Математические функции
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, предел их последовательности. Понятие функции комплексного переменного, его дифференцируемость. Геометрический смысл определения производной функции. Гиперболические функции вещественного переменного.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.09.2017 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Легко видеть, что для любой точки Z принадлежащей E (Z ? Z0), удовлетворяющей неравенству , подавно будут выполняться неравенства , . Поэтому будут выполняться неравенства (9), но тогда в силу правой части неравенств (7) для этих точек Z будет выполняться неравенство . Следовательно, .
Итак, существование предела комплексной функции эквивалентно существованию предела двух вещественных функций от двух переменных. Поэтому, на пределы функции комплексного переменного распространяются все основные функции пределов функции вещественной переменной. В частности справедлива теорема.
Теорема.
Пусть функция W = f (Z) и W = q (Z) заданы на одном и том же множестве E и выполняются равенства , . Тогда справедливы равенства , . Если дополнительно известно, что B ? 0, то .
Непрерывность функции комплексного переменного
Пусть точка Z0 принадлежащая E, является предельной точкой множества Е.
Функция f (Z) называется непрерывной в точке Z0 принадлежащей E, если .
Таким образом, функция f (Z) называется непрерывной в точке Z0 принадлежащей E, если для любого , что для любой точки Z, принадлежащей E (Z ? Z0), удовлетворяющей неравенству , выполняется неравенство .
Т.к. равенство эквивалентно выполнению равенств , , то непрерывность функции f (Z) в точке Z0 эквивалентно непрерывности вещественных функций u (x,y) и v (x,y) в соответствующей точке (x0,y0). Поэтому на непрерывность функции комплексного переменного распространяются все основные свойства непрерывных функций вещественных переменных. В частности справедливы теоремы.
Теорема.
Если функции f (Z) и q (Z) непрерывны в точке Z0, принадлежащей E, то функции f (Z) ±q (Z) и f (Z) ·q (Z) так же непрерывны в точке Z0, если дополнительно известно, что q (Z0) ? 0, то будет непрерывна и функция в точке Z0. В самом деле .
Теорема о непрерывности сложной функции.
Пусть функция W = f (Z), заданная на множестве E и непрерывна в точке Z0, а функция е = ц (W), заданная на множестве D, непрерывна в точке W0=f (Z0). Пусть значения функции W = f (Z) не выходят за пределы множества D, когда Z пробегает множество E, тогда сложная функция е = ц [f (Z)], будет также непрерывна в точке Z0.
Лекция № 6. Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной
Функция W = f (Z) называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого , такое, что для любой пары точек Z1 и Z2, принадлежащих E, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .
Каждая равномерно непрерывная в области E функция f (Z) является непрерывной в любой точке этой области. Однако не всякая непрерывная в области E функция является равномерно непрерывной функцией. Справедлива теорема.
Теорема.
Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве E плоскости (Z) функция f (Z) равномерно непрерывна на этом множестве.
Отметим, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция f (Z0) является ограниченной, т.е. существует М > 0, такая, что для любой Z принадлежащей E выполняется неравенство .
Понятие обобщенно непрерывной функции
Будем теперь предполагать, что функция в некоторых точках может обращаться в бесконечность. Пусть, например f (Z0) = ?, где Z0 предельная точка множества E, на котором задана f (Z0). Если , то функция f (Z) называется обобщенно непрерывной в точке Z0.
Непрерывные кривые
Понятие непрерывной кривой обобщает понятие траектории движущейся точки. Пусть на некотором отрезке [б,в] задана непрерывная комплексно-значная функция вещественной переменной Z = Z (t) = x (t) +i·y (t) (t принадлежит [б,в]). Будем истолковывать переменную t как время, а значение Z (t) как точку комплексной плоскости. Тогда с изменением времени t от б до в точка Z (t), перемещаясь в комплексной плоскости (Z) опишет некоторую траекторию. Эта траектория и будет непрерывной кривой.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если задана непрерывная комплексно-значная функция вещественной переменной t (Z = Z (t)) на некотором отрезке [б,в], то говорят, что эта функция определяет в плоскости (Z) непрерывную кривую.
На кривой (Z = Z (t)) можно выбрать два направления. Одно из них соответствует возрастанию t от б до в, а второе убыванию t от в до б.
Точка Z кривой (Z = Z (t)) (t принадлежит [б,в]) называется кратной точкой, если она соответствует не одному, а нескольким значениям параметра t принадлежащего [б,в], одно из которых (по крайней мере) отличается как от б, так и от в.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
точки кривой не являющиеся кратными называются простыми точками кривой.
Кривая, состоящая из одних простых точек, называется простой кривой или кривой Жордана.
