Показательная функция а^Z = e^Zlna (a ? 0), эта функция также является бесконечно-значной (когда а = е, то берется одно главное значение lna = lne).

Это однозначная функция, по нашему определению многозначная.

Для комплексных степеней, вообще говоря, не выполняются равенства:

и .

Логарифм по произвольному основанию.

Возьмем и определим логарифмы по основанию a. С этой целью рассмотрим уравнение Z = a^w, относительно неизвестной W.

По определению a^w = e^wlna.

lna имеет бесконечное множество значений, зафиксируем какое-то одно из них и обозначим его через b.

Тогда мы получим равенство:

Т.е.

В правой части комплексный числитель, тогда и знаменатель, имеют бесконечное множество значений.

Понятие поверхности Римара

Рассмотрим функцию: W = . Эта функция является n-значной. Из нее можно выделить n однозначных ветвей.

Сделаем это следующем образом. Разобьем плоскость (W) на n равных частей лучами (1) .

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно, функция Z = Wⁿ является однолистной внутри каждого угла.

(k=0,…,n-1) (2).

Эта функция отображает каждый луч (1) в положительную часть действительной оси, т.е. в луч.

ArgZ = 0+2kр (3)

Область же (2) отображается на область ограниченную лучом (3). Следовательно, по однозначной функции W = определится n однозначных ветвей, которые заданы на одной и той же области, ограниченной лучом (3) и которые принимают значения в области (2).

Эти ветви будут определяться формулами:

() _k = (k - номер ветви),

где , (k=0,…,n-1)

Постоим теперь поверхность Римана.

Однозначные ветви (4) мы будем рассматривать на всей плоскости (Z) с разрезом вдоль положительной части оси x-ов.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим n-таких плоскостей с разрезами:

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Первую ветвь будет рассматривать на первом листе, вторую на втором (второй плоскости), …, n-ную ветвь на n-ом листе.

Возьмем какую-нибудь точку на положительной части оси х и отметим ее цифрами. В верхней полуплоскости цифрой 1, на нижние цифрой 2 и т.д. Отметим около нуля окружность, проходящую через отмеченную точку.

Очевидно, при движении Z по окружности из точки 1 в точку 2, аргумент Z возрастает на величину 2р. Следовательно, в рассматриваемой точке получается, что , т.е. ветвь с номером k переходит в ветвь с номером k+1. Значит можно утверждать, что значение ветви в точке 2 будет равно значению ветви в точке 3 и значение в точке 4 и будет равно значению ветви в точке 5 и т.д.

Покажем значение n-ной ветви в точке 2р, оно будет равно значению первой ветви в точке 1 ().

Склеим теперь все эти листы следующим образом. Сложим их друг на друга в порядке убывания номеров так, чтобы их разрезы совпали.

Склеим теперь правый берег первого листа с левым берегом второго листа, правый берег второго листа с левым берегом третьего листа и т.д. И наложим правый берег n-ного листа с левым берегом первого листа.

В результате мы получим поверхность Римана для функции W = . На этой поверхности Римана многозначную функцию W = можно рассматривать как однозначную функцию.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция № 22. Степенные ряды

Ряд вида (1),

где Z₀, c₀, c₁, … c_n, ориентированные числа, а Z комплексная переменная называется степенным рядом.

Это простейший функциональный ряд, числами которого являются f_n (Z) =c_n (Z?Z₀) ⁿ, числа c₀, c₁, … c_n называются коэффициентами степенного ряда.

Этот ряд в отдельных точках может сходиться или расходиться.

Изучим структуру области сходимости и расходимости степенного ряда.

Понятие верхнего предела вещественной числовой последовательности

Рассмотрим вещественную числовую последовательность (a_n).

Число Л называется верховым пределом последовательности, если выполняется следующее условия:

1. Для , тогда при всех n > N выполняется неравенство

2. Существует подпоследовательность .

Иначе говоря, верхним пределом называется самостоятельная прямая предельной точки этой последовательности.

Любая числовая последовательность имеет конечный и бесконечный верхний предел, который обозначается символом .

Теорема Коши-Адамара.

Пусть для степенного ряда (1) верхний предел (2) тогда:

1. Если , то ряд один абсолютно сходится во всей конечной плоскости (Z).

