11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Лекция № 1. Комплексные числа
• Лекция № 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
• Лекция № 3. Предел последовательности комплексных чисел
• Лекция № 4. Ряды комплексных чисел
• Лекция № 5. Понятие функции комплексного переменного
• Лекция № 6. Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной
• Лекция № 7. Понятие производной функции комплексного переменного
• Лекция № 8. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
• Лекция № 9. Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного
• Лекция № 10.Геометрический смысл модуля производной
• Лекция № 11. Гармонические и сопряженные гармонические функции
• Лекция № 12. Элементарные аналитические функции
• Лекция № 13. Свойства дробно-линейной функции
• Лекция № 14. Круговое свойство дробно-линейной функции
• Лекция № 15. Образы областей, ограниченных прямой или окружность при дробно-линейном отображении
• Лекция № 16. Показательная функция
• Лекция № 17. Тригонометрические функции cosZ, sinZ
• Лекция № 18. Гиперболические функции вещественного переменного
• Лекция № 19. Однозначные ветви многозначных функций
• Лекция № 20. Логарифмы
• Лекция № 21. Степень с произвольным показателем
• Лекция № 22. Степенные ряды
• Вопросы к экзамену по ТФКП
• Литература

Лекция № 1. Комплексные числа

Комплексным числом C называется упорядоченная пара (a,b) вещественных чисел a и b.

Числа вида (a,0) мы будем отождествлять с вещественным числом a.

Теорема.

Множество вещественных чисел составляет часть множества комплексных чисел.

Число a называется вещественной частью комплексного числа . Пишут ReC = a.

Число b называется мнимой частью комплексного числа , и обозначается ImC = b.

Если b ? 0, то комплексное число называется мнимым числом. Если же b ? 0 и, кроме того, а = 0, то комплексное число называется чисто мнимым числом.

Два комплексных числа и считаются равными (с₁ = с₂), если а₁ = а₂ и b₁ = b₂ (равны их вещественные и мнимые части чисел).

Арифметические действия над комплексными числами

Под суммой двух комплексных чисел и понимается комплексное число с = (а₁+ а₂, b₁+b₂) и обозначается с = с₁+с₂.

Вычитание определяется как действие обратное сложению.

Под разностью двух комплексных чисел и понимается комплексное число с, такое что с₁ = с+с₂ и обозначается с = с₁-с₂. Оказывается, что эта разность единственная и притом равна .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число с равное . Действие деления определяется как обратное умножению.

комплексное число переменное вещественное

Под частным двух комплексных чисел и понимается комплексное число , такое что с₁ = с·с₂. Частное обозначается символом с = с₁/c₂. Оказывается, что частное существует и единственно, если с₂ ? 0 (c₁/0 = c; c₁ = 0·с = 0; 0/0 = c; 0 = 0·с).

Действия сложения и умножения комплексных чисел обладают обычными арифметическими свойствами:

· с₁ + (с₂ + с₃) = (с₁ +с₂) + с₃ (ассоциативность сложения)

· с₁ · (с₂ · с₃) = (с₁ · с₂) · с₃ (ассоциативность умножения)

· с₁ + с₂ = с₂ + с₁ (коммутативность сложения)

· с₁ · с₂ = с₂ · с₁ (коммутативность умножения)

· с₁ · (с₂ + с₃) = с₁ · с₂ + с₁ · с₃ (дистрибутивность умножения относительно операции сложения)

Среди комплексных чисел выделяют число (0,1), которое обозначается символом i. Это число обладает характеристическим свойством:

i² = i·i = - 1

Действительно i·i = (0,1) · (0,1) = (0·0-1·1, 0·1+1·0) = (-1,0) = - 1

Часто пишут неправильно, что . На самом деле - .

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Легко видеть, что произведение b·i = (b,0) · (0,1) = (b·0-0·1, b·1+0·0) = (0,b) и c= (a,b) = (a,0) + (0,b). Поэтому c=a+b·i - алгебраическая форма записи комплексного числа.

Пользуясь алгебраической формой записи комплексного числа, легко показывается, что произведение комплексных чисел и можно вычислить по правилу умножения многочлена на многочлен с заменой i² на - 1.

