Элементы логики. Множества и операции над ними. Понятие текстовой задачи и процесса ее решения. Натуральные числа и нуль

Пользуясь формулой, легко посчитать (смотри задачу выше), что

= 3² = 9, т.к. речь идет о размещениях с повторениями из трех элементов по два.

Задача: Из цифр 7, 4 и 5 составить двузначные числа, чтобы цифры в записи числа не повторялись.

Решение: 74, 75, 47, 45, 57, 54.

Таким образом, встречаются задачи, в которых требуется подсчитать числа кортежей длины m, образованных из k элементов некоторого множества, при условии что, элементы в кортеже не повторяются. Такие кортежи называются размещениями без повторений из k элементов по m элементов.

Определение. Размещение без повторений из k элементов по m элементов - это кортеж длины m, составленный из неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.

Обозначается - читается: число размещений без повторений из k элементов по m элементов.

Выведем эту формулу:

Пусть k = n (x). Будем образовывать из них различные размещения без повторений из m элементов. Тогда выбор первого элемента можно осуществить k способами, выбор второго (k - 1) способом (т.к. после выбора первого элемента кортежа в множестве Х остается k -1 элемент). Третий элемент можно выбрать k -2 способами и т.д., третий элемент можно выбрать k- (m -1) способами.

Значит, = k (k - 1) (k - 2) … (k - m + 1)

m множителей

Задача: Сколько всевозможных трехзначных чисел можно записать, используя цифры 7, 4, 5, чтобы числа не повторялись?

Решение. В задаче рассматриваются размещения без повторений из трех элементов по три, и их число можно подсчитать по формуле:

= 3 (3 - 1)(3 - 2) = 6.

Числа: 745, 754, 457, 475, 547, 574.

Заметим, что в данном случае разные числа получаются в результате перестановки цифр. Поэтому размещения из k элементов по k элементов называется перестановками из k элементов без повторений.

Обозначают P_k и вычисляют по формуле:

= P_k

Читают: число перестановок без повторений из k элементов.

P_k = k! (k! = 1 х 2 х 3 … k, читают «k факториал» например, 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 120).

Из элементов множества Х = {7, 4, 5} можно образовать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений.

Определение. Сочетание без повторений из k элементов - это m - элементное подмножество множества, содержащего k элементов.

Два сочетания из k элементов по m элементов отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Обозначается:

Читают: число сочетаний без повторений из k элементов по m элементов.

Образуем различные двухэлементные подмножества из элементов множества Х = 7, 4, 5. Их будет три: 7, 4 ; 7, 5 ; 4, 5. Из элементов каждого такого подмножества можно образовать 2 кортежа длины 2.

(7, 4) (7, 5) (4, 5)

(4, 7) (5.7) (5, 4)

Все полученные кортежи являются размещениями без повторений из трех элементов по два и их число равно = 3х2 = 6.

т.е. =

Пусть n (Х) = k. Образуем из них сочетания без повторений по m элементов. Они будут представлять собой m - элементные подмножества множества Х. Всего таких подмножеств будет . Из элементов каждого подмножества можно образовать m! перестановок, т.е. кортежей длины m

В итоге получим m ! х кортежей длины m, образованных из k элементов множества х. Их число равно .

Таким образом

= m! х =

РАЗДЕЛ ІІІ. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ

Тема 3.1 Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков - немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за », заданное на непустом множестве N.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Суть отношения «непосредственно следовать за » раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами: 1) 1 М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М, совпадает с множеством N.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за », удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за », удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:

1, 2, 3, 4, ...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что

b' = а.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за », которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что "за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И, конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Тема 3.2. Запись целых неотрицательных чисел и алгоритм действий над ними

Тема 3.2.1 Запись чисел в десятичной системе счисления

1. Человеку часто приходится иметь дело с числами, поэтому надо уметь правильно записывать числа и производить над ними действия. В настоящее время используется повсеместно способ записи числа в десятичной системе счисления. Изучение этой темы начинается в начальной школе.

