Методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ

МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПЕДВУЗА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Москва - 2009

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Известно, что высшая школа сегодня характеризуется состоянием поиска путей модернизации образования. Наблюдается процесс осмысления возможностей ее перехода к новой образовательной парадигме. Если прежняя парадигма была в основном парадигмой обучения с ведущими лозунгами «знания, умения, навыки и общественное воспитание», то новая, предполагается, должна ориентироваться на становление «компетентности, эрудиции, творческих начал и культуры личности». Современное положение дел в высшем образовании характеризуется внедрением новой структуризации в высшей школе, формированием передовых психолого-педагогических концепций, применением продуктивных методик передачи знаний, конструированием инновационных методических систем и технологий обучения.

Новая образовательная парадигма в России в качестве приоритета высшего образования рассматривает ориентацию на интересы личности, адекватные современным тенденциям общественного развития. Ее важнейшим компонентом является концепция фундаментализации образования, трактующая фундаментальность как категорию качества образования и образованности личности. Эта концепция распространяется, в частности, на подготовку будущих учителей математики, обучающихся в педагогическом вузе или классическом университете. Новая образовательная парадигма прежнюю (как парадигму обучения) не отменяет, она вбирает в себя ставшие привычными приоритеты и нацеливает на более высокое качество образования.

Представленное исследование включает в себя исходные факты, его основную идею и теоретическую концепцию.

Исходные факты опираются на многочисленные результаты исследований уровня математической подготовки будущих учителей к преподаванию школьного курса математики и, в частности, начал математического анализа. Следует отметить, что в разные годы состояние математической и методической подготовки действующих учителей математики и студентов математических факультетов исследовалось многими авторами, в том числе В.А. Гусевым, О.А. Ивановым, В.И. Игошиным, Ю.М. Колягиным, Г.Л. Луканкиным, А.Г. Мордковичем, А.Х. Назиевым, Е.С. Петровой, И.Д. Пехлецким, Г.И. Саранцевым, И.С. Сафуановым, Е.И. Смирновым, И.М. Смирновой, В.А. Тестовым, И.Л. Тимофеевой, Г.Г. Хамовым, М.И. Шабуниным, Л.В. Шкериной, П.М. Эрдниевым, А.В. Ястребовым и др. В работах названных авторов констатируется, что в вопросах подготовки будущих учителей имеется немало проблем. Многие из них характерны для состояния высшего педагогического образования и сегодня. Более того, самые последние исследования свидетельствуют о том, что наблюдается определенное падение уровня образования в педвузах России.

Подготовка будущих учителей математики далеко не в полной мере соответствует новым тенденциям совершенствования и развития современного математического образования, что проявляется, например, в неспособности многих выпускников педвуза продуктивно работать в условиях уровневой и профильной дифференциации, вариативности программ и учебников. Современным требованиям не соответствует уровень знания некоторыми студентами и выпускниками педагогических институтов и университетов школьного курса математики, методов его преподавания, связей школьного курса начал анализа с вузовским курсом математического анализа. Для таких студентов в контексте темы исследования характерно недостаточное владение той частью содержания курса дифференциального и интегрального исчисления, которая обеспечивает уверенность в решении нестандартных задач по математическому анализу и обучении школьников поиску подходов к решению трудных задач по этой дисциплине. Данный факт подтверждают, в частности, результаты последних лет Единого государственного экзамена по математике, показываемые учащимися 11-го класса общеобразовательных школ России.

Можно говорить и о невысокой общей и математической культуре выпускников педвузов, о недостаточном развитии у них математического и эвристического мышления, об отсутствии должного опыта математической деятельности, о рецептурности методических знаний по преподаванию начал анализа, о слабых методических умениях и формализме предметных знаний. У обучающихся студентов часто наблюдается отсутствие потребности в осмыслении новых математических фактов, критичности при выборе методов и подходов, используемых для доказательства утверждений. Почти у всех таких студентов нет реального опыта поиска новой научной информации по математике.

Основная идея исследования состоит в том, что в вопросах подготовки учителя математики в педвузе главное внимание должно концентрироваться на ее развивающей функции. Это, согласно концепции фундаментализации образования, предполагает снижение доли репродуктивных подходов в обучении, сближение и интеграцию методов и способов обучения студентов с реальными научными исследованиями, приобщение обучаемых к активному научному поиску и творчеству, воспитание у них критического отношения к изучаемому материалу.

