Главная Коллекция "Otherreferats" Педагогика Развитие пространственного мышления учащихся средствами графических работ на уроках стереометрии в средней школе

Развитие пространственного мышления учащихся средствами графических работ на уроках стереометрии в средней школе

Психолого-педагогические основы развития пространственного мышления, основные показатели и условия его развития. Методика формирования пространственного образа геометрического объекта средствами графических работ, организация процесса преподавания.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 24.06.2009
Размер файла 131,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

3

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Развитие пространственного мышления учащихся средствами графических работ на уроках стереометрии в средней школе

Киров, 2008

Содержание

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические основы развития пространственного мышления

1.1 Понятие пространственного мышления

1.2 Создание пространственного образа

1.2.1 Модель формирования пространственного образа

1.2.2 Особенности пространственного образа

1.3 Основные показатели и условия развития пространственного мышления

1.3.1 Типы оперирования пространственным образом

1.3.2 Широта и полнота оперирования образом

1.4 Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач

Глава 2. Методика формирования пространственного образа геометрического объекта средствами графических работ

2.1 Задания на создание геометрических образов

2.1.1 Задания на перевод словесных данных задачи в графический образ

2.1.2 Задания на выделение существенных признаков геометрических понятий, их актуализацию

2.1.3 Задания на вычленение фигуры из состава других фигур чертежа

2.1.4 Задания на сравнение фигур чертежа

2.1.5 Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе решения задачи

2.1.6 Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения

2.2 Задания на оперирование геометрическими образами

2.2.1 Задания на мысленное видоизменение пространственного положения исходного образа

2.2.2 Задания на мысленное видоизменение структуры геометрического образа

2.2.3 Задания на мысленное изменение пространственного положения и структуры геометрического образа

2.3 Организация процесса формирования и развития пространственного образа

2.4 Методика формирования и развития пространственных образов при изучении темы «Параллельность в пространстве» средствами графических работ

2.4.1 Тест пространственного мышления

2.4.2 Методика работы с геометрическим образом при изучении темы «Параллельность в пространстве»

2.5 Организация и основные результаты опытной работы

Заключение

Библиографический список

Введение

Долгие годы в школьной практике геометрия как учебный предмет строилась на дедуктивной основе и требовала для своего усвоения хорошо развитого теоретического мышления. Вместе с тем, основной целью изучения геометрии признавалось развитие пространственных представлений (воображения) учащихся. Однако наглядные представления о пространственных свойствах и отношениях являлись в аксиоматической геометрии лишь своеобразной иллюстрацией ее теоретических постулатов (аксиом, определений, теорем, понятий) и выполняли в этом смысле вспомогательную роль.

Такое построение содержания математического образования отвечало закономерностям математики как науки, но не соответствовало природе детского мышления, которое целостно, многомерно опирается на образное восприятие предметного мира, организованного определенным образом в пространстве (видимом или воображаемом).

В курсе школьной геометрии пространственное мышление (как и всякое мышление, оно существует в понятиях) должно выполнять не вспомогательную (иллюстративную), а основополагающую функцию, реализующую возможность человека ориентироваться в окружающем его реальном пространстве, в котором, кстати, нет ни одного плоского объекта, изучаемого в планиметрии.

Следует подчеркнуть, что целенаправленно и системно в традиционных курсах школьной геометрии составляющие пространственного мышления не формируются. В практике обучения геометрии исчезает такой важный методический прием как стимулирование детей работе «в воображении».

При конструировании учебных программ многие авторы стремятся прежде всего создать условия для обобщения накопленного детьми опыта ориентации в реальном пространстве, использовать этот опыт при усвоении математических знаний, обеспечить плавный переход от наглядных (интуитивных) представлений к операторным теоретическим структурам, формированию математических операций.

Все это требует дальнейшего совершенствования методики преподавания геометрии как научной дисциплины, усиления ее развивающей роли.

Целью данной работы является рассмотрение особенностей методики развития пространственного мышления учащихся как важной составляющей современного математического образования.

Поставленная цель реализуется через систему задач исследования:

· изучить психолого-педагогические и математико-методические работы по проблеме исследования;

· выявить возможности разработки методики для формирования пространственного образа на уроках геометрии;

· изучить возможности использования графических работ для формирования пространственных представлений учащихся;

· разработать диагностическую методику формирования пространственных представлений с использованием графических работ в курсе стереометрии;

· разработать методические рекомендации по применению данной методики в работе учителя математики;

· оценить эффективность данной методики в опытной работе.

Объектом исследования является процесс формирования пространственных представлений.

Предметом исследования - использование графических работ при формировании образов геометрических объектов и оперирование ими.

В ходе работы была сформулирована гипотеза исследования: систематическое и целенаправленное использование графических работ при изучении стереометрии в курсе средней школы позволит в значительной степени решить проблему формирования пространственных представлений у учащихся.

