Рішення рівнянь з параметрами на уроках математики
Теоретичні основи рішення рівнянь, що містять параметр. Аналіз шкільних підручників по алгебрі й початкам аналізу. Дрібно-раціональні рівняння, що зводяться до лінійних. Графічний метод, координатна площина. Планування програми факультативних занять.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 25.02.2011 |
| Размер файла | 446,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Дипломна робота
Рішення рівнянь, що містять параметр на уроках математики
Введення
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто приводить до рішення рівнянь, що містять параметр. Рішення задач із параметрами викликає більші труднощі в учнів, тому що їхнє вивчення не є часткою окремого шкільного курсу математики, і розглядається тільки на нечисленних факультативних заняттях.
Труднощі при вивченні даного виду рівнянь зв'язані з наступними їхніми особливостями:
Достаток формул і методів, використовуваних при рішенні рівнянь даного виду;
Можливість рішення того самого рівняння, що містить параметр різними методами;
Вище викладене обумовило проблему дослідження, що полягає в дослідженні доцільності й можливості вивчення методів рішення рівнянь, що містять параметри, у старших класах середньої школи й у розробці відповідної методики. Рішення цієї проблеми склало мету дослідження.
Об'єктом дослідження є процес навчання алгебрі в 7-9 класах і алгебрі й початкам аналізу в 10-11 класах.
Предметом дослідження є класи рівнянь, що містять параметри, і їхні методи рішення.
Гіпотеза дослідження: застосування розробленої на основі загальних методів рішення рівнянь, що містять параметри, методики їхнього рішення дозволить учнем вирішувати рівняння, що містять параметри, на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод рішення, застосовувати різні методи рішення.
Проблема, предмет, гіпотеза дослідження обумовили наступні задачі:
проаналізувати діючі підручники алгебри й початку аналізу для виявлення в них використання поняття «параметра» і методів рішення рівнянь, що містять параметр;
виділити класи рівнянь, що містять параметри, і їхні методи рішення;
розробити програму факультативних занять на тему «Методи рішення рівнянь, що містять параметр»;
здійснити досвідчене викладання.
1. Теоретичні основи рішення рівнянь, що містять параметр
Розглянемо рівняння
(F)
с невідомими х, в, ..., z і з параметрами . При всякій припустимій системі значень параметрів б0, в0, ..., г0 рівняння (F) звертається в рівняння
(F0)
с невідомими х, в,..., z, не утримуючих параметрів. Рівняння (F0) має деяке цілком певна множина (бути, може, порожнє) рішень.
Аналогічно розглядаються нерівності й системи, що містять параметри. Припустимими системами значень параметрів уважаються системи, припустимі для кожного рівняння окремо.
Визначення. Вирішити рівняння, що містить параметри, це значить, для кожної припустимої системи значень параметрів знайти множину всіх рішень даного рівняння.
Поняття еквівалентності стосовно до рівнянь, що містять параметр, установлюється в такий спосіб.
Визначення. Два рівняння
F(х, в, ..., z; ) =0 (F),
Ф (х, в, ..., z; ) =0 (Ф)
с невідомим х, в,..., z і з параметрами називаються еквівалентними, якщо для обох рівнянь множина припустимих систем значень параметрів те саме й при всякій припустимій системі значень, параметрів обоє рівняння еквівалентні.
Отже, еквівалентні рівняння при всякій припустимій системі значень параметрів мають те саме множина рішень.
Перетворення рівняння, що змінює множина припустимих систем значень параметрів, приводить до рівняння, не еквівалентному даному рівнянню.
Припустимо, що кожне з невідомих, що втримуються в рівнянні
F(x, в, z; )=0 (F)
задано у вигляді деякої функції від параметрів:
х = х( );
в = в( );
z = z( ). (Х)
Говорять, що система функцій (Х), заданих спільно, задовольняє рівнянню (F), якщо при підстановці цих функцій замість невідомих х, в,..., z у рівняння (F) ліва його частина звертається в нуль тотожно при всіх припустимих значеннях параметрів:
F (x( ), y( ),…,z())?0...
При всякій припустимій системі чисельних значень параметрів = б0, , ..., що відповідають значення функцій (Х) утворять рішення рівняння [1].
2. Аналіз шкільних підручників по алгебрі й початкам аналізу
Проаналізуємо діючі підручники курсу алгебри й початку аналізу, щоб з'ясувати, наскільки в них представлені завдання, що використовують поняття «параметр», і методи рішення рівнянь, що містять параметр.
Алгебра. 7 клас.
При вивченні рівнянь представлено два завдання з параметром (№№236, 243). Розглядаються найпростіші лінійні рівняння, але коефіцієнт при х є параметром і необхідно досліджувати на кількість корінь або приналежність кореня до цілих чисел.
Також у даному підручнику в §5 «Лінійна функція» (розділ 2 «Функції») розглядається пряма пропорційність, де, не вводячи поняття параметр, його використовують. А саме, з'ясовується розташування графіка функції залежно від коефіцієнта , що і є параметром.
Наступні завдання з параметром пропонуються вже тільки в додаткових завданнях до глави «Системи лінійних рівнянь» (№№1214-1216), де необхідно знайти значення параметра, якщо відомо крапку перетинання графіків (див. [28]).
Алгебра 8 клас.
При вивченні теми «Квадратні рівняння» у розділі додаткових вправ для більше поглибленого повторення матеріалу пропонуються рівняння, що містять параметр (№№ 645, 646, 660, 663-672), де необхідно знайти значення змінної (параметра), якщо відомо корінь рівняння або якесь співвідношення корінь. Можна виділити два номери (№№ 661, 662), де необхідно знайти значення параметра, якщо відомі знаки корінь рівняння.
При вивченні інших тим підручника 8 класу параметр не використовувався.
Алгебра. 9 клас.
Використання параметра ведеться в главі «Квадратична функція». При формулюванні властивостей функції залежно від коефіцієнта , і пропонується для рішення задача на знаходження нулів функції, що залежить від параметра. У розділі «додаткові задачі» приводяться завдання з параметром на дослідження:
області значень;
розташування графіка відносно прямій;
вершини параболи; нулів функції;
приналежність даних крапок функції, що містить два параметри.
При розгляді графіків функцій і будуються передумови для рішення рівнянь, що містять параметр, графічним методом (паралельний перенос).
При вивченні систем рівнянь пропонуються додаткові задачі з параметром на дослідження кількості рішень системи.
У системі вправ для повторення курсу VII-IX класів завдань, що містять параметр, не представлене (див. [29]).
Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 по 9 клас» і «Алгебра й початку аналізу 10 - 11 клас»
Треба відзначити, що даний навчальний посібник складається із двох частин: з підручника й задачника (див. [30],[31]).
При вивченні лінійної функції (7 клас розділ 6 §28) розглядається лінійне рівняння із двома змінними і його графік, де учнів знайомлять із параметром у неявному виді, тобто при розгляді знаходження кореня лінійного рівняння з один невідомої ставиться обмеження на змінну a (a 0). При вивченні параметра, такі значення змінної й будемо називати особливими, для яких будуть відповідати приватні рішення.
