Общая теория статистики

Результаты кластеризации зависят от выбранного метода, и эта зависимость тем сильнее, чем менее явно изучаемая совокупность разделяется на группы объектов. Поэтому к результатам вычислительной кластеризации следует относиться с осторожностью.

Многомерное шкалирование

Во многих областях исследования (например, в психологии, биологии, социологии, лингвистике и т. д.) бывает затруднительно или невозможно проводить непосредственное измерение интересующих исследователя характеристик объектов из изучаемой совокупности, зато можно экспертным или каким-то другим путем оценить степень сходства или различия между парами объектов. В этом случае для интерпретации получаемых данных применяется метод многомерного шкалирования.

Этот метод позволяет представить совокупность интересующих исследователя объектов в виде некоторого набора точек многомерного пространства некоторой небольшой размерности, при этом каждому объекту соответствует одна точка. Координаты точек истолковываются как значения неких характеристик исходных объектов, которые и объясняют их свойства или взаимоотношения.

Например, нас интересуют такие объекты, как города, в которых проживают люди. Город в целом характеризуется огромным количеством признаков. К важнейшим из признаков относятся: географическое положение, климат и политическая принадлежность.

В случае удачного шкалирования исследователь получает возможность представить изучаемую совокупность объектов наглядно.

В методе многомерного шкалирования применяют нехарактерную для статистики в целом терминологию: стимул, шкала, эксперт и др.

Под стимулом понимается некоторый признак, свойство, характерная особенность объекта, стимул непосредственно не измеряется.

Шкала -- одна из осей теоретического пространства, она характеризует численно (метрически) тот или иной признак, свойство, характерную особенность объекта.

Эксперт -- субъект, который считается признанным авторитетом в оценке признаков, свойств и характерных особенностей исследуемых объектов.

Методы контроля качества

Методы контроля качества предназначены для контроля качества выпускаемой продукции с целью выявления нарушений и «узких мест» в организации производства и в технологических процессах.

Повсеместное применение научно обоснованных методов контроля качества явилось немаловажным фактором успехов стран-лидеров мировой экономики, в особенности Японии.

В последнее время новые методы более эффективного управления с целью повышения качества получили название «шесть сигм». Они рассматриваются как формула успеха большинства транснациональных корпораций.

В отличие от большинства описанных выше методов многомерного анализа методы контроля качества не требуют трудоемких вычислений -- они исключительно просты и наглядны. Простота, наглядность и эффективность статистических методов контроля качества сделали возможным и оправданным их повсеместное применение в передовых странах, вплоть до мастеров, а иногда и отдельных рабочих.

Тест к теме 9

1. Проверка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется на основе:

а) критерия Стьюдента;

б) множественного коэффициента корреляции;

в) коэффициента детерминации.

2. Коэффициент детерминации измеряет:

а) вариацию, сложившуюся под влиянием всех факторов;

б) долю вариации признака-результата, сложившуюся под влиянием изучаемого фактора;

в) вариацию, связанную с влиянием всех остальных факторов, кроме исследуемого;

г) степень тесноты связи между явлениями.

3. Если коэффициент линейной корреляции равен 0,85, то связь между признаками:

а) отсутствует; в) умеренная;

б) слабая; г) сильная.

4. Какой из линейных коэффициентов корреляции указывает на наибольшую тесноту связи:

а) 0,80; в) 0,40; д) - 0,85?

б) -0,45; г) 0;

5. Какой из линейных коэффициентов корреляции указывает на наименьшую тесноту связи:

а) 0,80; в) 0,40; д) - 0,85?

б) -0,45; г) 0;

6. По направлению различают связи:

а) прямые; в) возрастающие и убывающие;

б) прямолинейные; г) умеренные.

7. По аналитическому выражению связи в статистике классифицируют:

а) на сильные и слабые; в) прямые и обратные;

б) закономерные и произвольные; г) линейные и криволинейные.

