2

Содержание

• Введение 3
• Раздел 1. Теоретические основы изучения функций в школьном курсе математики 8
• 1.1. Развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики. Определение функции 8
• 1.2. Различные подходы к определению понятия функции 13
• 1.3. Методика изучения темы "Логарифмическая и показательная функции" 17
• Выводы по первому разделу 17
• Раздел 2. Организация и проведение педагогического эксперимента 28
• 2.2. Формирующий этап 31
• 2.3. Контрольный этап 32
• Выводы по второму разделу 38
• Заключение 39
• Список использованной литературы 42
• Приложения 45
• Введение

В настоящее время в учебных планах, регламентирующих процесс обучения в общеобразовательных учреждениях, наметилась тенденция к сокращению количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла. Одновременно происходит возрастание требований к качеству приобретаемых учащимися знаний, умений и навыков. В связи с этим, в теории и методике обучения математике обострились многие методические проблемы, в том числе, проблема изучения школьниками функций.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования. В данной курсовой работе будет рассмотрено введение показательной функции и методика преподавания данной темы в школьном курсе алгебры и начала анализа.

• Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов методики изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций, образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа задания функций, сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание уделено методике изучения показательной функции.
• Проблема исследования - выявление условий и методов, способствующих понимающему усвоению учащимися основных понятий темы "Логарифмическая и показательная функции" в личностно ориентированной модели обучения.
• Объект исследования - процесс формирования математических понятий у старшеклассников.
• Предмет исследования - методические условия, обеспечивающие становление различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале темы "Логарифмическая и показательная функции".
• Цель исследования - выявить, теоретически обосновать и экспериментально проверить методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующие понимающему усвоению материала темы "Логарифмическая и показательная функции".
• Гипотеза исследования заключается в том, что понимающее усвоение материала темы "Логарифмическая и показательная функции" будет обеспечено, если обучение будет направлено на становление различных аспектов смысла математических понятий, включение их в личностный опыт и целостное восприятие материала за счет выполнения следующих методических условий: генетического структурирования учебного материала темы; использования информационно-коммуникационных технологий для постижения структурно-предметного аспекта смысла понятия "натуральная логарифмическая функция"; интеграции различных форм представления содержания математических понятий; применения специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

• 1.Выявить сущность смысла и значения как компонентов математического знания; раскрыть теоретическую основу изучения функций в школьном курсе математики.
• 2.Выяснить, как становление различных аспектов смысла математических понятий влияет на развитие теоретического мышления старшеклассников.
• 3.Выявить и теоретически обосновать методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников.
• 4.Разработать методику изучения темы "Логарифмическая и показательная функции", ориентированную на понимающее усвоение старшеклассниками учебного материала с учетом выявленных методических условий.

Для решения поставленных задач использовались методы ис-следования:

• -теоретические: анализ и обобщение философской, психоло-го-педагогической, математической, научно-методической литерату-ры по проблеме исследования; изучение и обобщение педагогического опыта по проблеме организации учебного процесса в старших классах общеобразовательной школы;
• -эмпирические: наблюдение за ходом учебного процесса в старших классах общеобразовательной школы; анкетирование, тести-рование, опросы, беседы с учителями и учащимися; организация и проведение педагогического эксперимента; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
• Научная новизна работы состоит в том, что впервые:
• -выявлены методические условия, обеспечивающие становление различных аспектов смысла математических понятий у учащихся;
• -раскрыто содержание структурно-предметного аспекта смысла понятий "логарифмическая функция" и "показательная функция". Показано, что важнейшей составляющей данного аспекта смысла является операционный (арифметический) смысл. Установлено влияние выявления различных аспектов смысла математических понятий учащимися на качество усвоения данных понятий;
• -установлены взаимосвязи между различными аспектами смысла этих понятий и их влияние на развитие понятийного мышления учащихся.
• Теоретическая значимость работы:
• -выделены качества знаний, способствующие постижению различных аспектов смысла математического понятия, факта, явления;
• -установлены дидактические особенности диалога, направленного на понимающее усвоение учащимися учебного материала;
• -выявлены, теоретически обоснованы и конкретизированы методические условия становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников на материале темы "Логарифмическая и показательная функции": структурирование учебного материала темы на основе выбора в качестве образовательного объекта понятия "натуральная логарифмическая функция"; использование информационно-коммуникационных технологий для представления и осознания нового вида соответствия между числовыми множествами, описываемого с помощью натуральной логарифмической функции; сочетание различных форм представления содержания математических понятий для постижения различных аспектов смысла основных понятий темы с их последующей интеграцией, приводящей к целостному восприятию учебного материала; применение специальным образом организованного диалога как инструмента понимающего усвоения.
• Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны учебные материалы (использование компьютерных технологий, задачи и задания к ним, лабораторная работа по выявлению учащимися структурно-предметного аспекта смысла понятия "натуральная логарифмическая функция", самостоятельные и контрольные работы); примеры диалогового построения обучения, направленного на становление различных аспектов смысла математических понятий и включение их в личностный опыт учащихся при изучении темы "Логарифмическая и показательная функции". Эти материалы могут быть использованы при составлении учебных и методических пособий по математике как для классов с углубленным изучением математики, так и для общеобразовательных классов.
• Нельзя не согласиться с выводами органов народного образования и вузов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений и тождественных преобразований в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики.

Раздел 1. Теоретические основы изучения функций в школьном курсе математики

1.1. Развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики. Определение функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Те вавилонские ученые, которые 45 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r² (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В "Геометрии" Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых функции от абсцисс (х); путь и скорость функции от времени (t) и тому подобное.

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей "Геометрии" лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения формулы.

Слово "функция" (от латинского functio совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение "функция от х" стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа" (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак х, называя характеристикой функции, а также буквы х или ; Лейбниц употреблял х¹, х² вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с Эйлер предлагает пользоваться и буквами , и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, t, (t + s).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: "Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".

Леонард Эйлер во "Введении в анализ бесконечных" (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную "свободным влечением руки". В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны. "

В "Дифференциальном исчислении", вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общее определение функции: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых". "Это наименование, продолжает далее Эйлер, имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других". На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем "Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению", опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: "Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому".

Как видно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем "Курсе алгебраического анализа", опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе "Об исчезании тригонометрических строк" Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: "Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе".

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: "у есть функция переменной х (на отрезке a х b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже, просто словами".

Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В значениями функции; во втором случае х прообразы, у образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a x b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги "Основы квантовой механики" Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 3040-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а "функции области", что лучше соответствует физической сущности явлений.

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.

Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

1.2. Различные подходы к определению понятия функции

Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики -- одно из крупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции.

Для того чтобы составить представление об этом многообразии, сравним две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую -- логической.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Генетическое развертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается "динамический" характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нем, выражаются аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении приходится, используя и развивая функциональные представления, постоянно выходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при этом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место задание функции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но и геометрического материала; геометрическое преобразование при таком подходе оказывается возможным рассматривать как функцию. Обобщенность возникающего понятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей в обучении математике -- основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента, т. е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетической основе.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах естествознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;

представление о функции как о соответствии;

построение и использование графиков функций, исследование функций;

вычисление значений функций, определенных различными способами.

В процессе обучения алгебре все указанные компоненты присутствуют при любом подходе к понятию функции, но акцент может быть сделан на одном из них. Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введения и изучения понятия функции. На этой основе при организации работы над определением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способах задания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся к формированию прикладных умений и навыков.

Пример 1. С мороза в комнату внесли банку со льдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: лед постепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, пока не сравнялась с температурой в комнате. На рисунке изображен график зависимости температуры от времени.

Рис. 1.1. График зависимости температуры от времени

Ответьте на вопросы: а) Какова исходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0 °С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определена функция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего, вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен как функциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этой зависимости (вопрос г)), выяснить соответствующие значения функции и аргумента в определенные моменты процесса (вопросы а) и в)).

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения.