Задачі:
Номера 828-831 задачника містять завдання, у яких потрібне знаходження коефіцієнта рівняння якщо відомо рішення рівняння, тобто говориться про те, щоб знайти значення параметра, якщо відомо рішення рівняння. У номерах 902-903 необхідно знайти значення змінної, якщо відомо, що графік функції проходить через дану крапку. Ці номери підготовляють учня до методу «розгалужень» рішення рівнянь із параметром, про яке розповімо пізніше в пункті 4.1.1.
Розглянемо підручник 8 класу.
У главі «Квадратична функція. Функція » при вивченні функції , її властивостей і графіка пропонуються задачі, які підготовляють учня до рішення рівнянь із параметром, де потрібне застосування похідної. А саме номера 474-475, де необхідно знайти коефіцієнти рівняння даної функції, якщо відомо найбільше або найменше значення функції. І також номера 483-488 у які відомо крапки перетинання з осями координат. Особливо потрібно виділити наступні номери: № 498-503, де від учня потрібен творчий підхід до їхнього рішення.
В § 14 «Графічне рішення квадратних рівнянь» пропонуються завдання, де безпосередньо представлені рівняння, що містять параметр. У номерах 518-522 пропонуються рівняння, що містять параметр, де необхідно знайти значення параметра, якщо дано рівняння, що має певна кількість корінь. Ці завдання підвищеного рівня. Також пропонується домашня контрольна робота, у якій є рівняння, що містить параметр. Пропонуючи ці рівняння для рішення, учителеві необхідно показати деякі методи рішення квадратних рівнянь із параметром. Зокрема два основних методи: аналітичного й графічний, але тому що часу на розгляд цих методів шкільною програмою в 8 класі не передбачено, то вчителеві доводиться найчастіше розглядати ці методи на факультативах.
У главі 4 «Квадратні рівняння» безпосередньо приводяться аналітичний і графічний методи рішення рівнянь. У задачнику представлені рівняння з параметром, де необхідно: з'ясувати вид квадратного рівняння й вирішити його при знайдених значеннях параметра; знайти значення параметра, якщо відомо корінь квадратного рівняння.
При знаходженні корінь квадратного рівняння знову розглядаються рівняння, що містять параметр, де необхідно знайти значення параметра при даній кількості корінь квадратного рівняння (№№ 820, 821). Потрібно відзначити №838, де необхідно вибрати ті рівняння, які мають два корені при будь-якому значенні параметра. Особливо можна виділити наступні номери: 839-841, де ставиться задача вирішити рівняння з параметром, в №842 - необхідно довести, що рівняння не має єдиного кореня ні при якому значенні параметра.
При вивченні теореми Виета пропонуються завдання на знаходження значення параметра при даній кількості корінь (№ 969). Є задачі (№№971, 972) на застосування зворотного твердження теореми Виета, що говорить про те, що сума й добуток корінь рівняння дорівнюють коефіцієнтам цього рівняння. І пропонуються завдання підвищеного рівня з параметром - номера 999-1005. У них від учня потрібне повне розуміння застосування теореми Виета й зворотного твердження. Є домашня контрольна робота, у якій знову присутні рівняння з параметром.
При вивченні квадратних нерівностей, пропонуються задачі (№№ 1360-1365) на знаходження значень параметра, при яких рівняння має або не має дійсних корінь (№№ 1366, 1367). Особливо можна виділити №1363 і №1365, тому що параметр утримується в коефіцієнті при . Це зажадає розглянути окремо випадки, коли цей коефіцієнт дорівнює нулю (див. [32],[33]).
Початок курсу алгебри 9 класу починається з повторення, де пропонуються задачі з параметром (№11, №17-19, №50): на знаходження значення параметра при даних кількостях корінь; на знаходження значення параметра, при яких у множині рішень нерівності втримується певна кількість чисел, що належать тій або іншій множині.
Розглядаючи наступну главу «Нерівності й системи нерівностей», не можна не відзначити систему задач, що містить завдання з параметрами (№№85-87). У цих завданнях пропонуються найпростіші системи з параметром (див. [34],[35]).
Розглянемо підручник алгебри й початку аналізу 10-11 класу.
Спочатку параметр зустрічається при вивченні арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса й рішенні рівнянь виду , , , . Розглядається рішення цих рівнянь у загальному виді, і залежно від значення а розглядаються окремі випадки, причому ставиться обмеження на множину значень змінної а ( , для перших двох рівнянь).
Наступні задачі, що містять параметр, пропонуються при вивченні похідної функції. Номера 803, 808, 853 містять завдання з параметром, які запропоновані для закріплення знань про дотичну.
Відзначимо наступні завдання (№№889, 914-917), що містять параметр, на дослідження функції на монотонність. Також відзначимо номера 926-929, тому що в них необхідно вирішити рівняння третього й четвертого ступеня графічним методом.
Особливе геометричне й алгебраїчне значення мають задачі з параметром, які запропоновані в главі «Первісна й інтеграл». Запропоновано наступне завдання (номера 1061, 1062): знайти значення параметра, що втримується у функції, якщо відомо площу фігури, обмеженою цією функцією.
Наприкінці вивчення курсу алгебри й початку аналізу в 11 класі виділений параграф для рішення рівнянь, що містять параметр. У параграфі пояснюється, що таке параметр на найпростіших рівняннях, розглядаються лінійні й квадратні рівняння.
Задачі, які пропонуються для цієї теми, де запропоновані різні завдання для узагальнення всіх умінь рішення задач (номера 1855-1880).
Узагальнюючи всі задачі з параметром можна заявити, що даний підручник пропонує параметр як для поглибленого вивчання пройдених тим, як для вивчення безпосередньо самого параметра (див. [36],[37]).
Алимов Ш.А. і ін. «Алгебра з 7 по 9 клас» і «Алгебра й початку аналізу 10 - 11 клас»
Почнемо аналіз цієї групи підручників з 7 класу.
Уже при вивченні теми «Рівняння з один невідомим» пропонуються завдання, які містить задачі з параметром (№№123-125), де потрібно вирішити найпростіші лінійні рівняння на знаходження значення параметра, при яких рівняння має коріння або не має корінь (№123,124). Особливо можна виділити номер 125, що пропонується в задачах підвищеного рівня. Особливість завдань полягає в тому, що пропонуються лінійні, дрібно-раціональні й квадратні рівняння з параметром при старшому коефіцієнті.
Після розгляду різних способів рішення систем рівнянь із двома невідомими пропонуються задачі, одна й з яких містить систему із двома параметрами, де необхідно знайти ці параметри, якщо система має єдине рішення; нескінченна множина рішень; не має рішень (див. [25]).
Алгебра 8 клас.
