Методика формирования логического мышления при изучении математики в 3 классе

Посмотрите внимательно на эти произведения:

47Ч2 138Ч3 16Ч6 347Ч2

По какому принципу можно разбить эти произведения на 2 группы?

47Ч2 138Ч3

16Ч6 347Ч2

(В один столбик произведения, где умножаются двузначные числа на однозначные, а в другой столбик - трехзначные на однозначные)

Значение каких произведений мы уже умеем находить?

(Умножение двузначного числа на однозначное)

Нужно ли уметь умножать трехзначные числа на однозначные? Зачем?

(Нужно. Чтобы быть умнее. Для того чтобы ходить в магазин и считать деньги)

На этом этапе почти не используем прямой путь, если только при выполнении знакомых детям операций, т.е. промежуточных (умножение на однозначное число, на единицу с нулями и выполнение сложения).

В результате деятельности на этом этапе появляется алгоритм выполнения операции.

На втором этапе использую оба пути формирования вычислительных навыков, но ведущим остается косвенный. Ученикам даются такие задания, которые ставят детей в позицию активного творческого поиска, где они используют свои знания в нестандартном преобразованном виде.

На какой закон мы опирались при умножении двузначного числа на однозначное?

(Распределительный закон ( а + в)Чс = а Ч с + в Ч с )

Почему?

(Потому что мы должны представить число в виде суммы разрядных слагаемых, потом каждое слагаемое умножить на данное число и полученные результаты сложить. Это показано в распределительном законе)

Давайте 47 Ч 2, сделав подробную запись решения.

((47 Ч 2 = (40 + 7) Ч 2 = 40 Ч 2 + 7 Ч 2 = 80 + 14 = 94)

Кто догадается, как удобно найти значение произведения 347Ч2?

347 Ч 2 = (300 + 40 + 7) Ч 2 = 300 Ч 2 + 40 Ч 2 + 7 Ч 2 = 600 + 80 + 14 = 694

Важная особенность таких заданий - возможность индивидуализации их выполнения каждым учеником, так как нет жестких установок на количество требуемых решений, а только рекомендации: «Постарайся найти не одно решение».

На третьем этапе, который направлен на достижение высокого темпа выполнения операции, на первый план выходит прямой путь формирования вычислительных навыков.

Важно построить работу на уроке так, чтобы дети хотели выполнять эти вычисления, получали удовольствие от своей работы.

Помощь в этом оказывают тетради на печатной основе, где содержится большое количество увлекательных заданий, требующих выполнения разнообразных вычислений. Очень важно, чтобы ученики сами отслеживали свои успехи. В этом им помогают игры-соревнования, а также «тесты-Успеха».

Давайте найдем короткий способ нахождения значения произведения

347Ч2.

600 80 14

( 347 Ч 2 = 300 Ч 2 + 40 Ч 2 + 7 Ч 2 = 694 ) - желательно у доски

(Мы решали пример 47 Ч 2 = 94, значит 347 Ч 2 = 300 Ч 2 + 94 = 694) - желательно у доски

Особым видом работы для формирования вычислительных навыков у учащихся является устный счет.

В занковской системе, направленной на общее развитие ребенка, этот вид учебной деятельности выполняет следующие функции [16]:

- формирование умения работать на уроке в заданном и достаточно быстром темпе;

- развитие таких свойств мыслительной деятельности как гибкость ума,

быстрота переключения с одной проблемы, задачи на другую;

- автоматизация вычислительных навыков в пределах простых, в основном табличных случаев выполнения арифметических действий.

Приоритетными являются первые две из этих функций и поэтому задания, используемые в устном счете, носят другой характер. Вместо использования задания, в которых дети должны найти значения предложенных выражений, учащимся предлагается одно выражение, которое служит основой для построения целой серии заданий, связанных с этим выражением.

Нужно отметить, что в системе Л.В. Занкова [16] отсутствуют требования обязательного ежеурочного включения устного счета. Устный счет проводится тогда, когда это считает нужным учитель.

Таким образом можно по годам обучения школьников определить и выделить в занковской системе сроки формирования вычислительных навыков для разных операций:

1 класс - завершается третий этап формирования навыка для табличного сложения и вычитания без перехода через десяток;

- табличное сложение и вычитание с переходом через десяток находится в начале второго этапа.

2 класс - завершается формирование навыка табличного сложения и вычитания с переходом через десяток;

- завершается формирование навыка сложения и вычитания двухзначных чисел;

- формируется навык выполнения табличного умножения и деления.

3 класс - формируется навык выполнения сложения и вычитания многозначных чисел;

- формируется навык выполнения умножения и деления многозначного числа на однозначное.

4 класс - полностью завершается формирование навыка сложения и вычитания любых многозначных чисел;

- полностью формируется навык выполнения умножения и деления многозначного числа на однозначное;

- формируется умение выполнять умножение и деление многозначного числа на многозначное.

2.2 Развитие логических приемов мышления при формировании математических понятий в 3 классе

Особенностью программы по математике для 3-го класса является то, что она обеспечивает учет индивидуальных потребностей личности при изучении математики: для чего каждому конкретному ученику нужна и будет нужна в дальнейшем математика; в каких пределах и на каком уровне он хочет и может ее усвоить. 

Одной из основных целей учебного предмета «Математика» является формирование и развитие мышления учащихся, прежде всего абстрактного, способности к оперированию «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики формируются логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление и его качества - гибкость, конструктивность, критичность. Программа по математике ориентирована не столько на собственно математическое образование, сколько на формирование личности с помощью математики; содержание предмета представляет собой базу для организации интеллектуальной деятельности учащихся. 

