Общая теория статистики

Задачи для решения

1. Динамика производства продукции в Кировской области в 1994-2005 гг.

Год	Вывозка древесины, млн. м3	Абсолютный прирост, млн м3	Темп роста, %	Метод укрупнения периодов времени, млн м3	Метод скользя-щей средней, млн м3	Метод аналитического выравнивания
		цепной	базисный	цепной	базисный			t	y t	t2
1994	5,6
1995	6,2
1996	5,3
1997	5,0
1998	5,4
1999	6,0
2000	6,1
2001	6,1
2002	5,6
2003	5,6
2004	5,7
2005	5,5
Итого			Ч	Ч	Ч	Ч	Ч
Среднее			Ч		Ч	Ч	Ч	Ч	Ч	Ч	Ч

Определить:

1) абсолютные приросты и темпы роста (цепные и базисные);

2) точки перелома динамики;

3) средний уровень ряда, средний абсолютный прирост за 1994-2005 гг;

4) средний темп роста за 1995-1997 гг, 1997-2001 г, 2001-2005 гг;

5) провести выравнивание динамического ряда тремя способами:

а) методом укрупнения интервалов;

б) методом скользящей средней;

в) методом аналитического выравнивания;

6) сделать статистический прогноз на 2006 и 2007 гг. тремя способами;

7) показать на графике исходный и выровненный ряды динамики.

2. Имеются следующие данные о товарообороте фирмы:

Месяц	Товарооборот, тыс. руб.	Цепные показатели динамики
		Абсолютный прирост, млн руб.	Темп роста, %	Темп прироста, %
Январь	100	-	-	-
Февраль		3,4
Март			100,5
Апрель				-2,6
Май			97,1
Июнь		-0,2

Вычислить и проставить в таблицу уровни ряда динамики и недостающие показатели динамики.

3. По данным задачи 2 вычислить и проставить в таблицу уровни ряда динамики и недостающие показатели динамики, если показатели динамики базисные.

4. По данным задачи 2 определить средние показатели ряда динамики: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста. Сделать выводы по результатам расчетов.

5. Ввод в действие жилых домов в Кировской области характеризуется следующими данными, кв. м общей площади:

	2003 г.	2004 г.	2005 г.
В городской местности В сельской местности	131178 29925	194020 36429	209487 47893

По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году», Ч. 1. С. 112.

Сопоставить среднегодовые темпы роста ввода в действие жилых домов в городской и сельской местности.

6. Рассчитайте среднесписочное число работников фирмы за I и II кварталы, за первое полугодие в целом, если на начало месяца списочная численность в январе была 100 человек, в феврале - 104, марте - 107, апреле - 109, мае - 110, июне - 112, июле - 114 человек.

7. Имеются следующие данные об изменении в списочном составе работников предприятия за январь, человек:

состояло по списку на 1 января115;

уволено с 12 января 5;

уволено с 18 января 2;

зачислено с 19 января 6;

уволено с 25 января 2;

зачислено с 28 января 1.

Определите среднюю списочную численность работников предприятия за январь.

8. Имеются следующие данные о росте цен и тарифов на товары и услуги в Кировской области (декабрь к декабрю предыдущего года):

Год	2001	2002	2003	2004	2005
ИПЦ	1,173	1,139	1,133	1,116	1,113

По данным статистических сборников «Кировская область в 2005 году». Ч. 2. С. 168.

Определить:

1) на сколько процентов возросли цены и тарифы в 2005 г. по сравнению с 2001 и 2002 гг.;

2) среднегодовой темп роста цен и тарифов за период 2003-2005 гг.

9. Имеются данные по объединению о производстве промышленной продукции за 2002-2006 гг. в сопоставимых ценах (млн руб.):

Год	2002	2003	2004	2005	2006
Объем производства продукции	67,7	73,2	75,7	77,9	81,9

Определить:

1) вид ряда динамики;

2) средний уровень ряда динамики;

3) цепные показатели абсолютного прироста, темпов роста и прироста;

4) значение 1 прироста;

5) среднегодовые за 5 лет темпы роста и прироста.

Результаты расчетов представить в таблице.

10. Темпы роста цен (к предыдущему месяцу) на потребительские товары и услуги составили:

Январь	Февраль	Март
-	1,07	1,03

Определить:

1) на сколько в среднем за месяц увеличивались цены;

2) вид средней величины.

11. Имеются следующие данные об удельных расходах условного топлива на производство теплоэнергии (кг/Гкал) на ТЭЦ по годам:

Год	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
Удельный расход условного топлива, кг/Гкал	167,6	165,8	167,4	168,0	167,5	167,2	166,5	166,5	166,4

Требуется:

1) произвести сглаживание скользящей средней;

2) выровнять ряд по прямой.

12. Объем продукции фирмы в 2002 г. по сравнению с 2001 г. возрос на 2%; в 2003 г. он составил 105% по отношению к объему 2002 г., а в 2004 г. был в 1,2 раза больше объема 2001 г. В 2005 г. фирма выпустила продукции на сумму 25 млн руб., что на 10% больше, чем в 2004 г., в 2006 г. - 30 млн руб. и в 2007 г. - 37 млн руб.

Определить:

1) цепные темпы роста;

2) базисные темпы прироста по отношению к 1991 г.;

3) абсолютные уровни производства продукции за все годы;

4) среднегодовые темпы роста и прироста за 1991-1997 гг.

Тема 7. Индексы

1. Индексы, их классификация

Индекс - это относительный показатель, характеризующий изменение величины простого или сложного явления во времени, пространстве или по сравнению с любым эталоном (план, прогноз, норматив и т. д.).