Рівняння, що містять параметр, зустрічаються вперше при вивченні квадратних рівнянь (№№ 414, 428, 442-443, 448). З них можна виділити номера 442, 443, 448, у яких пропонуються завдання на дослідження кількості корінь рівняння залежно від значення параметра.
При вивченні квадратичної функції розглядається всього два номери із завданнями, що містять параметр (№№602, 603). У цих завданнях необхідно знайти значення параметра, якщо відомо перетинання двох функцій у заданій крапці й параметр, утримується в коефіцієнті однієї з функцій.
На цьому автори припиняють використання параметра при вивченні тим підручника, але велику увагу приділяють параметру при повторенні. Пропонуються завдання, що містять параметр, в основному, для повторення квадратних рівнянь ( №№ 791, 792, 809, 818, 819, 822). Всі номери одного характеру - досліджувати корінь квадратного рівняння, тобто знайти кількість корінь або самих корінь залежно від значень параметра.
Рівняння аналогічного характеру автори приводять для позакласної роботи (№№ 889-896, 900, 902).
Висновки: Головним плюсом цього підручника є те, що автори застосовували рівняння, що містять параметр, саме там, де його використання дуже широко - при вивченні квадратних рівнянь. У цій темі кількість задач, що містять параметр, не може бути обмежено.
При вивченні курсу алгебри 9 класу рівняння, що містять параметр пропонуються тільки в задачах для позакласної роботи (№№ 826-833). Пропонуються квадратні рівняння, де необхідно:
а) знайти значення параметра, при яких рівняння має або не має корінь;
б) визначити приналежність корінь рівняння тій або іншій числовій множині.
Також пропонуються нерівності з параметром, де необхідно знайти значення параметра, якщо нерівність виконується при всіх значеннях невідомої (див. [26]).
Алгебра й початку аналізу 10-11 клас.
У цьому підручнику при вивченні рівняння розглядається приналежність кореня множинам , . І це теж у якімсь ступені рівняння з параметром розв'язуване методом «розгалужень» (пункт 4.1.1). Аналогічно при розгляді рівняння , , .
Узагальнюючи знання, отримані при вивченні третього розділу «Тригонометричні рівняння й нерівності», запропоноване тригонометричне рівняння четвертого ступеня з параметром, класифіковане як задача підвищених труднощів.
При повторенні курсу алгебри й початку аналізу 10 класу в системі задач не зустрічається завдань із параметром і можна затверджувати, що в системі вивчення цього курсу автори не приділяють увагу до параметра як такому.
При вивченні похідної автори пропонують чотири вправи з параметром (№№ 544-547), де дана функція, що залежить як від невідомої, так і від параметра й потрібно знайти значення параметра, якщо похідна має певний знак або дорівнює нулю.
При вивченні ж теми «Застосування похідній до дослідження функцій» система задач містить усього одне завдання з параметром (№559).
Аналогічно, у системі задач теми «Інтеграл» запропонована всього одна задача з параметром (№ 670), де потрібно знайти площу фігури, обмеженою параболою, де укладений параметр, і прямій.
При повторенні курсу алгебри й початку аналізу 11 класу запропонована одна задача з параметром (№718). У системі задач при підсумковому повторенні всього курсу алгебри втримуються задачі з параметром, аналогічні всім розглянутим раніше (у попередніх підручниках і даному). Такими є: №№ 781, 782 - це при повторенні рішення рівнянь; №№ 828-830 - при повторенні рішення нерівностей.
Висновки: Головним плюсом цього підручника є те, що запропоновано зразкові види завдань, що пропонувалися на вступних іспитах у вузи. Одними з таких завдань є задачі з параметром (№№ 974-976).
На відміну від підручника Мордковича система задач із параметрами запропонована тільки для поглибленого вивчання й повторення пройденого матеріалу (див. [27]).
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
у кожному проаналізованому підручнику завдання, що містять параметр, використовується для перевірки знань і вмінь, придбаних під час вивчення тієї або іншої теми. Пропонуються завдання творчого характеру, що вимагають від застосування, що вчиться, отриманих знань і вмінь у нестандартних умовах;
у жодному з розглянутих підручників не дається чіткого визначення параметра;
у всіх підручниках завдання однотипні;
3. Основні види рівнянь, що містять параметр
3.1 Лінійні й квадратні рівняння, що містять параметр
Лінійні й квадратні рівняння, що містять параметр, можна об'єднати в одну групу - групу рівнянь із параметром не вище другого ступеня.
Рівняння з параметром не вище другого ступеня є найпоширенішими в практиці підсумкових і конкурсних завдань. Їхній загальний вид визначається багаточленом . Для таких рівнянь усяке приватне рівняння не вище другого ступеня належить одному з наступних типів:
, тоді ,
і , тоді рішень ні,
і , тоді ,
, , тоді ,
, , тоді рішень ні,
, , тоді .
Контрольні значення параметра визначаються рівнянням . На виділених контрольними значеннями проміжках припустимих значень параметра дискримінант має певний знак, що відповідають приватні рівняння належать одному із двох останніх типів.
Тоді рішенням усякого рівняння з параметром не вище другого ступеня здійснюється по наступних етапах:
На числовій прямій відзначаються всі контрольні значення параметра, для яких відповідні приватні рівняння не визначені.
На області припустимих значень параметра вихідного рівняння за допомогою рівносильних перетворень приводиться до виду .
Виділяють множина контрольних значень параметра, для яких .
Якщо рівняння має кінцева множина рішень, то для кожного знайденого контрольного значення параметра відповідне приватне рівняння вирішується окремо. Проводиться класифікація приватних рівнянь по першим трьох типах.
На нескінченній множині рішень рівняння проводиться рішення рівняння , виділяються типи нескінченних і порожніх особливих приватних рівнянь. Множині значень параметра, для яких і , відповідає третій тип не особливих приватних рівнянь.
Виділяються контрольні значення параметра, для яких дискримінант звертається в нуль. Відповідні не особливі приватні рівняння мають дворазовий корінь .
Знайдені контрольні значення параметра розбивають область припустимих значень параметра на проміжки. На кожному із проміжків визначається знак дискримінанта.
Множині значень параметра, для яких і , відповідає тип не особливих приватних рівнянь, що не мають рішень, для значень параметра із множини, де й , приватні рівняння мають два різних дійсних корені (див. [1],[7]).
Приклад. Вирішити рівняння
2а• (а-2)• х = а-2. (2)
Рішення. Тут контрольними будуть ті значення параметра, при яких коефіцієнт при х звертається в 0. Такими значеннями є, а=0 і а=2. При цих значеннях параметра а, неможливе ділення обох частин рівняння на коефіцієнт при х. У той же час при значеннях параметра а?0 і а?2 ділення можливо. Таким чином, доцільна множина всіх дійсних значень параметра розбити на підмножини
A1={0}, А2={2} і А3= {а?0, а?2}
і вирішити рівняння (2) на кожній із цих підмножин, тобто вирішити рівняння (2) як сімейство рівнянь, що виходять із нього при наступних значеннях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а?0, а?2.