Актуальность настоящего исследования определяется требованием разрешения ряда существенных противоречий, характерных сегодня для обучения студентов педвуза математическим дисциплинам. Важнейшими являются следующие противоречия:

- между потребностями современной общеобразовательной школы в грамотных, высококвалифицированных, творчески работающих учителях и наличием односторонних и разобщенных подходов к подготовке будущих учителей математики, не позволяющих удовлетворительно решить проблему качественного профессионального образования специалистов;

- между существующими разработками положений фундаментализации образования, реализация которых способна эффективно влиять на математическую подготовку будущих учителей математики, и отсутствием разработанной методической системы обучения студентов педвуза математическим дисциплинам на базе этих положений;

- между сложившейся традиционной практикой информационно-экстенсивного изучения математических курсов студентами-математиками в педвузе и возможностью перевода этих курсов на интенсивно-фундаментальное основание, предполагающее творческое усвоение студентами изучаемого материала, а также их приобщение к активному научному поиску, научному исследованию;

- между сохраняющейся ориентацией образовательных стандартов на информационно-знаниевую модель высшего профессионального педагогического образования и необходимостью включения научно-исследовательской работы студентов, как требование фундаментализации образования, в число обязательных компонентов образовательной программы подготовки будущих специалистов;

- между узким пониманием профессиональной направленности математической подготовки будущего учителя к преподаванию математики в школе, сводящимся к обстоятельному представлению в вузовском преподавании «школьной» математики, и потребностью в его фундаментальной подготовке по математическим дисциплинам, обеспечивающей широкий, компетентный взгляд на все разделы школьного курса математики, несущей потенциальные возможности творческой организации обучения математике школьников.

Данные противоречия определяют не только актуальность направления исследования, но и актуальность темы исследования, поскольку математический анализ является базовой дисциплиной в математической подготовке будущих преподавателей математики.

Названные противоречия позволяют сформулировать проблему исследования: выяснить, каковы особенности построения эффективной методической системы обучения студентов педвуза основам математического анализа в условиях фундаментализации образования. В функционировании такой системы научно-исследовательская работа участников образовательного процесса должна иметь статус одной из стратегий обучения.

Все изложенное определило выбор темы исследования: оно посвящено конструированию методической системы обучения студентов педагогического вуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования.

Объектом исследования является процесс обучения студентов педагогического вуза математическому анализу, а его предметом - методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации образования, включающая цели, содержание, методы, формы и средства обучения.

Целью исследования является создание методической системы обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, обеспечивающей будущим учителям высокий уровень математической подготовки и подготовки к профессиональной деятельности.

Исходная гипотеза исследования: обучение студентов педагогических вузов дифференциальному и интегральному исчислению будет эффективным, профессионально направленным, соответствовать современным требованиям к высшему профессиональному образованию, если:

- его методологическую основу составят принципиальные положения концепции фундаментализации высшего педагогического образования, теория системного подхода, а также концепция учебной деятельности, ориентированная на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию;

- построить методическую систему обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации математического образования;

- содержание обучения студентов математическому анализу конструировать на основе научно обоснованной системы принципов его отбора, а при организации курса анализа активную творческую и научную деятельность студента рассматривать как системообразующий элемент его математического образования;

- содержание обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению рассматривать как развивающуюся систему, в которой развитие осуществляется через исследовательскую деятельность не только преподавателя (обучающего), но и студентов (обучаемых): наполнение содержания должно происходить за счет и индивидуальной деятельности участников процесса, и совместной исследовательской деятельности;

- вопросы дифференциального исчисления в курсе анализа изучать посредством подхода, опирающегося на понятие дифференцируемости функции по Каратеодори и использующего простые алгебраические методы, доступные не только студентам, но и школьникам;

- выявить образовательный потенциал изучения неравенств и выпуклых функций с точки зрения преемственности обучения будущих учителей методам математического анализа и их профессиональной подготовки на основе обобщения школьных знаний начал анализа.

Цель, предмет, гипотеза исследования определили постановку его основных задач:

- провести анализ существующих трактовок феномена фундаментализации образования (в частности, фундаментализации математического образования), выделить основные характеристики этого феномена и положить их в основу строгих определений понятий «фундаментализация образования», «фундаментализация математического образования»;

- сконструировать состав и структуру методической системы обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации математического образования;

- обосновать систему принципов отбора содержания обучения студентов-математиков основам математического анализа и посредством этой системы спроектировать содержание курса дифференциального и интегрального исчисления для будущих учителей математики в контексте идей фундаментализации образования;

- при разработке содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществить тщательный отбор новых результатов исследований и открытий по математическому анализу в последние годы; систематизировать в этих целях собственные исследования по основам анализа;

- выявить возможности и условия научной специализации обучаемых студентов по отдельным направлениям дифференциального и интегрального исчисления в процессе изучения ими математики в вузе;

- опираясь на трактовки объекта современной математики и предмета математического анализа, на концепцию учебной деятельности, ориентированную на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными математическому содержанию, сформулировать требования к учебным материалам, предназначенным для курса математического анализа; создать соответствующие учебные материалы, базирующиеся на таких требованиях;

- в рамках математической подготовки студентов педвуза средствами математического анализа разработать подход к изучению основ дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основанный на понятии дифференцируемости функции по Каратеодори; обосновать возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных; осмыслить методы выпуклых и логарифмически выпуклых функций в анализе и его приложениях, выяснить значение теории неравенств в фундаментальной подготовке студентов по математическому анализу;

- рассмотреть содержательные аспекты подготовки будущих учителей к работе в условиях уровневой и профильной дифференциации, а также к ведению внеклассной работы по математике в школе, восходящие к их углубленной подготовке по математическому анализу.

