Рішення рівнянь з параметрами на уроках математики

Описаний метод дуже наочний. Крім того, у ньому знаходять застосування майже всі основні поняття курсу алгебри й почав аналізу. Задіється весь набір знань, пов'язаних з дослідженням функції: застосування похідній до визначення крапок екстремуму, знаходження межі функції, асимптот і т.д. (див. [1], [5], [23]).

Приклад. При яких значеннях параметра рівняння має два корені?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рішення. Переходимо до рівносильної системи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Із графіка видно, що при рівняння має 2 корені.

Відповідь. При рівняння має два корені.

Приклад. Знайдіть множину всіх чисел , для кожного з яких рівняння має тільки два різних корені.

Рішення. Перепишемо дане рівняння в наступному виді:

Тепер важливо не упустити, що , і - корінь вихідного рівняння лише за умови . Оборотний увага на те, що графік зручніше будувати на координатній площині . На малюнку 5 шуканий графік - об'єднання суцільних ліній. Тут відповідь «зчитується» вертикальними прямими.

Відповідь. При , або , або .

5. Програма факультативних занять на тему «Методи рішення рівнянь, що містять параметр»

Курс краще вивчати в 11 класі, тому що рівняння такого виду містять завдання підсумкової атестації. Курс розрахований на систематизацію методів рішення рівнянь, що містять параметр і їхню класифікацію. Всі методи, розглянуті в даній роботі, розглядати на факультативах не має змісту. Необхідно розглянути основні методи рішення найбільше зустрічаються часто на випускних і вступних іспитах, а саме, методи рішення квадратних рівнянь, лінійних, аналітичний і графічний методи й методи рішення рівнянь методом дослідження області значення функції.

Мети факультативу:

познайомити учнів з деякими методами рішення рівнянь, що містять параметр;

показати застосування різних методів при рішенні рівнянь одного типу;

формувати вміння бачити раціональний метод для рішення конкретних типів рівнянь, що містять параметр;

формувати логічне мислення;

формувати наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість через рішення складних задач;

розвивати математичну мову із властивої їй стислістю, точністю й лаконічністю;

підготувати учнів до навчання у Вузі.

Планування:

Даний курс розрахований на 16 годин. Заняття проводяться по друга година. У ці годинники не входить час, надане для перевірки знань і вмінь і повторення.

Короткий зміст занять

Заняття № 1.

Тема: Параметр і рішення лінійних рівнянь і найпростіших квадратних рівнянь із параметром.

Воно проведено й розглянуте в досвідченому викладанні.

Заняття № 2.

Тема: Квадратні рівняння. Дискримінант. Старший коефіцієнт.

Ціль заняття: познайомити учнів з методом дослідження дискримінанта й старшого коефіцієнта квадратних рівнянь, що містять параметр.

Література для вчителя: див. [1],[6],[18],[21],[22].

Література для учня: див. [21],[22]

Короткий зміст: щодо знака дискримінанта й старшого коефіцієнта визначити кількість корінь і знайти їх, визначити при яких значеннях параметра функція стосується осей координат. Використання таблиці № 1 (стор. 38) при рішенні рівнянь.

Заняття № 3.

Тема: Квадратні рівняння. Розташування корінь.

Ціль заняття: навчити знаходити місце розташування корінь рівняння щодо деякої крапки або двох крапок.

Література для вчителя: див. [1],[6],[18],[21],[22].

Література для учня: див. [21],[22]

Короткий зміст: використовуються теорема Виета (корінь рівняння задовольняють системі ) і вершина параболи, для визначення розташування корінь щодо деяких крапок координатної осі.

Заняття № 4.

Тема: Аналітичний метод. Метод «розгалужень».

Ціль заняття: познайомити учнів з основним методом рішення рівнянь, що містять параметр.

Література для вчителя: див. [1] , [5], [6], [7], [14]

Література для учня: див. [3]

Короткий зміст: розгляд різних значень, прийнятих параметром. Спрощення рівняння й приведення рівняння до добутку багаточленів або виділення повного квадрата. Складання системи логічних проходжень, при яких використовується один з вище наведених способів спрощення рівняння.

Заняття № 5.

Тема: Аналітичний метод. Параметр як рівноправна змінна.

Ціль заняття: показати учням, що рівняння, що містять параметр, можна вирішувати не тільки щодо змінної, але й щодо параметра.

Література для вчителя: див. [1] , [5], [6], [7], [14]

Література для учня: див. [3]

Короткий зміст: рішення рівнянь щодо параметра. Рішення рівнянь, що не містять параметра, але використання методів рішення рівнянь, що містять параметр. Наприклад: рішення рівняння четвертого ступеня не щодо змінної, а щодо числа (п.4.1.4).

Заняття № 6.

Тема: Метод дослідження області значення функції.

Ціль заняття: навчити учнів використовувати область значення функції.