8. В каких пределах измеряется коэффициент корреляции:

а) от 0 до 1; б) от -1 до +1; в) от -1 до 0?

9. Уравнение регрессии имеет вид: . На сколько единиц своего измерения в среднем изменится у при увеличении х на одну единицу своего измерения:

а) увеличится на 1,7; в) не изменится;

б) уменьшится на 1,7; г) увеличится на 5,1?

10. Какой коэффициент указывает в среднем процент изменения результативного показателя у при увеличении аргумента х на 1%:

а) коэффициент корреляции; в) коэффициент эластичности;

б) коэффициент детерминации; г) коэффициент регрессии?

11. Какая из следующих формул минимизируется в методе наименьших квадратов:

а) ; б) ; в) ; г)

12. Если результативный и факторный признаки являются количественными, то для анализа тесноты связи между ними могут применяться:

а) коэффициенты ассоциации;

б) коэффициент корреляции рангов Спирмена;

в) коэффициент корреляции знаков Фехнера;

г) линейный коэффициент корреляции;

д) корреляционное отношение.

13. Частный коэффициент корреляции показывает тесноту:

а) нелинейной зависимости;

б) связи между результативным признаком и остальными, включенными в модель;

в) линейной зависимости между двумя признаками на фоне действия остальных, входящих в модель;

г) линейной зависимости между двумя признаками при исключении влияния остальных, входящих в модель.

14. К методам многомерного статистического анализа относится:

а) дискриминантный анализ; б) индексный анализ; в) корреляционный анализ.

15. Метод главных компонент заключается:

а) в изучении различий объектов наблюдения с помощью разбиения их по признакам;

б) в нахождении новой ортогональной системы координат в пространстве наблюдений;

в) нет верного ответа.

16. С помощью многомерного анализа исследуется:

а) изменение двух признаков;

б) изменение нескольких признаков;

в) динамика одного социально-экономического процесса.

17. Кластерный анализ позволяет:

а) строить функции измеряемых характеристик;

б) представлять изучаемые характеристики в ортогональной системе координат;

в) проводить классификацию объектов с учетом всех тех признаков, которые характеризуют объект.

18. Метод многомерного шкалирования предполагает:

а) построение функции измеряемых характеристик;

б) представление совокупности объектов в виде набора точек многомерного пространства;

в) представление изучаемых характеристик в ортогональной системе координат.

Задачи для решения

1. По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

2. Используя следующие данные, определите параметры линейного уравнения ( и ) регрессии:

3. По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

4. Имея следующие данные, постройте линейное уравнение регрессии:

5. Имеются данные по 10 семьям об уровне доходов на 1 человека в год (х) и покупательском спросе - расходах на одежду на 1 чел. в год (у), в млн руб. Методом корреляционного анализа исследовать зависимость между этими признаками. Написать уравнение регрессии, построить эмпирические точки и линию регрессии. Найти коэффициенты корреляции и детерминации. Сформулировать выводы по результатам анализа.

х	3,4	3,1	3,0	5,0	2,8	4,1	2,5	5,3	2,9	4,0
у	0,26	0,21	0,22	0,38	0,19	0,29	0,19	0,35	0,24	0,32

6. Распределение предприятий по источникам средств на их покупку характеризуется следующими данными:

Источник средств	Зарождающийся бизнес	Зрелый бизнес	Итого
Банковский кредит Собственные средства	31 38	32 15	63 53
Итого	69	47	116

Вычислите коэффициенты ассоциации и контингенции. Какие выводы можно сделать на основании значений этих коэффициентов?

7. Распределение основных категорий потенциальных мигрантов по уровню образования характеризуется следующими данными:

Образование	Основные категории потенциальных мигрантов	Итого
	руководители	специалисты	служащие	рабочие
Высшее Неполное высшее Среднее специальное Среднее общее Неполное среднее	55 5 36 4 0	48 3 44 4 1	12 3 51 33 1	7 5 39 39 10	122 16 170 80 12
	100	100	100	100	400

Рассчитайте коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Сформулируйте выводы, вытекающие из анализа полученных коэффициентов.

