Формування початкових математичних понять та уявлень в учнів початкових класів

39

Міністерство освіти і науки України

Педагогічний коледж

Львівського національного університету імені Івана Франка

Випускна курсова робота

з методики навчання математики

Формування початкових математичних понять та уявлень в учнів початкових класів

Виконала студентка групи ШКВ-42

спеціальності “Початкове навчання”

Гадуп'як Віра Петрівна

Керівник:

Дяків Марія Степанівна

викладач методики навчання математики

Львів - 2008

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. Загальні питання формування початкових математичних понять та уявлень

1.1 Означення математичних понять

1.2 Підготовка до засвоєння математичних понять

1.3 Логічні прийоми формування понять

1.4 Формування уявлень про математичну мову

в учнів початкових класів

РОЗДІЛ 2. Методика формування деяких конкретних математичних понять в учнів початкових класів

2.1 Методика формування поняття натурального числа

2.2 Методика формування поняття про відрізок

2.3 Методика формування поняття “задача” в 1 класі

2.4 Методика формування поняття змінної

РОЗДІЛ 3. Методика формування понять "більше", "менше" в учнів 1 класу

3.1 Конспект уроку на тему: "Поняття "більше", "менше

3.2 Аналіз уроку

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТКИ

ВСТУП

Пізнання людиною навколишньої дійсності починається з відчуттів і сприймань, які вдосконалюються в процесі колективної трудової діяльності. В результаті пізнання в людини формуються уявлення як образи об'єктів, що діяли безпосередньо на наші органи чуття, а також поняття, в яких відбивається найбільш суттєве для об'єкта. Уявлення і поняття тісно між собою пов'язані.

Метою моєї курсової роботи є дослідити формування початкових математичних понять та уявлень в учнів початкових класів.

Об'єктом - процес формування початкових математичних понять та уявлень в учнів початкових класів.

Предметом - пошук ефективних методичних прийомів формування початкових математичних понять та уявлень в учнів початкових класів, які враховують психологічні особливості молодших школярів .

Завданнями є:

- розкрити означення математичних понять;

- проаналізувати підготовку до засвоєння математичних понять;

- опрацювати прийоми формування понять;

- сформувати уявлення про математичну мову в учнів початкових класів;

- опрацювати методику формування деяких конкретних понять в учнів початкових класів.

Гіпотеза: формування таких математичних понять як „більше” і „менше” є важливим етапом вивчення математики у першому класі, адже їх засвоєння є необхідним для подальшого вивчення математики.

Знання про суттєві властивості об'єктів досягається на вищому ступені пізнання за допомогою мислення. Вищою формою його є логічне пізнання, яке здійснюється на основі таких мислительних операцій, як аналіз і синтез, абстрагування і конкретизація, порівняння і узагальнення. Формами мислення виступають поняття, судження і умовиводи.

За допомогою розумової операції аналізу людина розкладає об'єкт дослідження на складові елементи і вивчає кожен з них окремо як частину цілого. За допомогою синтезу ми, навпаки, об'єднуємо частини або окремі властивості розглядуваного об'єкта в єдине ціле.

Однією з головних розумових операцій є також абстрагування. У широкому розумінні - абстрагування означає можливість розгляду предметів і явищ з якоїсь однієї точки зору. Процес абстрагування в математиці полягає в відкиданні якісної визначеності і конкретного речового змісту предмета та явища.

Поняття - це форма наукового пізнання, яка відображає об'єкти в їх загальних, суттєвих ознаках і закріплює ці знання про об'єкти в спеціальних термінах, символах або знаках [ 12, 79 ].

Перейшовши від розгляду конкретних об'єктів до їх логічних образів - абстракцій, людина змогла оперувати не окремими предметами, а цілими класами їх. А головне, змогла оперувати і такими об'єктами, які в своєму конкретному вияві або були недоступні їй, або взагалі не існували.

Отже, вона змогла діставати пізнавальні результати, які неможливо мати через операції з самими реальними предметами. Позбавлене рис суб'єктивізму поняття більш точно вказує на приналежність розглядуваного об'єкта до певного класу. Нарешті, уявлення завжди виникають на основі практичної діяльності людини з реально існуючими об'єктами, а поняття можуть формуватися способом розвитку наукового знання. Кожна людина засвоює поняття в процесі свого індивідуального пізнання дійсності.

РОЗДІЛ 1. Загальні питання формування початкових математичних понять та уявлень

1.1 Означення математичних понять

Поняття -- це форма мислення, в якій відображається суть предметів та явищ реального світу в їх істотних ознаках і відношеннях.

Поняття -- це думка, передана словом або словосполученням, де узагальнюються такі ознаки предмета або групи предметів, які дають змогу виділити його серед інших предметів [7, 24 ]. За змістом ознак поняття поділяються на конкретні та абстрактні.

Конкретні поняття відображають предмет у сукупності його ознак. Цим поняттям відповідають певні конкретні предмети ("підручник", "цифра 3", "кулька", "м'яч", "школа" і т.д.).

Абстрактні поняття відображають ознаку предмета, яка відділяється подумки від предмета і сама виступає як предмет мислення ("хоробрість", "рівність", "довжина", "куля", "циліндр" і т.д.).

Різні математичні поняття -- результат різних ступенів абстракції. Наприклад, абстракцією від багатьох залежностей, що існують у природі і суспільстві, є функція у = Зх + 2. Але це конкретний приклад більш загального (абстрактнішого) поняття "лінійна функція": у = ах + b.

У математиці як науці і як навчальному предметі розглядають різні об'єкти: числа, фігури, вирази, рівняння і т.д. Усе це математичні поняття.

З великою кількістю математичних понять ознайомлюються школярі вже в початковій школі. Лічачи реальні предмети, круги, трикутники, квадрати, учні вже з перших уроків ознайомлюються з поняттям натурального числа і простіших геометричних фігур, поняттями "більше", "менше", "дорівнює". У подальшому навчанні вводяться поняття дій: "додавання", "віднімання", "множення", "ділення", "арифметична дія". Математичними поняттями виступають компоненти і результати арифметичних дій, таблиці дій. З розширенням множини чисел учні ознайомлюються з поняттями розряду і класу, дробового числа. Немало математичних понять запроваджується у зв'язку з пропедевтикою алгебри і геометрії.

