Методика изучения алгебраических уравнений с использованием исторических сведений в курсе средней школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Знаменитый русский математик Н.И. Лобачевский говорил о том, что «решение уравнений составляло всегда главный предмет алгебры». Значение теории уравнений состоит в том, что она не только служит теоретической основой для познания естественных законов природы, но и применяется в конкретных практических целях. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. С другой стороны при изучении любой темы школьного курса математики уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

Исключительное место в изучении уравнений занимают квадратные уравнения, которые являются одним из основных типов алгебраических уравнений изучаемых в школьном курсе математики и являются специальным объектом изучения в курсе математики основной школы. От степени усвоения данной темы и от умения решать квадратные уравнения зависит дальнейшее изучение остальных типов уравнений, так как квадратные уравнения широко применяются при решении тригонометрических, показательных, логарифмических и других типов уравнений, изучаемых в школьном курсе математики.

Однако при освоении этого материала многие учащиеся сталкиваются с различными трудностями и недостаточно осознанным восприятием материала, не смотря на его кажущуюся простоту. Решить эту проблему может помочь, в том числе и использование исторических сведений на уроках и внеклассных занятиях по математике.

Историко-генетический метод позволяет лучше понять учащимся особенности развития элементарной алгебры как науки об уравнениях, способствует повышению интереса к математике, её более глубокому пониманию.

Данной проблемой занимались многие выдающиеся и известные учёные: Бурова И.А., Бабынин В.В., Гниденко Б.В., Дробышев Ю.А., Колмогороа А.Н. и многие другие.

Использование исторических сведений является мощным средством формирования положительной мотивации к изучению математики и оживляет изложение системного курса математики.

С учётом отмеченного был сделан выбор темы исследования, проблема которого заключается в использовании исторических сведений на уроках математики для эффективного и осознанного усвоения учебного материала и нехваткой времени, выделяемого на изучение данной темы.

Объектом исследования работы является процесс изучения алгебраических уравнений в школьном курсе математики.

Предметом - использование исторических сведений при изучении алгебраических уравнений на уроках математики.

Цель работы: раскрытие особенностей методики использования исторических сведений при изучении алгебраических уравнений в курсе основной школы.

В основу исследования положена гипотеза: если при изучении алгебраических уравнений в основной школе будут использоваться исторические сведения по математике, то это будет способствовать лучшему пониманию и осознанию изучаемого материала, расширению умственного кругозора учащихся и повышению интереса к математике.

В соответствии с проблемой, темой, объектом и предметом исследования поставлены следующие задачи:

· изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений;

· проанализировать школьные учебники и выделить в них место алгебраических уравнений;

· изучить историю развития уравнений;

· выявить роль истории математики при достижении целей обучения;

· изучить различные способы решения уравнений, изучаемых в курсе основной школы;

· разработать уроки и внеклассные занятия по данной теме.

Методологической основой исследования являются важнейшие положения методологии педагогики: принципы и методы преобразования педагогической действительности, целостный педагогический подход к воспитанию, образованию, обучению, познание сущности историко-педагогических явлений на основе анализа положения дидактики о системе принципов обучения, проблем системно-комплексного подхода к обучению математики.

Для решения поставленных задач и проверки исходной гипотезы в работе использован комплекс методов исследования: историзм, сравнение, анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы по данной теме, отбор учебного материала для использования на факультативных занятиях.

1. Технология изучения алгебраических уравнений в курсе математики основной школы

1.1 Содержательные линии изучения алгебраических уравнений в курсе математики основной школы и их пропедевтика

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач. [26, 104]

Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причём ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идёт о проблемах школьного математического образования. Можно выделить главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

· средства решения текстовых задач;

· особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;

· формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию-линию уравнений.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развёртывания линии уравнений в школьном курсе математики.

1. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики. Данный аспект линии уравнений во многом обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. При решении текстовых задач ведущим аппаратом является математическое моделирование, а одним из средств построения модели и решения ситуации в её рамках - уравнения и их системы.

Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах:

· выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, и их систем;

· изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом.

Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений.

3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь - двусторонняя. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений.

Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b-неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом. [23, 34]

Линия уравнений тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние, как на содержание линии уравнений, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений и их систем.

Изучение и использование преобразований уравнений и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры.

Таким образом, владение содержанием линии уравнений позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен. В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

Основные понятия линии уравнений.

Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, чтобы оно было одновременно и строгим с формальной точки зрения, и доступным для учащихся.

Характеризуя уравнение, нужно учитывать разные стороны этого понятия. Уравнение представляет собой некоторую запись, составленную по определённым правилам (синтаксический подход). Заменяя в записи буквы (переменные) конкретными числами, переходят к верным или неверным равенствам (логический подход). Стоящие в левой и правой частях уравнения, выражения задают функции, значения которых связаны знаком «=» (функциональный подход). Задание «решить уравнение» предполагает отыскание всех его корней (целевой подход).

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения, существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию.

Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 17 рублей. Конверт дешевле открытки на 5 рублей. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи x + (x - 5) = 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого сюжета вводится и понятие корня уравнения. Указанный способ введения понятия уравнения соответствует прикладному аспекту понятия уравнения, отражённому в следующем определении: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство».

Существует другой вариант определения уравнения: «Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения» [35, 270]. Это определение характеризует уравнение как предикат особого вида, а корень уравнения - число из множества истинности этого предиката. Термин «уравнение» несёт в себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает смысловой компонент.

Можно встретить ещё один вариант определения, роль которого проявляется при изучении графического метода решения уравнений: «Уравнение - это равенство двух функций». Однако во многих учебниках алгебры этот компонент не кладётся в основу определения уравнения.

В методике математики встречается мнение, что не обязательно формулировать определение понятия уравнения. Достаточно, если учащиеся будут понимать, что значит «решить уравнение». Различные варианты определения термина «решить уравнение» отличаются лишь наличием или отсутствием термина «множество».

Связь основных понятий линии уравнений отражена на рисунке 1.

Рис. 1.

Классификация уравнений тесно связана с конкретными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. В соответствии с этим выделяются определенные виды уравнений (рис. 2).



Рис. 2.

Уравнение f(x) = алгебраическим, если f(x) = - алгебраические функции;

трансцендентным, если хотя бы одна из функций f(x) = трансцендентная;

рациональным алгебраическим, если алгебраические функции f(x) = рациональные;

иррациональным алгебраическим, если хотя бы одна из алгебраических функций f (x)= иррациональная;

целым рациональным, если функции f(x) = целые рациональные;

дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций f(x) = дробная рациональная.

Уравнение Р(х) = 0, где Р(х) - многочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени), квадратным (второй степени), кубичным (третьей степени), четвёртой степени и вообще n-ой степени, если многочлен Р(х) имеет соответственно первую, вторую, третью, четвёртую и вообще n-ую степень.

В процессе изучения уравнений используются логические средства, наиболее важным среди них является понятие равносильности.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения учебные пособия можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобразований явно основано на введении и изучении понятия равносильности; ко второй - те, в которых применение равносильных преобразований предшествует определению понятия равносильности. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

В школьном курсе математики можно выделить три этапа, связанных с рассмотрением этого вопроса. Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами решения отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые преобразования получают индуктивное обоснование. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения чаще заменяются такими, где равносильность используется, но сам термин не вводится.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и сопоставление его теоретического содержания с правилами преобразований, которые вводятся на его основе.

На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развёртывание и общей теории, и теории отдельных классов уравнений. Это характерно для старших классов при изучении курса «Алгебра и начала анализа».

В процессе решения уравнений также используется понятие логического следования, которое изучается позже понятия равносильности и является дополнением к нему. Логическое следование в основном используется тогда, когда не удаётся найти вариант равносильного преобразования.

Выделяются три основных типа преобразований.

1. Преобразование одной из частей уравнения.

Основой преобразований данного типа являются тождественные преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и др.).

Преобразование одной из частей уравнения используют раньше всех других преобразований уравнений, это происходит ещё в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.

2. Согласованное изменение обеих частей уравнения.

