Изучение математических понятий в школе

2) значения х, которым соответствует у = -2; -1; 0; 3.

1.2 Упражнения на построение графика заданной функции. Аналитические задачи

Упражнения на нахождение значения функции, заданной аналитически

Пример. Функция задана формулой s=. В таблице указаны значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции: ,

Х	-6	-3	2	5	6	12
У

Итак, мы видим, что в данных заданиях формируется умение находить значения функции (у) по данному значению аргумента (х) и обратно - по данному значению функции (у) находить исходное значение аргумента.

Упражнений, формирующих представление о функциональной зависимости как о зависимости, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, в данном учебнике нет.

Далее авторы переходят к заданиям, формирующим умение находить область определения функции, заданной аналитически.

Задания на нахождение области определения функции

Пример. Найти область определения функции, заданной формулой:

.

Система упражнений для отработки понятия функции в данном учебнике не является полной. Так, в учебнике нет контрпримеров, нет заданий на подведение объекта под понятие функции.

1.2 Учебник «Алгебра» К.С. Муравина, Г.К. Муравина, Г.В. Дорофеева

Понятие функции вводится в 7 классе. Этап мотивации введения понятия функция осуществляется с помощью решения конкретных задач.

Задача 1.

В аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, наливают воду. Сколько воды в аквариуме, если высота столба воды равна h? Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны (см).

При решении задачи говорится о том, что будем рассматривать теперь в формуле V = 2,4 h, V и h как переменные. Допустимыми значениями переменной h являются все положительные числа, не превышающие 50 (высота аквариума равна 50 см). Обратим внимание на то, что каждому допустимому значению переменной h соответствует единственное значение переменной V. Так, например, при h = 20 V = 2,4 * 20 = 48, h = 25 V = 2,4 * 25 = 60.

Задача 2.

Площадь прямоугольника равна 60 см2, а одно из его измерений a (см). каково второе измерение прямоугольника?

Решение: Обозначим искомое измерение буквой b (см), тогда:

.

Рассмотрим в этой формуле b и a как переменные. Заметим, что и в данном случае, каждому допустимому значению переменной a (допустимы любые положительные значения) соответствует единственное значение переменной b.

При рассмотрении данных задач выделяются следующие существенные свойство функции: с изменением значения одной переменной изменяется и значение другой, причем каждому допустимому значению первой переменной соответствует единственное значение второй.

В отличие от предыдущего учебника здесь дается формулировка определения понятия функции.

Переменную y называют функцией переменной x, если каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у.

Переменную х называют аргументом функции

Далее авторы говорят о том, что если правило f задано с помощью формулы, но не сказано, какая задача к ней привела, то в таких случаях условились считать допустимыми все значения аргумента, при которых записанное в правой части формулы выражение имеет смысл.

Этап отработки определения осуществляется с помощью упражнений, в которых по конкретной ситуации нужно записать функцию аналитически, определить допустимые значения аргумента, ответить является ли y функцией x, а также найти значение переменной y, соответствующее определенному значению х.

Пример такого упражнения:

В книге 280 страниц. Девочка прочитывает ежедневно по 20 страниц. Сколько страниц (y) ей останется прочитать через х дней? Укажите множество допустимых значений переменной х. Является ли переменная y функцией переменной х? Какое значение y соответствует значению х, равному: а) 1; б) 7; в) 12; г) 14?

В отличие от предыдущего учебника здесь больше упражнений для отработки понятия функции. Но, также как и в учебнике под редакцией С.А. Теляковского, рассмотренном ранее, отсутствуют контрпримеры. Все примеры приведенных зависимостей являются функциями.

1.3 Учебник «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» под редакцией Г.В. Дорофеева

В учебнике Дорофеева в 7-ом классе понятие функции еще не вводится. Но все же в этом учебнике в главе «Координаты и графики» рассматриваются следующие темы, которые являются вспомогательными в теме «Функции» в 8-ом классе:

1. Множество точек на координатной прямой.

2. Множество точек на координатной плоскости.

3. Графики.