8. По данным таблицы определить зависимость между основными показателями деятельности коммерческих банков Белоруссии с помощью коэффициента конкордации.

банк	Стоимость активов, млрд нац. руб.	Кредитные вложения, млрд нац. руб.	Собственный капитал, млрд нац. руб.
1 2 3 4 5 6 7	3176 3066 2941 1997 1865 1194 518	2496 1962 783 1319 1142 658 311	209 201 177 136 175 88 60

9. По группе предприятий за отчетный год имеются следующие данные:

№ пред-приятия	Годовая производительность труда работника, тыс. руб.	Вооруженность труда основным капиталом, тыс. руб./чел.	Удельный вес оборудования в стоимости основного капитала	Текучесть кадров, %	Интегральный показатель использования рабочего времени
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	360 298 328 330 366 316 334 300 314 320 362 332	15,2 12,8 13,8 14,0 16,3 12,6 13,2 12,9 13,1 12,5 15,7 13,5	0,39 0,29 0,34 0,36 0,47 0,28 0,32 0,29 0,33 0,28 0,40 0,34	9,1 10,1 5,0 7,0 9,0 4,0 12,0 6,5 8,0 7,0 8,5 5,0	0,96 0,80 0,84 0,86 0,98 0,83 0,87 0,84 0,81 0,85 0,97 0,83

На основании приведенных данных требуется:

1) составить уравнение множественной зависимости производительности труда, обосновав систему факторов, включенных в модель;

2) определить совокупный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции;

3) сопоставить роль различных факторов в формировании моделируемого показателя.

Тема 10. Статистические методы моделирования и прогнозирования социально-экономических явлений и процессов

Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы, в зависимости от исходной информации (рис. 1).

		Методы экстраполяции тенденций
Упрощенные приемы, основанные на средних показателях динамики		Аналитические методы (кривые роста)		Адаптивные методы, учитывающие степень устаревания данных

Рис.1. Группы методов экстраполяции тенденций

Упрощенные приемы целесообразны при недостаточной информации о предыстории развития явления (нет достаточно длительного динамического ряда или информация задана только двумя точками: начало и конец периода).

Аналитические методы экстраполяции тенденций основаны на применении наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, т. е. математической функции зависимости уровней динамического ряда у от фактора времени t. Используя соответствующую кривую роста, можно дать прогноз (как правило, краткосрочный).

Адаптивные методы используются в условиях сильной колеблемости уровней динамического ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований.

Другую группу методов представляют методы статистического моделирования. Наиболее распространенные из них представлены на рис. 2

		Методы статистического моделирования
	Статические			Динамические
	Методы регрессии		Методы агрегатного моделирования динамики		Методы регрессии
единичные уравнения		система уравнений		по взаимосвязанным рядам динамики		по пространственно-временной информации

Рис. 2 Группы методов статистического моделирования

Деление методов на статические и динамические связано с характером исследуемой информации. Методы статистического моделирования могут быть использованы на основе информации в статике (по совокупности предприятий, фирм, регионов) по системе связанных рядов динамики. В первом случае они относятся к классу статических методов, а во втором - динамических.

Статические методы включают методы регрессии, с помощью которых моделируемый объект представлен в виде математической функции от ряда факторов: . Сложные экономические процессы могут описываться системой взаимосвязанных уравнений:

Применение этой группы методов в прогнозировании предполагает инертность процессов. Качество прогноза моделируемого объекта зависит от реальности прогноза факторов.

Динамические методы статистического моделирования основаны на подробном изучении временных рядов. В частности, уровни динамического ряда рассматриваются как функция тенденции, периодических (сезонных) и случайных колебаний. На моделировании этих компонентов разложения уровней динамического ряда основаны методы агрегатного моделирования динамики. Прогноз строится как аддитивная или мультипликативная модель этих компонентов динамики.