Преобразования данного типа сравнительно многочисленны. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений. На основе основных свойств числовых равенств формулируются основные свойства равенств с одним неизвестным. (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение (деление) на одно и то же число и т.д.).

3. Преобразования, изменяющие логическую структуру

§ преобразования, осуществляемые на основе свойств арифметических операций (переход от уравнения к совокупности уравнений, переход от уравнения к системе, почленное сложение, умножение, деление уравнений и тд.).

§ преобразования, осуществляемые при помощи логических операций (выделение из системы одного из компонентов, замена переменных).

В итоге изучения материала линии уравнений учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных задач, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.

Уравнения появляются уже в начальной школе. Неизвестной величиной служит один из компонентов четырёх арифметических действий. Способ решения этих уравнений основан на известных учащимся зависимостях между результатом и компонентами действий.

При изучении математики в 5 - 6 классах представления учащихся о решении уравнений значительно расширяются.

Решаемые на основе связи между компонентами действий уравнения приобретают более сложную, вложенную структуру ((5,1x - 3,4): 4 = 1,7). Появляется новый тип уравнений, записанных в виде равенства двух частных и с ним - задание «решить пропорцию», выполняемое на основе связи между членами пропорции. Становятся предметом изучения уравнения, имеющие два корня или ни одного. Уравнение с неизвестным под знаком модуля - первое предусмотренное программой обучения уравнение, которое может иметь отличное от 1 количество корней. Изучение степени натурального числа даёт обширный материал для решения уравнений подбором (x2 = 81, 5x = 125). Знакомство с отрицательными числами позволяет переносить члены из одной части уравнения в другую, заменяя их знаки на противоположные.

С началом систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения линейных и квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Умение решать линейные и квадратные уравнения служит базой для решения других типов уравнений (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Время, отводимое на изучение уравнений и неравенств, составляет около трети всего времени на изучение алгебры в основной школе. Значимость этого материала сохраняется и при переходе в старшую школу.

Таким образом, существуют различные трактовки понятия уравнения: равенство содержащее неизвестное число; равенство с переменной; равенство двух функций. Уравнения классифицируются по виду функций, изучаемых в школе.

В школьных учебниках равносильные преобразования используются при решении уравнений после введения понятия равносильности. При решении уравнений используют либо согласованное изменение обоих из частей, либо согласованное изменение обоих частей, либо преобразования, изменяющие их логическую структуру.

1.2 Сравнительный анализ учебников по теме: «Решение уравнений в радикалах»

уравнение математика радикал внеклассный

К уравнениям в радикалах относятся квадратные (2-ой степени), кубические (3-ей степени), 4-ой степени и вообще уравнения n-ой степени.

В настоящее время уравнения в радикалах начинают изучаться с 8 класса. Из всех типов уравнений в радикалах в курсе основной школы изучаются квадратные уравнения. Данной теме отводится особое место и характерна большая глубина изложения, так как умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем. В 8 классе в рассмотрение также вводится и один из видов уравнений 4-ой степени - биквадратные уравнения, которые сводятся к квадратным. Кубические уравнения в курсе математики основной школы не рассматриваются, методы их решения изучаются уже в 11 классе. В разных вариантах тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, на изучение темы «Квадратные уравнения» отводится 22 часа; при этом в основном ставятся следующие цели:

- ввести понятие квадратного уравнения и его корней;

- определить какое квадратное уравнение является полным, неполным, приведённым;

- изучить формулы корней квадратного уравнения;

- изучить формулы корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом;

- изучить теорему Виета и научиться применять её к решению квадратных уравнений;

- рассмотреть биквадратные уравнения.

Проанализируем с точки зрения реализации вышеперечисленных целей те учебники, которые наиболее распространенны в общеобразовательных школах, а именно учебники Алимова Ш.А., Мордковича А.Г.

Прежде всего, отметим некоторые особенности этих учебников как методических пособий в целом, а не по данной теме. Данные учебники отвечают требованиям обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет свои особенности. Учебник [14], например, отличается более доступным для школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно и достаточно живым литературным языком, наличием большого числа примеров с подробными решениями. Учебник [1] по сравнению c учебником [14] изобилует большим количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это, несомненно, развивает математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной стороны этого учебника, то, по моему мнению, он больше подойдет для обучения математике в профильных (нематематических) классах.

