Использование мультимедийных технологий при изучении первообразной и интеграла в общеобразовательной школе

Компьютер повышает активность работы учащегося в процессе получения и усвоения информации, на необходимость которой указывал К. Д. Ушинский.

Исследования, проводимые психологами, показали, что, работая с компьютером, учащиеся глубже вникают в суть вопроса, у них появляется интерес к предмету, они более активно пользуются учебной и технической литературой.

Но, несмотря на большое количество плюсов использования ТСО на уроке, возникает и множество негативных моментов.

Немецкий ученый Х. Г. Рольф называет следующие негативные факторы компьютерного обучения [23]:

- опасность подавления межличностного общения, так как в связи с общением с компьютером понижается количество и качество личных контактов, что может нанести вред и эмоциональному воспитанию;

- усиление социального неравенства, так как приобретение дорогостоящей техники доступно не всем;

- опасность снижения роли устной и письменной речи, так как в новых технологиях во многом преобладают звук и изображение;

- ослабление способностей к самостоятельному творческому мышлению, так как для компьютерных обучающих программ свойственна так называемая дигитализация - приспособление мышления человека к определенным правилам и моделям, ориентация на формальные логические структуры, замена многозначности на формальную однозначность, на реализацию операций, имеющих ясные условия и предполагающих только один вывод;

- отсутствие прямого исследования действительности, так как ученик получает знания, опосредованные сознанием разработчиков программ;

- пассивность усвоения информации, так как у создателей программ есть стремление сделать усвоение материала простым и не трудоемким;

- опасность снижения социализации человека, т. е. его пребывания между людьми и общения с ними, посещения общественных и культурных мероприятий, музеев, театров (дети мало гуляют, не испытывают потребности в совместных играх с другими детьми, теряют друзей).

4. Дидактические основы использования технических средств обучения и воспитания

В свое время Л.С. Выготский сформулировал основную задачу педагогики будущего, в которой жизнь «раскрывается как система творчества, постоянного напряжения и преодоления, постоянного комбинирования и создания новых форм поведения. Таким образом, каждая наша мысль, каждое наше движение и переживание является стремлением к созданию новой действительности, прорывом вперед к чему-то новому». Выготский Л. С. Воображение и творчество в детском возрасте: Психол. очерк: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - С. 204.

Качество проведения занятий зависит от наглядности и изложения, от умения учителя сочетать живое слово с образами, используя разнообразные технические средства обучения, которые обладают следующими дидактическими возможностями [18]:

- являются источником информации;

- рационализируют формы преподнесения учебной информации;

- повышают степень наглядности, конкретизируют понятия, явления, события;

- организуют и направляют восприятие;

- обогащают круг представлений учащихся, удовлетворяют их любознательность;

- наиболее полно отвечают научным и культурным интересам и запросам учащихся;

- создают эмоциональное отношение учащихся к учебной информации;

- усиливают интерес учащихся к учебе путем применения оригинальных, новых конструкций, технологий, машин, приборов;

- делают доступным для учащихся такой материал, который без ТСО недоступен;

- активизируют познавательную деятельность учащихся, способствуют сознательному усвоению материала, развитию мышления, пространственного воображения, наблюдательности;

- являются средством повторения, обобщения, систематизации и контроля знаний;

- иллюстрируют связь теории с практикой;

- создают условия для использования наиболее эффективных форм и методов обучения, реализации основных принципов целостного педагогического процесса и правил обучения (от простого к сложному, от близкого к далекому, от конкретного к абстрактному);

- экономят учебное время, энергию преподавателя и учащихся за счет уплотнения учебной информации и ускорения темпа. Сокращение времени, затрачиваемого на усвоение учебного материала, идет за счет переложения на технику тех функций, которые она выполняет качественнее, чем учитель.

Все это достигается благодаря определенным дидактическим особенностям ТСО, к которым относятся:

- информационная насыщенность;

- возможность преодолевать существующие временные и пространственные границы;

- возможность глубокого проникновения в сущность изучаемых явлений и процессов;

- показ изучаемых явлений в развитии, динамике;

- реальность отображения действительности;

- выразительность, богатство изобразительных приемов, эмоциональная насыщенность.

Рассмотрим, каким образом использование ТСО в педагогическом процессе способствует реализации принципов его организации.

Целенаправленность заключается в том, что педагогическим процесс взаимодействия учителя с воспитанниками становится только в том случае, если есть четко осознаваемая обеими сторонами цель. ТСО имеют четкое целевое назначение, определяемое прежде всего их содержанием, характером и сложностью материала, которые определяют возрастные рамки их применения, местом в процессе обучения или воспитания (подготовить к восприятию нового, передать новую информацию, проиллюстрировать, способствовать выработке общих представлений или системы понятий и суждений, закрепить, обобщить или проверить уровень усвоения полученных знаний или вырабатываемых умений и навыков).

Гуманизация и демократизация учебно-воспитательного процесса - обращенность к личности субъектов педагогического взаимодействия, расширение их участия и сотрудничества в нем. Современные технические средства расширяют возможности использования самых различных методов и приемов в работе с детьми с учетом их возраста, уровня развития и подготовленности. Современные ИТО делают как учителя, так и учащихся активными участниками совместной деятельности, потому что многие современные ТСО дают возможность проявить самостоятельность и творческую активность при разработке новых дидактических материалов, отработке и совершенствовании выполняемых работ и проектов.

