Оценка качества математического образования учащихся основной школы

В 90-ые годы было определено основное направление исследования TIMSS на ближайшие годы - сравнительная оценка учебных достижений учащихся в различных странах мира, выявление тенденций изменения в области математического и естественнонаучного школьного образования.

Следует отметить существенное отличие концептуального подхода, принятого в TIMSS, к определению содержания понятия «результаты обучения», важного для организации диагностики учебных достижений. Под результатами обучения в исследовании TIMSS понимаются: предметные знания и умения, общеучебные умения и личностные качества учащихся, которые формируются при изучении учебных предметов.

Оценка учебных достижений учащихся по математике и естествознанию в рамках исследования TIMSS за последние 15 лет проводилась пять раз: в 1995, 1999, 2003, 2007 и 2008 гг. В каждом из первых четырех циклов оценивались учебные достижения учащихся 8-го класса, а на трех этапах (кроме 1999 г.), - еще и достижения учащихся 4-го класса. В 1995 году также оценивались учебные достижения выпускников средней школы по углубленному курсу математики и физики, а также их математическая и естественнонаучная грамотности. В 2008 году в рамках исследования проводилось изучение учебных достижений выпускников средней школы по математике и физике.

Россия участвовала во всех циклах исследования TIMSS, в 1995 году в исследовании участвовали только российские школьники 7-8 и 11 классов.

Выборка учащихся 8 класса основной школы России строилась из 89 регионов, объединенных в 10 экономико-географических зон. При выборе регионов России расчет производился на основе федеральной статистики Министерства образования. По-прежнему, на федеральном уровне отсутствует соответствующая международным требованиям статистика, необходимая для формирования представительной выборки учащихся. Поэтому процедура выборки учащихся в России содержит дополнительную стадию - выбор регионов. Это позволяет собственными силами собирать необходимую региональную статистику в соответствии с международными требованиями.

Всего в исследовании было отобрано 47 регионов. Отбор школ проводился для каждого выбранного региона в отдельности. Всего в исследовании участвовало 189 школ. Из них 75% городских, 25% поселковых и сельских школ. В каждой школе выбирался один класс, все учащиеся которого принимали участие в тестировании. Всего в исследовании участвовало 4332 учащихся 8 класса. Учителя, ведущие в отобранных классах математику и все естественнонаучные предметы, участвовали в анкетном опросе. Всего было охвачено 189 учителей математики и 756 учителей естественнонаучных предметов.

Для России исследование TIMSS является первым мониторинговым исследованием в области общего образования, которое позволяет проследить тенденции развития математического и естественнонаучного общего образования с 1995 года в соответствии с международными приоритетами в образовании.

Общие результаты.

В 2007 году результаты российских школьников превысили средние международные показатели:

по математике

4 класс - 544 балла, 6 место по рейтингу среди 36 стран;

8 класс - 512 баллов, 8 место среди 49 стран;

по естествознанию

4 класс - 546 баллов, 5 место среди 36 стран;

8 класс - 530 баллов, 10 место среди 49 стран.

Значительно опередили российских учащихся начальной школы по математике учащиеся 4 стран: Гонконга, Сингапура, Тайваня и Японии, а учащихся основной школы - учащиеся 5 стран (четыре перечисленные выше и Республика Корея). По естествознанию опередили российских учащихся начальной школы учащиеся только двух стран (Сингапура и Тайваня), а учащихся основной школы - учащиеся 6 стран (Сингапура, Тайваня, Японии, Кореи, Англии и Чешской Республики). С небольшим числом стран результаты российских школьников не имеют значимых различий по математике (4 страны - 4 класс и 5 стран - 8 класс) и по естествознанию (8 стран - 4 класс и 3 страны - 8 класс). По сравнению с большинством стран, участвовавших в исследовании TIMSS в 2007 году, результаты российских учащихся значительно выше как по математике (27 стран - 4 класс и 38 стран - 8 класс), так и по естествознанию (25 стран - 4 класс и 39 стран - 8 класс).

По сравнению с предыдущими этапами исследования TIMSS результаты российских восьмиклассников в 2007 году:

по математике статистически не отличаются от результатов 1995 и 2003 годов (524 и 508 баллов соответственно).

по естествознанию стали статистически значимо выше, чем в 2003 году; по сравнению с 1995 также отмечается повышение результатов, но оно статистически незначимо. Таким образом, в результатах российских учащихся основной школы по естествознанию наметилась позитивная тенденция.

Следует отметить, что в связи с изменением состава стран прямое сравнение рейтинга стран в различные годы затруднено. Целесообразно сравнивать результаты стран по увеличению или уменьшению среднего балла страны по сравнению со средним международным баллом TIMSS, который не зависит от состава стран. Так, результаты российских четвероклассников по математике превышали средний международный балл TIMSS в 2003 году на 32 балла, а в 2007 году - на 44 балла; по естествознанию в 2003 году на 26 баллов, а в 2007 году - на 46 баллов.

Среди российских учащихся 8 класса овладели продвинутым уровнем подготовки 8% учащихся по математике и 11% по естествознанию. Не освоили знания низкого уровня (ниже 400 баллов), т.е. освоили только небольшое число отдельных знаний и умений, 5% четвероклассников по математике и 4% по естествознанию, а также 9% восьмиклассников по математике и 5% по естествознанию.

В основной школе процент учащихся, имеющих продвинутый и высокий уровни образовательных достижений, ниже, чем в начальной школе.

В лидирующих странах процент учащихся 4 и 8 классов, достигших продвинутого уровня подготовки, выше, чем в России - 40-45% по математике и 32-36% по естествознанию.

По сравнению с 2003 годом увеличилось число российских учащихся, достигших продвинутого уровня подготовки и по математике (с 11% до 16% в 4 классе и с 6% до 8% в 8 классе), и по естествознанию (с 11% до 16% в 4 классе и с 6% до 11% в 8 классе).