При изучении математики в начальной школе решаются две задачи: 

· Дидактическая - подготовка к продолжению образования. 

· Прагматическая - формирование качеств мышления и личности, развитие творческих сил детей, формирование у них математической грамотности. 

В курсе математики выделяются несколько содержательных линий:

1. Числа и операции над ними. Понятие натурального числа является одним из центральных понятий начального курса математики. Формирование этого понятия осуществляется практически в течение всех лет обучения. Раскрывается это понятие на конкретной основе в результате практического оперирования множествами и величинами: в процессе счета предметов, в процессе измерения величин и т.д. В результате раскрываются оба подхода к построению математической модели понятия «число».

В тесной связи с понятием числа формируется понятие о десятичной системе счисления. Раскрывается оно постепенно, в ходе изучения нумерации и арифметических операций над натуральными числами. При изучении нумерации деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц.

Важное место в начальном курсе математики занимает понятие арифметической операции. Смысл каждой арифметической операции раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над группами предметов, вводится соответствующая символика и терминология. При изучении каждой операции рассматривается возможность ее обращения.

Важное значение при изучении операций над числами имеет усвоение табличных случаев сложения и умножения. Чтобы обеспечить прочное овладение ими, необходимо, во-первых, своевременно создать у детей установку на запоминание, во-вторых, практически на каждом уроке организовать работу тренировочного характера. Задания, предлагаемые детям, должны отличаться разнообразием и способствовать включению в работу всех детей класса. Необходимо использовать приемы, формы работы, способствующие поддержанию интереса детей, а также различные средства обратной связи.

В предлагаемом курсе изучаются некоторые основные законы математики и их практические приложения:

· коммутативный закон сложения и умножения;

· ассоциативный закон сложения и умножения;

· дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Все эти законы изучаются в связи с арифметическими операциями, рассматриваются на конкретном материале и направлены, главным образом, на формирование вычислительных навыков учащихся, на умение применять рациональные приемы вычислений.

Следует отметить, что наиболее важное значение в курсе математики начальных классов имеют не только сами законы, но и их практические приложения. Главное - научить детей применять эти законы при выполнении устных и письменных вычислений, в ходе решения задач, выполнении измерений. Для усвоения устных вычислительных приемов используются различные предметные и знаковые модели.

В соответствии с требованиями стандарта, при изучении математики в начальных классах у детей необходимо сформировать прочные осознанные вычислительные навыки, в некоторых случаях они должны быть доведены до автоматизма.

Значение вычислительных навыков состоит не только в том, что без них учащиеся не в состоянии овладеть содержанием всех последующих разделов школьного курса математики. Без них они не в состоянии овладеть содержанием и таких учебных дисциплин как, например, физика и химия, в которых систематически используются различные вычисления.

Наряду с устными приемами вычислений в программе большое значение уделяется обучению детей письменным приемам вычислений. При ознакомлении с письменными приемами важное значение придается алгоритмизации.

В программу курса введены понятия «целое» и «часть». Учащиеся усваивают разбиение на части множеств и величин, взаимосвязь между целым и частью. Это позволяет им осознать взаимосвязь между операциями сложения и вычитания, между компонентами и результатом действия, что, в свою очередь, станет основой формирования вычислительных навыков, обучения решению текстовых задач и уравнений.

Современный уровень развития науки и техники требует включения в обучение школьников знакомство с моделями и основами моделирования, а также формирования у них навыков алгоритмического мышления. Без применения моделей и моделирования невозможно эффективное изучение исследуемых объектов в различных сферах человеческой деятельности, а правильное и четкое выполнение определенной последовательности действий требует от специалистов многих профессий владения навыками алгоритмического мышления. Разработка и использование станков-автоматов, компьютеров, экспертных систем, долгосрочных прогнозов - вот неполный перечень применения знаний основ моделирования и алгоритмизации. Поэтому формирование у младших школьников алгоритмического мышления, умений построения простейших алгоритмов и моделей - одна из важнейших задач современной общеобразовательной школы.

Обучение школьников умению «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют, начинается с простейших алгоритмов, доступных и понятных им (алгоритмы пользования бытовыми приборами, приготовления различных блюд, переход улицы и т.п.). В начальном курсе математики алгоритмы представлены в виде правил, последовательности действий и т.п. Например, при изучении арифметических операций над многозначными числами учащиеся пользуются правилами сложения, умножения, вычитания и деления многозначных чисел, при изучении дробей - правилами сравнения дробей, и т.д. Программа позволяет обеспечить на всех этапах обучения высокую алгоритмическую подготовку учащихся.

2. Величины и их измерение. Величина также является одним из основных понятий начального курса математики. В процессе изучения математики у детей необходимо сформировать представление о каждой из изучаемых величин (длина, масса, время, площадь, объем и др.) как о некотором свойстве предметов и явлений окружающей нас жизни, а также умение выполнять измерение величин.

Формирование представления о каждой из включенных в программу величин и способах ее измерения имеет свои особенности. 

При изучении величин имеются особенности и в организации деятельности учащихся. Важное место занимают средства наглядности как демонстрационные, так и индивидуальные, сочетание различных форм обучения на уроке (коллективных, групповых и индивидуальных). Немаловажное значение имеют удачно выбранные методы обучения, среди которых группа практических методов и практических работ занимает особое место. Широкие возможности создаются здесь и для использования проблемных ситуаций.