1.3. Методика изучения темы "Логарифмическая и показательная функции"

Появление вычислительной техники в школе открыло возможности, которые связаны с интеграцией новых информационных технологий в учебный процесс по различным школьным предметам. В настоящее время применение различных видов прикладного программного обеспечения носит преимущественно эпизодический характер. Однако развитие процесса информатизации сферы образования уже сейчас выдвигает на передний план задачу создания обоснованной и эффективной методики применения ЭВМ в учебном процессе. Учитывая все преимущества компьютерных технологий, можно использовать ЭВМ на различных этапах учебной деятельности.

Изучение теории - один из наиболее трудных с методической точки зрения вопросов преподавания математики. Повышению активности учащихся при изучении теории помогает методика, направляется деятельность учащихся созданием соответствующих проблемных ситуаций, заданий для самостоятельной работы, проводится контроль за этой деятельностью и даются необходимые консультации с использованием компьютера. Предлагается пример применения компьютерных технологий при изучении двух тем курса алгебры и начал анализа в 11 классе. Приведено тематическое планирование тем, а также план - конспект урока, где на этапе изучения нового материала используется машинный эксперимент.

Показательная и логарифмическая функции

На изучение темы отводится 14 часов. Поурочное планирование следующее:

Показательная функция:

1 урок - лекция;

2 урок - практикум по решению задач.

Решение показательных уравнений и неравенств:

1 урок - решение типовых задач;

2 урок - практикум по решению задач;

3 урок - практикум по решению задач.

Логарифмы и их свойства:

1 урок - урок объяснения нового материала и первичного закрепления;

2 урок - практикум по решению задач.

Логарифмическая функция:

1 урок - лекция;

2 урок - практикум по решению задач.

Решение логарифмических уравнений и неравенств:

1 урок - решение типовых задач;

2 урок - практикум по решению задач;

3 урок - практикум по решению задач;

4 урок - зачетный урок.

Контрольная работа

Производная показательной и логарифмической функций

На изучение темы отводится 12 часов. Ниже приводится поурочное планирование.

1. Производная показательной функции. Число е:

1 урок - изучение нового материала;

2 урок - изучение нового материала;

3 урок - решение типовых задач.

2. Производная логарифмической функции:

1 урок - изучение нового материала;

2 урок - решение типовых задач.

3. Степенная функция:

1 урок - изучение нового материала;

2 урок - решение типовых задач;

3 урок - практикум по решению задач.

4. Понятие о дифференциальных уравнениях:

1 урок - изучение нового материала;

2 урок - решение типовых задач;

3 урок - практикум по решению задач.

5. Контрольная работа - урок контроля знаний.

Организация уроков

Изучение темы начинается с построения графика функции у=ах на множестве рациональных чисел. Для этого заполняется таблица значений функции 2х с шагом 0.5, 0.25, 0.125 на промежутке [-2;4]. Чтобы упростить вычисления, использую электронные таблицы.

Построение графиков провожу также в электронных таблицах.

Наблюдая, как изменяется положение точек при построении графиков, учащиеся делают предположение о существовании непрерывной функции на множестве R, графиком которой можно считать плавную кривую, соединяющую эти точки. Использование компьютера позволяет за 5-7 минут заполнить 6 таблиц и построить столько же графиков для функций у=2х и у=0.5 х. Работая с графиками, ученики формулируют свойства показательной функции на всех этапах ее расширения. После самостоятельной работы с ЭВМ учащиеся слушают рассказ учителя о способе вычисления координаты у=2 х при иррациональном значении х, и демонстрируется график функции на множестве R.

Применение ЭВМ на этом уроке позволяет увеличить время на самостоятельную работу, привносит элементы деятельностного подхода, учит анализировать и делать необходимые выводы о свойствах данных функций.

Использование компьютера продолжается на следующем уроке. На этапе проверки домашнего задания класс разбивается на 2 группы. I группа работает с учителем, закрепляя основные понятия, а II - отвечает на тест, который состоит из 10 вопросов.

