Элементы логики. Множества и операции над ними. Понятие текстовой задачи и процесса ее решения. Натуральные числа и нуль

Размещено на http://www.allbest.ru/

РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

Тема 1.1 Множества и операции над ними (10ч.)

Тема 1.1.1 Понятие множества. Элементы множества. Виды множества. Способы заданий.(1ч.)

Итак, что же такое «множество?»

В науке, как и в жизни часто приходится рассматривать совокупности некоторых объектов как единое целое: флот, бригада, класс, род животных, набор, коллекция и т.д. Для математического описания этих совокупностей и было введено слово «множество». Множество книг в библиотеке, множество отрезков…

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, .... Z.

Таким образом, слово «множество» может применяется к объектам любой природы, выражает идею объединения объектов. Объекты, собранные в множество, называют элементами множества.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ъ, с, ..., z.

Равные элементы в множествах не повторяются (каждый элемент множества берется только один раз. Например, множество букв в слове «математика» записывается только один раз.

Способы задания множества:

1) Перечислением: А={ 5, 8, 3, 6};

2) общим свойством (характеристически):

Например: «быть двузначным числом» А={ х|хN и 10х99}, «множества А натуральных чисел» А={ х|хN }, «мн-во натуральных чисел меньших 7» обоз-ся А={ х|хN и х7}.

Пример. Используя понятие характеристического свойства, зададим следующие множества:

А = {б, в, г, д, ж, з, к, л, м, н, п, р, с, т, ф, х, ц, ч, ш, щ};

В = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый};

С = {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Решение. Множества А, В, С заданы способом перечисления элементов. Используя характеристические свойства, указанные множества можно задать следующим образом:

А -- множество согласных букв русского алфавита;

В -- множество цветов радуги;

С -- множество дней недели.

Пример Изобразим на числовой прямой элементы следующих множеств:

а) А = {х\х € N, 3 < х < 10};

б) В = \х\х € Z, -4 < х < 6};

в) С = {х\х € R, -5 х < 8};

Решение, а) Элементами множества А являются натуральные числа от 3 до 10, т. е. А = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Можно изобразить эти числа точками на числовой прямой

б) Множество В состоит из всех целых чисел, находящихся в промежутке от --4 до 6, т. е. В = {--4, --3, --2, --1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.Число 6 не принадлежит множеству В, поскольку х < 6. На числовой прямой множество В изображается выколотой точкой.

в) Множество С состоит из всех действительных чисел, принадлежащих промежутку от --5 до 8. Причем число --5 принадлежит множеству С, а число 8 не принадлежит. Можно изобразить множество С = [--5, 8) на числовой прямой.

Тема 1.1.2 Равные множества. Круги Эйлера

Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества. Пересечение, объединение, разность множеств. (1ч.)

Равенство множеств. Ш.

Понятие равенства множеств совпадает с понятием равенства мешков. Равные множества отличаются только порядком элементов.

Подмножество. ,

1) ввести понятие подмножества как части множества. Научить использовать , .

2) Рассмотреть частные случаи А А, Ш А.

3) Разбиение множества на части (классы).

Понятие подмножества аналогично понятию части. Но есть и отличия. Говорить, что часть всегда меньше целого, в теории же множеств любое множество является подмножеством самого себя: А А, т.к. пустое множество не содержит элементов, то не может являться подмножеством (хотя в теории множеств Ш любому множеству).

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

Упражнения

1. Назовите три элемента множества:

а) учебных предметов, изучаемых в начальной школе;

б) четных натуральных чисел;

в) четырехугольников.

2. Запишите, используя символы:

а) Число 14 - натуральное;

б) Число -7 не является натуральным;

в) Число 0 - рациональное;

3. Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них верные:

а) 100 N; г) 5, 36 Q; ж) -7, 3 R;

6)-8Z; f)102R; з) N;

B)-12N; e)Q; и) 0 N.

4. Запишите множество букв в слове «математика» и множество цифр в записи числа 5125353.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А - {а, Ъ, с, d, е}, В - {b, d, k, т), С =, {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, Ъ, с, d, e} и В = {с, d, e}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут В А.

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Определение. Множества А и В называются равными, если А В и В А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера¹.



А б в г

Чертежи, кот-е наз-ся кругами ЭЙЛЕРА:

Пример Определим, в каких отношениях находятся множества А и В. Изобразим эти отношения при помощи диаграмм Эйлера--Венна, если:

а) А -- множество гласных букв русского алфавита;

В - множество звонких согласных.