Культуросообразность, суть которой состоит в том, что в процессе обучения и воспитания необходимо прежде всего знакомить подрастающее поколение с богатством культуры и самобытностью того народа и общности, в которой оно растет и развивается, с мировой культурой и ее неисчерпаемым потенциалом. Без ТСО реализовать данный принцип довольно трудно, так как один учебный фильм о культуре любой страны даст информации столько, сколько учитель не сможет дать за много уроков, не говоря уже о яркости, образности, точности и насыщенности получаемых знаний и представлений.

Природосообразность заключается в том, что воспитание и обучение должны строиться в соответствии с природой и спецификой каждого возрастного этапа развития человека, и в соответствии с природой и индивидуальными возможностями каждого воспитанника. Для реализации этого принципа ТСО, особенно современные, обладают неисчерпаемыми возможностями вплоть до создания индивидуальных программ обучения и интеллектуальных программ, которые подстраиваются под особенности конкретного ученика.

Принцип научности реализуется тогда, когда с помощью ТСО передаются прочно установившиеся в науке знания, и показываются самые существенные признаки и свойства предметов в доступной для учащихся форме. Принцип доступности обучения, т.е. соответствия содержания и методов изложения материала возрастным и индивидуальным особенностям учащихся, также лежит в основе применения современных технических средств обучения: привлечение их на занятие или урок, прежде всего, вызвано необходимостью облегчить усвоение учебного материала. Без принципа систематичности (строгой логической последовательности изложения) не мыслится ни одно пособие, кинофильм, диафильм, теле- или радиопередача, рассчитанные на определенное место в системе уроков, или на данном конкретном уроке в логической связи с его материалом.

Принцип сознательности, активности и самодеятельности также имеет непосредственное отношение к техническим средствам обучения. С их помощью учащиеся лучше разбираются в фактах и явлениях, они пробуждают инициативу, учатся применять получаемые в школе знания.

Принцип наглядности - принцип, породивший всю систему технических средств, определяющий их направленность, отбор содержания, разработку соответствующих дидактических средств и технических устройств.

Принцип прочности, осознанности и действенности результатов воспитания, обучения и развития, единства знаний и поведения побудил к разработке контрольных ТСО, всевозможных тренажеров, а с момента начала использования компьютерных технологий - к разработке соответствующих программ.

Также необходимо отметить, что разнообразные и неиссякаемые возможности ТСО и НИТ (новых информационных технологий) у ряда учителей порождают увлечение ими, и тогда эти средства превращаются в самоцель. Любое, самое великолепное средство или метод обречены на провал, если учитель или воспитатель теряет чувство меры в их использовании. Высокая информационная емкость дидактических материалов для ТСО и компьютерных программ не должна идти в ущерб восприятию и усвоению учебной информации учащимися. Беспредельно увеличивать информационную насыщенность педагогического процесса с помощью ТСО нельзя.

Эффективность технических средств воспитания и обучения определяется их соответствием конкретным учебно-воспитательным целям, задачам, специфике учебного материала, формам и методам организации труда преподавателя и учащихся, материально техническим условиям и возможностям. Поэтому учитель должен быть серьёзно подготовлен к использованию ТСО в целях избежания ошибок.

5. Подготовка учителя к использованию технических средств обучения в учебно-воспитательном процессе

Педагогическая деятельность включает познавательный, конструктивный, организаторский и коммуникативный компоненты, проявляющиеся и при использовании ТСО.

Познавательная деятельность, направленная на изучение возможностей, форм и методов включения ТСО в учебно-воспитательный процесс, определяет все последующие компоненты деятельности учителя при применении ТСО в этом процессе.

Конструктивная деятельность связана с отбором, композицией, проектированием учебно-воспитательного материала. Опираясь на учебные планы, программы, учебники, методические пособия и руководства, определяющие общие рамки процесса обучения, преподаватель в то же время преобразует, творчески строит, конструирует его программу с учетом стоящих перед ним задач и конкретных условий, возможностей и интересов учащихся, своих личных возможностей.

Использование ТСО требует более тщательного подхода к проектированию системы собственных действий и действий учащихся. Такая система имеет две стороны: организационно-педагогическую и методическую.

Организационно-педагогическая сторона предполагает проведение анализа всех тем по определенному предмету и распределение ТСО по темам, т. е. создание системы включения ТСО в изучение материала по всему курсу или большому разделу.

Методическая сторона заключается в разработке и создании определенной методической системы применения ТСО, которая может быть индивидуальной для каждого преподавателя, но должна базироваться на общих принципах использования ТСО на уроке.

Организаторская деятельность учителя, осуществляемая в ходе обучения, предполагает организацию преподавательской деятельности и деятельности обучаемых. Применение ТСО позволяет творчески подойти к решению организационных вопросов. Здесь могут быть применены как информационные, так и контролирующие и информационно-контролирующие ТСО. Они существенно влияют на организацию деятельности преподавателя в очень широком диапазоне: от простого, элементарного включения их в объяснение (при ведущей роли преподавателя) до передачи всей организационной функции обучающему комплексу, работающему на базе ПК. Во втором случае, основной будет конструктивная деятельность преподавателя, в результате которой должна быть создана модель учебного процесса.

Коммуникативная деятельность, охватывающая область взаимоотношений преподавателя и обучающихся, при использовании ТСО также претерпевает определенные изменения. Вместо диалога преподаватель-учащийся, чаще всего словесного характера, появляется возможность организовать рациональную коммуникацию педагога с учащимся посредством ТСО. Также ТСО снимают элементы напряженности, часто возникающие у учеников при непосредственном взаимодействии с учителем (воспитателем), смысловые барьеры, расширяют диапазон контактов и вариантов взаимодействия, особенно при изготовлении пособий для ТСО и использовании ПК.

