Методика изучения алгебраических уравнений с использованием исторических сведений в курсе средней школы

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращённого умножения, способа группировки).

Решим уравнение: 3x2 + 2x - 1 = 0

Воспользуемся способом группировки, для этого представим 2x в виде разности 3x и x (2x = 3x - x).

3x2 + 3x - x - 1 = 0,

3x (x + 1) - (x + 1) = 0,

(x + 1) (3x - 1) = 0,

x + 1 = 0 или 3x - 1 = 0,

Ответ: -1; [4, с. 43].

4. Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение: 3x2+6x-9=0,

x2+2x-3=0.

Выделим полный квадрат:

x2+2•2/2x+12-12-3=0,

(x+1) 2=1+3,

(x+1) 2=4,

x+1=v4 или x+1=-v4,

x+1=2, x+2=-2,

x=2-1, x=-2-1,

x=1. x=-3.

Ответ: 1; -3.

5. Метод введения новой переменной.

При решении более сложных квадратных уравнений нередко используется метод введения новой переменной. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной и позволяет свести решение к более простому случаю.

Решим уравнение:

(5x + 3) 2 = 3 (5x + 3) - 2.

Пусть 5x + 3 = t. Произведём замену переменной:

t2 = 3t - 2,

t2 - 3t + 2 = 0.

Убеждаемся, что D > 0. По теореме, обратной теореме Виета, подбираем корни: t1 = 1, t2 = 2.

Произведём обратную замену и вернёмся к переменной x.

Если t = 1, то 5x + 3 = 1, Если t = 2, то 5x + 3 = 2,

5x = -2, 5x = -1,

x = -0,4. x = -0,2. Ответ: -0,4; -0,2.

Таким образом, квадратные уравнения решаются различными способами: с помощью формулы корней квадратного уравнения, выделения полного квадрата, разложения на множители. Особое место в решении квадратных уравнений занимает теорема Виета и теорема обратная теореме Виета.

2. Использование исторических сведений при изучении алгебраических уравнений на уроках и внеклассных занятиях

2.1 Роль и принципы истории математики в достижении целей обучения математике

Познавательное и воспитательное значение изучения истории математики и необходимость соблюдения соответствующих сведений при изучении математики в школе на современном этапе развития образования считается общепризнанным.

В условиях реформы школы в нашей стране происходят изменения в математическом образовании, которые в нём вызываются и особенностями развития самой математики. Для математики второй половины нашего века стало характерным обращение к корням и истокам математических теорий и методов, к приложениям и конкретным задачам.

Если в 1953 году историк математики профессор С.А. Яновская писала: «Не так давно мы пережили время, когда главенствующую роль в развитии математики играли новые еще тогда теоретико-множественные концепции и аксиоматический метод. Теперь мы присутствуем при перестройке математики, связанным с бурным развитием функции и использованием весьма абстрактных разделов математики функционального анализа, математической логики - для развития конструктивных средств вычислительной математики. Ясно, что в основном и эта смена находится в самой тесной связи с важнейшими этапами развития производственных сил и производственных отношений» [20, 19].

Некоторые неудачи, связанные с недавней попыткой перестройки преподавания математики в средней школе, были, в частности, следствием того, что эти особенности развития математики во второй половине ХХ века не были учтены достаточно внимательно. Освещать историю развития изучаемых в средней школе вопросов математики даже в самом кратком виде в школьном курсе математики не представляется возможным, поскольку исторический путь развития науки далеко не всегда совпадает с задачами преподавания, пути научного познания не тождественны закономерностям процесса обучения. Можно говорить только о сообщении учащимся некоторых сведений из истории математики в процессе классных и внеклассных занятий. Здесь не нужна строгая регламентация содержания, объема и формы сообщения учащимся таких сведений.

Ознакомление учащихся с историей математики должно происходить в первую очередь на уроках математики. Внеклассные же занятия дадут возможность углубить и расширить историко-математические сведения. Остановимся подробнее на вопросе проведения уроков с использованием элементов истории математики.

Значение влияния интереса к предмету на усвоение программного материала общеизвестно, поэтому создание интереса к изучаемому разделу, теме, уроку является одной из непременных первостепенных задач учителя. Опытный учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря уже о новом разделе математики, без надлежащей вводной части, возбуждающей интерес и внимание учащихся. Там, где это оправдано программой, такой вводной частью может и должен быть 3-5 минутный увлекательный рассказ, связанный с историей математики.

Исторический материал может быть использован на любом этапе урока. Иногда эти сведения полезно дать перед объяснением нового материала, иногда органически связать его с отдельными вопросами темы урока, а иногда дать итог изучения какого-нибудь раздела, темы курса математики.

Наиболее часто применяемыми методическими приемами при сообщении исторического материала являются следующие: рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учеников. Используемые учителем методические приемы зависят от специфики исторического материала, от целей и задач, которые ставит учитель при подаче этого материала. Среди них особое место занимает рассказ учителя, который для сообщения отдельных важных исторических сведений применяется чаще.