Определение. Система счисления - это язык для наименования, записи чисел и выполнения над ними действий.

Способ «записи» чисел с помощью пальцев, узлов не слишком удобен, т.к. существуют слишком большие числа. Поэтому счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов (считали по2, по 3, по 5, по 10, по 20 - люди племени «майя»). В Древнем Вавилоне считали по 60 единиц (185 - это 3 раза по 60 и еще 5).

Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Она берет свое начало от счета на пальцах. Возникла в Индии в VI веке. Старинные индийские цифры не всегда были такими. В России распространению десятичной системы способствовала книга педагога - математика Л.Ф. Магницкого, вышедшая в 1703 г на славянском языке. В ней выделено, что нумерация или счисление есть называние словами всех чисел, которые изображаются знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. 0 - не значащая цифра, если стоит одна.

Существует 2 вида систем счисления: позиционная и непозиционная.

Позиционная система счисления - если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.

Примеры: шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления.

Непозиционная система счисления - каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.

Пример: Римская система счисления: I - 1, V - 5, Х - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000.

а правила записи чисел заключаются в следующем:

1) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака, изображающего большее число, то производится сложение этих чисел:

XXV = 10 + 10 + 5 = 25;

MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650;

2) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед знаком, изображающим большее число, то производится вычитание:

CDIV = 500 - 100 + 5 - 1 = 404;

CMXL = 1 000 - 100 + 50 - 10 = 940.

IV - 4. XC - 90, 193 -( сто + сто без десяти + три) - CXCIII

564 - (500 + 50 + 10 + 4) - DLXIV

2708 - (1000 + 1000 + 500 +100 + 100 + 5 +3) - MMDCCVIII

Для более больших чисел используют букву m слева записи тысяч, справа сотни, десятки, единицы.

133842 - CXXXIII m DCCCXLII

В России до XVII века в основном употреблялась славянская нумерация, тоже непозиционная. Выполнять действия сложно, хотя числа записывать легче, чем с помощью узелков. Поэтому на смену пришла десятичная система счисления.

2. Запись чисел в десятичной системе счисления

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде:

Коротко:

Пример: 3745 = 3*103 + 7*102 + 4*101 + 5

Если , то числа 1, 10, 102 …., 10n называются разрядными единицами (первого, второго, … разряда), причем 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего (высшего) разряда.

Три первых разряда - I класс - единиц (единицы, десятки, сотни);

Три следующих разряда - II класс - тысяч (единицы, десятки, сотни);

III класс - миллионов (единицы, десятки, сотни);

и т.д.

В 10 - чной системе всем числам можно дать имя. За основу названия первых 10 чисел, путем прибавления других немногих слов получаются другие: 11 - 1 на 10, 20 - 2 десятка и т. д.

Миллион - 106, миллиард - 109, биллион (миллион миллионов) - 1012, триллион - 1015, квадриллион - 1018 и т.д. Чтобы получить название всех натуральных чисел в пределах миллиарда потребуется только 16 различных слов: 1, 2, 3, …, 9, 10, 40, 90, 100, 1000, миллион, миллиард, остальные составляются на основе их.

Десятичной записью натурального числа считают сумму разрядных слагаемых

3745 = 3*103 + 7*102 + 4*101 + 5.

3. Алгоритм арифметических действий.

А) Сложение. + 341

7238

7579

341 + 7238 = (3*102 + 4*101 + 1) + (7*103 + 2*102 + 3*101 + 8)= на основе коммутативного свойства сложения и ассоциативного свойства = 7*103 + (3*102 +2*102)+ (4*10 1 +3*101) +(1 + 8)= дистрибутивного свойства относительно сложения = 7*103 + (3+2)102 + (4 +3)101 +(1 + 8) = … = 7579

Типовые примеры

Пример 7.1. Определим, сколько единиц и какого разряда содержится в числе х, а также, сколько в этом числе всего целых: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, если: а) х = 50 208; б) х = 123 745.