ТСО, как вытекает из самого их названия, являются средствами обучения, т.е. носителями информации различного плана. Используются они в учебно-воспитательном процессе с помощью различных методов. Рассмотрим классификацию, предложенную М. Н. Скаткиным, и проанализируем, как с позиций этих методов надо использовать технические средства, что нужно учитывать в процессе подготовки к занятиям. Классификация включает следующие группы методов:

- объяснительно - иллюстративные, или информационно - репродуктивные;

- репродуктивные;

- проблемного изложения;

- частично-поисковые, или эвристические;

- исследовательские.

Но прежде рассмотрим, какие уровни усвоения знаний выделяются в дидактике.

Первый уровень - знания-знакомства, позволяющие осознанно различать явления и связанную с ними информацию.

Второй уровень - знания-копии, дающие возможность репродуцировать усвоенную часть учебной информации.

Третий уровень - знания-умения, позволяющие применять полученную информацию в практической деятельности.

Четвертый уровень - знания-трансформации, через которые полученные ранее знания переносятся на решение новых задач, новых проблем, - уровень творчества.

Основное назначение объяснительно-иллюстративных методов - передача и организация усвоения информации учащимися. Готовая информация сообщается разными способами преподавателем, а учащиеся воспринимают, осознают и фиксируют ее в памяти (первый уровень усвоения материала). ТСО в этом случае увеличивают количество источников информации. [15]

Для применения знаний о мире в знакомой ситуации, и для осуществления способов деятельности по образцу, учащиеся обучаются воспроизведению этих знаний и способов деятельности. Это репродуктивное обучение. Для того чтобы организовать его, используются различные задания, упражнения и т.д. В этом случае, помимо устных объяснений, непосредственного показа широко при меняют различные ТСО.

Применение ТСО при репродуктивных методах наиболее целесообразно тогда, когда оно позволяет создать новые варианты организации деятельности обучаемых, направленной на достижение уровня усвоения материала, или значительно сократить время, необходимое для достижения этого уровня в известных вариантах, или при этих вариантах и обычных затратах времени значительно увеличить эффективность, качество обучения.

Проблемное изложение позволяет не только передавать учебный материал, но и показывать возможный путь познания, ход мыслительного процесса при решении проблемы.

Переход к исследовательскому методу происходит постепенно, через частично-поисковый (эвристический) метод. Этот метод приближает учащихся к самостоятельному решению проблемы путем обучения отдельным этапам исследовательской деятельности. И применяемые здесь ТСО должны помочь обучаемым увидеть проблему, сформулировать ее, найти доказательство, сделать выводы из результатов, произвести самоконтроль и т.д., то есть выполнить те самостоятельные шаги, которые и определяют поисковый характер их деятельности. Эти этапы поиска должны быть запланированы, вариативно предусмотрены.

Исследовательский метод обеспечивает усвоение знаний на самом высоком уровне (применение знаний в новой ситуации) и одновременно является опытом творческой деятельности. Основная его функция - учить самостоятельно выполнять познавательную деятельность. При использовании этого метода преподаватель может применять различные средства обучения, в том числе и ТСО. ТСО помогают ему построить такие задания, выполняя которые учащиеся прилагают свои знания для решения новых проблем, позволяют организовать дифференцированный подход при решении этих проблем, контролировать и направлять ход работы, проверять итоги исследовательской деятельности.

Теперь рассмотрим типичные педагогические ошибки, снижающие эффективность применения технических средств:

- недостаточная методическая подготовленность учителя;

- неправильное определение дидактической роли и места аудиовизуальных пособий на уроках, несоответствие выразительных возможностей аудиовизуальных средств их дидактической значимости;

- бесплановость, случайность их применения;

- перегруженность урока демонстрацией (прослушиванием), превращение его в зрительно-звуковую, литературно-музыкальную композицию.

Выполнение контроля знаний при использовании аудиовизуальных пособий возможно двумя способами:

- наличие элементов организации контроля знаний в информативном пособии;

- создание специальных пособий и ТС для контроля знаний.

В соответствии с дидактическими особенностями ТС, их целесообразно применять при изучении сложных тем или вопросов курса: для восприятия микро- или макрообъектов, чрезмерно быстро или медленно протекающих процессов, уникальных явлений и т. п.; для осмысления тем, содержащих много новых понятий, сложных для анализа и синтеза, и т. д.

Обобщение и систематизация знаний, воплощенные посредством ТСО, могут быть наиболее эффективными, так как ТСО, предусматривая разнообразные формы и методы обучения, позволяют четко выделить главное, установить взаимосвязи между отдельными элементами, глубже осмыслить структуру учебного материала, охватить обширный материал в определенной системе и т.д. Благодаря использованию ТСО время, затраченное на обобщение и систематизацию знаний, может быть существенно сокращено по сравнению с другими вариантами выполнения этой сложной деятельности.

Средства наглядности, демонстрируемые с помощью технических устройств, могут служить основой для самостоятельной работы учащихся. Их применение позволяет:

- научить обучаемых работать с различными источниками информации;

- разнообразить формы самостоятельной работы;

- научить самоконтролю и самокорректированию познавательной деятельности.

