а) полигон, гистограмма, кумулята и огива;

б) полигон, гистограмма, линейная диаграмма и кумулята;

в) гистограмма, линейная диаграмма, кумулята и огива;

г) полигон, линейная диаграмма, кумулята и огива.

19. При графическом изображении дискретных рядов распределения используют:

а) полигон; б) гистограмму; в) знаки Варзара.

20. Показатель плотности распределения применяется для

а) характеристики численности отдельных интервалов ряда распределения;

б) сравнительного анализа заполненности интервалов ряда распределения;

в) характеристики структуры явления.

Задачи для решения

1. Используя метод группировок, провести анализ 30 предприятий одного из регионов России, выделив 3 группы предприятий с равными интервалами.

Таблица 2.10

№ п/п	Стоимость ОПФ, млн руб.	Выпуск продукции, млн руб.	№ п/п	Стоимость ОПФ, млн руб.	Выпуск продукции, млн руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	10,2 21,0 11,0 19,5 12,1 18,4 13,8 17,8 14,2 17,3 14,4 16,6 15,5 16,4 16,0	8,1 20,6 10,0 25,7 12,7 18,7 15,0 18,5 14,9 18,1 16,8 15,8 15,2 17,0 15,5	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	10,6 19,8 11,3 19,1 13,5 18,4 13,9 17,6 14,4 16,9 15,3 16,5 16,0 16,3 16,0	9,9 20,0 10,6 18,9 15,0 17,8 13,0 20,0 14,1 15,6 14,9 21,2 14,5 22,3 15,5

2. Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами вступительных экзаменов на I курс вуза в 1998 году (баллов): 16, 20, 12, 14, 17, 13, 19, 16, 15, 18, 17, 13, 12, 16, 16, 19, 15, 17, 14, 17, 20, 16, 15, 14, 17.

Постройте:

а) ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи ими вступительных экзаменов, выделив 4 группы абитуриентов с равными интервалами;

б) ряд распределения, делящий абитуриентов на поступивших и не поступивших в вуз, учитывая, что проходной балл составил 15 баллов.

Укажите, по какому группировочному признаку построен каждый из этих рядов распределения: атрибутивному или количественному. Изобразите ряд графически.

3. Имеются следующие данные:

Таблица 2.11 Распределение промышленных предприятий двух регионов по численности занятого промышленно-производственного персонала (ППП)

Регион 1	Регион 2
Группы предприятий по численности работающих, чел.	Число предприятий, %	Группы предприятий по численности работающих, чел.	Число предприятий, %
До 100 100-500 500-1000 1000-2000 2000-5000 5000 и более	32 38 17 9 3 1	До 300 300-600 600-1000 1000-2000 2000-4000 4000 и более	34 28 20 13 4 1
Итого	100		100

Постройте вторичную группировку данных о распределении промышленных предприятий, пересчитав данные региона 1 в соответствии с группировкой региона 2.

Тема 3. Статистические таблицы и графики

1. Понятие статистической таблицы. Элементы статистической таблицы

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения, как правило, излагаются в виде статистических таблиц. Однако не всякая таблица является статистической (например, таблица умножения).

Статистическую таблицу от других табличных форм отличает следующее:

· она должна содержать результаты подсчета эмпирических данных;

· она является итогом сводки первоначальной информации.

Статистической называется таблица, которая содержит сводную числовую характеристику изучаемой совокупности по одному или нескольким существенным признакам, взаимосвязанным логикой экономического анализа.

Макет статистической таблицы

Таблица 3.1 Название таблицы (общий заголовок)

Содержание строк	Наименование граф (верхние заголовки)
А	1	2	3	4	5	…
Наименование строк (боковые заголовки)
						строка
			графа	клетка
Итоговая строка						Итоговая графа

По логическому содержанию таблица представляет собой «статистическое предложение», основными элементами которого являются подлежащее и сказуемое.

Подлежащим статистической таблицы называется объект, характеризующийся цифрами. Это могут быть отдельные единицы совокупности (фирмы, предприятия) в порядке их перечня или сгруппированные по каким-либо признакам. Обычно подлежащее таблицы дается в левой части, в наименовании строк.

Сказуемое статистической таблицы образует система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т. е. подлежащее таблицы. Сказуемое формирует верхние заголовки и составляет содержание граф с логически последовательным расположением показателей слева направо.

Расположение подлежащего и сказуемого может меняться.

2. Виды статистических таблиц

1. В зависимости от структуры подлежащего и группировки в нем единиц объекта различают:

а) простые статистические таблицы:

- монографические;

- перечневые.

б) Сложные статистические таблицы:

- групповые;

- комбинационные.

В простой таблице в подлежащем дается простой перечень каких-либо объектов или территориальных единиц, т. е. в подлежащем нет группировки единиц совокупности.

Монографическая таблица характеризует не всю совокупность единиц изучаемого объекта, а только одну какую-либо группу из него, выделенную по определенному признаку.

Таблица 3.2 Характеристика итогов торгов облигаций федерального займа на ММВБ 23.03.2008 г. (данные условные)

	Количество сделок, шт.	Объем сделок, тыс. руб.	Цена сделок, % к номиналу	Доходность к погашению, %
Облигации федерального займа	94	8662	47,50	29,70

ММВБ - Московская межбанковская валютная биржа.

Перечневыми называются таблицы, подлежащее которых содержит перечень единиц изучаемого объекта.

Таблица 3.3 Характеристика итогов торгов облигаций федерального займа на ММВБ 23.03.2008 г. (данные условные)

Номер выпуска ОФЗ	Количество сделок, шт.	Объем сделок, тыс. руб.	Цена сделок, % к номиналу	Доходность к погашению, %
26001 26002 26003	5 1 88	120 48 8494	50,00 47,49 45,02	30,15 29,80 29,13
Всего	94	8662	47,50	29,70

Групповыми называются статистические таблицы, подлежащее которых содержит группировку единиц совокупности по одному количественному или атрибутивному признаку. Простейшим видом групповых таблиц являются атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Комбинационными называются статистические таблицы, подлежащее которых содержит группировку единиц совокупности одновременно по двум или более признакам: каждая группа, построенная по одному признаку, разбивается на подгруппы по какому-либо другому признаку.

2. По разработке сказуемого различают:

а) статистические таблицы с простой разработкой сказуемого;

б) статистические таблицы со сложной разработкой сказуемого.

При простой разработке сказуемого показатель, определяющий его, не подразделяется на подгруппы, и итоговые значения получаются путем простого суммирования значений по каждому признаку отдельно, независимо друг от друга.

Таблица 3.4 Численность исследователей по областям науки (на конец года, человек)

Год	Всего	В т. ч. по областям науки
		естественные	технические	медицинские	сельскохозяйственные

Сложная разработка сказуемого предполагает деление признака, формирующего его на подгруппы.

Таблица 3.5 Распределение населения по полу и возрасту на начало 2009 г. (человек)

	Городское население	Сельское население
	Мужчины и женщины	мужчины	женщины	Мужчины и женщины	мужчины	женщины
Всего В т. ч. в возрасте, лет: …	…	…	…	…	…	…

3. Основные правила построения статистических таблиц

1. Таблица должна быть компактной. Заголовок таблицы и названия граф и строк должны быть четкими, краткими, лаконичными. Сокращения не допускаются.

2. Информация, располагаемая в столбцах (графах) таблицы, завершается итоговой строкой.

3. Графы и строки полезно нумеровать. Графы, слева заполненные названием строк, принято обозначать заглавными буквами алфавита (А), (В) и т. д., а все последующие графы - номерами в порядке возрастания.

4. Графы и строки должны содержать единицы измерения.

5. Для удобства работы числа в таблицах следует представлять одно под другим: единицы - под единицами, запятая - под запятой.

6. Числа целесообразно округлять. Округление чисел в пределах одной и той же графы или строки следует проводить с одинаковой точностью.

7. Отсутствие данных об анализируемом социально-экономическом явлении может быть обусловлено различными причинами, что по-разному отмечается в таблице:

а) если данная позиция (на пересечении соответствующих графы и строки) вообще не подлежит заполнению, то ставится знак «Х»;

б) когда по какой-либо причине отсутствуют сведения, то ставится многоточие «…» или «нет свед.», или «н. св.»;

в) при отсутствии явления клетка заполняется тире («-») или остается пустой;

г) для отображения очень малых чисел используют обозначения (0,0) или (0,00), предполагающие возможность наличия числа.

4. Понятие о статистическом графике. Элементы статистического графика

Статистический график - это чертеж, на котором статистические совокупности, характеризуемые определенными показателями, описываются с помощью условных геометрических образов или знаков.

Каждый график должен включать ряд основных элементов:

1) графический образ (основа графика) - это геометрические знаки, т. е. совокупность точек, линий, фигур, с помощью которых изображаются статистические показатели;

2) поле графика - это часть плоскости, где расположены графические образы;

3) пространственные ориентиры графика задаются в виде системы координатных сеток. Наиболее распространенной является прямоугольная система координат. В практике графического изображения применяются также полярные координаты:

О ось ординат

r А

Точка А задается двумя координатами - углом поворота от оси ординат и расстоянием r от начала координат О: А(; r);

4) масштабные ориентиры статистического графика определяются масштабом и системой масштабных шкал.

Масштаб статистического графика - это мера перевода числовой величины в графическую.

Масштабной шкалой называется линия, отдельные точки которой могут быть прочитаны как определенные числа.

Различают шкалы прямолинейные (например, миллиметровая линейка) и криволинейные - дуговые и круговые (циферблат часов); равномерные (равным графическим отрезкам соответствуют равные числовые величины) и неравномерные (например, логарифмическая шкала);

5) экспликация графика - словесное описание графика. Оно включает в себя название графика; подписи вдоль масштабных шкал и пояснения к отдельным частям графика.

5. Классификация видов графиков

Статистические графики по форме графического образа:

1) линейные (статистические кривые);

2) плоскостные (столбиковые, полосовые, квадратные, круговые, секторные, фигурные, точечные, фоновые);

3) объемные (поверхностные распределения).

Статистические графики по способу построения и задачам изображения:

1. Диаграммы:

- структурные диаграммы;

- диаграммы сравнения: столбиковые, полосовые, ленточные;

- диаграммы распределения величин (гистограмма, полигон, кумулята);

- диаграммы динамики.

2. Статистические карты:

- картограммы;

- картодиаграммы.

Примеры: 1. При помощи столбиковой диаграммы сравнения изобразите данные о числе заключенных браков населением России.

Таблица 3.6 Число заключенных браков населением России

Год	2003	2004	2005	2006	2007
Число заключенных браков, тыс. чел.	1091,8	979,4	1066,4	1113,6	1262,5

Рис. 1. Динамика числа заключенных браков населением России

2. Изобразите в виде квадратной диаграммы сравнения доли экспорта России в страны ближнего зарубежья.

Таблица 3.7 Удельный вес экспорта в торговле РФ со странами СНГ в 2007 г.

Страны СНГ	Удельный вес в общем объеме экспорта России, %
Украина Белоруссия Казахстан	4,9 4,6 3,4

Площадь квадрата будет показывать удельный вес экспорта в данную страну. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то для определения стороны квадрата нужно извлечь квадратный корень из каждой величины:

Для Украины ;

Белоруссии ;

Казахстана .

Примем масштаб: 1 мм равен 0,1 единицы. Тогда сторона первого квадрата 2,2:0,1 = 22 мм, второго - 2,1:0,1 = 21 мм, третьего - 1,8:0,1 = 18 мм.

Рис. 2. Удельный вес экспорта в торговле РФ со странами СНГ в 2007 г.

3. По данным табл. 3.8 постройте полосовую и секторную структурные диаграммы.

Таблица 3.8 Производство часов по видам в одном из регионов России в 2000 и 2008 гг.

	2000 г.	2008 г.
	млн. шт.	%	млн. шт.	%
Часы - всего В том числе: наручные настенные будильники	52,5 24,4 9,3 18,8	100,0 46,5 17,7 35,8	60,1 31,6 10,5 18,0	100,0 52,6 17,5 29,9

Рис. 3. Динамика удельного веса производства часов по видам в 2000 и 2008 гг.

Построение секторной диаграммы начинается с определения центральных углов секторов. Сумма всех углов круга 360 соответствует 100%, тогда 1%=3,6.

1990г.: 46,53,6=167,4; 17,73,6=63,7; 35,83,6=128,9.

1998г.: 52,63,6=189,4; 17,53,6=63; 29,93,6=107,6.

Рис. 4. Динамика удельного веса производства часов по видам за 1990, 1998 гг.

4. Имеются данные о продаже творога на колхозных рынках одного из городов региона в 2007 г. Построить радиальную диаграмму динамики.

Таблица 3.9 Динамика продажи творога на колхозных рынках в 2007 г.

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Количество творога, т	36	42	44	54	43	70	41	43	39	37	37	34

Рис. 5. Продажа творога на колхозных рынках в одном из городов в 2007 г.

Тест к теме 3

1. Статистическая таблица представляет собой:

а) форму наиболее рационального изображения результатов статистического наблюдения;

б) сведения о чем-нибудь, расположенные по строкам и графам;

в) оба ответа верные.

2. Статистической таблицей является:

а) таблица логарифмов;

б) таблица умножения;

в) таблица, содержащая обобщенные итоги экзаменационной сессии по факультету;

г) все ответы верные.

3. Подлежащее статистической таблицы - это:

а) статистические совокупности, которые характеризуются различными показателями;

б) показатели, характеризующие совокупность;

в) сведения, расположенные в боковых заголовках таблицы;

г) числовые характеристики, размещенные в графах таблицы.

4. Сказуемое статистической таблицы - это:

а) перечень единиц наблюдения;

б) перечень групп, на которые разделены единицы наблюдения;

в) числа, характеризующие единицы наблюдения;

г) заголовок таблицы, содержащий характеристику единиц наблюдения.

5. По характеру разработки сказуемого различают статистические таблицы:

а) монографические; в) сложные;

б) перечневые; г) нет верного ответа.

6. Основными элементами статистического графика являются:

а) поле графика; в) масштабные ориентиры;

б) геометрические знаки; г) экспликация графика;

д) рисунок.

7. Какие виды диаграмм используются в форме геометрического образа:

а) линейные; в) плоскостные;

б) объемные; г) статистические карты;

д) диаграммы.

8. При изображении структуры и структурных сдвигов в совокупности явлений на графике применяются диаграммы:

а) секторные; в) фигур-знаков;

б) квадратные; г) полосовые.

9. Назовите виды графиков, используемых для изображения изменения явлений или процессов во времени:

а) картограммы; в) фигур-знаков;

б) линейные диаграммы; г) секторные диаграммы.

10. Какие виды картограмм используются для изображения социально-экономических явлений?

а) фоновые; б) точечные; в) знаков-символов.

11. Известна динамика числа родившихся в целом по стране. Выберите подходящее графическое изображение этого процесса:

а) статистическая кривая; в) картодиаграмма;

б) картограмма; г) секторная диаграмма.

Тема 4. Статистические показатели. Абсолютные и относительные показатели

1. Понятие, формы выражения и виды статистических показателей

Статистическое исследование независимо от масштабов и целей всегда завершается расчетом и анализом различных по виду и форме выражения статистических показателей.

Статистический показатель представляет собой количественную характеристику социально-экономических явлений и процессов в условиях качественной определенности.

Как правило, изучаемые статистикой процессы и явления достаточно сложны, и их сущность не может быть отражена посредством одного отдельно взятого показателя. В таких случаях используется система статистических показателей.

Система статистических показателей - это совокупность взаимосвязанных показателей, имеющая одноуровневую или многоуровневую структуру и нацеленная на решение конкретной статистической задачи.

Например, сущность промышленного предприятия заключается в производстве какой-либо продукции на базе эффективного взаимодействия средств производства и трудовых ресурсов. Значит, для полной экономической характеристики функционирования предприятия необходимо использовать систему, включающую такие показатели, как прибыль, рентабельность, численность промышленно-производственного персонала, производительность труда, фондовооруженность и др.

Виды статистических показателей:

1. По охвату единиц совокупности:

- индивидуальные;

- общие.

2. По форме выражения:

- абсолютные;

- относительные;

- средние.

3. По временному фактору:

- моментные;

- интервальные.

4. По принадлежности одному или нескольким объектам:

- однообъектные;

- межобъектные.

5. С точки зрения представленной определенности в пространстве:

- общетерриториальные;

- региональные;

- местные (локальные).

Чтобы статистические показатели правильно отражали изучаемые явления, необходимо выполнять следующие требования:

1) опираться при их построении на положения экономической теории, а также на статистическую методологию и опыт статистических работ; стремиться к тому, чтобы показатели выражали сущность изучаемых явлений и давали им точную количественную оценку;

2) добиваться полноты информации как по охвату единиц изучаемого объекта, так и по комплексному отображению всех сторон изучаемого объекта;

3) обеспечивать сравнимость статистических показателей посредством единообразия данных в пространственном и временном отношениях, а также применяя одинаковые единицы измерения;

4) повышать степень точности исходной информации, на основе которой исчисляются показатели.

2. Абсолютные и относительные показатели

Исходной формой выражения статистических показателей являются абсолютные величины.

Статистические показатели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные размеры изучаемых статистикой процессов и явлений: их массу, протяженность; отражают их временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т. е. число составляющих ее единиц.

Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами (то есть имеют единицы измерения). В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств, они выражаются:

- в натуральных единицах измерения (т, кг, м, м², км);

- стоимостных единицах измерения (руб., долл. США, евро и т. п.);

- трудовых единицах измерения (человеко-дни);

- комбинированных единицах измерения (т-км);

- условно натуральных единицах измерения (используются, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей свойства: мыло разных сортов переводят в условное мыло с 40%-м содержанием жирных кислот).

Относительный показатель (ОП) представляет собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений.

абсолютный показатель текущий показатель (сравниваемый)

ОП = ------------------------ = -----------------------------------.

абсолютный показатель базисный (база сравнения, основание)

Если в числителе и знаменателе абсолютные показатели имеют одинаковые единицы измерения, то относительный показатель выражается:

1) в виде коэффициента или в разах (если база сравнения принимается за 1);

2) в процентах, % (если база сравнения принимается за 100);

3) промилле, %₀ (если база сравнения принимается за 1000);

4) продецимилле, %₀₀ (если база сравнения принимается за 10000).

Например, то есть выпуск продукции торговой фирмы в 2008 г. по сравнению с 2007 г. увеличился в 1,5 раза, или на 50% (150% - 100% = 50%).

Если в числителе и знаменателе абсолютные показатели имеют разные единицы измерения, то относительный показатель должен быть именованным. Примеры именованных относительных показателей: скорость (км/ч), плотность населения определенного населенного пункта (чел./м²) и др.

Виды относительных показателей:

- динамики;

- плана;

- реализации плана;

- структуры;

- координации;

- интенсивности и уровня экономического развития;

- сравнения.

1) Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой соотношение уровня исследуемого явления или процесса за данный период времени к уровню этого же явления или процесса в прошлом.

Если данный показатель выражен кратным отношением, то он называется коэффициентом роста (К_р), если в процентах, то темпом роста (Т_р).

Пусть Z₁ =36 руб. - себестоимость одной банки отчетного периода,

Z₀ = 40 руб. - себестоимость одной банки в прошлом периоде,

В отчетном периоде себестоимость ниже на 10%.

При наличии данных за несколько периодов времени сравнение может производиться с уровнем предшествующего периода (ОПД - цепные), либо с каким-то одним периодом, принятым за базу сравнения (ОПД - базисные).

Пример:

Таблица 4.1 Динамика среднемесячной заработной платы

Условные обозначения	y 75	y 80	y 85	y 90
Годы	1975	1980	1985	1990
Среднемесячная зарплата, руб.	92	118	153	200

Решение:

Базисные ОПД (база сравнения - уровень 1975 г.):

Цепные ОПД:

Взаимосвязь цепных и базисных относительных показателей динамики:

- произведение всех последовательных цепных показателей динамики дает базисный показатель за рассматриваемый период, т. е. последний базисный:

или 1,283 * 1,297 * 1,307 = 2,174;

- частное от деления данного базисного показателя динамики на предыдущий базисный равно цепному:

или 1,283 : 1 = 1,283;

или 1,663 : 1,283 = 1,297;

или 2,174 : 1,663 = 1,307.

2) Относительный показатель плана (ОПП) - это отношение величины показателя, устанавливаемого на планируемый период, к его фактической величине, достигнутой за предшествующий период.

y_план =115 мІ - торговая площадь в планируемом году,

y₀ = 100 мІ - торговая площадь в прошлом году, тогда

т. е. в будущем году планируется увеличить площадь на 15%.

3) Относительный показатель реализации плана (ОПРП)- это результат сравнения фактически достигнутого признака с его плановым уровнем.

y₁ =120 мІ - торговая площадь в отчетном году,

y_план =115 мІ - плановая торговая площадь,

Таким образом, плановое задание выполнено на 104,3%.

Относительные показатели динамики, плана и реализации плана имеют следующую взаимосвязь:

или

Таким образом, зная две величины всегда можно найти 3-ю. Эта взаимосвязь часто используется при решении задач.

Пример: Выполнение плана производства продукции цеха составило 103%. По сравнению с прошлым годом прирост составил 5%. Определить, какой рост продукции по сравнению с прошлым годом был предусмотрен.

Решение:

ОПД = = 1,05 (100% + 5%);

ОПРП = = 1,03 (103%);

ОПП =ОПД : ОПРП = : = 1,05 : 1,03 = 1,019 =101,9%.

Таким образом, планом предусматривалось увеличение производства на 1,9%.

4) Относительный показатель структуры (ОПС) - это соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого, т. е. какую долю или удельный вес во всей совокупности составляют отдельные ее части.

Например: удельный вес различных категорий населения в общей численности населения.

5) Относительный показатель координации (ОПК) - это соотношение отдельных частей целого между собой. При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения.

Например: в фирме работают 53 человека с высшим образованием, со средним специальным - 106 человек. Определить ОПК.

Решение:

, или на двух специалистов со средним образованием приходится один с высшим.

6) Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует уровень развития или распространенность того или иного явления в присущей ему среде.

Обычно рассчитываются на 100, 1000 единиц изучаемой среды.

Например: показатель плотности населения - показывает число людей, приходящихся на 1 км² территории.

Разновидностью ОПИ является относительный показатель уровня экономического развития (ОПУЭР), характеризующий размер производства продукции на душу населения.

7) Относительный показатель сравнения представляет собой отношение одноименных величин, относящихся к разным объектам или разным территориям, но взятым за одно и то же время. Например: сравнение численностей населения г. Санкт-Петербурга и г. Москвы, взятых за один и тот же период.

Тест к теме 4

1. Статистический показатель - это:

а) количественная сторона качественно определенных массовых социально-экономических явлений и процессов, в конкретных условиях места и времени;

б) количественно-качественная обобщающая характеристика совокупности;

в) результат измерения величины признака;

г) все ответы верны.

2. Совокупность взаимосвязанных показателей, имеющих одноуровневую или многоуровневую структуру, - это

а) статистический показатель;

б) система статистических показателей;

в) суммарная абсолютная величина.

3. Показатели, выражающие размеры, объем, уровни социально-экономических явлений и процессов, являются величинами:

а) абсолютными; в) относительными;

б) средними; г) любыми.

4. Абсолютные величины могут выражаться в единицах измерения:

а) натуральных и условно-натуральных;

б) коэффициентах;

в) процентах;

г) промилле;

д) трудовых и денежных.

5. Какие абсолютные величины получают в процессе непосредственного статистического наблюдения:

а) суммарные;

б) индивидуальные;

в) непосредственные;

г) базисные;

д) текущие.

6. Показатель, характеризующий соотношение между отдельными частями совокупности, называется:

а) относительным показателем структуры;

б) относительным показателем координации;

в) относительным показателем интенсивности;

г) относительным показателем сравнения.

7. Цепным называется показатель, характеризующий:

а) сравнение отчетного уровня явления с уровнем, принятым за базу сравнения;

б) сравнение отчетного уровня явления с уровнем, предшествующим данному;

в) сравнение уровней явления между собой.

8. Между относительными показателями динамики существует следующая взаимосвязь:

а) произведение базисных равно цепному;

б) произведение цепных равно базисному;

в) частное от деления цепного показателя на базисный равно цепному.

9. В результате сравнения уровня изучаемого явления с размерами среды его распространения получают:

а) относительный показатель структуры;

б) относительный показатель координации;

в) относительный показатель интенсивности;

г) относительный показатель сравнения.

10. Перевыполнение плана производства чугуна составило 6%. По сравнению с прошлым годом было запланировано увеличение производства на 4%. Определить, на сколько процентов изменилось производство чугуна (округлить ответ до целых):

а) 11%; б) 10%; в) 110%; г) 8%?

11. Определить относительную величину выполнения плана, если предприятие планировало выпустить 30 тыс. т материала, а фактически было произведено 20 тыс. т (ответ округлить до целых):

а) 150%; б) 67%; в) 50%; г) 10 тыс. т.

12. В проекте бюджета был предусмотрен рост среднемировых цен на нефть в 2003 г. на 7,5% по сравнению с 2002 г. Фактическое изменение цен оказалось ниже проектного на 3,0%. Фактический прирост среднемировых цен на нефть в 2003 г. по сравнению с 2002 г. составил:

а) 4,5%; б) 4,825%; в) 4,275%; г) 7,2%.

13. Если в 2002 г. дополнительные затраты государственных средств на содержание избыточного производственного потенциала возросли в 2,8 раза по сравнению с 1998 г., а в 2001 г. - на 40% по сравнению с тем же годом, то за период 2001-2002 гг. дополнительные затраты:

а) увеличились в 2 раза; в) уменьшились в 2 раза;

б) увеличились в 1,1 раза; г) уменьшились в 1,1 раза.

Задачи для решения

1. В 2004 г. объем грузооборота по Кировской области составил 34993 млн ткм. Планом 2005 г. было предусмотрено довести объем грузооборота до 40350 млн ткм.; фактический объем грузооборота в 2005 г. составил 39370 млн ткм.

Определить:

1) относительный показатель плана по росту грузооборота;

2) относительный показатель динамики грузооборота;

3) относительный показатель реализации плана по грузообороту.

(По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году». Ч. 2. С. 109.)

2. Объем продаж торговой фирмы в январе составил 100 тыс. долл. В феврале фирма увеличила объем продаж на 3%. Определить объем продаж за 2 месяца.

3. Планом предусмотрено снижение себестоимости продукции по сравнению с прошлым годом на 2,0%. Фактически против прошлого года себестоимость увеличилась на 3,1%. Определить процент реализации плана по уровню себестоимости.

4. Выпуск продукции в отчетном году планировали увеличить против прошлого года на 2,5%. План выпуска продукции перевыполнен на 5%. Определить фактический выпуск продукции в отчетном году, если известно, что объем продукции в прошлом году составил 12000 тыс. руб.

5. В 2002 г. дополнительные затраты государственных средств на содержание избыточного производственного потенциала возросли в 2,8 раза по сравнению с 1998 г., а в 2001 г. - на 40% по сравнению с тем же годом. Определить изменение дополнительных затрат за период 2001-2002 гг.

6. Производство автомобилей в РФ в январе - мае 1996 г. характеризуется следующими данными:

	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май
Всего В том числе: грузовые легковые	65,0 11,0 54,0	83,2 11,5 71,7	79,3 12,0 67,3	89,9 11,0 78,9	76,6 9,3 67,3

Рассчитайте относительные показатели структуры и координации. Сделайте выводы по результатам расчетов.

7. Расход топлива на производственные нужды предприятия характеризуется в отчетном периоде следующими данными:

Вид топлива	Единица измерения	Расход
		по плану	фактически
Мазут топочный Уголь Газ природный	т т тыс. м3	500 320 650	520 300 690

Средние калорийные эквиваленты (коэффициенты) перевода в условное топливо составили: мазут - 1,37 т; уголь - 0,9 т ; газ - 1,2 тыс. м³.

Определить:

1) общее потребление условного топлива по плану и фактически;

2) процент выполнения плана по общему расходу топлива;

3) удельные веса фактически израсходованного топлива по видам (расчет с точностью до 0,1%).

8. По региону имеются следующие данные о вводе в эксплуатацию жилой площади:

Вид жилых домов	Введено в эксплуатацию, тыс. м2
	Прошлый год	Отчетный год
Кирпичные многоквартирные Панельные многоквартирные Коттеджи	4400 2800 800	4200 2100 2100

Определить:

1) динамику ввода в эксплуатацию жилой площади по каждому виду жилых домов и в целом по региону;

2) структуру введенной в эксплуатацию жилой площади в прошлом и отчетном годах (расчет с точностью до 0,1%);

3) структуру введенной в эксплуатацию площади представить на графике.

Сформулировать выводы.

9. По промышленному предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции:

Наименование продукции	План на I квартал, тыс. т	Фактический выпуск, тыс. т	Отпускная цена за 1 т, руб.
		январь	февраль	март
Сталь арматура Прокат листовой	335 255	110 75	115 90	108 100	1700 2080

Определить процент выполнения квартального плана по выпуску каждого вида продукции и в целом по выпуску всей продукции.

10. По двум промышленным предприятиям за отчетный год имеются следующие данные:

№ предприятия	Выпуск продукции, млн руб.	Среднесписочная численность рабочих, чел.
1 2	360 693	1200 1980

Определить различие (в %) в уровне годовой производительности труда работников двух предприятий.

11. По металлургическому комбинату имеются следующие данные о выпуске продукции:

Наименование продукции	Стоимость продукции в фиксированных ценах, млн руб.	Процент выполнения плана по выпуску продукции
	по плану	фактически
Сталь арматура Прокат листовой Гнутые профили стальные	440 500	452 208	97,0 104,0

Требуется:

1) проставить в таблице недостающие данные;

2) определить процент реализации плана выпуска продукции в целом по комбинату.

12. Потребление электроэнергии в регионе характеризуется следующими данными: 2004 г. - 7170,2 млн кВтч, 2005 г. - 7068,7 млн кВтч. Численность населения региона составила (тыс. чел.): на 1 января 2004 г. - 1479,4; 1 января 2005 г. - 1461,3; 1 января 2006 г. -1442,9.

Определить, на сколько процентов изменилось потребление электроэнергии на душу населения.

(По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году». Ч. 1. С. 28; Ч. 2, С. 63.)

13. По данным табл. 4.2 рассчитать относительные показатели динамики, структуры, координации в целом по области и формам обучения.

Сделать выводы об изменениях в структуре численности студентов, обучающихся в вузах области, и динамике этих показателей.

Таблица 4.2 Данные о численности студентов государственных и муниципальных высших учебных заведений по области (человек)

	2002/03	2003/04	2004/05	2005/06
Численность студентов всего, человек В том числе обучающихся на отделениях: очных очно-заочных (вечерних) заочных	42252 18765 1350 22137	45889 19767 1370 24752	47803 20814 1478 25511	47529 21079 1073 25377

(По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году». Ч. 1. С. 135.)

Тема 5. Средние величины и показатели вариации. Показатели формы распределения

1. Сущность и значение средних показателей, виды средней величины

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. статистический вариация группировка наблюдение

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Сущность средней величины заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Задачи, которые решаются с помощью средних показателей:

1) характеристика уровня развития явления (средний балл группы);

2) сравнение нескольких уровней (сравнение средней заработной платы работников двух предприятий);

3) характеристика изменения уровня явления во времени (успеваемость по годам);

4) средние величины используются в планировании и прогнозировании.

Теория и практика выработала ряд требований, которые предъявляются к вычислению средних показателей:

1. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

2. Если совокупность неоднородна, то общая средняя должна быть заменена или дополнена групповыми средними, т. е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

3. Чтобы средняя отражала то общее, что характерно для всей совокупности, ее необходимо исчислять для всей массы изучаемых фактов.

Выделяют два класса средних величин:

1) Степенные средние:

- средняя арифметическая;

- средняя гармоническая;

- средняя геометрическая;

- средняя квадратическая и др.

2) Структурные средние:

- мода;

- медиана;

- квартили;

- перцентили;

- децили и др.

Средние степенные

В случае, когда каждый из вариантов признака встречается только один раз, средняя называется простой, если варианты признака повторяются различное число раз, то средняя называется взвешенной и ее расчет производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.

Все перечисленные средние степенные величины объединяются в общей формуле средней степенной при различных значениях показателя степени.

Таблица 5.1 Виды средних степенных

Вид средней	Простая средняя	Взвешенная средняя
1. Степенная 2. Гармоническая 3. Геометрическая 4. Арифметическая 5. Квадратическая		, где

где варианты признака;

среднее значение признака;

число вариантов признака, ;

частоты;

показатель степени.

При использовании одних и тех же исходных данных чем больше k в формуле средней степенной, тем больше значение средней величины:

.

Это свойство степенных средних возрастать с показателем степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Средняя арифметическая

Есть частное от деления суммы всех значений признака на их число. Применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Например, общий фонд заработной платы - это сумма заработных плат всех работников.

Частные случаи расчета средней арифметической

1) Средняя арифметическая по данным вариационного ряда:

а) средняя арифметическая по данным дискретного вариационного ряда распределения:

Пример 1:

Таблица 5.2 Распределение семей по числу детей

Группы семей по числу детей, чел. ()	Число семей, ед.	Число детей
0 1 2 3 4 5	1 3 8 4 2 1	0 3 16 12 8 5
Итого	19	44

Определите среднее число детей в семье.

Решение:

Решение любой задачи на определение средней начинаем с записи исходного соотношения средней (ИСС), т. е. формулы, по которой определяется среднее значение признака.

ИСС:

Совокупное число детей во всех семьях

Среднее число детей в семье = ------------------------------

Количество семей

Ответ: среднее число детей в семье 2,3 человека. Для расчета использовали формулу средней арифметической взвешенной.

б) средняя арифметическая в интервальном вариационном ряду распределения:

При расчете среднего значения признака по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам и расчет производят аналогично дискретному ряду распределения.

Пример 2:

Таблица 5.3 Распределение рабочих по размеру заработной платы в месяц

Группы рабочих по размеру заработной платы в месяц, руб. (х)	Среднее значение интервала, руб. ()	Число рабочих, чел. (Частота )	Общий фонд заработной платы, руб., ()
10000 - 15000 15000 - 20000 20000 - 25000 25000 - 30000	12500 17500 22500 27500	10 50 40 20	125 000 875 000 900 000 550 000
Итого	х	120	2450000

Определите среднюю заработную плату рабочих.

Решение:

Исходное соотношение средней:

Фонд заработной платы

Средняя заработная плата = ---------------------- =

Количество рабочих

= 20417 руб.

Ответ: средняя заработная плата работников предприятия равна 20417 руб.

2) Частным случаем средней арифметической является средняя хронологическая, которая применяется для расчета среднего значения по данным моментного ряда динамики.

Формула средней хронологической:

Пример 3:

Остатки товаров составили, тыс. руб.:на 1.01 500

на 1.02 550

на 1.03 530

на 1.04 520

Определить средний остаток товаров за I квартал.

Решение:

Можно вычислять по формуле средней арифметической простой.

Исходное соотношение средней:

cр. остаток за янв. + ср. ост. за февр.+ ср. ост. за март

cр. ост. товара за I кв. =-------------------------------------- =3

=тыс. руб.

Или сразу по формуле средней хронологической:

тыс. руб.

Ответ: средний остаток товара за I квартал равен 530 тыс. руб.

Средняя гармоническая

Применяется, когда имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и общем объеме совокупности (W), но неизвестны частоты (f ), или когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен знаменатель.

Пример 4: Имеются данные о ценах на хлеб и общей денежной выручке по группе магазинов. Определить среднюю цену реализации по всем магазинам.

Таблица 5.4 Распределение магазинов по цене на хлеб (на конец 2008 г.)

№ магазина	Цена за единицу, руб. (х)	Общая денежная выручка, тыс. руб. ()
1 2 3	27,8 25,6 26,9	55 29 60
Итого:	х	144

где - это количество реализованного хлеба.

Решение:

Исходное соотношение средней:

общая денежная выручка

средняя цена хлеба = ------------------------------

количество реализованного хлеба

Чтобы определить количество реализованного хлеба каждым магазином, нужно общую денежную выручку по данному магазину разделить на цену реализации.

руб.

Ответ: средняя цена реализации составила 27 руб. Для расчета использовали формулу средней гармонической взвешенной.

Пример 5: Имеются следующие данные за отчетный год:

Таблица 5.5

Предприятие	Произведено продукции, млн руб.	Выработка на одного рабочего, тыс. руб.	Фондоемкость, руб.1)
1 2 3 4	5300 2300 2000 4500	15,0 15,5 18,0 10,0	0,9 0,7 0,3 0,4

Определите по совокупности заводов среднее значение выработки на одного рабочего и фондоемкости, используя экономически обоснованные формулы расчета. Укажите вид средней и формулу расчета.

¹⁾ Фондоемкость - затраты основных производственных фондов (ОПФ) на 1 рубль произведенной продукции.

Решение:

1) Введем обозначения:

V - произведено продукции;

В - выработка на одного рабочего;

Фе - фондоемкость.

2) Определим среднюю выработку на одного рабочего.

Исходное соотношение средней:

;

тыс. руб.

Таким образом, средняя выработка на одного рабочего по совокупности заводов составила 13,3 тыс. руб. Для расчета использовали формулу средней гармонической взвешенной.

3) Определим среднюю фондоемкость по совокупности заводов.

Исходное соотношение средней:

руб.

Таким образом, средняя фондоемкость по группе предприятий составила 0,6 руб. Для расчета использовали формулу средней арифметической взвешенной.

Средняя геометрическая

Используется для определения среднего темпа роста. Средний темп роста () определяется по формуле:

,

где - цепные темпы роста;

- число цепных темпов роста.

Пример 6:

Таблица 5.6 Индексы потребительских цен на товары и платные услуги населению по РФ за 2006-2008 гг. (декабрь к декабрю предыдущего года)

Годы	2006	2007	2008
ИПЦ, %	-	111,9	113,3

Определить, на сколько процентов в среднем за год увеличивались цены.

Решение:

Индексы потребительских цен - это цепные темпы роста цен, т. е. отношение цен на товары и платные услуги в декабре текущего года к декабрю предыдущего. В задаче требуется рассчитать среднегодовой темп роста цен. Он определяется по формуле:

1,126 = 112,6%.

Ответ: в среднем за год за период с 2006 по 2008 гг. цены на товары и платные услуги населению по РФ увеличивались на 12,6% (112,6% - 100%).

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных, кубических единицах измерения. Тогда применяются средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб и т. д.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны n кубов).

Средняя квадратическая и средняя кубическая имеют ограниченную сферу применения на практике.

Статистика широко использует среднюю квадратическую, но не из самих вариантов х, а из их отклонений от среднего значения при расчете показателей вариации (см. формулу среднего квадратического отклонения).

Структурные средние (показатели центра распределения)

Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой (Ме) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Пример: предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 6, 2, 6. Поскольку в данной бригаде больше всего рабочих 3-го разряда, то Мо = 3.

Для определения медианы нужно провести ранжирование:

2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6.

Центральным является рабочий 4-го разряда, следовательно этот разряд и будет медианным: Ме = 4.

Определение моды и медианы в вариационном ряду

1) Определение моды и медианы в дискретном вариационном ряду

Пример 7: По данным табл. 5.7 определите модальное и медианное значения тарифного разряда.

Таблица 5.7 Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду

Тарифный разряд, x	Численность рабочих, чел., f
2 3 4 Мо = 5 6	12 48 56 60 - наибольшая частота 14
Всего:	190

Мо = 5, так как f = 60 - наибольшая частота.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят порядковый номер медианной единицы ряда:

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95-м и 96-м рабочими. Определим, какой тарифный разряд имеют рабочие с этими порядковыми номерами.

Второй тарифный разряд имеют рабочие с порядковыми номерами с 1 по 12;

третий - с 13 по 12+48=60;

четвертый - с 61 по 60+56=116.

Следовательно, рабочие с порядковыми номерами 95 и 96 имеют четвертый тарифный разряд: Ме = 4.

2) Определение моды и медианы в интервальном ряду требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

,

где - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

- длина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

,

где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого равна или превышает полусумму всех частот ряда);

- длина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Пример 8: По данным табл. 5.8 определите модальное и медианное значения стоимости основных производственных фондов (ОПФ).

Таблица 5.8 Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 1996 г.

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб. x	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	Итого
Число предприятий, ед. f	2	6	10	4	3	25
Накопленная частота, ед. S	2	8	18	22	25	х

Так как f =10 - наибольшая частота, то интервал (18-20) модальный.

млн руб.

Большинство малых предприятий региона имеют стоимость ОПФ, равную 18,8 млн руб.

S = 18 > значит (18-20) - медианный интервал.

млн руб.

Половина малых предприятий региона имеют стоимость ОПФ меньше 18,9 млн руб., а половина - больше этого значения.

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значения признака у единиц, делящих ряд на 4, 10, 100 равных частей. Эти величины называются соответственно «квартили», «децили» и «перцентили».

Децили

d₁ d₂ Me d₉

Q₁ Q₃

Р а н ж и р о в а н н а я с о в о к у п н о с т ь

Медиана

Квартили

Рис. 1. Расположение структурных средних в статистической совокупности

Квартили - значения признака, делящие ранжированную совокупность на 4 равные части (на рис. 1 это точки Q₁, Me и Q₃).

, ,

где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

- нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

- длина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

- частота интервала, содержащего нижний квартиль;

- частота интервала, содержащего верхний квартиль.

Децилем называется структурная переменная, которая делит распределение на 10 равных частей по 10% единиц в каждой части. Децилей - девять, децильных групп - десять.

Децили вычисляются по той же схеме:

, и т. д.

Анализ вариационного ряда дополняется расчетом показателя дифференциации.

По ряду распределения определяется коэффициент децильной дифференциации:

.

Он показывает, во сколько раз наименьший уровень признака из 10% единиц, имеющих наибольший уровень признака, больше наибольшего уровня признака, из 10% единиц совокупности, имеющих наименьший уровень признака. Применяется для характеристики дифференциации населения по уровню дохода.

По первичным данным определяется коэффициент фондовой дифференциации:

,

где - среднее значение признака в 10-й децильной группе;

- среднее значение признака в 1-й децильной группе.

2. Показатели вариации

Вариация - различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период, момент времени.

Показатели вариации - это показатели отклонений индивидуальных значений признака от их среднего значения. Чем меньше эти отклонения, тем средняя более показательна, надежна.

Абсолютные и средние показатели вариации

1. Размах вариации показывает разность между наибольшим () и наименьшим () значениями варьирующего признака:

2. Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариантов признака от их среднего значения .

- простое среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение.

Разности в числителе взяты по модулю, иначе среднее линейное отклонение всегда будет равно 0 (так как сумма всех отклонений отдельных вариантов признака от их среднего значения равна нулю: ).

На практике среднее линейное отклонение используют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл.

3. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

- простая дисперсия;

- взвешенная дисперсия.

4. Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

- простое среднее квадратическое отклонение;

- взвешенное среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения, выражаются в тех же единицах измерения, что и признак.