Гендерные различия по математике проявились только в результатах российских учащихся 4 классов - средние результаты девочек (548 баллов) оказались значимо выше средних результатов мальчиков (540 баллов).

Обязательный минимум содержания российского начального общего образования не содержит ряд вопросов, важность которых для развития учащихся признается на международном уровне.

Учащиеся 4 класса продемонстрировали достаточно высокие результаты изучения отдельных вопросов арифметики и геометрии. С заданиями программного характера, представленными в традиционной форме, справились от 75% до 96% учащихся. Четвероклассники показали хороший уровень выполнения отдельных заданий, выходящих за рамки программы (от 50% до 80%). Значительная часть этих заданий была представлена в непривычной для четвероклассников текстовой форме, которая часто сопровождалась рисунком, схемой, таблицей, в форме игры с описанием её правил. Однако почти все дети (кроме 2%-6%) приступали к их решению, опираясь на здравый смысл, на знания из окружающего мира. Это говорит об активной познавательной деятельности, высокой информированности и значительном интеллектуальном потенциале выпускников российской начальной школы [16].

Очевидно, что содержание и результаты международной оценки выпускников российской начальной школы целесообразно учитывать при разработке нового поколения стандарта начального математического образования.

Материалы международного исследования TIMSS 2007 года, как и проводимых ранее исследований, подтверждают целесообразность и возможность включения в содержание математической подготовки учащихся начальной школы ряда вопросов, которые не входят в действующий стандарт начального математического образования или им не уделяется соответствующее внимание (например, доли, числовые и знаковые последовательности; округление и прикидка результатов вычислений; интенсивное развитие пространственных представлений и воображения, практическая работа с геометрическими объектами (конструирование геометрических объектов, изображение, построение)).

Особое внимание следует обратить на раздел «Работа с данными», который в отличие от большинства других стран не включен в программу российской начальной школы. Достаточно высокие результаты выполнения многих заданий в 2007 году показывают, что этот важный для функционирования в повседневной жизни материал доступен учащимся российской начальной школы. Это подтверждает целесообразность его включения в стандарт второго поколения для выпускников начальной школы, проведя необходимую работу по отбору соответствующего содержания и установления разумных требований к подготовке учащихся. Программа российской основной школы обеспечивает учащихся знаниями, необходимыми для выполнения международных тестов в исследовании TIMSS-2007 [18].

В то же время международные тесты не затрагивают всех ключевых вопросов курсов геометрии и алгебры основной школы, изученных учащимися к моменту проведения исследования. Таким образом, результаты исследования TIMSS-2007 не позволяют составить полное представление о геометрической подготовке российских восьмиклассников, хотя позволяют оценить их геометрическую подготовку с точки зрения приоритетов, принятых международными экспертами стран-участниц исследования TIMSS.

Российские восьмиклассники показывают хорошие результаты при выполнении заданий по алгебре и геометрии по вопросам, традиционным для нашей основной школы. В то же время невысоки результаты при выполнении заданий, составленных на материале курса математики 5-6 классов российской школы. Это связано с тем, что отсутствует преемственность между курсами математики 7-9 классов и 5-6 классов, и соответствующие знания не только не развиваются, но и не актуализируются.

Российские восьмиклассники не умеют эффективно применять полученные знания при выполнении нестандартных заданий по алгебре, связанных с выявлением закономерностей, разрешением проблем, возникающих в реальной ситуация, описанной в условии задачи. Это связано с тем, что обучение решению задач фактически завершается в 5-6 классах, а в курсе алгебры не поддерживается систематическим повторением и учащимся не предлагаются задачи практического содержания. Разделяя международные приоритеты, считаем, что при разработке новых стандартов следует учесть указанные недочеты в подготовке учащихся по курсу алгебры основной школы.

Основное отличие российской школы в изучении геометрии от зарубежной школы заключается в том, что зарубежная школа делает акцент на развитие пространственных представлений и воображения учащихся, изучение геометрических свойств окружающего мира, а российская школа - на развитие логического мышления учащихся, умения аргументировать свои суждения и фиксировать их на бумаге. В итоге российские учащиеся явно недостаточно овладевают знаниями и навыками, необходимыми для успешного функционирования в современном мире. Очевидно, что для изменения этого противопоставления необходимо при разработке стандартов нового поколения найти разумный баланс между российскими и международными требованиями к геометрической подготовке выпускников основной школы.

Результаты выполнения заданий, составленных на материале новой темы для российской школы «Вероятность. Статистика» в целом невысокие.

Восьмиклассники успешно справляются только с самыми простыми заданиями, хотя программа российской основной школы обеспечивает возможность выполнения подавляющего большинства заданий международных тестов по этой теме. Изучение опыта российской школы по преподаванию темы «Вероятность. Статистика» позволяет высказать обоснованное предположение о том, что учителя, видимо, ещё не приобрели опыт преподавания, а учащиеся - опыт применения материала, изученного в рамках этой темы. Скорее всего, это объясняется тем, что обязательное изучение этой темы рекомендовано Министерством образования и науки, начиная с 2004 г.

Среди факторов, характеризующих особенности образовательных учреждений следует выделить те, которые тем или иным образом связаны с эффективностью обучения.

Исследование косвенным образом подтвердило улучшение общего экономического состояния российских семей. По данным анкетирования директоров общеобразовательных учреждений в среднем по России на 10% по сравнению с 2003 годом увеличилось число школ, в которых большинство обучающихся из экономически благополучных семей.

По сравнению с 2003 годом улучшилась в среднем образовательная среда в российских школах. Значительно выросло число школ, ответы директоров которых свидетельствовали о хорошем уровне материально- технического оснащения кабинетов естественнонаучных предметов (на 32%).

Значительно больше учащихся 4 и 8 классов чувствуют себя в безопасности в школе (на 11% и 12% соответственно). Отмечено в среднем повышение степени удовлетворенности как директоров, так и учителей своей работой в школе. Наблюдается тенденция - чем выше уровень удовлетворенности учителей своей работой, тем выше средний балл их учащихся.

