Элементы логики. Множества и операции над ними. Понятие текстовой задачи и процесса ее решения. Натуральные числа и нуль

Переворот в геометрии произошел в начале XIX в., когда несколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н. И. Лобачевский, профессор Казанского университета. Его рассуждения сводились к следующему.

Рассмотрим в плоскости прямую а и проведем из точки А перпендикуляр АС к прямой а и луч АВ, перпендикулярный АС (рис. 132). Возьмем некоторую прямую AM, пересекающую прямую а в точке М. При неограниченном удалении точки М по прямой а прямая AM будет приближаться к некоторому предельному положению. Логически могут представиться две возможности:

а) луч AM совпадает с лучом АВ;

б) луч AM составит с лучом АВ некоторый острый угол.

Допуская, что имеет место случай б), Лобачевский начал выводить различные следствия из этого допущения, надеясь, что рано или поздно придет к противоречию, чем и завершится доказательство. Однако, доказав несколько десятков теорем, он так и не обнаружил логических противоречий. И тогда Лобачевский высказал мысль: если заменить пятый постулат его отрицанием (т.е. принять, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, ей параллельной) и сохранить все остальные аксиомы евклидовой геометрии, то получим новую геометрию, которую он назвал «воображаемой», а позднее она была названа его именем - геометрией Лобачевского.

Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без использования пятого постулата, сохраняются и в геометрии Лобачевского.

Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны;

из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр.

Теоремы же, при доказательстве которых применяется пятый постулат, в геометрии Лобачевского видоизменяются, например сумма величин внутренних углов любого треугольника меньше 180°, не существует подобных треугольников: если углы двух треугольников соответственно равны, то эти треугольники равны. Так как в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов четырехугольника меньше 360°, то в ней не существует прямоугольников. Позже было доказано, что аксиоматика, предложенная им, независима и непротиворечива.

Открытие, сделанное Н. И. Лобачевским, сыграло огромную роль в развитии математики и физики. В его работах была не только полностью решена проблема независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии, но и было показано, что аксиомы могут подвергаться изменению, что привлекло внимание ученых к вопросам аксиоматики геометрии. Кроме того, было установлено, что геометрия Лобачевского точно описывает взаимосвязь пространства и времени, открытую А. Эйнштейном в теории относительности.

После открытия Н. И. Лобачевского стало ясно, что пятый постулат (аксиома параллельности) не может быть исключен из списка аксиом и постулатов, сформулированных Евклидом. Общая тенденция к повышению строгости построения математических теорий во второй половине XIX в. сказалась и в геометрии. Она выразилась в стремлении дополнить систему аксиом евклидовой геометрии, включив в нее все предложения, которые неявно использовались при доказательстве теорем.

Итог всем исследованиям в этой области подвел крупнейший немецкий математик Д. Гильберт. Произошло это в конце XIX столетия. В своей книге «Основания геометрии» он дает полный список аксиом евклидовой геометрии и доказывает непротиворечивость этой аксиоматики. Сформулированные им аксиомы относятся к точкам, прямым, плоскостям и отношениям между ними, которые выражаются словами «принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них, выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп.

Первая группа - аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

Через две точки проходит одна и только одна прямая.

На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

В связи с данными тремя аксиомами сделаем одно замечание. Известно, что на прямой бесконечное множество точек, но в аксиоме 2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому бесконечность множества точек на прямой надо будет доказывать, исходя из аксиом первой и последующих групп.

Для построения планиметрии ограничиваются указанными аксиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа - аксиомы порядка. Они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие отрезка, луча, угла. Отрезок - это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами отрезка АВ.

Луч с началом О - это совокупность всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О.

Угол - это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.

Третья группа - аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным образом.

Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой.

Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка В\ лежит между двумя точками А\ и Q. Если при этом отрезок АВ равен отрезку А ₁В и отрезок ВС равен В ₁С ₁, то АС = А ₁С _1.

По данную сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом, единственным образом.

Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

Четвертая группа состоит из аксиомы непрерывности.

1. Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не имеет проколов, что она непрерывна. Действительно, если на числовой прямой выколоть только одну точку - нуль, то числа, соответствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса: отрицательные и положительные. И в первом классе (среди отрицательных чисел) нет самого правого (самого большого), а во втором - самого левого.

Пятая группа состоит из единственной аксиомы - аксиомы параллельности.