б) А -- множество натуральных чисел, кратных 3;

В -- множество натуральных чисел, кратных 9.

Решение, а) Поскольку множества А и В не имеют общих элементов, то они не пересекаются. Поэтому на диаграммах Эйлера-- Венна они будут изображаться так, как два круга не имеющих общих точек.

б) Представим множества А и В в следующем виде:

А = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...};

В = {9, 18, 27, 36, ...}.

Из приведенных записей очевидно, что множества А и В пересекаются. Кроме того, каждый элемент множества В принадлежит множеству А, т.е. В С А. (рис.под буквой а)

множество натуральный число задача

Тема 1.1.3 Разбиение на части

Под классификацией в науке понимают логическую операцию, состоящую в разбиении всего множества по каким - либо свойствам на подмножества, при этом должны выполняться условия:

1) ни одно из подмножеств не пусто;

2) подмножества попарно не пересекаются;

3) объединение всех подмножеств совпадает с самим множеством.

Классификацию можно выполнить:

1) путем указания признака (класс имеющих и не имеющих указанный признак).

Если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разобъется на 2 класса (I - объекты, которые обладают эти свойством, II - не обладают).

Например, множество натуральных чисел по признаку быть двузначным числом, или быть кратным 3.

Классификация - это наведение порядка в множестве (все «вещи» раскладываются по «полочкам»). Ни один предмет не может находиться одновременно на 2-х полках, кроме того, все до одного предмета должны быть убраны).

Упражнения

1. Даны два множества: X = {2, 4, 6} и Y = {0, 2, 4, 6, 8}.

Верно ли что:

а) множества X и Y пересекаются;

б) множество X является подмножеством множества Y;

в) множество Р = {4, 0, 6, 8, 2} равно множеству У?

2. Из множества К = {216, 546, 153, 171, 234} выпишите

числа, которые:

а) делятся на 3; б) делятся на 9;

в) не делятся на 4; г) не делятся на 5.

Есть ли среди полученных подмножеств такое, которое равно множеству К!

3. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами Си D, если:

а) С - множество двузначных чисел,

D = {3, 43, 34, 56, 103};

б) С - множество двузначных чисел,

D - множество четных натуральных чисел;

в) С - множество двузначных чисел,

D - множество трехзначных чисел;

г) С - множество двузначных чисел,

D - множество натуральных чисел, не меньших 10.

4. Какое из данных множеств является подмножеством другого:

а) А - множество натуральных чисел, кратных 2,

В - множество натуральных чисел, кратных 6,

С - множество натуральных чисел, кратных 3.

б) А - множество треугольников,

В - множество прямоугольных треугольников, С- множество остроугольных треугольников.

Пересечение множеств:

1) Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, АВ = {х|х А и х В}. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область.

В том случае, когда множества А и В не. имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = 0.

2) Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?

Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В- двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множества В- «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 А В, поскольку число 24 четное и двузначное.

Упражнения

Найдите пересечение множеств А и В, если:

a)A = {a, b, c, d, e, f}, B={b, e, f, k}

б) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В= {17, 26, 58}.

в) А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В= {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

2.Из каких элементов состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

3.М- множество однозначных чисел, Р- множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит пересечение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4.Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением: а) был треугольник; б) был отрезок; в) была точка.

Объединение множеств

1) Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А и В.

(

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению, А и В = {х \ х А или х В}.



Если множества заданы характеристическими свойствами их элементов, то надо использовать союз « или».

2)Найдем, например, объединение множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В- «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых- «быть четным натуральным или двузначным числом». Тогда Д=АВ

Пример: 8 АВ, 36 АВ

3)Рассмотрим теперь случай: АВ=А, т.е. ВА, характеристическое свойство элементов множества А и В будет таким, как и свойство элементов множества А.

Упражнения

Найдите объединение множеств А и В, если:

а) А = {а, Ъ, с, d, e, f), В = {Ь, e, f, k).

6)А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В= {17, 26, 58}.

в)А = {26, 39, 5, 58, 17, 81}, В= {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

Из каких элементов состоит объединение множества букв м слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?

М - множество однозначных чисел, Р- множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых х- действительное число:

а) х > -2 и х > 0;. в) х 5 и х < -7, 5;

б) х > -3, 7 и х 4; г) -2 <х < 4 и х -1;

д)-7х5 и -6х2.