В учебнике [14] понятие квадратного уравнения вводится посредством явного определения. Здесь же вводится квадратное уравнение, которое называется приведённым, неприведённым, полным и неполным. В учебнике [1] понятие квадратного уравнения вводится после рассмотрения задачи, для решения которой составляется уравнение, являющееся квадратным. Для неполных квадратных уравнений в данном учебнике отводится отдельный параграф, а приведённые квадратные уравнения вводятся при рассмотрении теоремы Виета.

В учебнике [14] определение приведённого квадратного уравнения формулируется так: «Квадратное уравнение называют приведённым, если его старший коэффициент равен 1», в учебнике [1] иначе: «Квадратное уравнение вида x2 + px + q=0 называется приведённым». Первое определение является более доступным и простым для запоминания.

В учебнике [14] вводится определение корней квадратного уравнения и что значит решить квадратное уравнение, в учебнике [1] данные определения отсутствуют.

В учебнике [14] квадратные уравнения изучаются после изучения квадратичной функции. Как известно, уравнения тесно связаны с конкретными функциями, поэтому к изучению квадратных уравнений учащиеся подготовлены, материал является более доступным и усваивается намного легче. В учебнике [1] квадратные уравнения рассматриваются перед изучением квадратичной функции, поэтому учащимся труднее усвоить материал по данной теме.

И в учебнике [1], и в учебнике [14] сначала рассматриваются решения неполных квадратных уравнений, что потом облегчает изучение полных квадратных уравнений. В учебнике [14] рассматриваются случаи, когда неполное квадратное уравнение имеет: два корня, один корень, не имеет корней. Вывод о том, что «квадратное уравнение ax2 + bx + c =0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней» следует из расположения параболы (график квадратичной функции) по отношению к оси x. В учебнике [1] данные обоснования отсутствуют.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В учебнике [14] дискриминант вводится следующим образом: «Обычно выражение b2 - 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0». В учебнике [1] определение дискриминанта не вводится, что является его недостатком.

В учебнике [14] перед выведением формул корней квадратного уравнения рассматриваются выше упомянутые случаи, когда D < 0, D = 0, D > 0 и формулируются как теоремы и доказываются:

Теорема 1. Если D < 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней.

Теорема 2. Если D = 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле .

Теорема 3. Если D > 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: , .

В конце параграфа приводится алгоритм решения квадратного уравнения. Изложение материала таким способом способствует лучшему его пониманию и усвоению.

В учебнике [1] данные утверждения отсутствуют, лишь имеется небольшое обоснование того, что «уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней, если b2 - 4ac < 0». Т. е. формула корней квадратного уравнения в данном пособии выводится без исследования наличия корней у квадратного уравнения. Это относится к недостаткам этого учебника.

Также преимуществом учебника [14] является рассмотрение ещё одной формулы корней квадратного уравнения, когда b есть чётное число: «корни квадратного уравнения ax2 + 2kx + c = 0 можно вычислять по формуле

Достоинством данной формулы является то, что в квадрат возводится не число b, а его половина, вычитается из этого квадрата не 4ac, а просто ac, в знаменателе содержится не 2a, а просто a.

В учебнике [1] данный материал не рассматривается вообще, что является его отрицательной чертой.

Важным моментом при решении квадратных уравнений является теорема Виета, которая во многом упрощает их решение. В учебнике [1] данная теорема формулируется для приведённого квадратного уравнения с доказательством:» Если x1 и x2 - корни уравнения x2 + px + q=0, то справедливы формулы x1 + x2 = - p, x1• x2 = q, т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену».

Также формулируется и доказывается теорема обратная теореме Виета.

В учебнике [14] теорема Виета и обратная ей формулируется и доказывается сначала для полного квадратного уравнения:

Теорема Виета. «Пусть x1, x2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Тогда сумма корней равна , а произведение корней равно :

x1 + x2 = ,

x1• x2 = ».