с₁·с₂ = (а₁+b₁·i) · (а₂+b₂·i) =а₁·а₂+а₁·b₂·i+а₂·b₁·i +b₁·b₂·i² = (а₁·а₂-b₁·b₂) +i (а₁·b₂+а₂·b₁) = (а₁·а₂-b₁·b₂, а₁·b₂+а₂·b₁)

Комплексные числа и называются сопряженными числами.

Легко доказывается, что операция сопряжения обладает свойствами:

1.

2.

3.

4.

Произведение , неравенство будет строгим, если с ? 0. Во множестве комплексных чисел существует единственное число , такое что , и в множестве комплексных чисел существует единственное число , что .

Пусть с₁ = а₁+b₁·i и с₂ = а₂+b₂·i, причем с₂ ? 0, тогда частное , таким образом будет найдено частное.

Геометрические изображения комплексных чисел

Рассмотрим декартову числовую плоскость.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изобразим комплексное число с = (a,b) = a+i·b точкой М (a,b). Эту точку М мы будем называть аффиксом комплексного числа с = (a,b) (аффикс - отметка). В дальнейшем эти точки мы будем также обозначать буквой с, и отождествлять комплексные числа с соответствующими точками декартовой плоскости.

Плоскость, точки которой являются изображением комплексных чисел, называется комплексной плоскостью, ее обозначают символами (Z) или (W).

Легко видеть, что действительные числа а = (а,0) изображаются точками оси иксов (oX), поэтому ось абсцисс называется действительной осью.

Мнимые числа с = (a,b) = a+i·b (b ? 0) изображаются точками, не лежащими на оси абсцисс. Чисто мнимые числа c = (0,b) = b·i (b ? 0) изображаются точками оси ординат, поэтому эту ось в комплексной плоскости называют мнимой осью.

Начало координат (0,0) является изображением комплексного числа 0, поэтому оно называется нулем. Отметим, что комплексные числа Z=x+i·y= (x,y) также изображаются векторами плоскости с проекциями x и y. Начало вектора может быть помещено в любую точку.

Изобразим комплексное число Z = (x,y) = x+i·y вектором, начало которого помещено в нуль.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Длина этого вектора очевидно равна и называется модулем комплексного числа Z и обозначается .

Угол, который составляет этот вектор с положительным направлением действительной оси, называется аргументом комплексного числа Z и обозначается ArgZ. Этот угол определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемых кратных 2р. Отметим, что направление отсчета углов против часовой стрелки принимают за положительное, а по часовой стрелке за отрицательное.

Среди бесконечного множества значений ArgZ есть одно такое, которое содержится в полуинтервале , оно называется главным значением аргумента числа Z и обозначается символом argZ.

Очевидно ArgZ = argZ+2рk (к = 0, 1, 2,…). Легко доказывается, что для комплексных чисел Z = x+y·i

argZ =

Лекция № 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из чертежа непосредственно видно , . Отсюда следует, что (1) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел

Пусть нам даны два комплексных числа с₁ = а₁ + b₁·i и с₂ = а₂ + b₂·i. Составим их сумму с = с₁ + с₂ = (а₁ + а₂) + i· (b₁ + b₂). Изобразим с₁ и с₂ векторами с началом в нуле. Построим на них параллелограмм.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно сумма с=с₁+с₂ изображается вектором диагонали параллелограмма, построенного на векторах с₁ и с₂ с началами в нуле. Т.е. сумму можно находить по правилу сложения векторов.

Из чертежа непосредственно следует, что (2) - это неравенство распространяется на любое число слагаемых.

Рассмотрим теперь разность с = с₁-с₂, где с₁ = а₁+b₁·i и с₂ = а₂+b₂·i. Очевидно с = (а₁-а₂) +i· (b₁-b₂) или с = с₁+ (-с₂).

Нетрудно видеть, что вектор (-с₂) получается из вектора с₂ изменением направления на противоположное. Вектор с = с₁-с₂ получается в результате сложения вектора с₁ и (-с₂). Таким образом число с = с₁-с₂ изображается вектором, соединяющим точки с₁ и с₂, причем начало его помещено в точке с₂, а конец в точке с₁. Модуль разности с₁-с₂ есть расстояние между точками с₁ и с₂.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из чертежа непосредственно видно, что , можно показать, что ;

Равенство имеет место только в том случае, когда эти векторы коллинеарные.