Эта тема изучается без самого понятия функции, вместо этого говорится, что абсцисса и ордината связываются каким-либо условием, зависимостью. Изучаются графики: у = х, у = -х, у = |х|, у = х2, у = х3. Эти графики строятся по предварительно заполненным таблицам.

4. Графики вокруг нас.

Глава «Функции» в 8-ом классе начинается с темы «Чтение графиков», которая изучается на примерах из жизни (зависимость роста от возраста и т.д.). Здесь фактически рассматривается свойства возрастания и убывания функции.

В начале темы «Что такое функция» авторы учебника говорят о том, что изучая графики реальных зависимостей, ученики должны были обратить внимание на то общее, что присутствовало в каждом примере: мы всегда имели дело с двумя взаимосвязанными величинами; с изменением значений первой величины менялись и значения второй. В таких ситуациях одну величину называют независимой, а вторую - зависимой.

Этап мотивации введения понятия реализуется следующим образом.

Изучение зависимостей между различными величинами составляет смыл многих наук. Средством описания всего многообразия реальных зависимостей на математическом языке служит понятие функции.

Для выделения существенных свойств на основании рассмотренных ранее зависимостей делается следующий вывод.

Главное в зависимости переменных состоит в том, что каждому значению независимой переменной некоторым образом - с помощью графика, таблицы, формулы или как-то иначе - поставлено в соответствие одно определенное значение зависимой переменной. В таких случаях для зависимой переменной в математике используют термин «функция»

Формулировка определения:

Переменную y называют функцией переменной x, если каждому значению x из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение переменной y.

Для независимой переменной тоже есть специальное название: ее называют аргументом.

Далее авторы учебника приводят примеры функций. Например, формула у = хІ - 2х задает переменную у как функцию переменной х: по этой формуле для любого значения аргумента х можно вычислить соответствующее значение аргумента у.

Авторы оговаривают то, что конкретные буквы, которыми обозначены переменные роли не играют.

Также обращают внимание на то, что в математике термин функция традиционно употребляется и в более широком смысле. Функцией часто называют не только одну из двух переменных, но и саму зависимость между ними, а также правило, по которому устанавливается соответствие между значениями аргумента и значениями функции.

Отработка определения понятия функции осуществляется с помощью следующих упражнений:

Графические задачи.

Задания на работу с графиками функций (нахождение значений функции по значению аргумента, составление таблицы значений функции, построение графика по данным таблицы, построение графика по условию задачи, определение координат точек принадлежащих графику, нахождение координат точек пересечения с осью х и у,

Пример. Составить таблицу значений функции и построить ее график: у=х3-3х. Найти точку пересечения с осью х.

Составить таблицу значений функции и построить ее график на заданном отрезке.

Пример. Составьте таблицу значений функции и постройте ее график:

а) у = xІ - 1,, где ;

б) у = 5 - хІ, где .

Какие из графиков, изображенных на следующем рисунке, могут служить графиками функций?



Аналитические задачи.

Задана ситуация. Необходимо задать формулой зависимость, найти значение функции по заданному значению аргумента либо найти значение аргумента по заданному значению функции, либо составить таблицу значений, либо заполнить таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента.

Пример. Имелось 100 кг муки. Ежедневно расходовалось 3 кг муки. Через х дней осталось у кг муки. Задайте формулой зависимость у от х. Найдите значение функции у при значении аргумента х, равном 3; 10; 33. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно 40; 55; 85. Укажите область определения.

Функция задана аналитически. Требуется найти: значение функции при заданном значении аргумента, значение аргумента при заданном значении функции.

Пример. Дана функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдите значение этой функции для значения аргумента, равного -3; -2;0; 0,1; 5.

Проанализировав учебники Дорофеева, можно сделать вывод о том, что они отличаются от предыдущих в плане подхода к введению понятия функции. В 7-ом классе это понятие не вводится, но уже видна пропедевтика темы «Функции», которая заключается в изучении графиков непосредственно без самого понятия функции. Введение понятия функции, ее свойств и графика функции происходит в 8-ом классе, и определение дается через соответствие элементов множества друг другу. Все темы, которые касаются функциональной линии, в каждом из учебников собраны в один раздел. Заметим, что в отличие от учебника под ред. С.А. Теляковского, здесь имеются примеры зависимостей, не являющихся функциями.