А затем, формулируется и для приведённого квадратного уравнения: «x1 + x2 = - p, x1• x2 = q, т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену». В учебнике [14] и в учебнике [1] теорема Виета распространяется на случай нулевого дискриминанта, при этом условливаются, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

В итоге можно сделать вывод, что материал, относящийся к теореме Виета, в учебнике [14] рассмотрен более детально и доступно.

И в учебнике [14] и в учебнике [1] формулируется и доказывается ещё одна важная теорема: «Если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то при всех x справедливо равенство ax2 + bx + c = a (x - x1) (x - x2)» (разложение квадратного трёхчлена на множители).

В учебнике [14] приводится два способа решения квадратного уравнения: с помощью разложения на множители и выделением полного квадрата. Данные способы вводятся на конкретных примерах. В учебнике [1] рассматривается только способ выделения полного квадрата.

В учебнике [1] рассматриваются квадратные уравнения с комплексным неизвестным, как дополнительный более сложный материал.

Что касается биквадратного уравнения, то и в одном и другом учебнике это понятие вводится одинаково. Например, в [1]: «Уравнение ax4 + bx2 + c = 0, где a ? 0, называется биквадратным. Заменой x2 = t это уравнение сводится к квадратному». Рассматриваются конкретные примеры решения биквадратных уравнений.

Что касается исторических сведений по данной теме, то и в одном и другом учебнике они отсутствуют. Это является их отрицательной чертой.

Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Квадратные уравнения».

Система задач в учебнике [1] содержит в себе задания на нахождение количества корней квадратного уравнения: «Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет 2x2 + 5x - 7 = 0», на нахождение корней квадратного уравнения различными способами, например: «Методом выделения полного квадрата решить уравнение x2 - 4x -5 = 0». В учебнике имеются также устные задания и задания повышенной трудности. Есть задания на доказательство: «Доказать, что уравнение x2 + px + 1 = 0 при любом p имеет два различных корня», текстовые задачи, которые решаются с помощью квадратных уравнений. Система задач в данном учебнике имеет недостаточный объём, в некоторых параграфах присутствует однообразность упражнений.

Наиболее же полноценной из всех является система задач в учебнике [14]. В данном пособии представлено много заданий на формирование понятия квадратное уравнение, например, «составьте квадратное уравнение, у которого: а) старший коэффициент равен 8, коэффициент при x равен 5, свободный член равен 1». В учебнике [14] имеется много текстовых задач, для решения которых составляется квадратное уравнение, также имеется достаточное количество заданий повышенной трудности. Все задания разнообразны и интересны, что повышает мотивацию учащихся к изучению данной темы. Наличие отдельного задачника к учебнику [14] позволило дать в нем полноценную по объему систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий и повторения. Все задания дифференцированы по блокам, отдельно выделены даже устные и полуустные упражнения, что дает возможность более рационального использования учебного времени.

Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения темы «Квадратные уравнения» в курсе алгебры основной школы является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича.

1.3 Особенности методики изучения решения алгебраических уравнений в школьном курсе математики

При изучении материала в линии уравнений необходимо учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающих обучение. Первый процесс - постепенное возрастание количества классов уравнений и приёмов их решения, различных преобразований, применяемых в решении. За счёт увеличения объёма материал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс - установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление всё более общих классов, закрепление обобщённых типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений.

В результате взаимодействия этих процессов изученный материал должен предоставляться учащимся в компактном виде, не затрудняющем, а, наоборот, облегчающем усвоение нового. Необходимость установления такого взаимодействия обусловливает применяемые в линии уравнений методические приёмы, в частности распределение материала обучения по ступеням.

Выделим четыре основные ступени:

· независимое изучение основных типов уравнений;

· постепенное расширение количества изученных классов уравнений;

· формирование приёмов решения и анализа уравнений, имеющих широкую область применимости;

· синтез материала линии уравнений.

Среди всех изучаемых в курсе математики типов уравнений выделяется сравнительно ограниченное количество их основных видов. К ним относятся: линейные уравнения, квадратные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные уравнения.