Кривая называется замкнутой, если начало и конец ее совпадают, т.е. если Z (б) = Z (в).
Будем считать, что две непрерывные функции Z = л (t) и ) определяют одну и ту же непрерывную кривую в плоскости (Z), если существует такая монотонная непрерывная функция , отображающая отрезок [б,в] на [г,д], что для любого t принадлежащего [б,в], выполняется равенство л (t) = м [ц (t)].
Функция Z = cost, t принадлежит [0,р] определяет непрерывную кривую, совпадающую с отрезком [-1,1].
Рассмотрим теперь кривую Z = cos2t, t принадлежит [0,р], эта кривая геометрически так же совпадает с отрезком [-1,1], однако эта кривая отличается от первой, т.к. она замкнута и состоит из кратных точек, за исключением точки - 1, 1. Справедлива теорема Жордана.
Теорема.
Всякая непрерывная замкнутая кривая Жордана делит всю комплексную плоскость на две части. Одна из которых ограничена и называется внутренностью кривой Жордана, а вторая неограниченная и называется внешностью кривой Жордана.
Область G комплексной плоскости (Z) называется односвязной, если для любой замкнутой кривой Жордана , ее внутренность целиком содержится в G.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Область G плоскости (Z) называется обобщенно односвязной, если вместе с любой замкнутой кривой Жордана этой области, целиком принадлежит внутренность или внешность этой кривой.
Внешность круга является обобщенно односвязной областью.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Справедлива теорема об отображениях.
Теорема.
Пусть обобщенно непрерывная функция W = f (Z) взаимнооднозначно отображает область на некоторое множество . Тогда множество D так же является областью и обратная функция Z = f-1 (W) будет обобщенно непрерывной.
Если дополнительно известно, что f (Z) определена и на границе Г области G и притом так, что оказывается непрерывной на замыкании , то f (Z) будет отображать границу на границу .
Лекция № 7. Понятие производной функции комплексного переменного
Пусть функция W = f (Z) задана на некотором множестве и Z0, принадлежащая E, предельная точка этого множества. Придадим Z0=x0+i·y0 приращение ДZ = Дx+i·Дy, чтобы точка Z = Z0+ДZ принадлежала множеству Е. Тогда функция W = u+i·v = f (Z) = u (x,y) +i·v (x,y). Получим приращение ДW = Дu+i·Дv = f (Z0+ДZ) - f (Z0) = Дf (Z0), .
Если существует конечный предел , то он называется производной функции f (Z) в точке Z0 по множеству E, и обозначается , , , W'.
Формально производная функция комплексного переменного определяется точно так же как и производная функции вещественного переменного, но содержание их различно.
В определении производной функции f (x) вещественной переменной в точке х0, x > х0 вдоль прямой. В случае функции комплексного переменного f (Z), Z может стремиться к Z0 по любому пути плоскости, ведущему в точку Z0.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Поэтому требование существования производной функции комплексного переменного очень жестко. Этим и объясняется, что даже простые функции комплексного переменного не имеют производной.
Пример.
Рассмотрим функцию W = = x-i·y. Покажем, что эта функция не имеет производной ни в одной точке. Возьмем любую точку Z0 = x0+i·y0, придадим ей приращение ДZ = Дx+i·Дy, тогда функция получит приращение . Значит
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
, ,
Будем вначале рассматривать ДZ = Дx + i·Дy такие, что Дx > 0, а Дy = 0, т.е. точка Z0 + ДZ > Z0 по горизонтальной прямой. При этом мы получим, что
Будем теперь рассматривать приращение ?Z такими, что ?x = 0, а ?y > 0, т.е. когда Z0 + ?Z> Z0 по вертикальной прямой, при этом очевидно будет .
Полученные пределы различные, поэтому отношение не имеет предела при ?Z > 0, то есть функция не имеет производной в любой точке Z0.
Выясним смысл производной по множеству. Пусть E - действительная ось, и W = f (Z) = x, тогда это есть обычная вещественная функция вещественной переменной f (x) = x и ее производная будет равна 1 ().
Пусть теперь Е - это вся плоскость (Z). Покажем, что функция f (Z) = x в этом случае не имеет производной ни в одной точке. Действительно, в данном случае . Отсюда видно, что если а , то . Если же , а , то . Следовательно, отношение не имеет предела при , поэтому функция f (Z) = x не имеет производной ни в одной точке .
Отметим, что если рассматривается комплексно-значная функция вещественной переменной , то из определения производной непосредственно вытекает, что , следовательно, (это производная по вещественной оси).
Формула для приращения функций.
Пусть функция W = f (Z) имеет в точке Z0 производную . Покажем, что имеет место представление (1), где величина , когда .