Теоретико-методологические предпосылки исследования составляют:

- нормативные документы в образовательной сфере: Концепция развития школьного математического образования (1989 г.), Концепция фундаментализации высшего образования (1996 г.), Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. (2002 г.), Программа модернизации педагогического образования (2003 г.), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям педагогического образования (2004 г.), Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005 г.) и др.;

- работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А.Д. Александров, В.И. Арнольд, Г. Вейль, Д. Гильберт, Б.В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, Д. Пойа, М.М. Постников, А. Пуанкаре, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, В.М. Тихомиров, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);

- теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Л.В. Занков, В.П. Зинченко, А.Н. Леонтьев, Е.И. Лященко, А.А. Столяр, З.И. Слепкань, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);

- теория системного подхода в образовании и ее реализация в обучении математике школьников и студентов (В.А. Гусев, В.И. Егорченко, Л.С. Капкаева, В.И. Крупич, В.С. Леднев, В.М. Монахов, А.М. Пышкало, Г.И. Саранцев, И.Л. Тимофеева, А.И. Уемов, П.Г. Щедровицкий и др.);

- психолого-педагогические исследования познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Е.П. Ильин, Р.С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М.А. Родионов, С.Л. Рубинштейн и др.);

- концепция профессионально-педагогической направленности подготовки учителя математики (О.А. Иванов, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, М.В. Потоцкий, В.А. Тестов, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин и др.);

- концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Т.Н. Миракова, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев и др.);

- концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Л.Н. Журбенко, Е.Е. Семенов, И.М. Смирнова, М.В. Ткачева, Р.А. Утеева, В.В. Фирсов и др.);

- работы по использованию задач в обучении математике (В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Э.Г. Готман, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Н.И. Зильберберг, Е.С. Канин, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, А.А. Максютин, В.И. Мишин, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович, Ф.Ф. Нагибин, Е.Н. Перевощикова, Д. Пойа, Я.П. Понарин, Н.Х. Розов, В.И. Рыжик, И.В. Ульянова, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Р.Г. Хазанкин, И.И. Чучаев, И.Ф. Шарыгин, А.Ю. Эвнин, П.М. Эрдниев и др.);

- современные научные и научно-методические исследования по дифференциальному и интегральному исчислению функций и теории неравенств (Д.В. Аносов, Г.А. Багмут, О.В. Бесов, Г.Г. Брайчев, А.Г. Галканов, В.Ф. Демьянов, В.В. Иванов, В.А. Попов, Г.А. Сорокин, И.И. Чучаев, Abel Ulrich, H. Alzer, Bartle Robert G., M. Benzce, R.P. Boas, S.S. Dragomir, Duca Dorel I., Gorni Gianluca, Pop Ovidiu, M. Ivan, B. Finta, Beg Ismat, T.M. Flett, Furi Mossimo, Martelli Mario, Mera Ruben, Popa Aurelia, Dupont Pascal, Vast Nicole, Xin Min Yang и др.).

Для решения сформулированных задач использовались следующие методы исследования:

- теоретический анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы по теме исследования;

- изучение и анализ научных сведений по дифференциальному и интегральному исчислению функций и по теории неравенств, учебных пособий и программ по математическому анализу для студентов математических специальностей;

- изучение и анализ опыта преподавания математического анализа в вузах и начал математического анализа в школах различного профиля;

- анализ, сравнение, систематизация и обобщение собственного многолетнего опыта преподавания математического анализа в педагогическом вузе;

- проведение педагогических измерений (наблюдение, анкетирование, интервьюирование, опросы студентов, собеседование, оценивание уровня знаний обучаемых и уровня овладения ими способами деятельности по усвоению математических понятий и утверждений, беседы со студентами, школьниками, учителями математики городских и сельских школ, преподавателями математики высших учебных заведений, представителями управляющих органов образования);

- педагогический эксперимент по проверке эффективности функционирования методической системы обучения дифференциальному и интегральному исчислению студентов педвуза в условиях фундаментализации образования и статистическая обработка некоторых его результатов;

- применение математических методов: методов математического анализа (обоснование свойств аналитических неравенств, доказательство теорем о среднем, характеризация выпуклых и логарифмически выпуклых функций и пр.), алгебраических методов (доказательство основных теорем дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных подходом Каратеодори, конструирование доказательств утверждений, использующих определители и их свойства и т.д.), геометрические методы (иллюстрация средних величин, интерпретация классических теорем дифференциального и интегрального исчисления, основных понятий анализа и др.).

