Использование мультимедийных технологий при изучении первообразной и интеграла в общеобразовательной школе

Алгебра и начала анализа. Башмаков М.И.

Изучение темы «Интеграл и его применение» отнесено на 11 класс. Изучению этой теме отнесена вся 5 глава, состоящая из:

- проверки готовности.

- вводной беседы.

- вычисление интеграла.

- приложения интеграла.

- заключительная беседа.

- задачи.

- контрольное задание.

В разделе «Проверка готовности» учащимся предлагается ответить на вопросы и решить задачи по темам:

- площади: свойства площадей, формулы для вычисления площадей, нахождение площади трапеции, соотношение площадей треугольника площадь многоугольника и др.

- производные: знание таблицы производных, отыскание наибольшего значения производной функции, знание определения дифференциала и др.

- физические приложения - знание формул скорости, ускорения, плотности и силы тока, построение графиков зависимости одной функции от другой, знание физического смысла производной тока и др.

- вычисления: вычисление приращения функции на отрезке, вычисление значения выражения, исследование производной функции, вычисление координат точек пересечения графиков функций.

После проверки готовности, автор приводит таблицу требований к знаниям и умениям школьников после изучения данной темы. Требования сформулированы для уровня А (минимальный), Б (основной) и В (углубленный) для каждого из типов:

- овладение теорией.

- применение алгоритмов.

- приложения.

Уровень требований сопровождается списком номеров задач, помещенных в конце главы.

Например, требования к ЗУН по разделу «Правила интегрирования» [8]:

Раздел	А	Б	В
Правила интегрирования	Теорема Ньютона-Лейбница и ее применение для вычисления интегралов.	Свойства определенных интегралов	Замена переменной при вычислении интегралов.

Далее автор приводит «Вводную беседу», подготавливающую учащихся к введению новых основных понятий. Водная беседа состоит из следующих разделов:

- задача интегрирования.

- геометрический смысл интеграла.

- интегральные суммы.

- скорость роста площади.

- обозначение интеграла.

- выводы.

В разделе «Задача интегрирования» автор знакомит школьников с понятием «интегрирование», перечисляет задачи, которые школьники научатся решать с помощью операции интегрирования. После чего автор использует в тексте понятие «интеграл», хотя оно ещё не было введено, и школьникам известно лишь что такое «интегрирование».

Далее в учебнике рассматривается геометрический смысл интеграла на примере задачи о механическом движении. Все объяснения хода решения данной задачи автор проводит подробно и последовательно (не ссылаясь на знания школьников по курсу физики), подкрепляя их рисунками. В результате решения задачи, автор визуально вводит понятие криволинейной трапеции, как фигуры, закрашенной на рисунке. После разбора задачи о неравномерном движении, автор приступает к рассмотрению задачи о зависимости величины заряда от силы тока и времени.

Следующим этапом «Вводной беседы» является изучение геометрического смысла интеграла. В рамках данного раздела формулируется интуитивное понятие интеграла как площади, и понятие интеграла функции f на отрезке как площади её подграфика. При этом автор дает определение подграфика (или криволинейной трапеции) положительной функции f как фигуры, ограниченной графиком функции f, прямыми x=a и x=b и осью абсцисс. Также в разделе приводится справка о греческом физике и математике Архимеде как авторе «метода исчерпывания», преобразованного в дальнейшем в метод интегрирования. В конце раздела автор делает вновь вывод о геометрическом смысле интеграла, отмечает важность трудов Архимеда и говорит, что лишь в XVII в. Ньютону и Лейбницу удалось отыскать общий способ вычисления интегралов.

Следующий раздел «Вводной беседы» носит название «Интегральные суммы». В ней говорится о роли Архимеда в объединении самых разных задач: на вычисление площади, объема, массы, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многие другие.

Далее иллюстрируется метод исчерпывания, предложенный Архимедом на примере вычисления объема лимона. После чего автор предлагает применить аналогичную процедуру для вычисления площади подграфика функции f, заданной на отрезке [a; b]: разбив отрезок на несколько частей, площадь всего подграфика разобьется на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций, каждую из которых можно считать прямоугольником. Далее следует вывод, что сумма площадей этих прямоугольников дает приближенное представление о всей площади подграфика.

Ниже приводится общий алгоритм с выведением формулы интегральной суммы для функции f:

.

Далее автор замечает, что интегральные суммы дают лишь приближенное значение площади: «но если мы измельчаем разбиение [a; b] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю, тогда площадь ступенчатой фигуры будет приближаться к площади подрафика S.» После чего следует вывод, что площадь подграфика равна пределу интегральных сумм: . В конце раздела рассматривается 2 примера: на вычисление объема лимона и работы.

Далее рассматривается раздел «Скорость роста площади», в котором автор предлагает представить «переменную» криволинейную трапецию, полученную закреплением левой стенки x=a и движением правой стенки вдоль оси абсцисс. Затем вводится новая площадь S=S(x) - площадь подграфика функции, заданной на отрезке [a; x], формулируется и доказывается теорема о скорости роста площади:

пусть f - положительная функция, S - переменная площадь ее подграфика. Тогда производная функции S равна функции f, т.е. .

После доказательства теоремы приводится замечание, подводящее итог связи между функциями S и f и формулируется вывод, что интегрирование и дифференцирование является взаимно-обратными операциями. Заключительным разделом вводной беседы является раздел «Обозначение интеграла», в котором вводится значок интеграла, объясняется история его происхождения, выписывается равенство , и записывается связь между функциями S и f как S'(x)=f(x).