Формулировка определения дается в 8 классе, что можно отметить положительный момент, поскольку в это возрасте вероятность ее усвоения увеличивается.

1.4 Учебник «Алгебра» А.Г. Мордковича

Изучение функциональной линии начинается во втором полугодии 7-го класса. Последовательно рассматриваются следующие вопросы:

Линейное уравнение с одной переменной.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Представление о функции у = k x+b как о формуле.

Линейная функция и ее график.

Прямая пропорциональность.

Графическое решение линейных уравнений.

Функция у = х2 и ее график.

Решение уравнений с помощью графиков.

Возрастание и убывание функции.

Исследование на монотонность функций у = kx + b и у = х2.

Наибольшее и наименьшее значения данных функций на данных промежутках.

Кусочные функции. Смысл записи у = f (x).

По мнению автора, в 7-м и 8-м классе стоит отказаться от формального определения как такового, ограничиться описанием, не требующим заучивания. Поэтому термин «функция» вводится в 7 классе, а формальное определения понятия «функция» дается в 9 классе, когда ученики уже накопили достаточно опыта для адекватного восприятия определения.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х; пишут у = f(х), . При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной.

Чтобы понять смысл определения, они должны понимать смысл записи у = f(x) и смысл термина «Область определения». Эти два момента отрабатываются на протяжении 7-го и 8-го класса.

На этапе мотивации введения определения понятия автор замечает, что за два года изучения школьного курса алгебры, мы уже привыкли к тому, что термин «функция» используется практически постоянно. Это и понятно: ведь математика изучает математические модели, а описание большинства этих моделей на математическом языке так или иначе связано с функциям. Но в математике действует закон: если используется какой-то термин, то его надо точно определить, то есть выделить его существенные свойства.

Анализ изучения конкретных функций позволяет установить, что существенными для функции являются два момента:

Запись у = f(x) представляет собой правило (обычно говорят «правило f», с помощью которого, зная конкретное значение независимой переменной х, можно найти соответствующее значение переменной у.

Указывается числовое множество X (чаще всего какой-то числовой промежуток), откуда берутся значения независимой переменной х.

На основании этого дается формальное определение:

Отработка понятия осуществляется с помощью следующих упражнений:

Графические задания на отработку единственности значения функции для каждого значения аргумента

По рисунку необходимо определить является ли данная фигура графиком функции?

Пример. Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображенная на следующих рисунках:

Данные упражнения служат для того, чтобы учащиеся усвоили, что каждому элементу из области определения Х ставится в соответствие единственное число у

Аналитические упражнения, формирующие умение составлять аналитическое задание функции по ее графику.

Пример. Задайте аналитически функции, графики которых изображены на следующих рисунках:

Задачи, формирующие умение устанавливать область определения.

Пример. Дана функция у = f (x), где f (х) =

а) Укажите D(f);

б) вычислите: f(-2), f(0), f(2), f(4), f(8);

в) постройте график функции;

г) найдите Е(f).

Пример. Найти область определения функции: .

Упражнения с функцией, заданной зависимостью пройденного пути от времени

Пример. Функция задана формулой t =, где S - путь, и t -время:

а) Найдите t(36), t(2,7), t(144);

б) найдите S, если t = 4,5 ч.;

в) найдите t, если S = 150 м.

§2 Дополнительные упражнения на формирование понятия функция

Тот факт, что усвоение понятия функции является достаточно трудным и важным моментом, подтверждается тем, что ему уделяется достаточное внимание в диссертационных исследованиях. Так, в диссертации Антоновой И.В.[2], посвященной дифференцированной работе учителя при формировании понятия функции, приведены интересные, на наш взгляд, упражнения, направленные на формирование понятия функции. Рассмотрим некоторые из них.

Какие из рисунков, приведенных ниже, являются графиками некоторых функций?



На этом рисунке изображен график функции, т.к. каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Фигура, изображенная на этом рисунке, не является графиком функции, т.к. например, в точке с абсциссой 2 мы имеем два значения ординаты.