3. Текстовые задачи. В начальном курсе математики особое место отводится простым (опорным) задачам. Умение решать такие задачи - фундамент, на котором строится работа с более сложными задачами. В ходе решения опорных задач учащиеся усваивают смысл арифметических действий, связь между компонентами и результатами действий, зависимость между величинами и другие вопросы.

Работа с текстовыми задачами является очень важным и вместе с тем весьма трудным для детей разделом математического образования. Процесс решения задачи является многоэтапным: он включает в себя перевод словесного текста на язык математики (построение математической модели), математическое решение, а затем анализ полученных результатов. Работе с текстовыми задачами следует уделить достаточно много времени, обращая внимание детей на поиск и сравнение различных способов решения задачи, построение математических моделей, грамотность изложения собственных рассуждений при решении задач.

Учащихся следует знакомить с различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим и практическим; с различными видами математических моделей, лежащих в основе каждого метода; а также с различными способами решения в рамках выбранного метода. Решение текстовых задач дает богатый материал для развития и воспитания учащихся.

Краткие записи условий текстовых задач - примеры моделей, используемых в начальном курсе математики. Метод математического моделирования позволяет научить школьников: а) анализу (на этапе восприятия задачи и выбора пути реализации решения); б) установлению взаимосвязей между объектами задачи, построению наиболее целесообразной схемы решения; в) интерпретации полученного решения для исходной задачи; г) составлению задач по готовым моделям и др.

4. Элементы геометрии. Изучение геометрического материала служит двум основным целям: формированию у учащихся пространственных представлений и ознакомлению с геометрическими величинами (длиной, площадью, объемом).

Наряду с этим одной из важных целей работы с геометрическим материалом является использование его в качестве одного из средств наглядности при рассмотрении некоторых арифметических фактов. Кроме этого, предполагается установление связи между арифметикой и геометрией на начальном этапе обучения математике для расширения сферы применения приобретенных детьми арифметических знаний, умений и навыков.

Геометрический материал изучается в течение всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых уроков.

В изучении геометрического материала просматриваются два направления:

1. формирование представлений о геометрических фигурах;

2. формирование некоторых практических умений, связанных с построением геометрических фигур и измерениями.

Преимущественно уроки математики следует строить так, что бы главную часть их составлял арифметический материал, а геометрический материал входил бы составной частью. Это создает большие возможности для осуществления связи геометрических и других знаний, а также позволяет вносить определенное разнообразие в учебную деятельность на уроках математики, что очень важно для детей этого возраста, а кроме того, содействует повышению эффективности обучения.

Программа предусматривает формирование у школьников представлений о различных геометрических фигурах и их свойствах: точке, линиях (кривой, прямой, ломаной), отрезке, многоугольниках различных видов и их элементах, окружности, круге и др. Учитель должен стремиться к усвоению детьми названий изучаемых геометрических фигур и их основных свойств, а также сформировать умение выполнять их построение на клетчатой бумаге.

Отмечая особенности изучения геометрических фигур, следует обратить внимание на то обстоятельство, что свойства всех изучаемых фигур выявляются экспериментальным путем в ходе выполнения соответствующих упражнений.

Важную роль при этом играет выбор методов обучения. Значительное место при изучении геометрических фигур и их свойств должна занимать группа практических методов, и особенно практические работы. Систематически должны проводиться такие виды работ, как изготовление геометрических фигур из бумаги, пластилина, их вырезание, моделирование и др. При этом важно учить детей различать существенные и несущественные признаки фигур. Большое внимание при этом следует уделить использованию приема сопоставления и противопоставления геометрических фигур. Знакомству с геометрическими фигурами и их свойствами способствуют и простейшие задачи на построение. В ходе их выполнения необходимо учить детей пользоваться чертежными инструментами, формировать у них чертежные навыки. Здесь надо предъявлять к учащимся требования не меньшие, чем при формировании навыков письма и счета.

5. Элементы алгебры. В курсе математики для начальных классов формируются некоторые понятия, связанные с алгеброй. Это понятия выражения, равенства, неравенства (числового и буквенного), уравнения и формулы. Суть этих понятий раскрывается на конкретной основе, изучение их увязывается с изучением арифметического материала. У учащихся формируются умения правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

6. Нестандартные и занимательные задачи. В настоящее время одной из тенденций улучшения качества образования становится ориентация на развитие творческого потенциала личности ученика на всех этапах обучения в школе, на развитие его творческого мышления, на умение использовать эвристические методы в процессе открытия нового и поиска выхода из различных нестандартных ситуаций и положений.

Математика - это орудие для размышления, в ее арсенале имеется большое количество задач, которые на протяжении тысячелетий способствовали формированию мышления людей, умению решать нестандартные задачи, с честью выходить из затруднительных положений. К тому же воспитание интереса младших школьников к математике, развитие их математических способностей невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических фокусов, числовых головоломок, арифметических ребусов и лабиринтов, дидактических игр, стихов, задач-сказок, загадок и т.п.

Начиная с первого класса, при решении такого рода задач, как и других, предлагаемых в курсе математики, школьников необходимо учить применять теоретические сведения для обоснования рассуждений в ходе их решения; правильно проводить логические рассуждения; формулировать утверждение, обратное данному; проводить несложные классификации, приводить примеры и контрпримеры.