Эти классы изучаются с большей тщательностью, для них указывается выполнение алгоритмов решения, указывается форма, в которой должен быть записан ответ.

Введение каждого нового основного класса уравнений сопровождается введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа. Например, квадратичные иррациональности (a + b; a, b, c Q) связываются с решениями квадратных уравнений; логарифмические выражения появляются при решении показательных и логарифмических уравнений. Такое распределение числовых областей в дальнейшем сохраняется на протяжении всего школьного курса математики. Но это не следует считать недостатком методики изучения уравнений, поскольку формальные признаки в записи чисел до некоторой степени помогают учащимся ориентироваться в материале и контролировать получаемый результат.

Когда материал усвоен, целесообразно изредка предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные для данного класса уравнений ответы. Например, подавляющее большинство заданий на решение квадратных уравнений содержит в данных только рациональные числа; при повторении можно предложить и такое задание: x2 + 21x + = 0.

Каждый из основных классов уравнений требует проведения исследования зависимости результата от коэффициентов, поскольку множества решений у заданий, входящих в один и тот же класс могут существенно различаться.

Каждый из классов уравнений имеет чёткую, стандартную форму записи. Например, уравнение x2 + x - 1 = 0 - квадратное уравнение, а уравнение x2 + x = 1, равносильное первому, квадратным не является.

Смысл выделения основных классов состоит именно в том, что за счёт стандартизации формы задания «общего вида» можно записать ответы к заданиям формулой. В результате длительного развития, как элементарной алгебры, так и методики преподавания математики было выделено несколько типов уравнений, сведение которых к основным классам особенно просто. Именно эти «вторичные классы» изучаются сразу вслед за изучением основных, причём в тесном взаимодействии с ними.

Классификация «вторичных» классов уравнений обширнее, чем основных. Она включает, например, уравнения первой степени, биквадратные, алгебраические, иррациональные уравнения. По мере введения этих классов, установления соответствий между ними и основными классами возникают взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения процесса решения. Некоторые вторичные классы находятся между собой в отношении включения. Например, класс алгебраических уравнений шире класса биквадратных. Тем не менее, далеко не всегда меньший класс теряет свою индивидуальность в большем; он может сохраняться, если существуют методы решения, специфические для него. В частности, биквадратные уравнения имеют особый приём сведения их к квадратным; и термин, и этот приём продолжают сохраняться до окончания школьного курса математики.

В ходе изучения уравнений различных классов становится всё более заметной роль общих, универсальных средств решения и исследования. Такие обобщённые средства, приёмы можно разделить на три группы. Первая группа состоит из логических методов обоснования решения. Используя эти методы (равносильные преобразования или логические следования), переходят от исходных уравнений к новым, до тех пор пока не получаются уравнения, относящиеся к определённым классам.

Вторая группа состоит из вычислительных приёмов, посредством которых производятся упрощения одной из частей данного уравнения, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные расчёты и т.д. Роль вычислительных приёмов особенно заметна при выполнении заданий по нахождению приближённых значений корней уравнений.

В третью группу входят наглядно-графические приёмы. Большинство этих приёмов используют в качестве основы координатную прямую либо координатную плоскость. Использование координатной прямой позволяет решать уравнения с модулями. Решение таких уравнений связывается с геометрической интерпретацией модуля разности чисел. Например, решение уравнения сводится к нахождению на координатной прямой точек, удалённых от точки с координатой a на расстояние b.

Графические приёмы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где чисто аналитическая запись громоздка. Иногда графический метод применяется и для фактического нахождения числовых значений корней или компонентов решений. Например, графический способ решения уравнения с одним неизвестным f состоит в нахождении абсцисс точек пресечения графиков функций y и y.

В случае квадратного уравнения строятся графики квадратичной и линейной функций - парабола и прямая. Возможны следующие случаи:

1) прямая и парабола касаются (имеют единственную общую точку), абсцисса точки касания - корень уравнения (рис. 3, а).

2) прямая и парабола пересекаются в двух точках, абсциссы этих точек являются корнями уравнения.

3) прямая и парабола не имеют общих точек, тогда уравнение не имеет корней.