8. Начертите две фигуры, принадлежащие объединению множеств С и D, если:

а) С-множество ромбов,

D - множество прямоугольников;

б) С - множество равнобедренных треугольников,

D - множество прямоугольных треугольников.

Тема 1.1.4 Разность множеств

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем: А\В={х\хА и х В}.

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А\В изобразится заштрихованной областью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если же ВА, то А\В на-ся дополнением мн-ва В до мн-ва А и обоз-ся

А\В= В_А¹

В_А = {х | х А и х В}.

Определение. Пусть В а А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Упражнения

1. Найдите разность множеств А и В, если

а) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = {2, 4, 6, 8, 10};

б) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В = 0;

в) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, !? ={1, 3, 5};

г) А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, В ={6, 2, 3, 4, 5, 1}.

Тема 1.1.5 Декартово произведение множеств(1ч.)

Запишем с пом. цифр 3 и 5 четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: {а; Ь). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:

АхВ= {(х; у) | х А и у В}.

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.

Рассмотрим два одинаковых мн-ва А={3, 5}, тогда АхА={(3;3), (3;5), (5;3), (5;5)}

Примечание:

Можно изобразить декартово произведение множеств:

1) при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке:

2) Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных):

А) А = {1, 2, 3} и В= {3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке:

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В - на оси Оу.

Декартово произведение представлено точками.

б) ) А = {1, 2, 3} и В= [3, 5]

Решение, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая -любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками

В) бесконечны оба множества А=[1, 3] и В=[3, 5] тогда АхВ это все, что внутри квадрата, т.е. этот квадрат (его нужно заштриховать):

Г) А=R и В=R, т.е. на мн-ве действительных чисел. То АхВ это вся координатная плоскость.

Д) А=R и В=[3, 5], то АхВ - полоса. (рис.)



Упражнения

1. Перечислите элементы декартова произведения А хВ, если:

а)А = {a, b, c, d}, B= {b, k, l}

д)А=В= {а, Ь, с};

ъ)А = {а, Ь, с}, В = 0.

2.Изобразите в прямоугольной системе координат множество Ах В, если:

а) А = [-2, 2], В ={2, 3, 4};

2. Изобразите в прямоугольной системе координат декартово произведение множеств и , если

1)

2)

Тема 1.1.6 Число элементов в объединении и разности конечных множеств(1ч.)

Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А = {x, y, z}, а В = {k, l, m, p }, то Ах В = {х, у, z, к, I, т, р). Чтобы ответить на вопрос: «Сколько элементов в полученном множестве?» -достаточно пересчитать их.

А как определять число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?

Условимся предложение «Множество А содержит а элементов» записывать в таком виде: п(А) = а. Например, если А = {х, у, z}, то утверждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: п(А) = 3.

Если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В - b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т.е.

п(А В)= n(A) +n(B)=a+b и если А = {x, y, z}, а В = {k, l, m, p }, то а+в=3+4=7

Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств.

1 пример: А = {х, у, г, р, /}, а В = {х, р, t}. Найдем число элементов в дополнении подмножества В до множества А.

Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(А) = 5, п(В) = 3. Тогда п(В'_А) = п(А) - п{В) = 5-3 = 2. Таким образом, в дополнении множества В до множества А содержится два элемента.

Формула позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств.

2 пример: А если множества А а В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении?

п(А В) = п(А) + п(В) - п(А В)

Пусть А={x, y, z}, а В = { k, у, х, m, p }, тогда: n(АВ)=6, т.к. п(А) = 3, п(В) = 5, n(АВ)=2, и п(А В) = п(А) + п(В) - п(А В)=3+5-2=6

Если же мн-ва не пересекаются, то n(АВ)=0 и мы придем к формуле:

п(А В)= n(A) +n(B)=a+b

Задача: Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 - немецкий язык, а 15 - английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изучающих английский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык. По условию задачи: п(А) = 32, п{В)= 21, п(АВ) = 15. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1 способ

1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):

п(А В)= п(А) + п(В) - п(А В) = 32 + 21 - 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.

2 способ.

1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рис.). Так как в

пересечении множеств А и В со держится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32- 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий - 6 (21 - 15 = 6). Тогда п(А В) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2., т.к. n(С)=40

Упражнения

Из 32 школьников 12 занимаются в волейбольной секции, 15 - в баскетбольной, 8 человек занимаются и в той, и в другой секции. Сколько школьников не занимаются ни в волейбольной, ни в баскетбольной секции?