В основу построения программы положен принцип построения содержания предмета «по спирали». Многие математические понятия и методы не могут быть восприняты учащимися сразу. Необходим долгий и трудный путь к их осознанному пониманию. Процесс формирования математических понятий должен проходить в своем развитии несколько ступеней, стадий, уровней. Сложность содержания материала, недостаточная подготовленность учащихся к его осмыслению приводит к необходимости растягивания процесса его изучения во времени и отказа от линейного пути его изучения.

Построение содержания предмета «по спирали» позволяет к концу обучения в школе постепенно перейти от наглядного к формально-логическому изложению, от наблюдений и экспериментов - к точным формулировкам и доказательствам.

Материал излагается так, что при дальнейшем изучении происходит развитие имеющихся знаний учащегося, их перевод на более высокий уровень усвоения, но не происходит отрицание того, что учащийся знает. 

Особенностью учебного пособия «Математика в 3 классе» Т. М. Чеботаревской является то, что оно ориентирует на развитие мышления [16].

Дети учатся сравнению, приемам классификации, установлению причинно-следственной зависимости, логическому умозаключению и формулированию выводов. При этом задания предлагается выполнять в игровой, занимательной форме; дети много работают творчески и самостоятельно. 

Учебное пособие разработано так, чтобы родители имели возможность помогать детям устанавливать логику заданий и их выполнения, что является грамотной методической поддержкой в домашних условиях. 

Итак, в программе и учебно-методических пособиях по математике для 3-го класса представлен материал различного направления: систематизирующий, углубляющий и расширяющий знания детей, развивающий их личность. Дидактика разного содержания позволяет учителю выбирать задания к уроку, предварительно продумывая формы и методы их решения, анализируя реальность усвоения предлагаемых заданий, избегая шаблонов. Интересные, занимательные задания соответствуют возрасту детей, а бумеранговое решение помогает им выбирать задания по желанию, интересам и возможностям, т.е. каждому ученику предоставляется право на получение достаточно полного математического образования и право на самостоятельное определение уровня выполнения заданий. Все задания направлены на развитие логического мышления, сравнение, сопоставление, выявление характерного признака, анализ, нахождение решения в нестандартных ситуациях, формирование логической цепочки. Содержание изложено таким образом, что оно требует ознакомления с конкретными способом и подходом в решении, а затем - переход к другому способу с применением элементов ранее сформированных умственных действий. Можно сказать: при выполнении заданий происходит «переливание» приемов мыслительной деятельности из одного математического действия в другое; при этом происходит совершенствование и усложнение этих действий, что обеспечивает формирование логики мышления детей. 

2.3 Формирование логических приемов мышления при обучении учащихся суждению (рассуждению)

В связи с совершенствованием учебной программы по математике исключается из рассмотрения изучение истинных и ложных суждений с житейским содержанием. Поэтому рассмотрим формирование логических приемов мышления у школьников при обучении суждениям и умозаключениям на математическом материале.

В процессе изучения математики учащимся необходимо устанавливать соотношения между суждениями, доказывать одни суждения и опровергать другие, оперировать символами, моделями, отражающими различные стороны реального мира. Вместе с тем в процессе установления истинности суждений, правильности умозаключений формируются и логические приемы мышления.

Термин «суждение» не встречается на страницах учебников по математике. Однако во многих упражнениях речь идет именно об истинных или ложных суждениях. Например, при изучении нумерации однозначных чисел учащимся предлагается указать верные или неверные равенства: ; ; . Учащиеся читают математические предложения и определяют их истинность.

Согласно психологическим исследованиям «суждения образуются двумя основными способами: 1) непосредственно, когда в них выражают то, что воспринимается; 2) опосредствованно -- путем умозаключений».

При образовании суждений первым способом их истинность или ложность устанавливается в результате непосредственного восприятия и наблюдения. Например, в I классе в дочисловой период учащиеся проводят анализ простых и сложных суждений при образовании множеств предметов, обладающих заданными свойствами. Чтобы убедиться в истинности этих суждений, достаточно обратиться к реальной действительности. Например, детям предлагается карточка с изображенными геометрическими фигурами.

Учитель задает вопросы:

Есть ли на карточке треугольники?

На карточке нарисован квадрат. Это верно?

Можно ли утверждать, что на карточке нет прямоугольников и кругов? И т. д.

В большинстве случаев истинность суждений нельзя вывести из непосредственного наблюдения. Например, суждения: «От перестановки слагаемых сумма не изменяется», «У прямоугольника противоположные стороны равны» -- не являются очевидными, т.е. нельзя сразу сказать, что они истинные или ложные. Их нужно доказать опытным путем или ввести логически посредством умозаключений, т. е. опосредствованно.

С примерами суждений в учебниках по математике учащиеся неявно знакомятся почти на каждой странице (это записи числовых равенств (2 + 3 = 5), числовых неравенств (7 > 4)).

Опишем фрагмент методики обучения учащихся работе с суждениями, в ходе которой формируются логические приемы мышления.

Начиная с I класса, в ходе обучающих игр школьники неявно знакомятся с утвердительными и отрицательными простыми суждениями, общими суждениями, содержащими слова «все», «любой», «ни один», частными суждениями со словами «некоторые», «имеется», сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических операций -- конъюнкции, дизъюнкции, импликации, которые выражаются часто союзами «и», «или», «если … то …». Данные связки являются «логическими константами» нашей речи вообще, т.е. они употребляются не только в математических предложениях, и их смысл не зависит от содержания предложений.

