Методика преподавания математики

Рассмотренная выше задача про купленные папой овощи допускала возможность трех различных способов решения. Рассмотрим теперь такую задачу: «Миша поймал утром 3 окуней и 2 лещей, а потом еще 5 окуней. Сколько всего рыб поймал Миша?» Естественно будет сначала узнать, сколько рыб поймал Миша утром, а затем -- сколько он всего поймал рыб. Получим первый способ решения: (3+2)+5. Можно узнать первым действием, сколько всего окуней поймал Миша, а затем -- сколько Что же касается третьего способа вычисления: (2+5)+3, то его осмыслить при решении этой задачи с точки зрения жизненной логики трудно. Использовать данную задачу для иллюстрации всех трех возможных способов вычислений было бы насилием над здравым смыслом ребенка.

Вообще текстовые задачи должны решаться именно на основе здравого смысла, т. е. учета реальных конкретных жизненных связей и отношений, описанных в задаче, и лишь после решения задачи можно использовать составленные при решении ее разными способами выражения для иллюстрации того, что при решении этой задачи оказалось возможным, скажем, как в рассмотренных случаях, использовать различные способы прибавления числа к сумме.

При таком подходе решение текстовых задач может помочь детям в усвоении рассматриваемого правила. Прямой методической ошибкой было бы вести детей противоположным путем: от правила к решению задачи.

После трех-четырех уроков, посвященных специально задаче разъяснения и усвоения детьми свойства, можно приступать к рассмотрению тех вычислительных приемов, которые на его основе строятся.

Чтобы учащиеся были как можно лучше подготовлены к усвоению (а может быть, даже и к самостоятельному открытию!) приема вычислений в новых для них случаях сложения и вычитания чисел в пределах 100, важно непосредственно перед введением нового материала повторить с ними те вопросы, знание которых необходимо применить в каждом конкретном случае.

Так, после рассмотрения различных способов прибавления числа к сумме вводятся случаи сложения вида: 34+20 и 34+2. Соответствующий прием вычислений не вызовет каких-либо трудностей у детей, если они к этому времени будут уже хорошо уметь: ^ представлять двузначное число, не оканчивающееся нулем, в виде суммы его разрядных слагаемых; б) решать удобным способом примеры вида: (20+7)+30 и (40 + 6)+3.

Поэтому именно такие упражнения предшествуют ознакомлению с приемом вычислений. В ходе этих упражнений уже должно быть выяснено, что десятки легче прибавлять к десяткам, а единицы -- к единицам.

Сам прием после этого может быть рассмотрен с большой долей участия учащихся в объяснении и демонстрации каждого шага. При объяснении полезно использовать на первых порах наглядные пособия (те же, которые уже использовались при изучении нумерации). По ходу решения на доске должна постепенно появляться и соответствующая развернутая запись решения.

После рассмотрения обоих случаев, скажем на примерах

25+40, 25 + 4

полезно сопоставить эти два случая, выяснить, что было общего в проводившихся при вычислении рассуждениях и чем они отличались. Сравнение будет облегчено, если записи будут сделаны одна под другой так:

25+40= (20+5) +40= (20+40) +5=65

25+4= (20+5) +4=20+ (5+4) =29

Сравнивая условия, устанавливаем, что к одному и тому же числу 25 прибавляли в первом случае 40, а во втором случае 4.

Сравнивая первый этап рассуждений, видим, что он является общим для обоих случаев: представляем число 25 в виде суммы его разрядных слагаемых. Различие выступает на следующем этапе, когда мы прибавляли число к сумме чисел 20 и 5: число 40 мы прибавляли к первому слагаемому (к 20), а число 4 ко второму слагаемому (к 5). Сразу же важно подчеркнуть, что различие это связано с тем, что десятки надо прибавлять к десяткам, а единицы -- к единицам.

После того как будет разобран у доски еще один пример, а дети запишут его решение в тетради, можно обратиться к работе по учебнику и предложить детям рассмотреть рисунок, заключенные в рамку записи и приготовиться объяснить эти записи. Один из учеников устно комментирует решение первого примера, второй -- следующего. Затем можно перейти к самостоятельному решению детьми аналогичных примеров.

На следующих уроках выполняются упражнения, направленные на формирование умения применять разобранный прием вычислений в разнообразных условиях.

Уже на втором уроке, после ознакомления с новым вычислительным приемом, объяснения хода решения должны стать более сокращенными. Вполне достаточно, если, вычисляя сумму 36+2, ученик скажет: «36 -- это 30 и 6, сложу 6 единиц и 2 единицы. Получится 8 да еще 30, получится 38».

Самостоятельно может быть рассмотрен случай вида: 57+3 (когда при сложении единиц получается десяток, который нужно прибавить к десяткам), и случай вида: 4+62, когда можно использовать перестановку слагаемых, а затем рассуждать в соответствии с рассмотренным приемом вычислений.

В ходе дальнейших упражнений приобретенные умения должны закрепляться, совершенствоваться, и в результате у детей должен быть сформирован навык быстрого и правильного выполнения вычислений в рассмотренных случаях. Для выработки таких навыков необходимо не только разнообразие, но и достаточное число соответствующих упражнений, которые" должны выполняться как в письменной форме, так и устно.

Аналогично ведется работа и над остальными свойствами и основанными на них приемами вычисления (система их введения определена учебником). С введением каждого нового свойства, естественно, расширяются возможности все более самостоятельного рассмотрения детьми как самих свойств, так и соответствующих приемов вычислений. Главное внимание учителя должно быть при этом обращено на заблаговременную подготовку детей к рассмотрению нового, основанную на актуализации тех знаний, умений и навыков, использование которых понадобится при работе над новым материалом, и на обеспечение в процессе обучения условий, необходимых для закрепления приобретенных умений, для выработки соответствующих навыков.