Практическая значимость работы состоит в разработке методики преподавания геометрии с применением графических работ в курсе стереометрии.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографического списка, включающего 19 источников.

В первой главе изложены основные психолого-педагогические аспекты восприятия человеком окружающего мира и конкретных объектов, опираясь на известные исследования ведущих специалистов в этой области И. С. Якиманской, И.Я. Каплуновича и других.

Во второй главе описана методика формирования пространственного образа геометрического объекта с использованием графических работ. В главе также описана разработанная диагностическая методика формирования и развития пространственных представлений учащихся по теме «Параллельность в пространстве» и результаты опытной работы.

Глава 1. Психолого-педагогические основы развития пространственного мышления

1.1 Понятие пространственного мышления

Пространственное мышление является важной составляющей интеллекта, так как ориентация человека в пространстве является необходимым условием его социального бытия, формой отражения мира, условием успешного познания и активного преобразования действительности. Теоретическое и практическое значение его изучения неоднократно подчеркивалось советскими и зарубежными учеными (Б.Г. Ананьев, Б.Ф. Ломов, С.Л. Рубинштейн, И.С. Якиманская, Р. Арнхейм, М. Мински, Р. Хольт и др.). Яркое своеобразие данного вида мышления обнаруживается в математической деятельности. Временные, количественные и пространственные соотношения, отражаемые в образной форме, представлены здесь в единстве, требующем постоянного перехода от оперирования одними отношениями к вычленению других. Изучая этот феномен, Ж. Пиаже подчеркивал, что если «представления логико-арифметического содержания заключаются в том, чтобы непространственно - временные преобразования привести к пространственной форме, то пространственные представления переводят пространственный объект в пространственную же форму и образные пространственные операции (перемещение, проецирование и т. д.) - в преобразования, совершающиеся также в пространстве и представляющие тем самым образный (figuratif), а не исключительно операторный аспект» [8].

Многие ученые-методисты (Н.П. Линькова, Б.М. Величковский и др.) рассматривают формирование и развитие пространственных представлений как процесс создания образов и оперирование ими. Под пространственными представлениями они чаще всего понимают образ той или иной пространственной (геометрической) конфигурации, отношения между ее элементами.

Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами [9].

Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств [2].

В связи с этим пространственное мышление выступает в своем реальном содержании как деятельность по формированию и развитию пространственных представлений, а, следовательно, как деятельность по созданию пространственных образов и оперированию ими.

И.С. Якиманская определяет пространственное мышление так: «Пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, которая имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображаемом). В своих наиболее развитых формах это есть мышление образами, в которых фиксируются пространственные свойства и отношения. Оперируя исходными образами, созданными на различной наглядной основе, мышление обеспечивает их видоизменение, трансформацию и создание новых образов, отличных от исходных» [18].

Пространственное мышление в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей.

Прежде, чем учащийся сможет оперировать пространственными образами, эти образы должны быть созданы.

1.2 Создание пространственного образа

1.2.1 Модель формирования пространственного образа

Первым шагом на любом этапе познания, в том числе и при формировании представлений, является восприятие, «живое созерцание» определённой визуальной информации, например, чертежа, схемы, модели, рисунка и т.п. Для того чтобы сделать его действенным, необходимо не просто смотреть на предлагаемые для восприятия зрительные образы, а видеть заложенную в них информацию, то есть осуществлять анализ визуальной информации.

Анализ визуальной информации начинается с создания общей структуры информационного сообщения, заложенного в данном зрительном образе (модели, рисунке, чертеже, схеме и пр.) и выделения его элементов. Учебная математическая информация, задаваемая наглядным образом, довольно четко подразделяется на элементы. Например, при изображении пространственных или плоских геометрических конфигураций, в одних случаях к элементам можно отнести сами эти фигуры, в других - выделенные на чертеже их составляющие (высоты, углы, стороны, вершины и пр.). Таким образом, происходит расчленение, в котором важную роль играет опознание отдельных ее фрагментов (узнавание), отождествление одинаковых, сходных по форме или по смыслу ее элементов. Система связей выделенных элементов будет составлять структуру данной визуальной информации. Осознание структуры исходной визуальной информации заключается в определении связей между ее элементами.

В ходе активного зрительного восприятия визуальной информации учащийся отождествляет отдельные ее фрагменты с известными ему достаточно простыми объектами и понятиями. Распознавание стандартной ситуации, стандарта может происходить как при постановке задачи (применить признак параллельности для построения сечения куба), так и неявно, в процессе выделения знакомого представления в новых условиях (стороны треугольника - отрезки, вершины - точки), уяснения частного вида более общего знакомого понятия (треугольник - равносторонний треугольник).