В конце «Вводной беседы» автор формулирует выводы об изученном материале и контрольные вопросы для самопроверки.

В параграфе 1 под названием «Вычисление интеграла» содержится 3 раздела:

Первообразная.

Теорема Ньютона-Лейбница.

Свойства интеграла.

В главе «Первообразная» происходит повторение понятия интегрирования и введение понятия «первообразная». Далее автор говорит, что для обозначения первообразной традиционно используется значок неопределенного интеграла, т.е. интеграла без обозначения пределов интегрирования: , и приводит свойства первообразной с их доказательствами:

если F - первообразная для функции f, то F+C, где C - константа, также является первообразной для той же функции.

если и - две первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое.

.

Ниже приводится таблица первообразных, формулировка и доказательство теоремы о линейной замене переменной:

Пусть F - первообразная для функции f. Тогда

.

После доказательства теоремы автор предлагает дополнить таблицу первообразных пятью соотношениями и приводит пример вычисления неопределенного интеграла.

В следующем разделе под названием «Формула Ньютона-Лейбница» приводится формулировка и доказательство теоремы Ньютона-Лейбница, а также связь между первообразной функции, ее дифференциалом и определенным интегралом. В конце раздела автор приводит пример вычисления определенных интегралов.

В последнем разделе «Свойства интеграла» приводятся и доказываются теоремы о линейности интеграла, аддитивности интеграла и интегрировании неравенств, а также примеры их применения. После параграфа расположены контрольные вопросы для самопроверки учащихся.

Следующим этапом изучения темы «Интеграл и его применение» идут «Приложения интеграла», разбитые автором на 7 разделов:

- площадь.

- схема применения интеграла.

- работа.

- перемещение.

- масса.

- электрический заряд.

- решение прикладных задач.

В разделе под названием «Площадь» автор приводит формулу для вычисления площади фигуры, не имеющей точек пересечения с осью Ox на всем протяжении рассматриваемого отрезка, и разбирает 2 примера на применение этой формулы. Этот раздел отличается большим количеством наглядных рисунков с примерами формул для вычисления пощади криволинейной трапеции того или иного вида.

В разделе «Схема применения интеграла» автор выделяет три основные характеристики интеграла:

Интеграл от функции f есть площадь ее подграфика (с учетом знака).

Интеграл есть предел интегральных сумм.

Интеграл от функции f есть приращение ее первообразной.

После чего замечает, что первые две из них очень важны при решении прикладных задач. Рассматривается задача о скорости механического движения и приводится общая схема применения интеграла.

Следующим этапом изучения приложений интеграла является рассмотрение задачи о работе, которую необходимо проделать для перемещения тела из точки a в точку b, в результате решения которой делается вывод, что работу можно представить как площадь подграфика для функции силы (F).

Далее рассматривается задача о нахождении перемещения точки за промежуток времени, с последующим выводом, что если изобразить график скорости, то перемещение будет задаваться с помощью его подграфика.

В задаче на вычисление массы неоднородного стержня при данной функции изменения его плотности, автор так же выводит формулу для нахождения решения и делает вывод о том, что масса стержня является интегралом от его линейной плотности.

Последней рассматривается задача о вычислении заряда q, переносимого за данный интервал времени через сечение проводника, в которой, уже традиционно, автор выводит формулу для решения и делает вывод о том, что заряд является интегралом от силы тока по времени. В заключение рассмотрения примеров, автор приводит таблицу, в которой для каждой задачи записано соотношение в дифференциалах, вычисление производной и вычисление интеграла. После чего следует раздел с решением прикладных задач по нахождению работы и давления, в конце которого приводится список контрольных вопросов для закрепления и обобщения знаний, полученных школьниками в ходе изучения данного параграфа.

Изучение темы «Интеграл и его применение» завершается «Заключительной беседой», которая состоит из следующих разделов:

Составление дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения.

Уравнение показательного роста.

Уравнение гармонических колебаний.

В разделе «Составление дифференциального уравнения» автор возвращается к рассмотренной задаче на вычисление работы и показывает новую запись уравнения на языке дифференциала, после чего вводится понятие дифференциального уравнения, а также примеры дифференциальных уравнений и их решений на примере задач радиоактивного распада, скорости роста народонаселения и напряжения электрической цепи.

Следующим идёт рассмотрение раздела «Решение дифференциального уравнения», в котором дается определение: «Решение дифференциального уравнения - это функция, при подстановке которой уравнение превращается в тождество». Также в рамках этого раздела автор рассматривает 4 примера на доказательство, что данная функция является решением дифференциального уравнения.

В разделе «Уравнения показательного роста» автор ставит проблемный вопрос: как же решать уравнение ? После чего, напомнив школьникам, что показательная функция обладает тем свойством, что ее производная пропорциональна ей самой, т.е является одним из решений уравнения , находит общее решение уравнения : , где С - константа.

В разделе «Уравнения гармонических колебаний» автор приводит пример задачи, приводящей к уравнению второго порядка, в ходе решения которой выводит уравнение свободных гармонических колебаний, иллюстрируя гармонические колебания на рисунке. Также в этом разделе подводится итог «Заключительной беседы», обращается внимание школьников на то, что разные задачи могут приводить к одной и той же математической модели.

После завершения теоретического материала следует раздел «Задачи к главе», в которой есть, в том числе, трудные задачи, отмеченные звездочкой. Все задачи делятся по темам:

Определение интеграла.

Вычисление интеграла.

Приложения интеграла.

Дифференциальные уравнения.