Основным элементом индексного отношения является индексируемая величина, т. е. величина признака статистической совокупности, изменение которой является объектом изучения. Вторая величина отношения, позволяющая привести разнородные элементы в сопоставимый вид, называется коэффициентом соизмерения, или весом индекса.

При изучении явлений используется система индексов:

По содержанию индексируемых величин различают индексы:

1) Индексы количественных показателей - это индексы физического объема промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объема розничного товарооборота, национального дохода и др. Все индексируемые показатели этих индексов являются объемными, поскольку они характеризуют общий суммарный размер того или иного явления и выражаются абсолютными величинами. При расчете таких индексов количества оцениваются в сопоставимых ценах.

2) Индексы качественных показателей - это индексы курса валют, цен, себестоимости, производительности труда, средней заработной платы, урожайности и т. д. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на количественно измеримую единицу совокупности: цена за единицу продукции, себестоимость единицы продукции, выработка в единицу времени (или на одного работника), заработная плата одного работника, урожайность с 1 га и т. д.

Разделение индексов на индексы количественных и качественных показателей важно для методологии их расчета.

По степени охвата явлений:

Индивидуальные индексы (i) - оценивают динамику показателей по отдельным элементам изучаемой совокупности.

Введем обозначения:

p - цена за единицу товара;

q - количество или физический объем какого-либо товара в натуральном выражении;

z - себестоимость единицы продукции;

- общая стоимость продукции данного вида или товарооборот, выручка;

- издержки или затраты на производство всей продукции.

Индивидуальные индексы (i) исчисляются путем деления величины показателя отчетного периода на величину базисного периода.

- индивидуальный индекс цен;

где p₁ - цена за единицу товара в отчетном периоде,

p₀ - цена за единицу товара в базисном периоде.

- индивидуальный индекс физического объема;

- индивидуальный индекс себестоимости;

- индивидуальный индекс издержек или затрат на производство;

- индивидуальный индекс товарооборота или стоимости,

2. Общие индексы (I). В целом по совокупности, состоящей из элементов, непосредственно несоизмеримых (различные виды продукции, товарные группы и т. д.), изменение физического объема реализации, цен и других показателей характеризуется с помощью общих индексов.

Формы общих индексов:

- агрегатная (основная форма);

- средняя из индивидуальных (средний арифметический и средний гармонический индекс).

Выбор формы индекса зависит от исходных данных.

Агрегатная форма индекса

Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса).

Поскольку цены на разные товары нельзя суммировать, то для построения агрегатного индекса цен сначала от цен переходят к стоимости, умножая цены на количество товара. В зависимости от того, количества какого периода выбираются (отчетного или базисного), существуют две различные формулы индекса цен:

- агрегатный индекс цен (по формуле Ласпейреса);

- агрегатный индекс цен (по формуле Пааше),

где p - индексируемая величина, q - вес индекса.

Таблица 7.1 Агрегатные индексы

Формула индекса	Название индекса
	Индекс физического объема	Индекс цен
По формуле Ласпейреса (по базисным весам)
По формуле Пааше (по отчетным весам)
Индекс Фишера

Отечественные статистики вопрос о выборе системы весов решают следующим образом:

в агрегатных индексах качественных показателей (цена, себестоимость, производительность труда, фондоотдача, средняя заработная плата и др.) веса берутся отчетного периода.

Таким образом, агрегатный индекс цен будем вычислять по формуле Пааше:

- агрегатный индекс цен (формула Пааше),

- агрегатный индекс себестоимости продукции (формула Пааше);

в агрегатных индексах количественных показателей (физический объем продукции, численность работников, посевная площадь и др.) веса берутся базисного периода.

Таким образом, агрегатный индекс физического объема продукции будем вычислять по формуле Ласпейреса:

агрегатный индекс физического объема (формула Ласпейреса).

Сводный индекс товарооборота является простым и рассчитывается по формуле:

- агрегатный индекс товарооборота.

Индекс товарооборота может быть найден и через взаимосвязь индексов (мультипликативная модель индексов):

;

Индекс товарооборота показывает, во сколько раз вырос (уменьшился) товарооборот отчетного периода по сравнению с базисным, или сколько процентов составляет рост (снижение) товарооборота. Если из значения индекса товарооборота, выраженного в процентах, вычесть 100%, то разность покажет, на сколько процентов возрос (уменьшился) товарооборот в текущем периоде по сравнению с базисным. Разность числителя и знаменателя индекса - показывает, на сколько рублей увеличился (уменьшился) товарооборот в текущем периоде по сравнению с базисным, или абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен и физического объема продаж.

Измерить изолированное (элиминированное) влияние каждого из этих двух факторов можно через разность числителя и знаменателя соответствующих аналитических индексов.

Разность числителя и знаменателя индекса физического объема показывает, как в абсолютном выражении изменился товарооборот за счет роста (снижения) физического объема продаж:

.

Разность числителя и знаменателя индекса цен означает абсолютный прирост (уменьшение) товарооборота в результате роста (уменьшения) цен:

.

Абсолютное изменение за счет отдельных факторов в сумме дает общее абсолютное изменение результативного показателя:

.

Средняя форма индекса

Средняя форма индексов применяется в тех случаях, когда невозможно определить индексы по агрегатной форме из-за отсутствия какой-либо информации.

Например, нужно рассчитать общий индекс цен. Выписываем его агрегатную формулу:

.

Пусть в условии задачи не известны цены базисного периода (р₀), но заданы индивидуальные индексы цен (i_p). Тогда из формулы индивидуального индекса цен выражаем р₀:

.