Таким образом, в посильном для изучения материале обучаемый находит некоторые известные ему объекты в виде элементов чертежа, схемы, графика, модели; выделяет их, дифференцирует по степени сходства, определяет известный ему структурный стандарт по отношению ко всей представленной визуальной информации. Получение начальных, явным способом предлагаемых данных информации приводит к вычленению признаков геометрического объекта, которые являются основой для формирования его первичного образа.

Далее учащийся приступает к уточнению и детализации исходной визуальной информации, сравнивает ее с некоторым обобщенным образом (стандартом, эталоном). Таким образом, в памяти учащегося происходит окончательное закрепление - образование содержательных образов (пространственных представлений) [19].

1.2.2 Особенности пространственного образа

Пространственные образы обладают рядом особенностей, которые определяют основное направление формирования пространственного мышления учащихся. Пространственное мышление учащихся формируется главным образом на графической наглядной основе, в условиях оперирования образами по памяти в процессе решения учебных задач. Здесь встречаются многочисленные, порой нелегко преодолеваемые трудности, которые испытывают учащиеся, причем трудности весьма устойчивые. Изучение психологической природы этих трудностей может способствовать усовершенствованию содержания и методов обучения математике, при изучении которой главным образом и происходит развитие пространственного мышления [13].

Среди особенностей пространственного образа выделим динамичность, размещенность, обобщенность.

1. Размещенность пространственного образа. Положение объекта по отношению к другим объектам определяется его размещенностью в пространстве. Определить его положение - это и значит указать его место в совокупности мест, занимаемых другими, окружающими его объектами. Пространственные соотношения характеризуют не столько сам объект, сколько его положение в системе других объектов (если объект сложный по структуре, то внутри этой структуры устанавливаются пространственные соотношения его частей, части и целого) [18].

2. Динамичность пространственного образа. Динамичность пространственных представлений выражается в способности к произвольной смене точек отсчета, к произвольному изменению положения пространственного объекта, его элементов. Динамичность образа геометрического объекта проявляется в способности не только его видоизменять, но и видеть в статическом изображении движение, перемещение объектов, способ их соединения, получения. К действиям, способствующим развитию динамичности пространственных представлений, относят:

  умение выбирать и произвольно менять точку отсчета (позицию наблюдателя);

  умение мысленно фиксировать изменения в содержании образа геометрической конфигурации.

При изучении геометрии такое качество, как динамичность пространственных представлений лежит в основе познания геометрического пространства, требующего умения переходить из одной системы отсчета к другой. Наиболее отчетливо данное качество проявляется при решении тех задач, где требуется мысленное изменение точки отсчета, отказ от ранее принятой системы отсчета и выбор другой [2].

3. Обобщенность пространственного образа. В пространственных образах могут воспроизводиться как пространственные зависимости единичного, конкретного предмета (форма, величина, его положение на плоскости, в системе других объектов), так и пространственные свойства, присущие разнородным предметам, а также их состояния. В первом случае пространственные связи легко выделяются из конкретного предмета. Во втором случае они конструируются в виде различных пространственных схем, так как в каждом отдельном примере они не даны. Их можно выделить лишь путем мысленного преобразования предметов, моделирования их пространственных свойств и отношений. В этих образах воспроизводятся и обобщаются не только признаки, наглядно выявляемые в самих предметах, но и «скрытые» свойства и отношения [18].

Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов - их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т.п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно поэтому геометрические объекты служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.

И геометрические объекты и их носители - реальные объекты в школе выступают в роли учебной наглядности.

В этой связи рассмотрим наиболее часто используемые виды учебной наглядности, которые можно разделить на три основные группы:

1) натуральные вещественные модели (реальные предметы, муляжи, геометрические тела, макеты различных объектов, т.п.); сюда же можно отнести их перспективные изображения (фотографии, художественные репродукции);

2) условные графические изображения, отличающиеся разнообразием форм и содержания (чертежи, наглядные изображения в аксонометрических, изометрических проекций, разрезы, сечения, эскизы, и т.п.);

3) знаковые модели (графики, географические карты, топографические планы, диаграммы, математические символы и другие знаковые системы).

Все эти виды наглядности имеют неодинаковую функцию в раскрытии пространственных свойств и отношений объекта. Будучи наглядными, они существенно различаются своим содержанием и создают разные условия для возникновения адекватных образов.

Натуральные (вещественные) модели и их перспективные изображения являются простыми заменителями реальных объектов, с которыми они сохраняют полное сходство. Эти виды наглядности передают, как правило, конкретные свойства отдельных объектов во всей их полноте и многообразии и играют роль иллюстрации при усвоении знаний. Однако их функция ограничивается в основном передачей лишь внешних, очевидных свойств объекта.

Условные графические изображения - в отличие от натуральных моделей способствуют передаче более скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Они передают главным образом конструкцию (строение) объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное положение его отдельных частей, позволяют как бы перейти от явления к сущности.

Особенность, отличающая условные графические изображения от натуральных моделей (и их перспективных изображений), состоит в том, что условные графические изображения воспроизводят объекты посредством определенных графических методов, специальной системы условных обозначений.