Особое место в системе изучения сложения и вычитания в пределах 100 занимает сложение однозначных чисел, приводящее. к выходу за пределы десятка. Это табличные случаи. Их усвоение должно быть доведено полностью до автоматизированных навыков, как и при изучении части таблицы, относящейся 1 к теме «Десяток». Об этом ни на минуту нельзя забывать учителю, рассматривая соответствующие вопросы наряду с другими, по отношению к которым задача запоминания наизусть не ставится.

Специфика этих случаев требует особой тщательности на этапе подготовки детей к их рассмотрению и закрепления приобретенных умений.

При подготовке надо отработать до полного автоматизма умение дополнять любое предложенное однозначное число до 10 и вычитать из 10 любое однозначное число, умение представить любое однозначное число в виде суммы двух слагаемых, когда одно из них задано (например, при устном выполнении упражнений вида: «9 -- это 3 и...», «8 -- это 4 и...» и т. п.).

Рассматривая с учащимися приемы вычислений для этих случаев, нужно использовать все те способы, с которыми к этому времени дети уже знакомились. Необходимо стимулировать использование детьми разнообразных приемов, облегчающих поиски ответа. Так, случай 6+7 может быть рассмотрен и на основе применения правила прибавления числа к сумме, и на основе применения правила прибавления суммы к числу, и с использованием перестановки слагаемых, и на основе знания па память случая 6+6 (случаи 5+5, 6+6, 7+7, 8+8, 9+9, легче, быстрее усваиваются детьми на память и могут быть использованы в дальнейшем в качестве опоры при решении многих других примеров), и на основе использования других приемов, к которым некоторые ученики приходят по интуиции еще до специального рассмотрения их с учителем. Например: «6+7 --это 16 без трех», -- может сказать кто-либо из детей, и это нужно только приветствовать: «6+7--это 12 да еще 1», -- скажет другой, и это тоже хорошо. Можно только спросить, как получено 12.

Как и всегда, когда речь идет об усвоении на память, необходимо обеспечить тренировочную работу, связанную с рассмотрением отдельных случаев из таблицы и с воспроизведением их в определенной системе. Например, полезно выделить, написать, повторить случаи сложения, объединенные тем, что остается постоянным первое слагаемое (табл. на с. 141 учебника) или когда постоянным будет второе слагаемое (упр. № 281 и подобные ему) и т. п. Большое значение имеет также работа над усвоением рядов чисел, получаемых при прибавлении по 2, по 3 и т. д. Специально следует упражнять детей и в усвоении соответствующих случаев состава чисел. Так, дети должны хорошо знать, как может быть получено число 12 не только при сложении десятков и единиц, но и как результат сложения двух однозначных чисел (9 и 3, 8 и 4, 7 и 5, 6 и 6). Разучивать состав чисел второго десятка из двух однозначных слагаемых необходимо не только для лучшего усвоения таблицы сложения, но и для того, чтобы соответствующие случаи вычитания дети могли усвоить в опоре на знание таблицы сложения, как это делалось и в теме «Десяток», а не только на основе тех приемов, которые в это время рассматриваются в учебнике.

Большое значение в этом отношении имеет решение и составление пар, троек, четверок примеров вида: 7+6, 13 -- 6, 6+7, 13 -- 7 и т. п.

При рассмотрении следующих случаев сложения и вычитания в пределах 100 вида: 36+7 и 36 -- 7, 26+18 и 93 -- 25 -- также важно использовать наряду с другими и такие приемы, которые способствуют усвоению табличных случаев сложения и вычитания-- заставляют их «работать» в новых условиях. Соответствующее объяснение дано на странице 164 учебника, но можно ввести этот прием и раньше (после объяснения, данного па странице 146) и тренировать детей в ходе устных упражнений в использовании как того, так и другого приема.

Для усвоения табличных случаев сложения и вычитания можно использовать те же упражнения, что выполнялись в теме «Десяток», но, конечно, несколько усложняя их. Это примеры с пропусками в одно-два действия, счет «цепочкой», составление примеров на сложение (вычитание) с заданным ответом и т. п.

Работа над табличными случаями сложения и вычитания должна вестись из урока в урок параллельно с рассмотрением новых вопросов программы как в I, так и во II классе.

В начале .второго года обучения-дети знакомятся с приемами поразрядного сложения и вычитания двузначных чисел.

Окончательная отработка знания таблицы должна быть обеспечена ко времени перехода к изучению умножения и деления, но и в дальнейшем о необходимости постоянно поддерживать у детей приобретенные навыки забывать нельзя.

урок обучение сложение математика знание

15-16. Методика изучения умножения и деления в пределах 100

«Умножение и деление в пределах 100» -- центральная тема программы II класса. На ее изучение отводится почти 3 четверти учебного года. Подготовка к рассмотрению этих действий начинается еще в I классе.

Подготовительная работа в I классе связана с реализацией и расшифровкой следующего пункта программы для этого класса: «Нахождение суммы одинаковых слагаемых и представление числа в виде суммы одинаковых слагаемых».

Соответствующие упражнения предусмотрены учебником начиная с рассмотрения первых же таблиц сложения и вычитания в пределах 10. Дети учатся присчитывать (прибавлять) по 2 к данному числу и отсчитывать по 2 от данного числа (вычитать несколько раз по 2). В связи с этим специальное внимание уделяется усвоению рядов чисел, которые при этом получаются (1, 3, 5, 7, 9 и 2, 4, 6, 8, 10. Аналогично по ходу рассмотрения новых случаев сложения и вычитания рассматриваются случаи прибавления (вычитания) по 3, по 4 и т. д. Работа в этом направлении продолжается в течение всего первого учебного года, а в конце его специально рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением суммы одинаковых слагаемых. Причем здесь уже ставится цель -- научить детей понимать выражения «по стольку-то взять столько-то раз» (упр. № 453 и др.). Внимание детей каждый раз обращается на то, что слагаемые одинаковы, каждый раз выясняется, сколько таких слагаемых, чему равна их сумма. При решении текстовых задач, сопровождаемых каждый раз иллюстрацией, ставятся те же вопросы. Задачи эти по своей формулировке совершенно аналогичны тем, которые во II классе будут решаться умножением, но пока дети решают их с помощью нахождения суммы нескольких одинаковых слагаемых. Это прямая подготовка к рассмотрению умножения.