В целом, система упражнений, предлагаемых для решения к главе «Интеграл и его применение», представленная в учебнике, очень разнообразна и отличается своей разноуровневостью. Она содержит множество тренировочных заданий, относящихся как к задачам обязательного минимума, так и к задачам повышенного уровня сложности, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом. В том числе в учебнике много задач на визуальное решение, с выбором нужного рисунка, нацеленных на развитие логического мышления. Список рекомендуемых для решения школьниками задач по каждому из разделов приведен в таблице «Результаты изучения» по 3 уровням сложности, в результате чего каждый ученик может оценить уровень своих знаний по теме и отработать навыки решения задач для получения более высокой оценки.

Далее предлагается контрольное задание, составленное в трех вариантах: первый показывает обязательный уровень требований, второй - ориентирован на хорошее усвоение материала в полном объеме, третий - на повышенный уровень, соответствующий примерно классам с математическим уклоном.

Алгебра и математический анализ. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.

Изучение темы «Интеграл и дифференциальные уравнения» отнесено на начало 11 класса. Ей посвящена вся глава 8, состоящая из 3 параграфов:

- неопределенный интеграл.

- дифференциальные уравнения.

- определенный интеграл.

В свою очередь, параграф «Неопределенный интеграл» состоит из 4 разделов:

- введение.

- первообразная.

- непосредственное интегрирование.

- замена переменной.

В разделе «Введение», авторы ставят проблему о решении задачи, обратной задаче, решающейся дифференцированием. Таким образом, вводится операция интегрирования функции, как операция, обратная дифференцированию. Далее авторы вводят понятие интегрального исчисления и напоминают изученные ранее формулы для производных и вытекающие из них формулы для дифференциалов. [11]

Следующим этапом изучения темы «Неопределенный интеграл» идёт изучение понятия «первообразная». Авторами вводится определение понятия «первообразная» и приводятся примеры первообразных некоторых функций. После чего приводится формулировка и доказательство теоремы:

Если функция f имеет на промежутке X первообразную F, то для любого числа C функция F+C тоже является первообразной для F. Иных первообразных функция f на X не имеет.

После чего авторы замечают, что доказанная теорема показывает, что вопрос об отыскании всех первообразных функции f решается отысканием какой-нибудь одной из них.

Далее вводится определение неопределенного интеграла как совокупности всех первообразных функции и вводит обозначение , где f - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования и C - постоянная интегрирования.

Ниже приводятся свойства определенного интеграла с их доказательствами:

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

После свойств в учебнике разбирается несколько примеров вычисления неопределенных интегралов, в одном из которых авторы делают важное замечание, что писать произвольную постоянную достаточно лишь один раз, поскольку произведение любого отличного от нуля множителя на произвольную постоянную, так же как и сумму произвольных постоянных, можно заменить одной произвольной постоянной.

В конце данного раздела приводится система упражнений, выполнение которых направлено на выработку навыков вычисления неопределенного интеграла и проверки, что функция F является первообразной для функции f при заданных условиях. Упражнения приведены с учетом возрастания уровня сложности.

В разделе «Непосредственное интегрирование» приводится множество разнообразных примеров на использование результатов дифференцирования функций, а в конце раздела - большое количество упражнений, аналогичных тем, что были разобраны в разделе.

В следующем разделе под названием «Замена переменной» авторы разбирают метод замены переменной для вычисления интегралов, не содержащихся в приведенной таблице производных. Здесь школьникам напоминается метод дифференцирования сложной функции, на основе которого выводится теорема:

- пусть функция ц дифференцируема на промежутке X, а функция F является первообразной для f на образе ц(X) промежутка X. Тогда Fц является первообразной для функции ( f ц) цґ.

Далее, как следствие, выводится формула и приводятся примеры вычисления интегралов рассмотреным методом.

В конце данного раздела приводится система из большого количества упражнений, выполнение которых направлено на выработку навыков вычисления неопределенного интеграла методом замены переменной и путем разложения в алгебраическую сумму. Большинство из предлагаемых для самостоятельного решения упражнений относится к повышенному уровню сложности.

Следующим идет параграф под названием «Дифференциальные уравнения», состоящий из 5 разделов:

- введение.

- решение дифференциальных уравнений.

- уравнения разделяющимися переменными.

- составление дифференциальных уравнений.

- математическое моделирование.

В введении авторы рассматривают примеры, в которых значения величин связываются со скоростями и ускорениями их изменения. После чего вводится понятие дифференциального уравнения и его порядка. После его введения приводится система упражнений, направленная на закрепление теоретического и практического материала: на нахождение дифференциальных уравнений среди множества, на нахождение дифференциальных уравнений для конкретных задач, опираясь на знания из курса физики и химии.

В разделе «Решение дифференциальных уравнений» вводится определение решения дифференциального уравнения и интегральной кривой как графика решения дифференциального уравнения. Далее идет разбор примера, в ходе которого обнаруживаются точки, через которые не проходит интегральная линия. Такие точки авторы называют особыми. Ниже вводятся понятия общего и частного решения дифференциального уравнения, подкрепляя их примерами решения дифференциальных уравнений, после чего делается вывод, что общее решение дифференциального уравнения n-ого порядка зависит от n произвольных постоянных. Также рассматривается пример, в котором требуется показать, что указанная функция является решением уравнения гармонических колебаний.

В конце рассматриваемого раздела приведена разнообразная система упражнений, направленная на формирование навыка решения дифференциальных уравнений. Она содержит множество тренировочных заданий, относящихся к задачам повышенного уровня сложности, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом, и призванная не только закрепить знания школьников по данной теме в курсе математики, но и облегчить восприятие схожих тем из курса физики.