Другой формой изучения исторического материала учащимися является внеклассные занятия по математике, которые включают в себя факультативы, кружки, математические вечера, викторины и т.д. Внеклассная работа по математики дополняет учебную работу по предмету и должна, прежде всего, способствовать глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программой. Проводя факультативные занятия важно учитывать специфику интересов школьников. Учителя наибольшее внимание уделяют расширению и углублению учебных тем и решению задач, предлагавшихся на различных олимпиадах и вступительных экзаменах. Школьников эти темы интересуют в значительно меньшей степени. Сведения, связанные с историей математики и изучением биографий известных математиков для учащихся более интересны.

Факультативы с успехом могут быть использованы для углубления знаний учащихся в области программного материала, развития их логического мышления, пространственного воображения, развития правильной математической речи, для соблюдения учащимися полезных сведений из истории математики.

Следует отметить, что в связи с реформированием образования широкое распространение получили принципы культуросозидающей роли образования, национального самоопределения и демократизации школы, гуманизации и дифференциации образовательного процесса, которые, по мнению учёных, нашли воплощение в принципе гуманитаризации.

Гуманизация - один из принципов реформирования сферы образования, реализуемый посредством личностно ориентированной направленности образования, усиления в нём мотивационной сферы и творческого начала, ориентации на общечеловеческие ценности личности.

Исторический материал, по мнению учёных, должен быть отражён в программах, стандартах и учебниках по математике, как для общеобразовательных классов, так и для профильных. В учебниках он должен органично включаться в основной текст раздела, темы, параграфа. Исторический материал должен представлять некоторую целостность, определяющуюся его дидактическими функциями.

Существуют методические трудности, ведь необходимо отбирать нужное количество материала из истории и о порядке его пользования в том или ином классе, при изучении той или иной темы и отсутствии пособий по истории математики, которые излагали бы весь материал с точки зрения диалектического и исторического материализма. Руководствоваться при этом следует программой и возрастными особенностями учащихся.

В силу того, что есть немало вопросов истории математики, к которым приходится возвращаться несколько раз, учёные предлагают применять концентризм для решения поставленной проблемы.

Знакомство с историей математики играет и неоценимую воспитательную роль: библиографические справки воздействуют эмоционально на юные сердца, заражают их энтузиазмом к научным занятиям и открытиям; математические истины теряют при этом сухой отвлечённый характер, ассоциируясь с живыми человеческими образами и конкретными историческими ситуациями.

Таким образом, использование исторических сведений способствует лучшему решению воспитательных и образовательных задач, умственному развитию и осознанному усвоению учебного материала, способствует развитию интереса к предмету, а уроки и внеклассные занятия делает ярким и запоминающим. Широкое применение исторических сведений является одним из важных средств достижения учебно-воспитателъных целей обучения математике.

2.2 Урок-конференция на тему «нестандартные приёмы решения квадратных уравнений»

уравнение математика радикал внеклассный

Цели урока:

· познакомить учащихся с нестандартными способами решения квадратных уравнений;

· развивать самостоятельность, активность, внимание, грамотную математическую речь;

· воспитывать интерес к предмету, умение аргументировать свою точку зрения.

Оборудование: линейка, циркуль, стенды с материалами по теме конференции.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Выступления учащихся с докладами. Выступления оппонентов, оценивание выступлений докладчиков.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход занятия

Класс заранее разбивается на три группы (по числу докладов). Каждая группа работает над одной из предложенных тем, привлекая рекомендованную учителем литературу. Каждая группа выбирает докладчика и его внутреннего оппонента. После каждого сообщения заслушивается мнение оппонента.

Примерный план выступления оппонента (оценки доклада).

1. Материал изложен…так, что вызывает интерес к теме; от простого к сложному; чётко и ясно (или непоследовательно, неуверенно) и т.д.

2. Речь выступающего… образная; математически грамотная; логически выдержанная и т.д.

3. Содержание выступления… интересное; новое для меня; вызывает желание продолжить изучение вопроса, почитать литературу по этой теме и т.д.

1. Сегодня мы познакомимся ещё с некоторыми способами решения квадратных уравнений и узнаем, как решали квадратные уравнения в древности. Выслушаем выступления докладчиков. После каждого выступления выслушаем мнение оппонента, который оценит выступающего.

2. Доклад 1. Специальные методы решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов

Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определёнными свойствами. При решении уравнения ax2 + bx +c= 0 (a ? 0) можно пользоваться следующими правилами.

1. a + b + c = 0, то x1 = 1, x2 = .

2. a + c = b, то x1 = -1, x2 = -.

Докажем утверждение 1.

Разделим обе части уравнения на а ? 0:

, .

Так как a + b + c = 0, то b = - a - c, тогда

, ,

значит , .

Пример 1: Решить уравнение 5x2 - 3x - 2 = 0,

Решение: так как a + b + c = 0 (5 - 3 - 2 = 0), то

, .

Ответ: 1,

Пример 2: Решить уравнение 12x2 + 7x - 5 = 0,

Решение: так как a + c = b (12 - 5 = 7), то

, .

Ответ: -1

При решении полного квадратного уравнения полезно сначала проверить, является ли число 1 (число -1) его корнем. И если является, то воспользоваться правилом 1 (правилом 2).