В этом тесте нужно проанализировать высказанное утверждение и сообразить, верно оно или нет. Если ученики согласны с высказыванием, то подводят курсор "мыши" к слову " истина" и нажимают клавишу. Если ответ правильный, то с правой стороны экрана появляется синий квадратик, иначе - красный. 

1. Область определения показательной функции множество действительных чисел.

2. Область значений показательной функции множество действительных чисел.

3. При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой.

4. При 0<а<1 функция убывает на всей числовой прямой.

5. При любых действительных х и у справедливо равенство а х *ау=аху.

6. Область значения функции у=3х+1 числовой промежуток [-4;4).

7. Область определения показательной функции у=а х промежуток (-4;4).

8. Функция у=0,2 х убывает на R.

9. Функция у=0,7х возрастает на R.

10. График функции у=2 х проходит через точку (0;1).

Когда кто-то из учеников заканчивает компьютерный цикл, на его место садится один из тех, кто работал с учителем. Таким образом, каждый ученик работает на ЭВМ.

При изучении свойств логарифмической функции использую тест на этапе проверки домашнего задания аналогично второму уроку.

В этом тесте нужно проанализировать высказанное утверждение и сообразить, верно оно или нет.

1. Область определения функции у=logах множество положительных чисел.

2. Область значений функции у=logаx множество положительных чисел.

3. Логарифмическая функция у=logах при а>1 возрастает на всей области определения.

4. Логарифмическая функция у=logах при 0<а<1 убывает на всей области определения.

5. При любом а>0 (а<>1) и любых положительных х и у выполняется равенство logаху=logах+logау.

6. Логарифмическая функция имеет экстремумы.

7. Логарифмическая функция не является периодической.

8. Область определения функции у=log2(х-5) множество [5;4).

9. При любом а>0 (а<>1) и любых положительных х и у выполняется равенство logах/у=logах:logау .

10. График функции у=logах проходит через точку (1;0).

На уроках - практикумах по решению задач необходимо учесть неоднородность классного коллектива. Для этого надо организовать групповую работу, чтобы каждый учащийся смог принять участие в решении. Но проверить на уроке все решения учителю не хватает времени. В этом помогает компьютер.

В зависимости от поставленной цели работу на таких уроках организовывают по-разному. На первых уроках, где решаются опорные задачи, учащиеся разбиваются на группы по 4-5 человек, чтобы они могли свободно общаться между собой, не мешая другим.

I группа - учащиеся имеют прочные, глубокие знания, занимаются с увлечением и имеют перед собой конкретные цели.

II группа - учащиеся со средним темпом продвижения в обучении, овладение новыми знаниями и умениями не вызывает особых затруднений, способы выполнения типовых заданий усваивают после рассмотрения 2-3 образцов, решения измененных и усложненных задач находят, опираясь на указания учителя.

III группа - учащиеся имеющие очень слабые знания по математике, они не уверены в себе, им все на уроке дается с трудом.

IY группа - ученики, которые с трудом могут пересказать прочитанное. Каждая группа получает карточку разного уровня сложности (в зависимости от состава групп), содержащую 5 заданий. Руководитель распределяет работу, а затем первая и вторая группы проверяют полученные результаты с помощью компьютера. При необходимости работаю с одной или двумя группами, испытывающими наибольшее затруднения, а другая часть класса будет работать самостоятельно.

Примеры заданий на уроке по решению показательных уравнений. I, II, III, IY

Решите уравнения:

1. 4х=64; 1. 2х=23;

2. 36-х=33х-2; 2. 3х=9;

3. 2*3х+1-3х=15; 3. 36-х=33х-2;

4. 36х-4*6х-12=0; 4. 7х+4*7х=245;

5. 3х+33-х=12. 5. 32х-8*3х-9=0.

На заключительных уроках по решению задач создаются группы смешанного состава (по одному человеку из групп разного уровня). Каждая группа получает одинаковые задания, состоящие из 5 номеров, решают их самостоятельно, а результаты проверяют с помощью ЭВМ. Таким образом, можно организовать дифференцированное обучение, а использование ЭВМ на таких уроках позволяет проверить и оценить работу каждого учащегося.