Действительно, по определению производной имеем , следовательно, величина , когда . Поэтому имеет место представление (1) (умножим обе части на и перенесем в левую часть).
Лекция № 8. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексного переменного
Функция W = f (Z) называется дифференцируемой в точке Z0, если в этой точке имеет место представление (2), где A - фиксированное комплексное число, а величина стремится к нулю, когда .
Если функция W = f (Z) дифференцируема в точке Z0, то главная линейная относительно ее часть A· приращение в точке Z0 называется дифференциалом функции f (Z) в точке и обозначается .
Имеет место теорема.
Теорема.
Для того чтобы функция W = f (Z) была дифференцируема в точке Z0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную , при этом всегда оказывается, что в представлении (2) .
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Z0. Покажем, что она имеет в этой точке конечную производную, и что эта производная равна числу А. В силу дифференциации f (Z) в точке Z0 имеет место представление (2), значит (3). Производя здесь предельный переход при получим, что , значит .
Достаточность. Пусть функция f (Z) имеет в точке Z0 конечную производную . Покажем, что имеет место представление (2). В силу существования производной имеет место представление (1), но это и есть представление (2), в котором A = . Достаточность установлена.
Как мы знаем, дифференциал , принимая в качестве дифференциала независимой переменной Z ее приращение , то есть, полагая , мы можем записать и поэтому (это отношение дифференциалов, а не единый символ).
Правило дифференцирования
Так как формально определение производной функции комплексного переменного не отличается от определения производной вещественной (действительной) функции, то для производной функции комплексного переменного верны правила вычисления производных вещественных функций.
Например, справедливо правило:
1. Производная от константы равна 0 - ;
2. ;
3. ;
4. , если q (Z) в этой точке не равняется 0;
5. , (в частности).
Производная сложной и обратной функций
Теорема.
Пусть функция W = f (Z) имеет в точке Z0 производную , а функция имеет производную в точке равную , тогда сложная функция также имеет в точке производную и эта производная равна (чтобы множество значений функции f (Z) не выходили за область определения функции ).
Теорема.
Пусть функция W = f (Z), отображающая множество E плоскости (Z) на область , имеет обратную функцию , и пусть выполняются условия:
· функция W = f (Z) имеет в точке Z0 производную ,
· функция непрерывна в точке ,
тогда обратная функция имеет в точке производную и эта производная равна .
Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке
Функция u = u (x,y) называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке, представляется в виде
(1),
где A, B - фиксированные числа, а величины - зависимые от и , стремящиеся к нулю , когда , , при этом всегда оказывается , .
Теорема.
Для того чтобы функция W = f (Z) имела в точке конечную производную , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая части u =u (x,y), v = v (x,y), были дифференцируемы соответственно в и , и чтобы в этой точке () выполнялись равенства
; (2),
(Коши-Римана, правильнее Даламбера-Эйлера).
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция W = f (Z) имеет в точке Z0 конечную производную . Покажем, что функции u = u (x,y) и v = v (x,y) дифференцируемы в точке (), и что в этой точке выполняются равенства (2).
В силу существования производной имеет место представление (3), в котором величина при .
Введем обозначения: , , где и зависят от и и стремятся к нулю тогда, когда одновременно стремятся к нулю и . Таким образом, можно написать, что . Приравнивая здесь действительные и мнимые части. мы получаем, что
(4)
(5).
Так как при , то из (4), (5) следует, что функции u и v дифференцируемы в u (), при этом в точке () , , следовательно, выполняется условие Коши-Римана. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть вещественная и мнимая части u и v функции f (Z) дифференцируемы в точке (), и в этой точке выполняются равенства (2), покажем, что функция f (Z) имеет в точке конечную производную.
Введем обозначения. Пусть значения частных производных , , , в точке () соответственно равны , (так как выполняются равенства (2)). Тогда в силу дифференцируемости функции u и v в точке () в этой точке будут иметь место представления
,
где величины , , , , зависящие от и , стремятся к нулю, когда одновременно .
Таким образом,
Очевидно, модуль (). Так правая часть последнего неравенства стремится к нулю при одновременном стремлении к нулю и , то величина , когда .
Таким образом, в точке имеет место представление , где , , значит функция W=f (Z) дифференцируема в точке Z0 и ее производная . Достаточность установлена.
Так как функции , являются непрерывно дифференцируемыми функциями, то сложные функции и также являются дифференцируемыми в точке ().
Покажем, что в точке () выполняется условие (1).
Очевидно,
(так как ) и
.
Примеры.
Проверить условие Коши-Римана для функции
Проверить условие Коши-Римана для функции ().
Очевидно в полярных координатах . Поэтому
(выполняется)
.
Итак, эта функция является аналитической.