Задание (устно). Найдите корни уравнения:

а) 3x2 - 8x + 5 = 0

б) 2x2 + 3x + 1 = 0

Ответы: а) x1 = 1; x2 б) x1 = -1; x2 = .

2. Способ «переброски».

Решить квадратное уравнение можно способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пусть дано квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0.

Умножим обе части на a, получим:

a2x2 + abx + ac = 0.

Введём новую переменную: пусть ax = y, тогда . Получим уравнение y2 + by + ac = 0, равносильное данному уравнению. Его корни y1 и y2 найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета; тогда

,

Приведём примеры, в которых используется метод «переброски».

Пример 1: Решить уравнение: 2x2 - 11x + 5 = 0.

Решение: Умножим обе части уравнения на 2:

22•x2 - 2•11x + 30 = 0.

Пусть 2x = y, тогда y2 - 11y + 30 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета y1 = 5, y2 = 6 и тогда

2x1 = 5, 2x2 = 6.

Откуда x1 = 2,5, x2 = 3.

Пример 2: Решить уравнение: 6x2 + 5x + 1 = 0

Решение: Перебросив коэффициент 6 к свободному члену, получим:

y2 + 5y + 6 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета,

Ответ: .

Пример 3: Решить уравнение: x2 - 16x + 3 = 0

Решение: Перебросив коэффициент , получим уравнение

y2 - 16y + • = 0,

y2 - 16y + 15 = 0,

Поскольку a + b + c = 0, то y1 = 1, y2 = 15,

тогда , .

Ответ: ; 3.

Выступление оппонента…

Доклад 2. Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки.

Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 (а ? 0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q , проходящей через точку А (0; 1), и оси Ox.

Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с Q и радиусом QA и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ox. Возможны три случая:

1) если QA > , то окружность пересекает ось Ox в двух точках М (x1; 0) и N (x2; 0) (рис. 5 а), уравнение имеет корни x1, x2;

2) если QA = , то окружность касается оси Ox в точке М (x1; 0) (рис. 5 б), уравнение имеет один корень x1.

3) если QA < , то окружность не имеет общих точек с осью Ox (рис. 5 в), уравнение не имеет корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений описанным способом.

Пример 1: Решить уравнение x2 - 2x + 1 = 0.

Решение показано на рисунке 6.

Найдём координаты центра окружности:

; ,

значит, окружность имеет центр в точке Q (1; 1).

Строим окружность на координатной плоскости с центром в точке Q (1; 1) и радиусом QA (точка A (0; 1)). Находим точки пересечения данной окружности с осью Ox, они и будут решением нашего уравнения. В данном случае это одна точка x = 1.

Ответ: 1.

Пример 2: Решить уравнение: x2 + 4x - 5 = 0.

Решение показано на рисунке 7.

Найдём координаты центра окружности:

; , значит окружность имеет центр в точке Q (-2; -2).

Строим окружность на координатной плоскости с центром в точке Q (-2; -2) и радиусом QA (точка A (0; 1)).

Точки пересечения окружности с осью Ox: x = -5; x = 1.

Ответ: -5; 1.

Выступление оппонента…

Замечание. Сегодня, решая уравнение x2 = 16, мы указываем в ответе два числа: ?4, 4. Однако в данной задаче мы также дали бы ответ x = 4, ведь длина поля - положительная величина.

Иной способ решения квадратных уравнений описал ал-Хорезми. Он основан на методе выделения полного квадрата. Например, в случае уравнения x2 + 10x = 39 надо найти число, прибавив которое к левой части, получим полный квадрат. Это число 25.

x2 + 10x + 25 = 39 + 25,

(x + 5) 2 = 64,

x + 5 = 8,

x = 3.

Ал-Хорезми работал с положительными числами, поэтому указал только один корень. Второй корень найдём из уравнения x + 5 = -8. Он равен -13.

Уравнение x2 + 10x = 39 можно решить геометрически (получим только положительный корень).

Решение: Строим квадрат площадью x2. На его сторонах достраиваем четыре равных прямоугольника общей площадью 10x.

Итак, площадь составленного из девяти фигур квадрата (x + 5) 2 = 39 + 25. Сторона этого квадрата x + 5 = 8, x = 3.

Выступление оппонента…

3. Итак, мы сегодня с вами узнали ещё несколько интересных способов решения квадратных уравнений: по свойству коэффициентов, способом «переброски», с помощью циркуля и линейки. Узнали много нового о решении квадратных уравнений в древности.

4. Домашнее задание.

1. Решите уравнение с применением циркуля и линейки: x2 + 6x + 9 = 0.

2. Решите с помощью квадратного уравнения древнеиндийскую задачу о стае обезьян.

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне в этой стае?

Решение домашнего задания.

1. x2 + 6x + 9 = 0.

Решение показано на рисунке 9.

Найдём координаты центра окружности:

3; 5,

значит, окружность имеет центр в точке Q (-3; 5).

Строим окружность на координатной плоскости с центром в точке Q (-3; 5) и радиусом QA (точка A (0; 1)). Находим точки пересечения данной окружности с осью Ox, они и будут решением нашего уравнения. В данном случае это одна точка x = -3.