Примеры задания для всех групп на заключительных уроках по решению логарифмических и показательных уравнений:

1. Значение выражения log47/6-log317/3+log336 равно

1) -2; 2) 2; 3) 1/2; 4) 2

2. Произведение корней уравнения log3x-logx9=-1 равно

) 3; 2) 1/3; 3) 27; 4) 1/27

3. Множеством решений неравенства 4х-10*2х+16<-1 является

1) (1;3); 2) [1;3]; 3) (-4;1] [3;4); 4) [-3;1]

4. Разность большего и меньшего корней уравнения

3*16х-7*12х+4*9х=0 равна:

1) 2; 2) 1; 3) 0; 4) -3

5. Сумма целых решений неравенства log5(4х+12)>log5(5х+6) равна

1) 15; 2) 14; 3)12; 4)10

На уроке контроля знаний проводится тест на 4 варианта.

Изучение производной показательной функции с помощью компьютерного моделирования

В обучении математике важная роль отводится наблюдению и опыту, позволяющим предвидеть, самостоятельно открывать те или иные математические факты. Компьютеризация открывает новые возможности для соответствующих форм учебной деятельности школьников. Объекты наблюдения могут быть самыми разными - точки, числовые значения, геометрические фигуры и т.д. Рассмотрим пример, где объектом наблюдения являются графики показательной функции с различными основаниями. Этот пример может служить одним из способов введения числа е и функции у=ех. Использование компьютера позволяет предложить иной способ индуктивного подхода к данной теме, чем в учебном пособии по алгебре и началам анализа (под редакцией А.Н. Колмогорова, 1986).

В начале изучения нового материала учащиеся выполняют практическую работу.

Практическая работа

Построение графика производной показательной функции

Экспериментальное нахождение значения числа е

Цель работы: построение графиков показательной функции и ее производной, исследование взаимного расположения графиков.

Оборудование: персональный компьютер типа IBM.

Ход работы

1. Построить графики функции у=ах и ее производной у' для а=2. Для этого введите значение а=2.

2. Повторите построение для различных значений а из промежутка [2;3]. Шаг изменения а равен 0.2.

3. Сделайте в тетради схематические чертежи для а=3; 2.8; 2.4.

4. Сделайте вывод о взаимном расположении графиков показательной функции у=ах и ее производной при изменении а от 2 до 3.

5. Установите экспериментально значение а, при котором графики показательной функции и ее производной совпадают. 

Сначала на экране дисплея учащиеся строят графики функции у=ах и ее производной у' для а=2. Они изображаются на экране разными цветами, чтобы легче было различить, какая линия есть график исходной функции, а какая - график производной. 

Затем аналогичная работа выполняется для а=2,2; 2,4;...3; 3,2; (шаг изменения а равен 0,2). Учащимся легко заметить, что сначала по мере увеличения значений "а" графики функций у и у' приближаются друг к другу, причем график производной у' до определенного момента остается ниже графика функции у. Но при дальнейшем росте значений а ( при переходе от а=2.6 к а=2.8) график производной оказывается выше и затем начинает удаляться (Таблица 1.1). Естественно предположить, что между числами 2.6 и 2.8 существует число (обозначим его е), для которого графики функций у и у' совпадут, т.е. ех = (ех)'. Совпадение графиков во многом зависит от точности их построения. 

План урока по теме "Производная показательной функции"

Цель урока: познакомить учащихся с числом е и экспоненциальной функцией. Ввести формулу производной показательной функции; формирование навыков проведения анализа полученных данных.

Тип урока:

- урок изучения нового материала.

Оборудование урока:

- персональные компьютеры;

- кодоскоп, кодопозитивы;

- раздаточные карточки.

Методы обучения:

- наблюдение;

- анализ.

Структура урока:

I. Постановка цели урока (2 мин.)

II. Ознакомление с новым материалом (33 минуты)

1. Постановка учебной проблемы и ее решение

2. Рассказ учителя

III. Первоначальное закрепление

IY. Подведение итогов урока (2 мин.)

