Дискретна інтерполяція на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРОТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 514.18

Спеціальність 05.01.01 -

Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Дискретна інтерполяція на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів

Спірінцев

Дмитро Васильович

Мелітополь

2010



ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана в Таврійському державному агротехнологічному університеті Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Найдиш Андрій Володимирович, завідувач кафедри прикладної математики і комп'ютерних технологій, Таврійський державний агротехнологічний університет, м. Мелітополь.

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Корчинський Володимир Михайлович, завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій, Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара, м. Дніпропетровськ. технічних

- кандидат технічних наук, доцент Устенко Сергій Анатолійович, доцент кафедри вищої математики, Національний університет кораблебудування ім. адмірала Макарова, м. Миколаїв. інститут", м. Київ.

Захист відбудеться " 3 " листопада 20 10 р. о 10-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 18.819.02 у Таврійському державному агротехнологічному університеті за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського державного агротехнологічного університету за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б.Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий " 1 " 10 20 10 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради,

кандидат технічних наук, доцент ____ О.Є. Мацулевич



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Головними і визначальними особливостями розвитку сучасного рівня промисловості та економіки є їх наукоємність, а також інтеграція в них нових інформаційно-технологічних рішень. Поява на світовому ринку нового покоління обчислювальної техніки і високотехнологічного устаткування зі спеціалізованим програмним забезпеченням призвело до переосмислювання самого процесу проектування виробництва. Провідну роль при цьому став грати процес моделювання, як один з потужних інструментів опису і дослідження будь-якого процесу або явища. Залучення геометричних засобів і апарата геометричного моделювання до процесу моделювання значно розширило область застосування отриманих при цьому геометричних моделей, необхідних для аналізу і дослідження явищ та процесів, виявлення і розрахунку визначальних параметрів, прогнозування їхнього розвитку і оптимізації. Отримані при цьому моделі повинні мати відповідний ступінь адекватності відповідно до досліджуваного явища або процесу. Збільшення спектру досліджуваних явищ і процесів, що спираються на практичні потреби, спричиняє ріст і широку різноманітність існуючих геометричних моделей. Рівень сучасних завдань підвищив вимоги до складності і точності рішень та показав у ряді випадків неспроможність відомих методів геометричного моделювання. Оскільки темпи розвитку теоретичних і прикладних досліджень значно поступаються темпам розвитку практичних завдань, то перед сучасною прикладною геометрією стоять завдання пошуку нових підходів і геометричних ідей в галузі геометричного моделювання.

На даному етапі розвитку прикладної геометрії розрізняють неперервні і дискретні геометричні моделі.

Неперервні моделі передбачають "аналітичну заміну" вихідних даних деякої моделюючої функцією і пошук її коефіцієнтів шляхом розв'язання системи рівнянь. При цьому в якості вихідних даних може виступати як неперервна, так і дискретна інформація.

Дискретні моделі передбачають отримання дискретної множини точок, шляхом розв'язання систем нерівностей та рівнянь спеціальної структури, виключаючи етап "аналітичної заміни" вихідних даних. При цьому, як вихідна, так і моделююча інформація представлені дискретно.

Аналіз відомих методів показав, що методи неперервного геометричного моделювання спираються на певний заздалегідь відомий клас функцій. Це призводить до заміни диференційно-геометричних характеристик дискретно представлених кривих (ДПК) на характеристики цих функцій і не виключає впливу властивостей моделюючої функції на результат моделювання. Також неперервним методам властиві наступні недоліки: в більшості випадків виникають значні складнощі при здійсненні корекції розв'язку та управлінні формою моделюємої кривої; неперервні методи мають складний апарат обчислювальної та програмної реалізації; не завжди забезпечують відсутність осциляції, в наслідок чого, не в змозі гарантувати стійкість і відповідну точність розв'язку. Зазначених недоліків позбавлені методи дискретної інтерполяції. Завдяки цьому методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ) можуть стати основою побудови ефективних універсальних моделей.

Актуальність теми.