Возьмем два произвольных комплексных числа: , и составим их произведение с = с₁·с₂ = |с₁|·|c₂|· [ (сosArg с₁ · сosArg с₂ - sinArg с₁ · sinArg с₂) +i· (sinArg с₁ · сosArg с₂ + сosArg с₁ · sinArg с₂)] = |с₁|·|c₂|· [cos (Arg с₁ + Arg с₂) + i·sin (Arg с₁ + Arg с₂)]. Следовательно |c| = |с₁|·|c₂| =|с₁·c₂|, Arg c = Arg (с₁·с₂) = Arg с₁+Arg с₂ (сумма аргументов - алгебраическая сумма). Отметим, что Arg c² = Arg c + Arg c и не равно 2·Arg c. Но можно Arg c² = 2·arg c + 2кр. Таким образом комплексное число с = с₁·с₂ изображается вектором, который получается из вектора с₁ путем его растяжения в |c₂| раз и путем поворота полученного вектора на угол Arg с₂.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Легко устанавливается, что модуль произведения любого конечного числа чисел равен произведению их модулей и аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей Arc (c₁·…·c_n) =Argс₁+…+Argc_n. В частности есть с₁ = с₂ = … = с_n, то , Arg сⁿ=Arg c+…+Arg с = n·arg с+2кр (k = 0, 1, 2, …). Таким образом

cⁿ = |c|ⁿ· (сos nArg с+ i·sin nArg с),n ? 2 (3)

Полученная формула называется формулой Муавра. Часто формулой Муавра называют другую формулу (cosц+i·sinц) ⁿ = cos nц+ i·sin nц (4)

Пример.

Выразить cos3б и sin 3б через cosб и sinб.

В силу формулы Муавра имеем: (cos3б+ i·sin3б) = (cosб+ i·sinб) ³ =

cos³б + i·3·cos²б·sinб - 3·cosб·sin²б - i·sin³б

cos3б = cos³б - 3·cosб·sin²б

sin3б = 3·cos²б·sinб - sin³б

Найти (1+i) ²⁰

c = 1+i·|c|=

Arg c =

1 + i = · (cos + i·sin)

(1+i) ²⁰ = 2¹⁰· (cos 5р +i·sin 5 р) = - 2¹⁰ = - 1024

Рассмотрим два комплексных числа с₁ и с₂, с₂ ? 0. . По определению частного с₁ = с·с₂ = ·с₂.

Arg c₁ = Arg + Arg c₂

Arg = Arg c₁ - Arg c₂

Итак, с = = [cos (Arg c₁ - Arg c₂) +i·sin (Arg c₁ - Arg c₂)]

Комплексное число с = изображается вектором, который получается из вектора с₁ путем его сжатия в раз, затем поворотом полученного вектора на угол (-Arg c₂)

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Корень n - ой степени из комплексного числа

Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 2.

Комплексное число Z называется корнем n-ой степени из комплексного числа c, если Zⁿ = c.

Найдем все значения корня n-ой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|· (cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|· (сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень n-ой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть = c = |c|· (cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что и n·Arg Z = Arg с Arg Z = (k=0,1,…). Следовательно, Z = (cos + i·sin ), (k=0,1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений , (k = 0,1,…,n-1) на кратное 2р. Поэтому , (k = 0,1,…,n-1).

Пример.

Вычислим корень из (-1).

, очевидно |-1| = 1, arg (-1) = р

1 = 1· (cos р +i·sin р)

, (k = 0, 1).

= i

Степень с произвольным рациональным показателем

Возьмем произвольное комплексное число с. Если n натуральное число, то сⁿ = |c|ⁿ· (сos nArg с + i·sin nArg с) (6). Эта формула верна и в случае n = 0 (с?0) . Пусть n < 0 и n Z и с ? 0, тогда

сⁿ = (cos nArg с+i·sin nArg с) = (cos nArg с + i·sin nArg с).

Таким образом, формула (6) справедлива для любых n.

Возьмем рациональное число , где q натуральное число, а р является целым.

Тогда под степенью c^r будем понимать число .

Мы получаем, что

,

(k = 0, 1, …, q-1). Этих значений q штук, если дробь не сократима.