Отметим, что в полярных координатах производная комплексной функции вычисляется по формулам , где .
Лекция № 9. Геометрический смысл определения производной функции комплексного переменного
Геометрический смысл аргумента комплексно-значимой функции вещественной переменной. Рассмотрим комплексно-значимую функцию вещественной переменной , . Пусть эта функция в некоторой точке имеет производную (так как аргумент 0 и не определен). Выясним геометрический смысл аргумента .
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим в плоскости (Z) две точки () и на кривой . Проведем
через эти две точки секущую. Очевидно, вектор () - коллинеарен этой секущей. Значит, отношение так же этот вектор будет коллинеарен секущей. Вычислим предел, , поэтому
(2)
(Этот предел не в обычном смысле, то есть из можно извлечь такие представители, которые будут сходится к одному из представителей ).
Так как касательная - это есть предельное положение секущей, то из равенства (2) следует, что - это есть угол, который составляет касательная к кривой в точке с действительной осью.
Геометрический смысл аргумента производной комплексной функции
Пусть функция W = f (Z) имеет в точке конечную производную , вычислим геометрический смысл . С этой целью выпустим из точки кривую , такую что производная и существует.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Отображение W=f (Z) переведет эту кривую L в новую кривую , выходящую из точки (T и касательные).
Покажем, что кривая (лямбда), заданная уравнением тоже имеет в точке касательную. Очевидно, , значит (3).
Таким образом, кривая имеет в точке касательную, которая составляет с действительной осью угол равный величине (3). Из равенства (3) следует, что
(4).
Следовательно, - это есть угол, на который поворачивается касательная к кривой L в рассматриваемой точке Z0 при отображении W=f (Z). Нетрудно видеть, что угол поворота касательной к кривой в точке Z0 при отображении W = f (Z) не зависит от выбора этой кривой.
Если мы возьмем в плоскости (Z) две кривые и , образующие в точке Z0 некоторый угол Q.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
То при отображении W = f (Z) эти две кривые перейдут в новые кривые и плоскости (W), которые в точке также будут образовывать угол Q, так как касательные к и в точке получаются путем поворота касательных к и в точке на один и тот же угол, равный .
Конформные отображения
Отображение, осуществляемое посредством непрерывной функции W = f (Z), называется конформным в точке Z0, если оно сохраняет углы между кривыми, выходящими из точки Z0.
Если при этом отображении сохраняется не только величина угла между кривыми, но и направление отсчета, то говорят о конформном отображении 1го рода.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Если же при отображении W = f (Z) величина углов между кривыми сохраняется, а направление их отсчета меняется на противоположное, то говорят о конформном отображении 2го рода.
Из геометрического смысла аргумента производной непосредственно следует, что аналитические функции W = f (Z) в точках Z0, где , осуществляют конформное отображение 1го рода.
Покажем, что функции, сопряженные аналитическим, осуществляют конформные отображения 2го рода.
Рассмотрим функцию , из чертежа непосредственно видно, что функция осуществляет конформное отображение 2го рода в любой точке .
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассмотрим аналитическую функцию f (Z), которая в точке Z0 имеет производную . Построим отображение , покажем, что оно в точке Z0 конформное отображение 2го рода. Очевидно, отображение представляется в виде произведения двух отображений ; . Как мы знаем, функция осуществляет в точке Z0 конформное отображение 1го рода. Возьмем в плоскости (Z) две кривые, исходящие из точки Z0 и составляющие между собой угол Q.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
При отображении эти кривые перейдут в кривые и , которые также будут образовывать между собой угол Q, причем направление отсчета углов сохраняется. Произведем теперь отображение . Оно является конформным 2го рода. Поэтому кривые и перейдут в кривые и , угол между которыми в точке сохраняются, но направление изменится на противоположное. Следовательно, отображение переведет кривые , в кривые , , угол между которыми сохраняется, но направление изменяется на противоположное. Следовательно, отображение конформное 2го рода.
Лекция № 10.Геометрический смысл модуля производной
Из определения производной , следовательно, (1).
Очевидно, - это есть расстояние между точками Z и Z0, или что тоже - длина вектора . А - это есть расстояние между их образами f (Z) и f (Z0) или длина вектора f (Z) - f (Z0). Значит, отношение можно рассматривать как растяжение вектора с началом в точке Z0 и концом в точке Z при отображении W = f (Z).
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Поэтому, в силу равенства (1), модуль производной можно рассматривать как растяжение в точке при отображении W = f (Z). Очевидно, это растяжение, вообще говоря, не совпадает с отношением , но является его пределом, и это растяжение не зависит от выбора точки .