Полученное выражение для р₀ подставляем в агрегатную формулу индекса цен:

- средний гармонический индекс цен.

Пусть теперь нужно рассчитать общий индекс физического объема. Выписываем его агрегатную формулу:

.

Предположим, в этой формуле не известны количества товара в отчетном периоде (q₁), но известны индивидуальные индексы физического объема (i_p). Из формулы индивидуального индекса физического объема выражаем q₁:

и подставляем это выражение в агрегатную формулу индекса:

средний арифметический индекс физического объема.

Пример 1: Имеются следующие данные о продаже молочных продуктов на городском рынке:

Таблица 7.2 Данные о продаже молочных продуктов на городском рынке

Продукт	Товарооборот, тыс. руб.	Изменение цены в феврале по сравнению с январем, %
	Январь	Февраль
Сметана Молоко Творог	5,5 7,5 9,0	8,7 7,2 10,4	+4,5 +3,1 -2,0

Рассчитайте сводные индексы цен, товарооборота и физического объема продаж. Определите изменение товарооборота за счет действия различных факторов.

Решение:

1) Введем в табл. 7.2 обозначения:

- это товарооборот января (январь базисный период);

- товарооборот февраля (февраль отчетный период);

изменение цен в феврале по сравнению с январем по каждому товару в процентах характеризуют индивидуальные индексы цен (), чтобы определить, на сколько процентов изменились цены, нужно из индекса цен вычесть 100%:

2) Рассчитаем сводный (общий) индекс цен.

Выписываем его агрегатную формулу: . Значения для каждого товара известны, поэтому числитель индекса определить можем, а вот знаменатель нет. Выразим для каждого товара из формул :

.

Полученное выражение для р₀ подставляем в агрегатную формулу индекса цен:

.

Рассчитаем индивидуальные индексы цен:

для сметаны =+4,5%, значит =1,045;

для молока =+3,1%, значит =1,031;

для творога =-2,0%, значит =0,98.

Подставляем полученные числовые значения в формулу индекса цен:

,

т. е. цены на данную группу молочных товаров в феврале по сравнению с январем увеличились на 1,5%;

Рассчитаем общий индекс товарооборота:

,

т. е. товарооборот в феврале по сравнению с январем увеличился на 19,5%;

Рассчитаем общий индекс физического объема:

,

т. е. физический объем продаж молочных товаров на рынке города увеличился на 17,7%;

Определим изменение товарооборота за счет действия различных факторов:

- за счет изменения цен:

=26,3 - 25,9 = 0,4 тыс. руб.,

т. е. за счет увеличения цен в феврале по сравнению с январем товарооборот увеличился на 0,4 тыс. руб., или на 1,5% (см. ) - это величина перерасхода покупателей за счет увеличения цен;

- за счет изменения физического объема продаж:

= 25,9 - 22,0 = 3,9 тыс. руб.,

т. е. за счет увеличения физического объема продаж товарооборот увеличился на 3,9 тыс. руб., или на 17,7% (см. ) - это выигрыш потребителей за счет увеличения объема потребления;

- в целом:

=26,3 - 22,0 = 4,3 тыс. руб.,

т. е. в целом товарооборот увеличился на 4,3 тыс. руб., или на 19,5% (см. ).

Должны выполняться следующие равенства:

1) ;

.

2) ;

.

В зависимости от выбора базы сравнения:

1) ряды индексов с переменной базой сравнения - цепные индексы. В системе цепных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнями предыдущих периодов;

2) ряды индексов с постоянной базой сравнения - базисные индексы. В системе базисных индексов сравнение уровней индексируемого показателя в каждом индексе производят с уровнем базисного периода.

Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальными так и общими.

Для индивидуальных цепных и базисных индексов выполняется следующая взаимосвязь:

1) произведение всех последовательных цепных индексов дает базисный индекс за рассматриваемый период (последний базисный);

2) частное от деления данного базисного индекса на предыдущий равно цепному.

В зависимости от выбора весов цепных и базисных индексов :

1) индексы с постоянными весами;

2) индексы с переменными весами.

Система индексов с постоянными весами - это система индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, не меняющимися при переходе от одного индекса к другому:

а) система базисных индексов с постоянными весами:

;;

б) система цепных индексов с постоянными весами:

;;

Система индексов с переменными весами - это система индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, последовательно меняющимися при переходе от одного индекса к другому:

а) система базисных индексов с переменными весами:

;;

б) система цепных индексов с переменными весами:

;;

Ряды агрегатных индексов с постоянными весами имеют преимущества: сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами. Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить от цепных общих индексов к базисным, и наоборот.

В рядах агрегатных индексов с переменными весами умножение цепных индексов не дает базисных. Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным и наоборот невозможен. Вместе с тем в статистической практике часто возникает необходимость определения динамики цен за длительный период времени на основе цепных индексов цен с переменными весами. Тогда для получения приближенного значения базисного индекса цепные индексы цен перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускаются ошибки.

2. Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов

Для изучения динамики качественных показателей (цена, себестоимость, производительность труда, средняя заработная плата и т. д.) определяют изменение средней величины индексируемого показателя, которое обусловлено взаимодействием двух факторов:

изменение значения индексируемого показателя у отдельных групп единиц;

изменение структуры явления.

Для определения влияния каждого из этих факторов на общую динамику средней применяются индексы переменного, постоянного (фиксированного) состава и индекс структурных сдвигов.

Индексом переменного состава является индекс, отражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам.

Рассмотрим индекс цен переменного состава:

.

Отражает соотношение средней цены товаров в текущем и базисном периодах.