Розглянемо ці випадки.
1) При а=0 рівняння (2) приймає вид 0• х=2. Це рівняння не має корінь.
2) При а=2 рівняння (2) приймає вид 0• х=0. Коренем цього рівняння є будь-яке дійсне число.
3) При а?0, а?2 рівняння відповідає третьому типу звідки х = = .
Відповідь: 1) якщо а=0, то корінь немає;
2) якщо а=2, те х -- будь-яке дійсне число;
3) якщо а?0, а?2 , те х = .
Приклад. Вирішити рівняння
(а -- 1)• х2+2• (2а+1)• х + (4а+3) =0. (3)
Рішення. У цьому випадку контрольним значенням параметра a є одиниця. Справа в тому, що при a=1 рівняння (3) є лінійним, а при а?1 воно квадратне (у цьому й складається якісна зміна рівняння). Виходить, доцільно розглянути рівняння (3) як сімейство рівнянь, що виходять із нього при наступних значеннях параметра: 1) a=1; 2) а?1.
Розглянемо ці випадки.
1) При a=1 рівняння (3) прикмет вид 6х+7=0. Із цього рівняння знаходимо х = - .
2) Із множини значень параметра а?1 виділимо ті значення, при яких дискримінант рівняння (3) звертається в 0.
Справа в тому, що якщо дискримінант D=0 при а=ао, те при переході значення D через крапку ао дискримінант може змінити знак (наприклад, при а<ао D < 0, а при а>ао D > 0). Разом із цим при переході через крапку ао міняється й число дійсних корінь квадратного рівняння (у нашім прикладі при а<ао корінь ні, тому що D < 0, а при а>ао D > 0 рівняння має два корені). Виходить, можна говорити про якісну зміну рівняння. Тому значення параметра, при яких звертається в 0 дискримінант квадратного рівняння, також відносять до контрольних значень.
Складемо дискримінант рівняння (3):
=(2а+ l)2 -- (а -- 1) (4а+3).
Після спрощень одержуємо = 5а+4.
З рівняння =0 знаходимо -- друге контрольне значення параметра а. При цьому якщо , те D < 0; якщо , те D ? 0; і .
Таким чином, залишилося вирішити рівняння (3) у випадку, коли й у випадку, коли й .
Якщо , то рівняння (3) не має дійсних корінь;
якщо ж і , то знаходимо ;
якщо , то й тоді .
Відповідь: 1) якщо , те корінь немає;
2) якщо а = 1, те х = ;
3) якщо , те ;
4) якщо , те .
3.2 Дрібно-раціональні рівняння, що містять параметр, що зводяться до лінійних
Процес рішення дрібно-раціональних рівнянь протікає за звичайною схемою: дане рівняння заміняється цілим шляхом множення обох частин рівняння на загальний знаменник лівих і правої його частин. Після чого учні вирішують відомим їм способом ціле рівняння, крім сторонніх корінь, тобто числа, які обертають загальний знаменник у нуль. У випадку рівнянь із параметрами ця задача більше складна. Тут, щоб сторонніх корінь виключити, потрібно знаходити значення параметра, що обертає загальний знаменник у нуль, тобто вирішувати відповідні рівняння щодо параметра (див. [1]).
Приклад. Вирішити рівняння
. (4)
Рішення. Значення а=0 є контрольним. При a=0 рівняння (4) втрачає зміст і, отже, не має корінь. Якщо а?0, те після перетворень рівняння (4) прикмет вид:
х2+2 (1 -- а) х +а2 -- 2а -- 3=0. (5)
Знайдемо дискримінант рівняння (5) = (1 -- a)2 -- (a2 -- 2а -- 3) = 4. Знаходимо корінь рівняння (5): х1 =а + 1, х2 = а -- 3. При переході від рівняння (4) до рівняння (5) розширилася область визначення рівняння (4), що могло привести до появи сторонніх корінь. Тому необхідно перевірку.
Перевірка. Виключимо зі знайдених значень х такі, при яких х1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Якщо х1+1=0, тобто (а+1)+1=0, то а = - 2.
Таким чином, при а = - 2 х 1-сторонній корінь рівняння (4).
Якщо х1+2=0, тобто (а+1)+2=0, то а = - 3.
Таким чином, при а = - 3 x1- сторонній корінь рівняння (4).
Якщо х2+1 =0, тобто (а-3)+1=0, то а=2.
Таким чином, при а=2 х2 - сторонній корінь рівняння (4)'.
Якщо х2+2=0, тобто (а - 3)+2=0, то а=1.
Таким чином, при а = 1 х2- сторонній корінь рівняння (4).
При а = - 3 одержуємо х= - 6; при a = - 2 х = - 5;
При a=1 х = 1+1=2; при a=2 х=2+1=3. Отже, можна записати
Відповідь: 1) якщо a = - 3, те х = - 6;
2) якщо a = -2, те х = - 5;
3) якщо a=0, то корінь немає;
4) якщо a = 1, те х=2;
5) якщо а=2, те х=3;
6) якщо , те х1 = а + 1, х2 = а - 3.
3.3 Ірраціональні рівняння, що містять параметр
Головними особливостями при рішенні рівнянь такого типу є:
обмеження області визначення невідомої х, тому що вона міняється залежно від значення параметра.
у рішенні рівнянь виду при піднесенні у квадрат необхідно враховувати знак і проводити перевірку корінь.
При розгляді всіх особливих випадків і піднесенні обох частин ірраціонального рівняння у квадрат ми переходимо до рішення квадратного рівняння з параметром.
Розглянемо кілька прикладів і спробуємо помітити ці особливості при рішенні (див. [1]).
Приклад. Вирішити рівняння х - = 1. (6)
Рішення: метод рішення: піднесемо до квадрата обидві частини ірраціонального рівняння з наступною перевіркою отриманих рішень.
Перепишемо вихідне рівняння у вигляді:
(7)
При піднесенні у квадрат обох частин вихідного рівняння й проведення тотожних перетворень одержимо:
2х2 - 2х + (1 - а) = 0, D = 2а - 1.
Особливе значення: а = 0,5. Звідси:
при а > 0,5 х1,2 = 0,5• (1 ± );
при а = 0,5 х = 0,5;
при а <0,5 рівняння не має рішень.
Перевірка:
при підстановці х = 0,5 у рівняння (7), рівносильне вихідному, одержимо невірну рівність. Виходить, х = 0,5 не є рішенням (7) і рівняння (6).
при підстановці х2 = 0,5 ( 1 - ) в (7) одержимо:
-0,5 ( 1 + ) =
Тому що ліва частина рівності негативна, те х2 не задовольняє вихідному рівнянню.
Підставимо х1 = 0,5 ( 1 + ) у рівняння (7):
.
Провівши рівносильні перетворення, одержимо:
Якщо , то можна звести отримана рівність у квадрат:
.
Маємо щира рівність за умови, що .