Ответ: -3.

2. По условию задачи составим следующее уравнение

= x - 12,

x2 = x - 12,

x2 - 64x + 786 = 0,

x1 = 16, x2 = 48.

Ответ: 16, 48.

2.3 Урок-игра на тему «Листая страницы истории»

Цели урока:

· в интересной форме познакомить учащихся с основными этапами становления алгебры;

· развивать грамотную математическую речь, память, самостоятельность;

· воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: плакаты, портреты учёных.

Урок проводится в 8-х классах.

Ход урока.

Сценарий урока состоит из четырёх отдельных фрагментов, отражающих основные вехи в развитии алгебры: от зарождения алгебраических задач в Древнем мире до истории решения кубических уравнений. Сценарий строится на коротких сообщениях, которые учащиеся готовят заранее, используя дополнительную литературу и другие источники информации. Сценарий можно использовать для организации внеклассного мероприятия. Для усиления эмоционального восприятия полезно использовать иллюстративный материал и музыкальное сопровождение.

Вступительное слово учителя.

Сегодня мы совершим путешествие во времени к истокам одной из старейших наук - алгебры. Развитие теории решения алгебраических уравнений происходило на протяжении многих веков. Мы с вами перевернём лишь пять страниц её истории.

Страница 1. Из истории Древнего мира.

Сообщение ученика о зарождении алгебры.

Алгебра зарождалась и развивалась постепенно в недрах арифметики в связи с задачей решения уравнений. Ещё в глубокой древности египтяне, вавилоняне и индийцы владели первоначальными элементами алгебры; они умели по условиям составлять уравнения и решать некоторые из них.

На вавилонских клинописных пластинках и египетских папирусах содержится ряд задач, которые можно решить составлением уравнений. Вавилонские математики решали их с помощью специальных таблиц и правил, которыми предписывалась последовательность действий, однако они ещё не знали буквенных обозначений величин, и общих приёмов решения алгебраических задач у них не было. В Древнем Египте при решении таких задач для обозначения неизвестного числа был установлен особый значок, называли его хау, что в переводе на русский значит «куча».

Сообщение ученика о решении уравнений в Древней Греции.

Среди математиков Древней Греции было принято выражать алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложении чисел говорили о сложении отрезков, а произведение трёх чисел - как объём прямоугольного параллелепипеда.

Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Возможно, вы догадались, что здесь идёт речь о хорошо известной вам формуле (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2. С того времени идут термины «квадрат числа», «куб числа». квадратные уравнения греки также решали геометрически. Они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (не ранее ??? в. н.э.). Особое внимание он уделял неопределённым уравнениям, теория которых называется теперь «диофантовым анализом». У Диофанта была попытка ввести буквенную символику. В «Греческой антологии» помещена надгробная надпись, в которой сказано:

Здесь погребён Диофант, и камень могильный при счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век.

Велением Бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;

В двенадцатой части, затем прошла его юность. Седьмую часть жизни прибавим - пред нами очаг Гименея.

Пять лет протекло, и прислал Гименей ему сына. Но горе ребёнку! Едва половину он прожил тех лет, что отец, как скончался несчастный. Четыре года страдал Диофант от утраты той тяжкой

И умер, прожив для науки. Скажи мне, сколько лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

(На доске плакат с условием задачи; ученик записывает уравнение на доске).

Интересно, что эта надпись на могиле Диофанта приводит нас к уравнению первой степени:

Решив это уравнение, находим, что Диофант прожил 84 года.

Страница 2. Восток. Средние века.

Арабские завоевания привели к распространению языка арабов и их религии - ислама. ?X-X?? вв. н.э. - это расцвет науки в арабоязычных странах.

Сообщение ученика о Мухаммеде аль-Хорезми.

(На доске портрет учёного).

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед бен Муса аль-Хорезми жил и работал в Багдаде. В то время в Багдаде правил халиф аль - Мамун, который уважал учёных и покровительствовал наукам. По его повелению в Багдаде был построен Дом мудрости с библиотекой и обсерваторией. Здесь работали почти все крупные арабские учёные, в том числе и аль-Хорезми. Его перу принадлежит много книг, написанных на арабском языке, по математике и астрономии. Сведения о жизни и деятельности Мухаммеда аль-Хорезми, к сожалению, почти не сохранились, а из математических работ до нас дошло всего две - по алгебре и по арифметике. Алгебраическая работа называется «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении».

Сообщение ученика о работах аль-Хорезми.

(Рассказ сопровождается записями на доске).

Автор одним из первых стал обращаться с уравнениями, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется уравнение 5x - 16 = 20 - 4x. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество.

Было: 5x - 16 = 20 - 4x

Добавил: 5x - 16 + 16 = 20 - 4x + 16

Стало: 5x = 20 - 4x + 16 или 5x = 36 - 4x

После этой законной операции (прибавление одинакового количества) число -16 исчезло из левой части и восстановилось в правой со знаком плюс. Также на обе чаши весов можно прибавить 4x.