Для подготовки к изучению деления в I классе предусмотрены практические упражнения, в ходе которых дети, оперируя множествами предметов, фактически решают задачи на деление на равные части и деление «по содержанию». Иллюстрации учебника дают возможность решать такие задачи, как обратные задачам на нахождение суммы одинаковых слагаемых. Эту связь полезно проследить уже в I классе, предлагая детям составить по рисунку, который иллюстрирует деление, задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.

Именно с описанных упражнений начинается систематическая работа по ознакомлению детей с действиями умножения и деления во II классе. Ознакомлению учащихся со смыслом этих действий, некоторыми их свойствами, существующей между ними связью, взаимосвязью между компонентами и результатами этих действий посвящается около 30 уроков по теме. Рассмотрение этих и некоторых других вопросов теории предшествует составлению и систематическому изучению самих таблиц.

Это специфическая особенность представленной в учебнике для II класса системы изучения умножения и деления, которую нужно хорошо осознать учителю. Умелое проведение уроков, посвященных этим вопросам, должно вооружить детей такими знаниями, умениями и навыками, которые во много раз уменьшают нагрузку на память детей, позволяют обеспечить сознательное и прочное усвоение табличных случаев умножения и деления с меньшей затратой сил и времени.

Рассмотрим методику ознакомления детей со смыслом действий умножения и деления и теми вопросами теории, изучение которых предпослано составлению и разучиванию таблиц.

Знакомство с умножением начинается с раскрытия смысла этого" действия и проводится на конкретном материале. Можно предложить учащимся задачу, для решения которой нужно найти сумму одинаковых слагаемых. Подобрать задачу следует так, чтобы ее содержание было легко показать наглядно. Затем, опираясь на знания, приобретенные в I классе, дети сначала напишут решение этой задачи сложением.

Приведем выдержку из соответствующего урока.

Учитель говорит: «Будем решать задачу, слушайте внимательно.

«Продавец отсчитал покупательнице 4 раза по 2 яблока. Сколько всего яблок он отсчитал?» Что в задаче известно? (Что продавец отсчитал 4 раза по 2 яблока.) Что нужно узнать? (Сколько всего яблок он отсчитал.) Зарисуйте в тетрадях условие этой задачи, а Коля сделает рисунок к задаче на доске. Рисуйте яблоки в одной строчке».-- Когда рисунки выполнены, учитель спрашивает:

По скольку яблок давал продавец каждый раз? (По 2 яблока.)

Сколько раз по 2 яблока он давал? (4 раза.)

Каким действием можно узнать, сколько всего яблок он дал? (Сложением, нужно к 2 прибавить 2, 2 и еще 2, получится 8.)

На доске появляется запись: 2+2+2+2=8. Ответ: 8 яблок.

-- Чем интересна записанная сумма? (В этой сумме все слагаемые одинаковые.)

После этого учитель сообщает, что сложение одинаковых слагаемых называют умножением. До сих пор мы изучали сложение и вычитание. Сегодня начинаем знакомиться с новым, третьим арифметическим действием. Нужно знать его название--умножение, уметь его применять, записывать и читать соответствующие примеры.

Выполненную нами запись можно прочитать так: «По 2 взять 4 раза, получится 8». Записывается это с помощью знака действия умножения так: 2-4 = 8. Мы записали решение нашей задачи умножением (точка -- знак умножения). Число 2 в этой записи показывает, какие слагаемые складывались, а 4 -- сколько их было. Вызванный ученик читает запись: По 2 взять 4 раза -- получится 8». Учитель сообщает, что ту же запись можно прочитать и по-другому: «2 умножить на 4 -- получится 8».

Рассматривается еще одна задача этого вида. Затем дети читают записанные на доске примеры на умножение и решают их с помощью сложения одинаковых слагаемых.

После этого выполняются упражнения в замене сложения одинаковых слагаемых умножением. Каждый раз при этом выясняется, какое число должно быть записано первым (то, которое показывает, какие слагаемые складывались), как обозначается умножение, какое число записывается вторым и что оно обозначает (сколько таких слагаемых).

Упражнения такого рода выполняются на следующих двух-трех уроках, причем наряду с такими примерами, в которых заменить сложение умножением можно, включаются и такие, в которых такая замена невозможна (слагаемые, хотя они чем-то и похожи друг на друга, не являются одинаковыми, например: 28+2+8, 7+4+47 и т. п.).

Помимо решения задач в замене суммы произведением и наоборот, здесь, например, детям предлагается сравнить два выражения: 3-6 и 3-7.

Возможны разные подходы к решению:

1. Наиболее простой способ -- заменить оба сравниваемых
произведения суммами (удобно записать соответствующие при
меры один под другим) так:

3-6=3+3+3+3+3+3 3 * 7=3+3+3+3+3+3+3

Сравнив суммы, легко заметить, что во второй из них одной тройкой больше, чем в первой, а из этого следует, что 3 * 7 больше, чем 3 * 6.

2. Не заменяя произведения суммами, рассуждаем так: 3-6 означает по 3 взять 6 раз, иначе говоря -- сложить 6 троек;

3-7 -- это 7 троек, на одну тройку больше.

Аналогично разбираются упражнения вида: 6-4*6+6+6+6.