Ця умова виконується, якщо а?1. Тому що рівність істинно при а?1, а х1 може бути коренем рівняння (6) при а > 0,5, отже, х1- корінь рівняння при а?1.
Відповідь.
при а ? 1 х = 0,5• (1 + );
при а <1 рівняння не має рішень.
3.4 Показові рівняння, що містять параметр
Більшість показових рівнянь із параметрами зводиться до показових рівнянь виду: а f (x) = b ц(х) (*), де а>0, b>0.
Область припустимих значень такого рівняння перебуває як перетинання областей припустимих значень функцій f(x) і ц (х). Для рішення рівняння (*) необхідно розглянути наступні випадки:
При а=b=1 рішенням рівняння (*) є область його припустимих значень D.
При а=1, b?1 рішенням рівняння (*) служить рішення рівняння ц(х)=0 на області припустимих значень D.
При а?1, b=1 рішення рівняння (*) перебуває як рішення рівняння f(х) = 0 на області D.
При а=b (а>0, а?1, b>0, b?1) рівняння (*) рівносильне рівнянню f(х) = ц(х) на області D.
При а?b (а>0, а?1, b>0, b?1) рівняння (*) тотожно рівнянню (c>0, c?1) на області D (див. [1]).
Приклад. Вирішити рівняння: а х + 1 = b 3 - х
Рішення. ОДЗ рівняння: х R, а > 0, b >0.
1) При а ? 0, b ? 0 рівняння не має змісту;
2) При а = b = 1, х R;
3) При а = 1, b ? 1 маємо: b 3 - х = 1 або 3 - х = 0 х = 3;
4) При а ? 1, b = 1 одержимо: а х + 1 = 1 або х + 1 = 0 х = -1;
5) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) маємо: х + 1 =3 - х х = 1;
6) При , одержимо: рівняння , що не має рішення;
7) При а ? b і (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) логарифмуємо вихідне рівняння по підставі а, одержимо:
, х + 1 = (3 - х) log a b , .
Відповідь: при а ? 0, b ? 0 або , рівняння не має рішень;
при а = b = 1, х R;
при а = 1, b ? 1 х = 3;
при а ? 1, b = 1 х = -1;
при а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) х = 1;
при а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) .
3.5 Логарифмічні рівняння, що містять параметр
Рішення логарифмічних рівнянь із параметрами зводиться до знаходження корінь елементарного логарифмічного рівняння. Важливим моментом рішення рівнянь такого типу є перевірка приналежності знайдених корінь ОДЗ вихідного рівняння (див. [1]).
Приклад. Вирішити рівняння
2 - log (1 + х) = 3 log а - log (х 2 - 1)2.
Рішення. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ? 1.
Здійснимо на ОДЗ ланцюжок рівносильних перетворень вихідного рівняння:
log а а2 + log a(х2 - 1) = log а ( ) 3 + log a ,
log а (а2 (х2 - 1)) = log а (( ) 3 ),
а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,
а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) .
Тому що х ? -1 і х ? 1, скоротимо обидві частини рівняння на (х - 1) і на . Тоді одержимо = .
Зведемо обидві частини отриманого рівняння у квадрат:
а4 (х + 1) = х - 1 а4 х + а4 = х - 1 х( 1 - а4 ) = а4 + 1.
Тому що а ? -1 і а ? 1, те .
Для того щоб значення х було рішенням рівняння, повинне виконуватися умова х > 1, тобто .
З'ясуємо, при яких значеннях параметра а, ця нерівність істинно:
, .
Тому що а > 0, те отриманий дріб позитивний, якщо 1 - а4 > 0, тобто при а < 1.
Отже, при 0 < a < 1 x > 1, значить при 0 < a < 1 х є коренем вихідного рівняння.
Відповідь: при а ? 0, а = 1 рівняння не має змісту;
при а > 1 рішень немає;
при 0 < a < 1 .
Зауваження: Тригонометричні рівняння, що містять параметр, не розглядаємо, тобто, не розглядаємо методи рішення рівнянь такого виду, тому що існує велика кількість специфічних методів рішення, саме, тригонометричних рівнянь, що містять параметр. Для цих методів існує велика кількість матеріалу, дослідження якого може розглядатися, як окрема тема.
4. Основні методи рішення рівнянь, що містять параметр
Аналітичний метод
Пошук рішень рівнянь, що містять параметр. Метод «розгалуження»
На самому початку знайомства з параметром в учнів виникає якийсь психологічний бар'єр, що обумовлений суперечливими характеристиками параметра. З одного боку, параметр у рівнянні варто вважати величиною відомої, а з іншого боку - він може приймати різні значення. Виходить, що параметр у рівнянні - це невідома відома, змінна постійна величина. Цей «каламбур» дуже точно відбиває істота тих складностей, які потрібно переборювати учням.
Саме цей факт і дозволяє нам вирішувати рівняння з параметром таким методом («розгалуження») (див. [5], [6], [10],[13]).
Приклад. Вирішити рівняння .
Рішення. Нехай . Тоді
Переходимо до рівносильної системи
Очевидно, при рівняння системи не має рішення.
Якщо , то тоді
Отже, потрібно перевірити умови й . Тобто
вирішуючи із системи перша нерівність, одержуємо що .
Рішенням другого є . Рішенням системи буде перетинання інтервалів, а, саме, .
Відповідь. Якщо , то ;
при інших значеннях параметра a рівняння рішень не має.
Приклад. Вирішити рівняння .
Рішення. Маємо .
Досить розглянути три випадки:
.
.
.
Роблячи заміну , одержуємо, що або . Тобто або . Перевіримо, чи є знайдені значення змінної коріннями. Підставляючи значення змінної в рівняння, одержуємо, що не підходить, тоді коріннями є значення .
3.
Роблячи заміну , одержуємо або . Аналогічно, як і при , перевіркою встановлюємо, що тільки й не є коріннями. Тоді є коренем. Отже,
Відповідь. При , ;
при ;
при , .
Параметр і кількість рішень рівнянь, що містять параметр
Виділимо клас задач, де за рахунок параметра на змінну накладаються які-небудь обмеження. Для таких задач характерні наступні формулювання:
«При якому значенні параметра рівняння має одне рішення, два рішення, нескінченно багато, жодного»;
Рішенням рівняння (нерівності, системи) є якась підмножина множини дійсних чисел і інші (див. [5]).
Приклад. Залежно від значення параметра знайти число корінь рівняння
Рішення. Наявність складного кореня наводить на думку виділення квадрата двочлена під зовнішнім коренем.
Отже, ми впритул підійшли до задачі розгляду різних випадків параметра .
Якщо , то рівняння не має рішення.
Якщо , то розглянемо . Якщо , то . За умови , і очевидно це рівняння має тільки один корінь.
Відповідь. При - одне рішення,
при - рішень немає.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння
має єдине рішення?
Рішення. Рівняння переписуємо в рівносильну систему
Рішенням нерівності є об'єднання проміжків . Рівняння системи має один корінь коли . , тобто при .