Раздел «Уравнения с разделяющимися переменными» призван научить школьников решать уравнения вида Авторы сначала знакомят школьников с уравнением Затем говорят, что если при функция ??(y) обращается в нуль, то функция является одним из решений уравнения аРаРР Иначе уравнение равносильно уравнению получаем . После чего делается вывод, что так как в уравнении переменные разделены, то это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Далее доказывается, что решением полученного уравнения является решение, удовлетворяющее соотношению и формулируется соответствующая теорема.

Приведенная к данному разделу система упражнений содержит задания на решение дифференциальных уравнений методом замены переменных и нахождение решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию. При этом в систему упражнений включены не только задания, аналогичные рассмотренным, но и задания, требующие рассуждений и не имеющие готовых решений «по образцу».

В разделе «Составление дифференциальных уравнений» рассматривается задача заполнения резервуара в форме цилиндра водой как пример задачи, в которой дифференциальное уравнение приходится составлять, делая «мгновенный снимок» некоторого явления. В конце раздела приводится обширная система упражнений, состоящая из текстовых задач на составление дифференциальных уравнений и их решение всеми изученными методами.

Заключительным разделом данного параграфа является раздел под названием «Математическое моделирование», построенный в форме беседы, в котором говорится о роли математического моделирования в нынешнем мире.

В рамках параграфа «Определенный интеграл» рассматривается 7 разделов:

- площади плоских фигур.

- площадь криволинейной трапеции.

- теорема Ньютона-Лейбница.

- физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

- вычисление геометрических и физических величин с помощью понятия определенного интеграла.

- свойства определенного интеграла.

- оценка значения определенного интеграла.

В разделе «Площади плоских фигур» авторы напоминают школьникам 4 аксиомы, при помощи которых вводилось понятие плоской фигуры в курсе геометрии. После чего ставится вопрос о существовании понятия площади, обладающее указанными свойствами, и о том, все ли фигуры имеют площади. Авторы говорят: будем считать, что для всех плоских многоугольников площадь с указанными свойствами существует. Тогда каждой ограниченной фигуре можно поставить в соответствие 2 числовых множества: первое - из всех площадей многоугольников, целиком лежащих внутри F; второе - из площадей многоугольников, целиком содержащих фигуру F. Далее авторы вводят для каждого из множеств обозначение: для первого - Xf, для второго - Yf.

Далее авторами вводится определение квадрируемой плоской фигуры как фигуры, для которой множества и разделяются лишь одним числом. И это число авторы называют площадью фигуры F и обозначают S(F). Ниже авторы приводят пример фигуры не имеющей площади - фигуры не содержащей ни одной внутренней точки, т.к. каждая ее часть «продырявлена» и содержит бесконечное множество чисел между Xf и Yf.

Затем приводится необходимое и достаточное условие квадрируемости, которое следует из уже доказанной теоремы §1:

- для того, чтобы ограниченная плоская фигура F была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлись многоугольники Ц и Ш такие, что Ц содержится в F, Ш содержит F, причем S(Ш)-S(Ц)< е.

Далее авторы делают замечание, что для площадей квадрируемых фигур легко доказать выполнение аксиом площади. Но для аксиомы 3 это доказательство несколько сложнее, поэтому в учебнике оно приводится в частном случае:

Пусть ломанная Г разбивает фигуру F на части и . Если эти части квадрируемы, то квадрируема и фигура F, причем ее площадь равна сумме площадей и .

После данного пункта, учащимся предлагается для самостоятельного решения второй задачи на доказательство, что множество точек не является квадрируемым.

В пункте «Площадь криволинейной трапеции» авторами формулируется определение криволинейной трапеции или подграфика функции, а также формулируется и доказывается теорема о том, что если функция f монотонна на отрезке [a; b], то соответствующая ей криволинейная трапеция F квадрируема. Доказывается теорема из предположения, что функция возрастает на отрезке [a; b], разбиением отрезка на n отрезков и построением на каждом из отрезков двух прямоугольников: один с высотой равной высоте в левом конце отрезка, второй с высотой, равной высоте в правом конце отрезка. После чего авторы показывают, что при достаточно большом n разность площадей построенных ступенчатых фигур станет меньше, чем е.

В конце пункта приведены упражнения на доказательство, что заданная фигура имеет площадь, и на исследование: на сколько частей нужно разбить данный отрезок, чтобы для данной криволинейной трапеции выполнялось заданное неравенство.

В пункте «Теорема Ньютона-Лейбница» приводится справка об истории данной теоремы, после чего теорема формулируется и доказывается. В ходе доказательства авторами вводится понятие площади криволинейной трапеции с переменным верхним пределом.

Далее формулируется и доказывается теорема-следствие теоремы Ньютона-Лейбница:

- любая функция f, непрерывная на отрезке [a; b] и имеющая на нем конечное число экстремумов, имеет на этом отрезке первообразную.

В конце пункта приводится пример на использование теоремы-следствия и система разнообразных упражнений для освоения теоретического и практического материала данного пункта.

В пункте «Физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла» рассматриваются задачи нахождения перемещения прямолинейно движущейся точки за заданный промежуток времени, площади заданной криволинейной трапеции. В обоих примерах ответом является разность значений первообразной F для функции f в точках b и a. После чего авторы формулируют понятие определенного интеграла как разность значений первообразной для функции f в точках b и а. Далее вводятся определения пределов интегрирования (верхнего и нижнего), отрезка интегрирования, подынтегральной функции и подынтегрального выражения, а так же авторы говорят, что по определению интеграла имеем формулу , которую называют формулой Ньютона-Лейбница. Ниже формулируется алгоритм вычисления определенного интеграла:

Найти какую-нибудь первообразную F для функции f;

Вычислить значения этой первообразной в точках b и a;

Найти разность .