Решение, а) В числе 50 208 содержится 8 единиц, 2 единицы

сотен (2 сотни), 5 единиц десятков тысяч (5 десятков тысяч).

В этом числе всего целых: единиц -- 50 208;

десятков -- 5 020;

сотен -- 502;

тысяч -- 50;

десятков тысяч -- 5.

б) В числе 123 745 содержатся 5 единиц, 4 единицы десятков (4 десятка), 7 единиц сотен (7 сотен), 3 единицы тысяч (3 тысячи), 2 единицы десятков тысяч (2 десятка тысяч) и 1 единица сотен тысяч (1 сотня тысяч).

В этом числе всего целых: единиц -- 123 745;

десятков -- 12 374; сотен -- 1 237;

тысяч -- 123;

десятков тысяч -- 12;

сотен тысяч -- 1.

Пример 7.2. Прочитаем записанные ниже числа и укажем, какие разрядные единицы и каких классов в них отсутствуют: а) 5 126 070 309; б) 10 698 500 770 032.

Решение, а) Число 5 126 070 309 читается как «пять миллиардов сто двадцать шесть миллионов семьдесят тысяч триста девять». В нем отсутствуют единицы десятков (класс единиц); единицы тысяч и сотен тысяч (класс тысяч).

б) Число 10 698 500 770 032 читается как «десять триллионов шестьсот девяносто восемь миллиардов пятьсот миллионов семьсот семьдесят тысяч тридцать два». В нем отсутствуют единицы сотен (класс единиц); единицы тысяч (класс тысяч); единицы миллионов и десятков миллионов (класс миллионов); единицы триллионов (класс триллионов).

Тема 3.2.2 Позиционные системы счисления, отличные от десятичной система счисления

Основанием позиционной системы может быть не только 10, но и другое число, р 2 - р - ичная система. Для записи чисел в р-ичной системе необходимо р знаков.

Определение. Записью натурального числа х в системе счисления с основанием р называют его представление в виде: , где принимают значения 0, 1, 2, , р-1.

Задача. Сосчитать число клеток в фигуре в 3 - ичной и 5 -ричной системе счисления.

1 2 10

11 12 20

21 22 100

В 3- ичной системе используются знаки 0, 1, 2.

Счет: 1 один, 2 - два, 10 - один, ноль; 11 - один, один; 12 - один, два; 20 - два, ноль; 21 - два, один; 22 - два, два; 100 - один, ноль, ноль. Всего: 1003

В 5 - ричной системе: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14. Всего: 145

Сравнение происходит также как и в десятичной системе счисления. 21013 < 21023

Арифметические действия происходят по тем же правилам, что и в 10 - ной системе. Нужно иметь таблицы сложения однозначных чисел в 3 - ичной системе:

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 10

2 2 10 11

Таблица сложения в 4- ричной системе

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 10

2 2 3 10 11

3 3 10 11 12

Используя таблицу можно складывать любые числа. 12213 + 1223=21203

Выполнять вычитание: 21103 - 2123 = 11213

Таблица умножения в 3- ичной системе:

х 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 11

Пример: 1223* 223= 120013

Таблица умножения в 5- ричной системе:

х 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 10 12

3 0 3 12 21

Деление выполняется на основании таблицы умножения.

Пример: 100113: 123=1223

Одно и тоже число может быть записано в любой системе счисления. Нужно уметь осуществлять переход из одной системы в другую.

Теория: Пусть дана запись числа в системе счисления с основанием р, т.е.

Найдем запись этого числа в 10 - ричной системе счисления. Можно записать а0 - остаток, меньший р. Дальше можно получить, что а1 - остаток и т.д.

Т.о. запись числа находят так: Число х делят ( в 10 -ной системе) на основание р; остаток, полученный при делении дает последнюю цифру а0 в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делят на р, новый остаток дает предпоследнюю цифру р -ичной записи числа х; продолжив деление найдем все цифры р - ичной записи числа х.

Пример: Перевести число 2436 в 8- ричную систему счисления.