Было: 5x = 36 - 4x

Добавил: 5x + 4x = 36 - 4x + 4x

Стало: 5x + 4x = 36, или 9x = 36, следовательно, x = 4.

В правой части выражение 4x пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс.

Главный принцип - если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате получаются равные количества - стал своеобразной «волшебной палочкой» для решения уравнений.

Чтобы решить уравнение аль-Хорезми переносил члены уравнения из одной части в другую с противоположным знаком (эта процедура и называлась «аль-джебр»), затем приводил подобные слагаемые («аль-мукабала»). Однако автор заведомо не принимал во внимание уравнения, у которых нет положительных пошений. Слово «аль-джебр» со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово алгебра.

(На доске плакаты «Аль-джебр» и «Аль-мукабала», двое учеников читают их по очереди).

Аль-джебр.

При решении уравнения.

Если в части одной.

Безразлично в какой.

Встретился член отрицательный,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив.

Равный член придадим.

Только с знаком другим, -

Аль-мукабала.

Дальше смотрим в уравненье,

Можно сделать приведенье,

Если члены есть подобны.

Сопоставить их удобно.

Вычитая равный член из них,

К одному приводим их.

И найдём результат, нам

Желательный.

Так как в те времена отрицательные числа считались ненастоящими, то действие аль-джебр, как бы превращающее число из небытия в бытие, казалось чудом. Эту науку в Европе долго считали «великим искусством», рядом с «малым искусством» - арифметикой. Алгебраический трактат Мухаммеда аль-Хорезми послужил началом создания алгебры. В этом трактате изложения одночленов и двучленов, приведены задачи и способы их решения.

Затем аль-Хорезми рассматривает шесть различных видов уравнений и приёмы их решения:

1. Квадраты равны корням, то есть ax2 = bx;

2. Квадраты равны числу, то есть ax2 = c;

3. Корни равны числу, то есть ax = c;

4. Квадраты и числа равны корням, то есть ax2 + с = bx;

5. Квадраты и корни равны числу, то есть ax2 + bx = с;

6. Корни и числа равны квадратам, то есть bx + с = ax2;

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности геометрическим. Доказательств не было, способ решения задачи излагался в виде рецептов.

Учитель. В те времена буквенная символика отсутствовала, и уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчили решение многих задач. В X?? в. «Алгебра» стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени и начинается развитие алгебры в европейских странах.

Страница 3. О знаке корня.

Начиная с X??? века, итальянские и другие европейские математики обозначили корень латинским словом Radix (корень) или сокращённо R. В 15 веке Н. Шюке вместо R212 писал . Ныне применяемый знак корня произошёл от обозначения, которое променяли немецкие математики XV-XV?? веков, называвшие алгебру «Косс», а алгебраистов «коссистами».

Некоторые коссисты XV века обозначали квадратный корень точкой впереди числа или выражения; корни высших степеней - несколькими точками. Из ставившихся подрадикальными числами точек, перешедших в скорописи в чёрточки, вероятно, возник знак корня . Этот знак впервые встречается в немецкой алгебре «Быстрый и красивый счёт при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс», изданной в 1525 году в Страсбурге.

В 1626 году нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с показателями Шюке, ввёл близкое к современному обозначение и т.д. Это обозначение стало вытеснять знак R.

В 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XV??? века.

Страница 4. Создание языка алгебры.

Сообщение ученика о Франсуа Виете.

Становление буквенной символики происходило весьма медленно. Только в конце ?V? в. в трудах французского математика Франсуа Виета буквенные обозначения легли в основу алгебры.

Франсуа Виет родился во Франции. Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе. В 1571 г. переехал в Париж, где со временем занял видную придворную должность - тайного советника при короле. Математикой он занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет заинтересовался астрономией. Он решил написать обширный математический трактат, но для этого были необходимы глубокие математические знания. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, а трактата по астрономии так и не написал.

В то время Франция вела войну с Испанией. Виет оказал большую услугу родине, расшифровал весьма важные письма испанского двора.

Испанские шпионы использовали чрезвычайно сложный шифр, состоящий из 500 знаков, менявшихся время от времени. Они даже не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт, и не беспокоились, когда отдельные секретные донесения попадали к французам. Два года французы перехватывали и читали шифровки, что помогло им нанести ряд поражений испанской армии. Инквизиция же обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре. Математик не был выдан инквизиции, однако от должности его отстранили. Четыре года опалы оказались необычайно плодотворными для Виета. Математика стала его единственной страстью. По рассказам современников, он мог просиживать за письменным по трое суток, только иногда забываясь сном на несколько минут.

В работе «Введение в аналитическое искусство» Виет изложил усовершенствованную им теорию уравнений с применением изобретённых символов.

(На доске плакат со стихами).

Теорема Виета для корней квадратного уравнения

ax2 + bx + c = (x1x2 = , x1 + x2 =)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе с в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда -

В числителе b в знаменателе а.

Страница 5. Уравнения третьей степени.

Учитель. Продолжили работу в области алгебры итальянские учёные Леонардо Пизанский (???? в.), Тарталья, Кардано и Феррари (?V? в.). С именами трёх последних связано нахождение алгоритмов для решения уравнений третьей и четвёртой степени. За этими громкими именами порой стоят трагические события.