Для выявления ресурсов повышения эффективности математического и естественнонаучного образования в российской школе был проведен анализ особенностей организации учебного процесса по математике и естественнонаучным предметам в разных странах. Он показал, что по сравнению с другими странами российские учителя уделяют довольно много времени контролю знаний учащихся (около 15% времени по естествознанию, и около 20% - по математике). Кроме того, значительная часть времени на уроке (до 10%-15%) отводится на проверку домашних заданий. Как результат - снижается доля времени, отводимая на организацию различной познавательной деятельности учащихся. Так, в России она не превышает 35% всего учебного времени на уроке, в то время как, например, в англоязычных странах она составляет не менее 45%.

Практически все российские учителя (97%) задают домашнее задание на каждом или почти на каждом уроке. Это значение выше, чем в других странах, и вдвое превышает среднее международное (43%). Для сравнения, в Японии и Республике Корея учителей, часто задающих домашнее задание, менее 5% [16].

Проведенный первичный анализ данных исследования TIMSS позволил выявить ряд положительных тенденций в системе российского общего образования, а также определить направления дальнейшего совершенствования процесса обучения математике и естественнонаучным предметам.

Глава III. Оценка математической подготовки выпускников на основе тестирования с использованием заданий международного инструментария

§1. Подготовка тестирования и этапы его проведения

Данное исследование заключалось в проведении тестирования, анализе его результатов и разработке материалов по устранению типичных ошибок учащихся средней школы. Исследование состояло из следующих этапов:

· создание и проведение первого тестирования;

· анализ первого тестирование;

· создание и проведение работы по ликвидации пробелов;

· создание и проведение повторного тестирования;

· анализ повторного тестирования.

Тестирования составлялись на основе материалов международного исследования TIMSS, проводимых в 1995-2007. Основной целью нашего исследования является сравнительная оценка качества математического образования в средней школе, таким образом, задания были подобраны в соответствии с учетом возрастных особенностей и материала, пройденного школьниками до исследования.

В исследовательской работе принимали участие ученики 8 «А» класса ГОУ СОШ №1323. Класс, в котором проводилось тестирование, является общеобразовательным, средняя успеваемость которого по математике выше 60%. Все участники исследования находятся в одной возрастной группе, а результаты показывают совокупное усвоение учебной программы за все предшествующие годы обучения в школе.

Итак, тесты разрабатывались на основе следующих принципов:

- адекватный охват проверяемого содержания и видов учебно - познавательной деятельности;

- максимальное соответствие содержания тестов изучаемому материалу;

- значимость проверяемого содержания с точки зрения развития математического образования;

- соответствие возрастным особенностям учащихся, для оценки достижений которых разрабатывался тест;

- соответствие требованиям, предъявляемым к массовым исследованиям.

Для оценки математической подготовки учащихся в тесты включались задания и по алгебре, и по геометрии. Использовались задания разного типа (с выбором ответа, с кратким и полным развернутым ответом, практические задания).

Решение заданий оценивалось согласно критериям оценивания тестирования, которые были специальным образом подготовлены, аналогичные тем, которые применяются сейчас в государственной итоговой аттестации школьников.

Стоит отметить, что критерия оценивания решения заданий тестирований были составлены на основе критериев международных тестирований и адаптированы для данного исследования.

На выполнение всего теста давалось 45 мин (1 урок). Всего первоначальном тесте было 20 заданий, из них 12 заданий по алгебре и 8 заданий по геометрии.

Повторный тест был составлен по результатам первого теста и поведенной работы, в него не вошли задания, которые были выполнены на 100% изначально, а задания, которые имели маленький процент выполнения, сначала были разобраны в работе, и повторно представлены или видоизменены.

§2. Первоначальное тестирование и анализ результатов выполнения заданий

В этом параграфе подробнее остановимся на каждом из выделенных этапов. В первом тестировании принимали участие 18 учеников 8 класса. Стоит отметить, что средняя оценка ребят, принимавших участие в исследовании, 3-4. Работа была содержала в себе 20 заданий, которые были взяты из разных разделов математики, различных уровней сложности, и рассчитана на 2 учебных часа (90 минут).

План разработки тестовых заданий по математике определялся двумя составляющими - содержанием области проверки и видами учебно-познавательной деятельности, владение которыми должны продемонстрировать учащиеся. С этой целью материал школьного курса математики был разделен на четыре блока содержания:

· «Числа»,

· «Алгебра»,

· «Геометрия»,

· «Элементы комбинаторики и математической статистики».

В таблице представлено распределение заданий по разделам содержания.

Очевидно, что большинство заданий относится к разделу геометрии. В связи с тем, что в школьном курсе геометрии уделяется значительно меньше времени и внимания, чем алгебре, мы решили выяснить в нашем исследовании, на каком уровне находится математическое образование по одному из важнейших разделов математики. В последнее время странным образом самому существенному сокращению подвергаются программы по геометрии, наиболее практически значимому сегодня разделу. К примеру, стереометрия полностью исключена из международных математических олимпиад. И если геометрия пока еще сохраняется в (российской) школе, то по факту она почти исчезла. Знакомство же с материалами ЕГЭ вынуждает практически полностью убрать ее из школьной программы. Но следует заметить, что она является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Возможно, именно по этой причине в странах, где качество жизни большей части населения высоко, геометрия обычно изучается на очень низком уровне. Ведь геометрия развивает такие свойства личности, как творческое развитие, нравственное воспитание, независимость суждений и поведения. Целью обучения Геометрии является логическое развитие. Итак, проанализируем результаты учащихся, которые мы получили по итогам первого тестирования, созданного на основе международного исследования TIMSS. Первое тестирование состоит из 20 заданий, в которых содержится 25 вопросов, на выполнение которых отводилось 45 минут. Работу писали 18 человек, которые учатся в общеобразовательном классе. За правильно выполненные задания ребята получали по 1 или по 2, в зависимости от задания, балла. Так же отметим, что для проверки выделенной области содержания были использованы различные типы заданий: задания с выбором правильного ответа, задания с кратким ответом, задания с развернутым ответом. В таблице представлено распределение типов заданий в тесте.