ТСО на учебных занятиях и во внеучебное время могут быть применены для самостоятельной работы: с целью получения новых знаний, совершенствования знаний, а также для проверки и самоконтроля знаний, умений и навыков.

Место технических средств на занятиях, продолжительность их использования во многом определяются индивидуальными особенностями обучаемых детей, стилями их учебной деятельности: аналитическим, аудиальным, визуальным, интуитивно-мыслительным и т.п. [23]

Необходимо учитывать, что согласно требованиям социальных норм учащиеся 6-7 классов должны находиться непрерывно непосредственно за компьютером не более 20 минут, 8-9 классов - 25 минут, 10-11 - 30 минут. При этом на перемене или на уроке необходимо выполнять специальные упражнения, снимающие зрительное утомление (которыми могут являться отвлечение на учителя, на доску и др.).

Избрав для создания мультимедийного пособия технологию Flash, рассмотрим ее особенности и преимущества по сравнению с другими технологиями.

6. Использование Flash-технологий в обучении

Следует упражнять чувства посредством внимательного ознакомления с предметом, сохранять прирожденную впечатлительность и живость и заботиться об основательном усвоении.

А.Дистервег

Технология Flash в последнее время приобрела большую популярность в областях отличных от WEB-дизайна, и часто не имеющих к WEB вообще никакого отношения. Одна из таких областей - разработка учебных пособий и демонстраций.

Технология Flash, прежде всего - это технология векторной анимации. Такой подход даёт большие преимущества перед традиционной покадровой анимацией (avi, mpeg). Векторная графика - чистое математическое описание каждого объекта на экране, в отличие от растровой графики, (которая представляет собой, в простейшем, не сжатом виде, массив из точек разного цвета) очень нетребовательна к ресурсам для воспроизведения, занимает очень мало места, не искажается при масштабировании и поворотах. Анимация выполняется не в каждом кадре, а только в ключевых. Недостающие кадры не хранятся непосредственно в файле, а дорисовываются компьютером по заранее заданному закону. Это позволяет достичь невероятно малого размера результирующих файлов.

В отличие от традиционных векторных редакторов и форматов векторной графики, Flash изначально ориентирован на экранный просмотр, а не на печать (сглаженные линии, округлый текст, плавные цветовые переходы), что приближает качество картинки к фотографическому. Но главный плюс у Flash - собственный язык программирования. Этот язык - фирменная разработка Macromedia и носит название Action Script. Следствием внедрения в ролики языка программирования стала интерактивность, т.е. возможность ролика меняться в зависимости от действий пользователя. [29]

В математике Flash целесообразно использовать при изучении тех тем, когда учителю приходится рисовать на доске множество различных графиков и чертежей, а также дополнительных построений к ним. Это занимает много времени и достаточно утомительно. Применение Flash в таких случаях экономит время на уроке. Векторный подход к рисованию может повысить точность изображения (графики функций, касательные, криволинейные площади и пр.). Повысить наглядность позволяет анимация. В нужное время масштабируемый и динамично прорисовывающийся график гораздо наглядней статичной картинки на доске. При помощи интерактивности и Action Script появляется возможность варьировать параметры кривых и других элементов чертежа. Каждый учитель, стоящий на пути создания и использования ТСО, должен знать требования к ним. Рассмотрим их.

7. Научно-педагогические требования к компьютерным учебным пособиям

Экранно-звуковые учебные пособия должны служить формированию у учащихся систематических, прочных и осмысленных научных знаний, способствовать формированию умений работать с информацией, создавать собственную систему восприятия и критического мышления, аналитического отношения к проблемам и месту конкретной информации в общей картине понятий и представлений о мире, развивать познавательную активность, служить повышению качества и эффективности педагогического труда.

Желательно включать в пособия разнообразные познавательные задания, связанные с предлагаемым экранным материалом.

Содержание экранного учебного пособия должно включать научно-достоверную информацию. Содержание, глубина и объем научной информации должны соответствовать познавательным возможностям и уровню работоспособности школьников, учитывать их интеллектуальную подготовку и возрастные особенности.

Учебный материал должен быть доступен для экранизации и передачи информации с помощью звукового ряда. При отборе материала для зрительного ряда преимущество следует отдавать крупным и средним планам, по возможности избегая дальних планов и мелких деталей.

Основным компонентом экранно-звукового учебного пособия должен быть зрительный ряд. Зрительный ряд и дикторский текст должны быть связаны между собой, создавать единый поток информации и подавать ее в понятной учащимся логической последовательности, порционно-шаговым методом в доступном учащимся темпе. Дикторский текст должен быть четким и ясным.

Информация должна преподноситься в живой, эмоциональной форме. Однако недопустимы кадры, вставки, эпизоды, не связанные с учебной темой, даже в том случае, если они интересны сами по себе.

При создании пособия должны соблюдаться гигиенические требования, направленные на сохранение зрения и предупреждение переутомления школьников. Размеры букв, цифр, знаков (кегль), их гарнитура, а также расстановка знаков в словах и слов в предложениях должны способствовать четкому различению и хорошему восприятию информации. Кегль основного текста должен быть не менее 14 пунктов для серифного шрифта (например, Times New Roman) и 12 пунктов для рубленого шрифта (например, Arial). Заголовки лучше выделять увеличением кегля.

Следует избегать больших текстовых фрагментов. Оптимальная длина строки составляет 40-42 знака. В более длинной строке следует применять серифные шрифты, помогающие «держать» строку. Недопустимо использование для чтения текста полос прокрутки или кнопок перехода от экрана к экрану.