Через два-три урока вводятся названия: первый множитель, второй множитель, произведение. Одновременно показывается, что выражение 8-4 называется произведением, как и результат умножения чисел. В классе вывешивается плакат с названиями чисел и выражения при умножении, сделанный по образцу записи, данной на странице 34 учебника для II класса.

Параллельно с работой, направленной на усвоение детьми связи между умножением и сложением, продолжается и решение конкретных задач на деление.

В течение всех 30 уроков, отводимых на подготовку к составлению и изучению таблиц умножения, все задачи на деление рекомендуется решать, опираясь на наглядность на основе практических действий с предметами или с использованием схематических рисунков.

После решения задачи «6 карандашей раздали по 2 каждому ученику. Сколько учеников получили карандаши?» -- с соответствующе?! демонстрацией рассматривается вторая задача по учебнику (М. 2, № 162). Учитель сообщает, что эти задачи решены с помощью нового арифметического действия, которое называется делением, показывает, как записывается решение задач, как читаются соответствующие записи.

Через два-три урока вводятся задачи на деление на равные части, которые дети уже решали в I классе, но устно, без записи. Учитель показывает, что и эта задача решается делением, дает образец записи.

В дальнейшем задачи па деление решаются либо с использованием рисунков из учебника, либо с помощью схематических рисунков, которые выполняют в ходе решения сами учащиеся. Такие рисунки можно использовать и при коллективном и при самостоятельном решении задач и примеров на деление.

Например, решается задача: «На каждый конверт надо было наклеить но 2 марки, а у Нади было 8 марок. На сколько конвертов хватит этих марок?»

Учитель предлагает детям зарисовать условие задачи, обводя вместо каждой марки одну клетку, а вместо конверта -- прямоугольник. Ученик рисует 8 марок, а затем рассуждает так: «Марки наклеивали по 2 на конверт. Возьму 2 марки и наклею их на первый конверт (перечеркивает 2 марки из 8 нарисованных, рисует конверт и 2 марки на нем)». Так же продолжает решение: зачеркивает еще 2 марки из данных, рисует второй конверт с марками и т. д., пока не кончатся все марки.

По этому рисунку легко ответить на вопрос задачи. Решение и ответ записываются: 8: 2=4. О т в е т: на 4 конверта.

Решение задачи на деление с помощью рисунка может быть выполнено и в том случае, когда задача требует деления на равные части. Например: «9 кусков сахара положили поровну в 3 стакана. Сколько кусков сахара положили в каждый стакан?»

Дети зарисовывают схематично условие (3 прямоугольника 9 клеточек).

Затем дети начинают «раскладывать» сахар в стаканы. Стаканов 3. Поэтому берем сразу 3 куска и кладем их по 1 в стакан (на рисунке отделяются и зачеркиваются 3 «куска» и в каждом стакане рисуется 1 «кусок»).

Затем так же раскладываются еще 3 «куска» и, наконец, зачеркиваются последние 3 «куска». С помощью рисунка легко может быть проверено решение задачи и получен ответ: 9:3=3.

Ответ: по 3 куска.

При решении задач (и примеров) на деление рисунки используются, таким образом, не только для иллюстрации текста задачи, но и как средство ее решения (необходимость в таком использовании рисунка отпадает только тогда, когда дети смогут решать задачи на деление, опираясь на знание соответствующих случаев табличного умножения и знание связи между делением и умножением).

После того как дети усвоят конкретный смысл действия умножения и соответствующую терминологию, рассм переместительное свойство произведения. Это свойство может быть «открыто» самими учащимися, если хорошо организовать соответствующую практическую работу на уроке. Работа может быть проведена примерно так: учитель раздает детям различные прямоугольники, вырезанные из клетчатой бумаги, и каждый ученик подсчитывает, на сколько клеток разбит прямоугольник. Для этого считают, сколько клеток в одном столбике (например, 4) и сколько таких столбиков (например, 3). Результат подсчитывается устно с помощью сложения (4+4+4= 12) и записывается. Затем ученик решает эту задачу другим способом.

Получаем две записи: 4-3=12 и 3* 4= 12. Сравнив результаты, дети замечают, что они равны. Сравнив выражения, устанавливают, что они отличаются только порядком множителей. Поскольку у детей были различные прямоугольники, полезно заслушать, как проведен подсчет числа клеток в разных случаях. Прослушав три-четыре примера, можно сделать вывод, который затем дети должны прочитать по учебнику.

Сразу же выполняются упражнения, требующие применения этого свойства в различных условиях. Заполнение таблицы, которая дает возможность сравнивать несколько произведений, отличающихся лишь порядком множителей (№ 226), дает возможность уже на следующем уроке подвести детей к записи переместительного свойства произведения с помощью букв: а-Ь = Ь-а.

Следующий шаг в ознакомлении детей с умножением и делением-- рассмотрение вопроса о связи между компонентами и результатом умножения, а после введения соответствующей терминологии и связи между компонентами и результатом деления. Связи эти раскрываются на основе рассмотрения задачи на нахождение неизвестного компонента действия по данным результату и второму компоненту.

Методика соответствующей работы аналогична той, которая использовалась при нахождении неизвестных компонентов сложения и вычитания.

После изучения этих вопросов становится возможным убедительно доказать детям, что задачи на деление на равные части и на деление по содержанию могут быть истолкованы как задачи на нахождение одного из множителей по данным произведению и другому множителю. Обобщение этих задач на деление дает возможность в дальнейшем рассм каждую из них как задачу на деление, и различие между ними будет выступать только в истолковании получ ответа.

Наиболее важны задания, связанные с составлением пар, троек, четверок примеров вида: 6-3=18, 3-6=18, 18:3=6, 18:6=3. При этом главное, чтобы дети поняли, что пример на умножение дает возможность решить пример на деление уже без опоры на наглядность. Начиная с этого момента можно вычислять произведения не только с помощью сложения, а предлагать решать соответствующие примеры на деление на основе связи деления с умножением. Поначалу результат полезно проверять на основе практических операций с множествами предметов.