Таблица

Анализ результатов выполнения учащимися 8 класса теста показал, что они успешно справляются с большинством заданий с выбором ответа, основанных на материале уже изученных тем. А самыми сложными для школьников оказались задания с развернутым ответом: только один ученик, ответив на это задание, получил 2 балла, остальные же выполнили неверно, или даже не приступали. Задание заключалось в выявление последовательности на основе исходных данных.

Следует отметить, что средний процент выполнения задании по геометрии составляет 58%, причем, как показал анализ, на результаты выполнения заданий учащимися 8 классов оказывает значительное влияние нестандартность формы заданий и их формулировок. Это можно объяснить тем, что по-прежнему учебники и пособия для учащихся включают достаточно однообразные задания. Такой показатель выполнения заданий свидетельствует о том, что геометрия в современном образовании требует к себе гораздо большего внимания.

По итогам первого тестирования средний балл выполнения всех заданий учащихся 8 классов составляет 17 баллов (максимальный - 26). За задания по геометрии средний балл составил 7 баллов (максимальный - 11). Ученик же смогли максимально набрать 10 баллов, а минимальный балл по геометрии - 3. Тестирование состояло из заданий различного уровня сложности, в связи с этим, процент выполнения заданий колеблется от 18%-100%. Средний процент правильно выполненных заданий - 58%.

Ниже представлены диаграмма и таблица результатов первого тестирования учащихся 8 класса.



Таблица результатов первого тестирования

Список учеников	Количество набранных баллов
Адаскина Александра	16
Дорохин Александр	14
Жевнов Дмитрий	14
Кулаков Иван	11
Лебедева Алена	13
Михневич Анна	13
Николаева Ольга	15
Обухович Андрей	20
Рудюк Максим	14
Сотникова Анастасия	18
Султанова Карина	14
Терехина Елена	18
Тимофеева Анастасия	17
Шершуков Данила	21
Янов Евгений	11
Ярутич Артем	19
Минимальный балл	11
Максимальный балл	22

Итак, проанализируем выполнение каждого задания.

Задание 1. На рисунке изображены графики движения двух мальчиков.

Графики показывают зависимость пройденного ими пути от времени. Мальчики отправились в путь из одного и того же места, но в разное время. Они двигались в одном направлении. В какое время они встретились?

a) 8.00

b) 8.30

c) 9.00

d) 10.00

e) 11.00

Данное задание выполнили все ученики, и, таким образом, процент выполнения задания составил 100%. Высокий уровень выполнения задания показывает, что ученики умеют читать графики, хорошо развиты способности анализировать и обрабатывать данные с помощью графических изображений.

Задание 2.

Треугольник ABC равен треугольнику DEF, BC=EF.



Какова величина угла EOC?

a) 20

b) 40

c) 60

d) 80

e) 100

Процент выполнения этого задания - 83%. С заданием не справились 3 ребят, что, в принципе, неплохой показатель для общеобразовательного класса. Проблемы в выполнении задания были связаны с тем, что неправильно были выявлены равные углы, если углы были найдены верно, то были допущены арифметические ошибки при нахождении градусной меры третьего угла. Чтобы улучшить показатели выполнения задания, аналогичного данному, нужно повторить темы «Углы, образованные параллельными прямыми и секущей» и «Сумма углов треугольника», закрепить решением задач.

Задание 3.

Какая часть прошла от 1 ч 10 минут до 1 ч 30 минут ночи?

a)

b)

c)

d)

e)

Процент выполнения этого задания достаточно низок - всего 33%. С заданием не справилось больше половины учеников, и трое из 18 даже не приступили к заданию. Причиной является неумение или потеря навыков определять части от числа. Для восстановления знаний по этому разделу, следует вернуться к теме 6 класса «Нахождение числа по его дроби», «Нахождение дроби от числа». В работе было разобрано это задание и приведены задания, подобные данному.

Задание 4.

Ниже указаны четыре цифры.

Если эти цифры записать, начиная с наибольшей и кончая наименьшей, то получится четырехзначное число. Если эти цифры записать, начиная с наименьшей и кончая наибольшей, то получится другое четырехзначное число. Найдите разность этих четырехзначных чисел.

a) 3726

b) 4726

c) 8082

d) 8182

e) 8192

Задание выполнено на высоком уровне - процент выполнения 89%. С этим заданием не справились только двое учеников, которые правильно определили наибольшее и наименьшее числа, а неверный ответ был получен из-за невнимательности. В обоих случаях ошибки арифметические.

Задание 5.

Каким образом в каждой паре второе число можно получить из первого числа?

a) Прибавить 3.

b) Вычесть 3.

c) Умножить на 2.

d) Умножить на 2 и затем прибавить 3.

e) Умножить на 3 и затем вычесть 3.

С заданием справились все ученики. 100% результат выполнения задания показывает, что ученики на хорошем уровне умеют оперировать с числами и выявлять отношения между ними.

Задание 6.

Проволоку длиной 20 см согнули так, что получился прямоугольник. Если ширина этого прямоугольника равна 4 см, то чему равна его длина?

a) 5 см.

b) 6 см.

c) 12 см.

d) 16 см.

Задание выполнено на 100%. Это показывает, что учащиеся могут перенести жизненную ситуацию на математический язык и правильно (корректно) применить формулу периметра прямоугольника.

Задание 7.

Прямые PK и RS параллельны. Сумма каких двух углов равна 180?

a) 5 и 7

b) 3 и 6

c) 1 и 5

d) 1 и 7

e) 2 и 8

С данным заданием не справились только двое ребят, и таким образом, процент выполнения задания составил 89%. Одной из возможных причин неправильного выполнения задания является неправильное понимание условия задачи. Другая возможная причина - отсутствие знаний по теме «Углы, образованные параллельными прямыми и секущей».