Лекция № 3. Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначается (с_n) или с₁, с₂,., с_n. с_n = а_n+b_n·i (n = 1,2,.) комплексные числа.

с₁, с₂, … - члены последовательности; с_n - общий член

Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (c_n), где с_n = а_n+b_n·i (n = 1, 2, …), где для любого , что при всех n > N выполняется неравенство . Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) (с_n = а_n+b_n·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim a_n = a, lim b_n = b.

Доказательство.

Мы будем доказывать теорему исходя из следующего очевидного двойного неравенства

, где Z = x + y·i (2)

Необходимость. Пусть lim (с_n) = с. Покажем, что верны равенства lim a_n = a и lim b_n = b (3).

Очевидно (4)

Так как , когда n > ?, то из левой части неравенства (4) следует, что и , когда n > ?. поэтому выполняются равенства (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (3). Из равенства (3) следует, что и , когда n > ?, поэтому в силу правой части неравенства (4) будет , когда n>?, значит lim (с_n) =с. Достаточность доказана.

Итак, вопрос о сходимости последовательности комплексных чисел эквивалентен сходимости двух вещественных числовых последовательностей, поэтому на последовательности комплексных чисел распространяются все основные свойства пределов вещественных числовых последовательностей.

Например, для последовательностей комплексных чисел справедлив критерий Коши: для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого , что при любом n, m > N выполняется неравенство .

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (с_n) и (z_n) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства lim (с_n z_n) = cz, lim (с_n·z_n) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство .

Геометрическое истолкование предела последовательности комплексных чисел

Итак, мы знаем модуль разности представляет собой длину вектора с, начинающегося в точке с₂ и кончающегося в с₁, или расстояние от точки с₂ до с₁.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возьмем произвольные е > 0 и комплексное число с = a+b·i.

е-окрестностью точки с комплексной плоскости Z называется внутренность круга радиусом е с центром в точке c.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, эта окрестность состоит и тех и только тех точек Z плоскости (Z), для которых .

Следовательно, можно дать следующее геометрическое определение предела последовательности комплексных чисел: точка с комплексной плоскости (Z) называется пределом последовательности (с_n), если в любой е-окрестности точки с содержатся все члены последовательности точек с_n, начиная с некоторого номера ( n>N)

Бесконечность и стереографическая проекция

Для нужд теории аналитических функций вводится в рассмотрение несобственное комплексное число, обозначаемое символом ?, которое называется бесконечностью или бесконечно удаленной точкой.

Все конечные комплексные числа называются собственными. Отношение между бесконечностью и конечными комплексными числами строится на основе следующих правил и определений:

с-окрестностью бесконечно удаленной точки называется внешность круга, радиусом с с центром в нуле, т.е. множество внешних точек Z плоскости (Z), удовлетворяющих неравенству

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Бесконечность называется пределом последовательности комплексных чисел (с_n), если для любого , что при выполнится неравенство . Таким образом, соотношения и эквивалентны.

Отметим, что по определению , что для бесконечности не определяется вещественная и мнимая части, а так же аргумент (как и для нуля).

Пусть с произвольное конечное комплексное число, а с₀ комплексное число, не равное 0, тогда по определению , что неопределенным считается .

Для геометрического изображения бесконечности комплексные числа изображают точками сферы. Это делается так: около начала комплексной плоскости описывается сфера радиусом равным единице с центром в нуле. Эта сфера пересечется с комплексной плоскостью по окружности, которая называется экватором. Прямая перпендикулярная комплексной плоскости (плоскости экватора), проходящая через начало, через нуль, называется осью сферы.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Точки встречи этой оси со сферой: N и S называются соответственно - северным и южным полюсами. Мы будем пользоваться следующими географическими понятиями: северное и южное полушария (над и под экватором), широта и долгота, меридианы и параллели. Положение любой точки A' на сфере мы будем определять заданием ее координат: широты ц и долготы л.

Широта ц отсчитывается от плоскости экватора в пределах до . Отсчет в сторону северного полюса принимается за положительный, а в сторону южного за отрицательный.

Долгота л отсчитывается в плоскости экватора от положительной части действительной оси , л =ArgA.

Будем теперь соединять точки A' сферы с северным полюсом N лучами, исходящими из точки N. Точки встречи этого луча с комплексной плоскостью будем обозначать через A.