2436 = 304*8+4 = (38*8+0)*8 +4 = 38*82+ 0*8 +4 =(4*8 +6)*82 + 0*8 +4 = 4*83 + 6*82 + 0*8 + 4 = 46048

Показать делением уголком.

2436| 8

4 304| 8

0 38| 8

6 4 отсюда с последнего частного, а затем остатков идет запись числа 4608 в восмиричной системе счисления.

Пример. Выполним действия в указанных системах счисления:

а) 5 0347 + 4 6527; б) 3 2145 * 125; в) 3 0058: 1038.

Пример. Переведем число в систему счисления с новым основанием:

а) 10 212з в десятичную систему счисления;

б) 285 из десятичной системы в четверичную.

Решение, а) Для перевода числа 10 212з в десятичную систему счисления воспользуемся способом умножения. Для этого представим число в виде суммы разрядных единиц:

10 2123 = 1 * З4 + 0 * З3 + 2 * З2 + 1 * 3 + 2,

а затем выполним в новой десятичной системе счисления все действия, указанные в правой части равенства. При этом получим 10 2123 = 104.

б) При переводе числа 285 в четверичную систему счисления удобнее использовать способ деления. Для этого разделим с остатком 285 на 4 -- основание новой системы счисления, затем полученное частное снова разделим на 4 и т.д., пока деление возможно. Запись остатков в обратном порядке и даст нам представление числа 285 в четверичной системе счисления. Все действия при этом будут выполняться в наиболее привычной для нас десятичной системе счисления.

Следовательно, 285 = 10 13144

РАЗДЕЛ IV. ПОНЯТИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ СИСТЕМ ЕДИНИЦ

Тема 4.1. Понятие величины и ее измерения

Известно, что числа возникли из потребности счета и измерения, но если для счета достаточно натуральных чисел, то для измерения величин нужны и другие числа. Однако в качестве результата измерения величин будем рассматривать только натуральные числа. Определив смысл натурального числа как меры величины, мы выясним, какой смысл имеют арифметические действия над такими числами. Эти знания нужны учителю начальных классов не только для обоснования выбора действий при решении задач с величинами, но и для понимания еще одного подхода к трактовке натурального числа, существующего в начальном обучении математике.

Натуральное число мы будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин - длин, площадей, масс, времени и др., поэтому прежде, чем говорить о взаимосвязи величин и натуральных чисел, напомним некоторые факты, связанные с величиной и ее измерением, тем более что понятие величины, наряду с числом, является основным в начальном курсе математики.

1.. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1)Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объектов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего не скажешь о форме - один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» - особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что-либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами: Например, длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородными величинами.

1. Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Другими словами, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А < В, А = В, А > В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В и В < С, то А < С.

Так, если площадь треугольника F₁ меньше площади треугольника F₂, и площадь треугольника F₂ меньше площади треугольника F₃, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F₃.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измерение из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А - это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х/Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А = х/Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = тЕ(А).

Например, если А ~ длина отрезка а, Е - длина отрезка b (рис. 118), то А = 4/Е. Число 4- это численное значение длины А при единице длины Е, или, другими словами, число 4-это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2, 7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2, 7 кг = 2, 7-кг; 13 см = 13-см; 16 с = 16 с.

Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразить 1\4ч в минутах. Так как1 ч = 60 и час = 60 мин, то ч = *60-мин = = 25 мин.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т.е. х*А. Но разрешается писать и так: А*х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А-х.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы -килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека- это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависимость, выражаемая формулой S=V/t

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.

Тема 4.2 Понятие площади фигуры, длины отрезка, объема тела и их единиц измерения

Геометрические величины - это свойства геометрических фигур, характеризующих их форму и размеры. К ним относятся: длина, площадь, объем и величина угла. Это скалярные величины, так как они определяются своими численными значениями.