Поняття виражається словом, словосполученням. Слово має свій зміст (смисл) і значення [ 7, 24 ]. А також воно має свій обсяг. Зміст поняття -- це сукупність відображених у ньому істотних ознак предметів. Наприклад, у зміст поняття "просте число" входять такі ознаки: "натуральне число", "має два дільники". Змістом поняття "квадрат" є обидві його істотні ознаки: прямокутність і рівність усіх сторін. Змістом лінійної функції у = кх + b є: наявність однієї незалежної змінної (х), многочлен (кх + b), область визначення -- множина всіх дійсних чисел або будь-яка її підмножина.

Обсяг поняття -- це множина предметів, кожному з яких належать ознаки, що відносяться до змісту поняття. Наприклад, обсяг поняття "одноцифрові натуральні числа" складається з дев'яти чисел: 1, 2, З, 4, 5, 6, 7, 8, 9; обсяг поняття "просте число" -- нескінченна множина простих чисел натурального ряду; обсяг поняття "квадрат" - множина всіх прямокутників, у яких рівні сторони.

За обсягом математичні поняття поділяються на одиничні і загальні [ 12, 79 ]. Якщо в обсяг поняття входить тільки один предмет, воно називається одиничним. Приклади одиничних понять: найменше двоцифрове число; цифра 5; число р квадрат, довжина сторони якого 10 см; круг радіусом 5 см; рівняння х + 7 = 10.

Загальні поняття відображають ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більшим від обсягу одного елемента. Приклади загальних понять: множина двоцифрових чисел, число, плоска фігура, коло, многокутник, трикутник, висловлення.

Між змістом та обсягом поняття існує залежність: чим менший обсяг поняття, тим більший його зміст. Наприклад, поняття "квадрат" має менший обсяг, ніж обсяг поняття "прямокутник", бо кожний квадрат -- це прямокутник, але не кожний прямокутник є квадрат. Тому поняття "квадрат" має більший зміст, ніж поняття "прямокутник": квадрат має всі властивості прямокутника та деякі інші (у квадрата всі сторони рівні, діагоналі взаємно перпендикулярні).

У процесі мислення кожне поняття не існує окремо, а вступає в певні зв'язки і відношення з іншими поняттями. У математиці важливою формою зв'язку є родово-видова залежність. Розглянемо поняття "квадрат" і "прямокутник". Обсяг поняття "квадрат" є частиною обсягу поняття "прямокутник". Тому перше називають видовим, а друге -- родовим.

У родово-видових відношеннях слід розрізняти поняття найближчого роду і наступні родові ступені.

Наприклад, для виду "квадрат" найближчим родом буде рід "прямокутник", для прямокутника найближчим родом буде рід "паралелограм", для "паралелограма" --"чотирикутник", для "чотирикутника" -- "многокутник", а для "многокутника" -- "плоска фігура".

У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно, шляхом споглядання конкретних предметів чи практичного оперування (наприклад, при лічбі їх). Вчитель спирається на знання і досвід дітей, які вони набули ще в дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна або терміна і символа.

Така методика роботи над математичними поняттями в початковій школі зовсім не засвідчує про невикористання різних видів означень.

Означити поняття -- це перелічити всі істотні ознаки об'єктів, що входять у дане поняття. Словесне позначення поняття називається терміном. Наприклад, "число", "трикутник", "коло", "рівняння" -- терміни.

Означення розв'язує два завдання. Перше відрізняє і відмежовує якесь певне поняття від усіх інших. Друге полягає в тому, що вказує ті головні ознаки, без яких вони не можуть існувати і від яких залежать усі інші їх ознаки.

Означення може бути більш або менш глибинним. Це залежить від рівня знань про поняття, що означається. Чим краще ми його знаємо, тим більша ймовірність, що ми зможемо дати для нього краще означення.

У практиці навчання молодших школярів застосовуються явні і неявні означення.

Явні означення мають форму рівності або збігу двох понять. Наприклад: "Пропедевтика є вступом у будь - яку науку". Тут прирівнюють один до одного два поняття -- "пропедевтика" і "вступ у будь-яку науку".

В означенні "Квадрат -- це прямокутник, у якого всі сторони рівні" маємо збіг понять.

У навчанні молодших школярів особливий інтерес серед неявних означень становлять контекстуальні та остенсивні означення.

Будь-який уривок з тексту, будь-який контекст, у якому трапляється поняття, що нас цікавить, є, у деякому розумінні, неявним його означенням. Контекст ставить поняття у зв'язок з іншими поняттями і тим самим розкриває його зміст.

Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вислови, як: "знайти значення виразу", "порівняти значення виразів 5 + а і (а - 3) * 2, якщо а = 7", "прочитати вирази, які є сумами", "прочитати вирази, а потім прочитати рівняння", ми розкриваємо поняття "математичний вираз" як запису, що складається з чисел чи змінних і знаків дій.

Майже всі означення, з якими ми зустрічаємося у повсякденному житті -- це контекстуальні означення. Почувши невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі усього сказаного.

Подібне має місце і в навчанні молодших школярів. Багато загальних математичних понять у початковій школі означаються через контекст. Це, зокрема, такі поняття, як: "великий -- малий", "будь-який", "кожний", "один", "багато", "більше-менше", "число", "арифметична дія", "рівняння", "задача" тощо.

Контекстуальні означення залишаються здебільшого неповними і нестійкими. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і тим більш наукового означення.

Остенсивні означення -- це означення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні означення, але контекстом тут є не уривок якогось тексту, а ситуація, в якій опиняється об'єкт, позначений поняттям. Учитель показує квадрат (рисунок чи паперову модель) і говорить: "Дивись -- це квадрат". Це -- типове остенсивне означення.

У початкових класах остенсивні означення застосовуються при розгляді таких понять, як: "червоний (білий, чорний і т.д.) колір", "лівий -- правий", "зліва направо", "цифра", "попереднє і наступне число", "знаки арифметичних дій", "знаки порівняння", "трикутник", "чотирикутник", "куб", "куля" тощо.

На основі засвоєння остенсивним шляхом значень слів є можливість вводити в словник дитини уже вербальне значення нових слів і словосполучень. Остенсивні означення -- і тільки вони -- пов'язують слово з речами. Без них мова -- лише словесне мереживо, яке не має об'єктивного, предметного змісту.