Поскольку средняя цена товаров определяется по формуле средней арифметической взвешенной как отношение товарооборота к объему продаж (,), то индекс цен переменного состава может быть записан следующим образом:

.

Если от объемов товара в натуральном выражении перейти к их удельным весам, то данный индекс может быть записан так:

где - доля каждого товара соответственно в базисном и отчетном периодах.

Индекс постоянного (фиксированного) состава - характеризует динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре. Индекс постоянного состава показывает, как в отчетном периоде по сравнению с базисным изменилось среднее значение показателя по какой-либо однородной совокупности за счет изменения только самой индексируемой величины, т. е. когда влияние структурного фактора устранено.

Индекс цен фиксированного состава:

или -

индекс цен фиксированного состава.

Индексом структурных сдвигов называется индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня изучаемого явления.

Индекс цен структурных сдвигов:

или

индекс цен структурных сдвигов.

Взаимосвязь: .

Помимо мультипликативной модели, на основе индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов может быть построено аддитивное разложение, отражающее абсолютное изменение среднего уровня качественного показателя за счет отдельных факторов.

Так, например, общий абсолютный прирост (уменьшение) средней цены товаров в целом по совокупности находится как разность числителя и знаменателя индекса цен переменного состава:

или .

Абсолютный прирост (уменьшение) средней цены за счет изменения цен по отдельным единицам совокупности (например, по отдельным рынкам) определяется как разность числителя и знаменателя индекса цен фиксированного состава:

или .

Абсолютный прирост (уменьшение) средней цены за счет структурных изменений рассчитывается как разность числителя и знаменателя индекса цен структурных сдвигов:

или .

Общий прирост результативного показателя должен быть равен сумме приростов за счет каждого из факторов. Аддитивное разложение имеет вид:

.

Пример 2: Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города:

Таблица 7.3 Данные о продаже картофеля на рынках города

Рынок	Базисный период	Отчетный период
	Цена за 1 кг, руб.	Продано, ц	Цена за 1 кг, руб.	Продано, ц
1 2 3	40 30 35	24 18 32	40 35 45	22 20 35

Определить индекс цен переменного состава, индекс цен фиксированного состава и индекс цен структурных сдвигов. Сделать выводы по результатам расчетов.

Решение:

1) Индекс цен переменного состава:

, таким образом, в отчетном периоде по сравнению с базисным средняя цена картофеля по рынкам города увеличилась на 15,8 %;

2) Индекс цен фиксированного состава:

-

за счет изменения цен на картофель на отдельных рынках средняя цена в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 16,8 %;

3) Индекс цен структурных сдвигов:

,

то есть за счет изменения долей отдельных рынков в их общем объеме продаж (или за счет структурных сдвигов) в отчетном периоде по сравнению с базисным средняя цена картофеля снизилась на 0,8%.

Пример 3: Продукт А производится на двух предприятиях региона:

Таблица 7.4 Данные о себестоимости и физическом объеме выпуска продукта А предприятиями региона

№ предприятия	Себестоимость за единицу продукта, долл. США	Физический объем выпуска, тыс. шт.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
1 2	75 56	72 57	8 18	14 17

Определить:

1) изменение средней себестоимости продукта А в процентах и в абсолютном размере;

2) абсолютное изменение средней себестоимости за счет действия отдельных факторов:

а) изменения себестоимости по отдельным предприятиям;

б) структурных сдвигов в общем объеме выпуска продукции.

Решение:

1) Определим удельные веса каждого предприятия в производстве продукта А в отчетном и базисном периодах:

Таблица 7.5 Расчетная таблица

№ предприятия	Физический объем выпуска, тыс. шт.	Удельный вес выпуска, %
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
1 2	8 18	14 17	0,308 0,692	0,452 0,548
Итого	26	31	1,000	1,000

2) Изменение средней себестоимости в процентах характеризует индекс себестоимости переменного состава:

.

Абсолютное изменение средней себестоимости:

долл. США.

Средняя себестоимость продукта А в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 3,1%, или на 1,93 долл. США;

3) а) Абсолютное изменение средней себестоимости за счет изменения себестоимостей по отдельным предприятиям можно определить, если из числителя индекса фиксированного состава вычесть знаменатель:

долл. США.

За счет изменения себестоимости продукта А на отдельных предприятиях средняя себестоимость снизилась на 0,81 долл. США;

б) Абсолютное изменение средней себестоимости за счет структурных сдвигов в общем объеме производства можно определить, если из числителя индекса структурных сдвигов вычесть знаменатель:

долл. США.

За счет изменения долей отдельных предприятий в производстве продукта А (или за счет структурных сдвигов общем объеме выпуска) его средняя себестоимость увеличилась на 2,74 долл. США.

Взаимосвязь:

;

1,93 = -0,81 + 2,74.

Разновидностью относительных величин является территориальный индекс, т. е. сравнение показателей, относящихся к разным территориям.

Пример: Товарооборот регионов А и В, база сравнения регион В.

, , тогда .

3. Использование индексного метода в анализе взаимосвязей экономических явлений

Индексный метод используется при изучении роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, позволяя определить размер абсолютного и относительного изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности.

Роль отдельных факторов изменения результативного показателя оценивается путем построения системы взаимосвязанных индексов. В основе приема аналитических индексных расчетов лежит принцип элиминирования изменений величины всех факторов, кроме изучаемого. Предпосылкой такого анализа является возможность представления результативного экономического показателя произведением двух или более определяющих его величину показателей (факторов) или суммой таких произведений.