В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты - 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? только монеты?

Катя положила в коробку 4 зеленых круга, 6 треугольников и 3 красных многоугольника. Всего в коробке оказалось 11 фигурок. Сколько среди них красных треугольников?

1.1.7 Контрольная работа №1. Тема: «Множества и операции над ними»

ВАРИАНТ 1

1. Дано:

Составить множество

2. Изобразите в прямоугольной системе координат лекарство произведение множеств и , если

1) ,

2) ,

3. Из 320 школьников 163 играют в баскетбол, 175 - в футбол, 24 играют в эти игры. Сколько человек играют только в футбол, только баскетбол? Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

4. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А и В, если

1) А - множество чётных чисел; В - множество чисел кратных 5;

2) А - множество квадратов;

В - множество прямоугольников с равными сторонами;

5. Найдите пересечение множеств А и В, если:

1)А={а, Ь, с, d, е} В = {k, m, d, t, f)

2) А = {17, 20, 21, 22, 30} В = {19, 22, 25, 26, 27}

Найдите разность множеств А = {х, у, г, р, n}, В = {х, р, t}.

7. Найдите объединение и пересечение множеств: -8х4 и -5х3.

РАЗДЕЛ IІ. ПОНЯТИЕ ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ И ПРОЦЕССА ЕЕ РЕШЕНИЯ

Тема 2.1 Понятие текстовой задачи. Способы и этапы ее решения

План лекции:

1. Понятие текстовой задачи, ее структура.

2. Методы решения текстовых задач.

3. Этапы решения задач и приемы их выполнения.

1. Задача является средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления.

Поэтому надо знать, как построены задачи и уметь их решать прежде всего арифметическим способом.

Структура текстовой задачи.

Простая задача - словесная модель явления (ситуации).

Пример: Свитер, шапку и шарф связали из 1200г шерсти. На шарф потребовалось на 100г шерсти больше, чем на шапку и на 400г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

Свитер, шапка и шарф - объекты задачи.

Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения: (условие)

1. Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2. На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3. На шарф израсходовали на 400г меньше, чем на свитер.

Требования:

1. Сколько израсходовали на свитер?

2. Сколько израсходовали на шапку?

3. Сколько израсходовали на шарф?

Решением задачи называется процесс нахождения результата.

2. Методы решения текстовых задач:

1. Арифметический метод.

Решить задачу арифметическим методом, значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами.

Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами.

Пример: Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько блузок можно было сшить из этой ткани, если расходовать на одну 2 м?

1 способ.

1) 4*3=12 (м) - было ткани

2) 12:2=6 (блузок) - можно сшить из12 м ткани

2 способ.

1) 4:2 = 2 (раза) - во столько раз больше идет на платье, чем на блузку

2) 3*2=6 (блузок) - столько блузок можно сшить из ткани

2. Алгебраический метод - с помощью уравнения или систем уравнений

В задаче про свитер, шапку и шарф:

1 способ: х - (г) масса шерсти, израсходованная на шапку

(х+100) (г) - шарф

((х+100)+400) (г) - свитер

Уравнение: х + (х+100) + ((х+100) +400)=1200

Х=200 (г) - шапка

i. способ: х - масса шерсти, израсходованная на шарф

(х-100) (г) - на шапку

(х+400)(г) - на свитер

Уравнение: х + (х-100) + (х+400) = 1200

Х=300(г) - шарф

3 способ: х - масса шерсти, израсходованная на свитер

(х-400)(г) - израсходовали на шарф

(х-400 - 100) (г) - израсходовали на шапку

Уравнение: х + (х-400) + (х-500) = 1200

Х=700(г) - свитер

Задание: Решить различными способами задачи на с. 120 №1, 2, 3.

Решение упр. На с.117 №1(а), 5 - 10.

3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Деятельность по решению задачи арифметическим способом состоит из следующих этапов:

1. Анализ задачи

2. Поиск плана решения

3. Осуществление плана решения

4. Проверка решения задачи

Названные этапы не имеют четких границ. Все зависит от уровня решающего. Однако полное, завершенное решение обязательно содержит все указанные этапы.

1. Анализ задачи.

Основное назначение этапа - понять в целом ситуацию, описанную в задаче, выделить условие и требование, назвать известные и неизвестные объекты, выделить отношения между ними.

