Структура нескінченновимірних лінійних груп та модулів над груповими кільцями

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

СТРУКТУРА НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИХ ЛІНІЙНИХ ГРУП ТА МОДУЛІВ НАД ГРУПОВИМИ КІЛЬЦЯМИ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

ДАШКОВА Ольга Юріївна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий консультант: доктор-фізико-математичних наук, професор

Кириченко Володимир Васильович,

в.о. завідувача кафедри геометрії

Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН Білорусі

Шеметков Леонід Олександрович,

завідувач кафедри алгебри і геометрії

Гомельського державного університету імені Франциска Скорини

доктор фізико-математичних наук, професор

Лиман Федір Миколайович,

завідувач кафедри математики Сумського

державного педагогічного університету імені А.С.Макаренка

доктор фізико-математичних наук, професор

Семко Микола Миколайович,

завідувач кафедри вищої математики

Національного університету державної

податкової служби України (м. Ірпінь).

Захист відбудеться “18 ” січня 2010 р. о 14 годині на засіданні спе-ціалізованої вченої ради у Київському національному уні-верситеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м.Київ, проспект акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “__30___”__листопада________ 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню нескінченновимірних лінійних груп з обмеженнями на різні системи їх підгруп, та модулів над груповими кільцями, що виникають як природне узагальнення нескінченновимірних лінійних груп. Особливу увагу зосереджено на вивченні структури діючої групи.

Нехай F -поле, A -векторний простір над полем F, GL(F,A) - група всіх F-автоморфізмів векторного простору A. Група GL(F,A) та всі її підгрупи називаються лінійними групами. Лінійні групи є одним із найстаріших об'єктів дослідження алгебри. Якщо розмірність dim_FA векторного простору A над полем F є скінченною, кожний елемент GL(F,A) можна ототожнювати з невиродженою nЧn-матрицею, де n = dim_FA. Таким чином, для скінченновимірних лінійних груп теорія лінійних груп - це точно теорія матричних груп. Скінченновимірні лінійні групи широко застосовуються в різних галузях математики, фізики та природознавства. У випадку, коли розмірність dim_FA векторного простору A над полем F є нескінченною, ситуація кардинально змінюється. Ця ситуація подібна до ситуації, що склалася в ранній період розвитку теорії нескінченних груп. Одним із найбільш плідних засобів у теорії нескінченних груп було накладення різних обмежень на системи підгруп групи. Тут треба нагадати знамениту проблему О.Ю.Шмідта стосовно нескінченної групи, всі власні підгрупи якої скінченні. Дуже важливими є також проблема С.М.Чернікова про групи з умовою мінімальності для підгруп та проблема Р.Бера про групи з умовою максимальності для підгруп.

Як і в теорії нескінченних груп, на нескінченновимірну лінійну групу, що розглядається, накладаються різні обмеження. Прикладом таких обмежень є фінітарність лінійної групи. Нескінченновимірна лінійна група називається фінітарною, якщо для кожного елементу g G фактор-простір A/C_A(G) є скінченновимірним. Фінітарні лінійні групи можна розглядати як лінійний аналог FC-груп - груп із скінченними класами спряжених елементів. Фінітарні лінійні групи досліджувалися багатьма авторами (В.В.Бєляєв, Р.Е.Філліпс, А.Розенберг, А.Є.Залесський). Р.Е.Філліпсом¹ здійснено огляд цих досліджень. Л.А.Курдаченко, М. Еванс та М.Диксон ² ввели до розгляду означення центральної розмірності лінійної групи.

Означення. Нехай H - підгрупа групи GL(F,A). Тоді H природно діє на фактор-просторі A/C_A(H). Розмірність фактор-простору A/C_A(H) позначається через centdim_F(H) та називається центральною розмірністю підгрупи H.

Якщо нескінченновимірна лінійна група H має скінченну центральну розмірність, Л.А.Курдаченко, М.Еванс та М.Диксон ² довели, що H має таку нормальну підгрупу C, що фактор-група H/C ізоморфна деякій підгрупі скінченновимірної лінійної групи, а підгрупа C є абелевою групою без скруту, якщо характеристика поля F дорівнює нулю, та елементарною абелевою p-групою, якщо характеристика поля F дорівнює простому числу p. Тоді структура групи H визначається структурою звичайної скінченновимірної лінійної групи H/C. Тому потрібно досліджувати нескінченновимірні лінійні групи нескінченної центральної розмірності.

Нехай G ? GL(F,A), L_id(G) - система всіх підгруп групи G, які мають нескінченну центральну розмірність. Розглядалися нескінченновимірні лінійні групи, у яких система L_id(G) досить невелика. Так, Л.А.Курдаченко, М.Еванс та М.Диксон¹ описали структуру нескінченновимірних лінійних груп нескінченної центральної розмірності, в яких система всіх підгруп нескінченної центральної розмірності задовольняє умову мінімальності, також ці автори описали структуру нескінченновимірних лінійних груп нескінченної центральної розмірності, в яких кожна власна підгрупа має скінченну центральну розмірність. Як виявилось, локально розв'язна лінійна група нескінченної центральної розмірності, в якої кожна власна підгрупа має скінченну центральну розмірність, ізоморфна квазіциклічній групі. Л.А.Курдаченко та І.Я.Субботін¹ розглядали нескінченновимірні лінійні групи нескінченної центральної розмірності, в яких система всіх підгруп нескінченної центральної розмірності задовольняє умову максимальності.