Между индексами существует такая же взаимосвязь и взаимозависимость, как и между самими экономическими явлениями, что позволяет проводить факторный анализ. Благодаря индексному методу можно рассматривать все факторы независимо друг от друга, что дает возможность определить размер абсолютного изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности.

Предположим, что сложный результативный показатель , где а и b - показатели-факторы.

Изменение сложного явления может быть представлено индексом

.

Абсолютное изменение явления А под влиянием всех факторов представляет собой разность между числителем и знаменателем индекса:

.

Для выявления влияния каждого фактора в отдельности индекс сложного показателя разлагают на частные (факторные) индексы, характеризующие роль каждого фактора.

Применяются два метода разложения общего индекса на частные:

- метод обособленного изучения факторов;

- последовательно-цепной метод.

При первом методе сложный показатель берется с учетом изменения лишь того фактора, который взят в качестве исследуемого, все остальные остаются неизменными на уровне базисного периода. Роль каждого фактора определяется по следующим формулам:

фактор а: ;

фактор b: .

Абсолютное изменение результативного показателя за счет каждого фактора получается как разность между числителем и знаменателем индекса:

фактор а: ;

фактор b: .

Однако необходимо иметь в виду, что факторные индексы при данном методе не разлагают полностью величины абсолютного изменения результативного показателя. Получается некоторый неразложенный остаток, который следует рассматривать как результат совместного действия факторов, т. е.

.

Последовательно-цепной метод предполагает использование системы взаимосвязанных индексов, которая требует определенного расположения факторов. Как правило, на первом месте в цепи располагают качественный фактор. Увеличение цепи факторов на один фактор (например, ) каждый раз должно давать показатель, имеющий реальный экономический смысл. При выявлении влияния факторов определяются факторные индексы. При определении влияния первого фактора все остальные сохраняются в числителе и знаменателе на уровне отчетного периода; при определении второго факторного индекса первый фактор сохраняется на уровне базисного периода, а третий и все последующие - на уровне отчетного периода; при определении третьего факторного индекса первый и второй факторы сохраняются на уровне базисного периода, четвертый и все остальные - на уровне отчетного периода и т. д.

Предположим, что , при этом обеспечена правильность расположения факторов:

.

Частные индексы следующие:

для фактора а: ;

для фактора b: ;

для фактора с: .

Абсолютное изменение результативного показателя за счет каждого фактора:

;

;

.

Общее изменение результативного показателя равно сумме изменений за счет каждого из факторов:

.

Абсолютное изменение сложного экономического показателя за счет каждого фактора может быть определено и в том случае, если этот показатель представляет собой сумму произведений, определяющих его величину показателей. К числу таких показателей относятся общая стоимость всей выработанной (или реализованной) продукции, общая сумма затрат труда на производство всей продукции.

Агрегатный индекс общей стоимости продукции () равен произведению агрегатного индекса физического объема продукции () и агрегатного индекса цен (). В общем виде это разложение должно быть записано так:

;

Общее абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет двух факторов составляет:

.

Абсолютное изменение общей стоимости продукции за счет отдельных факторов:

а) изменения физического объема продукции:

,

б) изменения цен на продукцию:

.

Общее абсолютное изменение результативного показателя составит алгебраическую сумму абсолютных изменений за счет отдельных факторов, т. е.

.

Агрегатный индекс общих затрат () равен произведению агрегатного индекса физического объема продукции () и агрегатного индекса себестоимости ().

В общем виде это разложение должно быть записано так:

;

Общее абсолютное изменение общих затрат на выпуск продукции за счет двух факторов составляет:

.

Абсолютное изменение общих затрат за счет отдельных факторов:

а) изменения физического объема продукции:

,

б) среднего изменения себестоимости единицы продукции:

.

Общее абсолютное изменение общих затрат составит:

.

Тест к теме 7

1. Относительная величина, характеризующая изменение социально-экономических показателей в пространстве или по сравнению с планом, - это:

а) ряд динамики; б) индекс; в) дисперсия; г) мода.

2. Индекс - это:

а) абсолютная величина;

б) относительная величина, характеризующая изменение социально-экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с планом;

в) показатель, позволяющий определить тенденции развития социально-экономических явлений во времени и пространстве;

г) числовое значение статистического показателя, представленного во временной последовательности.

3. Величина, позволяющая привести разнородные элементы в сопоставимый вид, - это

а) коэффициент соизмерения; б) индексная величина; в) коэффициент роста.

4. Основным элементом индексного отношения является:

а) коэффициент соизмерения; в) индексируемая величина;

б) прямой показатель; г) нет верного ответа.

5. При сопоставлении данных с уровнем договорных обязательств говорят

а) об индексах динамики;

б) индексах выполнения обязательств;

в) индексах выполнения договоров.

6. Общие индексы характеризуют

а) изменение отдельных элементов сложного явления;

б) изменение факторов, влияющих на сложное явление;

в) изменение показателей в целом по всей совокупности.

7. По содержанию индексируемых величин индексы классифицируются

а) на индексы качественных и объемных показателей;

б) индексы качественных и количественных показателей;

в) индексы общих и объемных показателей.

8. Классификация индексов на индивидуальные и общие осуществляется

а) по содержанию индексируемой величины;

б) количеству измерений;

в) охвату явлений.

9. Какая задача решается с помощью индексов:

а) анализ изменения социально-экономических явлений;

б) выявление имеющихся резервов повышения эффективности общественного производства;

в) обобщение и систематизация результатов наблюдения;

г) нет верного ответа?

10. Средние из индивидуальных индексов рассчитываются по формулам:

а) арифметической и гармонической;

б) арифметической и геометрической;

в) геометрической и гармонической.