Дослідження та побудова моделей кривих ліній і поверхонь, що описують характер протікання досліджуваного явища або процесу, безумовно, є пріоритетним напрямом для науки і техніки. Плоскими перерізами, для більшості зазначених поверхонь, є замкнуті криві лінії, неоднозначність яких відносно осі Ох призводить до складності їх опису. Класичні методи інтерполяції не завжди в змозі ефективно вирішити це завдання, особливо якщо виникає необхідність у збільшенні кількості параметрів з метою дотримання додаткових вимог моделювання. До того ж вони не завжди в змозі ефективно розв'язувати деякі прикладні задачі пов'язані з рядом особливостей в геометрії як вихідної, так і результуючої ДПК (перехідні, прямолінійні ділянки, особливі точки ДПК). Проведені в рамках варіативного дискретного геометричного моделювання (ВДГМ) дослідження, показали ефективність розроблених методів дискретної інтерполяції для вирішення подібних завдань. При цьому основна увага дослідників була приділена розробці методів, що спираються на лінійні параметри. Проте останнім часом активізували дослідження з розробки методів, що враховують кутові параметри. Це обумовлено тим, що кутові параметри, при використанні їх як інтерполяційних (в рамках ВДГМ), мають ряд переваг перед лінійними параметрами, а саме:

- сталість кутових параметрів і співвідношень при масштабуванні зображень;

- при використанні кутових параметрів конфігурація ДПК і її розташування щодо системи координат не впливають на процес моделювання;

- використання кутових параметрів дає можливість одержання більш простих моделей і підвищує точність моделювання.

Поряд з наявними перевагами, розроблені на сьогодні методи ВДГМ, що враховують кутові параметри, ще мають перспективи подальшого розвитку та досліджень які були розглянуті в роботах Найдиша В.М. та його учнів, у напрямку розширення можливостей керування (варіювання) формою моделюємої кривої та її локальної корекції. Тому розробка нових методів ВДГМ на основі моделювання кутових параметрів, за умови відсутності осциляції і дотримання додаткових умов задачі, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами.

Робота виконана в рамках науково-технічної програми "Моделювання явищ і процесів на основі оптимальних критеріїв наближення" (№ держреєстрації 0107U008959) Таврійського державного агротехнологічного університету у відповідності з планами науково-дослідних робіт кафедри прикладної математики та комп'ютерних технологій.

В процесі впровадження результатів досліджень вирішувалися завдання в рамках науково виробничої програми ДП НВКГ "Зоря" - "Машпроект" (м. Миколаїв) при розробці нових проектів лопаткових апаратів осьових компресорів газотурбінних двигунів та удосконаленні проточних частин компресорів двигунів, що знаходяться у виробництві; в навчальному процесі Таврійського державного агротехнологічного університету (м. Мелітополь).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є розробка методу дискретної інтерполяції (згущення) дискретно представлених кривих ліній довільної конфігурації на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів за умови відсутності осциляції.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

- провести аналіз існуючих методів інтерполяції;

- розглянути особливості визначення кутових характеристик для неоднозначних ДПК, на підставі чого розробити спосіб їх визначення;

- розробити спосіб дискретної інтерполяції на основі накладення додаткових умов в системі рівнянь основних тотожностей згущення;

- розробити нову варіативну схему згущення на основі формування різницевих схем кутових параметрів шляхом введення додаткових умов в схему згущення на основі кутів згущення;

- обґрунтувати границі вибору припустимих значень і одержати аналітичний опис коефіцієнтів співвідношення кутових параметрів, що входять у нову варіативну схему;

- розробити основний алгоритм нового методу згущення на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів;

- розглянути різні варіанти накладання додаткових умов враховуючи геометричні характеристики вихідної ДПК, на підставі чого розробити спеціальні обчислювальні схеми;

- розробити способи згущення плоских і просторових ДПК довільної конфігурації на нерівномірній сітці;

- розробити спосіб ідентифікації особливих точок по заданому вихідному точковому ряду;

- розробити алгоритмічну й програмну реалізацію запропонованого методу і його способів;

- здійснити впровадження результатів досліджень у практику.

Об'єктом дослідження є дискретно представлені плоскі і просторові криві лінії довільної конфігурації в декартовій системі координат.

Предметом досліджень є співвідношення між кутовими параметрами вихідної і згущеної ДПК та розроблені на їх основі варіативні різницеві схеми згущення, які дозволяють визначити точки згущення при умові відсутності осциляції.