Поряд із означенням центральної розмірності нескінченновимірної лінійної групи виникає означення фундаментальної розмірності цієї групи, яке було введене Диксоном М.Р., Курдаченко Л.А., Евансом М.²

Означення. Нехай H - підгрупа групи GL(F,A), [H,A] - підпростір простору A, який породжується елементами v(g-1), g H, v A. Розмірність підпростору [H,A] називається фундаментальною розмірністю лінійної групи H та позначається ddim_FH.

Курдаченко Л.А., Кириченко В.В., Поляков М.В.³ побудували приклад нескінченновимірної абелевої лінійної групи скінченної центральної розмірності, фундаментальна розмірність якої нескінченна. Тому нескінченновимірні лінійні групи з обмеженнями на їх фундаментальну розмірність треба досліджувати незалежно від досліджень цих груп з обмеженнями на їх центральну розмірність.

Звичайним продовженням теорії лінійних груп є теорія модулів над груповими кільцями. В теорії модулів існує ряд узагальнень скінченновимірного векторного простору. Це модулі, які мають скінченний композиційний ряд, скінченнопороджені модулі, нетерові модулі, артинові модулі. Треба відзначити, що артинові та нетерові модулі досліджувалися багатьма спеціалістами. Ці модулі мають широке застосування в алгебрі. Так, Б.А.Ф.Верфрицем^4,5 було розглянуто артиново-фінітарні групи авто-морфізмів F₁Aut_R M модуля M над комутативним кільцем R. Було описано структуру і Б.А.Ф.Верфрицем¹ також було досліджено зв'язок проміж групою автоморфізмів F₁Aut_RM та групою автоморфізмів FAut_RM, де FAut_RM - група автоморфізмів модуля M над комутативним кільцем R така, що коцентралізатор кожного її елемента в модулі M є нетеровим R-модулем. Б.А.Ф.Верфрицем² також було доведено, що група G = F₁Aut_R M є локально нормально-фінітарною, тобто кожна скінченна підмножина елементів групи G міститься в нормальній підгрупі групи G, яка ізоморфна фінітарній групі автоморфізмів деякого модуля над певним комутативним кільцем. Б.А.Ф.Верфриц³ розглянув скінченно-фінітарні (або F -фінітарні групи) автоморфізмів модуля M над комутативним кільцем R, тобто групи, коцентралізатор кожного елемента яких у модулі M є скінченним R-модулем.

Слід відзначити, що важливу роль відіграють дослідження модулів над кільцями, які за своєю структурою достатньо близькі до полів. До таких кілець можна віднести дедекіндові кільця. Ідея дедекіндових кілець виникла в процесі розвитку алгебраїчної теорії чисел. Дедекіндові кільця та модулі над дедекіндовими кільцями досліджувалися багатьма авторами. Слід згадати Н.Бурбакі, З.І.Боревича, І.Р.Шафаревича, Л.Фукса, Д.С.Пассмана.

Л.А.Курдаченко, І.Я.Субботін, Н.Н.Семко⁴ досліджували різні класи модулів над дедекіндовими кільцями. Так, ці автори розглянули проективні, ін'єктивні, мінімаксні модулі над дедекіндовими кільцями, а також прямі суми циклічних модулів над дедекіндовими кільцями. Описано структуру артинового модуля над дедекіндовим кільцем, побудовано прюферовий модуль над дедекіндовим кільцем та описано кільце ендоморфізмів цього модуля.

Розв'язання задач алгебри потребує дослідження специфічних артинових модулів. Курдаченко Л.А., Отал Дж., Субботін І.Я.⁵ розглядали різні класи артинових модулів. Так, ці автори досліджували прямі розклади артинових модулів, зліченні артинові модулі над FC-гіперцентральними групами, артинові модулі над періодичними абелевими групами, артинові модулі над абелевими групами скінченного секційного рангу, квазіскінченні модулі.

У зв'язку з цими дослідженнями виникають ще й інші задачі, серед яких виділимо такі:

- Опис структури нескінченновимірної лінійної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу (секційного р-рангу, абелевого секційного рангу, спеціального рангу), у якої кожна власна підгрупа відповідного нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність.

- Опис структури нескінченновимірної лінійної групи нескінченної фундаментальної розмірності та нескінченного рангу (секційного р-рангу, абелевого секційного рангу, спеціального рангу), в якої кожна власна підгрупа відповідного нескінченного рангу має скінченну фундаментальну розмірність.