Можно использовать специальные вопросы.

О чем задача?

Что требуется найти в задаче?

Что обозначают те или иные слова в задаче?

Что в задаче неизвестно?

Что является искомым?

Рассмотреть задачу на с138 №3 (б).

Большую помощь в осмыслении задачи играет перефразировка. Путем отбрасывания несущественной, лишней информации, замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и наоборот.

Таблица или схематический чертеж являются вспомогательными моделями задачи.

После построения модели задачи необходимо проверить:

1. Все ли объекты задачи показаны на модели

2. Все ли отношения между объектами отражены

3. Bсе ли числовые данные проверены

4. Есть ли вопрос.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

Как искать план решения?

Однозначного ответа нет. Это трудный процесс и точно не определяется. Можно только указать некоторые приемы.

Например: разбор задачи по тексту или модели.

Разбор в виде цепочки рассуждений. Выделяют 2 данных и ищут третье и т.д.

Рассмотреть задачу на с.124.

3. Осуществление плана решения.

Назначение этапа - найти ответ на требование, выполнив все действия в соответствии с планом. Для текстовых задач используются приемы: запись по действиям и запись в виде выражения.

I 1) 56*6=336 (км)

2) …

II 56*6 + 56*6*4 =

4. Проверка решения задачи

Назначение этапа - установить правильность или ошибочность решения.

Приемы:

1) Установление соответствия между результатом и условиями задачи.

Для этого найденный результат вводится в условие задачи и устанавливается не возникает ли противоречий.

1680-336=1344

1344: 336=4

Следовательно, задача решена верно.

2) Решение задачи другими способами.

3) Установление границ искомых величин.

Тема 2.2 Моделирование в процессе решения текстовых задач

План лекции:

1. Понятие модели

2. Виды абстрактных моделей

3. Алгоритм решения задач методом математического моделирования

4. Роль компьютерной графики

1. Мы неоднократно использовали термины «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом из изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем эта реальность.

Математическая модель - это описание какого-либо процесса на языке математических понятий, формул, отношений.

Текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить математическую модель.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (или запись по действиям), если задача решается арифметическим спсособом и уравнение (или система уравнений), если задача решатся алгебраическим методом.

В процессе решения задач четко выделяются три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык. При этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними.

II этап - внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, решение уравнения, выполнение действий).

III этап - интерпретация, т.е. перевод полученного результата на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Например, решаем алгебраическим способом задачу.

«В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?

Решение:

Пусть х - первоначальное число пассажиров во 2 вагоне,

Тогда 2х - первоначальное число пассажиров в 1 вагоне;

2х-3 - осталось пассажиров в 1 вагоне;

х+7 - осталось пассажиров во 2 вагоне, так как пассажиров тало поровну, то получаем уравнение 2х-3=х+7 - это математическая модель данной задачи.

Следующий этап - решение уравнения, получаем х=10.

III этап - используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во 2 вагоне было 10 человек, а в 1 вагоне 20 человек.

Самый сложный 1 этап, чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели, схемы, таблицы и т.д.

Психологи считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, процесс решения задачи есть процесс ее переформулирования. При этом основная форма мышления есть анализ и синтез. Моделирование - главное средство переформулирования.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования текстовой задачи выбирают другой объект и изучают его.

Виды моделей.

1. Схематизированные:

а) вещественные - обеспечивают физическое действие с предметами (пуговицы, спички …)

б) графические - используются для обобщенного воссоздания ситуации.

Виды: рисунки, условные рисунки, чертежи, схематичные чертежи.

2. Знаковые - выражения, уравнения, системы уравнений, запись решения по действиям.

Рассмотреть задачи на с. 130 №2(а, б, в).

Дома решить на с. 134 №7 (а, б)

Решение задач на части.

Рассматриваемые величины в таких задачах состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других надо выделить, приняв подходящую величину за 1 и определив из каких частей состоят другие величины. Используются модели с помощью отрезков или прямоугольников.

Задача на с.135, с 137 (7), с.138 (2, 4 (а))..

Задачи на движение.

Этот тип задач объединяет такие задачи, которые решаются на основании зависимости S, V и t. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.

1) на встречное движение (с.141)

2) на движение в одном направлении: движение начинается в одном пункте или в разных пунктах. (с.143 №3 и №4)

3) на движение в противоположном направлении: одновременно или в разное время (с.146 № 6, 7).