V. Задание на дом (2 мин.)

Таблица 1.1

Ход урока

Основное содержание учебного материала	Деятельность
	учителя	учащихся
I.Постановка цели урока	Формулируется кратко: Ввести производную показательной функции, установить экспериментально значение числа е.	Записывают в тетради тему урока.
II.Ознакомление с новым материалом 1. Постановка проблемы Показательная функция непрерывна, графики изображаются в виде гладкой линии, к которым в каждой	Демонстрирует график и модель показательной функции.	Слуховое восприятие, зрительное
точке можно провести касательную, а это равносильно дифференцируемости в точке х0.
Постройте график производной функции, используя определение производной и программу, составленную на уроке информатики.		Ученица рассказывает о программе построения графика.
2. Поиск решения проблемы посредством выполнения самостоятельной работы с использованием ПК. (Практическая работа)	Помогает учащимся в выполнении работы.	Выполняют практическую работу, делают записи в тетради.
3.Рассказ учителя. Теорема 1. Функция ех дифференцируема в каждой точке области определения и (ех)'=ех. Доказательство: (дома по учебнику)	Формулирует и доказывает теорему1.	Отвечают на вопросы учителя.    Пометка на полях
III. Закрепление Пример 1. Найти производную функции у=е5х. (е5х)'=е5х*(5х)'=5е5х.	Записывает решение или кодоскопе.	Записывают решение в тетради

Продолжение таблицы 1.1

Основное содержание учебного материала	Деятельность
	учителя	учащихся
Определение. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. ln x=lоge x а=еln a аx=(еlna)x=еxlna	Формулирует определение. Делает записи на доске.	Слуховое и зрительное восприятие. Записывают в тетради.
Теорема 2. Показательная функция у=ах дифференцируема в каждой точке области определения и (ах)'=(ах)ln a. Доказательство: (ах)'=(ехlna)'=ехlna*ln a=ах*ln а.	Доказывает теорему и записывает на пленке для кодоскопа	Принимают участие в нахождении производной.
Пример 2. Найдите производную функций у=2х и у=5-3х. Решение: по теореме (2х)'=2х*ln2. (5-3х)' = 5-3х *ln5*(-3х)' = -5-3х *3ln5.	Записывает решение	Записывают решение в тетради.
IY. Подведение итогов урока. V. Задание на дом. п.41(1,2),№538, 539. Записи в тетради.	Записывает задание на доске.	Записывают задание в дневнике

Выводы по первому разделу

В первой главе работы, мы рассмотрели развитие идеи функциональной зависимости в школьном курсе математики и выяснили, что идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Во второй главе показали само определение функции, а также различные подходы к определению понятия функции. Реализация этого положения может быть проведена многими различными путями; многообразие путей вызвано фундаментальностью самого понятия функции. Для того чтобы составить представление об этом многообразии, необходимо сравнить две наиболее резко различающиеся методические трактовки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую -- логической. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

В третьей главе описали методику введения понятий: функции с использованием компьютерных технологий, аргумента, области определения и выявили что, не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его простейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшем играет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа.

Раздел 2. Организация и проведение педагогического эксперимента

В соответствии с гипотезой и задачами исследования был разработан план педагогического эксперимента, который включал три этапа.

Констатирующий этап проводился в месяц, год. Целью его явилась проверка методических условий становления различных аспектов смысла математических понятий у старшеклассников, способствующие понимающему усвоению материала темы "Логарифмическая и показательная функции"..

На формирующем этапе (месяц, год), проводилась работа по формированию математических понятий, с использованием компьютерных технологий, где на этапе изучения нового материала используется машинный эксперимент.

Контрольный этап (месяц, год) ставил своей целью проверку усвоения старшеклассниками экспериментальной программы.

Эксперимент проводился в (...). В нем участвовало 15 старшеклассников.

2.1. Констатирующий этап

На первом этапе констатирующего эксперимента изучались представления старшеклассников о математических понятиях.

Была разработана серия заданий для изучения знаний старшеклассников.