Методи досліджень. У процесі розв'язання поставлених задач використовувалися методи інтерполяції, чисельні методи та методи дискретного геометричного моделювання кривих ліній. Теоретичною та інформаційною базою проведення досліджень стали роботи вчених та їх учнів:

- в галузі теорії геометричного моделювання формування об'єктів процесів та явищ: Ю.І.Бадаєва, І.Г.Балюби, В.Д.Борисенко, В.В. Ваніна, С.М.Грибова, Г.С.Іванова, С.М.Ковальова, Л.М.Куценка, В.Є.Михайленка, А.В.Найдиша, В.М.Найдиша, В.А.Осипова, С.Ф.Пилипаки, О.Л.Підгорного, А.М.Підкоритова, Є.В.Пугачова, С.І.Пустюльги, І.А.Скидана, Р.Без'є, І.Фергюсона, А.Фокса, А.Форреста та ін.;

- в галузі теорії і побудови дискретних та обчислювальних геометричних моделей: Ю.І.Бадаєва, В.В. Ваніна, В.М. Верещаги. С.М. Ковальова. В.М. Малкіної, В.Є. Михайленка, А.В. Найдиша, В.М. Найдиша та ін;

- в галузі чисельних методів: Є.О. Волкова, О.В. Гуліна, А. Є. Мудрова, О.А. Самарских, Р.В. Хеммінга та ін.

Наукова новизна отриманих результатів:

1. Отримав подальший розвиток напрямок варіативної дискретної інтерполяції плоских та просторових ДПК довільної конфігурації в декартовій системі координат, з урахуванням кутових параметрів.

2. Вперше запропоновано метод дискретної інтерполяції на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів, який забезпечує відсутність осциляції та дозволяє:

- здійснити глобальне управління формою згущеної кривої за рахунок широкої варіації вибору значень управляючих параметрів з області багатокутника розв'язків, формуючи таким чином глобальне узгоджене згущення всієї ДПК;

- здійснити локальну корекцію будь-якої окремо взятої ланки вихідної ДПК, за рахунок варіювання в межах діапазону припустимих значень введеного в роботі безрозмірного коефіцієнту співвідношення кутових параметрів, що дозволяє удосконалити форму згущеної ДПК та уникнути осциляції в точках згущення;

- збільшити вплив вихідної інформації на процес згущення, за рахунок збільшення кількості управляючих параметрів;

- задовольняти додатковим умовам на співвідношення кутів суміжності у запропонованій варіативній схемі з метою отримання нових можливостей в моделюванні та управлінні формою моделюємої кривої;

- значно спростити розрахунковий процес та знизити втрати часу на отримання результату.

Розроблений метод містить у собі прості розрахункові схеми, алгоритми і програми. Пропонований метод забезпечує підвищення точності і відсутність осциляції, а також усуває виявлені недоліки відомих методів, а саме, підвищує ступінь варіативності отриманого розв'язку, а також дозволяє в межах одного алгоритму розв'язувати задачі моделювання ДПК з особливостями (перехідні ділянки, ДПК з прямолінійними ділянками, особливі точки, неоднозначні ДПК). Все це дозволяє значно розширити можливості його застосування.

3. На базі запропонованого методу вперше розроблено спосіб варіативної дискретної інтерполяції просторової ДПК на основі кутових параметрів.

Практичне значення складається в підвищенні точності моделювання за рахунок відсутності осциляції розв'язку, а також у підвищенні ефективності моделювання досліджуваних явищ і процесів (розробка і побудова більш точних, більш адекватних моделей), за рахунок врахування додаткових вимог задачі та варіативності отриманого рішення.

Використання отриманих результатів на практиці дозволяє розширити варіативність та скоротити терміни проектування. Отримані результати доцільно використовувати при побудові геометричних моделей явищ і процесів з наперед заданими диференційно-геометричними характеристиками.