- Опис структури неабелевої нескінченновимірної лінійної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу (секційного р-рангу, абелевого секційного рангу, спеціального рангу), у якої кожна власна неабелева підгрупа відповідного нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, група G має нескінченний ранг (секційний р-ранг, абелевий секційний ранг, спеціальний ранг), коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а коцентралізатор кожної власної підгрупи групи G відповідного нескінченного рангу є артиновим O-модулем.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є артиновими O-модулями, задовольняє умову мінімальності.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є артиновими O-модулями, задовольняє умову максимальності.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, група G має нескінченний ранг (секційний р-ранг, абелевий секційний ранг, спеціальний ранг), коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а коцентралізатор кожної власної підгрупи групи G відповідного нескінченного рангу є нетеровим R-модулем.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є нетеровими R- модулями, задовольняє умову мінімальності.

- Дослідження модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову максимальності.

Розв'язанню вищесформульованих та споріднених з ними задач присвячено цю дисертаційну роботу. Наведений огляд підтверджує, що тематика роботи є дійсно актуальною, а її результати важливі як з теоретичної точки зору, так і в плані їх застосувань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана із дослідженнями структури нескінченновимірних лінійних груп та модулів над груповими кільцями комутативних кілець, які проводяться на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка та на кафедрі геометрії та алгебри Дніпропетровського національного університету. Автор брав активну участь у цих дослідженнях як виконавець бюджетних тем “Групи з обмеженнями на підгрупи та пов'язані з ними модулі”, 1999-2001 рр. (№ 0199U001306), “Модулі та групи з умовами скінченності та їх взаємний зв'язок”, 2002-2004 рр. (№ 0102U004406).

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження є нескінченновимірні лінійні групи та модулі над груповими кільцями комутативних нетерових кілець.

Предмет дослідження складають структура та властивості нескінченновимірних лінійних груп та модулів над груповими кільцями комутативних нетерових кілець.

Мета дослідження мотивується такими завданнями:

1) описати структуру нескінченновимірних локально розв'язних лінійних груп нескінченного рангу та нескінченної центральної розмірності з обмеженнями на різні системи підгруп нескінченної центральної розмірності;

2) описати структуру нескінченновимірних локально розв'язних лінійних груп нескінченного рангу та нескінченної фундаментальної розмірності з обмеженнями на різні системи підгруп нескінченної фундаментальної розмірності;

3) описати структуру модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, група G має нескінченний ранг (секційний р-ранг, абелевий секційний ранг, спеціальний ранг), коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а коцентралізатор кожної власної підгрупи групи G відповідного нескінченного рангу є артиновим O-модулем;

4) описати структуру модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є артиновими O-модулями, задовольняє умову мінімальності;

5) описати структуру модуля А над груповим кільцем OG, де O - дедекіндове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим O-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є артиновими O-модулями, задовольняє умову максимальності.

6) описати структуру модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, група G має нескінченний ранг (секційний р-ранг, абелевий секційний ранг, спеціальний ранг), коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а коцентралізатор кожної власної підгрупи групи G відповідного нескінченного рангу в модулі А є нетеровим R-модулем.

7) описати структуру модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову мінімальності.

8) описати структуру модуля А над груповим кільцем RG, де R - комутативне нетерове кільце, коцентралізатор групи G в модулі А не є нетеровим R-модулем, а система всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі А не є нетеровими R-модулями, задовольняє умову максимальності.

У дослідженнях використано методи теорії груп і теорії модулів над груповими кільцями.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі основні нові результати:

1) Описано структуру нескінченновимірної лінійної розв'язної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна підгрупа нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спе-ціального рангу.

2) Доведено розв'язність локально розв'язної нескінченновимірної лінійної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна підгрупа нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спеціального рангу.

3) Описано структуру нескінченновимірної розв'язної лінійної групи нескінченної фундаментальної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна підгрупа нескінченного рангу має скінченну фундаментальну розмірність у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спеціального рангу.

4) Доведено розв'язність локально розв'язної нескінченновимірної лінійної групи нескінченної фундаментальної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна підгрупа нескінченного рангу має скінченну фундаментальну розмірність у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спеціального рангу.

5) Описано структуру неабелевої нескінченновимірної лінійної розв'язної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна неабелева підгрупа нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність, у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спеціального рангу.

6) Доведено розв'язність неабелевої локально розв'язної нескінченновимірної лінійної групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна неабелева підгрупа нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність, у випадках секційного р-рангу, 0-рангу, абелевого секційного рангу та спеціального рангу.

7) Введено аналог центральної розмірності нескінченновимірної лінійної групи для модулів над груповими кільцями.

8) Доведено розв'язність локально розв'язної групи G, якщо A - ZG-модуль, Z - кільце цілих чисел, група G задовольняє умову мінімальності для підгруп, коцентралізатори яких у модулі А не є артиновими Z-модулями, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим Z-модулем. Аналогічний результат отримано для кільця цілих р-адичних чисел. Описано структуру групи G.