Отметим, что прослеживать связь между делением и вычитанием на этом этапе обучения не стоит. Это могло бы отвлечь внимание детей от главного -- связи между делением и умножением, которая лежит в основе всей дальнейшей работы над умножением и делением.

До составления таблиц рассматриваются случаи умножения и деления с числами 1 и 10. Умножение 1 на любое число не должно вызвать затруднений. Важно обобщить решение нескольких таких примеров, чтобы в дальнейшем пользоваться уже этим общим правилом.

Правило умножения на 1 должно быть введено учителем. Логическую ошибку допустил бы учитель, стремясь как-либо объяснить умножение на 1. В этом случае нельзя сказать, что здесь одно слагаемое, так как в сумме не может быть одного слагаемого; следовательно, на основе того определения умножения, с которым дети были ознакомлены, случай умножения на 1 истолкован быть не может. Иногда учитель вводит этот случай, используя переместительное свойство произведения. Рассуждает он при этом так: мы уже знаем, что 1-6=6, а произведение 6-1 отличается от данного только порядком множителей; следовательно, 6-1 = 6. На первый взгляд как будто все правильно, но на самом деле это далеко не так. Логическая ошибка допущена и в этом случае, так как переместительное свойство произведения не может быть распространено на случай умножения на 1, пока этот случай специально не оговорен как особый, не подпадающий под введенное определение действия. Итак, случай вида 6-1 должен быть введен учителем как особый. Учитель может даже сказать, что в этом случае нельзя сказать, что у нас есть сумма одинаковых слагаемых, но договорились и этот случай считать умножением, причем считать, что произведение любого числа на 1 равно числу, которое мы умножили.

На этот случай можно распространить и переместительное свойство: так, если 6-1=6, а мы знаем, что 1 -6=6, то 6-1 = 1 -6.

Деление на 1 рассматривается на основе связи между умножением и делением: 3:1=3, так как 1-3=3, 5:1=5, так как 1-5=5 и вообще: о: 1=а, так как 1-а=а. Эти выводы можно сделать на основе рассмотрения упражнения № 325 учебника.

Умножение десяти сводится к умножению одного десятка: соответствующее пояснение дается в учебнике. Дети должны самостоятельно составить все примеры на умножение 10 в пределах 100. Для большей наглядности можно в данном случае вернуться к использованию пучков-десятков палочек (или их изображений).

На этом завершается первый этап работы над умножением и делением во II классе. и начинается работа по рассмотрению последовательно всех табличных случаев умножения и деления. "Рассмотрение каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления ведется примерно по одному и тому же плану, с постепенным усилением доли самостоятельного участия детей в этой работе. При составлении таблиц используются все те приемы, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начинается работа по изучению каждого случая таблицы умножения и деления (с числом 2, 3 и т. д.) с составления таблицы по постоянному первому множителю. При таком подходе в большей мере используется хорошо усвоенный детьми смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Дети легко устанавливают связь каждого следующего примера из таблицы с предыдущим. Однако уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2-9, можно заменить этот пример другим: 9-2 -- и найти результат так: 9+9=18.

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается на доске столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется соответствующий ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. С такой работой дети тоже уже хорошо знакомы! Часть работы поэтому можно | выполнить под руководством учителя, а остальную -- пор учить | детям проделать самостоятельно. Эта работа должна обязательно дублироваться па доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблица умножения и соответствующие таблицы деления.

17. Контроль и оценка ЗУН учащихся по математике

Только систематически осуществляя проверку понимания детьми проводимых объяснений, усвоения новых знаний, умения применять их в разнообразных условиях, постоянно следя за ходом формирования необходимых навыков, можно вовремя внести соответствующие коррективы в работу, организовать своевременное устранение пробелов, обнаруженных в подготовке детей, обеспечить условия для успешного продвижения каждого ученика в овладении программой.

Систематическая проверка и учет подготовленности детей по математике имеет и другое, общегосударственное значение, позволяя судить о результатах обучения, о фактическом выполнении государственных программ.

Учитывая цели и значение постоянной проверки и учета знаний учащихся в процессе обучения, в школе используются различные виды такой проверки, осуществляемые в разнообразных формах, с использованием ряда специальных методических приемов.

Итак, основные цели проверки: получение обратной информации о подготовленности детей к дальнейшей работе над новыми вопросами курса и подведение итогов обучения. Они определяют и два основных вида проверки: текущую проверку знаний, умении и навыков учащихся, осуществляемую из урока в урок, и итоговую проверку, приуроченную к окончанию работы над тем или иным разделом (темой) курса и к окончанию каждой четверти учебного года.

Текущая проверка предполагает прежде всего выяснение уровня подготовленности детей к изучению новой темы, нового вопроса курса, к рассмотрению которых предполагает перейти учитель.

Предварительная проверка знаний необходима при переходе к изучению каждого нового вопроса, рассмотрение которого опирается на использование тех знаний, умений и навыков, которыми дети должны были овладеть на предыдущих занятиях.

Особенно большое значение она приобретает в начале учебного года, когда после длительного летнего перерыва в учебе в знаниях учащихся, естественно, обнаруживается что-то забытое, возникает необходимость активизации приобретенных ранее знаний. Прежде чем спланировать соответствующую работу с классом, чтобы сделать ее возможно более целесообразной, необходимо выяснить, какие именно вопросы нуждаются в особом внимании при повторении пройденного на уроках, какие индивидуальные задания могут помочь в устранении пробелов, возникших в знаниях отдельных учащихся.