Но на каждом из этих рисунков задано некоторое соответствие между элементами множества точек на прямых (Ох) и (Оу). Поэтому для каждого из них можно указать область определения и множество значений. Поскольку эти упражнения направлены на формирование понятия функции, полезно с методической точки зрения, наряду с отнесением того или иного соответствия к ряду функциональных (или не функциональных) указывать его область определения и множество значений.

В случае если фигура, изображенная на рисунке, является графиком функции - мы будем записывать область определения и множество значений как D(f) и E(f), если не является функцией - Обл. опр., Мн. знач.



1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) = .

1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. .

3) Обл. знач. (-?; +?).

1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. [0; 8].

3) Обл. знач. [0; 8].



1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) =[-1; 1].

1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = [0; +?).

3) E(f) =[0; +?).

1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. [-2; 2].

3) Обл. знач. [0; 2].



1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. (0; +?).

3) Обл. знач. (-?; 0) (0; +?).

1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; 0) (0; +?).

3) E(f) = (-?; 0) (0; +?).



1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) = (-?; +?).

1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. [0; 3].

3) Обл. знач. [0; 4].

1) Не является графиком функции у = f(x), т.к. f(0) = 1 и f(0) = 1.

2) Обл. опр. (-?; +?).

3) Обл. знач. {-1; 1}.

1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) = {2}.

1) Не является графиком функции у = f(x).

2) Обл. опр. {3}.

3) Обл. знач. (-?; +?).

1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) = (-?; 1) (2; +?).

1) Является графиком функции у = f(x).

2) D(f) = (-?; +?).

3) E(f) = (-?; +?).

Данные упражнения способствуют более четкому осознанию учениками смысла понятия функции, в частности, того, что каждому значению независимой переменной должно соответствовать единственное значение зависимой переменной.

Заметим, что полученные учащимися представления о функции как о зависимости между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, находят свое применение тогда, когда они приступают к изучению обратных функций. Понятие обратной функции традиционно является непростым для усвоения учащимися, поэтому рассмотренным выше упражнениям, направленным на формирование понятия функция, следует уделять пристальное внимание.

Заключение

В ходе работы были решены все поставленные задачи:

1. Изучена психолого-педагогическая и научно-методическая литература, посвященная методике формирования понятий. На основе полученных данных были сделаны выводы том, что формирование (усвоение) понятия осуществляется в несколько этапов: мотивация, выявление свойственных свойств понятия, формулировка определения понятия, усвоение определения понятия, использование понятия в конкретных ситуациях (сравнение, выведение следствий, классификации, подведение объектов под понятие, конструирование объектов). Однако, процесс формирования понятия является динамичным процессом. В зависимости от опыта учащихся, конкретного содержания понятий внимание к этапам формирования может быть различным, некоторые же из них могут отсутствовать.

2. В ходе изучения педагогического опыта учителей математики путем посещения уроков изучения нового материала, бесед с учителями, а также изучения педагогических разработок учителей, был выявлен низкий уровень усвоения понятия функции учащимися.

3. На основании изученной литературы, а также изучения педагогического опыта учителей была разработана классификация школьных математических понятий на основании методики изучения понятий в основной и старшей школе. Всего было выделено 5 классов:

1) понятия, изучение которых начинается с формулировки определения (понятие хорды, понятие обыкновенной дроби, понятие биссектрисы угла и др.);

2) понятия, которым в школьном курсе математики вообще не дается определение (такие понятия, как число, уравнение, непрерывность функции);

3) понятия, с объектами которых дети оперируют до введения соответствующего термина, а сам термин и формулировка определения понятия даются позже (понятие одночлена и понятие многочлена);

4) понятия, изучение которых начинается с общих представлений, а формулировка определения дается через некоторый промежуток времени: от нескольких уроков, до нескольких лет (такие понятия, как прямоугольный параллелепипед, куб, угол, окружность, сфера, и др.);

5) понятия, которым в школьном курсе математики дается только описательное определение, формулировка не дается (понятие луча, понятие функции по учебнику под ред. С.А. Теляковского и др.).