Концепция исследования включает в себя следующие положения.

1. Подготовка будущего учителя математики к профессиональной деятельности может эффективно осуществляться в рамках методической системы обучения математической дисциплине, опирающейся на феномен фундаментализации высшего педагогического образования и концепцию учебной деятельности (Г.И. Саранцев, О.Б. Епишева и др.), ориентированной на овладение студентами в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию образования.

2. Математическая подготовка будущих учителей не должна сводиться лишь к освоению соответствующих предметных курсов, реализуемых посредством предусматриваемых учебным планом аудиторных занятий, контрольных мероприятий и самостоятельной работой студентов. Большую роль в такой подготовке играет систематическая научно-исследовательская работа студента, сочетающаяся с поиском и изучением соответствующей научной, научно-популярной и научно-методической литературы, с активным размышлением над открытыми вопросами или поставленными задачами, участием в работе регулярного исследовательского семинара. Научно-исследовательская работа должна быть составным компонентом в программе подготовки будущего специалиста.

3. Содержание обучения будущих учителей математики основам математического анализа должно включать в себя не только классические сведения, но и новые научные исследования и результаты в этой области математики, способы деятельности по усвоению понятий и утверждений, методы познания, эвристики, отражать глубокую связь со школьным курсом начал анализа.

4. Обучение преподавателем педвуза студентов-математиков дифференциальному и интегральному исчислению должно тесно сопрягаться с его собственными фундаментальными исследованиями по математическому анализу, что обеспечивает наполнение содержания образования будущих специалистов «живым» знанием и способствует их фундаментальному образованию.

Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, выполнявшегося в три этапа в период с 1986 по 2009 гг.

I этап (1986-1992) - установление исходных фактов, осмысление основной идеи исследования и проведение констатирующего этапа педагогического эксперимента. Было проанализировано состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математическому анализу студентов педвуза. Результатом такого анализа явилось выделение предпосылок для разработки теоретико-методологических основ решения исследуемой проблемы.

II этап (1993-2000) - получение качественных и количественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было осуществлено конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению. В частности, было разработано содержание инновационного курса математического анализа, базирующегося на деятельностной концепции освоения материала и включающего в себя помимо традиционных классических сведений дисциплины способы деятельности, методы познания, эвристики и некоторые новые факты дифференциального и интегрального исчисления. В этот период разрабатывались психолого-педагогические и методические условия эффективного функционирования конструируемой методической системы в практике обучения студентов, осуществлялась подготовка учебных материалов в соответствии с проблемой исследования, проводилась их апробация в учебном процессе, был проведен поисковый эксперимент. На данном этапе ставилась цель - определить оптимальный вариант методики обучения студентов математическому анализу, который бы способствовал качественному усвоению студентами этой дисциплины и усиливал бы ее профессиональную и научную направленность. Подчеркнем, что именно на этот этап приходится опубликование в печати (А.Д. Суханов, 1996 г.) Концепции фундаментализации высшего образования, ее основные положения, с учетом уточнений и конкретизаций, нами были взяты на вооружение при разработке методической системы обучения.

III этап (2001-2009) - анализ теоретических и экспериментальных результатов, уточнение, корректировка и систематизация теоретических и методических положений по решению проблемы исследования. Была завершена разработка методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации математического образования, осуществлено формулирование окончательных выводов. Данный этап отмечался также оформлением диссертации и подготовкой к опубликованию монографии.

Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в ходе регулярной и целенаправленной работы со студентами-математиками Вятского государственного гуманитарного университета на лекционных и практических занятиях по математическому анализу, на спецкурсах и спецсеминарах, при руководстве студенческим научно-исследовательским семинаром по анализу и индивидуальной научной работой студентов, при написании студентами курсовых и дипломных (выпускных квалификационных) работ; при работе с учителями математики в рамках курсов повышения квалификации на базе Кировского института повышения квалификации и переподготовки работников образования; при проведении занятий спецкурсов для учащихся старших классов общеобразовательной школы №61 г. Кирова, а также Мурыгинской, Юрьянской, Опаринской, Подосиновской, Котельничской (№5) общеобразовательных школ Кировской области.

Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на Международных и Всероссийских научных конференциях, проходивших в разное время (с 1989 по 2009 гг.) в гг. Арзамасе, Архангельске, Великом Новгороде, Вологде, Глазове, Кирове, Магнитогорске, Минске, Москве, Нижнем Новгороде, Орле, Пензе, Перми, Самаре, Саранске, Сыктывкаре, Тамбове, Тольятти, Уфе, Чебоксарах, Челябинске, Ярославле (статус и названия конференций отражены в публикациях автора по теме диссертации).

Внедрение результатов исследования также осуществлялось через публикацию монографии, учебных пособий, учебных программ, статей в научных сборниках и журналах: «Математика в школе», «Математическое образование», «Математика в образовании», «Математические заметки», «Известия вузов. Математика», «Вестник ВятГГУ», «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона» и др.