Наиболее оперативной формой такой предварительной проверки является проведение соответствующим образом составленной проверочной работы, предназначенной для самостоятельного письменного выполнения детьми. Такие проверочные работы должны быть невелики по объему, занимать на уроках от 5 до 15 мин. (в зависимости от класса и содержания'. В первые дни учёбных занятий они могут проводиться ежедневно, служа отправным моментом для учителя при решении вопроса, как определить цели и задачи следующих уроков, какие вопросы- из пройденного рассмотреть для закрепления и совершенствования приобретенных ранее знаний.

В такие работы надо включать наиболее существенные вопросы из пройденного, причем преимущественно относящиеся к проверке умений и навыков. Так, в начале второго года обучения важно проверить, твердо ли знают дети табличные случаи, в какой мере уверенно используют различные приемы сложения и вычитания чисел, рассматривавшиеся в первом классе. Поэтому в одну из письменных проверочных работ полезно включить сложение однозначных чисел и соответствующие случаи вычитания, в другую -- примеры, требующие применения различных приемов вычислений. Выполненную на уроке работу полезно проверить на самом уроке, чтобы прослушать пояснения детей, в ходе которых будут повторены соответствующие правила, раскрыты применявшиеся приемы вычислений, обнаружены ошибки, допущенные отдельными учениками, и вскрыты их причины. Такая проверка в ходе коллективной работы с классом позволит повторить все эти вопросы всем ученикам. При проверке тетрадей учителем после уроков важно выделить работы тех учеников, у которых обнаружились некоторые типичные "для них (но не для всех учеников класса) ошибки. В соответствии с этим учителя подготавливают, как правило, индивидуальные задания для этих учащихся. Сочетание проверочных письменных работ с устной проверкой знаний детей, с коллективной работой над ошибками и выполнением индивидуальных заданий с последующим устным опросом -- наиболее эффективная форма проверки знаний детей и попутного восполнения обнаруженных пробелов. Проверка, предваряющая переход к работе по новой теме программы, должна быть направлена на выявление уровня усвоения именно тех вопросов из пройденного, которые необходимы в качестве основы для изучения новой темы. Поэтому, прежде Чем приступить к изучению новой темы, нужно проанализировать, какие вопросы из пройденного будут здесь иметь наиболее важное значение (это сделано в настоящей книге ниже, при рассмотрении методики работы над основными темами программы). По данным предваряющей проверки подготовленности детей оценку их знаний производить, как правило, не имеет смысла. Это не соответствовало бы основной задаче, решаемой в это время учителем, -- выяснить недостатки в знаниях, восполнить их. Тем же целям часто подчиняется и текущая проверка знаний, умений и навыков, которая проводится в ходе изучения той или иной темы. Так, уже на первом уроке, посвященном рассмотрению какого-то вопроса, после первичного закрепления новых знаний бывает полезно провезти самостоятельную работу для того, чтобы, с одной стороны, закреплять приобретаемые знания, а с другой -- проверить, как понято новое детьми. Это также важно для планирования работы на следующем уроке. Было бы неправильным оценивать работу детей над материалом, который еще не усвоен ими в необходимой мере. Это относится и к устному опросу но новому материалу и к письменным классным или домашним работам детей.

Иное дело, когда прошел уже период закрепления новых знаний, умений и навыков (период этот, конечно, будет различным для разных вопросов), когда учитель может рассчитывать на то, что большинство учащихся с соответствующими заданиями справится. На этом этапе необходимы проверка и учет, оценка усвоения детьми пройденного.

В объяснительной записке к нормам оценки знаний, умений и навыков по математике сказано: «Текущая оценка ЗУН учащихся осуществляется по результатам повседневного устного опроса учащихся, выполнения ими обучающих классных и домашних письменных работ, а также на основании периодического проведения контрольных работ по изучаемому программному материалу».

Устный опрос детей часто связывается с проверкой домашнего задания. Тогда постановкой соответствующих вопросов учитель стремится выяснить умение объяснить выполненные вычисления, обосновать выбор действия при решении задачи, предложенной на дом, понимание тех вопросов теории, которые рассматривались ранее и которые нашли применение в домашней работе. Учитывая огромное значение, которое придается усвоению детьми табличных случаев действий, в устный опрос детей полезно включить также вопросы по таблицам (соответствующие задания могут предлагать детям сами учащиеся -- это активизирует работу класса во время опроса одного из учеников). Вопросы такого рода могут предлагаться в разнообразной форме, а не только в форме примеров из той или иной таблицы (например: скажи, при умножении каких двух чисел произведение равно 12? 36? Составь два примера на сложение двух чисел с ответом 9. В какой строке таблицы умножения можно найти частное чисел 36 и 9? и т. п.). Все эти вопросы, которые задаются отвечающему ученику, должны адресоваться всему классу: дети должны всегда быть готовы ответить на любой из них.

Устный опрос может быть построен и на том новом материале, который в данный момент рассматривается в классе (например, после объяснения приема письменного деления на однозначное число учитель может вызвать ученика для решения аналогичного примера и, задав ему 2--3 дополнительных вопроса по ранее пройденному, выставить оценку за ответ).

Оцениваться могут и ответы учеников, принимавших активное участие во время фронтальной работы с классом. Фронтальную проверку полезно организовать с использованием разного рода сигналов, позвол-их учителю проследить за правильностью выполнения задания каждым учеником. С этой целью широко используются такие приемы: показ учащимися с помощью карточек ответа или знака действия, которое нужно выполнить для решения предложенной простой задачи; сигнал «светофор», с помощью которого дети показывают, согласны ли они с ответом, предложенным отвечающим учеником,

Широко используется в практике также так называемая полуписьменная форма проверки знаний, умений и навыков учащихся. Чаще всего она проводится в форме математических диктантов. Цель таких диктантов может быть различной.