Сообщение ученика об истории решения кубического уравнения.

Никколо Тарталья самостоятельно овладел латинским и греческими языками, а также математикой. Если не было бумаги для вычислений, он шёл на ближайшее кладбище и там на надгробных плитах писал математические выкладки. Упорная работа дала свои результаты: в 23 года он учит других математике, через несколько лет его приглашают читать лекции по геометрии, алгебре и механике, а в 1535 г. Никколо Тарталья заведует кафедрой математики в Вероне. Слава о нём распространяется по всей Италии.

В том же году он одерживает блестящую победу на публичном состязании с математиком Фиоре. Поводом к состязанию послужил вопрос об общем решении уравнения третьей степени, вопрос, который не смогли решить ни арабы, ни индийцы, ни греки, только иногда математикам удавалось решить уравнение для одного частного случая. Оба математика 22 февраля 1535 года явились к нотариусу и обменялись 30 задачами. На решение задач давалось 50 дней.

Наступил день соревнований. Тарталья решил все задачи за 2 часа, Фиоре же не справился ни с одной задачей. Молва о победе Тартальи быстро распространилась по всей Италии. Многие учёные просили его сообщить метод решения, но он упорно хранил тайну своего открытия, обещая опубликовать его в большом трактате по алгебре. Позднее он писал в одном из своих сочинений, что готовясь к этому состязанию, «приложил всё своё рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило для этих уравнений, и мне удалось сделать это благодаря счастливой судьбе».

Весть о победе Тартальи дошла до Болоньи, где жил и трудился Джероламо Кардано. Он интересовался многими областями науки. В то время Кардано писал свой знаменитый трактат «Великое искусство, или О правилах алгебры». В связи с этим у него появилось страстное желание овладеть тайной решения кубического уравнения, известной Тарталье, и поместить решение в свою работу. Кардано хитростью выманивает у Тартальи его тайну, а затем публикует в своей работе. Способ решения кубического уравнения x3 + px + q = 0 долго был известен в математике под названием «формулы Кардано». В настоящее время она носит название формулы Тартальи - Кардано и имеет вид (ученик пишет на доске):

Заслуга Кардано заключается в том, что овладев решением уравнения x3 + px + q = 0, он пошёл дальше и нашёл способ решать полное кубическое уравнение x3 + ax2 + bx + c = 0. Оказалось, что стоит только сделать подстановку x = y - , и в полном уравнении уничтожается член со второй степенью неизвестного.

В 1545 г. другим итальянским математиком Л. Феррари был найден способ сведения уравнения четвёртой степени к последовательному решению одного кубического и двух квадратных уравнений. После этого в течение почти 300 лет делались безуспешные попытки решить уравнения более высоких степеней. Только в 1826 г. норвежский математик Н. Абель доказал, что в общем случае алгебраические уравнения пятой и всех более высоких степеней неразрешимы.

Заключительное слово учителя.

Много можно говорить об уравнениях. В этой области математики существуют вопросы, на которые математики ещё не дали ответа. Возможно, вам предстоит найти ответы на эти вопросы. Знаменитый физик Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика только для данного момента, уравнения будут существовать вечно».

2.4 Разработка урока по теме «Решение уравнений различными способами»

Цели урока:

· систематизировать и обобщить знания учащихся по данной теме;

· развивать логическое мышление, грамотную математическую речь;

· воспитывать интерес к предмету.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

3. Доклады.

4. Закрепление материала.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент. Учитель сообщает тему и цели урока.

2. Учитель. Сегодня мы узнаем много нового: поговорим об общих идеях, общих методах решения уравнений, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с 7 по 10 классы. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания.

Метод разложения на множители.

Мы с вами неоднократно решали уравнения методом разложения на множители. Сегодня мы ещё раз применим этот метод к решению более сложных уравнений. Для начала давайте разберём один пример. Ученик идёт к доске и решает пример.

Решить уравнение .

Решение: Задача сводится к решению совокупности уравнений:

(1)

Решим первое уравнение совокупности:

x + 2 = 9,

x = 7.

Корнем уравнения является по теореме обратной теореме Виета x = 1.

Получаем (1)

Область исходного уравнения задаётся условием x + 2 ? 0 или x ? -2. Найденные значения x удовлетворяют этому условию.

Ответ: 0; 1; 7.

Рассмотрим ещё один пример.

Решить уравнение: x3 - 7x + 6 = 0.

Решение: Представим слагаемое -7x в виде -6x - x, это облегчит нам группировку: x3 - 6x - x + 6 = 0,

x (x2 - 1) - 6 (x - 1) = 0.

Воспользуемся одной из формул сокращённого умножения:

x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0,

(x - 1) (x (x + 1) - 6) = 0,

(x - 1) (x2 + x - 6) = 0.

Получим совокупность уравнений

В исходном уравнении нет никаких ограничений на допустимые значения x, поэтому все три найденные числа являются искомыми корнями.

Ответ: -3; 1; 2.