На различимость объектов влияют цвет фона и цвет изображений на нем, их контрастность. Лучшими соотношениями фона и изображений являются белый -синий, черный - желтый, зеленый - белый, черный - белый.

Компьютер как средство обучения не может быть объектом изучения. Поэтому интерфейс программы должен быть интуитивным и не требовать специального обучения работе с программой.

Для выделения в текстах наиболее важных частей можно использовать полужирное и курсивное начертание знаков, выделение цветом знаков и фона, рамки, а также их сочетания. Для смысловых выделений не следует использовать подчеркивание, которым по умолчанию выделяются гиперссылки.

Предъявление учебной информации должно быть разделено как минимум на три уровня сложности: базовый компонент, предусмотренный стандартом соответствующей образовательной области, углубленное изучение предмета и курс для поступающих в вузы.

Следует в максимальной мере использовать возможности современной компьютерной техники для организации интерактивной работы обучающегося с пособием. [23]

§4 Методика изучения темы «Первообразная и интеграл»

Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики. При рассмотрении данной темы на базовом уровне, необходимо изучение следующего круга вопросов:

Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Курсивом в тексте выделен материал, который подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе, социально-экономических задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

В результате изучения темы ученик должен [33]:

1) на базовом уровне

- уметь

- вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

- вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения;

2) на профильном уровне:

- уметь

- вычислять площадь криволинейной трапеции;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- решения геометрических, физических, экономических и других прикладных задач, в том числе задач на наибольшие и наименьшие значения с применением аппарата математического анализа.

Далее, для отбора содержания мультимедийного пособия, рассмотрим, как требования программы, касаемо рассматриваемой темы, реализованы в ряде учебников.

1. Анализ учебников по теме «Первообразная и интеграл»

Алгебра и начала анализа. Ш.А. Алимов, Ю.А. Колягин, Ю.В.Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

Изучение темы «Интеграл» относится на конец 11 класса. Данной теме посвящена вся глава VII, состоящая из 6 параграфов:

Первообразная.

Правила нахождения первообразных.

Площадь криволинейной трапеции и интеграл.

Вычисление интегралов.

Вычисление площадей с помощью интегралов.

Применение производной и интеграла при решении практических задач.

Введение понятия первообразной проходит при рассмотрении задачи движения точки вдоль прямой: авторы приводят формулу нахождения мгновенной скорости точки через производную пройденного пути v(t)=sґ(t). После этого формулируется задача, обратная рассмотренной: по заданной скорости движения точки v(t) найти пройденный ею путь s(t), т.е. найти такую функцию s(t) производная которой равна v(t). Далее авторы вводят понятие первообразной. После чего рассматриваются первообразные некоторых тригонометрических и показательных функций. Также в рамках данного параграфа доказывается свойство отличия первообразных одной и той же функции на константу, сформулированное в виде задачи. [1]

Система упражнений по теме «Первообразная», представленная в учебнике, разнообразна. Она содержит множество тренировочных заданий, большая часть из которых относится к задачам обязательного минимума, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом и формирование определённых умений. Это задачи на:

Доказательство, что функция F(x) является первообразной функции f(x) при заданном x.

Нахождение первообразной функции y=f(x), график которой проходит через заданную точку.

В следующем параграфе вводится понятие интегрирования как обратной операции нахождения первообразной для данной функции, и приводится таблица первообразных.

Далее авторы приводят два правила интегрирования:

Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке. Тогда:

Функция F(x) G(x) является первообразной функции f(x) g(x);

Функция a F(x) является первообразной функции a f(x).

Понятие «неопределенный интеграл» авторами не вводится, а все задачи на нахождение неопределенного интеграла функции формулируются в виде: найти все первообразные функции.

Система упражнений к данному параграфу разнообразна, содержит множество тренировочных заданий, в том числе повышенного уровня сложности и трудные задачи, которые направлены на овладение теоретическим и практическим материалом, а также самостоятельное нахождение решения.

В § 2 вводится понятие криволинейной трапеции, после чего авторы демонстрируют как можно вычислить площадь S криволинейной трапеции с помощью первообразной функции. На базе этого проходит выведение формулы Ньютона-Лейбница, с введением на её основе понятия и обозначения определенного интеграла на отрезке [a; b]: «Разность F(b)-F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке и обозначают ». Далее авторы приводят справку об историческом возникновении понятия «интеграл» с введением понятия интегральной суммы функции f(x) на отрезке [a; b] и рассматривают необходимые ограничения на поведение функции на этом отрезке.

В следующем параграфе рассматриваются примеры вычисления интегралов по формуле Ньютона-Лейбница, в том числе повышенной сложности. Этот параграф носит практический характер, поэтому в нем представлено множество разноуровневых задач для овладения теоретическим материалом, выработки навыка вычисления интегралов, в том числе повышенного уровня сложности.

В § 4 рассматриваются задачи вычисления площадей следующих криволинейных трапеций:

Ограниченной осью Ox, прямой x=a, x=b и графиком функции y=f(x);

Ограниченной двумя графиками функции y=f(x) и y=g(x) и осью Ox;

Ограниченной графиком тригонометрической функции и отрезком;

Ограниченной двумя графиками функции.

Авторы приводят исчерпывающий задачный материал для закрепления навыков вычисления площадей криволинейных трапеций. В том числе школьникам предлагаются сложные и трудные задачи, развивающие мышление и самостоятельность в разрешении вставшей перед ними проблемы.