1 задание. Цель: изучение темы начинается с построения графика функции у=ах на множестве рациональных чисел. Для этого заполняется таблица значений функции 2х с шагом 0.5, 0.25, 0.125 на промежутке [-2;4]. Чтобы упростить вычисления, использую электронные таблицы.

Анализ выполнения задания показал, что применение ЭВМ на уроке позволяет увеличить время на самостоятельную работу, привносит элементы деятельностного подхода, учит анализировать и делать необходимые выводы о свойствах данных функций.

2 задание. Цель: использование компьютера продолжается на следующем уроке. На этапе проверки домашнего задания класс разбивается на 2 группы. I группа работает с учителем, закрепляя основные понятия, а II - отвечает на тест, который состоит из 10 вопросов. В этом тесте нужно проанализировать высказанное утверждение и сообразить, верно оно или нет. Если ученики согласны с высказыванием, то подводят курсор "мыши" к слову " истина" и нажимают клавишу. Если ответ правильный, то с правой стороны экрана появляется синий квадратик, иначе - красный.

Анализ выполнения задания показал, что когда кто-то из учеников заканчивает компьютерный цикл, на его место садится один из тех, кто работал с учителем. Таким образом, каждый ученик работает на ЭВМ.

3 задание. При изучении свойств логарифмической функции используется тест на этапе проверки домашнего задания аналогично второму уроку. В этом тесте нужно проанализировать высказанное утверждение и сообразить, верно оно или нет.

На уроках - практикумах по решению задач необходимо учесть неоднородность классного коллектива. Для этого надо организовать групповую работу, чтобы каждый учащийся смог принять участие в решении. Но проверить на уроке все решения учителю не хватает времени. В этом помогает компьютер.

В зависимости от поставленной цели работу на таких уроках организовывается по-разному. На первых уроках, где решаются опорные задачи, учащиеся разбиваются на группы по 4-5 человек, чтобы они могли свободно общаться между собой, не мешая другим.

I группа - учащиеся имеют прочные, глубокие знания, занимаются с увлечением и имеют перед собой конкретные цели.

II группа - учащиеся со средним темпом продвижения в обучении, овладение новыми знаниями и умениями не вызывает особых затруднений, способы выполнения типовых заданий усваивают после рассмотрения 2-3 образцов, решения измененных и усложненных задач находят, опираясь на указания учителя.

III группа - учащиеся имеющие очень слабые знания по математике, они не уверены в себе, им все на уроке дается с трудом.

IY группа - ученики, которые с трудом могут пересказать прочитанное. Каждая группа получает карточку разного уровня сложности (в зависимости от состава групп), содержащую 5 заданий. Руководитель распределяет работу, а затем первая и вторая группы проверяют полученные результаты с помощью компьютера. При необходимости работаю с одной или двумя группами, испытывающими наибольшее затруднения, а другая часть класса будет работать самостоятельно.

Примеры заданий на уроке по решению показательных уравнений. I, II, III, IY

Решите уравнения:

1. 4х=64; 1. 2х=23;

2. 36-х=33х-2; 2. 3х=9;

3. 2*3х+1-3х=15; 3. 36-х=33х-2;

4. 36х-4*6х-12=0; 4. 7х+4*7х=245;

5. 3х+33-х=12. 5. 32х-8*3х-9=0.

На уроке контроля знаний проводится тест на 4 варианта, результаты которого выведены в таблицу 2.1.

Таблица № 2.1

Уровни знаний по математике старшеклассников

Уровни знаний по математике	Количество детей 15
	Абсолютное число	%
I группа	3	20
II группа	5	35
III группа	5	35
IY группа	2	10

2.2. Формирующий этап

На формирующем этапе (срок проведения этапа) работа проводилась в классе в городе, с добавлением к традиционной программе на заключительных уроках по решению задач групп смешанного состава (по одному человеку из групп разного уровня). Каждая группа получает одинаковые задания, состоящие из 5 номеров, решают их самостоятельно, а результаты проверяют с помощью ЭВМ. Таким образом, можно организовать дифференцированное обучение, а использование ЭВМ на таких уроках позволяет проверить и оценить работу каждого учащегося.