Знаковые модели существенно отличаются от рассмотренных выше видов наглядности. Знаковые модели воспроизводят не отдельные «вещные» свойства объектов, и даже не их конструктивные особенности, а абстрактные (теоретические) зависимости, присущие многим объектам, но невыводимые из отдельного объекта. Они несут в себе больше семантическую, нежели иллюстративную функцию. Однако они тоже наглядны. С их помощью воспроизводятся в чувственно-доступной, наглядной форме различные связи и отношения.

Все рассмотренные виды учебной наглядности чувственно воспринимаемы, созерцаемы, но воспроизводимое ими содержание принципиально различно, что определяет характер возникающих на их основе пространственных образов, различающихся степенью обобщенности, условности, динамичности [18].

Основное внимание сосредоточим на особенностях пространственного мышления, которые проявляются при создании пространственных образов и оперировании ими в процессе решения разнообразных задач с использованием условно графических изображений. Это обусловлено тем, что из всех видов наглядности условно графические изображения передают не столько внешний облик объекта, сколько его пространственные характеристики (геометрическую форму, величину и т.д.); обладают большей обобщенностью, чем остальные, причем условия создания по ним образа различны; на их базе может быть создан не один, а несколько конкретных образов.

Выявление типа создаваемого образа на его наглядной основе характеризует уровень развития пространственных представлений.

1.3 Основные показатели и условия развития пространственного мышления

Деятельность пространственного мышления направлена в основном на оперирование пространственными образами. Основные показатели, характеризующие развитие пространственного мышления и определяющие его деятельность, - это типы оперирования образом.

1.3.1 Типы оперирования пространственным образом

Все многообразие случаев оперирования пространственными образами можно свести к трем основным: приводящим к изменению положения воображаемого объекта (I тип), изменению его структуры (II тип) и к комбинации этих преобразований (III тип). Остановимся на описании каждого типа оперирования.

Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ, уже созданный на графической наглядной основе, в процессе решения задачи мысленно видоизменяется в соответствии с условиями задачи. Эти изменения касаются в основном пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. Типичными случаями такого оперирования являются различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее, что приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на графической основе, которая объективно остается при этом неизменной. Следует отметить, что приемы мысленного вращения (смещения) применяются при создании пространственного образа. Но в этом случае они используются применительно к изображению (например, чертежу) или отдельным его элементам. В процессе оперирования изменению подлежат не столько элементы воспринимаемого изображения, сколько уже созданный на их основе образ. Мысленное вращение осуществляется при этом без непосредственной опоры на наглядность.

Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ под влиянием задачи преобразуется в основном по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления (усечения) и т.п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа в этом случае намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергается здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производимые преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором.

Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразования исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре.

Сравнительный анализ трех типов оперирования пространственными образами показывает, что оперирование может осуществляться применительно к разным элементам в структуре образа: его форме, положению, их сочетаниям. Выделенные типы оперирования пространственными образами, их доступность учащимся рассматриваются как один из важных и весьма надежных показателей, характеризующих уровень развития пространственного мышления.

В соответствии с тремя типами оперирования выделены три уровня развития пространственного мышления (низкий, средний, высокий). Этот показатель положительно коррелирует с другими показателями, такими, как широта оперирования пространственным образом, полнота образа, его динамичность, обобщенность, обратимость и т.п.

Итак, рассмотрены основные типы оперирования пространственными образами, встречающиеся в процессе решения графических задач, различных по своему предметному содержанию. Исследование реальных механизмов, обеспечивающих возможность оперировать образами, поможет понять психологическую природу затруднений, разработать надежные критерии для определения уровня развития пространственного мышления.

1.3.2 Широта и полнота оперирования образом

Представим, что учащийся хорошо выполняет преобразования по тому или иному типу. Чтобы убедиться в том, что данный тип оперирования для него не случаен, необходимо проверить его устойчивость, т. е. возможность выполнять данные преобразования на различном графическом материале. В этих целях используется такой показатель, как широта оперирования.

Широта оперирования есть степень свободы манипулирования образом с учетом той графической основы, на которой образ первоначально создавался. Данный показатель дает возможность выявить степень устойчивости в оперировании образом по тому или иному типу, независимо от характера изображения. Свобода такого оперирования, проявляющаяся в легкости и быстроте перехода от одного графического изображения к другому, своеобразное «перекодирование» их содержания типичны для развитого мышления. На основании этого показателя легко установить, является ли данный тип оперирования образом, результатом непосредственного обучения или же это есть проявление индивидуальной способности ученика, который самостоятельно, по собственной инициативе осуществляет подобные преобразования на разнотипных изображениях. Важным здесь является умение создавать образы и оперировать ими, используя для этого разные виды графических изображений.