Література для вчителя: див. [1] , [15]

Література для учня: див. [15]

Короткий зміст: якщо необхідно знайти, при яких значеннях змінної дві функції рівні, а перетинання їхніх областей значень є одне значення, те обидві функції можна дорівняти до цього значення й знайти значення змінної ( і , а , те рівняння рівносильне системі ).

Учні при вивченні області значення найчастіше не розуміють її практичного значення. Це заняття покаже їм, як можна використовувати дану властивість функцій.

Заняття № 7.

Тема: Графічний метод. Координатна площина (x, y).

Ціль заняття: навчити використовувати, при рішенні рівнянь, координатну площину.

Література для вчителя: див. [1] , [4], [9], [11],[19],[24]

Література для учня: див. [11],[24]

Короткий зміст: Основою рішення рівнянь даним методом є побудова графіків функцій правої й лівої частин і розгляд кількості крапок перетинання залежно від значення параметра. Тому задачі розв'язувані даним методом мають свою специфіку, а саме, розглядаються задачі на знаходження кількості корінь рівняння при різних значеннях параметра.

Заняття № 8.

Тема: Графічний метод. Координатна площина (x, а).

Ціль заняття: навчити використовувати, при рішенні рівнянь, координатну площину (x, а); показати особливості рішення за допомогою цієї площини.

Література для вчителя: див. [1] , [9], [19]

Література для учня: див. [19]

Короткий зміст: на відміну від попереднього заняття тут використовується координатна площина (x, а) при рішенні рівнянь, що містять параметр.

Досвідчене викладання.

Досвідчене викладання здійснювалося під час проходження практики на V курсі. Практика проходила в 10 класі 28 школи. Було розроблено й проведене два заняття на тему «Параметр і рішення лінійних і найпростіших квадратичних рівнянь із параметром».

Мети занять:

увести поняття параметра;

навчити вирішувати лінійні й найпростіші квадратичні рівняння з параметром;

повторити методи рішення квадратних рівнянь;

навчити мислити логічно;

навчити бачити особливі значення параметра, яким відповідають приватні рішення даного рівняння;

Література для вчителя: див. [1], [3], [16]

Література для учня: див. [3], [16]

Розробка факультативного заняття на тему: «Параметр і рішення лінійних рівнянь і найпростіших квадратних рівнянь із параметром».

Хід заняття.

Для того щоб зрозуміти, що таке параметр розберемо кілька простих прикладів, за допомогою яких ми й спробуємо зрозуміти зміст параметра.

Розглянемо рівняння (1).

Задамо собі питання, як ми будемо вирішувати це рівняння. При діленні на невідому величину необхідно врахувати, що ця величина може бути дорівнює нулю. Розглянемо випадок коли .

При одержуємо наступне рівняння , що не має рішення. Якщо ж , то ми можемо розділити на a і одержимо .

Тепер запишемо відповідь, але потрібно враховувати те, що ми розглядали різні значення невідомої а й тому відповідь потрібно записувати для всіх випадків.

Відповідь. При ;

При немає корінь.

Наступне рівняння (2) також як і (1) вимагає розгляду випадків, коли коефіцієнт при дорівнює чи нулю ні.

Рішення.

, тобто або . При першому значенні ми одержуємо рівняння , у якого рішень ні, а при другому значенні одержуємо рівняння , рішенням якого є вся множина дійсних чисел.

Якщо , то ми можемо розділити на коефіцієнт при х і одержимо .

Запишемо відповідь.

Відповідь. Якщо , то ;

Якщо , то немає рішення;

Якщо й , то .

Далі розглянемо рівняння

(3).

Рішення.

Вирішуємо це рівняння методом угруповання

і одержуємо

Відповідь. .

У цьому рівнянні ми не розглядали різні значення, прийняті невідомої а, тому що при рішенні нам не доводилося ділити на а.

Вирішуючи ці три рівняння, ми мали справу з рівняннями, що містять параметр, де - це параметр. Отже, давайте спробуємо дати визначення параметру. Ми довідалися про параметр, вирішуючи ці три рівняння, що параметр є невідома, тому що він (параметр) приймав різні значення, але, з іншого боку, ми вирішували ці рівняння, приймаючи параметр за відому величину. Отже, параметр - це невідома, при деяких значеннях якої необхідно розглядати й вирішувати приватні рівняння. Ці значення називаються особливими. У першому рівнянні особливим значенням параметра було значення невідомої а, рівне нулю, у другому - рівне 1 і -1, а в третьому особливих значень немає.

Зараз розглянемо ще два рівняння, вирішити які пропонується учнем.

.

Рішення першого:

Якщо , то рішень ні, тому що рівняння не має змісту.

Якщо , то

тому що ділення на вираження з параметром ні, те додатково розглядати різні значення, прийняті параметром не потрібно. Тобто .

Відповідь. Якщо , то рішень немає;

Якщо , то .

Рішення другого:

Для початку знайдемо, які значення може приймати параметр. Для цього необхідно вирішити систему , рішенням якої є проміжок .