Учитель. Преобразования, которые мы выполняли, хорошо известны из курса 8 класса. Рассмотрим ещё два важных факта, облегчающих разложение на множители: теорему Безу и схему Горнера. Сейчас мы с вами будем говорить о теореме Безу, поэтому для начала послушаем доклад о жизни и об основных работах этого учёного.

Ученик выступает с докладом: «Творческая деятельность Э. Безу».

Безу Этьенн (31. 01. 1730. - 27. 09. 1783.) - французский математик член Парижской АН. Родился в Немуре. С 1763 года преподаёт математику в училище гардемаринов, а с 1768 года в Королевском артиллеристском корпусе. Основные работы Безу относятся к высшей алгебре. В теории решения систем линейных уравнений наряду с Г. Крамером Безу содействовал возникновению теории определителей, развил теорию исключения неизвестного из системы линейных уравнений высших степеней. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Учитель. Теорема Безу (демонстрируется учащимся на заранее заготовленной таблице): «Многочлен М(x) = a0 xm + a1 xm-1 + a2 xm-2 + …+ am (с целыми коэффициентами при x и натуральными показателями степеней) при делении на x - 1 даёт остаток N = a0 lm + a1 lm-1 + a2 lm-2 + …+ am. Если N = 0, то 1 - корень уравнения М(x) = 0, то есть М(1) = 0».

Деление многочленов значительно упрощает схема Горнера.

Ученик выступает с докладом: «Творческая деятельность Дж. Горнера».

Горнер Вильямс Джордж родился в 1786 году. Английский математик работал в области алгебры. В 1819 году опубликовал способ приближённого вычисления вещественных корней многочлена, назвал этот способ способом Руффини-Горнера. Этот способ был известен ещё китайцам в 13 веке. Именем Горнера названа схема решения многочлена на двучлен x - a. Умер Горнер в 1837 году.

Давайте запишем в тетрадях алгоритм вычисления по схеме Горнера:

1. под первым коэффициентом делимого a0 (в данном случае a0 = 2) пишется ещё раз этот коэффициент;

2. под коэффициентом a1 (в нашем случае a1 = 0) пишется число b1 = a0 b + a1 (в нашем случае 8 = 2•4 + 0);

3. под коэффициентом a2 (в нашем случае a2 = - 3) пишется число b2 = b1 b + a2 (в нашем случае 29 = 8•4 - 3);

4. под коэффициентом a3 (в нашем случае a3 = 5 - свободный член) пишется число b3 = b2 b + a3 (в нашем случае 121 = 29•4 + 5), b3 - остаток.

Пример: Решить уравнение x3 + 2x2 - 5x + 2 = 0.

Решение: Замечаем, что x = 1 - корень уравнения, поскольку 13 + 2•12 ? 5•1 + 2 = 0. Значит по теореме Безу, данный многочлен делится «нацело» на двучлен x - 1. Проведём деление:

_ x3 + 2x2 - 5x + 2 x - 1

x3 - x2 x2 + 3x - 2

_ 3x2 - 5x

3x2 - 3x

_ - 2x + 2

- 2x + 2

0

Итак, x3 + 2x2 - 5x + 2= (x - 1) (x2 + 3x - 2). Дальнейшее разложение на множители осуществляется стандартным образом после решения уравнения x2 + 3x - 2: x1 = ; x2 = . Таким образом, получена совокупность уравнений Ответ: 1; .

3. Следующий пример решает ученик у доски.

Решить уравнение: 3x3 - x2 - 4x + 2 = 0.

Решение: Заметим, что x = 1 - корень уравнения, поскольку 3•13 - 12 ? 4•1 + 2 = 0. Значит по теореме Безу, данный многочлен делится «нацело» на двучлен x - 1. Сделаем деление:

_ 3x3 - x2 - 4x + 2 x - 1

3x3 - x2 3x2 + 2x - 2

_ 2x2 - 4x

2x - 2x

_ - 2x + 2

- 2x + 2

0

Итак, 3x3 - x2 - 4x + 2 = (x - 1) (3x2 + 2x - 2). После решения уравнения 3x2 + 2x - 2 получим x1 = ; x2 = . Таким образом, получена совокупность уравнений Ответ: 1;

Решить уравнение: x4 - 8x + 63 = 0. (Решает ученик у доски с помощью учителя).

Решение: Прибавим и отнимем 16x2, а число 63 представим в виде

64 - 1.

Получим x4 + 16x2 - 16x2 - 8x + 64 - 1 = 0.

Сгруппируем первые два слагаемых с пятым, а третье и четвёртое - с шестым. Тогда разность (x4 + 16x2 + 64) - (16x2 + 8x + 1) = 0 можно переписать в виде разности квадратов (x2 + 8) 2 - (4x + 1) 2 = 0 и воспользоваться формулой разложения на множители = (a - b) (a + b).

В данном случае (x2 + 8 - 4x - 1) (x2 + 8 + 4x + 1) = 0. Мы снова пришли к совокупности уравнений Но ни одно из уравнений не имеет действительных корней, так как для первого уравнения D = 16 - 28 < 0, для второго D = 16 - 36 < 0.

Ответ: нет действительных корней.

4. Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки за работу на уроке.