Примеры задания для всех групп на заключительных уроках по решению логарифмических и показательных уравнений:

1. Значение выражения log47/6-log317/3+log336 равно

1) -2; 2) 2; 3) 1/2; 4) 2

2. Произведение корней уравнения log3x-logx9=-1 равно

1) 3; 2) 1/3; 3) 27; 4) 1/27

3. Множеством решений неравенства 4х-10*2х+16<-1 является

1) (1;3); 2) [1;3]; 3) (-4;1] [3;4); 4) [-3;1]

4. Разность большего и меньшего корней уравнения

3*16х-7*12х+4*9х=0 равна:

1) 2; 2) 1; 3) 0; 4) -3

5. Сумма целых решений неравенства log5(4х+12)>log5(5х+6) равна

1) 15; 2) 14; 3)12; 4)10

На уроке контроля знаний проводится тест на 4 варианта, результаты которого выведены в таблицу 2.2.

Таблица № 2.2

Уровни знаний по математике старшеклассников

Уровни знаний по математике	Количество детей 15
	Абсолютное число	%
I группа	5	30
II группа	8	50
III группа	3	20
IY группа	0	0

Вывод: при использовании групп смешанного состава уровень знаний значительно поднялся.

2.3. Контрольный этап

Контрольный этап (... 2008 г.) позволил подвести итог работе, и ставил своей целью проверку усвоения старшеклассниками экспериментальной программы. В нем участвовали 15 учащихся 1 класса такой-то школы.

В наблюдении за старшеклассниками было выяснено, что если бы каждый учащийся аккуратно проделал работу с построением графиков на миллиметровой бумаге, то у него не осталось бы сомнений в окончательном выводе. Правда, эта работа заняла бы не один урок. В данном случае графики строит компьютер, и поэтому закономерен вопрос об убедительности полученных результатов. Ведь учащимся не остается ничего иного, как только принять на веру то, что компьютер строит графики именно тех функций, которые нас интересуют. Убедительность полученного результата может быть достигнута, если учащиеся сами составят программу для построения нужных графиков. Такая работа проводится на уроке информатики.

Программа построения графиков показательной функции и ее производной

REM "Построение графиков показательной функции и ее производной"

CLS

INPUT "a=", A

SCREEN 1: COLOR 1, 1

REM "Построение осей координат"

LINE (100, 0)-(100, 199)

LINE (100, 0)-(97, 8):

LOCATE 1, 15: PRINT "y"

LOCATE 22, 40: PRINT "x"

LINE (1, 180)-(318, 180)

LINE (319, 180)-(308, 183)

LINE (319, 180)-(308, 177)

LINE (150, 183)-(150, 178)

LINE (98, 140)-(102, 140)

REM "Построение графиков"

FOR x = -1.5 TO 3 STEP .01

y = A ^ x: PSET (100 + x * 50, 180 - y * 40), 4

'график показательной функции

z = (A ^ (x + .001) - A ^ x) / .001:

PSET (100 + x * 50, 180 - z * 40), 2

'график производной

IF y * 38 > 180 THEN 210

NEXT x

210 : LOCATE 1, 1

BEEP: END

Достоинства рассмотренного подхода очевидны: он обеспечивает высокую наглядность и убедительность, знакомит учащихся с важным методом научного познания - машинным экспериментом. Таким образом, данный подход усиливает прикладную ориентацию курса математики, развивает познавательные интересы школьников.

Для выявления у детей уровня формирования математических понятий как результата проведенных занятий нами были разработаны следующие критерии:

I группа - учащиеся имеют прочные, глубокие знания, занимаются с увлечением и имеют перед собой конкретные цели.

II группа - учащиеся со средним темпом продвижения в обучении, овладение новыми знаниями и умениями не вызывает особых затруднений, способы выполнения типовых заданий усваивают после рассмотрения 2-3 образцов, решения измененных и усложненных задач находят, опираясь на указания учителя.