Реалізація роботи здійснена у вигляді методик та алгоритмів програм дискретної інтерполяції плоских ДПК в ДП НВКГ "Зоря"- "Машпроект" (м.Миколаїв) при розробці нових проектів лопаткових апаратів осьових компресорів газотурбінних двигунів та удосконаленні проточних частин компресорів двигунів, що знаходяться у виробництві; у навчальному процесі Таврійського державного агротехнологічного університету (ТДАТУ) (м. Мелітополь), що підтверджується довідками про використання запропонованого методу.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблені теоретичні і практичні питання, що складають наукову новизну досліджень. У роботах, опублікованих у співавторстві з науковим керівником - д.т.н., проф. Найдишем А.В. - автором виконані розв'язання поставлених окремих задач дослідження, їх формалізація, розробка комп'ютерної реалізації та конкретні розрахунки. Автором у співавторстві опубліковані праці:

1. Найдиш В.М.Формування додаткових рівнянь при розрахунку згущення ДПК на основі кутових параметрів / В.М. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 34 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С.31-35.

Особисто автором реалізована схема побудови додаткових рівнянь (запропонована В.М. Найдишем), отримана різницева схема другого порядку на основі тотожностей згущення.

2. Найдиш В.М. Варіативна схема згущення ДПК на основі кутових параметрів з використанням додаткових умов / В.М. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 35 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С.3-9.

Особисто автором розроблено основний алгоритм метода згущення на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів та отримано на його основі різницеву схему.

3. Найдиш А.В. Дискретна інтерполяція перехідних ділянок ДПК на основі розв'язання різницевих схем / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 37 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Мелітополь: ТДАТА, 2008. - С.3-8.

Особисто автором розроблено аналітичне описання, алгоритми для згущення ДПК з перехідними ділянками.

4. Найдиш А.В. Обґрунтування вибору коефіцієнту співвідношення кутових параметрів / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Випуск 38 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - С.3-9.

Особисто автором в даній статті було визначено геометричний зміст, межі зміни, та аналітичний вираз для коефіцієнту співвідношення кутових параметрів.

5. Найдиш А.В. Дискретна інтерполяція ДПК в околі особливих точок на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів / А.В. Найдиш, В.М. Малкіна, Д.В. Спірінцев // Вісник Херсонського національного технічного університету. Випуск 2(31).- Херсон: ХНТУ, 2008. - С.339-345.

Особисто автором розроблено аналітичне описання, алгоритми для ідентифікації особливих точок та згущення ДПК в околі особливих точок.

6. Найдиш А.В. Згущення просторових ДПК на основі їх параметричного подання / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Харківського державного університету харчування та торгівлі. Випуск 23 "Геометричне та комп'ютерне моделювання". - Харків, 2009. - С.66-71.

Особисто автором розроблено аналітичне описання та алгоритми згущення просторових ДПК на основі їх параметричного подання.

7. Найдиш А.В. Особливості визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду для неоднозначних ДПК / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Випуск 48 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТУ, 2010. - С.30-35.

Особисто автором розроблено аналітичне описання, алгоритм для визначення кутових характеристик неоднозначних ДПК.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідалися й обговорювалися на наступних конференціях: на IХ - ХІІ міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Мелітополь, 2007 - 2010 р.); на ІV Кримській науково-практичній конференції "Геометричне і комп'ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн" (м.Сімферополь, 2007р.); на Всеукраїнських семінарах молодих вчених за напрямком "Прикладна геометрія та технічна естетика" (м. Київ, весна 2008р., осінь 2008р.); на міжнародній конференції по математичному моделюванню МКММ 2008, присвяченій 120 річчю з дня народження Р.Куранта (м. Херсон, 2008 р.); на VІ міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 125-річчю національного технічного університету "ХПІ" та 10-річчю української асоціації з прикладної геометрії (м. Харків, 2009р.); на щорічних наукових конференціях ТДАТУ (м. Мелітополь, 2007-2010р.р.); на міжкафедральних семінарах кафедр "Прикладна геометрія та інженерна графіка ім. В.М. Найдиша" і "Прикладна математика і комп'ютерні технології" (м. Мелітополь, 2007, 2008, 2010 р.р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 11 робіт у виданнях, рекомендованих ВАК України (з них 4 - одноосібно).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 4-х розділів, висновків і 4-х додатків. Повний обсяг дисертації - 214 сторінок, у тому числі 179 сторінок основного тексту, 60 рисунків на 12 сторінках, 31 таблиця на 21 сторінці, списку використаної літератури з 194 назв на 19 сторінках, 4 додатків на 8 сторінках.