В конце пункта приводятся примеры вычисления интегралов, а также нахождения пути, пройденного телом при свободном падении.

Система упражнений по теме «Физические и геометрические задачи, приводящие к понятию определенного интеграла», представленная в учебнике, велика и разнообразна. Она содержит множество тренировочных заданий, большая часть из которых относится к задачам повышенной сложности, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом и формирование определённых умений. Практически все задачи не являются аналогичными решенных в учебнике, что развивает мышление школьников и не приучает действовать «по образцу». Это задачи на:

Нахождение точек экстремума функции F, равной определенному интегралу от функции f.

Вычисление интегралов.

Подбор коэффициентов подынтегральных функций, чтобы выполнялось равенство интегралов.

Нахождение площади криволинейной трапеции.

Решение физических задач.

В пункте «Вычисление геометрических и физических величин с помощью понятия определенного интеграла» приводится алгоритм нахождения некоторой геометрической или физической величины с помощью интеграла, и приводятся примеры на его применение в задачах на вычисление объема тел. В конце пункта приводится масса различных физических задач на вычисление работы, кинетической энергии и силы давления.

В пункте «Свойства определенного интеграла» авторами учебника вводятся и доказываются 4 свойства:

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак. технический обучение мультимедийный пособие

Для любого a справедливо равенство: .

Для любых a, b и c верно равенство:

Справедливы равенства: и .

После чего авторами рассматривается пример применения четвертого свойства, и приводится система упражнений к изученному школьниками пункту, состоящая из большого числа разноуровневых задач, расположенных в порядке возрастания, большинство из которых являются задачами на доказательство.

Последним пунктом главы «Интеграл и дифференциальные уравнения» является пункт «Оценка значения определенного интеграла», в котором авторы объясняют необходимость оценки в случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

После чего формулируется и доказывается теорема, что

Если a<b и на отрезке [a; b] функция f неотрицательна, то .

Далее формулируются 2 следствия из рассмотренной теоремы, говорящие о том, что:

Если a<b и на отрезке [a; b] выполняется неравенство ,то

Если a<b и на отрезке [a; b] выполняются неравенства m?f(x)?M, то M(b-a)

Далее авторами подробно разбираются примеры на применение изученной в данном пункте теории и в конце приводятся упражнения для самостоятельного выполнения школьниками. Большая часть из них направлена на доказательство каких-либо утверждений и носит повышенный уровень сложности.

Алгебра и начала анализа. Дорофеев Г.В.

В учебном комплекте данного автора тема «Интеграл» рассматривается в рамках 11 класса в двух параграфах, изучение которых разделяет довольно большой временной интервал. Тема «Площадь криволинейной трапеции. Интеграл» фигурирует как подтема параграфа «Геометрические измерения: длина, площадь, объем». После чего, спустя 3 довольно обширных параграфа, авторы располагают параграф под названием «Первообразная и интеграл». [19]

В пункте «Площадь криволинейной трапеции. Интеграл», помещенном в параграф «Геометрические измерения: длина, площадь, объем» рассматривается понятие криволинейной трапеции как фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции. Автор поясняет смысл этого образного названия и замечает, что также можно говорить «данная криволинейная трапеция расположена под графиком f на отрезке [a; b]». Также автор говорит, что частным случаем криволинейной трапеции может быть обычная трапеция, если функция является линейной. После чего автор приводит множество визуальных примеров, в которых криволинейной трапецией является фигура, которая в курсе геометрии не относится к трапеции по определению: треугольник, прямоугольник. Ниже автор договаривается со школьниками при всем несовпадении понятий «криволинейная трапеция» и «трапеция» называть - для краткости - криволинейную трапецию просто трапецией (это сокращение автор использует лишь в уместных случаях).

Далее автор анонсирует те знания, которые школьники получат в ходе изучения данного параграфа, и предлагает начать с определения понятия «площади криволинейной трапеции». Для этого автор предлагает считать функцию f монотонной и вписать в нее ступенчатую фигуру, взяв на отрезке [a; b] произвольные точки , считая что a= b=, построив на каждом из отрезков ступенчатую фигуру с высотой , k=0, 1, 2, … , n-1. При этом, несмотря на то, что точки автор предлагает взять произвольные, в рисунке, на который он ссылается, отмечены точки такие, что []= [] = … = []. Далее автор говорит, что на чем более мелкие отрезки мы разобьем исходный отрезок, тем точнее измерим площадь трапеции, после чего вводится понятие площади криволинейной трапеции как верхней грани множества площадей всех ступенчатых фигур, вписанных в эту трапецию. При этом делается замечание, что эта верхняя грань всегда существует, так как множество площадей всех вписанных ступенчатых фигур ограниченно. В случае, если функция не является монотонной, говорит автор, ее можно разбить на несколько промежутков монотонности, и площадью соответствующей криволинейной трапеции будет сумма площадей трапеций, расположенных под графиком функции на этих промежутках.

После этого автор вводит обозначение площади криволинейной трапеции, расположенной под графиком функции f на отрезке [a; b]: а также вводятся названия верхнего и нижнего предела интегрирования. Далее в книге приводится комментарий о происхождении значка интеграла и о смысле выражения dx как приращения аргумента.

Ниже автор приводит свойство аддитивности интеграла и доказывает теорему о среднем значении интеграла с указанием ее геометрического смысла. После чего делается замечание, что интеграл для неположительной функции принимает площадь криволинейной трапеции, расположенной над ее графиком на отрезке со знаком минус.