Задание 8.

Число 78,2437 округлили с точностью до сотых и получили

a) 100

b) 80

c) 78,2

d) 78,24

e) 78,244

Задание выполнено на 100%, что говорит о том, что ученики умеют работать с десятичными числами, в том числе округлять их до указанного разряда.

Задание 9.

Найдите x, если 4(x+5)=80.

Ответ:_____________________

Все ученики выполнили данное задание, показав результат выполнения 100%. Это здание отличалось от предыдущих формой (задание с кратким ответом). По итогам выполнения этого задания можно сказать, что ученики на хорошем уровне владеют навыками решения линейных уравнений. Такого плана задания включены в Государственную Итоговую Аттестацию за 9 класс (9 задание из первой части).

Задание 10.

Пакет содержит кг сахара. Сколько таких пакетов надо высыпать в пустой мешок, чтобы получить 6 кг сахара?

Ответ:_____________________

Задание выполнено на высоком уровне, но не все ученики справились с ним, а только 89% от всей аудитории. Не выполнившие это задание учащиеся допустили арифметические и логические ошибки: вместо нахождения числа по его дроби ученик стал находить значение дроби от числа. Для улучшения знаний и, соответственно, процентного показателя, следует обратиться к темам 6 класса «Нахождение числа по его дроби», «Нахождение дроби от числа». В работе было разобрано это задание и приведены задания, подобные данному.

Задание 11.

Прямоугольник PORS можно повернуть так, что он совпадет с прямоугольником KMST.



Какая точка является центром такого поворота?

a) P

b) R

c) S

d) T

e) M

Процент выполнения задания - 61%. Типичной ошибкой стало неправильное определение точки поворота, причиной чего является недостаточно развитое пространственное мышление и воображение школьников 8 класса. В свою очередь это связано с тем, что ученики занимаются по учебнику А.В. Погорелова, в котором «Движение» водится только во втором полугодии. Несмотря на то, что школьники имеют общие понятия о движении, это задание вызвало определенные трудности. Для решения этой проблемы в последствии была проведена работа, в которой была разобрана эта задача и приведены аналогичные задания.

Задание 12.

Артем и Иван имеют по 45 книг каждый. книг Артем и книг Ивана - детективы. На сколько больше детективов у Артема, чем у Ивана?

a) 2

b) 3

c) 6

d) 30

e) 36

Задание выполнено на достаточно высоком уровне, и процент выполнения задания составил 78%. Задание было связано с нахождением дроби от числа, и так же, как и в предыдущих заданиях на эту тему возникли трудности с определением верного ответа. В «исправительную» работу были включены задания на нахождение дроби от числа и числа по значению его дроби.

Задание 13.

Вокруг прямоугольного плавательного бассейна сделана дорога для прогулок так, как показано на рисунке.

Вычислите площадь этой дороги.

a) 100

b) 161

c) 710

d) 1610

Процент правильного выполнения задания - 61%. Ошибкой в решение данного задания является то, что ученики находят площадь бассейна и дороги, забывая о том, что им надо найти только площадь дороги. Одной из вероятных причин такого выполнения задания служит неумение в жизненной ситуации применять математические знания и навыки. Так же, как причину можно выделить незнание темы «Площади фигур». Для устранения ошибок по данному заданию необходимо повторить тему «Площади фигур», разобрать задание из тестирования и решить ряд задач на данную тему.

Задание 14.

Прямая проходит через точки (2;3) и (4;7). Какая из следующих точек также принадлежит этой прямой?

a) (0;2)

b) (1;2)

c) (2;4)

d) (3;5)

e) (4;5)

Задание выполнено на среднем уровне - процент выполнения составляет 56%. Основной ошибкой стало то, что многие учащиеся стали строить график прямой на координатной плоскости и, таким образом, попытаться угадать третью точку. Этот способ является не только нерациональным, но и неверным. Причиной, возможно, является неотработанный навык нахождения уравнения прямой по двум точкам. В дальнейшей работе было разобрано данное задание и предложено учащимся решить аналогичные задания.

Задание 15А.

Три фигуры составлены из равных маленьких треугольников.

А. Составьте таблицу. Запишите число маленьких треугольников, из которых составлена Фигура 3. Затем укажите число маленьких треугольников, которые понадобятся, чтобы составить Фигуру 4, если последовательность данных фигур будет продолжена.

Задание выполнено на среднем уровне - процент выполнения составляет 67%. Основной ошибкой является неверный подсчет равных треугольников.

Задание 15В.

Б. Последовательность этих фигур продолжили до получения Фигуры 7. Сколько понадобилось маленьких треугольников, чтобы составить Фигуру 7?

Ответ:_______

Процент выполнения этого задания ниже, чем процент выполнения предыдущего задания - 44%. Основной ошибкой стало неверное выявление закономерности увеличения количества треугольников, причиной же этого стал неверный подсчет на предыдущем этапе (задание 15А).

Задание 15С.

В. Последовательность этих фигур продолжили до получения Фигуры 50. Объясните способ подсчета маленьких треугольников, из которых составлена Фигура 50.

Не предлагайте способ, при котором изображается Фигура 50 и затем пересчитываются маленькие треугольники, из которых она составлена.

С этим заданием, которое оценивалось в 1 балл, если правильно указано количество треугольников, и в 2 балла, если приведен верный способ подсчета, смог справиться только один ученик - 6%. Он смог не только правильно указать количество треугольников, но и верно указать способ его подсчета и, таким образом, получил заслуженные 2 балла. Причиной невыполнения данного задания служат ошибки, при выполнении предыдущих заданий (задание 15А, задание 15Б), в которых учащиеся не смогли определить последовательность и посчитать количество ее членов. Выполнение заданий на выявление закономерности вызывает большие трудности у школьников 8 класса в связи с тем, что на уроках не разбираются подобные задачи и во многом формулировка задания была новой для учеников.