Регрессия по взаимосвязанным рядам динамики (особенно как система уравнений) широко применяется для прогнозирования макроэкономических показателей. При этом модель включает обычно не только набор факторов как экономических переменных, но и лаговые переменные, т. е. сдвинутые во времени на определенный интервал (например, в качестве факторов используется моделируемый показатель или собственно фактор за предыдущий год).

Своеобразие методов регрессии для прогноза имеет место при использовании пространственно-временной информации. Для каждого года динамического ряда строится регрессионная модель по совокупности предприятий. Прогноз основывается на экстраполяции параметров регрессии. Данный подход возможен в условиях достаточно стабильной экономики, когда круг охватываемых предприятий во времени мало изменчив.

Методы статистического моделирования входят в группу методов многофакторного моделирования, к которым относятся также логическое моделирование, включающее моделирование по исторической аналогии, методы сценариев и дерева целей.

Прогнозирование по исторической аналогии основано на использовании аналога объекта прогнозирования. Этот подход предполагает перенесение на новую действительность концепции развития той или иной страны, соотношение темпов роста отдельных показателей. Качество прогноза в этом случае полностью зависит от правильности выбора аналога объекта прогнозирования.

Метод сценариев, как и метод дерева целей, представляет собой метод прогнозирования сложных систем. В методе сценариев подробно описывается моделируемая ситуация и делается обзор информации, которая должна быть учтена при прогнозировании. Метод дерева целей предполагает, что для объекта прогноза существует несколько иерархических уровней, и прогноз осуществляется последовательно по отдельным стадиям, блокам - от низшего уровня к более высоким. Методы логического моделирования могут в качестве вспомогательных инструментов прогноза использовать методы экстраполяции и методы статического моделирования.

Рассмотренная классификация методов статистического прогнозирования достаточно условна, так как на практике при прогнозировании нередко методы переплетаются: методы скользящей средней дополняются уравнением тренда, авторегрессионными преобразованиями; экстраполяция тенденций дополняется авторегрессией остатков; уравнение регрессии может включать показатели тенденции развития объекта и т. п.

Элементы прогнозирования и интерполяции. Моделирование временных рядов

Выявление и характеристика основной тенденции развития при исследовании динамики социально-экономических явлений дают основание для прогнозирования -- определения будущих размеров уровня социально-экономических явлений.

Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохраняется в прогнозируемом будущем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой, а в прошлое -- ретроспективой.

Теоретической основой распространения тенденции на будущее является свойство социально-экономических явлений, называемое инерционностью. Именно инерционность позволяет выявить сложившиеся взаимосвязи как между уровнями динамического ряда, так и между группой связанных рядов динамики. На основе рядов динамики получаются весьма надежные прогнозы, если уровни ряда динамики сопоставимы и получены на основе единой методологии.

Применение экстраполяции в прогнозировании базируется на следующих условиях:

* развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

* общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

Временной горизонт экстраполяции не может быть бесконечным, потому что анализируемые временные ряды динамики нередко относительно короткие. Результат прогноза будет тем надежнее и точнее (при прочих равных условиях), чем короче срок экстраполяции (период упреждения).

Пусть имеется временной ряд {y₁, y₂, …, y_n}, взятый для простоты в равноотстоящие моменты времени. В качестве ф обозначим срок прогноза. В зависимости от принципов и исходных данных, положенных в основу прогноза, выделяют следующие элементарные методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, экстраполяция на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле.

1. С помощью среднего абсолютного прироста прогноз делается по следующей формуле:

где - средний абсолютный прирост

2. С помощью среднего темпа роста прогноз делается по следующей формуле:

где средний коэффициент роста наиболее хорош, когда общая тенденция ряда характеризуется экспоненциальной, показательной кривой.

3. Экстраполяция на основе выравнивания ряда по какой-либо кривой сводится к тому, что статистик выбирает некоторую кривую у = f(t). Данная кривая определена не только для каждого имеющегося момента времени t = 1,2, ..., п, но и для прогнозируемого момента времени t = п + ф.

Моделирование временных рядов

Следуя основной идее статистики, при анализе временного ряда его видимую изменчивость стараются разделить на закономерную и случайную составляющие.

Закономерные изменения членов временного ряда подчиняются какому-то определенному правилу и поэтому предсказуемы. Эта составляющая может быть вычислена в каждый момент времени как некая функция от текущего момента времени. Эта функция может зависеть как от момента времени, так и от ряда других параметров. Когда эти параметры неизвестны, приходится оценивать их по имеющимся наблюдениям -- как, например, бывает в случае регрессии.

Под закономерной (детерминированной) составляющей временного ряда {y₁, y₂, …, y_n} понимается числовая последовательность {d₁, d₂, ..., d_n}, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени.

Изменчивость, оставшаяся необъясненной, иррегулярна и хаотична и носит название случайной компоненты. Для ее описания необходим статистический подход. Если мы полностью выявили закономерную составляющую в поведении временного ряда, то оставшаяся часть должна выглядеть хаотично и непредсказуемо. Ее обычно обозначают в следующем виде: {е₁, е₂, ..., е_п}.

Другими словами, прогноз и моделирование временных рядов включает как этап анализа, или декомпозиции, так и этап синтеза, сборки ряда в единое целое. При проведении этапов анализа и синтеза ничто не должно остаться лишним и непроясненным; если это так, то можно говорить, что с точки зрения статистики о временном ряде нам известно все. К сожалению, в большинстве случаев этот идеал недостижим.

Остановимся более подробно на этапе анализа временного ряда. Раздают аддитивную и мультипликативную модели анализа временного ряда. Формы разложения (декомпозиции) временного ряда на детерминированную и случайную составляющие различаются в этих моделях.

Аддитивной моделью временного ряда называется представление ряда в виде суммы детерминированной и случайной компонент, а именно: y_t = d_t + е_t, t = 1,2, ..., п.

Мультипликативной моделью временного ряда называется представление ряда в виде произведения детерминированной и случайной компонент, а именно: y_t = d_{t *} e_t, t = 1,2, ..., п.

Если в приведенном соотношении перейти к логарифмам, то получится аддитивная модель, но не для самих y_t, а для их логарифмов, т. е. . Это соотношение объясняет распространенность логарифмических шкал при анализе экономических временных рядов.

В рамках детерминированной компоненты определим тренд, сезонную и циклическую компоненты:

тренд - tr_t,

сезонную компоненту - s_t,

циклическую компоненту - c_t.

Для определенности изложения рассмотрим аддитивную модель временного ряда (хотя это может быть и мультипликативная или какая-либо иная смешанная схема), т. е. возьмем представление вида:

d_t = tr_t + s_t + c_t.

В последнее время к указанным трем компонентам добавляют еще одну компоненту, именуемую интервенцией.

Под интервенцией понимают существенное кратковременное воздействие на временной ряд.

Примером интервенции могут служить события «черного вторника» (11 октября 1994 г. курс доллара за день вырос на 40% с 283 рублей до 392 рублей), а также финансовый кризис августа 1998 г., когда курс рубля по отношению к доллару упал втрое.

К наиболее часто используемым моделям тренда относят следующие:

• линейная функция: ,

• парабола: ,

• экспонента: .

Модели сезонной компоненты. Эти модели базируются на использовании гармонического анализа. Так, для полигармонической модели имеем:

Модели случайной компоненты. Опыт показывает, что временной ряд редко удается полностью описать одной лишь детерминированной компонентой. В ней часто присутствует нерегулярная, случайная компонента. Ее поведение нельзя точно предсказать заранее. Для ее описания приходится привлекать понятия из теории вероятностей.

Для описания нерегулярной компоненты и всего временного ряда в целом используют понятия случайного (стохастического) процесса или случайной последовательности как процесса от целочисленного аргумента. Важным классом случайных процессов являются нормальные, или гауссовские, случайные процессы.

Простейшей моделью случайной компоненты временного ряда с точки зрения математики является последовательность независимых случайных величин. Среди них наиболее важные - «белый шум» и «гауссовский белый шум».

Белым шумом называется временной ряд (случайный процесс) с нулевым средним, если составляющие его случайные величины независимы и распределены одинаково.

Гауссовский белый шум -- это последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и общей дисперсией.

Прогнозирование

В общем случае к прогнозированию можно подступиться двумя путями.

Первый -- попытаться вскрыть причинно-следственный механизм, т. е. найти факторы, определяющие поведение прогнозируемой величины. Этот путь ведет к экономико-математическому моделированию.

Второй -- не вдаваясь в механику движения, попытаться предсказать будущее положение, анализируя временной ряд показателя изолированно. Методы прогнозирования существенно различаются в зависимости от того, является ли прогнозирование краткосрочным или среднесрочным. В первом случае прогноз строится на один-два момента времени (квартал, месяц, неделю и т. п.) и, как правило, оперативен и непрерывен. В большинстве случаев краткосрочного прогнозирования данные берутся за месяц либо за неделю, соответственно прогноз необходимо построить на один-два месяца или неделю вперед. При среднесрочном прогнозировании данные, как правило, ежегодные, а прогноз необходимо строить на пять-десять лет вперед.

Указанные различия между задачами кратко- и среднесрочного прогнозирования приводят к необходимости решать их различными методами.

Более подробно остановимся на краткосрочном прогнозировании. В качестве иллюстрации методологии краткосрочного прогнозирования рассмотрим метод экспоненциального сглаживания.

Традиционным методом прогнозирования будущего значения показателя является усреднение прошлых значений. Пусть имеется ряд данных {..., d_t-n+i, ..., d_t-1, d_t}. Возьмем последние п значений, вычислим по ним среднее u_t+1, которое будет рассматриваться в качестве прогноза на момент времени t + 1, т. е.

Пример: При п = 3 имеем

Согласно последней формуле вес отдельного наблюдения, равный 1/3, указывает на долю вклада его значения в значение среднего. При этом более свежие данные (dt) имеют тот же вес, что и более старые (d_t-1, d_t-2). Вместе с тем можно ожидать, что более важное значение будут иметь свежие данные, и поэтому они должны иметь больший вес. Это можно выразить, например, в следующем виде:

Обобщим вышеприведенный пример.

Рассмотрим набор величин {б, б(1 - б), б(1 - б)², ...}. Чтобы этот набор величин являлся набором весов, необходимо соблюдение условия того, что сумма этих величин равна единице. Считая, что |1 -- б| < 1, и используя формулу для суммы геометрической прогрессии, убеждаемся, что б + б(1 - б) + б(1 - б)² + ... = 1.

Используя приведенный набор весовых величин, получаем следующую цепочку:

В итоге получаем искомую формулу прогноза с помощью экспоненциального взвешенного среднего:

Экспоненциальное взвешенное среднее имеет ряд преимуществ перед традиционным скользящим средним.

1. Для построения прогноза по экспоненциальному взвешенному среднему необходимо задать лишь начальную оценку прогноза. Дальнейшее прогнозирование возможно незамедлительно при поступлении свежих данных.

2. В экспоненциально взвешенном среднем значения весов убывают со временем.

3. Для вычисления экспоненциального взвешенного среднего требуются всего два значения: прошлое значение среднего и текущее значение.

Тест к теме 10

1. Процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося за пределами данного ряда, называется:

а) интерполяция; б) экстраполяция; в) адаптация.

2. При моделировании временных рядов различают составляющие:

а) закономерную и случайную;

б) закономерную и постоянную;

в) постоянную и периодическую.

3. Интервенция - это

а) процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося внутри данного ряда; б) кратковременное воздействие на временной ряд;

в) процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося за пределами данного ряда динамики.

4. Сезонные компоненты временных рядов моделируются с помощью:

а) гармонического анализа; б) адаптивных методов; в) линейного тренда.

5. Адаптивные методы прогнозирования используются

а) при среднесрочном прогнозировании;

б) краткосрочном прогнозировании;

в) долгосрочном прогнозировании.

6. Случайная компонента возникает в результате влияния:

а) сезонных колебаний; б) времени; в) неучтенных факторов.

7. В закономерную составляющую не включают:

а) тренд;

б) циклическую компоненту;

в) сезонную компоненту;

г) случайную компоненту.

8. Прогнозирование на период до 1 месяца называется:

а) краткосрочным; б) среднесрочным; в) оперативным.

9. Фиктивные переменные используются при прогнозировании:

а) циклической компоненты; б) сезонной компоненты; в) случайной компоненты.

Рекомендуемая литература

Дуброва, Т. А. Статистические методы прогнозирования [Текст]: учебн. пос. для вузов / Т. А. Дуброва - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с.

Елисеева, И. И. Общая теория статистики [Текст]: учебник для студ. и препод. экон. вузов / И. И. Елисеева [и др.]; отв. ред. И. И. Елисеева; М-во обр. РФ. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 512 с.

Ефимова, М. Р. Практикум по общей теории статистики [Текст]: учеб. пос. для студ., обучающихся по спец. «Менеджмент организаций», «Государственное и муниципальное управление», «Маркетинг», «Управление персоналом» / М. Р. Ефимова, И. О. Ганченко, Е. В. Петрова; под общ. ред. М. Р. Ефимовой - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 368 с.

Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности [Текст]: учебник для студ. высш. учеб. завед., обучающихся по направлению «Экономика», общеэкон. Специальностям / О. Э. Башина [и др.]; под общ. ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина; М-во обр. РФ. - 5-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 440 с.

Плохотников, К. Э. Статистика [Текст]: учебн. пос. для вузов / К. Э. Плохотников, С. В. Колков. - М.: Флинта: МПСИ, 2006. - 288 с.

Практикум по теории статистики [Текст]: учебн. пос. для студ. экон. специальностей высш учеб. заведений / Р. А. Шмойлова [и др.]; отв. ред. Р. А. Шмойлова; М-во обр. РФ - М.: Финансы и статистика, 2002. - 416 с.: ил.

Салин, В. Н. Статистика [Текст]: практикум (для бакалавров экономики): учеб. пособие / В. Н. Салин, Е. Н. Шпаковская - М.: КНОРУС, 2009. - 496 с.

Статистика [Текст]: учебник для студ. и препод. экон. вузов, науч. и практич. работников / И. И. Елисеева [и др.]; отв. ред. И. И. Елисеева; С.-Петерб. ун-т экон. и финансов. - М.: КНОРУС, 2006. - 560 с.

Статистика [Текст]: учебник для студ. и препод. экон. вузов, науч. и практич. работников / В. С. Мхитарян [и др.]; отв. ред. В. С. Мхитарян; М-во обр. РФ. - М.: Экономистъ, 2006. - 671 с.

Статистика [Текст]: учебн.-метод. пос. / под ред. М. Г. Назарова. - М.: КНОРУС, 2006. - 480 с.

Теория статистики [Текст]: учеб. пос. для студ. экон. спец. выс. учеб. заведений / Р. А. Шмойлова [и др.]; отв. ред. Р. А. Шмойлова; М-во обр. РФ. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 656 с.

Приложение 1

Значения -процентных пределов в зависимости от степеней свободы и заданного уровня значимости для распределения Стьюдента

	10,0	5,0	2,0	1,0	0, 5	0,2	0,1
1	6,313	12,706	31,82	63,656	127,656	318,306	636,619
2	2,92	4,302	6,964	9,924	14,089	22,327	31,599
3	2,3534	3,182	4,54	5,84	7,458	10,214	12,924
4	2.13180	2,776	3,746	4,604	5,597	7,173	8,61
5	2,015	2,57	3,649	4,0321	4,773	5,893	6,863
6	1,943	2,446	3,142	3,707	4,316	5,207	5,958
7	1,8946	2,3646	2,998	3,4995	4,2293	4,785	5,4079
8	1,8596	2,306	2,8965	3,3554	3,832	4,5008	5,0413
9	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498	3,6897	4,2968	4,78
10	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693	3,5814	4,1437	4,5869
12	1,7823	2,1788	2,681	3,0845	3,4284	3,929	4,178
14	1,7613	2,1448	2,6245	2,976	3,3257	3,787	4,14
16	1,745	2,119	2,583	2,92	3,252	3,686	4,015
18	1,7341	2,1009	2,5514	2,8784	3,1966	3,6105	3,9216
19	1,7291	2,093	2,5395	2,8609	3,1737	3,5794	3,8834
20	1,7247	2,086	2,528	2,8453	3,1534	3,5518	3,8495
22	1,7117	2,0739	2,5083	2,8188	3,1188	3,505	3,7921
24	1,7109	2,0639	2,4922	2,7969	3,0905	3,4668	3,7454
26	1,705	2,059	2,478	2,778	3,066	3,436	3,706
28	1,7011	2,0484	2,4671	2,7633	3,0469	3,4082	3,6739
30	1,6973	2,0423	2,4573	2,75	3,0298	3,3852	3,646
	1,645	1,96	2,326	2,576	2,807	3,09	3,291

Приложение 2

Критические значения F-критерия Фишера

k1 k2	Уровень значимости = 0,01
	1	2	3	4	5	6	7	8	12	24
5	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,46	10,29	9,89	9,47	9,02
6	13,75	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,72	7,31	6,88
7	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	6,99	6,84	6,47	6,07	5,65
8	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,18	6,03	5,67	5,28	4,86
9	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,61	5,47	5,11	4,73	4,31
10	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,20	5,06	4,71	4,33	3,91
11	9,65	7,21	6,22	5,67	5,32	5,07	4,89	4,74	4,40	4,02	3,60
12	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,64	4,50	4,16	3,78	3,36
13	9,07	6,70	5,74	5,21	4,86	4,62	4,44	4,30	3,96	3,59	3,17
14	8,86	6,51	5,56	5,04	4,69	4,46	4,28	4,14	3,80	3,43	3,01
15	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,67	3,29	2,87
16	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,55	3,18	2,75
17	8, 40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,46	3,08	2,65
18	8,29	6,01	5,09	4,58	4,25	4,01	3,84	3,71	3,37	3,00	2,57
19	8,18	5,93	5,01	4,50	4,17	3,94	3,77	3, 63	3,30	2,92	2,49
20	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,70	3,56	3,23	2,86	2,42
30	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	2,84	2,47	2,01
40	7.,31	5,18	4,31	3,83	3,51	3,29	3,12	2,99	2,66	2,29	1,81
60	7,08	4,98	4,13	3,65	3,34	3,12	2,95	2,82	2,50	2,12	1,60
80	6,96	4,88	4,04	3,56	3,26	3,04	2,87	2,74	2,42	2,03	1,50
100	6,90	4,82	3,98	3,51	3,21	2,99	2,82	2,69	2,37	1,98	1,43
120	6,85	4,79	3,95	3,48	3,17	2,96	2,79	2,66	2,34	1,95	1,38
	6,64	4,61	3,78	3,32	3,02	2,80	2,64	2,51	2,19	1,79	1,00
	Уровень значимости = 0,05
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,68	4,53	4,37
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,79	2,61	2,41
12	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,69	2,51	2,30
13	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,28	2,08	1,84
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,09	1,89	1,62
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,00	1,79	1,51
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	1,92	1,70	1,39
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,13	2,06	1,88	1,65	1,33
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,31	2,19	2,10	2,03	1,85	1,63	1,28
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,18	2,09	2,02	1,83	1,61	1,26
	3,84	3,00	2,61	2,37	2,22	2,10	2,01	1,94	1,75	1,52	1,00

Размещено на Allbest.ru