Точка A будет называться стереографической проекцией точки A' сферы. При такой проекции вся сфера проецируется на комплексную плоскость.

Точки южного полушария проецируются вовнутрь круга, а точка S в точку нуль. Южное полушарие - на единичный круг, а северное - на внешность этого круга. Этой проекцией издавна пользовались в астрономии для изображения небесного свода на плоской карте, а также в географии.

Будем теперь наоборот изображать точки A комплексной плоскости, соответствующим точкам A' сферы. Тогда каждое конечное комплексное число изображается некоторой точкой сферы A' не равной N.

Такая сфера, все точки которой являются изображением комплексных чисел, называется числовой сферой.

Пусть точка A изображает комплексное число.

c = |c|· (сos Arg с + i·sin Arg с), а A' (ц,л).

Установим связь между |c|, Arg с, ц и л. Из чертежа непосредственно видно угол ONA = (т.к. сфера единичная и угол AON = ), угол A'ON = , углы OA'N+ONA' = , угол ONA () /2 =, следовательно, |c| = и Arg с = л. Отсюда получаем, что ц = 2·arctg|c| - , л = arg c. Из этих равенств видно, что если , то , т.е. при , соответствующая точка A' > N. Обратно, если , то , т.е. из A' > N следует, что , поэтому естественно принять точку N за изображение бесконечности.

Отметим, что множество всех собственных, конечных точек (Z) комплексной плоскости называется конечной комплексной плоскостью.

Если к ней мысленно присоединить бесконечно удаленную точку, то получим расширенную комплексную плоскость.

Наглядным изображением расширенной комплексной плоскости является сфера, причем N является изображением бесконечно удаленной точки. Изображением конечной комплексной плоскости является сфера, с исключенной точкой N.

Лекция № 4. Ряды комплексных чисел

Символ вида W₁+W₂+…+W_n+…= (1), где W_n = u_n+i·v_n (n = 1, 2, …) комплексные числа (последовательности комплексный чисел) называются рядом комплексных чисел.

Числа W_n (n = 1, 2, …) называются членами ряда, член W_n называется общим членом ряда.

Числа вида S_n = W₁+W₂+…+W_n (2) (n = 1, 2, …), называются частичными суммами ряда (1).

Конечный или бесконечный предел S последовательности S_n называется суммой этого ряда.

Если предел S конечен, то ряд называется сходящимся, если же предел бесконечен, или вовсе не существует, то ряд расходящийся.

Если S сумма ряда (1), то пишут .

Пусть , а . Очевидно у_n=u₁+u₂+…+u_n, ф_n=v₁+v₂+…+v_n. Как мы знаем равенство (S конечно) эквивалентно двум равенствам и . Следовательно, сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости двух вещественных рядов: и . Поэтому на сходящиеся комплексные ряды распространяются основные свойства сходящихся числовых рядов.

Например, для комплексных рядов справедлив критерий Коши: ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого , что при всех n > N и любом p = 1, 2, … выполняется неравенство .

Из этого критерия непосредственно следует необходимый признак сходимости ряда: для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы его общий член W_n > 0.

Справедливы такие свойства сходящихся рядов: если ряды и сходятся к своим суммам S и d, то ряды и сходятся соответственно к суммам S ± d и л·S.

Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

Теорема.

Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.

Доказательство.

Очевидно, нам достаточно установить, что для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости ряда. Возьмем любое . В силу абсолютной сходимости ряда (1), ряд (2) сходится. Поэтому для выбранного , что при любом n > N и р=1,2,… будет выполняется неравенство , но , а тем более будет выполняться неравенство при любом n > N и p=1,2,… Следовательно для ряда (1) выполняются условия критерия Коши сходимости комплексного ряда. Поэтому ряд (1) сходится. Теорема справедлива.

Теорема.

Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды (3) и (4), где W_n = u_n+i·v_n (n = 1, 2,…).

Доказательство,

опирается на следующие очевидные неравенства

(5)

Необходимость. Пусть ряд (1) абсолютно сходится, покажем, что ряд (3) и (4) абсолютно сходятся, т.е. сходятся ряды и (6). Из абсолютной сходимости ряда (1) следует, что ряд (2) сходится, тогда в силу левой части неравенства (5) ряды (6) будут сходиться, т.е. ряды (3) и (4) абсолютно сходятся.