Зауважимо, що в початкових класах допустимі означення на зразок: "Словом "п'ятикутник" ми будемо означати многокутник з п'ятьма сторонами". Це так зване "номінальне означення".

У математиці використовуються різні явні означення. Найпоширеніше з них -- означення через найближчий рід і видову ознаку. Родово-видове означення ще називають класичним.

Приклади означень через рід і видову ознаку: "Паралелограм -- це чотирикутник, в якого протилежні сторони паралельні", "Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні", "Прямокутником називається паралелограм, у якого кути прямі", "Квадратом називається прямокутник, у якого сторони рівні", " Квадратом називається ромб, у якого прямі кути".

Розглянемо означення квадрата. У першому означенні найближчим родом буде "прямокутник", а видовою ознакою -- "всі сторони рівні". У другому означенні найближчий рід "ромб", а видова ознака -- "прямі кути".

Якщо ж взяти не найближчий рід ("паралелограм"), то видових ознак квадрата буде дві: "Квадратом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі".

У родово-видовому відношенні знаходяться поняття "додавання (віднімання, множення, ділення)" і "арифметична дія"; поняття "гострий (прямий, тупий) кут" і "кут".

Прикладів явного родово-видового відношення серед множини математичних понять, які розглядаються в початкових класах, не так вже й багато. Але з урахуванням важливості означення через рід і видову ознаку у подальшому навчанні бажано домагатися розуміння учнями сутності означення цього виду вже в початкових класах [ 12, 79 ].

Окремі означення можуть розглядати поняття і за способом його утворення або виникнення. Означення такого типу називають генетичними. Приклади генетичних означень: "Кут -- це промені, що виходять з однієї точки", "Діагональ прямокутника -- відрізок, який з'єднує протилежні вершини прямокутника". У початкових класах генетичні означення застосовують для таких понять, як "відрізок", "ламана", "прямий кут", "коло".

До генетичних можна віднести і означення через перелік. Наприклад: "Натуральний ряд чисел -- це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.".

Деякі поняття в початкових класах вводять тільки через термін. Наприклад, одиниці часу: рік, місяць, година, хвилина.

Є в початкових класах поняття, які подаються символічною мовою у вигляді рівності, наприклад. а * 1 = а, а * 0 = 0.

У початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхово, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються тільки про деякі властивості понять, дуже вузько уявляють їх обсяг. І це закономірно. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння і своєчасне використання вчителем тих чи інших видів означень математичних понять -- одна з умов формування в учнів міцніших знань про ці поняття.

1.2 Підготовка до засвоєння математичних понять

У шкільному курсі математики учні досить рано ознайомлюються з прикладами логічних операцій, таких, скажімо, як порівняння і зіставлення, класифікація, узагальнення і конкретизація та ін. Програмовий матеріал предмета побудований з урахуванням зрослих вимог до логічної культури школярів і містить широкі можливості для розвитку їхнього мислення.

Введення в шкільний курс математики логічних понять і дій передбачає активне їх застосування у вивченні основного матеріалу. Щоб така робота була продуктивною, їй передує тривалий період нагромадження окремих фактів, поступового переходу від конкретних уявлень до абстрактних, у чому саме й виявляється наступність між окремими ланками навчання.

У початкових класах лише підготовляємо дітей до формування основних математичних понять. Це реалізується в наочно-ілюстративному викладі матеріалу, розв'язуванні задач з життєвої практики. Однак і тут подаються деякі описи понять, наприклад, у вправі № 347 означаються парні й непарні числа [ 8, 142 ]. У цих описах розкриваються характерні властивості поняття, які виділяються й абстрагуються серед інших. Саме на таких основних ознаках об'єктів і явищ грунтується формування математичних понять.

Однак підготовчій роботі з ознаками предметів у процесі навчання приділяється мало уваги. Це стосується не тільки математики, а й інших шкільних дисциплін. Учням же часто-густо буває нелегко виділити ознаки предмета, оскільки їх не візьмеш у руки, не покажеш указкою. Виділення ознак -- складна розумова дія абстрагування. Через невміння виконати її нерідко трапляються помилки; діти ототожнюють властивості предмета з ним самим, неспроможні мислено відокремити слово від предмета, який ним позначається, тобто їм не під силу виконати важливу розумову дію. Тому молодших школярів треба вчити цього. Зважаючи на їхні вікові особливості, у 1--4 класах недоцільне широке й безпосереднє введення логічних понять і дій на основі теоретичних викладок. Однак тут слід придумати певну систему ігор, занять з підручним матеріалом, вправ і запитань, метою яких має бути забезпечення відповідного етапу математичного виховання, яке слід закласти в початкових класах. Навчаючи молодших школярів виділяти ознаки предметів, ми тим самим сприятимемо розвитку їхнього мислення.

Ознака - це все те, чим предмети, явища схожі між собою або чим вони різняться. Кожний предмет та явище має найрізноманітніші ознаки. Так, усі чотирикутники (квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб) схожі тим, що мають по 4 сторони і по 4 кути. Водночас ці фігури дечим різняться: паралелограм я - від інших чотирикутників - рівністю й паралельністю протилежних сторін, прямокутник - від інших паралелограмів - прямими кутами, квадрат - від інших прямокутників - рівністю сторін [ 16, 132 ].

Виділення ознак розпочинається з зіставлення й порівняння двох або кількох предметів, з'ясування їх схожості й відмінності. Навчання дітей таких розумових операцій результативне у тому разі, коли його пов'язувати зі спостереженням за предметами, розгляданням малюнків.

Можна спиратись і на уявлення учнів, їхню пам'ять, причому вдаватись до найрізноманітнішого матеріалу.

Покажемо це на конкретних прикладах. Для цього розглянемо три типи завдань: 1) на виділення ознак, 2) на порівняння двох чисел чи_; більше предметів, 3) на розпізнавання предметів за певними ознаками.

Ці вправи грунтуються на уявленнях, які склалися в дітей під час вивчення різних дисциплін. Тому їх доцільно пропонувати на тих уроках, коли повторюємо з учнями раніше вивчений матеріал і підготовляємо їх до сприймання нового. Але деякі вправи варто використати і в ході опрацювання нового. Для нього добираємо не лише математичний матеріал, а й з інших предметів, наприклад, виділення ознак пов'язуємо з вивченням іменників, прикметників, дієслів, об'єктів природи тощо.