Кроме того, оперирование пространственным образом предполагает, что учащиеся мысленно преобразуют заданную графическую наглядность в трех тесно взаимосвязанных направлениях: по форме, величине, пространственному положению. Отражение этих признаков в образе, мысленно преобразуемом, и характеризует полноту образа. Если эти признаки не теряются человеком в процессе преобразования образа, то можно наняться на успешность его преобразования.

Полнота образа характеризует его структуру, т.е. набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственная размещенность (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов).

Важной характеристикой полноты образа является его динамичность, выражающаяся в умении:

мысленно фиксировать изменения в содержании образа;

произвольно изменять точку отсчета.

Вот почему тип, широта оперирования и полнота образа приняты в качестве основных показателей развития пространственного мышления.

Умение вычленять пространственные соотношения и оперировать ими прямо не зависит от усвоения знаний, в то время как умение вычленять форму и размеры изображенного объекта опосредствуется целой системой усвоенных знаний, приемов и способов действий.

Овладение специальной системой графических знаний, умений и навыков является важнейшим условием, вне которого не может быть развития пространственного мышления. Однако последнее зависит не только от усвоения специальных знаний, но и от структуры пространственных образов.

Создание соответствующих упражнений на основе классификации различных видов изображений и типов их преобразований не только способствовало правильному и более раннему усвоению учащимися основополагающих понятий о пространстве и его элементах (таких, например, как пространственное тело, плоскость и т.п.), но играло бы большую роль в развитии пространственного мышления школьников.

1.4 Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач

Выше были рассмотрены условия, в которых осуществляется возникновение образа и оперирование им. Среди этих условий можно выделить следующие:

характер наглядной основы, на которой образ впервые возникает;

особенности графической задачи, определяющей требования к созданию образа и оперированию им.

В процессе решения задач часто используется не один, а несколько видов графических изображений (рисунок, чертеж и др.), что требует не только создания образов, адекватных заданным изображениям, но и перекодирования их.

В процессе решения задачи необходимо, опираясь на разные графические изображения, увидеть объект многопланово, причем образы, возникающие на основе изображений, должны сливаться в единый, целостный образ. Единичные образы, полученные от восприятия каждого изображения, различаются уровнем наглядности, обобщенности, схематичности. Они не просто рядоположно существуют, а видоизменяются, преобразуются в процессе решения. Поэтому в конечном образе - образе-результате - отражается в снятом виде вся логика преобразований исходных образов. Структура этих образов зависит от содержания исходной наглядности, на которой они возникают.

Структура пространственного образа существенно зависит от характера наглядной основы, на которой образ возникает. В процессе решения графических задач используются не одно, а несколько изображений разного типа, требуется переход от одного к другому, что обусловливает изменения в структуре образа. В каждом графическом образе отражаются по преимуществу те свойства объекта, которые фиксируются графическим изображением [1]. Однако структура пространственного образа определяется не только характером наглядной основы. Она определяется также той функцией, которую образ выполняет в процессе решения графической задачи. В зависимости от функции в образе фиксируются не все свойства и признаки отображаемого объекта, а лишь те, которые необходимы для реализации деятельности, ее успешного осуществления. Избирательность психического отражения - фундаментальная закономерность, выражающаяся в зависимости структуры образа от его функции в деятельности. Эта закономерность в специфическом виде проявляется и при созда-нии пространственных образов.

Образ «рождается» под влиянием двух тесно взаимосвязанных детерминант: наглядной основы и требований деятельности, обусловленных конкретными условиями задачи. Это важно иметь в виду при использовании принципа наглядности в обучении. Нередко выбор наглядного графического изображения диктуется только его иллюстративной функцией. Но важно учитывать также требования учебной задачи и, исходя из этого, выбирать адекватное графическое изображение.

Выбор графической иллюстрации должен опираться на анализ содержания учебной деятельности, с учетом той реальной задачи, которую выполняет ученик. Необходимо предоставлять ученикам свободу выбора в использовании графических изображений с учетом их функции в усвоении заданного учебного материала, легкости оперирования ими.

После рассмотрения сложных зависимостей, которые имеют место в процессе создания образа с учетом исходной графической основы и содержания задачи, проанализируем, как проявляются эти зависимости при решении графических задач, где создание пространственных образов и оперирование ими являются основной целью.

Следует подчеркнуть, что в задачах начертательной геометрии образ, возникающий первоначально на заданной графической основе, является лишь исходной моделью, обладающей различным набором пространственных и проекционных признаков. Какие из них будут использованы зависит от конкретного условия задачи, где фиксируется направление мысленного преобразования исходного образа-модели.

Все выполняемые преобразования непосредственно не заданы исходным изобра-жением. Конечный образ, фиксирующий результат решения, конструируется (строится) с учетом требований задачи. Поэтому структура образа (набор отображаемых им элементов, признаков, свойств) зависит от функции образа в системе задачи. Причем в процессе решения задачи может происходить переориентация на различные признаки и свойства [19].