В математике эти слова употребляются в строго определенном смысле. Однако в школьных учебниках математики эта определенность только подразумевается. В результате появляется противоречие: в науке логическим связкам, кванторам придан точный смысл, ученик же, не подозревая об этом, понимает и употребляет эти слова в обычном, житейском смысле, который часто расходится с научным. Поэтому важно научить учащихся проводить анализ готовых суждений, т. е. выделять объект в суждении, устанавливать, что о нем говорится; самим строить суждения с данными словами (синтез); устанавливать, соответствует суждение действительности или нет (сравнение); выделять логическую форму суждения (абстрагирование); приводить примеры суждений по заданной логической форме (конкретизация) и т. д. Им можно предложить упражнения следующих типов: 1) на установление истинности простых суждений; 2) на установление истинности сложных суждений. Выделенные типы упражнений необходимо предлагать в каждом классе. Например, учащимся первого класса после выполнения упражнений по образованию множеств предметов, имеющих одно общее свойство, можно предложить ответить на следующие вопросы: «1. Верно ли, что внутри синего овала находятся квадраты? 2. Вне синего овала находятся большие фигуры. Это верно? и т д.». Первоклассники, анализируя рисунки в учебном пособии, определяют истинность или ложность простых суждений.

Учащимся второго класса можно предложить такие задания:

1. Придумайте предложения, которые являются: 1) истинными для фигур, изображенных на рисунках; 2) ложными для фигур, изображенных на рисунках; 3) истинными для первого рисунка, а ложными для второго рисунка; 4) ложными для первого рисунка, а истинными для второго рисунка. Например, суждение «на рисунке все фигуры -- четырехугольники» будет истинным для второго рисунка и ложным для первого рисунка.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. В доме живут 10 учеников из одной школы. В школе 9 классов. Верно ли будет предложение: «Хотя бы в одном классе есть двое учеников, которые живут в этом доме»? Почему?

Таким образом, в процессе работы над упражнениями на установление истинности простых суждений у школьников формируются такие логические приемы, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение и классификация, поскольку им приходилось анализировать каждое суждение, абстрагироваться от конкретного содержания суждений, распределять их по группам и т. д.

В дальнейшем эти приемы целесообразно формировать в ходе работы над сложными суждениями. Истинность сложных суждений устанавливается в ходе практической деятельности. Приведем примеры конкретных упражнений, предлагаемых учащимся второго класса на установление истинности сложных суждений. При их выполнении ученикам необходимо уточнить смысл логического отрицания, выражаемого с помощью частицы «не», и смысл связок «и», «или» и правильное их употребление.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Внимательно рассмотрите ниже приведенный рисунок и выпишите номера суждений, в которых что-либо утверждается, и номера суждений, в которых что-либо отрицается. 2. Найдите среди предложений те, которые являются истинными.

1) В четырехугольнике находятся треугольники.

2) За четырехугольником находятся круги.

3) В четырехугольнике находятся круги.

4) Треугольники не находятся за четырехугольником.

5) В четырехугольнике находятся не круги.

6) Треугольники не находятся в четырехугольнике.

7) За четырехугольником находятся не треугольники.

8) Круги не находятся за четырехугольником.

9) Не треугольники на данном рисунке -- это круги.

10) Не круги на данном рисунке -- это треугольники.

Для того чтобы распределить суждения на две группы, учащимся нужно проанализировать каждое суждение, т. е. установить, в каком суждении отрицается что-нибудь об объекте, а в каком утверждается. При этом учитель может обратить их внимание на то, что если что-то нужно опровергнуть, то, как правило, употребляется частица «не». Так в суждении «я не читал эту книгу» отрицается, что читали эту книгу. Но если сказать «я читал не эту книгу», то в данном случае в суждении утверждается о том, что читали, но не эту книгу. Понятие об утвердительных и отрицательных суждениях формируется у учащихся на конкретных примерах. В приведенном задании суждения под номерами 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10 являются утвердительными (например, в суждении 2 утверждается, что за четырехугольником находятся круги), а остальные отрицательными (например, в суждении 4 отрицается, что треугольники находятся за четырехугольником). В процессе установления истинности суждений учащиеся анализируют, сравнивают их с целью установления соответствия между содержанием суждения и рисунком, делают выводы. Например, в первом суждении говорится о том, что в четырехугольнике, изображенном на рисунке, находятся треугольники. Для того, чтобы убедиться в этом, необходимо изучить рисунок. На рисунке они видят четырехугольник, треугольники, которые находятся внутри четырехугольника, круги, изображенные за четырехугольником. Сравнивая объекты, изображенные на рисунке, и объекты, о которых говорится в суждении, учащиеся делают вывод, что суждение является истинным (синтез). Аналогично устанавливается истинность других суждений.

2. Максим, изучив рисунок (где з -- зеленый, с -- синий, к -- красный), сделал следующие выводы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) в общей части квадратов находятся большие круги или маленькие круги;

б) в общей части квадратов находятся большие синие круги;

в) в черном и желтом квадратах находятся синие круги;

г) в черном или желтом квадратах находятся синие треугольники;

д) в черном или в желтом квадратах находятся все синие фигуры;

е) в общей части квадратов находятся некоторые маленькие синие круги.

Какие из них являются правильными?

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Используя рисунок (где к -- красный, з -- зеленый, с -- синий), дополните предложения, чтобы они были истинными.

а) В первом или во втором квадратах находятся ….