Разработанные научно-методические материалы и опыт работы со студентами отражены в 102 публикациях.

Научная новизна исследования, в первую очередь, заключается в том, что на основе использования уточненных положений фундаментализации высшего педагогического образования, применения системного анализа и деятельностного подхода к обучению впервые разработана методическая система обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в контексте фундаментализации математического образования. Данная система опирается на активные методы и формы обучения и базируется на интеграции процесса обучения с научными исследованиями его участников в области математического анализа. В такой системе научно-исследовательская работа студентов является важнейшим компонентом в программе подготовки будущего специалиста.

Научная новизна исследования также видится в следующем:

- разработан доступный и экономичный подход к изучению студентами дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных, основанный на систематическом использовании понятия дифференцируемости функции по Каратеодори; данный подход может быть использован и при обучении школьников началам анализа;

- обоснованы принципиальные возможности построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных, что открывает обучаемым перспективу исследования негладких функций в рамках ведения научно-исследовательской работы;

- при конструировании содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению осуществлен отбор новых результатов исследований в этой области математики, примыкающих к программным вопросам и расширяющих их (обобщение и развитие классических теорем основ анализа, построение новых типов дифференциального исчисления функций, новые доказательства известных утверждений, различные применения методов анализа в прикладных вопросах, осмысление «школьных» начал анализа с точки зрения высшей математики и др.); эти результаты относятся, в основном, к периоду 1990-2008 гг., часть из них получена автором и студентами;

- выявлена роль классических неравенств и их обобщений, а также выпуклых и логарифмически выпуклых функций в содержании профессиональной подготовки студентов-математиков педвуза; показан образовательный потенциал неравенств и выпуклых функций в обучении студентов методам математического анализа;

- обоснована необходимость ведения преподавателем регулярного научно-исследовательского семинара для студентов по математическому анализу с целью организации систематической научно-исследовательской работы обучаемых студентов.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

- проведен критический анализ существующих трактовок понятий «фундаментализация образования», «фундаментализация математического образования», сформулировано собственное, уточняющее толкование этих понятий;

- разработана методическая система обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций, которая в условиях фундаментализации образования реализует концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на требования к уровню усвоения содержания математического образования, на применение активных методов и форм обучения, на необходимость приобщения обучаемых к научному поиску, научному исследованию;

- разработана концепция содержания обучения будущих учителей математики основам анализа, отражающая деятельностную природу математического знания, в которой отбору содержания образования придается статус важнейшей из стратегий обучения;

- сформулированы педагогические требования к реализации содержания обучения будущих учителей дифференциальному и интегральному исчислению функций, которые обеспечивают должное качество подготовки студентов по математическому анализу; такие требования восходят, в частности, к необходимости культивирования эвристических и исследовательских методов обучения, к использованию нелинейного структурирования учебных материалов, к руководству преподавателем регулярным студенческим научно-исследовательским семинаром;

- выявлены преимущества разработанного в исследовании так называемого подхода Каратеодори к изложению дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных; он основывается на понятии дифференцируемой функции по Каратеодори и представляет собою синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики; данный подход при установлении основных теорем дифференциального исчисления использует не традиционную операцию предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что обусловливает реальные возможности его применения в обучении началам анализа школьников;

- на примере построения дифференциального исчисления функций одной переменной в терминах односторонних производных в исследовании оговорены принципиальные возможности исследования негладких функций;

- осмыслена роль теорий неравенств и выпуклых функций в содержании образования студентов по математическому анализу и с точки зрения их обучения методам анализа, и с позиций их общей математической подготовки; указаны направления реализации образовательного потенциала неравенств и выпуклых функций в профессиональной подготовке будущих учителей и действующих учителей математики.

Практическая значимость исследования заключается в использовании его результатов

- при разработке типовых образовательных стандартов и учебных программ математической подготовки студентов педагогических вузов и университетов;

- при написании учебников и учебных пособий по математическому анализу для студентов математических специальностей и по началам математического анализа для учителей и учащихся школ;

- при разработке учебных пособий по спецкурсам и дополнительным главам математического анализа для студентов старших курсов педагогических вузов, для работающих учителей, для учащихся специализированных физико-математических классов;

- при разработке элективных и факультативных курсов для учителей и учащихся;

- при формулировании концепций обучения студентов другим образовательным областям, а также методик обучения соответствующим дисциплинам в вузах.