В заключение пункта рассматривается несколько примеров на вычисление определенного интеграла на интуитивном уровне с использованием знаний из курса геометрии, и приводится несколько слов об интеграле вообще, о методе интегральных сумм.

Следующим этапом изучения данной темы идет изучение параграфа «Первообразная и интеграл», который состоит из трех пунктов:

- первообразная.

- формула Ньютона-Лейбница.

- несобственные интегралы.

В пункте «Первообразная» автор на основе равенства fґ=g формулирует определение первообразной:

Функция f - первообразная для функции g fґ=g.

Далее автор вводит на основе понятия дифференцирования понятие интегрирования функции. После чего напоминает, что одно слово с корнем «интегр» школьникам уже известно - «интеграл» - площадь криволинейной трапеции. Ниже приводится обоснование, почему для первообразной функции нельзя ограничиться уже имеющимися обозначениями как f и fґ, в ходе которого объясняется, что если у функции есть хотя бы одна первообразная, то их оказывается бесконечно много. В качестве замечания автор сообщает, что в высшей школе часто используется символ для обозначения множества всех первообразных функции f.

Далее формулируется и доказывается утверждение, что если функция определена на некотором промежутке и ее производная в каждой точке этого промежутка равна 0, то f - постоянная. На основе этого утверждения делается вывод, что любые две первообразные функции f, заданной на промежутке, отличаются на постоянную (константу). Доказанная теорема позволяет автору утверждать, что если функция задана на объединении промежутков, то на каждом из них любые две первообразные отличаются на константу, но на разных промежутках эти константы могут быть разными.

Ниже автор приводит несколько примеров на интуитивное нахождение всех первообразных заданной функции, основанное на знании таблицы производных. После чего приводятся правила интегрирования с их словесными описаниями:

;

;

Если ;

В конце пункта автор помещает текст для самостоятельного чтения, касающийся истории возникновения термина «первообразная» и повествованию о том, что не для всех функций можно вычислить первообразную. А также, в заключение, приводится таблица из 13 интегралов.

В пункте «Формула Ньютона-Лейбница» автором рассматривается неотрицательная на отрезке [a; b] функция и утверждается, что любой точке этого отрезка можно поставить в соответствие - площадь криволинейной трапеции, расположенной под графиком функции y=f(x) на [a; t]. Далее делается соответствующий вывод, что S(t) =, а S(a) = 0. Ниже автор доказывает, что и говорит, что это равенство означает, что правая производная функции S(t) равна f(t), и что точно также доказывается, что ее левая производная равна f(t). А равенство двух односторонних пределов значит, что в любой точке t у этой функции существует обычная, двусторонняя производная: Sґ(t)=f(t), благодаря чему доказано, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной функцией для функции f, из чего выводится формула Ньютона-Лейбница.

Далее автор поясняет названия «определенный интеграл» и «неопределенный интеграл», а также вводит иное обозначение приращения первообразной на отрезке. В заключении пункта приводится пример нахождения всех первообразных функции через вычисление площади криволинейной трапеции этой функции.

Последним пунктом изучения темы «Первообразная и интеграл» является «Несобственные интегралы», в котором автор дает объяснение их смыслу на примере интеграла от функции y= на луче [1; +). После которого автор приводит две формулы для вычисления несобственных интегралов по неограниченному множеству и от неограниченной функции:

Если непрерывная функция y=f(x) определена на луче [а; +), то

;

Если непрерывная функция y=f(x) определена на промежутке (a; b] и при функция f(x) стремится к + или к -, то

.

Ниже автор предлагает школьникам самостоятельно придумать определение несобственных интегралов вида и , где при

В заключение приводится большое количество примеров на вычисление несобственных интегралов двух рассмотренных видов.

Система задач, предлагаемых для решения после изучения данной темы, проанализирована не была, из-за того, что задачник для этого учебника выпущен издательством не был в связи со смертью одного из авторов. И, по словам уполномоченного представителя издательства, выйдет не раньше сентября 2009 года.

Проведенный анализ учебников позволяет сделать следующие выводы.

Анализ учебников и учебных пособий, содержащих материал по данной теме, показывает наличие разных мнений по поводу изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ интегрального исчисления. Все рассмотренные учебники отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования.

Во всех рассмотренных учебниках тема «Интеграл» представлена для изучения в 11 классе.

В общем можно отметить следующую последовательность изучения темы «Интеграл» в рассмотренных учебниках:

Первообразная.

Правила отыскания первообразных.

Неопределенный интеграл (кроме учебников Алимова Ш.А. и Колягина Ю.М.).

Определенный интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

Простейшие дифференциальные уравнения (кроме учебников Мордковича А.Г. и Дорофеева Г.В.).

Также следует отметить следующие различия в содержании учебников и учебных пособий.

Во всех учебниках, кроме учебника Дорофеева Г.В., рассматривается тема «Приложения интеграла для решения физических задач».

В учебниках Алимова Ш.А. и Колягина Ю.М. понятие «неопределенный интеграл» авторы не вводят, используя лишь понятие «множество всех первообразных».

В учебнике Н.Я. Виленкина, помимо введения таблицы интегрирования, рассматриваются способы вычисления интегралов, такие, как:

Замена переменной.

Уравнения с разделяющимися переменными,

что не является удивительным, так как данный учебник относится к учебным пособиям для школ и классов с углубленным изучением математики.

А в учебнике Г.В. Дорофеева рассматривается тема «Несобственный интеграл» и его вычисление с помощью предела.