Тепер перевіримо, чи належить корінь нашим інтервалам: .Тоді
Відповідь. При рівняння має єдине рішення.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння
.
має єдине рішення?
Рішення. Запишемо рівносильне рівняння.
.
Тепер перейдемо до наслідку . Звідки , . Виникла ситуація, що дає нам можливість скористатися механізмом відсівання корінь.
Область визначення вихідного рівняння знайдемо з умов
Очевидно, і задовольняють першим двом умовам. Тоді для одиничності рішення досить зажадати
Знайдемо рішення першої системи, перетворимо її.
Маємо, що рішенням першої системи є об'єднання інтервалів
.
Друга система рішення не має.
Відповідь. .
Параметр і властивості рішень рівнянь, що містять параметр
У цьому пункті ми розглянемо задачі, у яких умова вимагає, щоб відповідь була яким-небудь наперед заданою підмножиною або йдуть обмеження на множину значень змінної (див. [5], [12],[13]).
Приклад. При яких значеннях параметра обидва корені рівняння більше 3?
Рішення. Коріннями даного рівняння будуть
Для умови необхідне виконання системи
Перша нерівність системи й друге будуть мати загальні крапки тільки в тому випадку якщо вираження під коренем дорівнює нулю.
Вирішимо рівняння .
Відповідь. Ні при яких значеннях параметра обидва корені даного рівняння не можуть бути більше 3.
Параметр як рівноправна змінна
У всіх розібраних задач параметр розглядався як фіксоване, але невідоме число. Тим часом з формальної точки зору параметр - це змінна, причому рівноправна з іншими. Подібна інтерпретація, природно, формує ще один тип (а точніше метод рішення) задач із параметрами (див. [5]).
Приклад. Указати всі значення параметра , для яких рівняння має рішення?
Рішення. Позначимо . Вихідне рівняння , з обліком , рівносильне системі
Розглянемо квадратне рівняння, щодо параметра . Знайдемо дискримінант розглянутого рівняння .
,
тому що й , те . Тому остання система рівносильна
Розглянемо функцію . Вершина параболи - є крапка з координатами . Мінімум функції є значення ординати вершини параболи. Тому можемо затверджувати, що параметр приймає значення у відрізку на відрізку .
Відповідь.
Зауваження: інший спосіб рішення буде розглянутий пізніше (див. пункт 4.2.4).
Приклад. Вирішити рівняння .
Важливо показати при вивченні параметрів зв'язок параметра з конкретними значеннями й цією задачею показує цей зв'язок. Ціль цієї задачі в тім, щоб показати що задачі, що не містять параметр, можна вирішувати й способами рішення рівнянь, що містять параметр. Рішення цього рівняння показує, що дослідження різних рішень із параметрами дозволяє вирішувати задачі більше простими методами.
Рішення. Це рівняння рівносильне системі
Представимо рівняння системи у вигляді квадратного рівняння щодо числа 5.
Звідки, з огляду на , одержуємо
Відповідь. .
Методи пошуку необхідних умов. Використання симетрії аналітичних виражень
У тих випадках, коли безпосередній пошук значень змінної утруднений, можна спочатку виділити необхідні умови, а потім від необхідних умов перейти до достатніх умов.
Будемо називати задачі, розв'язувані таким методом, задачами з пошуком необхідних умов.
Необхідні умови задач цього пункту:
У кожній задачі обов'язково фігурує аналітичне вираження, геометричний образ якого має вісь або площина симетрії.
У всіх задачах у тій або іншій формі присутня вимога одиничності рішення.
Якщо описувані задачі мають рішенням координати крапки М, то найдеться симетрична крапка М1, координати якої теж є рішенням, тоді крапка М повинна лежати (у силу одиничності рішення) на осі симетрії, але помітимо, що ця вимога не є достатньою.
Висловлені міркування й становлять основу одного з методу пошуку необхідних умов, про яке буде йти мова в наступних задачах (див. [1], [5], [12]).
Приклад. При яких рівняння має одне рішення.
Рішення. При заміні на (і навпаки) рівняння не міняє змісту, тому якщо крапка з координатами - рішення те й - рішення. А тому що в умові необхідно одиничність рішення, те .
Тоді . Тому що , те, що можливо тільки для випадку рівності й при . Тоді одержуємо . Звідки знаходимо два корені рівняння, а в силу одиничності, дискримінант дорівнюємо до нуля й одержуємо .
Відповідь. При рівняння має одне рішення.
«Каркас» квадратичної функції. Дискримінант, старший коефіцієнт.
Фактично всі важливі властивості квадратичної функції визначаються таблицею. Де - конструюють «каркас», на якому будується теорія квадратичної функції (див. [1], [2], [5], [7], [8], [18],[21],[22])
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Приклад. При яких значеннях параметра все пари чисел , що задовольняють нерівності , одночасно задовольняють і ?
Рішення. Часто буває зручно почати рішення задачі з розгляду спрощеної моделі. Так, у конкретному випадку доречно поставити задачу: при якому співвідношенні й всі рішення нерівності одночасно є рішеннями нерівності . Відповіддю на це питання очевидний: .
Тоді в цьому прикладі потрібно, щоб при всіх .
.
Знайдемо дискримінант, . Дискримінант менший або дорівнює нулю визначить шуканий параметр.
,
що рівносильне системі
Размещено на http://www.allbest.ru/
Відповідь.
«Каркас» квадратичної функції. Вершина параболи
Приклад. При яких значеннях найбільше значення тричлена менше 4.
Рішення.
Тому що графіком тричлена є парабола, то необхідність найбільшого значення меншого 4 ставить за обов'язок параметру .
Найбільше значення буде у вершині параболи.
. Обмеження теж обов'язково. Рішенням цієї нерівності є . З огляду на необхідність , те .
тому що , те рішенням буде об'єднання
.
Тоді Відповідь.
.
Корінь квадратичної функції. Теорема Виета
Розглянемо квадратне рівняння . Знайдемо корінь цього рівняння . По теоремі Виета виконується наступна система рівнянь , де й . Розглянемо задачу, рішення якої при використанні теореми Виета набагато спрощується.
Приклад. При якому значенні параметра сума квадратів корінь рівняння приймає найменше значення?
Рішення. Знайдемо дискримінант, . Рівняння має два корені при кожному . Використовуючи теорему Виета, знайдемо . Таким чином, знайдемо найменше значення функції на множині . Оскільки при , а при , те найменше значення при .
Відповідь. .
Апарат математичного аналізу (дотична до прямої)
Учні, як правило, утрудняються з визначенням дотичної до кривій (типова помилкова відповідь: «Дотична - це пряма, що має із кривій одну загальну крапку»), не бачать зв'язок між дотичною до графіка і її похідній, не розуміють змісту змінних у рівнянні дотичної, не можуть застосувати відповідні факти до рішення задач, особливо геометричного характеру. Пояснити учнем суть речей можуть допомогти, наприклад, що випливають задачі (див. [1], [5], [19],[21]).