Використовуємо зразки таких завдань.

1. Вправи на виділення ознак

Що можна сказати про форму, колір, смак кавуна?

Що можна сказати про кішку як тварину?

Скільки букв у слові сніг? Скільки складів у словах вікно, олівець?

Якими цифрами записується число 27? З якої цифри починається кожне з чисел: 14, 18, 25, 46?

Яку форму має ця фігура (рис.1)? Перелічіть її ознаки.

Назвіть будь-які три ознаки такої фігури (рис.2).

Перелічіть ознаки літа й зими.

Назвіть кілька ознак предметів: телевізор, стіл. Перелічіть ознаки слів: телевізор, стіл.

Які ознаки: а) слів ручка, олівець? б) чисел 2, 24, 241?

Яка із зображених на рис.3 фігур є квадратом? Перелічіть усі
ознаки квадрата.

11. Назвіть ознаки п'ятикутника (рис.4).

II. Вправи на порівняння двох і більше предметів

Чим схожі слова: а) кішка, книга, дах? 6) число,буква, цифра!

Чим схожі числа: 7, 71, 77, 17?

Чим відрізняється трикутник від чотирикутника (рис.5)?

Назвіть спільні ознаки: а) яблука і кавуна; б) кукурудзи й пшениці; в) кішки й собаки.

Які спільні ознаки чисел: а) 5 і 15; б) 12 і 21?

Чим відрізняються: осінь від весни, літо від зими, книжка від зошита, ручка від олівця?

Прочитайте числа кожної пари: 5 і 500; 201 і 20 100; 17 і 17 000; 80 і 80 000. Чим вони схожі і чим відрізняються?

Чим схожі і чим різняться числа: 14, 16, 20, 24?

Визначте спільні ознаки таких фігур (рис.6).

10. Назвіть спільні й різні ознаки прямокутників (рис.7).

11. Розгляньте малюнок і перелічіть спільні ознаки всіх фігур (рис. 8). Назвіть їх одним словом. Знайдіть серед чотирикутників прямокутники. Чим схожі прямокутники з іншими чотирикутниками і чим відрізняються від них?

ІІІ. Вправи на впізнавання предметів за даними ознаками

1. Про який предмет можна сказати одночасно: а) чорна, чотирикутна, виготовлена з дерева? б) білий, солодкий, твердий?

2. Який предмет має одночасно такі ознаки: а) гладеньке, скляне, в нього дивляться, воно відбиває? б) пухнастий, ходить, нявчить? в) має 4 сторони і 4 кути?

3. Хто (або що) може бути: високим або низьким, холодним або гарячим, великим чи маленьким, зачиненим і незачиненим, прямокутним чи не прямокутним, твердим або рідким?

4. Вставте пропущені числа: а) 5, 15, ..., 35, 45; б) 34, 44, 54, ..., 74;

в) 15+12*3=51; 15+12*5 = 75; 15+ 12 * 7=99; 15+ 12 *... = ....

5. Полічіть, скільки в кожної фігури (рис. 9) вершин? Зі скількох
відрізків вона складається? Як називається кожна фігура? Як називаються всі ці фігури.

6. Накресліть фігуру (рис. 10). Чому вона називається трикутником? Чи можна дати цій фігурі іншу назву, також пов'язану з її ознаками?

Чотирикутник описано так: це - многокутник, який має 4 сторони, 4 вершини. Опишіть п'ятикутник.

Про що йдеться в загадках:

а) Без язика живе, не їсть, не п'є, говорить і співає. (Радіо); б) Сидить дід, у сто кожухів зодягнутий. Хто його роздягає, той сльози проливає. (Цибуля); в) Сам рожевий та цукристий, каптан зелений, оксамитовий. (Кавун); г) Не кущ, а з листочками, не сорочка, а зшита, не людина, а говорить. (Книжка).

9. Здогадайтеся за змістом, яке слово пропущено: в кімнаті ... кути, ... ніжки у стола. І по ... ніжки у мишки й кішки.

Учні вчаться виділяти ознаки предметів під час дидактичних ігор. Спинимося на грі «Відгадай».

Учитель нагадує дітям, як вони на попередніх уроках розповідали про відомі об'єкти, не дивлячись на них, а спираючись лише на їх описи, загадували загадки, в яких ішлося про певні предмети, і пропонує: «Нумо, пограємося. Нехай предмети, які нас оточують, «розкажуть» про себе, а ми за розповідями відгадаємо, що це таке. Виберіть по одному предмету і розпочинайте. Якщо «говоритиме» предмет, який є в класі, намагайтеся не дивитись на нього, а то ми відразу здогадаємося».

Після короткої паузи (щоб діти встигли облюбувати предмет) учитель по черзі викликає учнів. Кожний встає із-за парти й розповідає. Закінчивши, називає прізвище учня, який має відгадати, про що йшлося. Хто відгадав, починає власну розповідь і називає іншого учасника гри, щоб той відгадав.

Наприклад, «Я чорна, чотирикутна, на мені можна писати й малювати». (Дошка). Або: «Я зроблена з паперу, зшита з аркушів, навчаю цікаво розповідати казки й читати вірші». (Книжка).

У процесі гри стежимо, щоб діти називали істотні ознаки, за якими легко було б відгадати предмет. Можна запитати: «Де цей предмет?» або «Для чого він потрібний?» і т. п. Але поспішати з навідними запитаннями не слід. Хай учень скаже про предмет головне, істотне.

Така підготовча робота з виділення ознак предметів допоможе у майбутньому зрозуміти суть означень виучуваних понять.

1.3 Логічні прийоми формування понять

Формування понять -- складний психологічний процес, який розпочинається з утворення простіших форм пізнання -- відчуттів -- і проходить за такою схемою: відчуття -- сприйняття -- уявлення -- поняття. Цей процес можна поділити на два ступені: чуттєвий, який полягає в утворенні відчуттів, сприйняття та уявлень, і логічний, який полягає в переході від уявлень до поняття за допомогою узагальнення та абстрагування.

Тривалим є процес формування математичних понять у молодших школярів. Основні арифметичні поняття -- число і арифметичні дії -- вивчаються упродовж усього часу навчання в початковій школі.

У ході ознайомлення і розвитку уявлення про поняття застосовуються різні методи пояснення й закріплення. Концентрична структура вивчення чисел і арифметичних дій забезпечує повторення і розвиток знань про ці поняття.