9) Доведено, що група G ізоморфна квазіциклічній групі C_q? для деякого простого числа q у випадку, коли A - RG-модуль, R - кільце цілих р-адичних чисел, група G локально розв'язна, коцентралізатор кожної власної підгрупи групи G в модулі A є артиновим Z-модулем, коцентралізатор групи G в модулі А не є артиновим Z-модулем, та C_G(A) = 1.

Наведені результати одержано вперше.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна використовувати при подальшому вивченні структури нескінченновимірних лінійних груп та модулів над груповими кільцями комутативних кілець.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи належать авторові. Результати опубліковані у працях без співавторів [1 - 10], [13 - 47], та у працях у співавторстві [ 11, 12 ]. В дисертаційну роботу включено лише результати дисертанта у працях [ 11, 12 ].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи оприлюднено на: Міжнародній конференції з алгебри, присвяченій пам'яті А.І.Ширшова (м. Барнаул, 1991 р.), Республіканській науково-методичній конференції, присвяченій 200-річчю з дня народження М.І.Лобачевського (м. Одеса, 1992), Третій міжнародній конференції з алгебри пам'яті М.І.Каргаполова (м. Красноярськ, 1993), Шостій Міжнародній Науковій Конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1997), Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті Д.К.Фаддєєва (Санкт-Петербург, 1997), Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті професора Л.М.Глускіна (Слов'янськ, 1997), Міжнародній конференції з теорії груп, присвяченій пам'яті С.М.Чернікова (Пермь, 1997), конференції Г.Ф. Вороного з аналітичної теорії чисел (Київ, 1998), Між-народному Конгресі Математиків (Берлін, 1998), Другій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні, присвяченій пам'яті професора Л.А.Калужніна (м.Київ - м.Вінниця, 1999), IV міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 60-річчю професора Ю.І.Мерзлякова (м.Новосибірськ, 2000), Третій міжнародній конференції в Україні (м.Суми, 2001), Міжнародній конференції ”Алгебра и ее приложения” (м.Красноярськ, 2002), 5-ій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м.Одеса, 2005), Міжнародній алгебраїчній конференції “Классы групп и алгебр” (м.Гомель, 2005), V научній конференції “Ломоносовские чтения 2006 года” (м.Севастополь, 2006), Шостій Міжнародній школі-конференції з теорії груп (м.Нальчик, 2006), Міжнародній конференції “Мальцевские чтения” (м.Новосибірськ, 2006), 6-ій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м.Кам'янець-Подільський, 2007), Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 70-річчю з дня народження Л.О.Шеметкова “Классы групп, алгебр и их приложения” (м.Гомель, 2007), Міжнародному російсько-китайському семінарі (м.Іркутськ, 2007), Міжнародній конференції “Алгебра и ее приложения” (м.Красноярськ, 2007), Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження Д.К.Фад-дєєва (м.Санкт-Петербург, 2007), Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження А.Г.Куроша (м.Москва, 2008), Сьомій Міжнародній школі-конференції з теорії груп, присвяченій 60-річчю А.С.Кондратьєва (м.Челябінськ, 2008), X Білоруській математичній конференції (м.Мінськ, 2008).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на семінарах Інституту математики Сибірського відділення РАН : 1) семінар “Теория групп” (м.Новосибірськ, 2006), 2) семінар “Алгебра и логика” (м.Новосибірськ, 2006), 3) семінар “Еваріст Галуа” (м.Новосибірськ, 2006); на семінарі з теорії груп Інституту математики НАН України (м.Київ, 2007), на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Та-раса Шевченка (м.Київ, 2007, 2008, 2009), на алгебраїчному семінарі Інституту математики НАН України (м.Київ, 2009), на алгебраїчному семінарі Дніпропетровського національного університету (м.Дніпропетровськ, 1991-2006).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 23 статтях у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України (з них 2 - в співавторстві), та у 24 тезах доповідей і матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу та 6 глав: “Нескінченновимірні лінійні групи з обмеженнями на підгрупи нескінченних рангів”, “ Нескінченновимірні лінійні групи з обмеженнями на деякі системи підгруп нескінченних рангів”, “Модулі над груповими кільцями локально розв'язних груп із ранговими обмеженнями на деякі сис-теми підгруп”, “Модулі над груповими кільцями локально розв'язних груп з умовою min-nad”, “Модулі над груповими кільцями розв'язних груп з умовою max-nad”, “ Про модулі над груповими кільцями локально розв'язних груп, які близькі до нетерових ”, висновків та списку використаних джерел, і має обсяг 302 сторінки. Глави поділяються на параграфи. Список використаних джерел налічує 205 найменуваннь.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність тематики, визначено мету та задачі досліджень, вказано новизну, апробацію одержаних результатів, коротко викладений зміст дисертації та методи досліджень.

У першому параграфі першої глави досліджуються нескінченновимірні лінійні групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу з обмеженнями на підгрупи нескінченних рангів.

Нагадаємо, що група G має скінченний 0-ранг r₀(G) = r, якщо G має скінченний субнормальний ряд, у якого r факторів - нескінченні циклічні, а всі останні фактори періодичні. Відомо, що 0-ранг групи не залежить від вибору цього ряду та є числовим інваріантом.