Тепер вирішуємо саме рівняння. У ході рішення в нас знову немає необхідності розглядати які-небудь додаткові умови.

Одержуємо, що .

Для тих значень параметра, які не ввійшли в область значень параметра рівняння не має корінь.

Відповідь. Якщо , то ;

Якщо , то корінь немає.

Для рівнянь, у рішенні яких розглядаються різні значення параметра, будемо користуватися наступним алгоритмом рішення.

Алгоритм.

Знаходимо область значень параметра.

Для тих значень параметра, які входять в область:

Знаходимо особливі значення параметра, при яких, що містить параметр вираження, на яке відбувається ділення, звертається в 0. Для них розглядаємо рівняння, які вийшли при підстановці значень параметра.

Вирішуємо рівняння, крім цих значень.

Для тих значень параметра, які не входять в область - корінь немає.

Збираємо всі значення параметра й відповідні їм значення невідомої записуємо відповідь.

Далі вирішимо, використовуючи алгоритм, що випливає рівняння .

Рішення. Це лінійне рівняння. Знайдемо область значення прийняті параметром - .

Для . Розглянемо , «нульове» значення. Одержуємо рівняння , що не має рішення. Якщо , то вирішуємо рівняння . Рішенням, якого є .

Для - рішень немає.

Відповідь. Для ;

Для - корінь немає.

Отже, підіб'ємо підсумок. При рішенні рівнянь, що містять параметр, існують особливі способи рішення. Головною відмінністю є те, що при рішенні відбувається перебір значень параметра й розгляду для цих значень відповідного значення невідомої.

Домашнє завдання.

Вирішити рівняння:

.

.

.

Висновки: Під час проведення занять було виявлено, що учні не мають ні найменшого уявлення про те, що таке параметр і зустрілися на практиці з рівняннями, що містять параметр, уперше. Це ускладнило мою роботу, що полягала в тім, щоб дати учням образне поняття про параметр, а так само загальне уявлення про те, як вирішуються лінійні й найпростіші квадратні рівняння, що містять параметр.

Висновок

При проведенні дослідження були вирішені наступні задачі:

проведено аналіз діючих шкільних підручників по алгебрі й початкам аналізу з метою виявлення використання параметра й методів рішення рівнянь із параметром. Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:

у кожному проаналізованому підручнику завдання, що містять параметр, використовується для перевірки знань і вмінь, придбаних під час вивчення тієї або іншої теми. Пропонуються завдання творчого характеру, що вимагають від застосування, що вчиться, отриманих знань і вмінь у нестандартних умовах;

у жодному з розглянутих підручників не дається чіткого визначення параметра;

у всіх підручниках завдання однотипні;

виділено класи рівнянь, що містять параметр, і загальні їхні методи рішення;

показано, що методи, викладені в даній роботі, застосовні для рішення всіх видів рівнянь, що містять параметр. Тригонометричні рівняння, що містять параметр, при проведенні даного дослідження спеціально не були виділені. Для даного класу рівнянь існує велика кількість специфічних методів рішення. Дослідженню яких може бути присвячена окрема робота;

всі методи рішення рівнянь, що містять параметр, розглядаються на факультативних заняттях, але можливо так само й розгляд деяких методів рішення рівнянь, що містять параметр, в основний час вивчення курсу алгебри й почав аналізу, наприклад, методу рішення квадратних рівнянь із параметром. З огляду на, що рівняння, що містять параметр, зустрічаються вже в 7 класі, можна розбити всі методи рішення рівнянь, що містять параметр, на групи, які можливо розглянути під час навчальних занять;

розроблено програму факультативні заняття на тему «Методи рішення рівнянь, що містять параметр»;

у ході дослідження також було здійснено досвідчене викладання.

Література

Основна література

1. Горнштейн, П.И. Задачі з параметрами [Текст] : учеб. посібник/ П.І. Горнштейн, В.Б. Полонський, М.С. Якир - К, 2002.

2. Дорофеев, Г.В. Квадратний тричлен у задачах. - Львів, 2007

3. Здоровенко, М.Ю. Учимося вирішувати задачі з параметрами: раціональні рівняння й нерівності. К., 1999.

4. Івлєв Б.М. Задачі підвищених труднощів по алгебрі й початкам аналізу для 10-11 класів. - К., 2007.

5. Ястребинецкий Г.А. Задачі з параметрами. - К., 2009

Додаткова література

1. Горбачов, В.І. Загальні методи рішення рівнянь і нерівностей з параметрами. - К., 2003

2. Дегтяренко, В.А. Три рішення однієї задачі з параметром. - К., 2005

3. Джиоев, Н.Д. Знаходження графічним способом числа рішень рівнянь із параметром. - К., 2005

4. Євсєєва, А.И. Рівняння з параметрами. - К., 2003

5. Епифанова, Т.Н. Графічні методи рішення задач із параметрами. - К., 2004

6. Зубів, А.Б. Використання симетрії при аналізі систем з параметрами. - К., 20002

Размещено на Allbest.ru