Задание 16А.

Фигура на рисунке составлена из 5 равных квадратов. Ее площадь равна 245 .

А. Найдите площадь одного квадрата.

Ответ:________

Результат показывает, что задание выполнено на высоком уровне - 76%. Невыполнение этого задания обусловлено двумя факторами: двое учеников не приступали к выполнению, также была допущена арифметическая ошибка при вычислении площади одного квадрата, и логическая ошибка, причина которой заключается в отсутствии знаний по теме «Площади фигур», а именно, свойств площади.

Задание 16В.

Б. Найдите длину стороны квадрата.

Ответ:________ см

С заданием не справились 9 человек из 18, причем, 4 из них не приступали к выполнению, и процент выполнения составил 50%. Причиной, почему 5 человек не справились с заданием, стало неверное использование формулы площади квадрата и, как следствие, неправильное нахождение стороны квадрата по его площади. Для устранения подобных ошибок следует повторить тему «Площади фигур», непосредственно, площадь квадрата, извлечение корня квадратного из числа. В ходе коррекционной работы была разобрана данная задача и предложены подобные для самостоятельного решения.

Задание 16С.

В. Найдите периметр фигуры, изображенной на рисунке.

Ответ:________ см

Задание выполнено на очень низком уровне: всего 17%. Одной из основных такого низкого процента выполнения задания является неверное выполнение предыдущих заданий (16А, 16В). Также возможными причинами являются неверное применение формулы периметра многоугольника и неверное выделение фигуры, периметр которой надо было найти (учащиеся считали периметр данного многоугольника, как периметр квадрата, или искали сумму всех сторон квадратов, из которых составлена фигура). В качестве рекомендации для устранения допущенных ошибок ученикам было предложено вернуться к теме 5 класса «Периметр фигуры» и непосредственно, к свойству фигуры, которое говорит о том, что периметр всей фигуры не равен сумме периметров фигур, из которых составлена исходная фигура. Данная задача была разобрана в ходе корректирующей работы с учениками.

Задание 17.

Сколько ЕЩЕ маленьких квадратов должно быть заштриховано на рисунке, чтобы от общего числа маленьких квадратов было заштриховано?

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Не смотря на то, что с заданием справилось большинство учащихся, процент выполнения задания составил 78%. Один из учащихся не приступил к заданию, а другими были допущены арифметические ошибки и логические ошибки, которые заключались в неверном определении части от числа. В работе по устранению пробелов было разобрано данное задание и приведены подобные задания для самостоятельного решения.

Задание 18.

Площадь каждого маленького квадрата равна 1 . Чему равна площадь заштрихованного треугольника в ?

a) 3,5

b) 4

c) 4,5

d) 5

Данное задание выполнено на очень низком уровне (процент выполнения составил всего 22%). Основной причиной такого низкого процента выполнения стало неумение выделять второстепенные фигуры для решения задачи (в курсе школьной геометрии намного больше задач, в которых не требуются дополнительные построения для решения). Так же причиной стало непривычная ученикам формулировка задания. Очень многие учащиеся определяли площадь «на глаз». Для устранения данной ошибки необходимо отработать навык решения задач, требующих для решения дополнительных построений. В корректирующей работе было разобрано данное задание, рассмотрены решения подобных заданий, но, к сожалению, навык решения приходит с опытом.

Задание 19.

Если L= 4, при том что K=6 и M=24, что из перечисленного верно?

a)

b)

c)

d)

С заданием справились практически все учащихся, за исключением одного, который не приступил к решению, таким образом, процент выполнения данного задания составил 94%.

Задание №20.

На рисунке, ABCD - параллелограмм, , AM и BM - биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Периметр параллелограмма ABCD равен 6 см, найдите стороны треугольника ABM.

Напишите свои ответы на линиях.

AB = _______см

AM = _______см

BM = _______см

За данное задание учащиеся могли получить 2 балла или 1 балл, в зависимости от количества правильных ответов. Общий процент учащихся, справившихся с этим заданием, составил 44%, из них 22% выполнили на 1 балл, и 22% - на 2 балла. Одной из возможных причин является неумение решать треугольник, зная данные фигуры, которая содержит этот треугольник.

§3. Заключительное тестирование и сравнительный анализ полученных результатов

Заключительное тестирование было проведено после того, как с учащимися были разобраны задания, направленные на анализ типичных ошибок. Задания для повторного тестирования не включили в себя те задания, которые учащиеся выполнили на 100%, а те, с выполнением которых возникли определенные проблемы, были еще раз включены или несколько видоизменены. Таким образом, заключительное тестирование состояло из 15 заданий, на которые было отведено также 90 минут.

В повторное тестирование вошли те же разделы содержания, что и в первоначальное:

· «Числа»,

· «Алгебра»,

· «Геометрия»,

· «Элементы комбинаторики и математической статистики».

В таблице представлено процентное соотношение заданий, относящихся к соответствующим разделам содержания, так же представлена сравнительная диаграмма.

Таблица показывает, что в тестирование вошло много заданий по геометрии. Это объясняется тем, что в ходе корректирующей работы было разобрано большое количество заданий по этому разделу содержания. В ходе эксперимента мы постарались сосредоточить внимание учащихся на решении заданий не только по алгебре, но и по геометрии. Стоит отметить, что процент выполнения заданий по геометрии увеличился с 58% до 67%.

Повторное тестирование состояло из 15 заданий, некоторые из которых имели по несколько пунктов, решение заданий было рассчитано на 2 часа (90 минут). Заключительное тестирование, так же как и первоначальное, содержало в себе 3 типа заданий: задания с выбором правильного ответа, задания с кратким ответом и задания с развернутым ответом. Ниже в таблице представлено распределение типов заданий в первом т во втором тестировании.

По итогам заключительного тестирования средний балл выполнения заданий составляет 70%. Стоит отметить, что в первоначальном тестировании средний балл составлял около 58%. Причем, нестандартность формы вопросов уже не так значительно сказывался на качестве выполнения заданий. По результатам второго тестирования, ни одно задание не было выполнено на 0%, и 11 из 15 было выполнено более, чем на 70%.