Зміст роботи

ВСТУП містить загальну характеристику роботи. Показує роль геометричного моделювання при дослідженнях будь-якого процесу або явища. У ньому обґрунтована актуальність теми дисертаційного дослідження, сформульовані мета і задачі дослідження, показана наукова новизна, практична цінність результатів досліджень, рівень їхньої апробації і публікацій, а також їхнє впровадження у практику.

У першому розділі розглядається аналіз відомих методів геометричного моделювання (ГМ) плоских ДПК довільної конфігурації. Особлива увага була приділена методам інтерполяції (згущення), як одного з направлень ГМ.

Були розглянуті найбільш відомі методи неперервної інтерполяції, такі як метод Лагранжа, метод Ньютона, метод Єрміта, криві Без'є, сплайни, методи кривих 2-го порядків та ін. На підставі аналізу розглянутих в роботі методів неперервного ГМ були зроблені наступні висновки:

- незважаючи на те, що дані методи історично виникли раніше і на цей час розроблені досить глибоко і докладно, проблема виникнення осциляції при їхньому використанні повністю не може бути вирішена, внаслідок чого вони не в змозі гарантувати стійкість і необхідну точність одержуваних моделей;

- по мірі ускладнення розв'язуваних задач, методи геометричного моделювання вдосконалювалися по шляху все більш локального керування формою конструюємого обводу, однак більшість методів неперервного геометричного моделювання не можуть забезпечити корекцію обводу в одному місці, без небажаних зрушень в іншому. Ті ж з методів неперервного геометричного моделювання, які близькі до розв'язку описаних вище завдань, мають велику кількість параметрів, що приводить до ускладнення моделі, і, як наслідок, збільшенню похибки;

- методи неперервного геометричного моделювання спираються на заздалегідь певний клас функцій, що призводить до заміни диференційно-геометричних характеристик вихідної ДПК на характеристики цих функцій (функція "нав'язує" свої властивості до моделюємої ДПК). А оскільки в багатьох випадках властивості форми відрізняються від властивостей функцій, то добре відомі методи інтерполяції не завжди відповідають ДПК що моделюється.

Показано, що вище зазначених недоліків позбавлені методи дискретної інтерполяції. Тому актуальним є розвиток вже існуючих і розробка нових методів ДГМ.

Відправними роботами при проведенні досліджень були роботи Ковальова_С.М., Найдиша А.В., Найдиша В.М., Павлова А.В. та їх учнів.

В роботах Ковальова С.М. та його учнів (Ботвіновська С.І., Ковтун О.М. та ін.) розглянуто статико-геометричний підхід при формуванні дискретних моделей кривих ліній. Недоліками даних методів є складна розрахункова реалізація й обмежені можливості локальної корекції, для здійснення якої потрібен перерахунок усієї ділянки. Крім того, недоліком статико-геометричного підходу формування дискретних моделей кривих ліній є його однозначність, що обмежує його можливості при моделюванні й управлінні формою плоских ДПК.

В роботах Павлова А.В. та його учнів (Грибов С.М., Власюк Г.Г. та ін.) розглядається задача "вільного" конструювання дискретного точкового ряду на основі аналітичного апарата кривих скінчених сум. Використання даного підходу дозволило забезпечити локальну модифікацію інтерполюючої кривої без перерахування суміжних сегментів зі збереженням гладкості кривої, а також дало можливість одержання безлічі інтерполюючих кривих по заданому точковому каркасу. Крім цього даному методу властиве зручне інтерактивне конструювання форми інтерполюючої кривої. До недоліків даного напрямку можна віднести те, що іноді виникають значні ускладнення при здійсненні локальної корекції рішення, оскільки сконструйований точковий ряд є фіксованим і необхідне його повне перерахування, при цьому даний підхід не гарантує відсутність осциляції. До того ж у силу своїх обмежених технологічних особливостей і складній програмній реалізації, він не знайшов широкого практичного застосування.

Окремим напрямком ДГМ було виділено варіативне дискретне геометричне моделювання (ВДГМ), запропоноване В.М. Найдишем і розвинене в роботах його учнів (Верещага В.М., Найдиш А.В. та ін.). Показано, що методи даного напрямку дозволяють розширити коло розв'язуваних завдань та ліквідувати вказані вище недоліки методів ДГМ.