Задачи, связанные с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и т.д.)С.148 №9, с.150 №5

1.Определение: Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

В моделировании есть два пути:

1. Модель может быть похожей копией объекта, выполненной в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей. Например: игрушечный домик, кораблик, самолетик и множество других натуральных моделей.

2. Модель может отображать реальность более абстрактно-словесным описанием в свободной форме, описанием формализованным по каким-то правилам, математическим соотношениям и т.д.

Виды абстрактных моделей:

1). Вербальные (текстовые) модели.

Эти модели используют последовательности предложений для описания той или иной области действительности. Например, правила дорожного движения или милицейский протокол.

2). Математические модели.

Они выражают существенные черты объекта или процесса языком уравнений или других математических средств. Математические модели традиционны для теоретической физики, химии, биологии и т.д.

В реализации математического моделирования часто используют компьютер. Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически для обработки информации. Это стало неотъемлемой частью работы физика, инженера и т.д.

3 Алгоритм решения задач методом математического моделирования

См. схему на с.150.

Математическому моделированию подлежат объекты и процессы реального мира.

I этап - определение целей моделирования.

Основные цели:

1. Модель нужна для того, чтобы узнать (понять), как устроен конкретный объект или как проистекает процесс; какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром - понимание. (такие модели называются дескриптивными)

2. модель нужна, чтобы управлять объектом или процессом и определять наилучшие способы управления - управление (такие модели называются оптимизационными)

3. модель нужна, чтобы прогнозировать последствия - прогнозирование (такие модели называются прогностическими)

Например, какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически более выгодным? Или как составить график выполнения сотен видов работ на строительство большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок?

Кроме дескриптивных, оптимизационных и прогностических моделей выделяют: игровые и имитационные.

Пример игровой модели: полководец перед сражением должен разработать план: в каком порядке вводить войска и т.д.

Пример имитационной модели - изучение изменения численности микроорганизмов в колонии, когда рассматривается много отдельных объектов и отслеживается каждый при наличии определенных условий для его выживания, размножения и т.д.

IV этап - поиск математического описания.

Модель предстает в этот момент в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств и т.д.

V этап - исследование

Когда модель выбрана, выбирают метод ее исследования.

В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов

Особую роль при компьютерном математическом моделировании играет графика. Ее цель - сделать невидимое и абстрактное «видимым» (видимость весьма условна). Можно ли увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации?

Да, можно, с помощью графики и ее математической обработки. А также квантовая химия дает нам возможность «увидеть» строение молекулы.

Задачи на проценты

Хозяйка в первую неделю израсходовала 40% купленной муки, во вторую неделю - 40% остатка, а в третью -- всю оставшуюся муку. Сколько всего муки израсходовала хозяйка, если в первую неделю она израсходовала на 0, 2 кг муки больше, чем в третью?

Турист прошел весь маршрут за 3 дня. В первый день он прошел 37, 5% всего пути, во второй день - 40% остатка, после чего ему осталось пройти на 6, 5 км больше, чем он прошел во второй день. Какова длина всего маршрута?

Расстояние между двумя городами автомобиль проехал за 3 часа. В первый час он проехал 37, 5 % всего пути, во второй - 60% остатка, а в третий на - на 20 км меньше, чем в первый. Найдите расстояние между городами.

Из урожая зерновых колхоз продал государству 10%, 40% остатка засыпал на семена, 80% нового остатка выдали колхозникам, а оставшиеся 1080 ц составили фуражный фонд. Сколько зерна колхоз продал государству, оставил на семена и выдал колхозникам?

Овощная база в первый день отпустила 40% всего картофеля, во второй -60% остатка, в третий - 85% нового остатка, а в четвертый - остальное количество - 180 ц. Сколько картофеля отпускала база ежедневно?

На нефтебазу привезли 30 цистерн нефти по 16, 5 в каждой. В первый день отпустили 40% привезенной нефти, во второй - 80% того количества, которое отпустили в первый день, а остальную нефть - в третий день. Сколько нефти отпустили в третий день?

На хлебозавод привезли 20 автомашин муки по 3, 5 т на каждой машине. В первый день израсходовали 35% муки, во второй - 60% остатка, а в третий - остальную муку. Сколько муки израсходовали за третий день?

Поезд, скорость которого 48, 6 км\ч, прошел за 3 часа расстояние, составляющее 9% всего пути. Расстояние пройденное в первый день, составляло 40% пути, во второй -60% остатка, а остальной путь - расстояние между городами А и В. Определите расстояние между этими городами.