Таким образом, в задачах по начертательной геометрии имеет место динамическое соотношение пространственных признаков и свойств, которые непосредственно фиксируются в ходе решения задачи. Здесь также наблюдается своеобразное перекодирование, но выражается оно не только в переходе от одного графического образа к другому, но и в переходе от одних пространственных признаков к другим [14].

Структура пространственного образа, создаваемого на различной графической основе, определяется конкретными условиями и требованиями деятельности. Она динамически меняется в зависимости от содержания графической задачи, поскольку имеет место постоянный переход:

от наглядных изображений к условно-схематическим;

от трехмерных (объемных) к двухмерным (плоскостным);

от одной системы ориентации к другой, используя различные свойства изображенного объекта (его форму, величину, пространственные соотношения).

Необходимость изменения структуры пространственных образов определяется их функцией в деятельности (в процессе решения задачи). Первоначально возникший образ (на основе чтения исходного изображения) может только тогда выполнять функцию контроля, коррекции, прогнозирования деятельности (т.е. регулирующую функцию), когда он в процессе решения задачи постоянно преобразуется.

Во многих графических задачах логика движения образов (их видоизменение, взаимопревращение) и есть по существу основной механизм решения.

С одной стороны, образ не может быть инвариантным по отношению к той наглядной (графической) основе, на которой он создается. Он должен быть адекватен этой основе. С другой - образ не может быть чем-то неподвижным, статичным, застывшим. Он должен быть динамичным, подвижным, оперативным. В противном случае он не сможет выполнять свою функцию в процессе решения задачи, где требуется не просто зафиксировать наличную, исходную ситуацию, а ее преобразовать.

Если исходная графическая наглядность в условии задачи задается, как правило, стабильной, неизмененной, то функция образа постоянно меняется, что требует непрерывного переструктурирования образов. Статичность и динамичность образа выступают здесь в единстве. Там, где они рассогласованы, возникают трудности в решении графических задач.

Исходная наглядность является лишь первичной основой создания образа. В процессе решения задачи образ неоднократно преобразуется. Его преобразования тесно связаны не только с сохранением образа в памяти, но и с использованием понятийного аппарата, определяющего способы преобразования образа в логике задачи.

В основе решения графических задач лежит деятельность представливания, приобретающая сложную структуру.

Представливание (по Б.М. Теплову) - процесс преднамеренного, произвольного воспроизведения образа и мысленного оперирования им решении графических задач [19].

Процесс решения графических задач складывается из своеобразного сочетания исходных образов, возникающих на заданной наглядной основе, выбора способов их преобразования (графического моделирования) и образов, представляющих собой графические схемы движений, воспроизводящих логику мысленного построения изображения. Единство и взаимопроникновение этих образов на основе широкого использования знаний, понятий о видах изображений, способов их построений обеспечивают нахождение правильных стратегий решения графических задач, где образные и понятийные компоненты сливаются в единое целое [7].

Глава 2. Методика формирования пространственного образа геометрического объекта средствами графических работ

Работа с геометрическими образами при усвоении математики предполагает значительную нагрузку на интеллект, поэтому «насыщение» урока учебным материалом, требующим работы с образом, должно опираться на четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику.

Таких заданий в геометрии используется много. Они содержатся в учебниках, анализируются учителем на уроке, задаются в виде контрольных (самостоятельных) работ, как домашние задания. Они различаются своим математическим содержанием. Они неоднородны и по составу той реальной деятельности, которая обеспечивает создание по чертежу образов. Но именно с этой точки зрения задания в учебниках недостаточно систематизированы ни в пределах одной темы, ни курса в целом. Задавая их ученикам, учитель не всегда отдает себе отчет в том, какие требования они предъявляют к созданию образа. Конечно, образ возникает у ученика по чертежу (в большинстве случаев) адекватный, но как именно он возникает, этого, как правило, не знают ни авторы учебников, ни учителя. Констатируя конечный результат - созданный образ (правильный или неправильный), учитель не располагает набором заданий, который позволил бы ему «зондировать» сам процесс создания геометрического образа. Целесообразно различать две системы заданий (см. 2.1 и 2.2).

2.1 Задания на создание геометрических образов

2.1.1 Задания на перевод словесных данных задачи в графический образ

Эти задания широко используются в школьной геометрии. Они предполагают выполнение чертежа в соответствии с условием задачи, заданным в словесной или символьной форме. Есть такие задачи, которые задаются словами и не содержат ни букв, ни символов в тексте («Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке пополам»).

Пример 1. Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения:

1) прямая АВ пересекает плоскость ? в точке М (рис. 1);

2) плоскости ? и ? пересекаются по прямой МР, а плоскости ? и ? пересекаются по другой прямой МТ (рис. 2) [15].