Пример (дробно-линейная функция)
Функция вида W = f (z) = (2) называется дробно-линейной функцией (здесь a, b, c, d - фиксированные комплексные числа, а z - комплексная переменная).
Мы будем рассматривать случай, когда (3).
Очевидно, в случае строки определителя пропорциональны.
Пусть ,
и этот случай не интересен, так как вся плоскость переводится в одну точку.
Очевидно, выполняется, по крайней мере, одно из условий:
а) с = 0;
б) с ? 0.
а) Рассмотрим случай с = 0, так как , то обязательно a и d не равны нулю. Положим , , тогда отображение (2) запишется в виде , (4).
Очевидно производная , поэтому отображение (4) конформно в любой точке плоскости (Z). При этом отображении угол поворота касательной к кривым постоянен во всех точках плоскости (Z) и равен . Растяжение также во всех точках будет фиксировано и будет равно . Очевидно, если , то , и .
Следовательно, в этом случае отсутствует поворот и растяжение.
Отображение осуществляет при этом сдвиг всей плоскости на вектор .
Пусть теперь . Тогда отображение (4) можно переписать так , где . Отсюда видно, что и .
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Таким образом, в данном случае при отображении (4) векторы , выходящие из точки , растягиваются в раз и затем поворачиваются на угол . Следовательно, при этом отображении вся плоскость относительно точек растягивается в раз и затем поворачивается на угол .
б) Пусть теперь с0. Очевидно, , где , число . Нетрудно видеть, что производная конечна и отлична от нуля во всех точках , поэтому является конформным во всех точках . При этом отображении касательные к кривым поворачиваются на угол . Растяжение во всех точках будет равно .
Из этих формул непосредственно видно, что поворот касательных к кривым будет одним и тем же в тех точках , где сохраняет постоянное значение. Очевидно, это будут лучи , исходящие из точек . Растяжение будет одним и тем же только в точках , где , то есть на окружностях с центром в точке .
Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка
Рассмотрим в плоскости (Z) две кривые и , Выходящие из нуля.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Пусть они образуют между собой угол Q в нуле. Произведем отображение . Эти кривые соответственно перейдут в кривые и , уходящие в бесконечность.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Будем считать, что угол между этими кривыми в бесконечности равен углу Q между и с вершиной в нуле.
Вообще под углом между любыми двумя кривыми и в плоскости (Z) с вершиной в бесконечности мы будем понимать угол между их образами , при отображении с вершиной в нуле.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Покажем, что отображение
W = (2)
конформно и в точке . Возьмем любые две кривые и плоскости Z, выходящие из точки и образующие между собой угол Q. Отображение (2) переведет точку в бесконечность, а и в некоторые линии и с вершиной в бесконечности.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мы покажем, что угол между этими кривыми с вершиной в бесконечности равен Q. Для этого произведем отображение , при этом кривые и перейдут в некоторые кривые и плоскости .
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Очевидно, угол между и с вершиной в нуле, по определению, есть угол между и с вершиной в бесконечности. Легко видеть, что кривые и получаются из кривых , посредством отображения
= (5).
Так как при отображении (5) точка переводится в нуль, поэтому по доказанному, отображение (5) будет конформным в точке , и поэтому угол между кривыми , с вершиной в нуле будет равен Q. Конформность отображения (2) в точке установлена.
Аналогичным образом показывается, что отображение (2) конформно и в точке . Следовательно, отображение (2) конформно в расширенной плоскости.
Лекция № 11. Гармонические и сопряженные гармонические функции
Дважды непрерывно дифференцируемая функция называется гармонической в области D плоскости (Z), если во всех точках этой области выполняется равенство
(6).
Отметим, что уравнение (6) называют уравнением Лапласа и коротко записывают
(7).
Две функции u (x,y) и v (x,y) области D плоскости (Z) называются сопряженными гармоническими функциями в этой области, если во всех точках этой области выполняются условия Коши-Римана , .
Мы покажем, что действительная и мнимая части u (x,y), v (x,y) в аналитической области D функции W = f (Z) являются сопряженными гармоническими функциями. Так как у аналитической функции действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши-Римана, то нам достаточно доказать гармоничность функций u (x, y), v (x, y) в области D.
Отметим, что аналитическая в области D функция f (Z) имеет производную всех порядков (без доказательства). Поэтому действительная и мнимая части этой функции имеют в области D производные всех порядков по всем переменным, и эти производные непрерывны. Поэтому в частности будут существовать все непрерывные производные 1го и 2го порядка. То есть эти функции будут дважды непрерывно дифференцируемы.
Воспользуемся теперь условием Коши-Римана , .