4. Проведен сравнительный анализ учебников по проблеме введения понятия функция, в ходе которого выявлено, что при работе по различным учебникам понятие функции можно отнести к разным классам нашей классификации.

При работе по учебнику А.Г. Мордковича[11],[15] понятие функции можно отнести 4 классу, поскольку понятие вводится в 7 классе, а формальное определение дается в 9 классе. При работе по учебникам «Алгебра» К.С. Муравина [19]. и др и учебника «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» под ред. Г.В. Дорофеева [9] следует отнести к первому классу, так как изучение понятия функции начинается с формального определения. А при работе по учебнику «Алгебра» под ред. С.А. Теляковского [1] понятия функции будем относить к пятому классу, так как в данном учебнике дается описательное определение.

5. Была разработана методика формирования понятия функции на 17-ти упражнениях, в которых по виду графика нужно определить является ли график некоторого соответствия графиком функции. Поскольку эти упражнения направлены на формирование понятия функции, полезно с методической точки зрения, наряду с отнесением того или иного соответствия к ряду функциональных (или не функциональных) указывать его область определения и множество значений.

Подводя итоги проделанной работы можно утверждать, что цели дипломной работы достигнуты.

Библиография

1. Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нещков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 223 с.: ил.

2. Антонова, И.В. Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функция в курсе алгебры основной школы: дис. … канд. пед. наук: 13.00.02. [Текст] / И.В. Антонова - Защищена 04.03.2005; Утв.22.05.2005. - Самара, 2005 - 254 с.: ил. - Библиогр.: С 230 - 254.

3. Геометрия [Текст]: 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 384 с.: ил.

4. Геометрия [Текст]: 10 - 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 9-е изд., с изм. - М.: Просвещение, Московские учебники, 2000. - 206 с.: ил.

5. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 5 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений / И.И Зубарева, А.Г. Мордкович. - 3-е изд., дораб. и испр.- М.: Мнемозина, 2004. -270 с.

6. Зубарева, И.И. Математика [Текст]: 6 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.- 3-е изд., дораб. и испр.- М.: Мнемозина, 2004.- 264 с.: ил.

7. Избранные вопросы методики преподавания математики [Текст]: Учебно-методическое пособие для студентов математического факультета / Л.О. Денищева, А.Е. Захарова, М.Н. Кочагина, Н.В, Савинцева, Н.Е. Федорова. - М.: МГПУ, 2006. - 130 с.

8. Коменский Я. А. Великая дидактика [Текст] / Коменский Я. А. и др. Педагогическое наследие / Сост. В. М. Кларин, А. Н. Джуринский. -- М.: Педагогика, 1989. -- С. 11--106.

9. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных [Текст]: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А Бунимович и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000. - 304 с.: ил.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика [Текст]: Учеб. пособие для студентов пед. институтов / А. Я. Блох, Е.С. Канин и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвящение, 1985. - 336 с.

11. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000. - 160 с.: ил.

12. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000. - 160 с.: ил.

13. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001. - 223 с.: ил.

14. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 8 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000. - 160 с.: ил.

15. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001. - 192 с.: ил.

16. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 9 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001. - 143 с.: ил.

17. Мордкович, А.Г. Алгебра [Текст]: 7 кл.: Методическое пособие для учителя / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 1997. - 61 с.

18. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики [Текст] Учеб-методич. пособие / А.Г. Мордкович. - 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Оникс XXI век: Мир и Образование, 2005. - 336 с.: ил.

19. Муравин, К.С. Алгебра [Текст]: 7 класс: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - 2-е изд. , испр. И доп. - М.: Дрофа, 1998. - 240 с.: ил.

20. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе [Текст]: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И Саранцев. - М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.

21. Ситникова, И.В. Формирование математических понятий в средней школе: дис. … канд. пед. наук: 13.00.02. [Текст] / И.В. Ситникова - Защищена 25.03.2000; Утв.23.05.2000. - Киров,2000 - 186 с.: ил. - Библиогр.: С 172 - 186.,

Размещено на Allbest.ru