Достаточность. Пусть ряды (3) и (4) абсолютно сходятся, покажем, что ряд (1) тоже абсолютно сходится, т.е. что сходится ряд (2). Из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует, что ряды (6) сходятся, поэтому сходится и ряд . Следовательно, в силу правой части неравенства (5) ряд (2) сходится, т.е. ряд (1) абсолютно сходится.

Итак, абсолютная сходимость комплексного ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости вещественных числовых рядов (3) и (4). Поэтому на абсолютно сходящиеся комплексные ряды распространяются все основные свойства вещественных абсолютно сходящихся числовых рядов. В частности для абсолютно сходящегося комплексного ряда справедлива теорема о перестановке его членов, т.е. перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на сумму ряда. Для установления абсолютной сходимости комплексного ряда может применяться любой признак сходимости положительного ряда.

Признак Коши.

Пусть для ряда (1) существует предел , тогда если q < 1, то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, то ряд (1) расходится.

Признак Даламбера.

Если для ряда (1) комплексных чисел существует предел , то при q < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q > 1, то ряд расходится.

Пример.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд , здесь .

Найдем . Очевидно = = . Следовательно, ряд абсолютно сходится.

Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать. Произведение абсолютно сходящегося на сходящийся ряд - сходится. Произведение двух сходящихся может расходиться.

Основные понятия многочленов

Пусть Е некоторое множество точек комплексной плоскости (Z). Точка Z_0, принадлежащая (Z), называется предельной точкой из множества E, если в любой ее е-окрестности (O_е (Z₀): |Z - Z₀| < е) содержится бесконечное число точек из множества Е.

Множество называется замкнутым, если любая точка Z, не принадлежащая Е, не является предельной для Е, иначе говоря, если Е содержит все свои предельные точки, если они существуют. В конечном множестве предельных точек нет, но оно замкнуто.

Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге. Это определение эквивалентно следующему: множество E называется ограниченным, если существует число М > 0, что для любого Z принадлежащего E выполняется неравенство , т.е. если оно содержится в некотором круге началом в точке нуль.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расстояние между точкой Z₀, принадлежащей (Z), и множеством , называется нижней гранью расстояний от точек Z₀ до всевозможных точек множества Е.

с (Z₀, Е) =

Если Z₀ не принадлежит Е, а расстояние от Z₀ до Е равно 0 (с (Z₀, Е) =0), то Z₀ является предельной точкой множества Е. Следовательно, если множество Е замкнуто, а Z₀ не принадлежит Е, с (Z₀, Е) > 0, в противном случае, Z₀ была бы предельной точкой множества Е.

Расстояние между множествами и называется нижней гранью расстояний (всевозможных) то точек множества E до точек множества G. .

Легко доказывается, что если множества E, G замкнуты, и, по крайней мере, одно из них ограничено, то с (E,G) > 0.

Как мы знаем, всякое бесконечное ограниченное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку. Рассмотрим теперь произвольное неограниченное множество . Может случится, что в некотором круге содержится бесконечное число точек из E, тогда в нем будет содержаться предельная точка множества Е.

Пусть в любом таком круге содержится лишь конечное число точек из множества E, тогда в его внешности будет содержаться бесконечное число точек из множества E. следовательно в с-окрестности бесконечно удаленной точки будет содержаться бесконечное число точек из множества E, поэтому бесконечность в этом случае будет предельной точкой для множества Е. Таким образом, всякое бесконечное множество точек комплексной плоскости имеет по крайней мере одну предельную точку, конечную или бесконечную.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть E некоторое множество плоскости (Z) (), а {K} множество открытых кругов плоскости. Будем говорить, что система кругов {K} покрывает множество E, если любая точка Z, принадлежащая E, содержится, по крайней мере, в одном из кругов K, системы {K}. Справедлива теорема Бореля - Лебега о покрытии.

Теорема.

Из всякой бесконечной системы открытых кругов {K} накрывающей замкнутое ограниченное множество всегда можно выделить конечную подсистему кругов {K₁, К₂, …, К_n}, также покрывающую множество Е.