Нехай p - просте число. Говорять, що група G має скінченний секційний p-ранг r_p (G) = r, якщо кожна елементарна абелева p-секція U/V групи G має порядок, який не перевищує числа p^r, та існує елементарна абелева p-секція U/V така, що |U/V| = p^r. У противному разі вважається, що група G має нескінченний секційний p-ранг. В дисертаційній роботі будемо говорити про p-ранг, маючи на увазі секційний p-ранг, якщо p - просте число, та 0-ранг, якщо p = 0, роблячи необхідні застереження, якщо це необхідне.

Група G має скінченний абелевий секційний ранг, якщо кожна абелева секція групи G має скінченний p-ранг для всіх p ? 0. Бер і Хайнекен¹ довели, що для розв'язних (і навіть гіперабелевих) груп скінченність абелевого секційного рангу еквівалентна скінченності абелевого підгрупового рангу (група G має скінченний абелевий підгруповий ранг, якщо всі абелеві підгрупи групи G мають скінченний p-ранг для всіх p ? 0).

Група G має скінченний спеціальний ранг r(G) = r, якщо r є най-меншим числом з тією властивістю, що кожна скінченно породжена підгрупа групи G може бути породжена не більш ніж r елементами. Це означення вперше було введене А.І.Мальцевим². Спеціальний ранг групи ще називають рангом Прюфера-Мальцева.

При дослідженні нескінченновимірних лінійних груп нескінченної центральної розмірності та нескінченного р-рангу, p ? 0, таких, що кожна власна підгрупа нескінченного р-рангу має скінченну центральну розмірність, важливу роль відіграє така лема.

Лема 1.14 (глава 1). Нехай H ? GL(F,A). Якщо група H локально розв'язна та має скінченну центральну розмірність, то H розв'язна.

За допомогою цієї леми та інших фактів доводиться теорема 1.20.

Теорема 1.20 (глава 1). Нехай G - локально розв'язна підгрупа групи GL(F,A). Припустимо, що G має нескінченну центральну розмірність та нескінченний p-ранг,

p ? 0. Якщо кожна власна підгрупа нескінченного p- рангу має скінченну центральну розмірність, то група G розв'язна.

Аналогічний результат має місце у випадку, коли група G має нескінченний абелевий секційний ранг, або нескінченний спеціальний ранг. В обох випадках доведено розв'язність групи G (теореми 1.21, 1.22 глави 1).

Як виявилось, клас нескінченновимірних ров'язних лінійних груп, які задовольняють ці умови, достатньо обмежений. Структура таких груп описується теоремою 1.11.

Теорема 1.11 (глава 1). Нехай G ? GL(F,A) - розв'язна лінійна група, та p>0. Припустимо, що ранг r_p(G) та центральна розмірність centdim_FG нескінченні. Якщо кожна власна підгрупа нескінченного p-рангу має скінченну центральну розмірність, то група G задовольняє наступні умови:

(i) G = HQ, де H - нормальна підгрупа групи G, H ? Q = E, Q C_q для деякого простого числа q;

(ii) H є p-групою скінченної центральної розмірності, charF = p, q ? p;

(iii) K=H ? Z(G) - скінченна підгрупа;

(iv) H/K - нескінченна елементарна абелева p-група;

(v) H/K - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи G/K.

Таку ж структуру група G має у випадку, коли абелевий секційний ранг G нескінченний (наслідок 1.12 глави 1), та спеціальний ранг G нескінченний (теорема 1.13 глави 1). У випадку, коли група G має нескінченний 0-ранг, ситуація кардинально змінюється. Має місце теорема 1.10.

Теорема 1.10 (глава 1). Нехай G - розв'язна підгрупа групи GL(F,A). Припустимо, що кожна власна підгрупа нескінченного 0-рангу групи G має скінченну центральну розмірність. Тоді або група G має скінченну центральну розмірність, або ранг r₀(G) скінченний.

З цієї теореми випливає, що розв'язних лінійних груп нескінченного 0-рангу та нескінченної центральної розмірності, таких, що кожна власна підгрупа нескінченного 0-рангу має скінченну центральну розмірність, не існує.

Другий параграф першої глави присвячено дослідженню лінійних груп нескінченної фундаментальної розмірності та нескінченного рангу з обмеженнями на підгрупи нескінченних рангів. Так, при дослідженні розв'язних груп нескінченної фундаментальної розмірності та нескінченного р-рангу має місце теорема 2.11.

Теорема 2.11 (глава 1). Нехай G ? GL(F,A) - розв'язна лінійна група, та p>0. Припустимо, що р-ранг r_p(G) та фундаментальна розмірність ddim_FG нескінченні. Якщо кожна власна підгрупа нескінченного p-рангу має скінченну фундаментальну розмірність, то група G за-довольняє наступні умови:

(i) G = HQ, де H - нормальна підгрупа групи G, H ? Q = E, Q C_q для деякого простого числа q;

(ii) H є p-групою скінченної центральної розмірності, charF = p, q ?p;

(iii) K=H ? Z(G) - скінченна підгрупа;

(iv) H/K - нескінченна елементарна абелева p-група;

(v) H/K - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи G/K.