Область применения графического метода решения уравнений в отличие от исследования ограничена, поскольку с его помощью можно рассматривать только задания, в которых требуемые для построения графики хорошо известны, а искомые точки пересечения не выходят за пределы чертежа; кроме того, на отыскание решений влияют неизбежные погрешности чертежа.

Из предыдущего изложения видно, что графические методы, использующие координатную плоскость, могут играть достаточно важную роль в решении и исследовании уравнений с одним неизвестным, уравнений с двумя неизвестными.

Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решений уравнений в единую, целостную систему. По своему отношению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений. Для уравнений её можно изобразить в виде схемы.

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений или с углубленным изучением уже известных классов. Это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют её новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяющие различные классы. На этом уровне владения материалом связи становятся намного более освоенными, так что учащиеся в процессе выполнения заданий могут самостоятельно их восстанавливать.

В методике изучения уравнений основные классы уравнений можно разбить на две группы. Первая группа - рациональные уравнения (линейные уравнения с одним неизвестным, квадратные уравнения). Вторая группа - иррациональные и трансцендентные уравнения (иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения).

Первая группа уравнений изучается в достаточном объёме, формируются прочные навыки решения. Это происходит в курсе алгебры основной школы. Вторая группа в этом курсе только начинает изучаться, причём рассматриваются не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа.

Последовательность изучения различных классов уравнений различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико - классы находятся в определённой логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе.

Линейные уравнения - это первый класс уравнений в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения зависят особенности организации всего последующего изучения материала, касающегося уравнений. Первая методическая задача, с которой учитель сталкивается, приступая к изложению этой темы, состоит в выделении формальной части понятия уравнений из той содержательной ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой ситуации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой алгебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным. Учителю следует обратить внимание учащихся на основной метод, примененный в решении задачи - переход к ее алгебраической модели, общий вид которой f(x)= g(x), где f и g - некоторые выражения, содержащие неизвестное х. Далее, на основе анализа конкретно полученной формулы учитель приводит формулировку общего понятия уравнения, принятую в учебнике, и вводит (или напоминает) связанные с ним термины. Вслед за этим нужно обратить внимание на те формальные характеристики составленного уравнения, которые уже непосредственно приводят к описанию изучаемого конкретного класса уравнений.

В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придаётся.

Квадратные уравнения занимают исключительное положение в линии уравнений. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с её помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения.

К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х2 - а = 0 или к уравнению х2 = а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах2 + bх + с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня «.

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, приводятся еще формулы корней уравнения x2 + px + q = 0 или x2 + 2px + q = 0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

И так, чтобы облегчить усвоение материала по данной теме, в линии уравнений применяются методические приёмы, в частности распределение материала обучения по ступеням. Общие, универсальные средства решения и исследования уравнений делятся на три группы: логические методы обоснования решения, вычислительные приёмы, наглядно-графические приемы. Исключительное положение в линии уравнений занимают квадратные уравнения.

1.4 Особенности решения квадратных уравнений и применение теоремы Виета

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

С началом изучения систематического курса алгебры основное внимание уделяется способам решения квадратных уравнений, которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней).

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Существует несколько способов решения квадратных уравнений.

1. Решение уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Например: 2х2 + 4х + 7 = 0.

Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.

D = b2 - 4 ас = 42 - 4•2•7 = 16 - 56 = - 40.

Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле

Например: 4х - 20х + 25 = 0.

Решение: а = 4, b = - 20, с = 25.

D = b2 - 4 ас = (-20) 2 - 4•4•25 = 400 - 400 = 0.

Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. Значит, ,

3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам:;

Например: 3х2 +8х - 11 = 0.

Решение: а = 3, b = 8, с = -11.

D = b2 - 4 ас = 82 - 4•3•(-11) = 64 + 132 = 196.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

2. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

x1 + x2 = - p,

x1 x2 = q.

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета: Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 - корни уравнения х2 + px + q = 0 Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например: напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

По формулам Виета

- p = x1 + x2 = - 2,

q = x1 x2 = -3.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х - 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

3. Метод разложения на множители.