Приклад. При якому значенні параметра k дотична до графіка функції утворить із віссю ОХ кут, рівний , і відтинає від другої чверті трикутник, площа якого дорівнює ?
Рішення. Нехай - координати крапки торкання. Рівняння дотичної до графіка функції в крапці має вигляд
.
За умовою маємо , . Тоді . Рівняння дотичної стає таким: . Знайдемо координати крапки перетинання дотичній з осями.
При .
При .
Тоді, з обліком другої чверті й :
Відповідь.
Приклад. Знайти всі значення параметра , при яких на графіку функції існує єдина крапка з негативною абсцисою, дотична в якій паралельна прямій .
Рішення. Ясно, що кутовий коефіцієнт дотичної, про яку говориться в умові, дорівнює 2. Тоді, якщо - абсциса крапки торкання, те, тобто .
Залишається зажадати, щоб це рівняння мало єдиний корінь. . При рівняння не має змісту, при рівняння рівносильне:
Уведемо заміну . Тоді . Для одиничності кореня необхідно, щоб дискримінант був дорівнює нулю, .
При таких значеннях параметра коренем рівняння є , що, як очевидно, приймає негативні значення.
Відповідь. .
Приклад. Знайти критичні крапки функції .
Рішення. Нагадаємо визначення критичної крапки. Внутрішня крапка області визначення функції, у якій похідна дорівнює 0 або не існує, називається критичної.
Маємо . Оскільки знайдена похідна існує у всіх внутрішніх крапках області визначення функції , те критичні крапки варто шукати серед корінь рівняння , звідки . Залишилося зажадати, щоб .
Відповідь. Якщо , то - критична крапка;
якщо - критичних крапок немає.
4.1 Властивості функцій у задачах, що містять параметр. Функціональний підхід
Учні не завжди вміють свідомо використовувати інформацію про властивості функцій, наприклад, про її множину значень, безперервності, екстремумах і так далі.
Багато школярів лише формально засвоюють поняття похідної, не розуміють її геометричного змісту. Є проблеми й при вивченні понять первісної й інтеграла. Задачі, які наведені нижче, покликані пояснити школяреві зміст всіх цих понять і показати можливості їхнього застосування (див. [14]).
Запропоновані задачі класифіковані залежно від того, яке властивість функції є основним у рішенні.
Область значення функції
Іноді задачі не містять прямої підказки використовувати область значення функції. Така необхідність виникає в ході рішення. [5], [14]
Приклад. Вирішити рівняння .
Рішення. Тому що , те нехай . Одержуємо . Очевидно, при рішення є. Знайдемо корінь , тому що , те розглянемо три випадки:
, тоді
,
,
Відповідь. Якщо , то
;
якщо , то ;
якщо , то .
Приклад. Вирішити рівняння .
Рішення. Розглянемо область припустимих значень . Звідси , . Тоді одержуємо рівносильне рівняння
.
Звідки . Урахуємо два випадки, тому що , те .
. Тоді .
. При , а . Цей випадок ми розглянули. Тоді розглянемо випадок . Звідки . Отже,
Відповідь. Якщо рішень немає;
якщо , ;
якщо , .
Найбільше й найменше значення
При рішенні задач досить корисним виявляється наступна обставина. Якщо в рівнянні , де , , а для всіх , то можна перейти до рівносильної системи рівнянь (див. [5], [14],[19])
Приклад. Вирішити рівняння
.
Рішення. Зробимо перетворення правої частини. . Тоді наше рівняння буде мати вигляд .
Оцінимо ліву й праву частини рівняння . Тоді містимо, що обидві частини рівняння повинні бути дорівнюють одиниці й це нас приводить до системи
Запишемо рівносильну систему
Виразимо х з першого рівняння системи й підставимо в друге рівняння.
рівняння параметр алгебра урок
Рішенням останньої системи будуть
і .
Тоді Відповідь. Якщо , то
Якщо , то .
Приклад. Знайти всі дійсні значення , при яких область визначення функції
збігається із множиною всіх дійсних чисел.
Рішення. Область визначення буде всі дійсні числа, якщо функція буде визначена, тобто завдання полягає в знаходженні значень параметра .
Для цього необхідно вирішити систему
З огляду на умову , рішенням останньої нерівності буде інтервал .
Відповідь. При умова виконується.
Монотонність
Насамперед помітимо, що у випадку зростання (убування) функції має місце рівносиль рівнянь і (див. [5], [14]).
Приклад. Вирішити рівняння
Рішення. Тому що функція монотонна й зростає, а значення праворуч фіксоване, те дане рівняння має не більше одного кореня. Легко помітити, що - корінь.
Відповідь. .
Приклад. Для вирішити рівняння
Рішення. Перепишемо дане рівняння у вигляді
.
Нехай
.
Тоді вихідне рівняння стає таким
Розглянемо функцію . Функція зростає на проміжку , тому що , те . Отже, належать проміжку монотонності функції . Звідси маємо . Тоді , тобто . Зіставимо з вихідним і одержимо .
Для отримане квадратне рівняння має позитивний дискримінант .
Відповідь. .
Зауваження: інший спосіб рішення буде розглянутий нижче (у пункті 4.2.4).
Приклад. Визначити число корінь рівняння .
Рішення. Маємо .
Функція зростає на . Тоді . Вихідне рівняння має не більше одного кореня. При він один.
Відповідь. Якщо , то рівняння має єдиний корінь;
якщо , корінь немає.
Парність. Періодичність. Оборотність
Приклад. Указати всі значення параметра , для яких рівняння має рішення (див. [5], [14]).
Рішення. Користуючись тим, що ця задача вже була вирішена, розглянемо відразу систему
Розглянемо функцію при . Відзначимо, що ця функція оборотна й зворотної до неї є . Тому що функція зростаюча, те загальні крапки лежать на прямій . Одержуємо . Рішення якої нам відомо.
Відповідь. .
Приклад. Вирішити рівняння .
Рішення. Розглянемо функцію й вони взаємно зворотні й зростаючі. Тоді рівносильне вихідному.
Відповідь. .
Приклад. Для вирішити рівняння
.
Рішення. Очевидно, те . Розглянемо функцію . Вона зростає на . Отже, при ця функція оборотна, причому функція є для неї зворотної. Звідси . Помітимо, що ми використовували функцію, що коштує в правій частині рівняння, тому що такий вибір не змінює область визначення первісного рівняння. Рішення ж рівняння наведено було вище.
Відповідь. .
4.2 Графічний метод. Координатна площина (x;y)
Задачі, що містять параметр, вимагають до себе своєрідний підхід, тут необхідно грамотне й ретельне дослідження. Для застосування графічних методів потрібне вміння виконувати додаткову побудову різних графіків, вести графічні дослідження, що відповідають даним значенням параметра.