Практическая значимость исследования актуализируется внедрением его результатов в практику преподавания математического анализа в ВятГГУ и использованием некоторых его результатов в других вузах, а также в общеобразовательных школах. Диссертационное исследование позволяет повысить эффективность обучения студентов педвузов математическим дисциплинам.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается выбором методологических, психолого-педагогических, философских, математических и методических позиций, положенных в основу исследования; применением к исследуемой проблеме системного и деятельностного подходов, а также совокупностью методов, адекватно соответствующих объекту, предмету, целям и задачам предпринятого исследования; продолжительной опытно-экспериментальной работой при личном ведении преподавательской деятельности в ВятГГУ и научном сотрудничестве с коллегами-преподавателями педвузов гг. Арзамаса, Вологды, Н. Новгорода, Москвы, Мурманска, Пензы, Перми, Самары, Саранска, Сыктывкара, Уфы, Ярославля, а также Башкирского, Вятского, Мордовского, Нижегородского, Самарского, Сыктывкарского, Чувашского госуниверситетов, имевших возможность применять в своей работе со студентами и учащимися школ разработанные автором программы и учебные пособия; положительными результатами педагогического эксперимента.

Положения, выносимые на защиту.

1. Фундаментализация высшего образования есть сложный феномен, основывающийся на сближении и интеграции образовательного процесса по конкретному направлению подготовки специалистов с научными знаниями (в том числе с новыми научными сведениями, фактами, открытиями, методами исследований) в соответствующей области специализации и научными достижениями тех методических наук, которые обеспечивают эту подготовку. Фундаментализация математического образования в высшей школе предполагает обеспечение учета и использования в процессе глубокого и основательного изучения студентами математических дисциплин новых научных исследований и достижений в представляющих эти дисциплины областях математики, создание оптимальных условий для воспитания у студентов гибкого научного мышления, а также применение в образовательном процессе современных достижений методики обучения математике как научной области.

2. Разработанная методическая система обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в контексте фундаментализации образования реализует теоретическую концепцию предметной подготовки будущих учителей к профессиональной деятельности, ориентированную на высокие требования к уровню усвоения содержания математического образования, на применение в обучении эвристических и исследовательских методов и активных форм, на нелинейное структурирование учебных материалов, реальное приобщение обучаемых к научным исследованиям. Фундаментализация выступает внешним фактором такой системы, оказывающим влияние на все ее компоненты: цели обучения, содержание образования, методы, формы и средства обучения математическому анализу. Данная методическая система может быть применена в обучении будущих учителей математическому анализу в целом, а также в обучении другим математическим дисциплинам.

3. Основу концепции содержания обучения студентов основам анализа в построенной методической системе составляют так называемые общие, ключевые и дополняющие принципы его отбора. Их целостность обусловливают рассмотрение не только минимального объема знаний по дифференциальному и интегральному исчислению, определяемого Государственным образовательным стандартом, но и сведений из этой области математики, связанных с современными научными исследованиями и достижениями, нерешенными проблемами и задачами. Это позволяет вовлечь студентов в реальную научно-исследовательскую работу с первых курсов их обучения в вузе. Помимо предметных знаний в содержание обучения будущих учителей также включаются действия, адекватные основным понятиям и утверждениям анализа, общенаучные методы познания, эвристические приемы и специальные эвристики, характерные для дифференциального и интегрального исчисления функций.

4. Обучение преподавателем педвуза будущих учителей математическому анализу в условиях фундаментализации образования должно сопрягаться с его собственными исследованиями в этой области математики: активная позиция педагога в отношении осмысления изучаемого со студентами материала снижает долю репродуктивных подходов в обучении, учит критически относиться к приобретаемым знаниям, воспитывает желание и необходимость анализировать информацию, размышлять, приобщает к творчеству и исследованию. Одним из педагогических требований в организации преподавателем научно-исследовательской работы студентов является руководство им регулярным студенческим исследовательским семинаром по математическому анализу.

5. Реализация в обучении студентов математическому анализу деятельностных концепций работы с определениями фундаментальных понятий и принципиальными теоремами курса, а также сложившаяся система организации научно-исследовательской работы студентов позволяют указать направления научной специализации обучаемых. К таким направлениям, в частности, относятся: обобщение и развитие классических утверждений о дифференцируемых по Коши или интегрируемых по Риману функциях; построение новых видов дифференциального исчисления функций, альтернативных принятому в классическом анализе, - в терминах l-производной, в терминах односторонних производных, в терминах только одной из односторонних производных и др.; изучение негладких функций; разработка ключевых и теоретических задач, отрабатывающих свойства дифференцируемых и интегрируемых функций; применение методов анализа в тематике, восходящей к теории выпуклых и логарифмически выпуклых функций, к неравенству Иенсена и его обобщениям; решение задач теории неравенств и теории средних величин, в том числе, открытых вопросов, связанных с неравенствами Коши, Бернулли, Гюйгенса, Ки Фана, Альцера и их обобщениями; рассмотрение методов классического анализа в вопросах функционального анализа; осмысление школьных начал анализа с точки зрения высшей математики.