3

2.1.2 Задания на выделение существенных признаков геометрических понятий, их актуализацию

Выделение существенных признаков может осуществляться:

а) по словесному описанию условий задачи;

б) по графическому изображению фигуры.

Ученик по словесному описанию задачи должен выделить (подчеркнуть) те слова, в которых заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать, вычислить и т.п.). Это необходимо, чтобы ученик мог сознательно отчленять известное от искомого. Вычленение существенных признаков понятий можно организовать и по чертежу.

Пример 2. На рисунке изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость ?. Верно ли сделан рисунок (рис. 3)? [15]

Решение. При внимательном изучении рисунка видно, что прямые а, b и c лежат в одной плоскости (используется аксиома задания плоскости).

3

Прямые а, b и c пересекают плоскость ? по прямой, на которой лежат точки А, В и С (аксиома пересечения плоскостей). Но по чертежу видно, что через точки А, В и С невозможно провести единственной прямой. Следовательно, рисунок сделан неверно.

В данной задаче существенные признаки объектов заложены как в условии задачи, так и в чертеже. По условию выделяется свойство принадлежности прямых одной плоскости, а по чертежу - свойство пересечения плоскостей (т.е. чертеж не удовлетворяет аксиоме пересечения плоскостей [14]).

2.1.3 Задания на вычленение фигуры из состава других фигур чертежа

Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных признаков, детерминирован требованиями задачи.

Такие задания можно составить на любом материале, используя различные геометрические фигуры как двух-, так и трехмерные. Они предполагают смену анализа фигур: переход от одних к другим, отвлечение от остальных.

Пример 3. Назовите по рисунку (рис. 4):

1) Плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, АС;

2) Точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ [15].

3

Решение.

1.

2.

При ответе на вопросы задачи возникает необходимость постоянного выделения фигуры из фона и смены фигур (переход от одной грани тетраэдра к другой). Непосредственно по чертежу определяется существенный признак фигур: принадлежность прямой плоскости по двум точкам, которые заданы в условии задачи.

2.1.4 Задания на сравнение фигур чертежа

Эти задания также требуют произвольного внимания, обеспечивающего гибкий переход от одних элементов к другим, с целью их сравнения по заданным признакам.

Такие задания требуют знания существенных признаков; фиксации внимания на двух или более фигурах; мысленного сопоставления их элементов; опознания на них существенных признаков, объединение фигур на основе их сходства и различия с целью вычленения общего признака, т.е. установления в образах определенной логической связи.

Сравнение элементов чертежа может осуществляться двумя путями. Первый путь - установление того, является ли данный объект элементом определенного множества объектов или нет (задача подведения под «понятие», осуществляемая в образной форме). Второй путь - установление принадлежности данного объекта одному из классов заданного множества объектов (задача на классификацию). И в том, и в другом случае выявляются, а также развиваются определенные логические операции, но осуществляются они над образами, ведь при этом имеет место мысленное воссоздание или видоизменение элементов чертежа, хотя исходный чертеж не изменяется. Происходит зрительная актуализация существенных признаков, выявление их логической структуры, мысленная проверка наличия этих признаков у рассматриваемой фигуры, их опознание.

Пример 4. На рис. 5 точки M, N, P, Q - середины отрезков DB, DC, AC, AB соответственно. Найдите периметр четырехугольника MNPQ, если AD = 12 см, ВС = 14 см [3, 13].

3

Решение. По условию задачи т. М и Р - середины DB и AB соответственно. Тогда МР - средняя линия ? ACD (по определению). По теореме о средней линии AD||MP и AD = 2MP. Следовательно, MP = 6 см.

Подобным образом находятся остальные стороны четырехугольника, который является параллелограммом, что попутно доказывается в решении: NQ = 6 см, MN = 7 см, PQ = 7 см. Следовательно, .

В данной задаче постоянно и последовательно (одно вытекает из другого) применяется подведение объекта под «понятие»: определение средних линий, параллельных отрезков, определение параллелограмма.

2.1.5 Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе решения задачи

В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика «образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат - выполнение построения на основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.

Рассмотрев все элементы чертежа, определив их существенные (понятийные) признаки, ученик должен «расширить» круг необходимых данных, для чего и делается дополнительное построение. Оно может быть результатом «слепых» проб, когда ученик без достаточного анализа задачи делает те или иные построения - легко отказывается от одних и переходит к другим. Но построение может быть строго логически обосновано результатом решения задачи (ее отдельного этапа). Это нетрудно установить, наблюдая за работой ученика над задачей.

Задания на расширение данных чертежа путем:

а) дополнительных построений;

б) «переосмысливания», т.е. мысленного «включения» в другую фигуру, имеют большую диагностическую ценность.

Они проявляют возможность ученика выйти за пределы наличной наглядной ситуации, расширить ее, руководствуясь логикой решения задачи.