При дослідженні локально розв'язних лінійних груп нескінченної фундаментальної розмірності має місце теорема 2.20.

Теорема 2.20 (глава 1). Нехай G - локально розв'язна підгрупа групи GL(F,A). Припустимо, що G має нескінченну фундаментальну розмірність та нескінченний p-ранг, p ? 0. Якщо кожна власна підгрупа нескінченного p-рангу має скінченну фундаментальну розмірність, то група G розв'язна.

Аналогічні результати справедливі у випадках нескінченного абелевого секційного рангу та нескінченного спеціального рангу (теореми 2.21, 2.22 глави 1).

У главі 1 також досліджуються нескінченновимірні лінійні групи з обмеженнями на підгрупи, що не є розв'язними A₃-групами. Нагадаємо, що у фундаментальній роботі А.І.Мальцева¹ було введено означення розв'язної A_i-групи, i=1,2,3,4,5. Розв'язною A_i-групою називається група, яка має скінченний субнормальний ряд із факторами, що є абелевими A_i-групами. Так, абелевою A₃-групою називається абелева група, фактор-група якої по її періодичній частині має скінченний спеціальний ранг, а періодична частина задовольняє умову мінімальності. Абелевою A₄-групою називається абелева A₃-група зі скінченною періодичною частиною. Мінімаксною називається група, що має скінченний субнормальний ряд, фактори якого задовольняють умову мінімальності, або умову максимальності. Зокрема, розв'язна мінімаксна група є розв'язною A₃-групою. Має місце теорема 3.2.

Теорема 3.2 (глава 1). Нехай G - локально розв'язна лінійна група нескінченної центральної розмірності, що не є розв'язною A₃-групою. Якщо кожна власна підгрупа групи G, що не є розв'язною A₃-групою, має скінченну центральну розмірність, то група G розв'язна, має нескінченний спеціальний ранг, та задовольняє наступні умови:

i) G = HQ, де H - нормальна підгрупа групи G, H ? Q = E, Q C_q для деякого простого числа q;

(ii) H є p-групою скінченної центральної розмірності, charF = p, q ? p;

(iii) K=H ? Z(G) - скінченна підгрупа;

(iv) H/K - нескінченна елементарна абелева p-група;

(v) H/K - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи G/K.

Досить важливими є наслідки з цієї теореми.

Наслідок 3.3 (глава 1). Нехай G - локально розв'язна немінімаксна лінійна група нескінченної центральної розмірності. Якщо кожна власна немінімаксна підгрупа групи G має скінченну центральну розмірність, тоді група G розв'язна, має нескінченнний спеціальний ранг, та її структура визначається теоремою 3.2.

Наслідок 3.4 (глава 1). Нехай G - локально розв'язна лінійна група, яка не є розв'язною A₄-групою. Якщо кожна власна підгрупа групи G, яка не є розв'язною A₄-групою, має скінченну центральну розмірність, тоді група G розв'язна, має нескінченнний спеціальний ранг, та її структура визначається теоремою 3.2.

Теорема 3.5 (глава 1). Нехай G - локально нільпотентна нескінченновимірна лінійна група. Якщо кожна власна підгрупа групи G, яка не є розв'язною A₃-групою, має скінченну центральну розмірність, тоді або група G є розв'язною A₃-групою, або центральна розмірність групи G скінченна.

Виникає питання про вивчення нескінченновимірних лінійних груп нескінченного рангу з обмеженнями на інші системи підгруп. Так, у другій главі дисертаційної роботи вивчаються локально розв'язні неабелеві нескінченновимірні лінійні групи нескінченного рангу з обмеженнями на системи неабелевих підгруп. У випадку розв'язної неабелевої нескінченновимірної лінійної групи нескінченного р-рангу має місце теорема 1.11.

Теорема 1.11 (глава 2). Нехай G ? GL(F,A) - неабелева розв'язна лінійна група, та p>0. Припустимо, що р-ранг r_p(G) та центральна розмірність centdim_FG нескінченні. Якщо кожна власна неабелева підгрупа нескінченного p-рангу має скінченну центральну розмірність, тоді група G задовольняє наступні умови:

i) G = HQ, де H - нормальна підгрупа групи G, H ? Q = E, Q C_q для деякого простого числа q;

(ii) H є p-групою скінченної центральної розмірності, charF = p, q ? p;

(iii) K=H ? Z(G) - скінченна підгрупа;

(iv) H/K - нескінченна елементарна абелева p-група;

(v) H/K - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи G/K.