В усіх видах методичної роботи, в постановці і виконанні завдань присутні й основні логічні прийоми формування понять -- порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення.

У навчанні молодших школярів основні логічні прийоми формування понять застосовуються "самохідь", у неявній формі. Зрозуміло, що тлумачити логічні прийоми не варто. Але треба мати на увазі, що використання прийомів і в неявній формі певною мірою розвиває розуміння і вміння самих дітей виконувати порівняння, аналіз, синтез, абстрагування і узагальнення. Отже, при постановці та тлумаченні завдань слід зважати і на наявність логічних прийомів формування математичних понять.

На прикладах понять число і нумерація чисел, арифметичні дії, табличні дії, усні обчислення, письмові обчислення розглянемо зразки деяких завдань, проаналізуємо "наявність" у них основних логічних прийомів формування понять [ 17, 93 ].

Натуральні числа. Нумерація чисел. Поняття натурального числа є одним із основних понять математики. Властивості натуральних чисел і дії над ними вивчаються розділом математики, який має назву "Теорія чисел". З теоретико-множинних позицій кількісне натуральне число є загальна властивість скінченних рівнопотужних множин. Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число, кожному натуральному числу -- один і тільки один клас. Натуральне число як поняття виникло на основі лічби конкретних предметів у результаті абстрагування від змісту і форми цих предметів. Перші уявлення про кількісне число формуються у дітей ще в дошкільному віці в процесі спілкування з дорослими. Вже трирічній дитині доводиться думати над запитанням "скільки?". Добре, що відповіді на такі запитання ілюструються конкретними предметними множинами. Нумерація натуральних чисел залежить від системи числення, але ці поняття не тотожні. Система числення буває двійкова, п'ятіркова та ін., а нумерація - усна і письмова, позиційна і непозиційна, римська, старослов'янська тощо.

Для запису чисел особливо зручними виявилися позиційні (помісцеві) системи числення, в яких числа записують за допомогою обмеженої кількості знаків (цифр). Найбільшого поширення набула десяткова система числення. У цій системі кожні десять одиниць нижчого розряду становлять одну одиницю вищого розряду. Числа 1, 10, 100, 1000 і т.д. називаються розрядними одиницями. Особливий знак, який називається цифрою нуль, використовується для позначення відсутності певного розряду.

Усна і письмова нумерації побудовані за принципами десяткової системи числення. В обох видах нумерації діє принцип помісцевого значення цифр, принцип "нуля" і принцип додавання. Відмінною особливістю усної нумерації є групування розрядів у класи [ 17, 93 ].

Нумерація у початкових класах вивчається на засадах концентризму. Але кінцева мета вивчення нумерації полягає у засвоєнні ряду загальних принципів, на яких грунтується десяткова система числення, усна і письмова нумерації, тому важливо систематично і цілеспрямовано вести дітей до відповідних узагальнень. У цьому допомагає і використання основних логічних прийомів формування понять. Продемонструємо їх застосування на конкретних завданнях.

Полічити овочі у кожній групі (5 огірків, 5 помідорів і 5 морквин). Що спільного (однакового) у цих групах? (Прийоми абстрагування і узагальнення).

З-посеред чисел 2, 4, 6, 7, 1 назвати ті, які менші від числа 6. (Прийом порівняння за ознакою кількісної величини числа).

Назвати сусідів числа 7. (Прийом синтезу -- об'єднання трьох послідовних чисел).

Полічити предмети підряд. Скільки всього предметів? (Прийоми синтезу і узагальнення).

Продовжити ряд чисел 1, 2, 3 і т.д. до 20. (Прийоми аналізу, порівняння і узагальнення).

Відлічити 13 паличок, зв'язати 10 паличок у пу-чок-десяток. Скільки десятків і скільки одиниць у числі 13? (Прийоми аналізу і синтезу).

Виміряти довжину відрізка (15 см) і записати відповідь у сантиметрах та у дециметрах і сантиметрах.

15 см = 1 дм 5 см або 1 дм 5 см = 15 см

(Прийоми аналізу і синтезу у взаємозв'язку).

Записати число 357 у таблицю розрядів. (Прийом аналізу).

Скільки у числі 573 всього сотень? Всього десятків? Всього одиниць? (Прийоми аналізу і синтезу у взаємозв'язку).

Скільки чисел знаходиться в ряді між числами 10 і 20? 1 і 100? (Прийом порівняння -- більше -- менше, прийом узагальнення -- структура натурального ряду).

Що означає цифра 7 у записах чисел 2705 і 37? (Прийом аналізу -- на якому місці записано цифру 7.

Арифметичні дії як математичне поняття є родовим до дій додавання, віднімання, множення і ділення. Але молодші школярі таке родоводове відношення в явній формі не розглядають.

У початкових класах арифметичні дії вивчаються індуктивним методом на основі конкретних числових прикладів. Головним засобом розкриття теоретико-множинного змісту дії додавання є розв'язування простих задач. Інші арифметичні дії знаходяться у певному взаємозв'язку з дією додавання.

Вивчення властивостей арифметичних дій, зв'язків між компонентами і результатами арифметичних дій сприяє глибшому розумінню учнями поняття арифметичні дії.

У початкових класах у формуванні поняття арифметичні дії більше звертається увага на логічний ступінь його пізнання. Постійними у цьому процесі виступають прийоми абстрагування і узагальнення. Ці прийоми виявляються у зміні числових даних при розв'язуванні прикладів і задач, у запровадженні буквених позначень компонентів і результатів дій.

У багатьох завданнях, спрямованих на формування поняття арифметичних дій додавання, віднімання, множення і ділення, має місце наявність прийомів аналізу і синтезу.

Назвати компоненти прикладу на віднімання: 25 - 8 = 17. (Аналіз).

Замінити додавання однакових доданків прикладом на множення. (Синтез).

Приклад на множення 3 · 6 замінити прикладом на додавання. (Аналіз).

Скласти і розв'язати приклад на ділення, у якому ділене 60, а дільник -- 5. (Синтез).

З прикладу на множення скласти два приклади на ділення. (Аналіз у поєднанні з синтезом).