Если речь" идет о проверке знания таблицы умножения, то, «диктуя» соответствие задания, учитель не должен использовать различные формулировки вида: найти произведение чисел 8 и 7, число 6 увеличить в 5 раз; первый множитель 7, второй -- 4; найти произведение и т. п. Не следует это делать потому, что в этом случае трудно будет при проверке работ учащихся выяснить характер возникших затруднений, причину отказа от решения того или иного примера (может быть, что ученик действительно не указал произведения чисел 6 и 5, так как не помнит его, но может быть и так, что он не понял задания, не знает термина «произведение» и т. п.). С целью проверки усвоения соответств-их формулировок лучше поэтому дать другой диктант, когда учитель формулирует задания с использованием различных терминов, а дети записывают либо соответствующее выражение, либо знак действия, которое должно быть выполнено в данном случае.

С помощью такого же диктанта может быть проверено и умение детей выбирать нужное действие при решении простых текстовых задач (в такой форме за несколько минут можно проверить умение решать простые задачи различных видов).

Оценка классных или домашних самостоятельных работ, построенных на знакомом материале, как правило, должна сочетаться с устной проверкой усвоения детьми отдельных вопросов теории, навыков вычислений и др.

В текущие письменные контрольные работы наряду с вопросами рассматриваемой темы должны включаться и задания по заранее изученным разделам программы. Такие работы могут быть построены на однородном материале (скажем, на материале письменных вычислений или решении задач, но могут быть и комбинированными: включающими как арифметические, так и алгебраические и геометрические задания, упражнения в вычислениях).

В текущей проверке, однако, в некоторых отношениях более_ целесообразными оказываются контрольные работы однородного состава. В этом случае, пометив в журнале содержание каждой такой работы, учитель более точно будет представлять себе, с какого рода заданиями хуже справляются многие ученики (или отдельные учащиеся).

Итоговая проверка и оценка знаний имеет целью установить, как усвоили дети основные, предусмотренные программой обучения знания, умения и навыки, необходимые им для успешного усвоения всего курса. Таких работ в соответствии с указаниями Министерства просвещения проводить следует не более 4--5 в течение года, приурочивая их к концу четверти учебного года. Не следует перегружать такие работы заданиями, посвященными частным вопросам, предъявлять к детям требования, не зафиксированные в программе). В связи с этим, как правило, итоговые работы по своему содержанию могут быть несколько легче, чем контрольные работы, проводимые учителем при текущей проверке знаний учащихся.

На выполнение итоговой контрольной работы отводится в I классе от 20 до 35минут, во II и III --35--40 мин. Объем каждой письменной контрольной работы должен быть таким, чтобы ученики имели возможность не только выполнить ее в установленный срок, но и проверить свою работу.

Приведем примерные требования к содержанию и характеру письменных итоговых контрольных работ по каждому классу.

I класс. В первом полугодии контрольная работа может состоять из задачи в I действие, 8 примеров на вычисление и 1 геометрического задания. Во втором полугодии -- из задачи в 2 действия, 6 примеров на вычисления и еще 2 заданий, одно т которых может быть геометрическим, другое -- алгебраическим.

II класс. В первом полугодии контрольная работа может
состоять из 2 задач: одна задача в два действия, другая -- в одно, 6 примеров и одного задания алгебраического характера (напр, решение уравнения).

Во втором полугодии -- из одной более сложной задачи в 2 -- 3 действия и 6 примеров и по одному заданию алгебраического и геометрического характера.

IIIкласс. В первом полугодии в контрольную работу могут быть включены 1 -- 2 задачи в зависимости от степени сложности, 3 -- 4 примера с многозначными числами и по одному заданию алгебраического хар-ра, или 2 -- 3 задачи, 1 из которых следует решить разными способами, геометрическое задание (например, задачи на вычисление площади или периметра), или 4 арифметических примера, пример с именованными числами, решение уравнения, нахождение значения выражения.

Во втором полугодии содержание контрольной работы приблизительно такое же. Во всех случаях содержание работы должно позволить проверить знания учащихся по новому и ранее изученному материалу.

При оценке знаний, умений и навыков учащихся учитель должен руководствоваться утвержденными нормами.

17. Свойства умножения

Сочетательное свойство умножения

Введение в программу начального курса математики сочетательного свойства умножения позволяет познакомить учащихся с новыми вычислительными приемами, с помощью которых они могут находить рациональные способы вычислений.

В зависимости от логики построения курса сочетательное свойство умножения может изучаться как во втором, так и в третьем шассе.

Например, в учебнике МЗМ изучение сочетательного свойства умножения, которое представлено как умножение числа на произведение, предшествует изучению темы «Умножение на числа, оканчивающиеся нулями». Это позволяет познакомить учащихся с новым способом действия при выполнении устных вычислений для данного случая умножения и обосновать ту форму записи «в столбик», которая используется при умножении чисел, оканчивающихся нулями.

При знакомстве со свойством умножения числа на произведение в учебнике МЗМ учащимся предлагаются образцы различных способов вычислений. Анализируя данные образцы, они приходят к выводу, что умножать число на произведение можно тремя различными способами.

Ў Рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение
чисел 4 и 2. Сравни результаты.

а) 7-(4-2)=7'8=56

б) 7 * (4 * 2)= (7 * 4) * 2=28 * 2=56

в) 7«(4-2)=(7'2)«4=14'4=56

Распределительное свойство умножения

Знакомство младших школьников с распределительным свойством умножения, так же как с переместительным и сочетательным, обусловливается логикой построения курса.

Возможен вариант, когда сам термин «распределительное свойство умножения» не вводится, а рассматриваются два правила:

а) умножение суммы на число;

б) умножение числа на сумму.

Изучение этих правил разведено во времени, т. к. первое правило лежит в основе вычислительного приема умножения двузначного числа на однозначное (в пределах 100), а второе правило вводится для разъяснения способа действия при умножении двузначного числа на двузначное «в столбик».