11. Выберите из перечисленных индексы количественных показателей:

а) индекс потребления; в) индекс цен;

б) индекс средней заработной платы; г) индекс курса валют.

12. Что относится к индексам качественных показателей:

a) индексы курса валют, национального дохода;

б) индексы производительности труда, физического объема розничного товарооборота;

в) индексы производительности труда, средней заработной платы?

13. Индивидуальный индекс характеризует:

а) изменение факторов, влияющих на сложное явление;

б) изменение сложного явления;

в) изменение частей сложного явления.

14. Выбор формы индекса зависит

а) от цены за единицу товара;

б) целей исследования;

в) промежутка времени.

15. По степени охвата явлений выделяют:

а) общие индексы; б) частные индексы; в) относительные индексы.

16. Основной формой общих индексов является:

a) средняя; б) агрегатная; в) качественная.

17. - это…

a) индекс физического объема Пааше;

б) индекс физического объема Ласпейреса.

18. Выберите индекс цен Ласпейреса:

a) ; б) ; в) .

19. Выберите индекс физического объема товарооборота Пааше:

a) ; б); в).

20. Индекс цен Ласпейреса - это

а) индекс с весами отчетного периода; б) индекс с весами базисного периода.

21. Индекс структурных сдвигов характеризует:

а) изменение среднего уровня признака за счет изменения уровней у различных единиц;

б) соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам;

в) изменение среднего уровня признака за счет структурных изменений;

г) нет верного ответа.

22. Каким образом выражается взаимосвязь индексов переменного, постоянного составов и структурных сдвигов:

a) ; б) ; в)

23. Системы индексов с постоянными весами - это:

а) система индексов различных социально-экономических явлений с неменяющимися весами;

б) система индексов одного и того же явления с неменяющимися весами;

в) система индексов однородных социально-экономических явлений с неменяющимися весами.

24. Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода, если это индексы…

а) цен с постоянными весами;

б) цен с переменными весами;

в) физического объема с постоянными весами;

г) стоимости;

д) физического объема с переменными весами;

е) индивидуальные.

25. Определить изменение (в %) физического объема продаж в июне по сравнению с апрелем, при условии:

Период	Изменение физического объема продаж
В мае по сравнению с апрелем В июне по сравнению с маем	Рост на 5% Рост на 4%

а) рост на 20%; б) снижение на 20%; в) рост на 9,2%.

26. Какой индекс измеряет динамику среднего уровня экономического показателя:

а) индекс переменного состава;

б) индекс фиксированного состава;

в) цепной индекс;

г) базисный индекс с переменными весами?

27. Для оценки изменения средней себестоимости однородной продукции используется индекс:

а) агрегатный по Ласпейресу,

б) агрегатный по Пааше,

в) переменного состава,

г) любой из приведённых в пунктах а) - в).

28. - это …

a) изменение стоимости товаров за счет изменения физического объема товарооборота;

б) изменение стоимости товаров за счет изменения цен;

в) изменение стоимости товаров за счет изменения физического объема товарооборота и цены.

29. Как определить абсолютный размер экономии (перерасхода) покупателей в результате изменения цен на группу товаров:

а) невозможно определить;

б) как разность индекса стоимости и индекса цен;

в) как разность числителя и знаменателя индекса цен;

г) как разность числителя и знаменателя индекса стоимости?

30. Общий абсолютный прирост средней цены за счет изменения цен на отдельные товары находится по формуле:

a) б) в)

31. Недостающими числами в формуле для расчета индекса влияния структурных сдвигов на изменение средней урожайности зерновых культур (индекс структурных сдвигов) являются

При условии:

Культуры	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
Пшеница	450	540	22	25
Рожь	350	460	10	15

а) 460 и 25; б) 350 и 25; в) 460 и 22.

32. Производительность труда рабочих на предприятии увеличилась в отчетном периоде на 1,2%, а численность рабочих сократилась на 5%. Как изменился объем произведенной продукции на предприятии:

а) увеличился на 6,5%; в) снизился на 3,86%;

б) увеличился на 0,06%; г) увеличился на 6,26%?

33. Трудоемкость одного изделия в отчетном периоде снизилась на 2,5%, а объем произведенной продукции увеличился на 3,2%. Как изменились при этом затраты времени на производство продукции (Трудоемкость оценивает уровень затрат времени на 1 руб. произведенной продукции):

а) увеличились на 8%; в) увеличились на 5,8%;

б) увеличились на 0,62%; г) снизились на 21, 875%?

34. В отчетном периоде по сравнению с базисным стоимость основных средств увеличилась на 17%, а фондоотдача снизилась на 5%. Как изменился объем произведенной продукции (Фондоотдача оценивает количество продукции, приходящееся на 1 руб. основных фондов):

а) увеличился на 11,15%; б) увеличился на 23,16%; в) снизится на 18,80%?

35. Затраты на одно изделие увеличились в отчетном году в среднем на 7,2%, а на все произведенные изделия - на 8%. Как изменилось количество изготовленных изделий:

а) увеличилось на 11,1%; б) увеличилось на 1,1%;

в) увеличилось на 7,5%; г) нельзя определить?

36. Определить перерасход средств предприятия в результате роста себестоимости единицы продукции в расчете на весь выпуск отчетного периода, при условии:

Показатели	Базисный период	Отчетный период
Выпуск продукции, шт. Себестоимость единицы продукции, руб.	400 140	380 150

а) 2800; б) 3800; в) 4000.

Задачи для решения

1. Как изменились цены на молочную продукцию (p), если известно, что объем реализации (q) этих продуктов увеличился на 15%, а товарооборот (pq) - на 21%?