5. Домашнее задание:

1. Решить уравнение методом разложения:

x3 + x2 - 9x - 9 = 0.

Решение: x3 + x2 - 9x - 9 = 0,

x2 (x + 1) - 9 (x + 1) = 0,

(x + 1) (x2 - 9) = 0,

x + 1= 0, x2 - 9 = 0,

x = -1. x1 = -3, x2 = 3.

2. Решить уравнение: x3 - 5x2 + 3x + 1 = 0.

Решение: x - 1 - корень данного уравнения, значит можно согласно теореме Безу разделить многочлен x3 - 5x2 + 3x + 1 = 0 на x - 1.

_ x3 -5x2 + 3x + 1 x - 1

x3 - x2 x2 - 4x - 1

_ 4x2 + 3x

- 4x + 4x

_ - x + 1

- x + 1

0

Таким образом, x3 - 5x2 + 3x + 1= (x - 1) (x2 - 4x - 1).

Решив уравнение x2 - 4x - 1 получим x1 = ; x2 = ,

x1 = 2 - , x2 =2 + .

Получена совокупность уравнений Ответ: 1; 2 ±.

Список используемой литературы

1) Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др..Алгебра: 8 кл. общеобразоват. учреждений. - 15-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 255 с.

2) Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др..Алгебра: 7 кл. общеобразоват. учреждений. - 15-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 207 с.

3) Бекаревич А.Б. Уравнения в школьном курсе математики. - М., 2000. - 241 с.

4) Белобородова С.В. Об историко генетическом методе // «Математика в школе». - 1992 г. - №6.

5) Вавилов В.В. Способы решения квадратных уравнений. // Математика в школе. - 2008 г. - №6.

6) Виленкин Н.Я., О.С. Ивашев - Мусатов, С.И. Шварцбурт. Алгебра и математический анализ. 11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / - 8-е изд., стереотип., М.: Мнемозина, 2001.

7) Выготский М.Я. Алгебра и арифметика в древнем мире / 2-е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1967.

8) Гаврилова И. Квадратные уравнения: два частных случая // Математика. - 2006 г. - №19.

9) Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII классы. - М., 1982.

10) Голубев В., Кравцев С., Шавгулидзе Е. Осторожно: теорем Виета. // Математика. - 2006 г. - №17.

11) Дидактические материалы по алгебре для 8 класса / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. - изд. - М.: Просвещение, 1998.

12) Дидактические материалы по алгебре для 9 класса / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. - изд. - М.: Просвещение, 1998.

13) Дробышев Ю.А. История математики: пути формирования знаний о методах решения квадратных уравнений. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2004. - 164 с.

14) Дробышев Ю.А. Историко-математический аспект в методической подготовке учителя. Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2004. - 156 с.

15) Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода // Математика в школе. 2000. - №6. - с. 68 - 70.

16) Кривчикова Э. Уравнения и системы уравнений в курсе алгебры 11 класса // Математика. 2004. - №35. с. 15 - 20.

17) Кольман Э.Б. История математики в древности. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

18) Колягин Ю.М. Методика преподавания математике в средней школе. Частные методики. - М.: Просвещение, 2002.

19) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений /; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

20) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений /; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

21) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений /; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

22) Маркушевич Л.А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. - 2001. - №1. - с. 15.

23) Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы // Математика в школе. - 1994. - №1.

24) Маслова Т. Листая страницы истории // Математика. - 2006 - №8. - с. 18 - 23.

25) Минаева А.А. Изучение квадратных уравнений в школе // Математика в школе. - 2001. - №10. - с. 14 - 22.

26) Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика. - М., 1987-416 с.

27) Мордкович А.Г. Алгебра: 8 кл. в 2 ч. общеобразоват. учреждений. - Мнемозина, 2008. - 215 с.

28) Мордкович А.Г. Алгебра: 7 кл. в 2 ч. общеобразоват. учреждений. - Мнемозина, 2008. - 160 с.

29) Мордкович А.Г. Алгебра: 9 кл. в 2 ч. общеобразоват. учреждений. - Мнемозина, 2008. - 160 с.

30) Мордкович А.Г. О некоторых методических вопросах, связанных с решением уравнений // Математика в школе. - 2006. - №3. - с. 25 - 33.

31) Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

32) Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки // Квант. - 1972. - №4. - с. 13 - 17.

33) Рыбников К.А. История математики. / 2-е изд. - М.: МГУ, 1974.

34) Смоляков А.Н. Нетрадиционные способы решения иррациональных уравнений // Математика в школе. 2002. - №7. - с. 35 - 39.

35) Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

36) Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. - Минск: Высшая школа, 1986.

37) Столяр А.А. Методы обучения математике. - М., 1987.

38) Хрестоматия по истории математики под ред. А.П. Юшкевича.

39) Шустеф Ф.М. Материалы для внеклассной работы по математике. Минск: Нар. асвета, 1968.

40) Энциклопедический словарь в двух томах, т. 2, Изд-во «Советская энциклопедия», М., 1964.

41) Янковская С.А. Вводная лекция к курсу математики. Историко-математические исследования. - М., 1999.

Размещено на Allbest.ru