Будова розв'язної нескінченновимірної лінійної групи з визначеними обмеженнями на власні неабелеві підгрупи нескінченного рангу така ж сама, як при аналогічних обмеженнях на множину всіх власних підгруп нескінченного рангу. Але множина виділених підгруп значно менша. Таку ж саму структуру має неабелева лінійна група нескінченної центральної розмірності у випадках нескінченного абелевого секційного рангу (наслідок 1.12 глави 2), та нескінченного спеціального рангу (теорема 1.13 глави 2). В теоремах 1.20, 1.21, 1.22 глави 2 доведено, що неабелева локально розв'язна підгрупа групи GL(F,A) нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу, в якої кожна власна неабелева підгрупа нескінченного рангу має скінченну центральну розмірність, розв'язна. В цих теоремах окремо розглянуто випадки нескінченного р-рангу, нескінченного абелевого секційного рангу, нескінченного спеціального рангу.

В другому параграфі другої глави досліджуються розв'язні лінійні групи нескінченної центральної розмірності та нескінченного рангу такі, що для кожної власної підгрупи M нескінченного рангу існує ряд M-інваріантних підпросторів

<0> ? C ? A,

де підпростір C скінченновимірний, а фактор-простір A/C M-центральний. Далі умови, яким задовольняє підгрупа M, позначимо символом (*). Умова (*) є в деякому розумінні подвійною до умови скінченності центральної розмірності лінійної групи. Має місце теорема 2.11.

Теорема 2.11 (глава 2). Нехай G ? GL(F,A) - розв'язна лінійна група, p > 0, r_p(G) та centdim_FG нескінченні. Припустимо, що група G не задовольняє умову (*), а кожна власна підгрупа нескінченного p-рангу задовольняє умову (*). Тоді або група G є p-групою, або G задовольняє наступні умови:

i) G = HQ, де H - нормальна підгрупа групи G, H ? Q = E, Q C_q для деякого простого числа q;

(ii) H є p-групою скінченної центральної розмірності, charF = p;

(iii) K=H ? Z(G) - скінченна підгрупа;

(iv) H/K - нескінченна елементарна абелева p-група;

(v) H/K - мінімальна нормальна підгрупа фактор-групи G/K.

Як і при розгляді лінійних груп нескінченної центральної розмірності, в теоремі 2.11 (глава 2) доведено, що не існує розв'язних груп нескінченного 0-рангу, які не задовольняють умову (*), а кожна їх власна підгрупа нескінченного 0-рангу задовольняє умову (*). В третьому параграфі глави 2 також досліджуються неабелеві розв'язні групи нескінченного рангу, які не задовольняють умову (*), а кожна їх власна неабелева підгрупа нескінченного рангу задовольняє умову (*).

В третій главі дисертаційної роботи запроваджено аналог поняття скінченної центральної розмірності стосовно модулів. Нагадаємо означення коцентралізатора підгрупи.

Означення. Нехай R - коммутативне кільце, G - група, A - RG-модуль. Коцентралізатором підгрупи H у модулі A називається фактор-модуль R-модуля A по централізатору підгрупи H у модулі A.

В главах 4, 5 дисертаційної роботи досліджується RG-модуль A, який не є артиновим R-модулем у випадку, коли R = O - дедекіндове кільце, а G - локально розв'язна група з різними обмеженнями на системи її підгруп. Зокрема, в групі G розглядається система підгруп, коцентралізатори яких у модулі A не є артиновими R-модулями.

В главі 3 досліджується OG-модуль A такий, що O - дедекіндове кільце, G - локально розв'язна група нескінченного рангу (для різних рангів), та для кожної власної підгрупи H нескінченного рангу коцентралізатор підгрупи H у модулі A - артиновий O-модуль. У результатах глави 3 повсюди розглядається OG-модуль A такий, що C_G(A)=1. Зокрема, фактор-модуль A/C_A(G) не є артиновим O-модулем у всіх результатах глави 3 окрім леми 1.11. Має місце теорема 1.8.

Теорема 1.8 (глава 3). Нехай A - OG-модуль, G - розв'язна група, ранг r_p(G) нескінченний для деякого p ? 0. Припустимо, що для кожної власної підгрупи M, такої, що ранг r_p(M) нескінченний, коцентралізатор підгрупи M в A є артиновим O-модулем. Тоді група G має ряд нормальних підгруп H ? N ? G, таких, що H та N/H нільпотентні, а фактор-група G/N ізоморфна C_q для деякого простого числа q.

У випадку, коли розв'язна група G має нескінченний абелевий секційний ранг, або нескінченний спеціальний ранг, група G має таку ж структуру (теореми 1.9, 1.10 глави 3).

Важливу роль відіграє лема 1.11.

Лема 1.11 (глава 3). Нехай A - OG-модуль, G - локально розв'язна група. Припустимо, що коцентралізатор групи G в модулі A є артиновим O-модулем. Тоді група G розв'язна.

Слід відзначити, що при дослідженні модуля з визначеними обмеженнями з локальної розв'язності групи G випливає її розв'язність.

Теорема 1.17 (глава 3). Нехай A - OG-модуль, G - локально розв'язна група, ранг r_p(G) нескінченний для деякого p ? 0. Припустимо, що для кожної власної підгрупи M такої, що ранг r_p(M) нескінченний, коцентралізатор підгрупи M в A є артиновим O-модулем. Тоді група G розв'язна .