Ниже представлена диаграмма результатов выполнения заданий повторного тестирования учащимися 8 класса.

В тестировании принимало участи 18 человек, но 3 из них не писали первоначальное, но принимали активное участие в работе вместе с классом. Таким образом, ниже представлена таблица, в которой представлены результаты восьмиклассников, которые принимали участие в заключительном тестировании.

Список учеников	Количество набранных баллов.
Адаскина Александра	16
Дорохин Александр	14
Жевнов Дмитрий	14
Кулаков Иван	11
Лебедева Алена	13
Михневич Анна	13
Николаева Ольга	15
Обухович Андрей	20
Рудюк Максим	15
Сотникова Анастасия	18
Султанова Карина	14
Терехина Елена	18
Тимофеева Анастасия	17
Шершуков Данила	21
Янов Евгений	11
Ярутич Артем	19
Минимальный балл	11
Максимальный балл	20

Стоит учесть, что ученики, набравшие минимальное количество баллов, выполнили верно 10 заданий из 15 что говорит о достаточно неплохой математической подготовки.

Проанализируем в отдельности выполнение каждого задания повторного исследования (задания второго тестирования представлены в приложении 3).

Задание 1.

Процент учащихся, получивших 1 балл за это задание, составляет 56%, а получивших 2 балла - 19% (задание выполнено на 2 балла, если найдены все стороны треугольника MHB; здание выполнено на 1 балл, если одна или две из сторон не найдены, или найдены неверно; задание выполнено на 0 баллов, если все три стороны не найдены или найдены неверно). Аналогичное задание было включено в первоначальное тестирование, но тогда процент выполнения был значительно меньше и не превышал 25%. В повторном тестировании задание было усложнено (нахождением высоты MH треугольника AMB). К сожалению, 5 участников тестирования даже не приступили к выполнению этого задания, остальные, хотя бы одну сторону треугольника смогли найти.

Задание 2.

Задание выполнено на сравнительно высоком уровне. Процент учащихся, получивших 1 балла за задание составил 69%, а процент учеников, получивших 2 балла - 13%. Задание оценивалось в 2 балла, если для каждого утверждения верно отмечена позиция, и в 1 балл, если одно из утверждений было отмечено неверно. Одной из основных ошибок являлся неправильный перевод задачи на математический язык. Следствием явилось неправильное применение формулы площади прямоугольника в контексте данной задачи. Для устранения этих ошибок необходимо вернуться к теме «Площади фигур. Площадь прямоугольника». Для наглядности, следует предложить учащимся найти площади прямоугольников, имеющих одинаковую ширину разную длину. Например, найти и сравнить, во сколько раз площадь прямоугольника шириной 2 см длиной 5 см меньше площади прямоугольника с такой же шириной и длиной 15 см. После этого следует разобрать задачу, в которой уже изменяются оба измерения одновременно. Тема «Площади фигур» используется на протяжении всего курса геометрии, стереометрии и в начале анализа, поэтому в младших классах, при введении этого понятия, следует более подробно останавливаться на некоторых моментах.

Задание 3.

Аналогичное задание было включено в первоначальное тестирование, в котором всего 33% учащихся справились с этим заданием, и разбиралось вместе со всеми в классе. В результате проведенной работы процент выполнения задания увеличился до 75%. В целом, результат неплохой, но, к сожалению, задания на части и на проценты относятся к разряду сложных для учащихся задач. Что бы хотя бы частично избавиться от этой проблемы, следует комбинировать задачи на части с другими задачами.

Задание 4.

В первоначальным тестировании с аналогичным заданием справилось 56%. С данным заданием справилось 75% учащихся. Большинство допустивших ошибку в первом тестировании и пытавшихся угадать третью точку, во втором тестировании смогли избежать этой ошибки, и в найденное по двум точкам уравнение прямой стали подставлять координаты точек и, таким образом, искать точку, принадлежащую прямой. Но в ходе решения были допущены арифметические ошибки. В процессе корректирующей работы основной задачей стало объяснить, что значит, точка лежит на прямой, каким условиям удовлетворяют координаты точки, лежащей на прямой.

Задание 5А.

С этим заданием справились 69% учащихся. В первоначальном тестировании процент выполнения аналогичного задания составил 56%. После проведения работы изменилось не только процентное соотношение, но качество выполнения задания: изначально выполняя подобное задание, учащиеся просто подсчитывали количество треугольников, во втором тестировании учащиеся стали использовать более общие приемы (находить последовательности). Участники исследования могли не просто вручную посчитать количество треугольников, но и проверить свой результат формулой.

Задание 5Б.

Процент справившихся с этим заданием учащихся составил 31%. В большинстве случаев неверной формулой была определена последовательность и допущены грубые арифметические ошибки.

Задание 5С.

Процент учащихся, выполнивших это задание на 2 балла, составил 31% и процент учащихся, выполнивших это задание на 1 балл - 13%. Стоит отметить, что в пером тестировании, никто из учащихся не справился с аналогичным заданием, кроме 1 учащегося, выполнившего его на 2 балла. В ходе коррекционной работы было выявлено, что у учащихся очень слабо развито и индуктивное мышление. Для устранения этой проблемы следует обратиться к тестам «Продолжение ряда», начиная от легких, продвигаясь к более сложным.

Задание 6А

Задание выполнено на очень высоком уровне: с заданием не справились только двое, что объясняется неверными подсчетами и арифметической ошибкой, оставшиеся 88% правильно решили это задание. В отличии от первого тестирования, процент выполнения этого задания увеличился на 10%.

Задание 6В.

Процент выполнения этого задания увеличился на 19% по сравнению с первоначальным тестированием и достиг 69%. С заданием не справились 5 человек из 16,один из которых не приступал к решению задания. Основной ошибкой осталось неверное использование формулы площади квадрата и, как следствие, неправильное нахождение стороны квадрата по его площади. Так же были допущены арифметические ошибки.