2. Если , то степенной ряд (1) сходится в точке Z = Z₀ и расходится во всех точках .

3. Если , то степенной ряд (1) абсолютно сходится в любой точке Z круга и расходится в любой его точке Z круга .

Доказательство.

1. Пусть, тогда в силу (2) будет также ().

Поэтому для любой фиксированной точки Z будет , следовательно, по признаку Коши ряд (1) абсолютно сходится в любой точке Z.

2. Пусть теперь . Покажем, что ряд (1) расходится в любой точке . Легко видеть, что некоторая последовательность . Значит для любого и тем более

Следовательно для ряда (1) в точке не выполняется необходимый признак сходимости ряда (общий член не стремится к нулю при n>?), поэтому ряд один в этой точке расходится.

Сходимость ряда (1) в точке Z = Z₀ очевидна, т.к. в этой точке все члены ряда (1), начиная со 2, обращаются в нуль.

3. Пусть теперь 0 < Л < +?. Покажем, что ряд (1) абсолютно сходится в любой точке Z круга . Сходимость ряда (1) в точке Z = Z₀ очевидна. Возьмем любое из круга . Очевидно, такое что, будет выполняться .

Рассмотрим число . По определению верхнего предела существует число N = N (), такое, что при всех n > N будет выполняться неравенство . При этих номерах n > N будет .

Следовательно, в силу признака Коши (непредельная форма), ряд (1) в точке Z будет абсолютно сходиться.

Докажем теперь, что ряд (1) расходится в любой точке Z внешности круга .

Очевидно, существует такое число , что будет выполняться равенство . По определению верхнего предела существует подпоследовательность , значит будет выполняться , , поэтому в точке Z для ряда (1) не выполняется необходимое условие сходимости. Ряд в этой точке расходится.

Из теоремы Коши-Адамара вытекает. Что для любого степенного ряда (1) существует число , такое что, во всех числах Z круга |Z - Z₀| < R ряд (1) абсолютно сходится, а во всех точках внешности этого круга |Z - Z₀| > R ряд расходится.

Такой круг |Z - Z₀| < R называется кругом сходимости степенного ряда (1).

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Число R при этом называется радиусом сходимости степенного ряда.

Очевидно,

.

Радиус окружности можно вычислить по формулам , если эти пределы существуют.

Из теоремы Коши-Адамара в частности вытекает первая теорема Абеля.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то абсолютно сходится в любой точке круга |Z - Z₀| < |Z_{1 -} Z₀|.

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство.

Т.к. ряд (1) сходится в точке Z₁, то эта точка Z₁ не лежит во внешности круга сходимости. Поэтому эта точка Z₁ либо лежит внутри круга сходимости, либо на его границе. Но тогда круг |Z-Z₀| < |Z₁-Z₀| будет целиком содержаться в круге сходимости степенного ряда |Z-Z₀| < R (т.к. |Z-Z₀| R) и потому ряд (1) во всех точках, рассматриваемого круга, абсолютно сходится.

Пример.

Найти радиус и круга сходимости степенного ряда.

Очевидно, c_n = 5ⁿ+n

Поэтому

Кругом сходимости будет

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференцирование степенных рядов

Теорема.

Пусть линейный ряд (1) имеет положительный радиус сходимости R > 0, тогда сумма ряда (1) f (Z) имеет производную в любой точки R круга сходимости |Z-Z₀| < R. Причем эта производная равна

(2).

Доказательство.

Возьмем произвольную точку Z₁ из круга |Z-Z₀| < R и покажем, что во второй точке существует производная и выполняется неравенство (3), отсюда и будет следовать утверждение теоремы.

Вначале докажем, что ряд (2) имеет тот же ряд сходимости, что и (1) R =R'.

В самом деле,

Обозначим через сумму ряда (2). Возьмем произвольную фиксированную точку G, такую, что |Z-Z₀| < |G-Z₀| = с < R

11

Размещено на http://www.allbest.ru/

Очевидно для любой точки из круга |Z-Z₀| < с имеет место равенство:

Т.к. точка G лежит внутри круга сходимости круга ряда (2), то ряд (2) в этой точке абсолютно сходится, т.е. сходится ряд.

(4).

Следовательно, для существует такой номер n_c = n₀ (е), такой что будет (сумма остатка будет мала). Но тогда будет,

Легко видеть, что функции стоящие в скобках правой части неравенства являются непрерывными функциями от Z, причем при Z = Z₁ эти функции обращаются в нуль. Поэтому для выбранного , что для всех точек Z удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство .

Т.е. неравенство выполняется, если , последнее означает, что .

Т.е. производная и равна .

По определению - это есть сумма ряда (2). Значит

Поэтому равенство (2) выполняется для любого Z из круга |Z-Z₀| < R.

Т.к. ряд (2) имеет тот же радиус, следовательно, R > 0, то его сумма тоже имеет производную в круге |Z-Z₀| < R и эта производная

Этот процесс можно продолжать неограниченно. Поэтому мы приходим к теореме.

Теорема.

Если степенной ряд

(1)

имеет положительный радиус сходимости, то его сумма I (Z) в круге сходимости | Z - Z₀ | < R бесконечно дифференцируема (т.е. имеет производную), причем производная любого порядка с = 1, 2 получится путем -кратного почленного дифференцирования ряда (1), так что радиусы сходимости рядов (5) равны R.

(5)

Вопросы к экзамену по ТФКП

1. Комплексные числа.

2. Геометрическое изображение комплексных чисел.

3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

4. Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения, частного двух комплексных чисел.

5. Корень n - степени из комплексных чисел. Степень с произвольным рациональным показателем.

6. Предел последовательности комплексных чисел.

7. Геометрическое истолкование предела комплексных чисел.

8. Бесконечность и стереографическая проекция.

9. Ряды комплексных чисел.

10. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

11. Основные понятия плоских множеств.

12. Понятия функций комплексной переменной.

13. Предел функции комплексной переменной.

14. Непрерывная функция комплексной переменной.

15. Понятие равномерно-непрерывной комплексной переменной. Понятия обобщенной непрерывной функции.

16. Непрерывные кривые. Теорема Жордана.

17. Понятия производной функции комплексной переменной.

18. Дифференцируемость и дифференциал функции комплексной переменной. Правило дифференцирования. Производная степенной и обратной функции.

19. Необходимое и достаточное условие дифференцирования функции (условие Коши-Римана).

20. Понятие моногенной и аналитической функции. Условие Коши-Римана в полярной форме.

21. Геометрический смысл аргумента комплексно-значной функции вещественной переменной.

22. Геометрический смысл производной комплексной функции.

23. Конформные отображения.

24. Геометрический смысл модуля производной.

25. Дробно-линейная функция.

26. Угол с вершиной в бесконечности или бесконечно удаленная точка.

27. Гармонические и сопряжено гармонические функции.

28. Построение мнимой части аналитической функции по ее действительной части.

29. Элементарные аналитические функции. Многочлен.

30. Точки, в которых нарушается конформность отображения.

31. Групповое свойство дробно-линейной функции.

32. Круговое свойство дробно-линейной функции.

33. Образы областей ограниченных прямой или окружностью при дробно-линейном отображении.

34. Неподвижные точки дробно-линейного отображения.

35. Построение дробно-линейной функции заданной в трех точках.

36. Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

37. Отображение области ограниченной прямыми или окружностями.

38. Показательная функция w = e^Z.

39. Тригонометрическая функция cos Z, sin Z.

40. Гиперболические функции вещественного переменного.

41. Однозначные ветви многозначных функций.

42. Логарифм.

43. Логарифмическая функция.

44. Степень с произвольным показателем.

45. Понятие поверхности Римана.

46. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Теорема Абеля.

47. Дифференцирование степенных рядов.

48. Комплексный интеграл и его свойства.

49. Изолированные особые точки аналитической функции их классификация.

50. Понятие вычета аналитической функции относительно ее особой точки. Основная теорема о вычетах.

Литература

1. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитической функции.

2. И.П. Привалов. Введение в теорию комплексного переменного.

3. Л.И. Волковыский, Лунц, Араманович. Сборник задач по теории функции комплексного переменного.

4. Лаврентьев, Келдыш, Шаба. Теория аналитических функций и ее применение.

5. Н.Я. Виленкин, В.А. Петров. Математический анализ. Теория аналитической функции.

Размещено на Allbest.ru