Аналогічні твердження мають місце у випадку, коли група G має нескінченний абелевий секційний ранг, або нескінченний спеціальний ранг (теореми 1.18, 1.19 глави 3).

В главі 3 також досліджується OG-модуль A такий, що O є кільцем цілих чисел Z, або кільцем цілих p-адичних чисел Z_p?. Треба підкреслити, що в цих випадках структура розв'язної групи G простіша, ніж у випадку довільного дедекіндова кільця O. Мають місце такі теореми.

Теорема 2.3 (глава 3). Нехай A - ZG-модуль, G - розв'язна група, ранг r_p(G) нескінченний для деякого p ? 0. Припустимо, що для кожної власної підгрупи M, такої, що ранг r_p(M) нескінченний, коцентралізатор підгрупи M в A є артиновим Z-модулем. Тоді група G має нормальну нільпотентну підгрупу H таку, що фактор-група G/H ізоморфна C _q? для деякого простого числа q.

Теорема 2.6 (глава 3). Нехай A - Z_p?-модуль, G - розв'язна група, ранг r_p(G) нескінченний для деякого p ? 0. Припустимо, що для кожної власної підгрупи M, такої, що ранг r_p(M) нескінченний, коцентралізатор підгрупи M в A є артиновим Z_p?-модулем. Тоді група G має нормальну нільпотентну підгрупу H таку, що фактор-група G/H ізоморфна C _q? для деякого простого числа q.

Аналогічні твердження мають місце у випадку, коли розв'язна група G має нескінченний абелевий секційний ранг (теореми 2.4, 2.7 глави 3), та у випадку, коли розв'язна група G має нескінченний спеціальний ранг (теореми 2.5, 2.8 глави 3).

Серед умов скінченності, які широко застосовуються в теорії груп, треба відзначити умову мінімальності для підгруп та умову максимальності для підгруп. В дисертаційній роботі ці умови застосовуються при дослідженні модулів над груповими кільцями. Нехай R = O - дедекіндове кільце. Символом L_nad(G) позначимо систему всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі A не є артиновими O-модулями. Запровадимо на L_nad(G) впорядкованість відносно звичайного включення підгруп. В главі 4 розглядається задача, коли L_nad(G) задовольняє умову мінімальності для підгруп. У цьому випадку будемо говорити, що група G задовольняє умову мінімальності для підгруп, коцентралізатори яких у модулі A не є артиновими O-модулями, або, простіше, що група G задовольняє умову min-nad. Якщо L_nad(G) задовольняє умову максимальності для підгруп, будемо говорити, що група G задовольняє умову максимальності для підгруп, коцентралізатори яких у модулі A не є артиновими O-модулями, або, простіше, що група G задовольняє умову max-nad.

В дисертаційній роботі також досліджується RG-модуль A, що не є нетеровим R-модулем, у випадку, коли R - довільне комутативне нетерове кільце, а G - локально розв'язна група, така, що на системи її підгруп накладаються різні обмеження. Символом L_nnd(G) позначимо систему всіх підгруп групи G, коцентралізатори яких у модулі A не є нетеровими R-модулями. Якщо L_nnd(G) задовольняє умову мінімальності для підгруп, будемо говорити, що група G задовольняє умову мінімальності для підгруп, коцентралізатори яких у модулі A не є нетеровими R-модулями, або, простіше, що група G задовольняє умову min-nnd. Якщо L_nnd(G) задовольняє умову максимальності для підгруп, будемо говорити, що група G задовольняє умову максимальності для підгруп, коцентралізатори яких у модулі A не є нетеровими R-модулями, або, простіше, що група G задовольняє умову max-nnd.

В главі 4 досліджується OG-модуль A такий, що група G локально розв'язна та задовольняє умову min-nad. Далі в усіх результатах глави 4 розглядається OG-модуль A такий, що C_G(A)=1, фактор-модуль A/C_A(G) не є артиновим O-модулем. Має місце така теорема.

Теорема 1.4 (глава 4). Нехай A - OG-модуль , група G локально розв'язна, задовольняє умову min-nad. Тоді або група G розв'язна, або G має зростаючий ряд нормальних підгруп

1 = W₀ ? W₁ ? ... ? W_щ = _{n N} W_n ? G,

такий, що коцентралізатор підгрупи W_n в модулі A є артиновим O-модулем, фактори W_n+1/W_n абелеві для n N, а фактор-група G/ W_щ - черніківська група.

В главі 3 також досліджується OG-модуль A такий, що O є або кільцем цілих чисел Z, або кільцем цілих p-адичних чисел Z_p?. При дослідженні таких модулів важливу роль відіграє лема 2.2.

Лема 2.2 (глава 4). Нехай A - ZG-модуль , група G задовольняє умову min-nad, та коцентралізатор групи G в модулі A не є артиновим Z-модулем. Якщо G має зростаючий ряд нормальних підгруп

1 = W₀ ? W₁ ? ... ? W_щ = _{n N} W_{n =} G,