2. Рост объема производства продукции фирмы во втором полугодии 2005 г. характеризуется следующими данными:

Месяц	Июль	Август	Сентябрь	Октябрь	Ноябрь	Декабрь
Объем производства, % к предыдущему периоду	101,5	100,8	100,3	98,8	94,6	99,5

Определите общее изменение объема производства продукции за весь рассматриваемый период (с июля по декабрь).

3. Имеются следующие данные о росте цен и тарифов на товары и услуги в Кировской области (декабрь к декабрю предыдущего года):

Год	2001	2002	2003	2004	2005
Индекс потребительских цен и тарифов на товары и платные услуги	1,173	1,139	1,133	1,116	1,113

Определить, на сколько процентов возросли цены и тарифы в 2005 г. по сравнению с 2001 и 2002 гг.

4. По имеющимся данным о средних оптовых ценах на мясные продукты в РФ в I квартале 2005 г. определите недостающие показатели.

Месяц	Цена за 1 кг, руб.	Индивидуальные индексы цен, %
		Цепные	Базисные
Январь Февраль Март	? 120,0 ?	- ? 105,3	100,0 ? 108,1

5. В отчетном году завод выпустил чугуна на сумму 4500 тыс. руб., стали - на 2700 тыс. руб., проката - на 2000 тыс. руб. По сравнению с прошлым годом рост цен на чугун составил 10 %, стали - 8%, проката - 3,3%.

Определить, на сколько процентов увеличилась стоимость продукции за счет увеличения цен в целом по предприятию (в процентах и в абсолютном размере).

6. Имеются следующие данные о реализации молока в магазинах города:

Магазин	Цена за единицу, руб.	Продано, л
	Сентябрь	Октябрь	Сентябрь	Октябрь
1 2 3	13 13 14	14 15 14	60 80 80	40 90 70

Определите:

1) общий индекс цен, общий индекс физического объема товарооборота, общий индекс товарооборота;

2) абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен и объемов реализации;

3) индекс цен переменного состава, индекс цен фиксированного состава, индекс цен структурных сдвигов;

4) абсолютное изменение средней цены молока за счет действия различных факторов:

а) изменения цен в отдельных магазинах;

б) структурных сдвигов в общем объеме проданного молока.

Сделайте выводы и покажите взаимосвязь индексов.

7. Строительно-производственная деятельность двух ДСК города характеризуется следующими данными:

Домостроительный комбинат	Построено жилья, тыс. м2	Себестоимость 1 м2, млн руб.
	1996	1997	1996	1997
ДСК-1 ДСК-2	53 179	68 127	1,5 1,7	1,7 1,9

Рассчитайте индексы себестоимости переменного и фиксированного составов, а также индекс структурных сдвигов. Объясните результаты расчетов.

8. Имеются следующие данные о производстве мебели на мебельной фабрике:

Вид продукции	Затраты на производство, млн руб.	Изменение себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с предыдущим, %
	Предыдущий период	Отчетный период
Диваны Кресла Столы	120 83 15	118 87 14	-8 +5 без изменения

Определите:

1) общий индекс себестоимости единицы продукции, общий индекс затрат на производство, общий индекс физического объема произведенной продукции;

2) абсолютное изменение затрат в отчетном периоде по сравнению с предыдущим за счет действия различных факторов.

Покажите связь между вычисленными показателями.

Сделайте выводы.

Тема 8. Выборочное наблюдение

1. Понятие о выборочном наблюдении

Статистическое наблюдение в зависимости от полноты охвата объекта может быть сплошным и несплошным. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности и связано с большими трудовыми и материальными затратами. Изучение не всех единиц совокупности, а лишь части, по которой следует судить о свойствах всей совокупности в целом, можно осуществить несплошным наблюдением. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное.

Выборочное наблюдение - это такой вид несплошного наблюдения, который дает возможность судить в целом о всей совокупности (генеральной) на основе обследования только части специально отобранных единиц (выборочной совокупности, или выборки).

Совокупность математических обоснований, используемых при выборочном наблюдении, - выборочный метод.

Преимущества выборочного наблюдения перед сплошным:

1. Экономия времени и средств в результате сокращения объема работы.

2. Сведение к минимуму порчи или уничтожения исследуемых объектов.

3. Необходимость детального исследования каждой единицы наблюдения при невозможности охвата всех единиц.

4. Достижение большой точности результатов обследования благодаря сокращению ошибок, происходящих при регистрации.

Преимущества выборочного наблюдения по сравнению со сплошным можно реализовать, если оно организовано и проведено в строгом соответствии с научными принципами выборочного метода.

Условия отбора единиц в выборочную совокупность

Каждая единица генеральной совокупности должна иметь равные возможности попасть в выборку.

Количество единиц в выборке должно быть достаточно большим.

Основная задача выборочного наблюдения в экономике состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверное суждение о показателях средней и доли в генеральной совокупности.

При любом статистическом наблюдении возникают ошибки двух видов:

1) ошибки регистрации:

- случайные;

- систематические;

2) ошибки репрезентативности (представительности):

- случайные;

- систематические.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полно воспроизводит генеральную. Они представляют собой расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и значениями этих величин, которые были бы получены при сплошном наблюдении, т. е. между величиной выборочных и соответствующих генеральных показателей.

Значения ошибки репрезентативности зависят от вида, метода и способа формирования выборочной совокупности.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности. При групповом отборе - качественно-однородные группы или серии изучаемых единиц. Комбинированный отбор предполагает сочетание первых двух.

По степени охвата единиц совокупности различают большие и малые (когда число отобранных единиц меньше 30) выборки.