В геометрии прежде всего изучают то число, которое получается в результате измерения величины, т.е. меру величины при выбранной единице величины. Поэтому часто это число называют длиной, площадью, объемом. Относительно этого числа решают различные теоретические задачи, в частности, каким требованиям оно должно удовлетворять как мера величины, существует ли оно, каким образом его можно определить. Вообще правила измерения геометрических величин и их обоснование - важнейшая задача геометрии.

Вопросы, связанные с измерением геометрических величин, достаточно трудны, поэтому рассмотрим их в небольшом объеме, особо выделив те, которые, непосредственно связаны с изучением величин в начальной школе.

1..Длина отрезка

Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представления о длине отрезка как геометрической величине.

Условимся о следующем: будем считать, что численное значение длины отрезка, концы которого совпадают, равно нулю. Тогда о длине произвольного отрезка будем говорить, что она выражается целым неотрицательным числом. Кроме того, будем использовать введенное в п. 77 понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:

равные отрезки имеют равные длины;

если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрезка. Результатом измерения длины отрезка х является неотрицательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.

Доказано, что такое число всегда существует" и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Из определения длинs отрезка следуют известные свойства численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

х = у <=> т(х) = т(у)

2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х₂, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х₂. Справедливо и обратное утверждение.

х = х, © х₂ <=> т(х) = т(х, ) + т(х₂)

3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.

2. Величина угла и ее измерение

Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в геометрии нет.

Определение. Величиной угла называется неотрицательная величина, определенная для каждого угла так, что:

равные углы имеют равные величины;

если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.

Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина.которого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.

На практике за единицу измерения величины угла принимают градус - часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого - 180°.

Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1', одну секунду - 1". Так, если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3' 12". Если нужна большая точность в измерении величин углов, используют и доли секунды.

Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол равен 45 градусам».

На практике величины углов измеряют с помощью транспортира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.

Для численных значений величины угла выполняются свойства, аналогичные свойствам численных значений длин отрезков.

Если два угла равны, то меры их величин также равны, и обратно: если меры величин углов равны, то равны и сами углы.

Больший угол имеет большую меру, и обратно: если мера величины одного угла больше меры величины другого, то первый угол больше второго.

При сложении величин углов меры их складываются, а при вычитании - вычитаются.

3.Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры. Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольных фигур или площади криволинейных фигур и т.д. Мы будем рассматривать понятие площади применительно к многоугольникам и ограниченным плоским фигурам.

Если говорят, что фигура F состоит (составлена) из фигур F, и F₂, то имеют в виду, что она является их объединением и у них нет общих внутренних точек. В этой же ситуации говорят, что фигура F разбита на фигуры F₁ и F₂ и пишут F = F₁® F₂.

Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 177, можно сказать, что она составлена из фигур F, и F₂ или, что она разбита на фигуры F, и F₂.

Определение. Площадью фигуры называется неотрицательная скалярная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

равные фигуры имеют равные площади;

если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Эти свойства площади фигуры используются при ее измерении. Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е. Результатом измерения площади фигуры F будет неотрицательное действительное число, обозначим его S(F). Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади Е.

В геометрии доказано, что для многоугольников и ограниченных плоских фигур такое число всегда существует и оно единственно.

Из определения площади следуют известные свойства численных значений площади. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица площади выбрана.

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей, т.е. F, - F₂ => S(F, ) = S(F₂).

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F₁ и F₂, т.е. S{F₁ ® F₂) = S(F₁) + S(F₂).

Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(E) =1.

При замене единицы площади численное значение площади фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

Если фигура F, является частью фигуры F₂, то численное значение площади фигуры F, не больше численного значения площади фигуры F₂, т.е. S(F, ) < S(F₂).

В практической деятельности при измерении площадей используются стандартные единицы площади: квадратный метр (м²), квадратный сантиметр (см²) и другие. Так, квадратный метр - это площадь квадрата со стороной, равной 1 метру. Между единицами площади существует взаимосвязь. Например, 1 м² = 100 дм².

