)

Пока команды решают пример - проводится игра со зрителями. (см. приложение)

№4. “КАПИТАНЫ”

Капитанам предлагается решить задачи. Задание даётся одновременно для всех капитанов. Жетон за правильный ответ получает тот, кто быстрее даёт ответ. Количество жетонов влияет на балл за этот конкурс.

1. Подставить вместо * цифры, чтобы получилось верное равенство:

*0** - 2*05= 4123

2. Выдержит ли корабль 25 человек, если его грузоподъёмность 2 т, а весит один молодец в среднем 75 кг?

№5. “ХУДОЖНИКИ”

Конкурс проводится во время состязаний капитанов. Команде необходимо нарисовать картину, используя только математические фигуры, символы, знаки, цифры и т.д.

№6. “НА ВНИМАТЕЛЬНОСТЬ”

Конкурс проводится в 2 этапа.

Первый этап: всем командам одновременно на 3 сек. показывается карточка. Задание: найти сумму чисел. (На карточке нарисованы квадрат, круг и треугольник. В них соответственно числа: 9, 4, 3).

На самом деле задаются следующие вопросы:

- Какое число записано в квадрате?- Каким цветом нарисован круг?- В какой фигуре записано число 9?- Какая фигура стоит последней?

Второй этап: читается отрывок из стихотворения К.И.Чуковского “Мойдодыр”.

Одеяло убежало, улетела простыня,И подушка, как лягушка, ускакала от меня.Я - за свечку, свечка - в печку,Я - за книжку, та - бежатьИ вприпрыжку под кровать.Я хочу напиться чаю, к самовару подбегаю,Но пузатый от меня убежал, как от огня!Что такое? Что случилось? Отчего же всё кругомЗавертелось, закружилось и помчалось колесом?Утюги за сапогами, сапоги за пирогами, Пироги за утюгами, кочерга за кушаком.Всё вертится, всё кружится и несётся кувырком!..