Самолет, скорость которого 840 км\ч, пролетел за 3 часа расстояние, составляющее 25% всего маршрута. Расстояние от взлета до первого приземления составляло 0, 35 всего маршрута. Расстояние между первым и вторыми приземлением составляло 60 % остатка, а расстояние между вторым и третьим - остальной путь. Определите расстояние между вторым приземлением и конечным пунктом маршрута.

На топливный склад прибыло 25 вагонов угля по 60 тонн в каждом, что составляло 8% годичного поступления угля. В первую неделю отпустили 25% угля, поступившего на склад, во вторую - 48% остатка, а в третью - остальной уголь. Сколько тонн угля должен получить склад за год? Сколько тонн угля отпускал склад еженедельно?

Комбайнер за 3 дня намолотил 63, 9 т пшеницы, что составляло 18% задания. В первый день он выполнил 0, 3 того, что намолочено за 3 дня, во второй день - 60 % остатка, а в третий - остальную пшеницу. Сколько тонн зерна намолачивал комбайнер в каждый из этих дней, и каково плановое задание?

На лесосклад привезли 20 вагонов леса по 38, 5 куб.м. в каждом вагоне. Из них сосна составляла 60%, дуб - 45% количества сосны, а остальной лес - береза и липа. Сколько было на складе березы и липы.

Легковая автомашина в первый час прошла 48 км, что составляет 20% всего расстояния между городами, во второй час - 18, 75% остатка, а остальной путь - за последующие три часа, поровну в каждый из них. Сколько км проходила автомашина в каждый из последних трех часов?

Из топливного склада привезли в первый день 12, 6 т угля, во второй - 75% того количества, которое привезли в первый, а в третий - в 1, 5 раза меньше того, что привезли за первые 2 дня. Количество вывезенного угля за 3 дня составляло 16% всего угля, имеющегося на складе. Сколько тонн угля было вначале на складе?

Три бригады производили прополку кукурузы. Первая бригада прополола 30% всей площади, вторая - 60% того, что прополола первая, а третья остальную площадь. Сколько гектаров пропололи все бригады вместе, если третья бригада прополола на 198 га больше, чем первая?

Три звена производили посадку леса. Первое звено засадило 38% всей площади, второе - 52% остатка, а третье - остальную площадь. Сколько га леса посадили 3 звена, если первое звено посадило на 1, 44 га больше, чем второе?

Лесничество производило посадку леса. Под сосну отвели 32, 5% всей площади, под дуб - 70% остатка, а остальную площадь - под другие деревья. На какой площади посадили деревья, если под сосну отвели на 12, 25 га больше, чем под другие деревья?

Бригада рабочих решила за три дня провести водопровод. В первый день она проложила 35% всего водопровода, во второй - 60% остатка, а в третий - остальную часть, причем в третий день бригада проложила на 3, 12 км меньше, чем во второй. Сколько км водопровода проложила бригада за три дня?

Три класса учащихся помогали колхозу в прополке кукурузы. Один класс пропололи 30% всей площади, второй - 60% остатка, а третий - всю остальную площадь. Сколько га кукурузы пропололи три класса вместе, если третий класс прополол на 11, 2 га меньше, чем второй?

Тема 2.3 Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения.(8ч.)

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения называются комбинаторными.

Комбинаторные задачи в начальном курсе систематически решаются как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю начальных классов необходимы определенные навыки решения комбинаторных задач. Прежде всего, он должен, решая несложные комбинаторные задачи, уметь грамотно осуществлять перебор всевозможных вариантов и при этом быть уверенным в том, что перебор осуществлен правильно. Учителю надо знать общие правила комбинаторики (суммы, произведения), некоторые виды комбинаций, число которых может быть подсчитано с помощью формул.

Впервые во 2 классе II часть Ур. 37-42. К настоящему времени дети уже достаточно подготовлены к усвоению мысли о целесообразности упорядоченного перебора правила суммы и произведения.

1. Правило суммы - для нахождения числа элементов в объединении непересекающихся конечных множеств. Если объект а можно выбрать m способом, а объект в - k способом, то выбор» либо а, либо в» -( m + k) способом.

Задача: На тарелке лежит 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Так как в задаче речь идет о выборе либо яблок, либо апельсинов, то согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способом.