б) Во втором или в третьем квадратах находятся ….

в) В третьем или в первом квадратах находятся….

г) В первом и во втором квадратах находятся все …

д) Во втором и в третьем квадратах находятся все …

е) Зеленые фигуры находятся в … квадрате или в … квадрате.

В процессе работы над каждым заданием у учащихся формируются логические приемы анализа, синтеза, сравнения, абстрагирования, конкретизации, обобщения, поскольку им нужно проанализировать рисунок, суждения для того, чтобы установить, являются они простыми или сложными, какие связки соединяют простые суждения, о каких объектах говорится в суждении, что о них говорится и т. д.

При выполнении таких заданий обеспечивается преемственность между содержанием математического материала в первом и втором классах (игры с обручами).

Рассмотрим формирование логических приемов мышления при образовании суждений опосредствованно, т. е. с помощью умозаключений. Отметим, что термин «умозаключение» не встречается на страницах учебников по математике. Вместо него используется термин «рассуждение». Развитие индуктивных и дедуктивных умозаключений в начальном курсе математики, проходит ряд стадий, обусловленных накоплением знаний в процессе обучения. С. Л. Рубинштейн указывает на две такие стадии: стадия, основанная на построении умозаключений (индуктивных, традуктивных) на наглядных предпосылках, данных непосредственно в наблюдении; стадия, основанная на построении умозаключений (дедуктивных) на основе абстрактных предпосылок.

Покажем формирование приемов мышления при открытии сочетательного свойства сложения с помощью индуктивных умозаключений.

В качестве исходного эмпирического материала можно взять любые непересекающиеся множества А, В, С конкретных предметов. Например, геометрические фигуры: круги, треугольники и квадраты. Учитель предлагает учащимся положить на парту 5 кругов, 4 треугольника и 6 квадратов. После этого школьники подсчитывают количество кругов и треугольников, а затем прибавляют к ним количество квадратов; к количеству кругов прибавляют количество треугольников и квадратов (анализ, синтез). Определяя количество фигур, учащиеся получают одно и то же число. Варьируя число элементов этих множеств, получаются конкретные равенства, например:

(5 + 4) + 6 = 5 + (4 + 6); (10 + 8) + 2 = 10 + (8 + 2) и т. д.

Затем учитель предлагает им определить истинность каждого равенства и ответить на вопросы: «Чем отличаются данные равенства? Чем они похожи?»

В результате сравнения учащиеся замечают, что в данных равенствах в левой части к сумме первых двух слагаемых прибавляется третье слагаемое, а в правой -- к первому слагаемому прибавляется сумма второго и третьего слагаемых. Равенства различаются только слагаемыми.

Далее они делают вывод, что слагаемым может быть любое число (абстрагирование, обобщение), поэтому, заменив каждое из слагаемых любой буквой, учитель записывает равенство:

(а + b) + с = а + (b + с).

Подставляя вместо букв конкретные числа, учащиеся получают новые числовые равенства (конкретизация).

Формирование логических приемов мышления можно осуществлять в ходе решения стандартных и нестандартных задач, для которых требуется использование индуктивных рассуждений. Например, учащимся третьего класса можно предложить такую задачу: «Сколько концов у 1 палки? У 2 палок? У 3 палок? У 4 палок? У 100 палок? У n палок?». В результате анализа они делают следующие выводы: у одной палки 2 конца, у 2 палок - 4 конца; у 3 - 6 концов; у 4 - 8; у 100 - 200; у n палок будет 2 n концов.

При анализе индуктивных умозаключений задача учителя показать, что вывод в них получается правдоподобным, и он может быть как истинным, так и ложным.

К аналогичному выводу подводит учитель учащихся и при знакомстве с традуктивными умозаключениями, где на основе сходства предметов по одним признакам делается заключение о сходстве по другим признакам.

При обучении традуктивным умозаключениям необходимо обратить внимание учащихся на то, что сравнивать предметы нужно по существенным признакам. В качестве примера приведем следующее задание: «Вместо вопросительных знаков вставьте недостающие числа (рисунки):

а) 2 х - 3 = 5 2 + х = 5

8 х + 2 = 50 ? ? х - 5 = 7».

Рассматривая элементы первой пары (или верхней строки), учащимся необходимо определить существенную связь между ними, а затем, рассуждая аналогично, найти недостающие элементы второй пары (или нижней строки). Например, при выполнении задания нужно проанализировать уравнения, к которым дан рисунок, найти корни этих уравнений и сравнить их с количеством точек на соответствующем рисунке. Так, корень уравнения 2 х - 3 = 5 равен 4, а корень уравнения 2 + х = 5 равен 3. Поэтому изображение косточки домино - это (4, 3). По аналогии находится изображение второй косточки домино.

В учебниках математики в рубрике «Учись рассуждать правильно» помещен материал, связанный с анализом и построением дедуктивных умозаключений, который не предназначен для обязательного изучения на уроках, но может быть рассмотрен на факультативных занятиях.

Рассмотрим формирование логических приемов мышления при знакомстве школьников с дедуктивными умозаключениями, которые отличаются от индуктивных и традуктивных умозаключений достоверностью заключения. Из истинных посылок в них нельзя получить ложное заключение. При работе над дедуктивными умозаключениями можно выделить следующие типы задач: 1) определение формы правильных умозаключений; 2) анализ умозаключений и определение соответствия их структуры одному из правил; 3) формирование умения пользоваться в умозаключениях правилами логического вывода, опираясь только на форму связи между посылками и заключением; 4) анализ ошибок в умозаключениях.