Сравним определения главных понятий в рамках данной темы в рассмотренных учебниках. Понятие «первообразная» дается во всех учебниках одинаково. Понятие «определенный интеграл» в учебниках Мордковича дается как предел интегральных сумм; в учебнике Дорофеева, Колягина, Алимова и Виленкина - это разность значений первообразной в точках b и a; в учебнике Башмакова вводится три характеристики определенного интеграла от функции f: как площади ее подграфика, как предел интегральных сумм, и как приращение ее первообразной.

Рассматривая стандарт среднего полного образования по математике, мы видим, что учащиеся должны изучить по теме «Интеграл»: понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников.

, понятие первообразной, формулу Ньютона-Лейбница, примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе, социально-экономических задачах, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком, примеры применения интеграла в физике и геометрии, понятие второй производной и ее физический смысл.

Рассмотрение стандарта позволяет сделать вывод, что тема «Первообразная и интеграл» включена в обязательный минимум знаний, умений и навыков школьников и, следовательно, наше внимание к ней вполне оправдано.

После рассмотрения реализации программы математического образования в конкретных учебниках, рассмотрим общие указания к изучению темы «Первообразная и интеграл» в методической литературе.

2. Методические основы изучения темы «Первообразная и интеграл» в школе

Изучение вопросов математического анализа в старшей школе имеет важное культурологическое, мировоззренческое и прикладное значение. При расширении понятия степени целесообразно рассмотреть различные подходы к определению действительного числа, кратко познакомить школьников с комплексными числами.

В логике конкретно-индуктивного подхода целесообразно ввести окрестностное определение предела последовательности и предела функции. Это позволит корректно ввести определение производной. Первообразная функции может быть введена на основе операции, обратной дифференцированию. Целесообразно ввести понятие неопределенного интеграла. В логике историко-научного подхода на основе знаний учащихся о свойствах площади, опыта нахождения длины окружности и площади круга методом последовательных приближений ввести понятие определенного интеграла.

Из достаточно большого числа разнообразных подходов к введению понятия «интеграл» Стефанова Н.Л. рекомендует остановиться на следующем. [12]

1. Изучение интеграла целесообразно начать с беседы с учащимися о том, что у операции дифференцирования функций существует и обратная операция, называемая интегрированием. В качестве примеров можно воспользоваться примерами из математики и истории развития физики. Например, найти такую функцию, производная которой равна заданной функции на промежутке I или рассмотреть механическую задачу - как по известной скорости определить закон движения тела. На этой логической основе, используя таблицу производных, построить таблицу таких функций, производная которых равна заданной, и ввести определение первообразной для данной функции f, при этом широко использовать понятие дифференциала.

2. Далее следует показать, что у функции f существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на величину действительной константы С. Ввести определение и символ неопределенного интеграла с рассмотрением ряда его свойств и переписать таблицу первообразных с применением символа неопределенного интеграла.

3. Так как уже имела место геометрическая иллюстрация примера механического содержания, то, воспользовавшись ею еще раз, ввести определение понятия «криволинейная трапеция», и показать сначала на конкретном примере процедуру составления интегральных сумм. В случае существования при определенных условиях предела этих сумм, предел называется определенным интегралом. На основе этого определения вводится символ определенного интеграла и устанавливается связь между определенным интегралом и площадью соответствующей фигуры. Здесь же формулируется проблема о связи неопределенного и определенного интеграла. Это обстоятельство может быть установлено с применением понятия интеграла с переменным верхним пределом с последующим доказательством формулы Ньютона -Лейбница.

Для совместной работы по применению определенного интеграла при вычислении площади фигуры рекомендуются следующие задания.

Примеры.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у= 4-х2, осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=х2 и у=х3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у= х2 и у = -х2 + 4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной:

а) графиками функций у = х3 и y = 2 - x, прямой x = 0;

б) графиками функций y = х3, y = 2 - x, прямой y=0.

В первой задаче формула вычисления площади криволинейной трапеции применяется непосредственно.

Вторая задача интересна расположением графиков функций (график функции y = х3 расположен ниже графика функции у = х2) и способом определения пределов интегрирования (их можно либо вычислить аналитически, либо «снять» с графика, сделав затем проверку подстановкой).

В третьей задаче пределы интегрирования можно определить лишь из уравнения

х2 = -х2 + 4, и в ней получается симметричная относительно оси ординат фигура, поэтому

В четвертой задаче получаются две различные фигуры. Для вычисления площади второй фигуры ее следует разбить на две фигуры, площадь получившегося треугольника можно вычислить как по формуле, так и с помощью интеграла. [26]

Глава 2. Мультимедийное пособие по теме «Первообразная и интеграл»

§1 Основные характеристики пособия

От наглядности, как и от доступности, смысловой полноты и других полезных свойств теоретического материала зависит скорость восприятия учебной информации, ее понимание, усвоение и закрепление полученных знаний.

Широкое использование того или иного вида иллюстраций в трудных для понимания фрагментах текста, требующих наглядного разъяснения, иллюстрирования понятий и определений, явлений и процессов, а также оптимального использования иллюстраций для "оживления" всего материала (как печатного, так электронного), позволяют улучшить восприятие, понимание и усвоение, оптимизировать время обучения, повысить эффективность учебно-познавательной деятельности в целом.