В следующем параграфе рассматривается применение производной и интеграла к решению практических задач, которое состоит из трех подпунктов:

Простейшие дифференциальные уравнения, где на частном примере вводится понятие дифференциального уравнения, и приводятся примеры их решения.

Гармонические колебания, где производится постановка задачи с введением понятия «вторая производная функции y(x)» с последующим её обозначением уґґ(x) и рассмотрением простейшего примера.

Примеры применения первообразной и интеграла с рассмотрение алгебраической и физической задачи.

Этот параграф является заключительным по теме «Интеграл», и призван продемонстрировать необходимость изучения темы с практической точки зрения.

К данному параграфу приводится большой объем упражнений, предлагаемых для решения школьниками.

В конце главы приводится разнообразная система упражнений, направленная на закрепление и обобщение полученных школьниками знаний и умений. Она содержит множество тренировочных заданий повышенного и высокого уровня сложности, в том числе задания для проведения самостоятельной работы в конце изучения темы.

Алгебра и начала анализа. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.

Изучение темы «Интеграл» относится на начало 11 класса. Последовательность изучения темы такова:

Первообразная;

Правила нахождения первообразных;

Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление.

Вычисление площадей с помощью интегралов;

Применение интегралов для решения физических задач;

Простейшие дифференциальные уравнения.

Глава начинается с параграфа «Первообразная», в которой авторы ссылаются на уже рассмотренную в главе «Производная и её применения» задачу о нахождении мгновенной скорости точки по заданному закону движения. Напоминается формула v=s'(t). После чего авторы формулируют обратную задачу: по заданной скорости движения точки v(t) найти закон движения, т.е. найти s= s(t). Т.к. s'(t)=v(t), то в этой задаче требуется найти такую функцию s(t) производная которой равна v(t). Далее авторы говорят, что в этом случае функцию s(t) называют первообразной для функции v(t). После чего формулируется определение первообразной для функции f(x) на некотором промежутке:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x)= f(x).

Далее авторы приводят простейшие примеры, обращая внимание школьников на те примеры, в которых функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой, и тех, в которых функция F(x) является первообразной для функции f(x) на определенном промежутке. [3]

Далее авторы делают замечание, что для функции f(x)=x функции и также являются первообразными, так как и . После чего делается вывод, что для заданной функции ее первообразная неоднозначно определяется, и для доказательства этого понадобится лемма, которая говорит о том, что:

если F'(x)=0 на некотором промежутке, то на этом промежутке F(x)=C, где С - постоянная.

Данная лемма представлена в учебнике без доказательства, авторы лишь сообщают учащимся, что она доказывается с помощью уже изученной в предыдущей главе теоремы Лагранжа, и приводят лишь физический и геометрический смысл данной леммы.

Далее в учебнике приводится формулировка и доказательство теоремы:

Пусть и - две первообразные для одной и той же функции f(x). Тогда =, где C - некоторая постоянная.

В заключение параграфа авторы приводят таблицу первообразных для некоторых простейших функций с проверкой отдельных из них, а также рассматривают примеры вычисления первообразных для заданных функций.

После параграфа приведена система задач, содержащая 4 тренировочных задания, 3 из которых относится к задачам обязательного минимума, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом и формирование определённых умений. Это задачи на:

- доказательство, что F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой;

- доказательство, что F(x) является первообразной для функции f(x) при заданных x.

- нахождение всех первообразных функции.

- нахождение первообразной функции y=f(x), график которой проходит через заданную точку.

В следующем параграфе рассматриваются правила нахождения первообразных. Авторы вводят понятие «интегрирования» как операцию, обратную дифференцированию. Далее школьникам напоминаются правила дифференцирования, с помощью которых выводятся 3 правила нахождения первообразных:

Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций f(x) и g(x) на некотором промежутке, т.е. F'(x)= f(x), G'(x)= g(x) и пусть a, b, k - постоянные, k ?0. Тогда:

F(x) G(x) - первообразная для функции f(x) + g(x);

a F(x) - первообразная для функции a f(x);

- первообразная для функции f(kx+b), k?0.

Далее авторы приводят примеры применения этих правил и дополняют таблицу первообразных, приведенную в предыдущем параграфе, опираясь на третье правило.

При этом понятие неопределенного интеграла авторы не вводят, ограничиваясь понятием первообразной.

Система упражнений по теме «Правила нахождения первообразных», представленная в учебнике, разнообразна. Она содержит множество тренировочных заданий, относящихся как к задачам обязательного минимума, так и к задачам повышенного уровня сложности, направленных на овладение теоретическим и практическим материалом и формирование определённых умений.

В третьем параграфе главы «Интеграл» рассматривается площадь криволинейной трапеции, а также интеграл и его вычисление.

Сначала авторами вводится понятие криволинейной трапеции с опорой на рисунок. После этого поясняется, как вводится понятие площади криволинейной трапеции, разбив отрезок [a; b] на n не обязательно равных частей. Таким образом, авторы вводят понятие интегральной суммы функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее делается вывод, что интегральные суммы стремятся к некоторому числу S, т.е. имеют предел, равный S. Это число S называют площадью криволинейной трапеции.