В четвертом классе учитель может показать учащимся правила логического вывода: заключения, отрицания, контрапозиции, силлогизма. При этом названия этих правил не сообщаются учащимся. Знакомство школьников с правильными умозаключениями может вестись двумя методами: от частного к общему; от общего к частному. В первом случае учащиеся анализируют конкретные примеры правильных умозаключений, сравнивают их между собой и, абстрагируясь от конкретного содержания, вместе с учителем записывают общую структуру. Покажем эту работу на примере выполнения следующего задания: «Установите истинность каждого рассуждения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Если угол больше прямого угла, то он тупой.

Угол АВС больше прямого угла.

Значит, угол АВС тупой.

2. Если фигуры равны, то их площади равны.

Две фигуры равны между собой.

Значит, площади этих фигур раны».

Учитель может задать учащимся следующие вопросы: «О чем говорится в каждом рассуждении? Похожи ли они по содержанию? По количеству предложений? Что у них общего? и т. д.». Приведем возможные ответы: «В первом рассуждении говорится об углах, во втором -- о фигурах и площадях. Они различны по содержанию. Каждое из них состоит из трех предложений. Первое и второе предложения (посылки) записывают над чертой, а третье (заключение) под чертой. Первое предложение в каждом рассуждении содержит слова «если…то», в нем говорится, что все рассматриваемые объекты обладают некоторым свойством. Второе и третье предложения являются по содержанию частными». В процессе сравнения рассуждений одной и той же формы, но различных по содержанию учитель подводит учащихся к выделению общей формы каждого рассуждения, абстрагируясь при этом от их конкретного содержания. Так данные рассуждения имеют следующую форму:

Если А, то В.

А.

Значит, В.

Всякое рассуждение, построенное по данному правилу, будет правильным. На его закрепление можно предложить такое задание:

Сделайте вывод из двух посылок:

Если число четное, то оно делится на 2.

Число 14 четное.

Значит, …

При введении правила вывода вторым методом, т.е. от общего к частному, учащимся дается в общем виде правило, а затем, подставив конкретные значения, они получают рассуждения (конкретизация). Например, им можно предложить задание: «Постройте рассуждение по следующему правилу:

Если А, то В.

Если не В, то не А.»

Анализируя данное правило, учащиеся выделяют в нем одну посылку и заключение, два суждения А, В. Сравнивая между собой посылку и заключение, учащиеся приходят к выводу, что они отличаются порядком следования предложений А и В; во втором предложении перед А и В стоит частица не. Подставив вместо А и В простые предложения, получаются конкретные рассуждения. Например,

Если фигура -- прямоугольник, то она -- четырехугольник.

Если фигура -- не четырехугольник, то она и не прямоугольник.

Если учащиеся затрудняются привести конкретные примеры, то учитель может им предложить примеры предложений А и В.

Таким образом, при установлении истинности или ложности суждений можно формировать анализ и синтез; при сопоставлении между собой суждений и умозаключений по содержанию или по их логической форме -- сравнение; при отвлечении от конкретного содержания суждений и умозаключений, записи их логических форм, формулировке общих выводов, приведении конкретных примеров суждений и умозаключений по их логической форме -- абстрагирование, конкретизацию и обобщение; при распределении суждений по группам -- классификацию.

2.4 Развитие логических приемов мышления на факультативных занятиях по математике

Выше неоднократно утверждалось, что развитие у детей логического мышления - это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логически, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определенным правилам - необходимое условие успешного усвоения учебного материала.

Основная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей. Ведь в любой задаче заложены большие возможности для развития логического мышления. Нестандартные логические задачи - отличный инструмент для такого развития. Существует значительное множество такого рода задач; особенно много подобной специализированной литературы было выпущено в последние годы. Конкретные примеры логических задач приведены в приложениях А и Б.

В своей работе мы использовали разработки факультативных занятий по курсу «Решение текстовых задач» по методике В.Г. Герасимова [16].

Оршанец Валерий Герасимов - один из немногих в нашей республике педагогов, кто имеет квалификационную категорию «учитель-методист», он автор учебников и пособий по математике, новатор, энтузиаст и действительно уникальный человек. Он знает, как сделать непростой предмет школьной программы максимально доступным для понимания любого ребенка, а уроки - по-настоящему захватывающими и результативными.

С 2012 года по инновационному проекту Валерия Герасимова «Внедрение структурно-динамической модели обучения математике на основе принципа системной дифференциации» работают 8 школ страны. И каждый учитель, который уже апробировал авторскую методику, призывает других следовать ей.

Почему? Все просто: она обеспечивает достижение оптимального соответствия учебного материала и времени, необходимого для его усвоения, детьми с разным уровнем подготовки. Эксперимент показал, что для изучения программы по математике требуется на 15-20% меньше времени, чем предусмотрено. Большую часть нового материала школьники усваивают на уроке, на домашнее задание затрачивается минимум усилий. Мониторинг, проведенный в минувшем учебном году, показал, что в классах с инновационной моделью результативность по математике на 30-50% выше, чем у остальных [16].

Венгерский и американский математик Дьёрдь Пойа говорил: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Другими словами, всему можно научиться только на собственном опыте. Это стержень метода Герасимова. Ребенок анализирует, наблюдает, сравнивает, делает выводы. То есть приходит к решению сам и получает удовольствие от занятия математикой. 