Компьютер значительно расширяет возможности предъявления учебной информации, позволяет усилить мотивацию учащегося. Применение мультимедийных технологий (цвета, графики, звука, современных средств видеотехники) позволяет моделировать различные ситуации и среды. Игровые компоненты, включенные в мультимедийные программы, активизируют познавательную деятельность обучающихся и усиливают усвоение материала.[16]

Принцип наглядности обучения при использовании информационных технологий, в частности для разрабатывающихся электронных учебных изданий, приобретает новые качества:

- с одной стороны, средства современных информационных технологий существенно повышают качество самой визуальной информации, она становится ярче, красочнее, динамичнее. Огромными возможностями обладают в этом плане технологии мультимедиа;

- с другой, в связи с тем, что при использовании современных информационных технологий коренным образом изменяются способы формирования визуальной информации, становится возможным создание "наглядной абстракции", то есть разнообразных моделей (в т.ч. условно-графическая интерпретация), явлений, процессов.

Анимация представляет практически неограниченные возможности по имитации ситуаций и демонстрации движения объектов. В процессе обучения наиболее эффективной является анимация, где излагаемая информация иллюстрируется условно-графическими изображениями (схемы, блок-схемы, диаграммы, траектории) и реальными изображениями (например, в виде образов, поверхностей, тел, в том числе и развивающихся в динамике).

Этим и обусловлен выбор формы пособия - flash-фильм, просматривая который учащийся имеет возможность:

- наблюдать за происходящими изменениями с объектами, приходя к определенным умозаключениям;

- возвращаться к непонятным местам, в том числе по указанию компьютера в результате невыполнения теста после изучения того или иного раздела;

- получить итоговую оценку за усвоение темы, не зависящую от субъективных факторов.

Психологи говорят о наглядности, как о показателе простоты и понятности для данного человека того психического образа, который он создает в процессе восприятия, памяти, мышления и воображения. Наглядный материал служит как бы опорой внутренних действий, совершаемых учащимися под руководством преподавателя в процессе овладения знаниями. Предложенный flash-фильм призван выполнять роль наглядного пособия, имеющего своей целью упростить изложение материала по теме «Первообразная и интеграл».

Интеграл - одна из наиболее трудных и, в то же время, интересных тем школьного курса математического анализа. Как правило, учащиеся воспринимают предложенный материал поверхностно, так как введение понятия «первообразной» в школьном курсе математики опирается на задачу неравномерного движения точки, а введение понятия интеграла - на задачу отыскания площади криволинейной трапеции как предела последовательности интегральных сумм. В ходе решения обеих задач, приводящих к понятию интеграла, описывается процесс, носящий динамический характер и для более глубокого усвоения и осмысления требует динамической иллюстрации. При использовании flash-технологии становится возможным смоделировать такого рода процессы, тем самым повысив уровень их осмысления.

Способ подачи материала с опорой на визуальное мышление, предложенный в пособии, помогает облегчить восприятие учащимися довольно сложного для них понятия «интеграл». Данное пособие является одновременно демонстрационным, и содержит элементы промежуточной проверки и итогового контроля знаний, полученных учащимися.

Интерактивное пособие разрабатывалось с учётом требований, предъявляемых компьютерным программным средствам, использующимся в учебном процессе: педагогических, дидактических, методических и эргономических.

Предложенный продукт может быть использован как на отдельных занятиях в школе, так и на протяжении изучения всей темы. При этом учитель может избрать как индивидуальный просмотр пособия на уроке каждым школьником в его личном темпе, так и коллективный просмотр, в случае невозможности по тем или иным причинам обеспечить каждого учащегося компьютером.

Кроме того, учащиеся могут использовать мультимедийное пособие для самостоятельного просмотра после изучения на уроке как дополнение к учебнику с целью повторения или устранения пробелов в знаниях и умениях, связанных с понятием первообразной и интеграла.

Данное пособие разработано для просмотра школьниками на протяжении всего периода изучения темы «Первообразная и интеграл» и создавалось для учащихся, занимающихся по учебнику «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторского коллектива: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др., как наиболее часто используемому учебнику для общеобразовательных учреждений. Рассмотрим пример поурочного планирования изучения данного раздела с указанием возможностей использования мультимедийного пособия «Первообразная и интеграл» на отдельных уроках. планирование составлено на основе федерального компонента государственного Стандарта среднего (полного) общего образования по математике.

№ п\п	Наименование темы	Количество часов	Наименование сцен
5	Интеграл	16
5.1	Первообразная. Правила нахождения первообразной.	3	§1. Первообразная. Задача интегрирования. Понятие первообразной. Тренировочный тест.
5.2	Площадь криволинейной трапеции и интеграл.	5	§2. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона - Лейбница. Тренировочный тест.
5.3	Вычисления интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.	5	§3.Вычисление площадей с помощью интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов. Тренировочный тест.
5.4	Уроки обобщения, систематизации и коррекции знаний.	2	В качестве повторения, по выбору учителя §1-3.
5.5	Контрольная работа № 4 по теме «Интеграл».	1	§4. Итоговый тест.

Также пособие может использоваться при самостоятельном изучении темы «Первообразная и интеграл» в случае пропуска занятий школьником, и в качестве средства для повторения данной темы перед выпускными и вступительными экзаменами.

С учетом того, что не в каждой школе на компьютерах стоит программа Flash Player, то для упрощения подготовки учителя к уроку, мы предлагаем 3 вида файлов для воспроизведения на школьных или домашних компьютерах:

- файл с расширением .exe, воспроизводимый на всех компьютерах фирмы Microsoft;

- файл с расширением .hqx, воспроизводимый на всех компьютерах фирмы Macintosh;

- файл с расширением .swf, воспроизводимый при помощи Macromedia Flash Player 7 и выше.

Объем flash ролика для Microsoft Windows составляет 0,98 МБ.