Следующим этапом изучения идет тема «Интеграл». Само понятие «интеграл» раскрывается как предел интегральных сумм, при стремлении длины наибольшего отрезка разбиения к нулю. Далее авторы вводят обозначение интеграла от функции f(x) на отрезке [a; b] и замечают, что для положительной функции на отрезке [a; b] имеет место формула для площади криволинейной трапеции: S=. После чего приводятся примеры вычисления площадей изображенных на рисунках фигур.

Заключающим этапом изучения данного параграфа идет тема «Вычисление интегралов», в начале которой авторы сначала знакомят школьников с формулой Ньютона-Лейбница, затем поясняют геометрически как она получается. Далее авторы приводят большое число примеров на вычисление интеграла (в том числе повышенной сложности).

После параграфа представлена система упражнений, отличающаяся возрастанием уровня сложности и разнообразием, в ходе выполнения которых планируется овладение школьниками как теоретическим, так и практическим материалом по данной теме.

Последней темой в главе «Интеграл», обязательной для изучения, является «Вычисление площадей с помощью интегралов», в которой рассматриваются задачи различного типа:

На вычисление площади S криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и прямыми x=-1, x=2 и параболой y=.

На вычисление площади S криволинейной трапеции, ограниченной двумя пересекающимися параболами и осью Ох.

На вычисление площади S фигуры, ограниченной данным отрезком оси Ох и графиком тригонометрической функции.

На вычисление площади S фигуры, ограниченной параболой и прямой.

На вычисление площади S фигуры, ограниченной двумя пересекающимися параболами.

Система упражнений, представленная для выработки навыка вычисления площадей с помощью интеграла разнообразна, и содержит задачи различного уровня сложности. В том числе школьникам для самостоятельного решения предлагаются задачи, аналогичные которым не разобраны в параграфе.

Необязательная часть рассматриваемой главы состоит из двух параграфов:

Применение интегралов для решения физических задач.

Простейшие дифференциальные уравнения.

В параграфе «Применение интегралов для решения физических задач» рассматриваются 2 задачи:

Задача о нахождении пути по заданной скорости, в рамках которой ставится проблема, находится общая формула для вычисления пути и приводится пример решения конкретной задачи.

Задача о вычислении работы переменной силы, в которой приводится справка и некоторые необходимые для решения задачи факты из курса физики, после чего выводится формула для нахождения решения задачи и приводится пример вычисления.

В системе упражнений, приведенной в конце данного параграфа всего 2 задачи, обе на вычисление пути, пройденного телом за данный промежуток времени. Первая задача полностью соответствует разобранной в параграфе задаче. Вторая же задача аналогична предыдущей, но носит общий характер.

Последним параграфом в рамках главы «Интеграл» является параграф необязательный для изучения под названием «Простейшие дифференциальные уравнения». В рамках данного параграфа раскрывается понятие дифференциального уравнения и рассматриваются 5 задач, предмет изучения которых можно отнести к:

Математике;

Биологии;

Химии;

Физике.

Система упражнений к параграфу «Простейшие дифференциальные уравнения» состоит из четырех задач, три из которых являются задачами репродуктивного характера и направлены на выработку умения решать дифференциальные уравнения, а последняя задача носит исследовательский характер - задача на доказательство.

В конце главы приводится разнообразная система упражнений, направленная на закрепление и обобщение полученных школьниками знаний и умений. Она содержит множество тренировочных заданий различного уровня сложности, в том числе повышенного и высокого, а также задания для проведения учителем самостоятельной работы в конце изучения темы.

Алгебра и начала анализа. Мордкович А.Г.

Изучение темы «Первообразная и интеграл» относится на начало 11 класса. Данной теме посвящена глава 5, состоящая из двух параграфов:

Первообразная и неопределенный интеграл;

Определенный интеграл.

В параграфе «Первообразная и неопределенный интеграл» рассматривается 3 подпараграфа.

Первый подпараграф носит название «Первообразная». В рамках которого автор напоминает школьникам применение производной и говорит о том, что в реальной жизни приходится решать и обратные задачи, например задача восстановления закона движения по известной скорости. После чего формулируется и решается конкретная задача, ответ которой легко находится на основе опыта школьников даже без знаний формул для отыскания первообразных. Далее автор делает замечание, что пример решен верно, но неполно, т.к. задача имеет бесконечно много решений, потому что любая функция, отличающаяся от полученной на константу может также служить законом движения в решаемой задаче. Эти слова автор подкрепляет нахождением производной полученной функции и функции, отличающейся от неё на константу, и сравнивает получившиеся ответы. Далее вводится понятие интегрирования и автор «по-житейски» обосновывает понятие «производная» как функции, производящей на свет новую функцию. А функцию y=f(x), выступающей в качестве «родителя», называют первичным образом или первообразной для функции yґ=fґ (x). [27]

Далее автор формулирует строгое определение первообразной для функции:

Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из Х выполняется равенство: F'(x)=f(x).

И дает к нему комментарии о том, что на практике промежуток Х обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Следующим этапом изучения темы идет рассмотрение частных примеров. Затем автор приводит таблицу для отыскания первообразных функции, после которой еще раз поясняет каким образом она была составлена. Ниже делается замечание, что позже будет доказана теорема о том, что если y=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то у функции y=f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y=F(x)+C, поэтому правильнее было бы во втором столбце таблицы всюду писать слагаемое С, где С - произвольное действительное число.

Второй подпараграф носит название «Правила отыскания первообразных». В нем формулируются 3 правила:

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

Если y=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то первообразной для функции y=f(kx+m) служит функция .

При этом первые два правила в общем виде не доказываются как очевидные, третье же правило доказывается в общем виде. После каждого правила автор подробно разбирает пример, делая все необходимые замечания.

Третий подпараграф называется «Неопределенный интеграл». В нем автор доказывает уже упомянутую выше теорему о том, что задача отыскания первообразной для заданной функции y=f(x) имеет место не одно решение. Доказательство теоремы разбивается на две части:

Доказательство, что производные функций y=F(x) и y=F(x)+C совпадают.

Доказательство, что функциями вида y=F(x)+C, где С - произвольное действительное число исчерпывается все множество первообразных функции y=f(x).

На следующем этапе изучения вводится определение неопределенного интеграла от функции y=f(x) и его обозначение:

Если функция y=f(x) имеет на промежутке Х первообразную y=F(x), то множество всех первообразных, т.е. множество функций вида y=F(x)+C, называют неопределенным интегралом от функции y=f(x) и обозначают .

Далее автор приводит таблицу основных неопределенных интегралов, опираясь на таблицу первообразных, и на основе приведенных ранее правил интегрирования формулирует соответствующие правила интегрирования:

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Если , то .

Далее рассматриваются примеры на применение рассмотренных правил интегрирования.

Система упражнений содержит задания, основная цель которых выработать навык доказательства, что заданная функция является первообразной второй функции, а также на вычисление неопределенного интеграла. В системе упражнений представлены задания разных уровней сложности, что позволяет организовывать работу как с учащимися среднего, так и высокого уровня успеваемости. Система задач разнообразна. Сложность заданий нарастает линейно, при этом на отработку каждого нового приема решения задач дается достаточное число упражнений. [2]

Далее рассматривается параграф «Определенный интеграл», состоящий из четырех подпараграфов. В первом подпараграфе разбираются 3 задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

Решение этой задачи автор предлагает искать, используя геометрические соображения, замечая, что в этом случае будет найдено лишь приближенное значение искомой площади. При решении задачи используется подробное описание метода интегральных сумм, но его название автор не приводит. Далее делается вывод, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn): .

Задача о вычислении массы стержня.

Автор напоминает школьникам, что m=сV, где m- масса тела, с - его плотность, V - объем. Далее он отмечает, что закон действует только для однородных тел, а для неоднородного стержня предлагает использовать тот же метод, что и при решении предыдущей задачи. После описания которого, применительно к данной задаче, находится формула для вычисления точного значения массы стержня:

Задача о перемещении точки.

Аналогично предыдущей задаче, автор подчеркивает невозможность решения данной задачи с использованием известных школьникам формул из курса физики, т.к. они подходят лишь для равномерного движения. А для неравномерного движения, замечает он, приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение двух предыдущих задач. После подробного описания этого способа, применительно к данной задаче, автор заключает, что перемещение точки за рассматриваемый промежуток времени равно:

Следующим этапом изучения идет рассмотрение понятия определенного интеграла. Автор дает математическое описание (алгоритм) той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции непрерывной на отрезке (но не обязательно неотрицательной):

Разбиение отрезка [a; b] на n равных частей;

Составление суммы

;

Вычисление .

Далее делается замечание, что в курсе математического анализа этот предел существует и его называют определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a; b] и обозначают . Также автор сообщает, что числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно верхним и нижним). Для тех, кому интересно, в учебнике приводится правдоподобная версия происхождения обозначения и термина «интеграл».

После чего автор возвращается к трем рассмотренным задачам и переписывает результаты их решений следующим образом:

S=, где S - площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

m=, где m - масса неоднородного стержня с плотностью p(x). В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

s=, где s - перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t) за промежуток времени от t=a до t=b. В этом состоит еще один физический смысл определенного интеграла.

Следующим этапом изучения темы идет формула Ньютона-Лейбница. Автор заставляет учащихся задуматься о наличии связи между определенным интегралом и первообразной. Далее приводится ответ на поставленный вопрос: ключ к разгадке дает задача о перемещении точки, т.к. с одной стороны s= но с другой стороны координата движущейся точки есть первообразная для скорости s(t), значит, делает вывод автор, перемещение s выражается формулой s=s(b)=s(a), в результате чего = s(b)-s(a), где s(t) - первообразная для v(t).

Далее на примере задачи 1 автор приводит другое решение, приводящее к формуле , после чего формулирует теорему, назвав полученную в ней формулу формулой Ньютона-Лейбница. В конце данной темы демонстрируются примеры вычисления интегралов и площадей фигур, ограниченных графиками функций, и приводятся свойства определенного интеграла:

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов (с доказательством);

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;

Аддитивное свойство интеграла (с доказательством).

Заключительным этапом изучения темы «Первообразная и интеграл» является вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла, в рамках которого автор проводит последовательность рассуждений для нахождения формулы вычисления площади фигуры, ограниченной прямыми y=a, y=b и графиком функции y=f(x), y=g(x), непрерывных на отрезке [a; b], таких, что для всех x из отрезка [a;b] выполняется неравенство . После чего рассматриваются примеры вычисления площадей плоских фигур.

Система упражнений содержит множество заданий различного вида, такие как: на вычисление определенного интеграла, на решение большого количества физических задач и на вычисление площади криволинейной трапеции. В системе упражнений представлены задания разных уровней сложности, что позволяет организовывать работу как с учащимися среднего, так и высокого уровня успеваемости. Система задач разнообразна, в том числе фигурирует масса задач, в которых решение требуется найти из соответствующего рисунка. Сложность заданий нарастает линейно.