Что касается текстовых задач, то это стержень всего курса математики на начальном этапе обучения. Классический подход предполагает решение по образцу, определенной модели. Менее способные дети начинают «тонуть» и в дальнейшем плохо представляют себе логические операции. В методике обучения решению задач по Герасимову все по-другому: малыши сами учатся находить, мыслить, рассуждать, строить. Поэтому очень любят решать задачи и не испытывают страха при ответе у доски.

Задачи играют огромную роль в жизни человека. Процесс мышления главным образом заключается в постановке и решении задач. Формирование умения решать задачи происходит в процессе обучения всем школьным предметам. Однако ведущая роль здесь принадлежит математике. В курсе математики начальной школы большие возможности для систематической работы по формированию общего подхода к деятельности по решению задач предоставляет линия текстовых (сюжетных) задач.

Целью факультативных занятий «Решение текстовых задач» является повышение уровня математического развития учащихся с учетом их индивидуальных особенностей и опыта творческой деятельности. Достигается данная цель путем [16]:

· систематизации, расширения и углубления учебного материала линии текстовых задач,

· изучаемого на уроках математики;

· обучения учащихся приемам анализа содержания задачи и построения ее модели разными способами;

· развития умения определять рациональные способы решения задачи, в том числе с использованием эвристических приемов поиска пути решения;

· формирования активного познавательного интереса к изучению математики.

Содержание факультатива построено в соответствии с учебной программой по математике для I--IV классов учреждений общего среднего образования и дополняет ее. Факультативный курс формирует у учащихся представление о структуре текстовой задачи, а также умение переходить от словесно-описательной модели задачи к различным формам ее краткой записи, а затем -- к математической модели. Учащиеся знакомятся с общими подходами к решению типовых текстовых задач и задач повышенной сложности, нестандартных текстовых задач. Особое внимание уделяется решению задач 4--5-го уровней сложности усвоения учебного материала [16].

При отборе и построении содержания программы факультативных занятий в основу положена систематизация текстовых задач по виду отношений (связей) между значениями величины (величин).

1. Текстовая задача представляет собой словесную модель количественной стороны какого-либо объекта (предмета, явления, процесса и т. д.). Чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить основные компоненты ее условий и требований, отбросив все второстепенное, не влияющее на структуру.

2. В условии текстовой задачи могут рассматриваться одна или несколько ситуаций (моментов, эпизодов) с описываемым объектом (объектами). Количественная сторона рассматриваемой в задаче ситуации с объектом может характеризоваться:

* одной величиной;

* тремя взаимосвязанными величинами (задачи на процессы);

* геометрическими величинами (задачи с геометрическим содержанием).

3. В задачах с одной величиной значения этой величины могут быть связаны:

* отношением целого и его частей (связь было -- изменение -- стало);

* отношением целого и его частей (связь всего / вместе);

* отношением равенства (связь равно / столько же);

* отношением разностного сравнения (связь больше на / меньше на);

* отношением кратного сравнения (связь больше в / меньше в);

* отношением части от целого (дробным отношением) и др.

В задачах на процессы значения трех взаимосвязанных величин связаны особенностями рассматриваемого процесса (деление на равные части, деление поровну, покупка товара, выполнение работы, движение и др.).

В задачах с геометрическим содержанием значения геометрических величин связаны особенностями рассматриваемой геометрической фигуры и ее свойствами (ломаная, прямоугольник, квадрат, треугольник, четырехугольник).

В каждой группе текстовых задач подбор и структурирование учебного материала осуществляется вокруг укрупненных дидактических единиц (базовых задачных структур) в соответствии с принципом системной дифференциации. Все последующие варианты задач выступают как их конкретизация, развертывание. При этом общее направление познания каждой укрупненной дидактической единицы осуществляется от целого к части.

Рекомендуемые формы и методы проведения занятий. На факультативных занятиях могут использоваться фронтальная, самостоятельная и индивидуальная формы работы учащихся. Желательно оптимальное сочетание объяснительно-репродуктивного и проблемного обучения. При проведении факультативных занятий существенное значение имеют следующие методические акценты [16]:

-- предполагается творческое взаимодействие учителя и учащихся, использование игровых форм организации учебно-познавательной деятельности;

-- особое внимание необходимо уделять формированию приемов мыслительной деятельности (наблюдение и сравнение, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, построение гипотез и планирование действий и др.);

-- должна проводиться систематическая работа по выработке навыка применения эвристических приемов;

-- следует широко применять разные способы составления задач на основе исходной:

а) составление задачи, обратной исходной;

б) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению;

в) составление задач по некоторым элементам, общим с исходной задачей.

Однако что зачастую наблюдается на практике? Учащимся предлагается задача, они знакомятся с нею и вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но извлекается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учащихся может вновь испытывать затруднения при решении.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения различных форм работы над задачей:

1. Работа над решенной задачей. Многие учащиеся только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.

2. Решение задач различными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за нехватки времени. А ведь это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем учащимся, а лишь тем, кто любит математику, имеет особые математические способности.

3. Правильно организованный способ анализа задачи - с вопроса или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которые нужно обязательно представить, а которые можно опустить. Мысленное участие в этой ситуации. Разбиение текста задачи на смысловые части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учащимися.

Составить задачу: 1) используя слова: больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше; 2) решаемую в 1, 2, 3 действия; 3) по данному ее плану решения, действиям и ответу; 4) по выражению и т.д.