4.Площадь многоугольника

Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение площади называют площадью, а численное значение длины отрезка - длиной. Так как теоремы о площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника хорошо известны из школьного курса математики, то рассмотрим только теорему о площади прямоугольника, доказав ее для случая, когда длины его сторон выражены натуральными числами. Такой выбор обусловлен тем, что знакомство с правилом вычисления площади прямоугольника происходит в начальной школе.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Можно доказать, что площадь параллелограмма равна произведению стороны и проведенной к ней высоты, а площадь любого треугольника - половине произведения основания на высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» здесь обозначают численные значения длин соответствующих отрезков. Порядок изучения этого материала может быть другим, что не меняет существа самих утверждений.

Если F- произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники. В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми?

Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники F, и F₂ называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм ABCD и прямоугольник FBCE (рис. 179), так как параллелограмм состоит из фигур F, и F₂, а прямоугольник - из фигур F₂ и F₃, причем F, = F₃.

Нетрудно убедиться в том, что равносоставляемые фигуры равновелики.

Венгерским математиком Ф. Бойяи и немецким любителем математики П. Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

В практической деятельности при измерении площадей используются стандартные единицы площади: квадратный метр (м²), квадратный сантиметр (см²) и другие. Так, квадратный метр - это площадь квадрата со стороной, равной 1 метру. Между единицами площади существует взаимосвязь. Например, 1 м² = 100 дм².

РАЗДЕЛ VI. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИИ

Тема 5.1 Аксиоматика Евклидовой геометрии

1 В последние годы наметилась тенденция к включению значительного по объему геометрического материала в начальный курс математики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с различными геометрическими фигурами (как плоскости, так и пространства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений проходит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической науки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей, объемов и других величин. Свидетельством этому являются египетские пирамиды, построенные около 4800 лет назад, их строительство требовало достаточно сложных и точных геометрических расчетов. Но особенно важной была задача распределения земельных наделов. Этим занимались специальные люди - землемеры, которых греки называли гарпедонаптами, т.е. натягивателями веревок, так как при распределении земли использовались веревки. Но чтобы знать, где и как их натягивать, надо было иметь план полей. Так практическая задача распределения участков земли привела к возникновению науки о землемерии.

Обширные сведения о свойствах фигур, накопленные египтянами, были заимствованы греками. Произошло это в VII. до н.э. А так как особенно важной задачей было землемерие, то греки назвали науку о фигурах геометрией, так как с греческого «геос» - земля, а «метрио» - измеряю.

К сказанному можно добавить, что многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы, т.е. познавая окружающий мир, люди знакомились и с простейшими геометрическими формами. Овладению этим знанием способствовало изготовление орудий, имеющих сравнительно правильную геометрическую форму, строительство жилья, шитье одежды, изготовление посуды, украшений.

Огромное влияние на развитие геометрических представлений оказали систематические астрономические наблюдения. Они способствовали возникновению понятий шара, окружности, угла, угловой меры.

Развитие землемерия, обобщение накопленного опыта наблюдений привело к созданию практических правил измерения земельных участков, нахождения площадей и объемов простейших фигур, правил, необходимых для строительства, и др. Так, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму треугольника, трапеции, встречаются у древних египтян, вавилонян. К XVII-XVI вв. до н.э. были установлены такие ее факты, как теорема Пифагора, найдено выражение для подсчета объема шара и многие другие. Но выступали они не как логически доказанные утверждения, а как выводы из опыта.

Таким образом, геометрия возникла как прикладная наука, как собрание правил, необходимых для решения практических задач: сравнения фигур, нахождения геометрических величин, простейших геометрических построений.

Практические правила постепенно приводились в систему. Кроме того, одни правила стали выводиться из других и обосновываться посредством рассуждений. Возникло доказательство, правила стали превращаться в теоремы, которые доказывались без прямых ссылок на опыт. Вообще совершенствование геометрических знаний шло по пути их отделения от опыта - в результате предметом геометрии стали не реальные, а идеальные фигуры, т.е. фигуры, являющиеся образами предметов, в которых абстрагируются от всего, кроме формы. Более того, эти фигуры стали дополняться свойствами, которыми реальные предметы не обладают. Например, понятие прямой, возникшее как отражение такого свойства реальных предметов, как протяженность, было дополнено представлением о ее бесконечности.