Прийом порівняння застосовується при порівнянні результатів завдань на збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць чи в кілька разів, значень двох числових виразів, відповідей простих задач на застосування арифметичних дій. Розглянемо таблиці арифметичних дій як математичне поняття. Вивчення таблиць здійснюється майже впродовж двох років -- розпочинається у першому класі і завершується у третьому. Їх значення у навчанні і практичній діяльності не зменшується. На табличні дії спираються усні й письмові обчислення. Таблиця додавання окремого числа включає 9 прикладів, а всього в таблиці додавання 72 приклади. Стільки ж прикладів у таблиці віднімання. Таблиці множення та ділення містять по 64 приклади. Всього у таблицях арифметичних дій 272 приклади. Якби приклади таблиць арифметичних дій розглядалися в розбивку, то запам'ятати їх було б неможливо. Таблиці окремих дій знаходяться у певних зв'язках і вивчаються вони у чіткій системі.

Таблиці додавання і віднімання в межах 10 складаються на основі безпосереднього перелічування предметів відповідних множин. При складанні цих таблиць у межах другого десятка як основний застосовують прийом додавання чи віднімання числа частинами. Таблиці множення складаються на основі додавання однакових доданків, а таблиці ділення -- на основі зв'язку з дією множення. Методика складання і вивчення таблиць арифметичних дій всебічно обгрунтована. Можна додати, що у кожного вчителя є "власна" методика опрацювання таблиць. Усні обчислення -- не позатабличні обчислення, які виконуються над числами в межах ста та над круглими числами в межах тисячі. Їх теоретичною основою є принципи десяткової системи числення та властивості арифметичних дій. У процесі пояснення нового матеріалу використовуються різні методи, але в кожному з них присутні і логічні прийоми. Основна відмінність письмового додавання, віднімання і множення порівняно з усним виконанням полягає у тому, що усні обчислення починають з вищих розрядів, а письмові - з нижчих розрядів. Структурний запис письмових обчислень дає змогу подати пояснення на основі аналізу зразка розв'язання.

Також варто зазначити, що основні логічні прийоми є обов'язковими складовими методики формування математичних понять. Їх застосування підвищує і логічний розвиток молодших школярів.

1.4 Формування уявлень про математичну мову в учнів початкових класів

При навчанні за нині діючими програмами мова учнів І--IV класів помітно збагатилась елементами математичної мови. Активніше поповнюється математичний словник молодшого школяра термінами, символами, виразами, правилами, означеннями. Як узагальнення тих закономірностей, що їх спостерігали учні при оперуванні числами, вводиться буквена символіка. При цьому учням пояснюють, що буква-символ може набувати різних числових значень [ 9, 63 ]. Розглядаючи числову змінну, учні часто вживають вирази: «значення букви», «значення виразу», «яким значенням виразу відповідають дані значення букви», «якому значенню букви відповідає дане значення виразу» тощо. Сформувати правильне уявлення про змінну допомагає позначення її порожніми віконцями різної форми (квадратної, круглої, трикутної). Формулювання таких завдань за формою нагадує загадку, а процес розв'язування набуває ігрового характеру.

Наприклад, «Хто швидше закриє числом уci віконця» (рис. 11).

Вправи на знаходження значень буквених виразів при заданих значеннях букв корисно використовувати також для організації спостережень учнів за властивостями арифметичних дій, для узагальнень.

Учителі початкових класів застосовують різноманітні методичні прийоми, які допомагають учневі оволодіти уміннями письмово виконувати завдання, а також обґрунтовувати кожний крок у його розв'язанні. Навчити учня елементам математичної мови можна лише тоді, коли він бере активну участь у процесі навчання. Тому більшість методичних прийомів активізують процес учіння, оскільки підтримують увагу в стані активності. Організовуючи навчальну діяльність у класі, вчитель спирається на сильних учнів, орієнтується на рівень їх активності, підтягуючи до цього рівня решту учнів.

Для цього під час повторення теоретичного матеріалу широко використовуються опорні схеми, таблиці, малюнки. Наприклад, при повторенні компонентів дій використовують схеми, подані на рисунку 12.

За допомогою таких схем учні можуть виконувати кілька завдань, оперуючи зазначеними в схемі термінами.

Заповніть пропуски в прикладах: . . . + 5 = 37; . . . -- 7 = 12.

Чому дорівнює доданок? Чому дорівнює зменшуване?

Розв'яжіть рівняння: а) х--13 = 65; б) 27 -- х = 12.

Складіть рівняння на знаходження зменшуваного і розв'яжіть його.

Розвитку математичної мови молодших школярів сприяють такі форми усного опитування, як відповідь за даним планом. Це може бути розв'язування задачі, відповідь за планом-інструкцією. Опитування при цьому проводиться з використанням завдань, що заздалегідь записуються на дошці. Учневі дають картку з планом відповіді, який може бути і в формі запитань. Картка складається так, щоб нею можна було скористатися кілька разів, замінивши тільки числа. Бажано, щоб у таких планах застосовувались потрібні терміни, передбачалось проведення міркувань на розпізнавання математичних понять, відтворення формулювань властивостей математичних дій, наводились алгоритми виконання завдань і зокрема плани розв'язування певного виду задач.

Активізують увагу учнів такі форми роботи, як знаходження та виправлення помилок, використання провокуючих вправ (13 = 7·2). У цих випадках їм доводиться проводити розгорнуті міркування, вживати терміни, наводити формулювання.

Формуванню умінь учнів застосовувати математичну термінологію в різних ситуаціях сприяють вправи, аналогічні наведеній нижче.

1) Прочитайте по-різному запис 36:4 = 9, вживаючи подані слова (36 поділити на 4 дорівнює 9 і т. д.) :

36:4 = 9

поділити

зменшити в

більше в

менше в

частка

2) Прочитайте по-різному приклад на множення, добираючи потрібні або вживаючи наведені слова (8 помножити на 3 дорівнює 24 і т. д.):

8 ·3 = 24

більше в

менше в

В процесі виконання усних вправ учні оволодівають уміннями застосовувати математичні терміни, формулювати властивості дій тощо. Ефективним прийомом навчання учнів математичної мови є коментування. У початкових класах успішно застосовується хорове- (латинська буква, слово, словосполучення) та індивідуальне коментування в такій, наприклад, системі: коментування сильним учнем під керівництвом учителя (записи виконуються на дошці); коментування без запису на дошці; коментування хором; коментування сильним, середнім і слабким учнем (індивідуальне) .