Таблица 8.1 Условные обозначения

Показатель	Выборочная совокупность	Генеральная совокупность
Средняя
Дисперсия	уІ	SІ
Доля единиц, обладающих признаком	W	p
Численность единиц	n	N

Выборочная доля или частость определяются отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности n:

.

Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Поэтому ошибки выборки тоже являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок выборки - среднюю ошибку выборки ().

Возможные расхождения между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей измеряются средней ошибкой выборки . Она зависит:

- от объема выборки (чем больше численность выборки, тем меньше величина средней ошибки выборки);

- от степени варьирования изучаемого признака (степень варьирования характеризуется дисперсией) - чем меньше вариация признака, тем меньше средняя ошибка выборки.

При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки = 0, т. е. любая единица генеральной совокупности будет точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

.

Учитывая, что дисперсию генеральной совокупности (S²) иногда невозможно или нецелесообразно определить, в практике её заменяют выборочной дисперсией (уІ) с применением специального коэффициента , тогда и средняя ошибка выборки будет вычисляться по формуле (такая замена применяется в случае малой выборки n < 30).

Так как коэффициент К при достаточно больших n - величина близкая к 1

,

то можно принять уІ ? SІ, т. е.

(только для больших выборок).

Для среднего значения признака в генеральной совокупности имеем следующую оценку: или , а для доли единиц, обладающих признаком в генеральной совокупности: или .

Но такое суждение можно гарантировать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности, равной 0,683.

В математической статистике доказывается, что о величине средней ошибки можно судить с постоянной степенью вероятности 0,683, т. е. из 1000 выборочных обследований в 683 случаях сводные показатели генеральной совокупности будут отличаться от сводных показателей выборочной совокупности не более чем на величину средней ошибки выборки (м), а в остальных 317 случаях они могут выйти за эти пределы.

Чтобы повысить вероятность суждения, необходимо расширить пределы отклонений выборочной средней от генеральной (и выборочной доли от генеральной) путем увеличения средней ошибки в t раз.

Получаем новую ошибку:

,

где - предельная ошибка выборки;

t - нормированное отклонение, или «коэффициент доверия», зависящий от вероятности с которой гарантируется предельная ошибка.

Значения вероятности при различных значениях t определяют на основе специально составленных таблиц. Приведем некоторые значения, применяемые наиболее часто для выборок достаточно большого объема, где n :

Таблица 8.2

t	1	1,5	1,96	2	2,5	2,580	3
P - вероятность	0,683	0,866	0,950	0,954	0,988	0,990	0,997

Предельная ошибка выборки позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы.

Интервальная оценка:

или ;

или .

Величина ошибок зависит от способа отбора единиц в выборку.

2. Основные способы формирования выборочной совокупности

1) Собственно-случайный. Отбор единиц из генеральной совокупности производится в случайном порядке. Случайность отбора заключается в соблюдении 1-го принципа. На практике применяется жеребьевка или таблица случайных чисел.

Все виды выборок производятся по схеме повторного и бесповторного отбора. При повторном отборе, отобранная из генеральной совокупности единица после её регистрации, возвращается в генеральную совокупность и имеет возможность снова попасть в выборку. При бесповторном отборе отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность, т. е. не имеет возможности снова попасть в выборку, а оставшиеся единицы имеют большую возможность попасть в выборку, что нарушает первый принцип.

Для устранения указанного недостатка в подкоренное выражение формулы средней ошибки выборки вводится поправочный коэффициент :

.

Иногда на практике пользуются формулами без поправочного коэффициента, хотя выборку организуют как бесповторную, например, когда N неизвестно или безгранично, n очень мало по сравнению с N.

Для более точных расчетов необходимо проводить повторный отбор, но это не всегда возможно, поэтому используется бесповторный.

2) Механический. Отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, разбитой по нейтральному признаку на равные интервалы или группы, производится таким образом, чтобы из каждой такой группы в выборку попала лишь одна единица. Чтобы избежать систематической ошибки, отбираться должна единица, находящаяся в середине каждой группы. При организации механического отбора единицы совокупности располагают в определенном порядке, после чего отбирают заданное число единиц механически через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки. Так при 2%-й выборке отбирается и проверяется каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-м отборе - каждая 20-я (1:0,05). При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственно-случайному, поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственно-случайной бесповторной выборки.

3) Типологический. Типологическая выборка применяется для отбора единиц из неоднородной совокупности. Единицы генеральной совокупности предварительно объединяются по какому-либо типическому признаку в группы и отбор проводится в пределах этих групп.

Пример: разделим Кировскую область по характеру природных условий на три зоны:

- северная 300 предприятий;

- центральная 500 предприятий;

- южная 200 предприятий.

Из всех предприятий следует сформировать 10%-ю выборку (численность выборки составит 100 предприятий): (300 + 500 + 200)0,1 = 100 предприятий.

Отбор из каждой группы в выборку возможен по следующим схемам:

равномерный отбор (равное число единиц из каждой группы);

пропорционально среднему квадратическому отклонению в группах;

пропорционально численности единиц в группах;

пропорционально среднему квадратическому отклонению в группах и численности групп.

На практике чаще применяется отбор пропорционально численности единиц в группах. Более точный - последний.

Типическая выборка дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки, поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

4) Серийный. Когда единицы располагаются сериями, отбирать отдельные единицы нецелесообразно, проще организовать отбор серий и провести сплошное обследование выборки. Поскольку внутри серий обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой или межсерийной дисперсии.

5) Комбинированный. Перечисленные способы отбора в практике в чистом виде используются редко, чаще сочетаются, этот способ более точен.