Этот вариант нашел отражение в учебниках М2М и МЗМ.

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике М2М предложены задания:

v Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети? Рассмотри два способа решения этой задачи и объясни каждый из них.

18. Внетабличное деление. Двузначного числа на однозначное и двузначное

Для выполнения устного умножения и деления, так же как для сложения и вычитания, учащиеся используют различные вычислительные приемы. Овладение вычислительными приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100 (разрядного состава двузначного числа), табличных случаев сложения (вычитания), умножения (деления), переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения, а также свойства деления суммы на число.

В начальном курсе математики приемы устного умножения и деления используются при умножении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное.

В учебнике М2М основным способом знакомства с вычислительным приемом является показ образца действия и его закрепление в процессе тренировочных упражнений. Например:

Ў Объясни решение примера

23 * 4=(20+3) * 4=20 * 4+3 * 4=80+12=92

· Реши с устным объяснением: 12-5,25-3

В основе вычислит-го приема при делении двузначного числа на однозначное лежит свойство деления суммы на число. Однако методика формирования вычислительных умений может быть различной.

В учебнике М2М выделяются три случая деления двузначного числа на однозначное и каждый из них отрабатывается отдельно. 1)46:2, 96:3 2)36:2, 65:5 3)70:2, 96:4 Для каждого случая дается образец действия:

1) 46:2=(40+6):2=40:2+6:2=20+3=23

Ориентируясь на образец, учащиеся выполняют тренировочные упражнения, в процессе которых закрепляются определенные способы действия.

В первом случае делимое представляется в виде суммы разрядных слагаемых и затем используется свойство деления суммы на число.

Во втором случае делимое представляется в виде суммы так называемых «удобных слагаемых».

В качестве одного из таких слагаемых выделяются разрядные десятки, которые дети умеют делить на данное число. Ориентиром для выделения такого слагаемого служит делитель. Например, если делитель 2, то одним слагаемым будет число 20, если 3, то 30, и т.

При делении двузначного числа на двузначное учащиеся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.

Поэтому в учебнике М2М разъяснению вычислительного приема предшествует тема «Проверка деления и умножения». Правила проверки умножения и деления формулируются в общем виде. А именно:

«Деление можно проверить умножением: 78:3=26. Проверка: 26*3=78.

Частное умножили на делитель, получили делимое. Значит, деление выполнено верно».

«Умножение можно проверить делением: 18 «4=72. Проверка: 72:4=18. Произведение разделили на один множитель, получили другой множитель. Значит, умножение выполнено верно».

Возможны два способа действия.

1. Учащиеся могут умножить меньшее двузначное число на однозначное и получить равенство: 16*6=96. Пользуясь перемести тельным свойством умножения, они записывают второе равенство: 6*16=96.

Теперь можно воспользоваться правилом: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель, - и записать еще два равенства, удовлетворяющие условию задания. 96:6=16,96:16=6.

2. Учащиеся могут разделить двузначное число на однозначное, пользуясь правилом деления суммы на число, и записать равенство: 96:6=16. Теперь можно воспользоваться правилами: а) если значение частного умножить на делитель, то получим делимое; 6} если делимое разделить на значение частного, то получим делитель, - и записать равенства: 16 «6=96,96:16=6.

После того как учащиеся вспомнили правила о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления, им предлагается самим найти способ действия при вычислении значений выражений:

96:12 48:24 68:17

19. Порядок действий в выражениях

Основная цель изучения данной темы - познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий в выражениях и сформировать у них умение пользоваться ими.

В начальных классах эти правила обычно формулируются в таком виде.

Правило 1.. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Анализ приведенных правил позволяет выделить те основные признаки выражений, на которые учащиеся будут ориентироваться при вычислении их значений. А именно: выражения без скобок и со скобками; содержащие только сложение и вычитание или умножение и деление; выражения, обладающие признаками: наличие скобок и все четыре арифметических действия.

Следует иметь в виду, что уже до знакомства с правилами порядка выполнения действий учащиеся вычисляли значения выражений, содержащих сложение и вычитание или умножение и деление, т. е. действовали в соответствии с правилом 1. Кроме того, уже в первом классе они познакомились с тем, что действие, записанное в скобках, выполняется первым. Необходимость введения этого правила обусловливалась изучением свойств арифметических действий: сочетательного свойства сложения или способов прибавления числа к сумме и суммы к числу. Во втором классе это правило использовалось при изучении сочетательного и распределительного свойств умножения и при делении суммы на число.

Поэтому дети воспринимали это правило скорее как один из способов вычисления определенных выражений, нежели как общий способ действий.

Для подготовки учащихся к восприятию правил как общего способа действий при вычислении значений выражений нужно прежде всего научить их анализировать различные числовые выражения с точки зрения тех признаков, на которые сориентировано каждое правило.

Для этого целесообразно выполнить такие задания:

ЎСравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи
первые выражения в каждой паре?

ЎЧем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре:

20. Обзор учебно-наглядных пособий в нач. классах

Урок представляет собой цепочку последовательных действий учителя и ученика, направленных на сознательное усвоение знаний, умений и навыков. В настоящее время в нем одно из центральных мест отводится той деятельности учителя и учащихся, которая связана с использованием наглядных пособий и технических средств обучения; функции этих средств обучения многообразны, но в основном они заключаются в том, чтобы помогать раскрывать содержание и объем новых понятии, закреплять изучаемый материал, быть средством контроля, обеспечивать активную самостоят-ую учебную деятельность детей.

Следуя логике процесса усвоения знаний на каждом этапе познавательной работы, средства наглядности могут содействовать закономерному переходу от восприятия единичного, конкретного к общему абстрактному и от общего, абстрактного к единичному, конкретному.