Кожне нове поняття формується на основі інших, уже відомих, які використовуються в цьому процесі як опорні [ 9, 63 ]. Ця умова забезпечує доступність нових знань і, певною мірою, готовність учнів до їх сприймання. Кожний новий елемент математичної мови вводять у взаємозв'язку з раніше засвоєними. До таких понять відносять і поняття відповідності. Його вводять на основі досвіду дитини встановлювати відповідності спочатку між різноманітними предметами, пізніше -- між числами, точками тощо. Уявлення про те, що означає слово «відповідати», починає формуватись в дитини досить рано. У процесі підготовки до школи та навчання в І--IV класах це уявлення поступово розширюється, охоплюючи математичні об'єкти.

Щоб сформувати в учнів уявлення про відповідні математичні об'єкти, навчити правильно вживати вирази із словом «відповідає», увагу учнів зосереджують на парах відповідних елементів, що розглядаються в завданнях, вміщених у підручниках для І--IV класів. Учні розглядають приклади, які допомагають зрозуміти ідею відповідності, ознайомитись з поняттям пари, збагатити математичну мову новими словами, виразами: «відповідає», «перебуває у відповідності», «пара чисел», «пара точок» (або інших об'єктів).

Набуті при цьому навички та уміння надалі допомагають учням проводити міркування при порівнянні чисел, виборі пар об'єктів, що мають спільну властивість. Причому ці дії школярі виконують не тільки на уроці математики, Вони стають складовими загальної мислительної культури учня.

Уявлення учнів про ідею встановлення відповідності між двома об'єктами створюється в результаті виконання різних вправ і насамперед таких, де доцільне застосування стрілок. У 1 класі це, наприклад, вправи на порівняння предметів і чисел (рис.13). На рисунку 14 стрілками сполучено пари парних чисел, у кожній з яких перше число менше від другого. Учням пропонується розставити відповідні числа та прочитати їх: «шість більше від чотирьох на два»... Щоб зробити завдання цікавішим, можна використати ігровий прийом: стрілка говорить: «Я на дві одиниці більша від...»

На рисунку 15 подано завдання дещо іншого характеру. Учням пропонується поставити числа, яких не вистачає, виписати пари чисел, сполучені стрілками, та порівняти їх між собою.

У завданнях, вміщених на рисунку 16 (до теми «Додавання та віднімання в межах 10»), потрібно поставити пропущені числа та встановити, що означає стрілка. Завдання типу а) і г) можна також використати під час вивчення теми «Додавання до числа суми»; завдання типу б) і в) сприяють формуванню в учнів уявлення про віднімання та додавання як про взаємно обернені операції. Нестандартність розглядуваних вправ, ігровий характер підвищують їх ефективність. У такій формі корисно подавати завдання на «додавання по 1, по 2, по 3», на «віднімання по 1, по 2, по З».

На рисунках 17 і 18 показано, як можна користуватись стрілками під час вивчення тем: «Множення та ділення на 10», «Знаходження невідомого множника». Відповідні завдання можна сформулювати так:

1. Для кожної пари чисел, записаних справа, знайти відповідні цим числам добутки, що містяться зліва.

2. Зліва записано пари чисел, добутки яких зазначено справа. Допишіть пропущені в парах числа.

Завдання, подане на рисунку 19, дає можливість продемонструвати властивість симетричності числової рівності. Виконуючи вправу, учні міркують приблизно так: «Стрілки означають: 12 + 9=14 + 7, або 14 + 7=12 + 9»

Щоб надати діяльності учнів творчого характеру, корисно запропонувати таке завдання: «За поданою схемою складіть умову задачі. Складіть та розв'яжіть задачу, обернену до складеної».

Складаючи задачі, обернені до наведених, та будуючи відповідні схеми, учень краще усвідомлює зміст даної задачі. При цьому в учнів формуються нові мислительні навички, тобто активізується розвиток мислення. Дослідження французького психолога Ж. Піаже показали, що з ускладненням мислительних задач роль оборотності весь час зростає. Тому обернених задач треба розв'язувати якомога більше. Розв'язання їх можна записувати лише в окремих випадках, а в основному обмежуватись усним розв'язанням та відповідною схемою на дошці. Побудова згаданих схем сприяє формуванню в учня уявлення про взаємно обернені відношення та відповідні мовні звороти, які в майбутньому становитимуть основу для вивчення обернених функцій. Усвідомити ідею відповідності учням допомагає робота з таблицями. Такі таблиці корисно заповнювати при вивченні цілого ряду тем. Наведемо приклад таблиці, що використовується при вивченні теми «Додавання і віднімання в межах 10» (табл.1, 2).

РОЗДІЛ 2. Методика формування деяких конкретних математичних понять в учнів початкових класів

2.1 Методика формування поняття натурального числа

Програма з математики включає цілу систему спеціальної учбової роботи по засвоєнню поняття числа як необхідної умови підвищення теоретичного рівня знань учнів 1-4 класів.

Засвоєння поняття натурального числа учнями повинно бути доведеним до рівня конкретних знань.

Формування певної системи знань про натуральне число починається з 1 класу і проходить ряд етапів [ 17, 93 ].

Вже на перших уроках математики (підготовчий період), коли перевіряються і систематизуються знання, отримані дітьми до школи, робляться перші кроки по внесенню у підсвідомість першокласників елементів наукових основ про число.

Перш за все, доступно і на практичній основі, чітко розкривається ціль рахунку. В процесі рахунку діти засвоюють послідовність чисел, відпрацьовують техніку рахування. На конкретних множинах, які складаються із однорідних і неоднорідних елементів, першокласники вчаться правильно співвідносити числа з елементами множин; дізнаються, що результат рахунку не залежить від порядку, в якому перераховувалися предмети. Рахунок - основне джерело одержання натурального числа в початковій школі. Рахуючи, в дійсності, учень виділяє з оточуючого світу множини певної чисельності. Процес рахування, таким чином, оприділяє числові уявлення про множини. Наприклад, число 4 для учня - це 1,2,3,4.

Теоретична основа процесу рахування далі поглиблюється, і в кінцевому результаті учень починає розуміти його як процес становлення взаємоднозначної відповідності між елементами стандартної натуральної послідовності чисел з елементами даної множини. На уроках підготовчого періоду учні повинні засвоїти, що на запитання скільки? педмети можна рахувати в будь-якій послідовності, на питання який по рахунку? - в певній. Порядкові відношення, порядкові значення чисел демонструються на дидактичному матеріалі: використовуються елементи драматизації [ 17, 93 ].