Получение новых геометрических утверждений при помощи рассуждений относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса. Считают, что им доказаны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд других фактов.

К III в. до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т.д.

Основные достижения в области математики были систематизированы около 300 лет до н.э. греческим ученым Евклидом и изложены в его знаменитом труде «Начала», состоящем из тринадцати книг. Это сочинение является первым дошедшим до нас строгим логическим построением геометрии.

Каждая книга «Начал» начинается с определений основных понятий.

Так, в книге по геометрии 35 определений. Среди них определения точки, линии, прямой, поверхности:

§ Точка есть то, что не имеет частей.

§ Линия есть длина без ширины.

§ Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относительно всех своих точек.

§ Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.

Кроме перечисленных даются определения плоского и прямого углов, перпендикуляра, тупого и острого углов, круга, окружности, треугольника и его видов, четырехугольника и его видов и др.. Завершает этот список определение параллельных прямых: «Параллельные прямые суть те, которые лежат в одной плоскости и, будучи продолженными в обе стороны, нигде не встречаются».

За определениями следует пять постулатов следующего содержания. Требуется, чтобы:

от каждой точки до каждой другой можно было провести прямую;

ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно;

из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;

все прямые углы были равны;

если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пересекались бы при достаточном продолжении с этой стороны.

Затем формулировались аксиомы:

1. равные одному и тому же третьему также равны и между собой;

2. если к равным прибавить равные, то целые будут равны;

3. если от равных отнять равные, то полученные остатки будут равны;

4. совмещающиеся друг с другом равны;

5. целое больше своей части.

Видим, что начальные определения евклидовой геометрии - это описания ее основных объектов: точки, прямой, плоскости, угла и т.д. Постулаты выражают возможность основных построений. При этом прямая мыслится как непрерывная, неограниченно делимая, но не состоящая из точек, что соответствует наглядному представлению - прямую проводят по линейке, а не строят по точкам. Аксиомы, сформулированные Евклидом, относятся к величинам: длине отрезка, величине угла, площади фигуры. У Евклида «равные» понимались как «равновеликие».

За постулатами и аксиомами, которые рассматривались как утверждения, принимаемые без доказательств, формулировались теоремы и задачи на построение. Они располагались в строгой последовательности так, что каждое последующее опирается на предыдущее, а также на постулаты и аксиомы.

Определения, постулаты, аксиомы и дальнейшие выводы в геометрии Евклида имели наглядный, опирающийся на практику смысл, хотя выражали его в идеализированном, абстрактном виде.

Таким образом, геометрия сложилась как наука о пространственных формах и отношениях, рассматриваемых отвлеченно от их математического содержания. В Древней Греции она сформировалась в абстрактную логическую систему, в основе которой лежат первоначальные понятия и аксиомы, новые факты формулируются в виде теорем и выводятся дедуктивным способом, а каждое новое понятие вводится с помощью определения на основе ранее введенных понятий.

«Начала» Евклида оставили глубокий след в истории и в течение многих веков служили образцом научного изложения математики.

Тема 5.2 Геометрия Лобачевского

После III в. до н.э. геометрия развивалась медленно - требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Греции (работы Диофанта, III в.), а затем в Индии, где были открыты десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа.

В IX в. благодаря работам Мухаммеда аль-Хорезми дальнейшее развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар Хайям (конец XI - начало XII в.) дал определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксиоматически построенная теория должна удовлетворять определенным требованиям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды истории были различными. Эти требования заставили обратить особое внимание на пятый постулат геометрии Евклида - его трудно было принять очевидным, как остальные аксиомы постулаты. Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов и аксиом. Однако попытки, которые длились более двух тысяч лет, были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии геометрии, так как были сформулированы и доказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.