6. Изучение дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных со студентами-математиками педвуза возможно на основе разработанного в исследовании подхода, который использует систематическое применение понятий дифференцируемости и производной функции по Каратеодори. Этот подход есть синтез аналитического, алгебраического и геометрического методов математики. Он, в отличие от традиционного подхода Коши, при установлении основных теорем дифференциального исчисления предполагает использование не операции предельного перехода, а элементарно-алгебраические рассуждения, что обусловливает эффективность его применения в обучении началам анализа учащихся общеобразовательных школ.

Основное содержание диссертации

Во Введении работы обосновываются выбор и актуальность темы исследования, указана его основная идея, определены объект, предмет, цель и гипотеза исследования, охарактеризованы задачи, указаны методы и научно-теоретические предпосылки исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы основные положения концепции исследования и положения, выносимые на защиту. Кроме того, во Введении приведены сведения об основных этапах исследования, его апробации и внедрении результатов.

В Главе I диссертации «Методологические основы построения методической системы обучения студентов педвуза дифференциальному и интегральному исчислению в условиях фундаментализации образования» рассмотрен феномен фундаментализации образования вообще и математического в частности, на методологическом уровне выявлены принципы конструирования эффективной методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций в условиях фундаментализации высшего педагогического образования.

В разделе 1.1. «Феномен фундаментализации математического образования. Анализ трактовок» представлены взгляды на понимание фундаментализации образования В.А. Садовничего, Г.И. Саранцева, В.А. Тестова, И.В. Егорченко, Н.В. Садовникова подчеркнута неоднозначность анализируемых трактовок понятия фундаментализации математического образования. В разделе отмечается также, что широко и многозначно фундаментализацию подготовки будущих специалистов характеризуют и положения Концепции фундаментализации высшего образования, представленной в статье А.Д. Суханова. Это допускает неадекватность употребления обсуждаемого понятия в разных ситуациях и, естественно, привносит в методическую науку определенную терминологическую путаницу и затруднения в исследованиях. В то же время, констатируется в разделе, термин «фундаментальность» («фундаментальный») в классической науке имеет особое значение, несет особую смысловую нагрузку. Словосочетание «фундаментальное знание» или эпитет «фундаментальный» обычно ассоциируются с качественным, глубоким, основательным образованием или знанием. Это побуждает к уточнениям понятий «фундаментализация высшего образования» и «фундаментализация математического образования» (уточнения автора представлены в положениях, выносимых на защиту).

Авторская трактовка фундаментализации математического образования необходимо предполагает: снижение доли репродуктивных подходов в обучении студентов; их знакомство с современными математическими исследованиями, использование преподавателем в процессе обучения его собственных фундаментальных исследований; освоение обучаемыми научно-информационной базы и вовлечение их в реальную научно-исследовательскую работу. Реализация данных положений будет способствовать активному и глубокому овладению студентами математическими методами исследования, формированию у них внутренней потребности в саморазвитии и самообразовании, переходу от экстенсивно-информационного образования к интенсивно-продуктивному, что, в свою очередь, будет содействовать сохранению и упрочению российских образовательных традиций, «при которых подготовка специалистов основывается на глубоких фундаментальных знаниях», а также укреплению и расширению связей образования и науки.

Кроме того, представленная трактовка фундаментализации математической подготовки студентов предполагает в практике их обучения опору на методологическую составляющую методики обучения математике. Обучение должно производиться в рамках соответствующей методической системы с учетом составляющих внешней среды последней и опираться на деятельностный подход.

В данном разделе подчеркнуто, что приводимое толкование феномена фундаментализации вузовского математического образования не противоречит идеям в отношении фундаментальности образования, высказываемым в разное время В.А. Садовничим и Н.В. Карловым, а также систематическим исследованиям по методологии методики обучения математике Г.И. Саранцева.

Раздел 1.2. «Конструирование методической системы обучения будущих учителей математики дифференциальному и интегральному исчислению функций» посвящен построению методической системы обучения студентов-математиков педвуза основам математического анализа в условиях фундаментализации образования, в нем проводится анализ такой системы на методологическом уровне.

В разделе определяется компонентный состав методической системы, включающий цели обучения дифференциальному и интегральному исчислению, содержание обучения данному разделу анализа, а также методы, формы и средства обучения, описывается внешняя среда системы, которую составляют такие тенденции современного образования, как его фундаментализация, гуманизация и гуманитаризация, дифференциация и индивидуализация, интенсификация, а также общие цели математического образования, предмет математического анализа, место анализа в системе других математических наук и дисциплин естественнонаучного цикла, применения математического анализа, некоторые результаты исследований в этой области математики, структура личности и закономерности ее развития, исследования в психологии, дидактике, логике, информатике. Из всех внешних факторов, влияющих на методическую систему обучения будущих педагогов дифференциальному и интегральному исчислению, одним из главных является фундаментализация математического образования.