Точка Z₀ называется внутренней точкой множества E плоскости (Z), если некоторая ее окрестность O_е (Z₀) целиком содержится в множестве .

Множество E плоскости (Z), состоящее из одних внутренних точек Z, называется открытым множеством.

Множество E плоскости (Z) называется связным, если любые его две точки Z', Z'', принадлежащие E, можно соединить ломаной, целиком лежащей в множестве Е.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Открытое связное множество называется областью.

Пусть существует некоторое множество точек плоскости (Z). Точка Z₀ плоскости (Z) называется граничной для множества E, если в любой ее окрестность O_е (Z₀) содержатся точки, как принадлежащие множеству E, так и не принадлежащие.

Множество всех граничных точек множества E называются границей этого множества и обозначаются Г (гамма).

Объединение (замыкание множества). Замыкание любого множества является замкнутым множеством.

Точка Z₀ принадлежащая (Z) называется внешней для множества E, если существует окрестность O_е (Z₀), не содержащая ни одной точки из множества Е.

Очевидно, множество всех внешних точек множества E составляет отрытое множество.

Пример.

1. Открытый круг является областью и обозначается . Границей круга служит окружность . Внешность круга и будет составлять множество внешних точек круга К.

2. Полуплоскости, ограниченные прямой A·x+B·y+C = 0 где А²+В² ? 0, является областями плоскости (Z).

3. Кольцо , где 0 < с < R < ?, является связанным множеством.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция № 5. Понятие функции комплексного переменного

Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).

Отображение множества на множество называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z₀, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).

Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре (Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f (Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u (x,y), v = v (x,y). При этом мы имеем f (Z) = u (x,y) + i·v (x,y).

Функция u (x,y) называется вещественной частью функции f (Z), а v (x,y) мнимой частью f (Z). Таким образом, Ref (Z) = u (x,y), Imf (Z) = v (x,y).

Например, для функции W = Z² = (x +i·y) ² = x² - y² + 2·i·x·y вещественная часть ReZ² = x² - y², ImZ² = 2·x·y.

Геометрически, как отображение множества на множество .

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

В теории аналитических функций рассматривают и многозначные функции.

Функция W = f (Z), отображающая множество на множество называется многозначной, если она ставит в соответствие некоторым не одно, а несколько числовых значений .

Пример.

1. Функция W = Zⁿ (n = 1, 2, …) является однозначной функцией комплексного переменного.

2. Функция является n-значной функцией. Только для 0 и ? одно значение.

3. W = Arg Z является бесконечно-значной функцией. Она определяется во всей плоскости (Z) \ ({0} и бесконечность) = arg Z + 2·k·р (k = 0, ±1, ±2, …).

Предел функции комплексного переменного

Пусть функция f (Z) задана на множестве и Z₀, принадлежащей (Z), предельная точка множества Е.

Комплексное число A = B+i·C называется пределом функции W = f (Z) в точке Z₀, если для любого , такое что, для любой точки Z принадлежащей E (Z ? Z₀), удовлетворяющее неравенству (1), выполняется неравенство (2). При этом пишут

(3).

В дальнейшем мы будем просто писать (4).

Теорема.

Для того чтобы число A = B+i·C было пределом функции W = f (Z) при Z>Z₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(5),

(6).

Доказательство.

Мы воспользуемся следующими очевидными неравенствами:

(7)

Необходимость. Пусть выполняется равенство (3). Покажем, что справедливы равенства (5) и (6). Возьмем любое е > 0, очевидно, что для него существует такое число д > 0, что для любой точки Z принадлежащей E (Z?Z₀), удовлетворяющее неравенству , выполняется неравенство .

Возьмем число , тогда для любой точки (x,y) принадлежащей E, отличной от (x₀,y₀), такой что , , будет выполняться неравенство и, следовательно, будет |f (Z) - A|<е. Поэтому в силу левой части неравенств (7) будет |u (x,y) - B|<е, |v (x,y) - C|< е. Значит, выполняются равенства (5) и (6).

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (5) и (6). Покажем, что (4). Возьмем любое , в силу (5) и (6) найдется , такой что, для любой точки (x,y), принадлежащей E, отличной от (x₀,y₀), удовлетворяющей неравенствам (8) , , будут выполняться неравенства , (9).