Рівняння з параметром викликають серйозні труднощі логічного характеру. Кожне таке рівняння - це, по суті, короткий запис сімейства рівнянь. Ясно, що виписати кожне рівняння з нескінченного сімейства неможливо, але, проте, кожне з них повинне бути вирішене. Легше всього це зробити за допомогою графічного подання залежності змінної від параметра .
На площині функція задає сімейство кривих залежних від параметра . Ми буде цікавити за допомогою якого перетворення площини можна переходити до інших кривих сімейства (див. [1], [4], [5], [8], [9], [11],[16]).
Паралельний перенос
Приклад. Для кожного значення параметра визначити число рішень рівняння .
Рішення. Побудуємо графік функції .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Розглянемо . Це пряма паралельна осі ОХ.
Відповідь. Якщо , то рішень немає;
якщо , то 3 рішення;
якщо , то 2 рішення;
якщо , 4 рішення.
Поворот
Відразу слід зазначити, що вибір сімейства кривих не відрізняється одноманітністю (на відміну від самих задач), а точніше він один: у всіх задачах - прямі. Більше того, центр повороту належить прямій.
Приклад. При яких значеннях параметра рівняння має єдине рішення?
Рішення. Розглянемо функцію й . Графік другої функції - це півколо із центром у крапці з координатами й радіусом =1 (мал. 2).
, дуга АВ.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Всі промені минаючі між ОА й ОВ перетинаються в одній крапці, також в одній крапці перетинаються ОВ і ОМ (дотична). Кутові коефіцієнти ОА й ОВ рівні відповідно . Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . Легко перебуває із системи
Отже, прямі сімейства мають із дугою тільки одну загальну крапку при .
Відповідь. .
Приклад. При яких рівняння має рішення?
Рішення. Розглянемо функцію . Досліджуючи її на монотонність довідаємося, що вона зростає на проміжку й убуває на . Крапка - є крапкою максимуму.
Функція ж - це сімейство прямих, що проходять через крапку . Звернемося до малюнка 2. Графіком функції є дуга АВ. Прямі, які будуть перебувати між прямими ОА й ОВ, задовольняють умові задачі. Коефіцієнт нахилу прямій ОА є число , а ОВ -- .
Відповідь. При рівняння має 1 рішення;
при інших значеннях параметра рішень немає.
Гомотетія. Стиск до прямої
Приклад. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння має рівно 8 рішень.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рішення. Маємо . Розглянемо функцію . Перша з них задає сімейство півкіл із центром у крапці з координатами , друге сімейство прямих паралельні осі абсцис.
Число корінь буде відповідати числу 8 тоді, коли радіус півкола буде більше й менше , тобто . Помітимо, що є .
Відповідь. або .
Графічний метод. Координатна площина (x;a)
Взагалі, рівняння, що містять параметр, не забезпечені який-небудь чіткої, методично оформленою системою рішення. Ті або інші значення параметра доводиться шукати на дотик, перебором, вирішуючи велику кількість проміжних рівнянь. Такий підхід далеко не завжди забезпечує успіх у відшуканні всіх значень параметра, при яких рівняння не має рішень, має одне, два й більше рішення. Найчастіше частина значень параметра губляться або з'являються зайві значення. Для того щоб ці останні, доводиться проводити спеціальне дослідження яке може виявитися досить важким.
Розглянемо метод, що спрощує роботу з рішення рівнянь із параметром. Метод полягає в наступному
З рівняння зі змінної x і параметра a виразимо параметр як функцію від x: .
У координатній площині xOa будуємо графік функції .
Розглянемо прямі й виділимо ті проміжки осі Oa, на яких ці прямі задовольняють наступним умовам: a) не перетинає графік функції , б) перетинає графік функції в одній крапці, в) у двох крапках, г) у трьох крапках і так далі.
Якщо поставлено задачу знайти значення x, то виражаємо x через a для кожного зі знайдених проміжків значення a окремо.
Погляд на параметр як на рівноправну змінну знаходить своє відбиття в графічних методах. Таким чином, виникає координатна площина . Здавалося б, така незначна деталь, як відмова від традиційного позначення координатної площини буквами x і y визначає один з методів рішення задач із параметрами.
Подобные документы
Аналіз програми вивчення рівнянь та нерівностей в основній школі, методика їх розв'язування. Теоретичні основи дослідження. Види рівнянь (лінійні, квадратні та зведені до квадратних). Теорема Вієта: приклади розв'язування вправ з використанням теореми.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 09.04.2015- Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах
Педагогічні основи і методи навчання диференціальних рівнянь, його цілі, зміст і форми. Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах. Розробка лекцій, практичних робіт, опорних конспектів за темою.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 15.10.2013 Задачі економічного змісту. Розв’язування квадратних рівнянь. Застосування формули коренів квадратного рівняння та теореми Вієта. Праця учнів за алгоритмом. Завдання на кмітливість та нестандартне мислення. Обчислення кількості можливих комбінацій.
конспект урока [42,1 K], добавлен 21.02.2011- Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах
Диференціальні рівняння як складова вивчення математики в педагогічних вищих навчальних закладах. Рівняння з відокремлюючими змінними. Педагогічна культура вчителя математики. Дидактичні вимоги до академічної лекції. Функції контролю знань студентів.
дипломная работа [810,0 K], добавлен 17.09.2013 Загальні питання та методичні аспекти використання мультимедійних засобів в навчальному процесі вивчення математики. Методика навчання розв'язанню логарифмічних рівнянь та нерівностей. Фрагменти уроків з використанням мультимедійної дошки та проектора.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 14.06.2010Особенности развития учащихся среднего школьного возраста. Роль математики в формировании и развитии интелектуальных качеств личности. Содержание "линии задач с параметрами" в программе математики средней школы на примере учебников А.Г. Мордковича.
дипломная работа [46,8 K], добавлен 25.04.2011Шляхи організації групової навчальної діяльності. Ігри на уроках математики в сучасній школі. Класики педагогіки про значення гри у навчанні і вихованні. Вимоги до ігрової діяльності учнів на уроках. Урок-гра з теми: "Квадратні рівняння і не тільки".
курсовая работа [380,7 K], добавлен 20.06.2012Застосування інтерактивних методів навчання при вивченні рівнянь та нерівностей у курсі алгебри 7 класу. Сучасний стан використання інтерактивних методів на уроках алгебри у школі. Інтерактивні групові методи навчання та рекомендації щодо їх застосування.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 21.11.2011Навчальні комп’ютерні ігри на уроках математики в початковій школі. Розвиток пізнавальних процесів молодших школярів на уроках образотворчого мистецтва за допомогою комп'ютерного навчання. Програми "Графічний редактор для молодших школярів" і "Лого".
дипломная работа [54,4 K], добавлен 19.07.2009Проблема формування самостійності мислення учнів, спроможності отримувати, аналізувати інформацію і приймати адекватні рішення. Теоретичне обгрунтування методичної системи організації самостійної діяльності учнів на уроках математики в початкових класах.
дипломная работа [146,4 K], добавлен 20.10.2009