Продифференцируем первое равенство по x, а второе - по y, и сложим. Получим (так как смешанные производные, когда непрерывны, равны). Следовательно, u-гармоническая функция, аналогично доказывается, что v гармоническая функция, следовательно, u и v - сопряженные гармонические функции.
Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части
Пусть в некоторой области D плоскости известна действительная часть u (x,y) аналитической функции. Требуется построить ее мнимую часть v (x,y) в этой области. Как мы знаем ; .
Составим выражение . Очевидно, , так как (Лапласиян). Следовательно, выражение будет полным дифференциалом некоторой функции.
Пусть D - это односвязная область, тогда криволинейный интеграл не будет зависеть от формы и пути, соединяющего точки () и (x,y), принадлежащие D (лежащие в D) и, следовательно, будет представлять собой некоторую функцию верхнего предела. Как мы знаем из теории криволинейных интегралов, эта функция дифференцируема в области D, и ее частные производные и соответственно равны p (x,y), Q (x,y). Следовательно, в области D частные производные функций v (x,y) и совпадают. Поэтому эти функции могут отличаться лишь на константу, следовательно, . Как видно, мнимая часть аналитической функции определяется с точностью до постоянной.
Отметим, что, если известно значение аналитической функции W = f (Z) в какой-нибудь одной точке (), то мнимая часть v (x,y) этой функции и, следовательно, сама аналитическая функция f (Z) определяется однозначно по действительной части u (x,y).
В случае многосвязной области D криволинейный интеграл представляет многозначную функцию. Поэтому мнимая часть v (x,y) будет также, вообще говоря, многозначной функцией. Действительная часть по мнимой части строится аналогичным образом.
Отметим, что мнимая часть v (x,y) функции является действительной частью функции . Отметим, что мнимая часть по действительной находится другим способом. Пишут уравнения ; . Интегрируют одно из равенств (первое по x)
(1), затем дифференцируют полученное равенство по переменной y . Отсюда находят и подставляют его в (1).
Пример.
Построить мнимую часть числа по действительной
;
. Интегрируем по x.
. Находим производную по y и приравниваем
, и теперь интегрируем .
Таким образом,
, , , , следовательно, ;
.
Лекция № 12. Элементарные аналитические функции
Среди аналитических функций наиболее простыми являются целые функции.
Функция W = f (Z) называется целой, если она является аналитической в конечной комплексной плоскости.
Многочленом степени n называется функция вида (). Это есть целая функция, так как она всюду имеет производные.
Очевидно, при .
Мы будем рассматривать случай, когда ( - комплексные числа, - комплексные переменные).
Очевидно, . Поэтому можно считать, что . Как известно из алгебры, при любом W уравнение имеет n корней в комплексной плоскости, при чем некоторые из них могут быть кратные. Следовательно, Любая точка W комплексной плоскости (W) принадлежит образу плоскости (Z) при отображении ().
Так как , рассмотренная комплексная плоскость (Z) отображается на расширенную комплексную плоскость (W). При этом каждой точке , за исключением некоторого конечного числа точек, имеет в плоскости (Z) ровно n прообразов . Найдем те исключительные W плоскости (W), которые имеют в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов. Очевидно, к этим точкам относятся точки , у нее в плоскости (Z) один прообраз . Мы будем считать, что эта точка является и кратной точкой. Будем считать, что , так как точка W при отображении имеет в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов, то, по крайней мере, один из них является кратным. Обозначим его через Z0. Как известно, кратный корень уравнения является так же корнем уравнения . Производная имеет уже степень n-1, поэтому уравнение будет иметь не более чем n-1 различных корней. Обозначим их через , тогда точки ,…, и будут иметь в плоскости (Z) меньше, чем n прообразов.
Точки, в которых нарушается конформное отображение
Будем изучать отображение () (1). Очевидно, производная принимает нулевое значение лишь в точках . Поэтому в этих точках может нарушаться конформность отображения. В остальных точках отображение будет конформным, так как .
В случае n = 1 мы получаем точку (). Как мы знаем, это отображение будет конформным во всей расширенной плоскости. Поэтому мы будем изучать случай, когда . Покажем, что при нарушает конформность отображение (1) в любой точке . Как мы знаем, в этих точках производная обращается в нуль и в последней в ?. Обозначим через Z0 какую-нибудь из точек и покажем, что в ней нарушает конформность отображения (1).
Так как Z0 является кратным корнем уравнения , то имеет место представление , где , а Q (Z) - это многочлен степени n-k, такой, что . Возьмем в плоскости (Z) кривую , , проходящую через точку . Мы будем считать, что , то есть кривая имеет в точке Z0 касательную. Отображение переведет эту кривую в , , проходящую через точку . Непосредственно не видно, что кривая имеет в точке касательную, так как производная .