Ця робота проводиться в усній формі в межах п'яти перших чисел, без введення відповідної термінології. Засвоєння самих чисел і їх відношень у відрізку натурального ряду [1;10] проводиться в процесі вивчення теми “Десяток”. Усна і письмова нумерація чисел 1-10 вивчається спільно. В більшості випадків знайомству підлягають відразу 2 послідовних числа. Така методика позитивно впливає на відпрацювання навиків рахунку допомагає розкрити структуру послідовності натуральних чисел і допомагає більш швидко запам'ятовувати цифри. Вивчення кожного числа проводиться в певній послідовності:

1.Утворення числа.

2. Знаходження одиничних предметів і груп, які характеризуються даним числом.

3. Вправи в рахуванні з метою закріплення кількісних і порядкових відношень чисел в натуральному ряді.

4. Порівняння чисел по величині.

5. Ознайомлення з друкованою і писаною цифрою.

6. Робота по відношенню цифри і числа предметів.

Робота над поняттям натурального числа в 1-4 класах будується з вивченням цілого комплексу інших понять. Система знань про натуральне число в наступних класах буде поповнюватися.

2.2 Методика формування поняття про відрізок

У молодших класах закладається основа математичних знань. Тому важливо з самого початку дати учням правильні уявлення про об'єкти, що вивчаються в початковому курсі математики, сформувати правильні математичні поняття, зокрема геометричні: «пряма», «відрізок», «прямокутник», «сторона», «кут» і т. п [ 18, 132 ].

Однією з умов успішного опрацювання будь-якого навчального матеріалу, в тому числі й з математики, є добре продумана послідовність його викладу та доцільні форми роботи над ним. У цьому разі варто дотримуватися такої послідовності. Розпочати з формування поняття про лінію взагалі (пряму, криву) в процесі спостережень у навколишньому житті, візуального сприймання відповідного ілюстративного матеріалу. Після цього вводити поняття про відрізок прямої, також спираючись на численні наочні посібники та виконуючи з дітьми практичні завдання.

Наступний етап -- диференціація понять «пряма», «відрізок», «промінь» (без введення цієї назви) на грунті усвідомлення їх основних видових ознак. І, нарешті,-- поглиблення поняття про відрізок у процесі розв'язування задач. Тут можливі різні методичні форми роботи над матеріалом: 1) візуальне порівняння відрізків на основі побутових понять: «довший -- коротший», «менший -- більший», «такий же»; розв'язування задач обчисленням з геометричною інтерпретацією результатів; розв'язування вправ геометричним способом з арифметичним тлумаченням відповідей; виконання практичних робіт з застосуванням одиниць вимірювання довжини відрізка (сантиметр, міліметр, метр) [ 18, 132 ].

На уроках математики у початковій школі можна ввести поняття про відрізок у ході такої бесіди «Як ви розумієте слово «відрізати»? Покажіть на смужці паперу. (Звертаємо увагу на те, що смужка відрізана з обох кінців). У нас є ось така стрічка (показуємо), а нам потрібна менша. Що маємо зробити зі стрічкою -- перерізати її чи відрізати від неї частину? Проведіть пряму лінію. Позначте на дошці і в зошитах дві точки. Прийнято говорити, що точки лежать на прямій. Наведіть кольоровою крейдою частину прямої від однієї точки до другої. Це -- відрізок прямої лінії або просто відрізок. Кінці відрізка поки що позначатимемо точками або рисочками».

У 1 класі учні мають справу з відрізками прямих ліній під час виконання різних вправ. Особлива увага надається вправам на розпізнавання відрізка за його основними видовими ознаками -- «прямолінійність» і «обмеженість».

Для розвитку просторових уявлень учнів корисні задачі, пов'язані з розглядом фігур у різних положеннях, в оточенні інших другорядних елементів.

Подібні завдання, як правило, зацікавлюють дітей, вчать не довіряти очевидному, виховують повагу до вимірювань. Але слід мати на увазі, що самими лише вправами успіху не досягти. Необхідно в процесі формування геометричних понять та уявлень дітей дотримуватись загальних психолого-педагогічних вимог. А це: враховувати досвід і рівень знань школярів; опрацьовуючи з ними конкретний навчальний матеріал, вносити необхідні корективи у попередні знання, доповнювати їх новими відомостями, дотримуючись принципу доступності й послідовності викладу; намагатися зробити керованим весь процес формування геометричних понять; запобігати можливим помилкам у сприйманні матеріалу, прагнути до усвідомленого запам'ятання його учнями.

2.3 Методика формування поняття "задача" в 1 класі

Людина живе у світі задач: на прибуток, збитки, рух, роботу і т. ін. Уміти розв'язувати їх -- справа нелегка. Звичайно, питання так і не ставиться, щоб кожний умів їх розв'язувати. Але серед них є такий вид, з яким людині доводиться мати справу протягом усього життя і майже щодня. Це арифметичні задачі, які містять ситуації, пов'язані з числами і потребують виконання арифметичних дій з ними. Навчити дітей розв'язувати саме такі задачі -- одне з важливих завдань уроків математики [ 21, 63 ].

Арифметичні задачі -- вельми ефективний засіб формування нових теоретичних знань, закріплення й узагальнення вже набутих. З ними учні вперше ознайомлюються в 1 класі. У методиці навчання розв'язувати задачі нині нагромаджено багатющий досвід. Та вся біда в тому, що у його викладі немає чіткості, послідовності, а подеколи й науковості. Взяти хоча б питання про поняття терміна «задача». Як його визначити: дати формулювання, що його пропонують методики, чи ліпше обмежитися прикладами задач, як це поширено на практиці? Учитель, як правило, відчуває тут труднощі: не визначати ніяк поняття не можна, бо від цього залежить з'ясування, у чому полягає розв'язування задачі, його пошук і саме виконання. До того ж подані у посібниках визначення задачі складні для першокласників. Арифметичною задачею називають вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою [ 3, с.145-157 ]. Це визначення хоч і цілком коректне з погляду науки математики, але зрозуміти його суть дитина зможе не одразу. А коли розбереться, то відпаде потреба в такому формулюванні [ 21, 63 ].