Эти задания имеют особую ценность в стереометрии, где поиск и нахождение нового элемента нередко представляет собой целую цепь мысленных преобразований, осуществляемых над образом исходной фигуры, когда требуется не только выделение понятийных признаков («ребро куба», «диагональ параллелепипеда», «сечение конуса» и т.п.), но и подлинное создание нового геометрического образа (мысленное «выделение» нового элемента чертежа; «помещение» его в определенной плоскости, выделение среди других). Конечно, все эти умения не формируются сами собой. Они должны быть обеспечены системой заданий. Должны быть разработаны соответствующие правила (образцы, рекомендации), их решения, которые бы раскрывали ученику «технологию» создания образа: возможность мысленно прослеживать его изменения, удерживать в образе его основные элементы, вводить новые - необходимые и достаточные для решения задачи.

3

Пример 5. Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани (рис. 6) [12].

Дано: ABCA1B1C1 - призма; (АВВ1А1)(АСС1А1).

Доказать:

Доказательство. Дополнительное построение: Проведем сечение, перпендикулярное боковому ребру АА1.

Отсюда, (по лемме о перпендикулярности 2-х прямых к третьей прямой [3]). Следовательно,LM - высота в параллелограмме ВСС1В1. Найдем площади граней:

, .

Отсюда, , что и требовалось доказать.

Необходимость дополнительного построения вытекает из перпендикулярности двух граней призмы. Это существенно упрощает решение задачи, т.к. построенное сечение к тому же определяет высоту третьей грани, используемую в доказательстве.

2.1.6 Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения

Эти задания используются в тех случаях, когда некоторые фигуры чертежа надо рассмотреть в плане разных понятий, т. е. переосмыслить их. Это достигается вычленением отдельной фигуры, выделением ее из остальных и включением в новые фигуры, путем их сочетания. Все это должно осуществляться мысленно, что требует, во-первых, абстрагирования отдельных фигур (углов, отрезков, их комбинаций) и, во-вторых, объединения с новыми, т.е. своеобразного мысленного синтеза этих фигур. Заметим, что такое видоизменение чертежа осуществляется «в уме» (ведь исходный чертеж остается при этом неизменным), поэтому вся работа ученика протекает «во внутреннем плане», скрыта от непосредственного наблюдения со стороны учителя. Необходимо обучать вычленению отдельной фигуры, включению ее в другие. Для этого важно сформировать у ученика в определенном порядке следующие мыслительные операции: сосредоточение своего внимания на отдельной фигуре, отвлечения от остальных; актуализация существенных признаков геометрических понятий, характеризующих данную фигуру; актуализация геометрических понятий, отражающих свойства других фигур чертежа; сопоставление данной фигуры с другими, включение ее в состав этих фигур; объединение на основе новых геометрических понятий (признаков, свойств, отношений), что дает возможность рассмотреть их по-новому, т.е. переосмыслить.

Вся эта система мыслительных действий (их содержание, последовательность осуществления) должна быть выявлена, описана и задана для усвоения учащимся. Иначе их взор будет лишь «скользить» по чертежу, не решая никаких конкретных задач. Ведь недаром говорится, что «смотреть не значит видеть». Чтобы видеть, надо уметь осуществлять определенные мыслительные действия, с содержанием которых ученики должны быть знакомы. Это умение обеспечивает основную логическую операцию - произвольное включение одной и той же фигуры в состав различных элементов чертежа, что формирует такие важные качества ума, как внимательность, наблюдательность, сообразительность. Это включение осуществляется в процессе решения задачи неоднократно, подчинено логике решения задачи.

Пример 6. Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см [9].

3

Решение. РОАС, т.к. по условию пирамида правильная, где т. О - центр данного квадрата ABCD. , как половина гипотенузы прямоугольного ? АВС.

Предположим, что боковое ребро пирамиды равно 7 см. В ? РОС оно является гипотенузой. Получается, что катет ОС больше гипотенузы РС, что невозможно.

В данной задаче ОС рассматривается и как диагональ квадрата, и как катет прямоугольного треугольника; РС - как боковое ребро пирамиды и гипотенуза треугольника.

Итак, выделено шесть видов заданий на создание геометрических образов (внутренне взаимосвязанных). Они предполагают:

перевод текста задачи в графический образ (его построение по условию задачи, выраженного словесно, с использованием символических обозначений);

актуализацию существенных признаков;

вычленение различных элементов чертежа, их сравнение, выделение, опознание;

видоизменение чертежа (мысленное или практическое) путем его переосмысливания, дополнительных построений, расширения исходных данных.

При выполнении этих заданий от ученика требуется воссоздание образа по словесному описанию или чертежу и его мысленное видоизменение (без изменения самого чертежа), что предполагает развитие произвольности восприятия, хорошей зрительной памяти; точной фиксации образа чертежа, го мысленного, причем, неоднократного преобразования в указанном направлении.

2.2 Задания на оперирование геометрическими образами

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены