Среднее квадратическое отклонение показывает абсолютную меру колеблемости признака в совокупности.

Показатели относительного рассеивания

1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

.

3. Коэффициент вариации:

.

Учитывая, что среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости. Если < 33% , то вариация признака считается незначительной, а совокупность единиц, обладающих этим признаком, - однородной.

Пример 9: Определить среднюю стоимость основных производственных фондов (ОПФ) предприятий региона. Определить показатели вариации стоимости ОПФ. Сделать выводы.

Таблица 5.9 Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ) в 1996 г.

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб. x	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	Итого
Число предприятий, ед. f	2	6	10	4	3	25

Решение: предварительные расчеты проведем в следующей таблице:

Таблица 5.10 Расчетная таблица

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб.	Число предприя-тий,	Середина интервала,
14-16	2	15	30	4	8	16	32
16-18	6	17	102	2	12	4	24
18-20	10	19	190	0	0	0	0
20-22	4	21	84	2	8	4	16
22-24	3	23	69	4	12	16	48
итого	25	X	475	X	40	X	120

Сумма стоимостей ОПФ по всем предприятиям

Средняя стоимость ОПФ ( ) = ------------------------------ =

Количество предприятий

млн руб.

Размах вариации:

млн руб.

Среднее линейное отклонение:

млн руб.

Дисперсия:

.

Среднее квадратическое отклонение:

2,19 млн руб.

Коэффициент вариации:

11,5%

Вывод: средняя стоимость ОПФ малых предприятий региона составила 19 млн руб. Разница между наибольшей и наименьшей стоимостью ОПФ составила 10 млн руб. Стоимости ОПФ отдельных предприятий отклоняются в среднем на 1,6 млн руб. (по среднему линейному отклонению) и на 2,19 млн руб. (по среднему квадратическому отклонению) от средней стоимости ОПФ предприятий 19 млн руб. Предпочтение отдается выводу, сделанному по среднему квадратическому отклонению. Поскольку коэффициент вариации не превышает 33%, то совокупность предприятий по стоимости ОПФ можно считать однородной.

Дисперсия альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Примером таких признаков являются наличие бракованной продукции, ученая степень преподавателя вуза, учеба по определенной специальности и т. д.

Предположим, что вся статистическая совокупность имеет n единиц. Из них m единиц обладают выделенным признаком, тогда оставшиеся n - m единиц не обладают этим признаком.

Долю единиц, обладающих признаком, обозначим: , тогда пусть - доля единиц, не обладающих данным признаком.

р + q = 1

Единицам х, обладающим данным признаком, присвоим значение х = 1, а не обладающим - х = 0.

Среднее значение альтернативного признака:

= р.

То есть среднее значение альтернативного признака равно доле единиц, обладающих данным признаком.

Дисперсия альтернативного признака:

у²=

То есть дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Пример: 5% изготовленных изделий - брак, тогда 95% изделий годных. Дисперсия доли брака равна: у² = 0,050,95 = 0,0475, а среднее квадратическое отклонение доли брака составляет у = или 22%.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при р = q = 0,5.

3. Дисперсионный анализ

Вариация признака обусловлена различными факторами, некоторые из этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разбить на группы по какому-либо признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы, а также и между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия у²_общ измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей по совокупности средней и может быть вычислена по формуле простой или взвешенной дисперсии.

Межгрупповая дисперсия у²_межгр характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней :

у²_межгр = ,

где f -- численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия у²_i отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы (групповой средней) и может быть исчислена по формуле простой или взвешенной дисперсии:

у²_i = (простая формула);

у²_i = (взвешенная).

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе (у²_i) можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:

= .

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

у²_общ = у²_межгр + .

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью -- неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак.

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (з²) -- показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

з² = .

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации у обусловливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации з² равен нулю, а при функциональной связи -- единице. Если, например з² = 0,666, это значит, что на 66,6% вариация исследуемого показателя обусловлена различиями в значениях признака-фактора, положенного в основание группировки, и на 33,4% -- влиянием прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение -- это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

з = .

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение з, как и з², может принимать значения от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение з = 0, т. е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение з = 1. В этом случае межгрупповая дисперсия равна общей дисперсии (у²_межгр = у²), т. е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока :

з_э 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99

Сила связи Слабая Умеренная Заметная Тесная Весьма тесная

4. Показатели формы распределения

Для получения приблизительного представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также исчисление показателей асимметрии и эксцесса.

Ряды распределения могут иметь один и тот же центр группирования (показатели центра распределения) и одинаковые пределы варьирования признака (показатели вариации), однако при этом отличаться характером распределения единиц совокупности вокруг центра. Если большая часть совокупности расположена левее центра, имеет место левосторонняя асимметрия, если правее - правосторонняя.

Для оценки степени асимметричности применяют моментный и структурный коэффициенты асимметрии.

Моментный коэффициент асимметрии определяется по формуле:

А_S = : у³.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента: если А_S<0, то это левосторонняя асимметрия (ее называют также отрицательной асимметрией), при правосторонней (положительной) асимметрии А_S >0, если А_S = 0 - распределение симметричное. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень скошенности.

Рис. 2. А_S<0 левосторонняя асимметрия Рис. 3. А_S >0 правосторонняя асимметрия

Степень существенности асимметрии можно оценить с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, которая зависит от объема изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

= ,

где п - число единиц в совокупности.

Если отношение > 3, асимметрия считается существенной и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным, если < 3, то асимметрия признается несущественной, вызванной влиянием случайных обстоятельств.

Структурные показатели асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т. е. основной массы единиц, и в отличие от моментного коэффициента не зависят от крайних значений признака. Наиболее часто применяют структурный коэффициент асимметрии, предложенный английским статистиком К. Пирсоном:

А_S = .

В симметричном распределении Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности):

Е_Х = ( : у⁴) - 3.

Эксцесс может быть положительным и отрицательным. У островершинных распределений показатель эксцесса имеет положительный знак (+), а у плосковершинных - отрицательный знак (-). Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Е_Х = -2; величина положительного эксцесса может быть величиной бесконечной. В нормальном распределении Е_Х = 0.

Рис. 4. Е_Х < 0 плосковершинное распределение Рис. 5. Е_Х > 0 островершинное распределение

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

=

где п - число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения. Уравнение нормальной кривой:

,

где y_t - ордината кривой нормального распределения;

t - нормированное отклонение, равное ;

- арифметическая средняя распределения;

- математические константы.

Рис. 6. Кривая нормального распределения

Нормальная кривая имеет огромное значение в теории выборочного метода, поскольку может быть показано, что средние стандартные отклонения, рассчитанные по случайным выборкам, тяготеют к нормальным в случае больших размеров выборок, если даже совокупность, из которой они взяты, сама не является нормально распределенной.

Особенности кривой нормального распределения:

1) кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая соответствует , ее величина равна ;

2) кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. При этом, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются;

3) равновероятны одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной х от :

а) кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от ;

б) в промежутке (при t = 1) находится 68,3% всех значений признака; в промежутке (при t = 2) находится 95,4% всех значений признака; в промежутке (при t = 3) - 99,7% всех значений признака.

Тест к теме 5

1. Различают следующие классы средних величин:

а) вариационные и степенные; в) структурные и степенные;

б) вариационные и структурные; г) простые и взвешенные.

2. Средний уровень моментного ряда с равными промежутками между датами вычисляется по формуле:

а) средней арифметической простой; в) средней арифметической взвешенной;

б) средней хронологической простой; г) нет правильного ответа.

3. Как изменится средняя величина, если все варианты признака уменьшить в 1,5 раза, а все веса увеличить в 1,5 раза:

а) не изменится; в) уменьшится;

б) увеличится; г) определить невозможно?

4. По предприятию известны следующие данные:

№ цеха	Фонд заработной платы, руб.	Средняя заработная плата, руб.
1	244800	7200
2	115900	6100
3	250500	8350

Какую форму средней следует использовать для расчета средней заработной платы по предприятию в целом:

а) среднюю арифметическую простую; в) среднюю арифметическую взвешенную;

б) среднюю гармоническую взвешенную; г) среднюю геометрическую?

5. Имеются следующие данные:

Годы	2001	2002	2003
Темп роста цен, % к предыдущему году	-	118,0	72,0

Какой вид степенной средней необходимо использовать для нахождения среднегодового темпа роста цен:

а) среднюю арифметическую простую; в) среднюю геометрическую простую;

б) среднюю геометрическую взвешенную; г) среднюю гармоническую?

6. Индексы материальных затрат в 2001 г. на мебельной фабрике составили (в процентах к предыдущему периоду): в I квартале 106,7%, во II квартале 94,3%, во 2-м полугодии 113,1%. Среднемесячный индекс роста затрат за год составляет:

а) 1,047; б) 1,011; в) 1,138; г) ответ дать невозможно.

7. Могут ли мода, медиана и средняя арифметическая совпадать:

а) могут; б) могут совпадать только средняя и медиана; в) не могут.

8. Выработка 7 членов бригады характеризуется следующими данными (деталей за смену): 18, 26, 27, 21, 21, 24, 28. Определите медианное значение:

а) 21; б) 23,5; в) 23,6; г) 24.

9. Распределение торговых предприятий города по числу работников характеризуется следующими данными:

Число работников, чел.	До 3	4-10	11-20	21-40	41 и более	Итого
Удельный вес предприятий, %	9	17	33	35	6	100

Определите модальный интервал:

а) 4-10; б) 11-20; в) 21-40.

10. По какому графическому изображению определяют медиану:

а) гистограмма; в) кумулята;

б) диаграмма; г) нет правильного ответа.

11. Дисперсия - это:

а) средняя арифметическая абсолютных отклонений вариантов от их среднего значения;

б) разность между максимальным и минимальным значением признака;

в) средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины;

г) нет правильного ответа.

12. Если имеются данные о значении дисперсии, то можно рассчитать значение:

а) среднего квадратического отклонения; в) коэффициента вариации;

б) среднего линейного отклонения; г) размаха вариации.

13. Определите дисперсию доли брака, если при осмотре партии деталей среди них оказалось 2% бракованных:

а) 0,02; б) 0,98; в) 0,0196?

14. Чему равна межгрупповая дисперсия, если признак внутри групп не варьирует:

а) единице; в) общей дисперсии;

б) нулю; г) средней из групповых дисперсий?

15. Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует:

а) вариацию результативного признака «Y», обусловленную влиянием всех факторов, кроме исследуемого фактора «X»;

б) вариацию результативного признака «Y», обусловленную влиянием фактора «X»;

в) вариацию внутригрупповых средних относительно общей средней по совокупности.

16. Какой из показателей вариации характеризует относительную меру колеблемости около средней величины:

а) коэффициент вариации; в) среднее квадратическое отклонение;

б) дисперсия; г) нет правильного ответа?

17. Размах вариации зависит:

а) от среднего значения признака; в) возможности аномальных наблюдений;

б) моды и медианы; г) ни от чего не зависит.

18. Как изменится дисперсия признака, если все варианты признака увеличить в 3 раза:

а) увеличится в 3 раза; в) уменьшится в 3 раза;

б) увеличится в 9 раз; г) не изменится?

19. К абсолютным показателям вариации относятся:

а) размах вариации; в) коэффициент вариации;

б) коэффициент детерминации; г) все ответы верные.

Задачи для решения

1. Определить средний удельный вес (в %) бракованной продукции за I квартал по следующим данным:

Показатель	Январь	Февраль	Март
Выпуск продукции, млн руб. Удельный вес бракованной продукции, %	80 5,0	96 3,2	100 3,8

2. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные:

№ цеха	Сентябрь	Октябрь
	Численность работников	Средняя месячная заработная плата, руб.	Средняя месячная заработная плата, руб.	Фонд заработной платы, руб.
1 2 3	140 200 260	10560 10600 10330	10600 10580 10340	486000 751800 835000

Определить, на сколько процентов изменилась средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре по сравнению с сентябрем.

3. Имеются следующие данные по группе магазинов за отчетный год:

Магазины	Объем реализации, тыс. руб.	Средний объем реализации на одного работника, тыс. руб.	Прибыль в % к объему реализации	% продавцов в численности работников
1 2 3 4	1900 1600 2200 1920	38 40 50 32	19 20 26 29	65 70 57 78

Определить по совокупности магазинов среднее значение по каждому из признаков, используя экономически обоснованные формулы расчета. Указать вид средней и формулу расчета.

4. Распределение промышленных предприятий региона по показателю затрат на 1 тыс. руб. продукции в сентябре характеризуется следующими данными:

Затраты на 1 тыс. руб. продукции, руб.	Число предприятий	Общая стоимость продукции, тыс. руб.
600-650 650-700 700-750 750-800	2 8 4 3	19800 66000 32000 21450

Определить:

1) средний размер затрат на 1 тыс. руб. продукции по предприятиям региона;

2) средний объем продукции на одно предприятие.

5. Имеются следующие данные за отчетный год:

Предприятие	Произведено продукции, млн руб.	Выработка на одного рабочего, тыс. руб.	Фондоемкость, руб.1)	Доля рабочих в общей численности, %
1 2 3 4	5300 2300 2000 4500	15,0 15,5 18,0 10,0	0,9 0,7 0,3 0,4	60 65 70 85

Определить по совокупности предприятий среднее значение по каждому из признаков, используя экономически обоснованные формулы расчета. Укажите вид средней и формулу расчета.

¹⁾ Фондоемкость - затраты основных производственных фондов на 1 руб. произведенной продукции.

6. Имеются следующие данные о возрастном составе группы студентов вечернего отделения: 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

Требуется:

1) построить интервальный ряд распределения с равными интервалами (n = 7);

2) определить численное значение моды и медианы;

3) определить показатели вариации;

4) дать его графическое изображение в виде гистограммы и кумуляты.

Сделать выводы по результатам расчетов.

Тема 6. Ряды динамики

1. Определение и виды рядов динамики

Ряд динамики - это ряд изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели - периоды или моменты (даты) времени () и показатели или уровни ряда ().

С помощью РД изучение закономерностей развития социально-экономических явлений осуществляется в следующих направлениях:

- характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени;

- измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей;

- выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда);

- изучение периодических колебаний;

- экстраполяция и прогнозирование.

Виды РД

1. По способу выражения уровней ряда различают ряды динамики:

- абсолютных величин;

- относительных величин;

- средних величин.

2. По времени, отражаемому в динамических рядах:

- интервальные - уровни таких РД характеризуют размер признака за период времени, например, за квартал, за год и т. д. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т. д.;

- моментные - уровни РД характеризуют размер признака на определенную дату, например, на начало месяца. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т. д.

Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель - общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т. д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.

3. В зависимости от расстояния между уровнями:

- полные ряды динамики, в которых даты следуют друг за другом через равные промежутки времени или интервалы времени, на которые заданы уровни, равны;

- неполные ряды динамики, когда периоды времени между датами неодинаковые или равенство интервалов времени не соблюдается.

Условия построения ряда динамики

Статистические данные для построения РД должны быть сопоставимы:

по содержанию и методике построения;

по кругу охватываемых объектов (сравнение совокупностей с равным числом элементов);

по территориям исследования;

по единицам измерения;

по времени регистрации;

по ценам.

Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.

Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

Для того чтобы привести уровни РД к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Под смыканием понимают объединение в один ряд двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или в разных территориальных границах. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии.

Например, имеются данные об объемах продаж продукции фирмы «N», в которую до 2005 г. входило 10 предприятий, а с 2005 г. - 12 предприятий.

Таблица 6.1 Динамика объемов продаж продукции фирмы «N» в сопоставимых ценах (млн руб.)

Объем продаж	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
продукции 10 предприятий	120	125	130	140	-	-	-
продукции 12 предприятий	-	-	-	168	180	195	215
Сопоставимый ряд	144	150	156	168	180	195	215

Необходимо получить единый ряд, который был бы пригоден для характеристики динамики объема продаж продукции за весь рассматриваемый период.

Следует исчислить данные за 2002-2004 гг. в новых границах (по новому числу предприятий). Для этого по данным 2005 г. исчисляем коэффициент соотношения уровней двух рядов:

.

Умножая на этот коэффициент уровни 1-го ряда, получаем скорректированные данные за 2002-2004 гг. в новых границах, млрд руб.:

У₂₀₀₂ =1201,2 = 144;

У₂₀₀₃ =1251,2 = 150;

У₂₀₀₄ =1301,2 = 156.

Результаты, которые получены при смыкании рядов динамики, являются приближенными.

(2). Показатели ряда динамики

При описании рядов динамики используют показатели, характеризующие интенсивность их изменения во времени и систему средних показателей.

Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью следующих аналитических показателей.

Аналитические показатели ряда динамики

Абсолютный прирост. Показывает, на сколько каждый из уровней ряда отличается от уровня, принятого за базу (разность между уровнями ряда).

Введем обозначения:

- начальный уровень (первый, базисный);

- какой-либо уровень;

- последний уровень.

Абсолютный прирост вычисляется по следующим формулам:

- базисный абсолютный прирост;

- цепной абсолютный прирост.

Взаимосвязь: сумма всех последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному абсолютному приросту за исследуемый период (последнему базисному):

.

2. Темп роста (коэффициент роста) - отношение каждого уровня ряда к уровню, принятому за базу сравнения. Показывает, во сколько раз каждый уровень ряда больше уровня, принятого за базу, или сколько процентов от него составляет.

- базисный темп роста;

- цепной темп роста.

Выражается в процентах или в виде коэффициента.

Взаимосвязь: 1) произведение всех последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за рассматриваемый период (последнему базисному):

,

где n-1 - число цепных темпов роста (n - число уровней РД);

2) частное от деления данного базисного темпа роста на предыдущий базисный равно цепному.

3. Темп прироста - отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятому в качестве базы сравнения. Показывает, на сколько процентов изменяется каждый уровень ряда по сравнению с уровнем, принятым за базу.

- базисный темп прироста;

- цепной темп прироста.

Он может быть вычислен и по такой формуле:

,

которая получается из первых двух следующим образом:

.

Для цепного темпа прироста рассуждения аналогичные.

4. Абсолютное значение одного процента прироста. Показывает отношение абсолютного прироста к темпу прироста:

.

Абсолютное значение одного процента прироста может быть вычислено и по такой формуле:

,

которая выводится путем несложных преобразований из первой.

Система средних показателей ряда динамики

Средний уровень ряда динамики:

а) в интервальных рядах:

· с равными интервалами:

(формула средней арифметической простой);

с неравными интервалами:

(формула средней арифметической взвешенной),

где t - периоды времени;

б) в моментных рядах:

с равноотстоящими уровнями:

(формула средней хронологической простой),

где - уровни ряда,

n - число уровней;

с неравноотстоящими уровнями:

(формула средней хронологической взвешенной),

где n-1- число промежутков времени между уровнями.

2. Средний абсолютный прирост. Показывает, на сколько в среднем в единицу времени изменяется уровень динамического ряда.

,

где n -1 - число цепных абсолютных приростов.

Используя взаимосвязь цепных и базисных абсолютных приростов, получаем:

3. Средний темп роста. Показывает, во сколько раз в среднем в единицу времени увеличивается уровень динамического ряда.

(формула средней геометрической),

где n -1 - число цепных темпов роста.

Используя взаимосвязь цепных и базисных темпов роста, можно получить следующую формулу для вычисления среднего темпа роста:

,

где n - число уровней ряда динамики.

4. Средний темп прироста. Показывает, на сколько процентов в среднем в единицу времени изменяется уровень динамического ряда.

.

Пример 1. Имеются следующие данные об объеме пассажирооборота железнодорожного транспорта.

Таблица 6.2 Динамика пассажирооборота железнодорожного транспорта

Год	Пассажиро-оборот, млн пасс.-км	Цепные показатели динамики
		Абсолютный прирост, млн пасс.-км	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение одного процента прироста, млн пасс.-км
2000	2570	-	-	-	-
2001		-7
2002			99,4
2003	2472
2004
2005				7,8	24,23

(По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году». Ч. 2. С. 113.)

Вычислить и проставить в таблицу уровни ряда динамики и недостающие показатели динамики.

Решение:

1. Введем в таблице обозначения:

t - год (1 графа);

y - пассажирооборот (2 графа);

- цепной абсолютный прирост;

- цепной темп роста;

- цепной темп прироста;

- абсолютное значение одного процента прироста.

Год t	Пассажиро-оборот, млн пасс.-км y	Цепные показатели динамики
		Абсолютный прирост, млн пасс.-км	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение одного процента прироста, млн пасс.-км
1	2	3	4	5	6

2. Определим по данным задачи уровни ряда динамики (у):

а) уровень 2001 г. определяем из формулы цепного абсолютного прироста:

;

;

млн пасс.-км;

б) уровень 2002 г. определим по формуле цепного темпа роста следующим образом:

;

;

млн пасс.-км;

в) уровень 2004 г. определим по формуле абсолютного значения 1% прироста:

;

;

млн пасс.-км;

г) уровень 2005 г. определим по формуле цепного темпа прироста следующим образом:

;

;

.

Зная цепной темп роста 2005 года можно определить уровень ряда 2005 г.:

млн пасс.-км.

3. Определим цепные показатели динамики:

а) цепные абсолютные приросты находим как разность уровня ряда текущего периода и предыдущего. Например, абсолютный прирост 2002 г. определяем по формуле:

млн пасс.-км.

Остальные абсолютные приросты определяем по аналогии (табл. 6.3);

б) цепные темпы роста находим как отношение уровня ряда текущего периода к предыдущему. Например, темп роста 2001 г. равен:

.

Остальные темпы роста определяем по аналогии (табл. 6.3);

в) для определения темпа прироста нужно из соответствующего темпа роста вычесть 100%. Например,

г) абсолютное значение одного процента прироста - это одна сотая от предыдущего уровня ряда. Например, млн пасс.-км.

4. Представим исходные и расчетные значения в таблице.

Таблица 6.3 Динамика пассажирооборота железнодорожного транспорта

Год	Пассажиро-оборот, млн пасс.-км	Цепные показатели динамики
		Абсолютный прирост, млн пасс.-км	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение одного процента прироста, млн пасс.-км
2000	2570	-	-	-	-
2001	2563	-7	99,7	-0,3	25,70
2002	2548	-15	99,4	-0,6	25,63
2003	2472	-76	97,0	-3,0	25,48
2004	2423	-49	98,0	-2,0	24,72
2005	2399	-24	99,0	-1,0	24,23

Пример 2. По данным табл. 6.3 определить средние показатели ряда динамики: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. Сделать выводы по результатам расчета.

Решение:

1. Определим средний уровень ряда динамики. Так как ряд интервальный (год - это интервал времени), с равными интервалами, то средний уровень ряда определяем по формуле средней арифметической простой:

млн пасс.-км.,

таким образом, среднегодовой пассажирооборот железнодорожного транспорта в 2000-2005 гг. составлял 2496 млн пасс.-км.

2. Определим средний абсолютный прирост по следующей формуле:

млн пасс.-км.,

таким образом, за период 2000-2005 гг. среднем за год пассажирооборот железнодорожного транспорта снижался на 34,2 млн пасс.-км.

3. Определим средние темп роста и прироста:

;

,

т. е. в среднем за год за период с 2000 по 2005 гг. пассажирооборот железнодорожного транспорта снижался на 1,4%.

Пример 3. Имеются следующие данные об изменении в списочном составе работников предприятия за январь, чел:

состояло по списку на 1 января100;

уволено с 10 января 5;

зачислено с 20 января 2;

уволено с 25 января 3;

зачислено с 28 января 1.

Определите среднюю списочную численность работников предприятия за январь.

Решение: Представим исходные данные задачи в виде интервального ряда динамики:

Период, дней t	Списочная численность, чел. y
10 - 1 = 9	100
20 - 10 = 10	100 - 5 = 95
25 - 20 = 5	95 + 2 = 97
28 - 25 = 3	97 - 3 = 94
31 - 28 + 1 = 4	94 + 1 = 95

Определим среднюю списочную численность работников за январь по формуле среднего уровня ряда динамики. Ряд динамики интервальный, с неравными интервалами. Средний уровень такого ряда определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

человек.

Среднесписочная численность работников предприятия за январь составила 97 человек.

Кроме разобранных примеров решения задач полезным будет вспомнить решение задачи на определение цепных и базисных относительных показателей динамики (ОПД) в теме 4 «Статистические показатели. Абсолютные и относительные показатели», задачи на определение среднего остатка товаров за I квартал по формуле средней хронологической простой в теме 5 «Средние величины и показатели вариации» и задачи на определение среднего темпа роста по формуле средней геометрической простой в теме 5 «Средние величины и показатели вариации».

3. Методы выявления основной тенденции развития явления во времени

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для выявления основной тенденции развития используются следующие методы:

Метод укрупнения периодов времени. Объединяются несколько уровней ряда, затем рассчитываются средние величины, на основании которых судят о тенденции развития.

Метод скользящей средней. Объединяется определенное число, обычно нечетное, первых по порядку уровней ряда. Затем такое же число уровней начиная со второго, затем начиная с третьего и так далее. Рассчитываются средние величины, на основании которых судят о тенденции развития. Если объединяется нечетное число уровней, то среднее значение записывается году, находящемуся по середине. Если объединяется четное число уровней, то применяется так называемый способ центрирования.

Пример 4. Дан динамический ряд товарооборота за несколько лет.

Таблица 6.4 Динамика товарооборота фирмы

Годы	Товарооборот, млн. руб.	Метод укрупнения периодов, млн. руб.	Трехлетние скользящие средние, млн. руб.	Четырехлетние скользящие средние (нецентрирован-ные)	Четырехлетние скользящие средние (центрирован-ные)
2000	40		-		-
2001	54	53	53		-
2002	66		56		(52,0+56,0):2=54
2003	48		57		56,75
2004	56	55	55		58,00
2005	60		62		60,25
2006	70		64		65,50
2007	62	72	72		-
2008	84		-		-

Поскольку каждое следующее среднее значение больше предыдущего, то можно сделать вывод, что в данном ряде динамики тенденция к росту.

Метод аналитического выравнивания. Состоит в выражении тенденции с помощью математического уравнения:

,

где - уровни РД, вычисленные по аналитическому уравнению на момент времени t.

Простейшими моделями являются:

линейная функция: ,

где - параметры уравнения ;

t - порядковый номер периода;

парабола: ,

экспонента: .

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные цепные абсолютные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если цепные абсолютные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но цепные абсолютные приросты цепных абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т. п.).

Выравнивание может производиться по среднему темпу роста, среднему абсолютному приросту, но наиболее точным является выравнивание методом наименьших квадратов, при котором находят такие параметры и , и т. д., чтобы выполнялось условие: сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) уровней от теоретических должна быть минимальной:

(1)

где y - уровни ряда;

- выровненные значения.

Для линейной модели функция S =- это функция второго порядка от двух неизвестных и . Свое наименьшее значение она принимает в точке, где частные производные по параметрам и равны нулю. Согласно этому условие метода наименьших квадратов (1) можно преобразовать и получить следующую систему нормальных уравнений:

Если =0, то из последней системы получаем:

 Откуда,

Как сделать, чтобы сумма номеров периодов ровнялась нулю (= 0)? Возможны два случая:

число уровней РД нечетное, тогда будем поступать следующим образом: пусть ряд динамики включает произвольные 5 лет: Год Номер года, t 2004 2005 2006 2007 2008 -2 -1 0 1 2 итого 0	число уровней РД четное, тогда будем поступать следующим образом: пусть ряд динамики включает произвольные 6 лет: Год Номер года, t 2003 2004 2005 2006 2007 2008 -5 -3 -1 1 3 5 Итого 0

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой линии на примере.

Таблица 6.5 Расчетная таблица

Годы	Товарооборот, млн. руб.	Номер года, t
2003 2004 2005 2006 2007 2008	16 18 25 20 23 22	-5 -3 -1 1 3 5	-80 -54 -25 20 69 110	25 9 1 1 9 25	17,81 18,95 20,10 21,24 22,38 23,52	3,276 0,903 24,01 1,538 0,384 2,310
всего	124	0	40	70	124,00	32,421

Расчетные значения из таблицы 1 подставляем в систему нормальных уравнений:

Получили следующее уравнение прямой:

.

По уравнению прямой находим выровненные значения :

…

Для выровненных и исходных уровней должно всегда выполняться условие:

(124 = 124,00).

Изобразим графически исходные уровни РД и уравнение найденной прямой:

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

Т.к. > 0, то в РД тенденция к росту (товарооборот фирмы за период с 1995 по 2000 гг. в целом увеличивается).

Система нормальных уравнений для параболы , если =0:

Система нормальных уравнений для экспоненты , если =0:



Для выбора наилучшего уравнения, которое бы наиболее точно отражало динамику явления или процесса, можно воспользоваться формулой стандартной ошибки:

,

где m - число параметров уравнения,

или применить критерий наименьшей суммы квадратов отклонения эмпирических уровней от теоретических .

Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение, т. е. критерий наименьших квадратов отклонений, либо использовать формулу средней ошибки аппроксимации:

.

При аналитическом выравнивании может иметь место автокорреляция, под которой понимается зависимость между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату. Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле

где и - соответственно средние квадратические отклонения по ряду и .

4. Экстраполяция и интерполяция в динамических рядах

Процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося в данном динамическом ряду, называется интерполяцией.

Процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося за пределами данного ряда, называется экстраполяцией (прогноз на будущее).

Чем больше динамический ряд, тем достовернее прогноз, но, с увеличением прогнозной даты, ошибка прогноза возрастает.

Экстраполяция и интерполяция осуществляются следующими способами:

по среднему абсолютному приросту;

по среднему темпу роста;

по аналитическому уравнению.

Найдем прогнозное значение товарооборота на 2009 г. по данным предыдущего примера:

По среднему абсолютному приросту. Поскольку средний абсолютный прирост показывает, на сколько в среднем за год изменяется товарооборот фирмы, то для определения прогнозного значения товарооборота на 2009 г. нужно к последнему уровню ряда прибавить значение среднего абсолютного прироста:

млн руб.;

y₂₀₀₉ = 22+1,2 = 23,2 млн руб.

По среднему темпу роста. Поскольку средний темп роста показывает, во сколько раз в среднем за год увеличивается товарооборот, то для определения прогнозного значения товарооборота на 2009 г. нужно последний уровень ряда умножить на значение среднего темпа роста:

;

y₂₀₀₉ = = 23,4 млн руб.

По аналитическому уравнению. В предыдущем примере (см. табл. 6.5) получили уравнение прямой линии . Чтобы рассчитать прогнозное значение на 2009 г. нужно в это уравнение вместо t подставить номер 7:

млн руб.

Полученные в ходе расчетов расхождения между прогнозными значениями товарооборота на 2009 г. указывают на необходимость тщательного отбора способов.

На практике результат экстраполяции прогнозируемых явлений обычно получают не точечными (дискретными), а интервальными оценками.

Для определения границ интервалов используют формулу

где - коэффициент доверия, который определяется по таблице t-распределения Стьюдента, при уровне значимости (т. е. с вероятностью P=0,95) и числе степеней свободы .

остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n - m),

n - число уровней РД,

m - число параметров адекватной модели тренда (для прямой m = 2).

Определим по данным таблицы 6.5 интервальную оценку точечного прогноза на 2009 г. По таблице t-распределения Стьюдента, при уровне значимости и числе степеней свободы = 6 - 2 = 4, находим значение = 2,776. При = = 32,421 (см. последнюю графу табл. 6.5) значение остаточного среднего квадратического отклонения

Тогда значение вероятностных границ интервала составляет 24,662,8472,776. Следовательно, с вероятностью 0,95 верхняя граница прогнозного значения товарооборота фирмы на 2009 г. составит 32,64 млн руб., а нижняя граница - 16,68 млн руб.

5. Изучение сезонных колебаний

При сравнении квартальных и месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов и т. д.

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания», или «сезонные волны», а ряд динамики называется сезонным рядом динамики.

Если в ряду динамики отсутствует тенденция, то уровень временного ряда рассматривается как функция сезонности и случайности:

,

где - фактические уровни динамического ряда; - сезонная составляющая; - случайная компонента.

Графически такой ряд может быть представлен следующим образом:

Рис. 2. Периодический временной ряд, не имеющий тенденции

Индекс сезонности:

,

где - средняя для каждого месяца минимум за три года;

- среднемесячный уровень для всего ряда динамики.

Для наглядного представления сезонной волны вычисленные индексы сезонности изображают в виде графика.

Значительно распространеннее ситуация, когда динамический ряд имеет тенденцию. В этом случае уровень временного ряда рассматривается как функция тенденции (t), сезонности (S) и случайности (). Графически влияние этих составляющих может быть представлено следующим образом:

Рис. 3. Периодический временной ряд, имеющий тенденцию

Когда уровень проявляет тенденцию к росту или снижению, то отклонения от постоянного среднего уровня могут исказить сезонные колебания, тогда индекс сезонности определяют по следующей формуле:

.

Тест к теме 6

1. Числовые значения статистических показателей, представленные во временной последовательности, - это:

а) ряд динамики; б) уровень ряда; в) тренд.

2. Что относится к основным задачам рядов динамики:

а) выявление тенденции в изменениях уровней;

б) анализ явлений;

в) выявление причин изменения явления?

3. Один из основных элементов РД:

а) место; б) время; в) индекс; г) нет верного ответа.

4. Для построения ряда динамики статистические данные должны быть сопоставимы:

а) по времени регистрации; в) единицам измерения;

б) кругу охватываемых объектов; г) все ответы верные.

5. Ряд динамики, в котором уровни ряда представлены на конкретную дату, называется:

а) полный ряд; б) конкретный ряд; в) моментный ряд.

6. Ряды динамики, имеющие неравные интервалы времени между датами, называются:

а) интервальными; в) неполными;

б) неравными; г) неравнозначными.

7. Моментный ряд динамики не может быть составлен на основе такого показателя,

а) как численность населения региона по состоянию на начало года;

б) средний размер вкладов физических лиц в банках по месяцам;

в) типичный размер запасов готовой продукции на складах промышленных предприятий за каждый месяц года;

г) ежемесячная сумма остатка оборотных средств предприятия по состоянию на 1-е число каждого месяца.

8. Цепной абсолютный прирост определяется

а) как сумма соседних уровней ряда;

б) разность данного уровня ряда и предыдущего к нему;

в) разность данного уровня ряда и следующего после него;

г) отношение данного уровня ряда к базисному уровню;

д) отношение данного уровня ряда к предыдущему.

9. Абсолютный прирост показывает:

а) во сколько раз уровень текущего периода больше либо меньше базисного уровня;

б) на сколько единиц уровень текущего периода больше либо меньше базисного уровня;

в) на сколько процентов уровень текущего периода больше либо меньше базисного уровня.

10. Как выражается взаимосвязь цепных и базисных абсолютных приростов:

а) произведение цепных абсолютных приростов равно базисному;

б) сумма цепных абсолютных приростов равна базисному;

в) частное от деления двух базисных абсолютных приростов равно цепному?

11. Цепной темп роста определяется:

а) как отношение уровня ряда за данный период времени к уровню ряда в предыдущий период;

б) отношение уровня ряда за данный период времени к уровню ряда последующего периода;

в) отношение уровня ряда за данный период времени к первому уровню ряда.

г) нет верного ответа.

12. В каких единицах измеряется темп роста:

а) коэффициентах; в) процентах;

б) промилле; г) все ответы верны?

13. Как выражается взаимосвязь цепных и базисных темпов роста:

а) произведение цепных темпов роста равно базисному;

б) сумма цепных темпов роста равна базисному;

в) частное от деления двух цепных темпов роста равно базисному?

14. Средний темп роста определяется по формуле:

а) средней арифметической из цепных темпов роста;

б) средней гармонической из цепных темпов роста;

в) средней арифметической из базисных темпов роста;

г) средней геометрической из цепных темпов роста.

15. Средний уровень в моментных полных рядах динамики определяется по формуле:

а) средней арифметической простой;

б) средней арифметической взвешенной;

в) средней геометрической простой;

г) средней гармонической взвешенной;

д) средней хронологической простой.

16. Имеется следующий ряд динамики производства молока в России (млн т):

Год	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Млн т.	47,2	46,5	44,2	39,2	35,8	34,1

Определите вид ряда динамики:

а) интервальный; б) моментный.

17. Процесс нахождения неизвестного уровня ряда, находящегося внутри данного ряда, называется:

а) интерполяция; в) экстраполяция;

б) аппроксимация; г) интервенция.

18. Какой вид графиков используется для изображения рядов динамики:

а) кумулята; в) огива;

б) диаграмма; г) все ответы верные?

19. Ряд динамики отражает равномерное развитие явления, если:

а) абсолютные приросты примерно одинаковы;

б) темпы прироста примерно одинаковы;

в) темпы роста примерно одинаковы;

г) нет верного ответа.

20. Абсолютное значение 1% прироста определяется по формуле:

а) ; б) ; в) все ответы верные.

21. Продажа мяса птицы на рознично-оптовых рынках за январь-май увеличилась в 2,15 раза. Определите среднемесячный темп роста продажи:

а) б) в) г)

22. Если c июля по октябрь 2004 г. в регионе задолженность бюджета по зарплате и социальной защите учителям средних школ уменьшилась на 34,39%, то среднемесячный темп прироста задолженности за этот период составлял (в %):

а) -10,0; б) -16,4; в) -8,59;

г) для расчёта показателя не хватает данных.

23. Метод выравнивания ряда динамики путем объединения нескольких уровней и нахождении среднего, называется:

а) методом аналитического выравнивания;

б) методом укрупнения интервалов времени;

в) методом скользящей средней.

24. Какой метод выравнивания ряда динамики заключается в нахождении уровней ряда как функции времени:

а) метод аналитического выравнивания;

б) метод укрупнения интервалов времени;

в) метод скользящей средней?

25. Тренд - это:

а) тенденция развития;

б) процесс приближения фактических значений к математической модели;

в) числовые значения, представленные во времени.

26. Для определения параметров аналитического уравнения при выравнивании ряда динамики используется:

а) метод наименьших квадратов; в) метод трех сумм;

б) метод наименьших сумм; г) нет верного ответа.

27. Среднесрочный прогноз составляется на период:

а) до 1 года; б) от 1 до 5 лет; в) от 5 до 10 лет; г) от 10 до 50 лет.

28. Ряд динамики, характеризующий изменение урожайности сахарной свеклы в фермерском хозяйстве за 10 лет, аналитически можно представить уравнением у_t = 226 + 13t. Это значит, что урожайность сахарной свеклы увеличивается ежегодно в среднем

а) на 13%; б) 13 ц; в) 1,3 ц.