Задание 6С.

Данное задание выполнено на 56%. Одной из основных ошибок является неверное выполнение предыдущих заданий (16А, 16В). Так же учащиеся считали периметр данного многоугольника, как периметр квадрата, или искали сумму всех сторон квадратов, из которых составлена фигура. Аналогичная задача была разобрана в ходе корректирующей работы с учениками. Несмотря на то, что процент выполнения задания значительно увеличился после проведения работы, некоторые из учеников допускали те же самые ошибки.

Задание 7.

Процент выполнения данного задания составил 56%. С заданием не справились 7 человек, но уровень выполнения задания значительно увеличился, по сравнению с первым тестированием. Для многих формулировка задания стала более доступной. Решение подобного плана заданий подразумевает не только использование нужных формул, но и способность анализировать: некоторые решили это задание без применения теоремы Пифагора, а использовали ее только в качестве проверки. Подобное задание не представляет из себя очень сложное задание, но нестандартная для школьников формулировка, необходимость анализа, применение дополнительных построений делает задачу такого плана практически не решаемой.

Задание 8.

Из 16 учащихся с заданием не справились только двое: в одном из случаев была допущена арифметическая ошибка, а в другом случае была найдена площадь футбольного поля вместе с дорожкой. Таким образом, процент выполнения данного задания увеличился по сравнению с первоначальным тестированием на 21% и составил 88%.

Задание 9.

Процент выполнения данного задания очень высок: 94%. Всего один учащийся не справился с заданием. Задание из первого тестирования было включено корректирующую работу, так с учащимися были рассмотрены основные типы движения, для развития пространственного мышления были разобраны примитивные задачи. Чтобы уровень решения заданий по геометрии у учащихся основной школы увеличивался, постоянно надо развивать пространственное мышление воображение. В качестве рекомендации для развития этих качеств можно предложить учителю ввести элементы черчения.

Задание 10.

Данное задание выполнено на очень высоком уровне: процент выполнения задания составил 94%. Из 16 учащихся только один неверно решил задание: он правильно нашел E и С, но теорема о сумме углов треугольник не была использована и, как следствие, неверно найден искомый угол.

Задание 11.

Все учащиеся справились с этим заданием и процент выполнения составил 100%, что показывает хорошее усвоение материала.

Задание 12

Задание выполнено на высоком уровне: всего двое учащихся не справились с заданием. Таким образом, процент выполнения задания составил 88%. В процессе корректирующей работы были составлены и разобраны задания, аналогичные данному, еще раз были сформулированы определения, теоремы, признаки и свойства, связанные с понятием параллельных прямых.

Задание 13.

Данное задание было неверно решено одним учащимся, который не справился только с одним заданием на части. Это связано с неусвоением материала по теме «Задачи на части. Задачи на проценты». В ходе корректирующей работы у учащегося возникали трудности с нахождением части от числа и числа по его части.

Задание 14.

Процент выполнения задания составляет 88%: только 2 учащихся из 16 не справились с решением данного задания, причем, один из них не приступал к решению, а в другом случае была допущена арифметическая ошибка. Тем не менее, подавляющее большинство справились с этим заданием без особых усилий.

Задание 15.

Задание выполнено на достаточно высоком уровне: из 16 учащихся всего двое не приступили к решению, и процент выполнения задания составил 88%.

Итак, мы проанализировали результат выполнения каждого задания в отдельности. Подводя итог можно сказать, что у учащихся задания, связанные с нахождением площадей фигур, вызывают большие затруднения. Что в свою очередь связано с плохим усвоением на первоначальном этапе введения понятия «Площади фигур». Геометрическая подготовка учащихся значительно слабее, чем алгебраическая. В ходе работы с учащимися были использованы задания на развитие геометрического и пространственного мышления. Некоторые восьмиклассники, работая с первым тестированием, даже не брались за решение геометрических задач, но после поведения с учащимися, процент таких случаев значительно сократился: практически каждый ученик пытался решить задание, пусть даже оно было решено неверно, но некоторый страх перед решением геометрических задач уменьшился.

Решение заданий по алгебре вызывают меньшие затруднения, чем выполнение заданий по геометрии. Это еще раз подчеркивает, что большинство учителей акцентируют внимание на алгебраических заданиях. Но, несмотря на это, у учащихся этой группы некоторые затруднения вызвали задания на части и проценты, что, в принципе, неудивительно, потому как эта тема для многих школьников дается нелегко.

Анализ результатов показывает, что работа, проведенная с учащимися, показала, что нестандартная формулировка задний иногда влечет за собой очень простое решение. Восьмиклассниками было отмечено, что не стоит бросать решение задание на этапе его прочтения. При выполнении этой работы, учащимся необходимо было анализировать каждый этап решения. Некоторые задания требовали дополнительной переформулировки условия. Подобные задания должны включаться в школьный курс изучения математики, т.к. однообразие заданий приводит к неспособности решать задачи, которые отличаются по форме. Став перед фактом поставленного задания, испытуемому нужно увидеть задачу и четко сформулировать для себя вопрос, тогда станет ясно, что он должен делать, т.е. у него определяется предмет мышления и направление мыслительного процесса.

§4. Упражнения и методические рекомендации учителям математики для повышения качества математического образования учащихся 8 класса

С введением в практику проведения в школах России тестирований международных исследований TIMSS и TIMSS-Advanced перед учителем математики основной школы встает важная задача подготовки учащихся к успешному выполнению заданий тестирований.

В этом параграфе приведены некоторые упражнения, которые целесообразно рассмотреть учителям с учащимися для успешного выполнения тестирований, так как такие упражнения не представлены в современных учебниках и учебных пособиях. Для этого рассмотрим задания, которые разбирались с учащимися на одном из дополнительных корректирующих занятий. Эта работа составлена по результатам первого тестирования.

Решение Задач: