Изучение математических понятий в школе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме: «Изучение математических понятий в школе»

Оглавление

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения математических понятий

§1 Понятие. Содержание и объем понятия

§2 Определение понятий. Классификация понятий

§3 Методика формирования понятий

Глава 2. Понятия школьного курса математики

§1 Понятие ромба

§2 Понятие прямоугольного параллелепипеда

§3 Понятие угла

§4 Понятие окружности

§5 Понятие сферы

Глава 3. Методика введения и отработки понятия функции

§1 Сравнительный анализ введения и отработки понятия функция в некоторых учебниках

1.1 Учебник «Алгебра» под редакцией С.А. Теляковского

1.2 Учебник «Алгебра» К.С. Муравина, Г.К. Муравина, Г.В. Дорофеева

1.3 Учебник «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» под редакцией Г.В. Дорофеева

1.4 Учебник «Алгебра» А.Г. Мордковича

§2. Дополнительные упражнения на формирование понятия функция

Заключение

Библиография

Введение

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и математики. Задача учителя - обеспечить полноценное усвоение понятий. Так как темп нашей жизни постоянно увеличивается, количество информации, которую мы должны запомнить и понять постоянно растет, то в таких условиях играет очень важную роль осознанное усвоение информации.

Важным этапом в обучении математике является этап формирования математических понятий. Однако на этом этапе учителя сталкиваются с определенными трудностями. Зачастую учителя не понимают, почему ребенку бывает трудно сформулировать определение того или иного понятия. Из бесед с учителями выявлено, что детям трудно сформулировать определение, например числовой последовательности. Анализ этого явления показывает, что этому есть несколько причин: во-первых, непонимание сути самого понятия, а во-вторых, непонимание терминов, которые используются в определении понятия.

Ученики часто не могут дать четкую формулировку того или иного понятия, не могут объяснить смысл, путают понятия и термины (например, функция и аргумент). Все вышесказанное обусловило актуальность выбранной темы и цели дипломной работы.

Цели дипломной работы:

- разработка классификации математических понятий школьного курса математики;

- разработка упражнений, способствующих формированию понятия (на примере понятия функции).

Основными задачами являются:

- изучить психолого-педагогическую и научно-методическую литературу, посвященную основам изучения математических понятий;

- изучить педагогический опыт учителей в данном направлении;

- разработать основания классификации школьных математических понятий;

- провести сравнительный анализ учебников по проблеме введения понятия функции;

- разработать упражнения по формированию и отработке понятия функции.

Глава 1. Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения математических понятий

§1 Понятие. Содержание и объем понятия

Термин «понятие» обычно применяется для обозначения мыслительного образа некоторого класса вещей, процессов, соотношений объективной реальности или нашего сознания. Понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные свойства объектов изучения, т.е. свойства, как индивидуальные, так и общие, отличающие данный объект от других. Отсюда следует, что понятие - продукт высокоорганизованной материи, отражающий материальный мир, предстающий в познании как средство обобщения [7].

Математические понятия отражают в нашем сознании определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальной ситуации. [20] математический понятие функция

Например, такое понятие, как «стол», отражает реальный объект: стол (письменный, обеденный, журнальный и пр.), т.е. это некоторый класс вещей, который мы можем представить себе, исходя из нашего жизненного опыта. Математическое понятие «четырехугольник» вызывает в нашем сознании образ конкретной геометрической фигуры и словесное описание ее как «многоугольник с четырьмя вершинами». Крышка стола может иметь четырехугольную форму. Абстрагируясь от материала, из которого произведен стол, предназначения данного стола, цвета, можно сказать, что поверхность стола представляет собой модель четырехугольника или четырехугольник.

Каждое понятие характеризуется объемом и содержанием.

Содержание понятия - множество всех существенных признаков данного понятия, то есть таких признаков, каждый из которых необходим, а все вместе они достаточны для утверждения того, что объект принадлежит данному понятию.

Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, а объем - с помощью классификации.

Выделим содержание и объем понятия параллелограмм, с которым учащиеся знакомятся в 8 классе, в начале его изучения.

Понятие	Содержание понятия	Объем понятия
параллелограмм	Выпуклый четырехугольник; противоположные стороны попарно параллельны; противоположные стороны равны; противоположные углы равны; диагонали в точке пересечения делятся пополам.	произвольные параллелограммы; ромбы; прямоугольники; квадраты.

Несущественны для понятия «параллелограмм», например, размеры его противоположных сторон (насколько больше длины двух противоположных сторон, чем двух других), какие пары противоположных углов являются тупыми или острыми.

Содержание понятия четко определяет его объем; объем понятия вполне определяет его содержание. Если увеличить содержание понятия «параллелограмм», добавив требование перпендикулярности диагоналей, то сразу уменьшится его объем - останутся только ромбы и квадраты. Если уменьшить содержание понятия «параллелограмм», например, потребовать параллельность только одной пары сторон, то объем понятия увеличится за счет появления трапеции. Если объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то первое понятие называется видовым по отношению ко второму (например, прямоугольник - видовое понятие по отношению к параллелограмму), а второе по отношению к первому называют родовым (параллелограмм - родовое понятие по отношению к прямоугольнику).

Таким образом, выявление существенных признаков понятия является важным компонентом работы с понятием, позволяющим осознанно соотносить объект с тем или иным понятием или классом понятий.

Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие. [20]

Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия четырехугольник.

На первой ступени познания человек знакомится с конкретными предметами, поверхности которых имеют форму многоугольника. Поверхность стола может иметь прямоугольную, квадратную форму, поверхность зеркала может иметь и форму трапеции, различные многоугольные формы имеют мозаики, в которые играет ребенок с раннего детства. Эти предметы ребенок видит, может осязать, усматривать конкретные свойства предметов (цвет, материал, из которого изготовлен предмет и т.д.). Таким образом, в сознании ребенка создается форма отражения реальной действительности, которую называют восприятием.

На следующем этапе ребенку предстоит мысленно отбросить особенности цвета, материала, предназначения конкретных предметов и выделить то, что их объединяет, т.е. их форму. Так происходит представление о четырехугольнике.

Наконец, вычленяются общие и индивидуальные свойства четырехугольников, о которых сформировалось представление. Выясняется, что для четырехугольника отличительным признаком является наличие четырех сторон, причем смежные стороны его не лежат на одной прямой, несмежные стороны не имеют общих точек, обе пары противоположных сторон четырехугольника могут быть параллельны, а могут быть параллельны только две противоположные стороны. Таким образом, к четырехугольникам относятся и трапеции, и параллелограммы, и невыпуклые четырехугольники и пр. Теперь можно сказать, что у ребенка сформировалось понятие о четырехугольнике. [7]

Понятие фиксирует в сознании только существенные признаки и свойства в каждом конкретном случае, являющиеся признаками и свойствами именно этого понятия, что и отличает его от восприятия и представления и делает его более высокой ступенью познания.

Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.

Однако формирование математических понятий не всегда протекает по схеме, начинающейся с ощущений, приведенной выше. В частности, когда формируемое понятие каким-либо образом связано с категорией бесконечности (как, например, понятие прямой, плоскости), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме). В этом случае наглядность из средств, способствующих формированию понятия, становится тормозящим фактором.

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между двумя рациональными числами, не подкрепляется, а наоборот, «опровергается» конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество [10]. Этот и другие примеры подтверждают выводы психологов, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.

Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.

§2 Определение понятий. Классификация понятий

Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства.

Но перечислить их часто бывает нелегко, однако задача упрощается, если ранее изученные понятия. Наиболее часто встречаются определения через ближайший род и видовые отличия. Например: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны».

Общая схема определения через ближайший род и видовое отличие может быть записана на языке множеств (классов):

(класс B состоит из объектов x, принадлежащих A - ближайшему роду и обладающих свойством P - видовое отличие).

В нашем примере класс B - определяемый класс параллелограммов , А - класс четырехугольников, Р - свойство попарной параллельности противоположных сторон.

Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятие.

Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго - к третьему, с еще более широким объемом, и т.д. Процесс сведения не может быть бесконечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории. [10]

Например, ромб - особый параллелограмм, параллелограмм - особый четырехугольник, четырехугольник - особый многоугольник, многоугольник - особая геометрическая фигура, геометрическая фигура - множество точек. При составлении «родословной» понятия «ромб» мы дошли до первоначальных (исходных) понятий: точка и множество. Исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории, но это не означает, что они никак не определяются. Основные свойства исходных понятий и отношения между ними выражает система аксиом теории, поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий.

Также часто используется так называемое генетическое определение. Его особенность заключается в том, что оно указывает на происхождение определяемого объекта. Например: окружность - множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости. Другой пример - сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра.

Встречаются, особенно на ранних этапах обучения учащихся описательные определения. Пример. проведем прямую и отметим на ней точку О. эта точка разделяет данную прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. точка О является началом каждого из лучей. Таким образом вводится понятие луча в учебнике «Геометрия, 7-9» авторов Л.С. Атанасяна и др. [3]

В школьном курсе не всегда целесообразно давать понятиям строгое определение. Зачастую формальное определение учащимся непонятно. Поэтому, обычно, сначала вводится генетическое определение и лишь затем, когда ученики накопили достаточно знаний для его усвоения - вводится строгое формальное определение. В 5 -6 классах в основном все определения генетические или описательные. Начиная с 7-го класса, степень формализации увеличивается.

Анализ научно-методической литературы и беседы с педагогами выявили смешение понятия «генетическое определение» и «описательное определение». Мы в своей работе будем придерживаться следующей трактовки этих понятий.

Как было сказано выше, особенностью генетического определения является то, что оно указывает на происхождение определяемого объекта. Для генетического определения в учебнике дается формулировка, для описательного определения - четкой формулировки не дается.

Описательные определения - это определения, которые описывают объекты с помощью моделей, рассмотрения частных случаем, выделения отдельных существенных свойств.

Примеры описательных определений:

1. Определение понятия угол в начальной школе. Учитель ставит точку на доске, проводит два луча и говорит, что фигура, которая изображена на доске называется угол.

2. Определение понятия линейной функции в 7 классе в учебнике А.Г. Мордковича. Линейное уравнение с двумя переменными ахІ + bx + c = 0 автор преобразовывает к виду у = kx+m и говорит, что этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

Отметим еще и так называемые условны определения. Примером может служить следующее определение: а0 = 1 (а ? 0).

Об определении не имеет смысла говорить истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям

Перечислим требования, выполнение которых необходимо для корректности определения: [7]

- отсутствие порочного круга: определяемое не должно содержаться (явно или неявно) в определяющем. Например: «Решение уравнения - это то число, которое является его решением»;

- отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встречаться не более одного раза в качестве определяемого;

- выполнение принципов корректного употребления символов или терминов в употреблении имен:

- принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение « 3 < 7» говорит о том, что число, обозначенное цифрой 3 меньше числа, обозначенного цифрой 7, т.е. говорит о числах, а не об их именах.

- принцип однозначности: каждый символ(термин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения. Например, нарушением принципа однозначности является применение символа «АВ» для обозначения разных объектов: прямой, проходящей через очки А и В, отрезка с концами в точках А и В и т.д.

- принцип замены имен: предложение не меняет своего истинного значения, если одно из входящих в него имен заменяется другим именем, имеющим то же самое значение (т.е. синонимом). Например, одна и та же прямая может обозначаться символом «a», или символом «АВ», или символом «ВА»

Важную роль в развитии логического мышления учащихся имеет их знакомство с классификацией изучаемых понятий. При изучении понятий нередко возникает задача раскрыть их объем, т.е. распределить предметы, которые мыслятся в понятии, на отдельные группы, классы. Раскрытие объема понятия осуществляется с помощью классификации. Под классификацией понимают деление (разбиение) множества элементов этого понятия на подмножества (классы), удовлетворяющие следующим условиям (требованиям)[7]:

- классификация должна производиться по одному и тому же признаку (основание классификации);

- образованные подмножества (классы) непересекающиеся, т.е. никакая пара их не имеет общих элементов;

- классификация должна быть соразмерной, т.е. объединение всех подмножеств (классов) образует все множество;

- классификация должна быть непрерывной, т.е. классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, подлежащему классификации.

Выделяют следующие виды классификации:

По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

	Три стороны равны	Две стороны равны	Нет равных сторон
Остроугольный	равносторонний	равнобедренный
Прямоугольный	----	равнобедренный
Тупоугольный	----	равнобедренный

Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Пример.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

При изучении математики в школе систематически используются классификации: в процессе классификации образуется система изучаемых понятий.

Особенно полезны классификации при повторении, так как при этом систематизируется изучаемый материал, учащиеся получают более полное представление о взаимосвязях между понятиями и о системе математических понятий.

§3 Методика формирования понятий

Нет ничего более сложного и ответственного в работе учителя математики, чем введение нового понятия, которое отличается высокой степенью абстрактности. Долгое время считалось, что главное в школьном обучении математики - повысить так называемую научность. Сейчас уже никто не оспаривает тезис, что школьная математика не наука, а учебный предмет, где зачастую более важны законы педагогики, психологии, физиологии и общечеловеческий историко-математический опыт, нежели чем законы математики-науки.

В работе А.Г. Мордковича «Беседы о математике» [18] говорится о том, что учителя математики должны быть вооружены четкой стратегией и продуманной тактикой введения формального определения сложного математического понятия.

Стратегия отвечает на вопрос, когда и где следует давать учащимся формальное определение нового понятия. Здесь может быть четыре варианта:

- определение дается в начале изучения темы;

- определение дается примерно в середине изучения темы ( а до этого учитель ограничивается опорой на интуитивные или наглядные представления учащихся);

- определение дается в конце изучения темы (на уроках обобщающего повторения);

- определение вообще не доводится до формального уровня (таких понятий в школьном курсе математики достаточно много, например, предел, интеграл, действительное число и т.д.).

Тактика отвечает на вопрос, как постепенно подвести учащихся к осознанию формального определения сложного математического понятия. Уровни знакомства с новым понятием бывают разными. А.Г. Мордкович выделяет следующие: [18]

- наглядно-интуитивный уровень (новое понятие вводится, например, «по картинке»);

- рабочий (описательный) уровень (когда ученика не спрашивают «что такое…», а спрашивают «как ты понимаешь, что такое…»);

- формальный уровень.

А. Г. Мордкович считает , что сложные математические понятия (не такие, как степень с натуральным показателем, а такие, как функция, свойства функций, равносильность уравнений и т.п.) следует выводить, на формальный уровень при выполнении двух условий: 1) накопление у учащихся достаточного вербального опыта для адекватного восприятия вводимого понятия - опыта, который содействует пониманию всех свойств, содержащихся в определении и генетического опыта - опыта использования понятия на наглядно-интуитивном уровне и уровне словесного описания (рабочем уровне); 2) появление потребности в формальном определении понятия. [18]

Рассмотрим генетический опыт с двух точек зрения - психологической и историко-математической. В реальной жизни, осваивая новые термины, человек сначала видит новый объект, затем начинает понимать в чем суть нового объекта, и только потом, накопив соответствующий опыт, человек может дать точное определение нового термина. При усвоении особо сложных терминов, которыми богата математика, нельзя игнорировать эту психологическую схему.

Любое сложное математическое понятие проходило в своем формировании долгий и мучительный путь, в котором отчетливо видны все три упомянутых выше уровня (наглядно-интуитивный, рабочий, или описательный, формальный). Иногда от первых представлений до четких определений проходили века. Феликс Клейн говорил, что каждый школьник в своем математическом образовании в ускоренном темпе проходит все стадии усвоения того или иного понятия, которые проходило человечество; если некое понятие вызревало долго и мучительно, то и нынешними школьниками оно будет усваиваться с трудом, и к этому нужно относиться с терпением и пониманием (иногда эту точку зрения Ф. Клейна называют биогенетическим подходом) [18]

Как отмечает Г.И. Саранцев [20, с. 56], чаще всего на уроках используется первая схема формирования понятий: учитель дает определение понятия или сначала привлекает учащихся к выделению существенных свойств понятия, а затем осуществляет логическую организацию подмеченных свойств в определении понятия. Выполнение действий, способствующих усвоению понятия (подведение объектов под понятие, выведение следствий из факта, конструирование объектов), часто отсутствует. Также там отмечается, что лишь немногие учителя акцентируют внимание учащихся на различных определениях понятия, стараются раскрыть содержание и объем понятия, показать, что определением понятия не ограничивается процесс его формирования.

Начальным этапом формирования понятия является мотивация его введения. На важность мотивации указывали дидакты еще 100 лет назад. Так, Я. А. Коменский отмечал: «При начале всякой работы учитель заинтересовывает учеников, подстрекает их, поднимая вопрос относительно того, о чём он хочет толковать, чтобы ученики сознавали своё невежество в этом отношении и с большим нетерпением ждали разъяснения»[8]. Сущность этого этапа заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной активной деятельности, в возбуждении интереса к изучаемому материалу.

Одним из средств мотивации является выполнение упражнений практического характера. Например. Введению линейной функции может предшествовать решение задач на определение стоимости отправляемой телеграммы, длины стержня при его нагревании и т.п. Мотивация введения понятия может быть осуществлена не только через систему упражнений, так как это на практике не всегда удается. Она может быть обусловлена чисто теоретическими потребностями. Например, введение понятия алгебраической дроби необходимо по причине развития соответствующей теории.

Следующий этап - выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется в основном посредством упражнений. Их основное назначение на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся.

И.В. Ситникова в своей диссертации о формировании математических понятий в средней школе, выделяет следующие три группы упражнений на выявление существенных свойств понятия [21]:

1. Упражнения, в которых учащимся предъявляется множество объектов, обладающих какими-либо важными общими признаками. Далее отбрасываются все частные второстепенные признаки, которые принадлежат не всем объектам, и выделяются общие, принадлежащие каждому объекту этого множества. Например, познакомиться с существенными свойствами смежных углов можно следующим образом. Учитель заранее готовит на доске, плакате чертежи фигур и предлагает учащимся выбрать из них те, которые обладают общими свойствами.

Учащиеся замечают, что на всех рисунках изображены углы, но фигуры а), в), е) обладают общими свойствами: это два угла, одна сторона у которых общая, а две другие дополняют друг друга до прямой.

2. Упражнения на выделение из окружающей действительности объектов, обладающих определенными свойствами.

Например, изучение классной комнаты позволяет выделить существенные свойства прямоугольного параллелепипеда. Такими же свойствами обладают спичечные коробки, коробки кирпичных и панельных домов и др.

3. Упражнения на конструирование моделей фигур, при выполнении которых учащиеся самостоятельно выделяют существенные свойства понятия.

Так, познакомиться с существенными свойствами уже рассмотренного выше понятия смежные углы можно и иначе, предложив учащимся выполнить следующее упражнение: «Постройте произвольный угол. Постройте луч, дополняющий одну из сторон угла до прямой. Охарактеризуйте образовавшуюся пару углов».

Примеры:

Арифметическая (геометрическая) прогрессия может быть введена путем выполнения упражнений на запись числовых последовательностей, заданных определенными свойствами, либо на выявление свойств, которыми обладают указанные последовательности.

Ознакомление с существенными свойствами трапеции может осуществляться посредством предъявления учителем рисунка, на котором изображены различные четырехугольники, и выделения учащимися тех из них, у которых две стороны параллельны, а две другие нет. Введение понятия трапеции моет быть осуществлено и путем выполнения упражнения на построение различных четырехугольников, в том числе и таких, которые являются трапециями.

Выделению существенных свойств геометрических понятий, особенно в V - VI классах, способствуют упражнения на конструирование моделей фигур, при выполнении которых учащиеся самостоятельно выявляют существенные свойства понятия. В частности, ознакомление с существенными свойствами биссектрисы угла может быть осуществлено посредством перегибания листа бумаги, являющегося моделью плоскости угла, так, чтобы его стороны совпадали.

Итогом этого этапа является формулировка определения понятия, усвоение которого составит содержание нового этапа. Усвоить определение понятия означает овладеть действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объему понятия. Необходимо выявить, понятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. В первую очередь необходимо проверить понимание «подозрительных слов»: каждой, не более и т.д. Непонимание смысла отдельных слов затрудняет усвоение логической структуры определения понятия.

На этапе усвоения определения понятия каждое существенное свойство, использованное в определении, делается специальным объектом изучения. Обеспечивается это требование с помощью упражнений.

Проиллюстрируем конструирование упражнений на примере понятия биссектрисы угла. «Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла».

Исходя из структуры определения понятия биссектрисы угла, осуществляем конструирование упражнений:

Луч ОС исходит из вершины угла АОВ, а угол АОВ не равен углу СОВ. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

Некоторый луч делит угол пополам, а его начало не совпадает с вершиной угла. Является ли этот луч биссектрисой данного угла?

Луч ОС исходит из вершины угла АОВ и делит его пополам. Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?

Необходимы комплексные упражнения на использование свойств понятий и на отыскание следствий. Например, если известно, что некоторый луч исходит из вершины угла, следует ли отсюда, что это луч является биссектрисой угла? Если нет, то измените условие так, чтобы из него следовало, что луч является биссектрисой данного угла.

При конструировании указанных упражнений следует предусмотреть и вариативность расположения объектов, так как применение действия в одной ситуации не гарантирует его успеха при его применении в другой ситуации, отличной от первой. Отразить это требование в словесно заданных упражнениях невозможно, поэтому используют упражнения на готовых чертежах. Выполняя такие упражнения, учащиеся также вычленяют на рисунках объекты, принадлежащие данному понятию, рассматривают объекты с точки зрения других понятий.

Следующий этап - использование понятия в конкретной ситуации.

На этом этапе осуществляется знакомство со свойствами и признаками понятия; с его определениями, эквивалентными данному; используются изученные свойства и признаки понятия.

Учащиеся усваивают умение переходить от понятия к его существенным свойствам и обратно, переосмысливают объекты с точки зрения других понятий, а также овладевают различными их совокупностями.

Естественно, что для более глубокого усвоения понятия важно использовать не одно, а несколько действий: сравнение, выведение следствий, классификации, подведение объектов под понятие, конструирование объектов.

Выведение следствия фактически противоположно действию подведения под понятие: при подведении под понятие надо по системе определенных свойств решить вопрос о принадлежности данного предмета к классу объектов, зафиксированных в понятии, а при выведении следствий известно, что объект принадлежит к данному классу. Задача заключается в том, чтобы из этого факта принадлежности получить следствия, сделать выводы о свойствах этого объекта.

Известно, что фигура является треугольником. Что можно сказать об этой фигуре? Какие у нее свойства? Выполнение этого действия также предполагает знакомство учащихся с видами свойств. В случае с треугольником это, прежде всего, свойства, указанные в его определении: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Эти свойства не только необходимые, но одновременно и достаточные для опознания фигуры как треугольника. Кроме них любой треугольник имеет еще другие необходимые свойства: сумма внутренних углов равна 180° и др. Действие выведения следствий обогащает понятие о треугольнике, делает его более содержательным.

Действие сравнения помогает учащимся понять место усваиваемого понятия среди других.

«Понятие - продукт собственных действий учащихся … математические понятия (как и любые другие) не могут быть усвоены без усвоения целой системы начальных логических знаний и умений», [20, стр.27].

Системный подход к понятиям позволяет не только резко сократить время изучения понятий, но и добиться более глубокого и прочного их усвоения.

Приведенная схема [схема 1, 25] иллюстрирует соответствие между этапами формирования понятия и упражнениями, реализующими их. Однако заметим, что процесс формирования понятия является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий внимание к этапам формирования может быть различным, некоторые же из них могут отсутствовать. В качестве примера понятия, которое можно ввести непосредственно определением, опустив предварительное знакомство с существенными свойствами этого понятия, Г.И. Саранцев приводит понятие хорды. Мы к этому примеру могли бы добавить понятие обыкновенных дробей, понятие перпендикулярных и параллельных прямых, понятие биссектрисы угла.

Выводы из первой главы.

Из схемы, представленной на стр. 24 видим, что формирование (усвоение) понятия осуществляется в несколько этапов. Приведенная схема содержит девять этапов. На самом деле, данная схема применима не ко всем понятиям. Практика показывает, что существуют примеры понятий:

- усвоение которых укладывается в данную схему

- усвоение которых не полностью укладывается в данную схему

- усвоение которых с данной схемой имеет довольно мало общего.

Схема 1. Соответствие между этапами формирования понятия и упражнениями, реализующими их

Этапы формирования понятия	Упражнения, реализующие их
Мотивация введения понятия	Упражнение на применение ранее изученных понятий и теорем
Выделение существенных свойств понятия	Упражнения практического характера
	Упражнение на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам
Синтез выделенных свойств, формулировка определения понятия	Упражнения с моделями фигур
Понимание смысла слов в определении понятия	Упражнения на распознание объектов, принадлежащих объему понятия
Усвоение логической структуры определения понятия	Упражнения на выделение следствий из определения понятия
Запоминание определения понятия	Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий)
Применение понятия	Упражнения на составление родословной понятия
	Упражнения на применение понятия в различных ситуациях
Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями	Упражнения на систематизацию понятий

Глава 2. Понятия школьного курса математики

Понятия, которые изучаются в школьном курсе математики, можно разбить на 5 классов, где основанием классификации является методика изучения понятия в основной и старшей школе:

- понятия, изучение которых начинается с формулировки определения (понятие хорды, понятие обыкновенной дроби, понятие биссектрисы угла и др.);

- понятия, которым в школьном курсе математики вообще не дается определение (такие понятия, как число, уравнение, непрерывность функции);

- понятия, с объектами которых дети оперируют до введения соответствующего термина, а сам термин и формулировка определения понятия даются позже (понятие одночлена и понятие многочлена);

- понятия, изучение которых начинается с общих представлений, а формулировка определения дается через некоторый промежуток времени: от нескольких уроков, до нескольких лет (такие понятия, как прямоугольный параллелепипед, куб, угол, окружность, сфера, и др.);

- понятия, которым в школьном курсе математики дается только описательное определение, формулировка не дается (понятие луча, понятие функции по учебнику под ред. С.А. Теляковского и др.).

О понятиях, относящихся к первому виду, было сказано выше. К нему мы может отнести понятие хорды, обыкновенной дроби, понятие перпендикулярных и параллельных прямых, понятие биссектрисы угла.

К понятиям, которым в школьном курсе математики определение вообще не дается можно отнести понятие числа, понятие непрерывности функции, понятие уравнения.

В школьном курсе математики встречаются понятия, с объектами которых ученики оперируют до введения термина. Например, дети уже с 5 класса оперируют с выражениями 5, 2х, 7у , 7х - 3х и т.п., а термин и определение одночлена и многочлена вводится только в 7 классе. Тогда же формируется и соответствующее им понятие.

В процессе изучения понятий каждого вида учителя сталкиваются с теми или иными трудностями. Рассмотрим более подробно примеры понятий четвертого класса и методику работы с ними.

§1 Понятие ромба

С понятием «ромбик» дети знакомы еще с детского сада. Причем, очень часто воспитатели просто переворачивают квадрат как изображено на рис. 1 и говорят ребятам, что перед ними изображен ромб.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Довольно часто дети уверены, что на рис. 1 и 2 изображает ромб, а на рис. 3 - не ромб. Очень часто и после того, как ученики познакомились формальным определением ромба, все равно изображают его так же, как на рис. 2 (стр. 26). На этапе формирования данного понятия учителю полезно изображать ромб так, как показано на рис. 3.

Формальное определение ромба дается в 8 классе во время изучения темы «Четырехугольники». По учебнику Геометрия Л.С. Атанасяна и др [3] к моменту, когда детям дается определение ромба, они уже знакомы с понятиями параллелограмм, трапеция, прямоугольник. «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны»[3, 109]. Понятие «ромб» задано определением через ближайший род и видовые отличия. Родовое понятие - параллелограмм, видовое отличие - все стороны равны.

Формирование понятия ромб имеет мало общего со схемой 1 (стр. 24).

§2 Понятие прямоугольного параллелепипеда

О том, что такое прямоугольный параллелепипед, дети узнают в 5 классе.

По учебнику «Математика» для 5 класса авторов И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича [5] понятие «прямоугольный параллелепипед» можно ввести следующим образом. Сначала ученикам предлагается обратить внимание на рисунок в учебнике, на котором изображены различные геометрические фигуры. Ученикам предлагается выделить, по какому признаку нарисованные тела разделены на 2 группы. Тела, поверхность которых составлена из плоских фигур - многоугольников - выделены в 1 группу.

- К первой группе относятся тела, поверхность которых составлена из плоских фигур - многоугольников.

- Правильно. Эти многоугольники называются гранями, а сами тела - многогранниками. А что мы можем сказать о фигурах, которые относим ко второй группе?

- Ко второй группе относятся тела, ограничены не только плоскими поверхностями.

- Верно, это круглые тела: цилиндра, шар и конус.

На следующем рисунке изображены предметы, имеющие форму многогранников. Предметы, с которыми дети встречаются почти каждый день: коробка для дискет, калькулятор, проектор, карандаш.

- Как вы думаете, по какому признаку эти предметы разбиты на две группы?

- Предметы первой группы имеют форму различных многогранников, а предметы второй грумы - похожую форму.

- Предметы второй группы напоминают по форме предмет, изображенный на доске:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изображенное тело называется прямоугольный параллелепипед. (Данное словосочетание - “прямоугольный параллелепипед” - написано на доске и его дети читают хором).

Учитель сообщает детям, что параллелос в переводе с древнегреческого буквально означает «идущие рядом», эпидос - «плоскость».

Как вы думаете, почему прямоугольный параллелепипед получил такое название?

Приведите примеры предметов окружающей обстановки, которые имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Учитель вместе с учениками знакомятся с элементами прямоугольного параллелепипеда сначала на рисунке из учебника:



А затем учитель предлагает показать на модели прямоугольного параллелепипеда его грани, ребра и вершины.

Скажите, сколько у прямоугольного параллелепипеда граней, ребер и вершин?

У прямоугольника есть длина и ширина, или, как еще говорят, измерения. У прямоугольного параллелепипеда тоже есть измерения - это длина, ширина и высота.

Измерения прямоугольного параллелепипеда - это длина трех ребер, исходящих из одной вершины.

В следующий раз к понятию «прямоугольный параллелепипед» возвращаются только в 10 классе. В учебнике «Геометрия» для 10-11 кл. Л.С. Атанасяна [4] термин параллелепипед и его определение вводится в конце темы «Параллельность прямых и плоскостей» следующим образом:

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A1B1C1D1, расположенных так, что отрезки AA1, BB1, CC1 и DD1, параллельны. Четырехугольники ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DAA1D1 также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные стороны (например, в четырехугольнике ABB1A1 стороны AB и A1B1 - по свойству линии пересечения двух плоскостей третьей). Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DAA1D1 называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1.

Формальное определение прямоугольного параллелепипеда дается только в конце изучения темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей», когда дети уже познакомились с параграфами: перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикуляр и наклонной, угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, перпендикулярность плоскостей.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Заметим, что уже с детского сада дети хорошо знакомы с термином «кубик»

Определение понятия куб в учебнике Л.С. Атанасяна вводится в 10 классе в конце изучения темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Определение, которое дано в учебнике по геометрии для 10-11 классов Л.С. Атанасяна [3] звучит следующим образом:

«Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом».

§3 Понятие угла

С понятием «угол» ученики знакомятся еще в начальной школе. Там вводится описательное определение угла. Например, учитель ставит точку на доске, проводит от этой точки два луча и говорит, что изображенная на доске фигура называется углом. Также, в начальной школе, ученики знакомятся с понятием прямого угла. Необходимость введения формального определения угла связана с введением понятия развернутый угол, так как с точки зрения начальной школы развернутый угол углом не является. Формальное определение угла дается в 5 классе.

По учебнику математики 5 класса И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича [5]определение понятия угол можно дать следующим образом:



Какие фигуры изображены ? Что у них общего?

Вероятно, вы заметили, что общим для всех рисунков является то, что на каждом из них изображены пары лучей, имеющих общее начало.

На четвертом рисунке точка О разбивает прямую АВ на два луча с общим началом. Такие лучи называют дополнительными или противоположными.

Как вы наверняка заметили, на первых трех рисунках каждая пара лучей образует угол. Постарайтесь дать определение угла. Попробуйте начать со слов: «Угол - это фигура….» - или так: «Углом называется фигура….»

«Угол - это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало».

Можно ли, опираясь на определение угла утверждать, что фигура, образованная дополнительными лучами, это угол?

Дополнительные лучи имеют общее начало, их всего два, значит, оин образуют угол.

Значит на рисунке 4) тоже изображен угол. Такие углы имеют специальное название - развернутые углы. Как бы вы сформулировали определение развернутого угла?

Развернутый угол - это угол, образованный дополнительными лучами.

В курсе геометрии определение угла дается без предварительной подготовки. В учебнике «Геометрия, 7-9» Л.С. Атанасяна и др. дано следующее определение понятия угол:

Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной угла.

Процесс формирования понятия угол имеет мало общего со схемой 1 (стр. 124).

§4 Понятие окружности

С понятием окружность дети знакомятся в начальной школе. В 5 классе возвращаются к понятиям окружность и круг, вспоминая все, что было известно ранее. В учебнике «Математика, 5 кл» И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича [5] понятие окружности изучается вместе с понятием круг.

Рассмотрите рисунок. Где изображена окружность? Где - круг?

Какой инструмент используется для построения окружности?

Назовите точки, которые принадлежат окружности; кругу.

Назовите точки, которые не принадлежат окружности; кругу.

Покажите дуги, на которые точки A, B и С делят окружность.

Какой буквой обозначен центр окружности; круга?

Назовите отрезки, которые являются радиусами окружности; круга?

Назовите отрезки, которые не являются радиусами и сравните их длины с длиной радиуса.

Сколько радиусов у окружности; круга?

Как обозначен диаметр окружности; круга? Сколько диаметров у окружности; круга?

Какое свойство диаметров вы знаете?

Какое свойство радиусов вы знаете?

Запишите формулу, по которой можно найти диаметр d окружности, зная его радиус r.

Запишите формулу, по которой можно найти радиус r окружности, зная диаметр d.

Определение понятия окружность дается в курсе геометрии 7 класса. В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С Атанасяна и др[3] следующее определение понятия окружность:

«Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки».

§5 Понятие сферы

При обучении по некоторым учебниками математики для 5-х, 6-х классов с понятием сфера учащиеся знакомятся уже на этом этапе. Тогда сфера предстает перед ними как поверхность шара.

С понятием сфера ученики знакомятся самом конце 9 класса в главе «Начальные сведения из стереометрии» В учебнике «Геометрия» Л.С. Атанасяна и др. [3] следующее определение понятия сфера:

«Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы».



При работе по различным учебникам одно и то же понятие можно отнести к разным классам, например, понятие функции. При работе по учебнику А.Г. Мордковича[11], [15] понятие функции можно отнести 4 классу, поскольку понятие вводится в 7 классе, а формальное определение дается в 9 классе. При работе по учебникам «Алгебра» К.С. Муравина [19]. и др и учебника «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» под ред. Г.В. Дорофеева [9] следует отнести к первому классу, так как изучение понятия функции начинается с формального определения. А при работе по учебнику «Алгебра» под ред. С.А. Теляковского [1] понятия функции будем относить к пятому классу, так как в данном учебнике дается описательное определение. Подробно изучение понятия функции будет рассмотрено в следующей главе.

Глава 3. Методика введения и отработки понятия функции

К числу основных понятий современной математики относится понятие функции, которое прошло долгий исторический путь развития, прежде чем вошло в науку и в школьный курс математики. Функциональная линия, начиная с 80-х гг ХХ в. является одной из центральных линий курса алгебры средней школы. Она концентрирует в себе математические знания, необходимые людям в повседневной жизни, например: для чтения информации, представленной в виде таблиц, для решения практических задач. В теории и в методике преподавания математики до сих пор не найдено единого подхода к определению понятия функции в курсе алгебры основной школы.

В школьных учебниках существовали и существуют различные подходы к определению понятия функции, ее введению и дальнейшему формирования этого понятия, которые в той или иной мере являются отражением исторического пути его становления как зависимой переменной, как правила или закона, как выражения, и как соответствия или отношения.

Что же заставляет методистов искать новые пути введения понятия функции? На поиски их толкает неудовлетворенность результатами изучения функции учащимися: слабая ориентация в системе координат, отсутствие у некоторых учащихся представления о графиках основных изучаемых функций, некоторые не видят связи между изучаемыми функциями и решением уравнений и неравенств, не умеют читать графики функций и, наконец, большинство просто не понимают определения понятия функции и, в лучшем случае, бездумно его заучивают.

В немалой степени такое состояние функциональной подготовки учащихся было вызвано теми подходами к определению понятия функции, которые были приняты в школьных учебниках, отсутствием четкости в этих определениях, не позволившим точно, однозначно и доступно трактовать рассматриваемое понятие, несвоевременностью его введения.

Обсуждая методические подходы к определению понятия функции, А.Я. Хинчин говорил, что в понятии функции «как в зародыше уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата. Вот почему мы должны со всей беспощадностью требовать от этого определения полной, безукоризненной ясности: ни одно слово в нем не должно вызывать и тени сомнения, малейшая двусмысленность здесь грозит сделать все величественное здание, которое строит наука на базе этого основного понятия, несовершенным, требующим капитальной перестройки».

§1 Сравнительный анализ введения и отработки понятия функция в некоторых учебниках

1.1 Учебник «Алгебра» под редакцией С.А. Теляковского

Понятие функции вводится в 7 классе, но формальное определение не дается. Авторы сначала рассматривают формулу S = а2, где переменную а называют независимой (ее значение выбирается произвольно), а переменную S - зависимой. Далее предлагается рассмотреть еще несколько примеров такого типа:

«Путь, пройденный автомобилем со скоростью 50 км/ч, зависит от времени движения.

Обозначим время движения автомобиля (в часах) буквой t, а пройденный путь (в километрах) буквой s. Для каждого значения переменой t, где , можно найти соответствующее значение переменной s.

Например,

если t = 0,5, то s = 50 ? 0,5 = 25;

если t = 2, то s = 50 ? 2 = 100;

если t = 3,5, то s = 50 ? 3,5 = 175.

Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой:

s = 50t.

В этом примере t является независимой переменной, а s - зависимой переменной».

После рассмотренных примеров авторы говорят, что в них каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. После чего говорят о том, что такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией этого аргумента. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Рассмотрим, каким образом в данном учебнике реализуются этапы формирования понятия функции.

1. Мотивация

В учебнике говорится о том, что на практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, ширины и высоты. Приведены примеры. Автор говорит, что в в дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

2. Выделения существенных свойств

Для выделения существенных свойств приведены примеры, из которых можно увидеть, что каждому значению независимой переменной соответствует единственное значении зависимой переменной, т.е. функции.

3. Формулировка определения

Формулировка определения отсутствует. Однако термин «функция» означает и зависимость, и зависимую переменную. Т.о. мы получаем омонимию, что является недопустимым.

4. Отработка понятия функции

Рассмотрим, какие задачи, предназначенные для формирования понятия функции, представлены в данном учебнике:

Графические задачи

Дан график некоторой зависимости, по нему необходимо определить количество, время, температуру и т.п.

Пример. Кривая CD - график некоторой функции. Используя график, найдите:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) значения у при х= -4; -3; -1; 0; 1; 2;