Покажем, что кривая имеет в точке касательную. С этой целью возьмем и проведем через точки и секущую. Очевидно, угол, который составляет эта секущая с осью и будет равен .
Произведя здесь предельный переход при , получим, что (2), следовательно, касательная к кривой в точке существует и составляет с осью угол, равный величине (2). Выпустим из точки Z0 какие-нибудь две кривые и , , которые образуют между собой угол в точке Z0, равный . Отображение переведет кривые , в проходящие через точку . Эти кривые составляют между собой угол, равный , то есть при отображении в точке Z0 угол между кривыми увеличивается в раз. То есть в этой точке нарушается конформность отображения.
Аналогичным образом показывается, что нарушается конформность отображения (), и в точке угол между кривыми увеличивается в n раз, при этом надо пользоваться отображением .
Отображение (1).
Рассмотрим отображение (1), где a - фиксированное комплексное число, а n - натуральное число. При n = 1 мы получаем отображение , оно конформно в расширенной плоскости. Будем считать, что . Очевидно, что во всех точках . Следовательно, это отображение является конформным во всех точках Z комплексной плоскости отличных от a.
По доказанному, конформность нарушается лишь в двух точках и в точке . Углы между кривыми в этих точках увеличиваются в n раз. Изучим более подробно отображение (1). Очевидно, любая точка и ? имеет в плоскости (W) ровно n прообразов , которые определяются формулой
, (k=0, 1,…, n-1) (2).
Из формулы (2) непосредственно видно, что все эти прообразы располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в точке a.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Точки же и имеют в плоскости (Z) лишь по одному прообразу. Соответственно и . Выясним, как изменяются углы между кривыми в точках и . Из равенства (1) непосредственно следует, что
(3)
(4).
Эти формулы позволят увидеть, во что отображают функции (1) окружность с центром в точке a и лучи, исходящие из точки a в окружность и луч, исходящий из нуля.
, (1)
Из (1) (3)
(4).
Из равенств (3) и (4) непосредственно следует, что функция (1) отображает окружность радиусом r c центром в точке a на окружность радиуса с центром в точке ноль.
В самом деле: в силу равенства (3) окружность отображается в окружность , из равенства (4) вытекает, что когда точка Z описывает рассматриваемую окружность в положительном направлении один раз, соответствующая точка W описывает окружность в положительном направлении n раз.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Из тех же равенств (3) и (4) вытекает, что функция (1) отображает луч (5) на луч (6).
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
В самом деле, из равенства (4) непосредственно следует, что луч (5) отображается в луч (6). Из формулы (3) следует, что когда точка Z, выходя из точки a и удаляясь в бесконечность, полностью описывает луч (6) ( непрерывно меняется от до ?).
Рассмотрим теперь в плоскости (Z) угол раствора с вершиной в точке a, ограниченный лучами (7) и (8), где .
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Нетрудно видеть, что функция отобразит этот угол на угол раствора Q с вершиной в нуле, ограниченного лучами (9) и (10). Обозначим внутренность угла плоскости (Z) через d, а плоскости (W) - через q. Нетрудно видеть, что функция отображает взаимно однозначно и конформно область d на область q. То, что это отображение конформно во всех точках d следует из того, что производная (где точка a исключается, так как не принадлежит внутренности).
Нам остается доказать, что это отображение является взаимно однозначным. Мы знаем, что d отображается на q. Очевидно, отображение (1) является однозначным, поэтому нам достаточно доказать, что любая точка имеет в d и при том только один прообраз.
То, что этот, хотя бы один прообраз существует, следует из того, что d отображается на q. Нам остается доказать единственность этого прообраза. Как мы знаем, прообразы точки w располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в точке a. Поэтому в d могут попасть несколько прообразов лишь в том случае, когда раствор угла будет больше, чем . У нас же раствор угла не превышает . Поэтому W имеет в d только один прообраз. Мы пришли к теореме.
Теорема.
Функция взаимно однозначно и конформно отображает внутренность угла раствора с вершиной a, ограниченного лучами на внутренность угла плоскости (W) с раствором с вершиной в нуле, ограниченного соответствующими лучами.
Пример.
Отобразить взаимно однозначно и конформно внутренность угла, ограниченного лучами и на внутренность угла, ограниченного лучами и .
Очевидно, отображение переведет угол плоскости Z на угол, ограниченный лучами и . Повернем полученный угол на . Произведем теперь отображение . Оно переведет лучи плоскости в лучи и . Следовательно, отображение W, равное и будет искомым.
11
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция № 13. Свойства дробно-линейной функции
Групповое свойство дробно-линейной функции
Множество G называется группой, если в нем определена операция умножения, ставящая в соответствие каждой паре x,y некоторый, вполне определенный элемент z, также принадлежащий G, называемый произведением элементов x и y и обозначаемый символом xy, и выполняются следующие свойства:
1. Для любого выполняется равенство (x·y) ·z=x· (y·z) (ассоциативность).
2. Существует элемент eG такой, что для любого , выполняется равенство e·x = x·e = x (e - единичный элемент).
3. Для любого существует элемент , называемый обратным элементом, такой, что x-1·x=x· x-1 = e.
Если еще для любых x·y=y·x, то группа Абелева или коммутативна.
Рассмотрим множество G всевозможных дробно-линейных функций
(1)
с определителем . Покажем, что в этом множестве G можно ввести операцию умножения, таким образом, что G станет группой.
Вначале отметим, что два отображения и мы будем считать равными, если при всех . Очевидно, если существует комплексное число , такое, что
(2),
то эти два отображения будут совпадать.
Покажем, что условие (2) является и необходимым для равенства отображений и . Так как определитель , то, по крайней мере, одно из чисел a или c не равно нулю.
Пусть для определенности . Пусть . Покажем, что выполняется соответствие (2). Очевидно , поэтому , следовательно, (3). Аналогично , следовательно, и, значит (4).
Легко видеть, что при , , поэтому , а это значит, что , поэтому . Отсюда следует, что
(5).
Из (3), (4), (5) и следует (2). (Если , то поменять числитель и знаменатель ролями).
Мы знаем, что дробно-линейная функция с определителем конформна в расширенной плоскости (Z).
Покажем, что функция осуществляет взаимно однозначное отображение плоскости (Z) на плоскость (W). Действительно каждая точка W плоскости (W) имеет в плоскости (Z) единственный прообраз (6). Следовательно, отображение является взаимно однозначным.
Отображение (6) мы будем называть обратным по отношению к и будем писать .
Введем теперь во множество G - произведение двух отображений и по формуле
,
мы получим дробно-линейную функцию. Ее определитель
(так как ),
следовательно, .
Покажем, что это множество дробно-линейных функций с введенной операцией умножения () является группой.
Три свойства группы:
1. Пусть дробно-линейные функции (принадлежит множеству дробно-линейных функций с ). Покажем, что выполняется равенство
(1),
для этого значения в любой точке должны быть равны.
Возьмем производную в точке (комплексной плоскости) и обозначим через значение , будем иметь
(2)
и по определению произведения
(3).
Так как правые части равенств (2) и (3) равны, то будут равны и левые части этих равенств. Отсюда из произвольности выбора z и следует справедливость равенства (1). Следовательно, первое групповое свойство для множества M выполняется.
2. Покажем, что тождественное отображение является единичным элементом в M. То есть, что для выполняется равенство (4). Очевидно, для выполняются равенства и . Так как правые части последних равенств равны, то справедливы (4). Следовательно, u является единичным элементом во множестве M.
3. Возьмем произвольное , как мы знаем, у рассматриваемого отображения L существует обратное отображение , которое также является дробно-линейным и определитель которого не ранен нулю, то есть . Покажем, что это отображение и будет обратным элементом для L, то есть выполняются равенства:
(5).
Возьмем любую точку . Пусть , тогда по определению обратной функции будет . Значит . Возьмем теперь произвольную точку W. Пусть по определению обратной функции . Значит . Из последних двух равенств вытекает равенство (5).
Подобные документы
Предел для функции действительного аргумента и для функции комплексного переменного. Формулировка необходимого условия дифференцируемости функции комплексного переменного (условие Коши-Римана). Понятия и примеры правильных и особых точек функции.
презентация [74,9 K], добавлен 17.09.2013Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Рассмотрение понятия функции комплексного переменного; определение условий ее однозначности и многозначности. Установление функцией w=f(z) зависимости между точками плоскостей Z и W. Пример нахождения образа прямой при заданном отображении функции.
презентация [64,9 K], добавлен 17.09.2013Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.
методичка [693,0 K], добавлен 21.12.2011Понятие предела функции и основные требования, предъявляемые к нему, геометрический смысл. Методика определения данной геометрической категории в заданной точке при различных условиях. Вычисление ординат графиков. Возрастание по абсолютной величине.
презентация [902,2 K], добавлен 21.09.2013Вычисление пределов гиперболических функций. Дифференцирование сложной функции. Разложение гиперболических функций по формуле Тейлора. Свойства неопределенного интеграла, интегрирование функций. Гиперболические функции комплексного переменного.
дипломная работа [2,8 M], добавлен 11.01.2011Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. Нахождение локальных экстремумов функции. Интегральное исчисление функции, пределы интегрирования. Практический пример определения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми.
контрольная работа [950,4 K], добавлен 20.01.2014