2. Правило произведения - для нахождения элементов в декартовом произведении. Если объект а можно выбрать m способом, а объект а, в - k способом, то пару (а, в)можно выбрать - m х k способом.

Задача1: На тарелке 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов из апельсинов и яблок.

Решение, т.к. речь идет о выборе пары (яблоки, апельсины), то согласно правилу произведения 4 х 5 = 20 способов.

Задача 2: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4, 5?

Решение: О подсчете числа наборов из трех элементов (кортеш), согласно правилу произведения получим 3 х 3 х 3 = 27 способов.(т.к. цифры в записи числа могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно подобрать 3 разными способами каждую.)

Задача. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?

Решение. Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру - цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Столько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц.

Итак, цифру тысяч можно выбрать одним способом, цифру сотен - двумя, цифру десятков - двумя, цифру единиц - двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1х2х2х2 = 8.

Таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.

Задача. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5х5х4= 100 способами.

Дерево возможностей - наиболее универсальное средство для поиска решения.

Т.к. детям самим сложно отыскать логику, то надо показать детям использование «дерева».

*
	0	1	2	3
II	3	2	1	0

Типовые примеры

Пример. В вазе для фруктов лежало 6 яблок, 5 груш и 4 персика. Сколькими способами можно выбрать один плод для угощения?

Решение. В задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо груша, либо персик». Число способов осуществить такой выбор определяется по правилу суммы:

6 + 5 + 4 = 15 (способов).

Пример. Нужно купить подарок для первоклассника, состоящий из ранца, пенала, подставки для книг и дневника. Сколькими способами это можно сделать, если магазин предлагает 4 вида ранцев, 5 видов пеналов, 3 вида подставок и 2 вида дневников?

Решение. Ответ на вопрос задачи сводится к подсчету числа способов осуществить выбор «и ранец, и пенал, и подставка, и дневник». Очевидно, что задача решается по правилу произведения, а значит, подарок можно составить

4 * 5 * 3 * 2 = 120 (способами).

Упражнения:

1. Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя цифры 3, 4, 5 и 6? Сколько различных двузначных чисел можно записать, используя при записи числа каждую из указанных цифр только один раз? Запишите эти числа.

Сколько трехзначных чисел можно составить из трех различных, не равных нулю цифр? Зависит ли результат от того, какие цифры взяты? Укажите какой-нибудь способ перебора трехзначных чисел, при котором ни одно число не может быть пропущено.

Сколько всевозможных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Изменится ли решение этой задачи, если вместо цифры 4 будет дана цифра О?

Сколько всевозможных четырехзначных чисел можно составить, используя для записи цифры 1, 2, 3 и 4? Какова разность между самым большим и самым маленьким из них?

Сколько пятизначных чисел, первые (слева) три цифры которых 2, 3 и 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Изменится ли ответ в этой задаче, если цифры в записи числа не будут повторяться?

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составляют всевозможные пятизначные числа, причем так, что в записи каждого числа содержатся все данные цифры. Сколько можно составить таких чисел? Чему будет равна разность между наибольшим и наименьшим из полученных чисел?

Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7, 4 и 5? Сколько среди них четных? Нечетных? Кратных 5?

Размещения, перестановки, сочетания

Правила суммы и произведения - это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчета числа отдельных видов комбинаций, которые встречаются наиболее часто. Рассмотрим некоторые из них.

Используя цифры 7, 4 и 5образовать всевозможные двузначные числа.

Решение: 77, 74, 75, 47, 44, 57, 54, 55.

Мы образовали различные кортежи длины 2 с повторяющимися элементами из трех цифр. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями с повторениями из трех элементов по два элемента.

Определение. Размещение с повторениями из k элементов по m элементов - это кортеж длины m, составленный из m элементов k элементного множества.

Таким образом два размещения из k элементов по m элементов отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Возникает вопрос: «Сколько всевозможных размещений по m элементов каждое можно образовать из k элементов данного множества?».

Обозначают число всевозможных размещений с повторениями из k элементов по m элементов - А.

Выведем эту формулу.

Пусть в множестве Х содержится k элементов. Будем образовывать из них различные кортежи по m элементов. Такие кортежи образуют множество Х х Х х … Х, содержащее m множителей. По правилу произведения

n(Х х Х х …х Х) = n(Х) х n(Х)… n (Х) = k х k … х k = k^m

m множителей m множителей

Таким образом А _лⁿ = k^m