1. В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, составляет евклидову геометрию.

Вообще в основу этой геометрии могут быть положены разные аксиоматики (система основных понятий и аксиом), но несмотря на их различия в геометрии изучают одни и те же фигуры и получают одни и те же их свойства. Аксиоматическое построение геометрии осуществляется по одним и тем же правилам:

1. Выделяются основные понятия геометрии, которые принимаются без определений.

2. Формулируются аксиомы, в которых раскрываются свойства основные понятий, нужные для построения геометрии, т.е. аксиомы по существу являются неявными определениями основных понятий (в остальном природа основных понятий безлична). Система аксиом должна удовлетворять ряду условий.

3. Дальнейшее построение геометрии ведется в соответствии со следующими требованиями:

а) всякое геометрическое понятие (термин), если оно не основное, определяется через основные или ранее определенные понятия;

б) всякое геометрическое предложение (теорема, признак, следствие) доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем.

Чертежи при таком построении геометрии играют вспомогательную роль.

Выводы: Геометрия зародилась в Древнем Египте пять-шесть тысяч лет назад и первоначально была набором правил, которые помогали измерять длины, площади, объемы и решать другие практические задачи.

В Древней Греции геометрия стала теоретической наукой. В III в. до н.э. Евклид построил ее на аксиоматической основе. Эта форма оказалась настолько совершенной, что две тысячи лет работа Евклида «Начала» была основным руководством по геометрии, которую стали называть евклидовой.

Переворот в геометрии произошел в XIX в., когда Н. К. Лобачевский построил «воображаемую геометрию», в которой выполнялась аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Она заменила пятый постулат Евклида. Эта замена и привела к новой геометрии - неевклидовой. Позже были созданы и другие геометрии. С появлением неевклидовых геометрий возникла проблема строгого логического обоснования самой евклидовой геометрии. Наибольшую известность в этой области получили работы немецкого математика Д. Гильберта - ему удалось построить аксиоматику евклидовой геометрии, которая широко используется в настоящее время.

РАЗДЕЛ VI ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Тема 6.1 Свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве

Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку- тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.

Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии. Вспомнить их определения.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающими более быстрое решение вопроса об отношениях между ними. Таких признаков три.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Отметим еще несколько важных свойств треугольников.

1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следующее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6. Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Тема 6.2 Многогранники и их изображения

Шар - одна из простейших фигур, обладающая разнообразными свойствами. Некоторые из них были известны еще древнегреческим математикам.

Поверхность шара называется сферой. Определяются сфера и шар аналогично тому, как определяются окружность и круг на плоскости.

Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - ее радиусом.

Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем некоторого данного положительно расстояния. Данная точка - это центр шара, а данное расстояние - радиус шара.

Заметим, что радиусом шара и сферы называют не только расстояние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с точкой на сфере.

Диаметр шара и сферы - это любой отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, а также длина этого отрезка.

Если шар пересечь плоскостью, проходящей через его центр, то пересечением будет круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Этот круг называют большим кругом, а его окружность - большой окружностью или экватором.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса

Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим прямую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ON и OS, равные СМ, получим полюсы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса: строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру. Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эллипс, большой осью которого является, а центром - точка О.

2. Прямой круговой цилиндр - геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей, и перпендикулярных плоскостям оснований.

Радиусом цилиндра называется радиус окружности его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Его осью называется прямая, проходящая через центры окружностей оснований

3.. Конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - его вершину - с точками некоторого круга - основания конуса.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются его образующими. центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки SC и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок CD не совпадает с диаметром основания конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром окружности основания, перпендикулярна основанию.

Высотой конуса называется расстояние от его вершины до основания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учеб.пособие для студентов средн. пед. учеб. заведений - 3 -е изд., испр. - М.: Издательский центр «Академия», 1998.

2. Стойлова, Л.П., Пышкало, А.М. Основы начального курса математики [Текст]: Учебное пособие для учащихся педучилищ по специальности №2001 «Преподавание в начальных классах общеобразовательных школ». - М.: Просвещение, 1988.

3. Виленкин, Н.Я., Пышкало, А.М., Стойлова, Л.П. Математика [Текст]: учеб. пособие для студентов пединститутов по специальности №2121 «Педагогика и методика начального обучения». - М.: Просвещение. 1977.

4. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7 - 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 1997.

Размещено на Allbest.ru