Из совокупности цепочек связей между компонентами конструируемой методической системы, в частности, выделяется следующая: цели обучения обусловливают содержание, содержание обучения - методы обучения, а методы, в свою очередь, - средства и формы обучения. Цели обучения выступают системообразующим началом.

В данном разделе определяются связи между компонентами системы и внешней средой. Наибольшее влияние внешняя среда рассматриваемой методической системы оказывает на цели обучения студентов-математиков педвуза дифференциальному и интегральному исчислению функций. Цели обучения подразделяются на четыре группы: общеобразовательные, развивающие, воспитательные, практические. Отмечается, что в контексте постановки совокупности целей обучения студентов в педвузе дифференциальному и интегральному исчислению каждая из составляющих внешней среды методической системы может занимать доминирующее (лидирующее) положение при формировании соответствующей цели обучения. Приводимый тезис сопровождается соответствующими иллюстрациями.

В этом же разделе показано, что составляющие внешней среды оказывают значительное влияние и на содержание обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций будущих учителей математики. В содержание помимо традиционных предметных знаний основ анализа включаются и такие элементы, как действия, адекватные основным понятиям, принципиальным теоремам и утверждениям, общенаучные методы познания, различные эвристики и эвристические приемы, аксиоматический и алгоритмический методы, метод моделирования, обсуждение места дифференциального и интегрального исчисления в математическом анализе и системе других математических дисциплин, изучаемых будущими педагогами, этапы развития анализа, исторические факты, связанные с его становлением, вклад отдельных ученых в его развитие. Автором подчеркивается, что на содержание обучения дифференциальному и интегральному исчислению в педвузе предмет математического анализа оказывает самое непосредственное влияние, в частности влияет его непрерывное расширение и развитие. Последние в контексте новых образовательных тенденций (в том числе фундаментализации и гуманитаризации) побуждают к включению в содержание обучения студентов соответствующих достижений и новых результатов в области математического анализа, полученных в рамках исследований по дифференциальному и интегральному исчислению функций в последние годы, а также нерешенные проблемы и задачи. Отбор содержания обучения осуществляется на основе системы принципов отбора и представляется развивающейся системой, причем развитие осуществляется через деятельность и преподавателя (обучающего), и студентов (обучаемых).

Культивируемый подход к трактовке содержания обучения студентов-математиков педвуза созвучен с концепцией содержания обучения А.Г. Солониной, в которой содержание выступает как средство персонализации обучающихся и обучающих.

Метод обучения студентов дифференциальному и интегральному исчислению в работе рассматривается как способ движения деятельностей преподавателя и студента и развития предметного содержания основ анализа. По характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала в разделе выделяются следующие методы обучения: индуктивно-репродуктивный, индуктивно-эвристический, индуктивно-исследовательский, дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно-эвристический, дедуктивно-исследовательский, обобщенно-репродуктивный, обобщенно-эвристический, обобщенно-исследовательский. Данная классификация продиктована тем, что предметное содержание дифференциального и интегрального исчисления развивается посредством индукции, дедукции и обобщения, а способы взаимодействия преподавателя и студента выражаются через репродукцию, эвристику и исследование.

Под формой обучения дифференциальному и интегральному исчислению функций понимается способ взаимодействия дидактических приемов преподавателя математического анализа и познавательных действий обучающихся студентов в процессе решения познавательных задач. Формы процесса обучения в вузе обусловливаются отношениями между преподавателем и студентами в решении учебных задач. Выделяемые в разделе отношения обусловливают рассмотрение фронтальной, коллективной, групповой, индивидуальной, совместной форм. В частности, для совместной формы обучения характерно взаимодействие преподавателя со студентами разных курсов и студентов разных курсов друг с другом в рамках общего занятия или выполнения некоторых заданий. В классификацию форм обучения дифференциальному и интегральному исчислению будущих учителей математики положены количественные характеристики обучаемого контингента.

Феномены фундаментализации и интенсификации, дифференциации и индивидуализации математического образования побуждают к активному культивированию внеаудиторных форм обучения студентов, помогающих решать дидактические задачи: выявлять наиболее способных и талантливых студентов, формировать устойчивый интерес к исследовательской работе, углублять и расширять соответствующие математические знания, навыки и умения обучаемых, развивать математическую интуицию и логическое мышление, повышать уровень математической культуры. Внеаудиторная работа рассматривается как составная часть эффективного учебного процесса.

Из организационных форм обучения, представляющих внеаудиторные формы обучения, особо выделяется студенческий научно-исследовательский семинар, работающий по типу академических научных семинаров. В рамках такого семинара удается организовать изучение некоторых дополнительных вопросов дифференциального и интегрального исчисления, важных для профессиональной подготовки будущих учителей математики, осуществлять исследование открытых вопросов и проблем математического анализа. Участвующие в работе семинара студенты учатся находить нужную научную информацию, вырабатывают навыки отслеживания новых научных сведений по интересующей тематике, приобретают опыт ведения исследования и обсуждения научных результатов.