Розкрито основні напрямки удосконалення методів ВДГМ: на основі геометричних співвідношень, на основі тотожностей згущення, на основі базисних функцій.

Дана робота виконується в рамках другого напрямку дискретної інтерполяції - на основі тотожностей згущення з урахуванням кутових параметрів. Найбільш близькими до розроблювальної тематики є роботи Верещаги В.М., Щербини В.М., Лебедєва В.О.

На основі проведеного аналізу відомих методів ГМ і зазначених вимог до дискретної інтерполяції плоских ДПК у напрямку ВДГМ формулюється задача досліджень. згущений кутовий перехідний крива

У другому розділі досліджується дискретна інтерполяція ДПК на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів.

Аналіз відомих методів показав, що у процесі згущення використовуються не тільки основні алгоритми методів, а і їх модифікації. Процес ідентифікації ділянок ДПК дозволяє автоматично визначити алгоритм згущення залежно від його геометричних особливостей, що реалізується при програмній реалізації методів. Для ідентифікації ділянок ДПК необхідно точне аналітичне визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду (ТР) і дискретних геометричних властивостей кривих. Існуючі способи визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду є простими й зручними при використанні, однак, використовувати їх можна тільки для однозначних кривих, і у випадках, коли значення кутів нахилу

,

не перевищують за абсолютним значенням (для деяких неоднозначних кривих).

З метою усунення виявлених недоліків існуючих методів в роботі запропоновано спосіб визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду для кривих довільної конфігурації.

Подальші дослідження були направлені на розробку спеціальних розрахункових схем шляхом накладання додаткових умов в системі рівнянь основної тотожності згущення

де , - кути суміжності в точках згущення та відповідно;

- кут суміжності у вузловій точці після згущення;

- кут суміжності у вузловій точці до згущення.

Отримання різницевої схеми пов'язане з отриманням додаткових рівнянь,що зв'язують кути суміжності ланок згущеної СЛЛ ДПК у двох сусідніх точках , і в точці згущення між ними. Тому в роботі була запропонована наступна методика побудови додаткових рівнянь:

1. Записується система рівнянь основної тотожності згущення (1) для

точок вихідного точкового ряду.

2. Знаходиться сума рівнянь кожної пари суміжних точок.

3. Накладаються додаткові умови на співвідношення між кутами суміжності. Наприклад, умова (2)

(2)

4. Одержуються проміжні рівняння, що зв'язують кути суміжності ланок СЛЛ згущеної ДПК у двох суміжних вузлових точках і в точці згущення .

5. В результаті формується різницева схему другого порядку.

Наприклад, при використанні додаткової умови (2) різницева схема має наступний вигляд

(3)

Для розв'язання різницевої схеми (3) була застосована методика, запропонована В.М. Найдишем і яка полягає у наступному. Вибираються в якості керуючі параметрів деякі два кути суміжності в точках згущення (наприклад, і ). Виражаються всі інші кути суміжності (в даному випадку:

, і

, )

через керуючі параметри. На отриману систему рівнянь накладаються умови відсутності осциляції (4)-(5):

- для опуклої ДПК:

(4)

- для увігнутої ДПК:

і,

(5)

В результаті отримуємо систему нерівностей, графічне рішення якої визначає множину припустимих значень керуючих параметрів, з якої вони і обираються. З урахуванням отриманих значень керуючих параметрів обчислюються значення інших кутів суміжності. За отриманим значенням кутів суміжності визначаються геометричні характеристики згущеної ДПК і координати точок згущення.

Запропонований спосіб згущення враховує геометричні властивості вихідної ДПК, дає можливість керування формою згущеної ДПК шляхом вибору прийнятних значень керуючих параметрів з області багатокутника рішень. Однак побудова точок згущення на серединних перпендикулярах відповідних ланок вихідної ДПК не дає можливості довільного варіювання формою згущеної кривої у повному обсязі й звужує можливості даного способу при здійсненні корекції рішення.

Для усунення цих недоліків було використано схему на основі кутів згущення, запропоновану В. М. Найдишем (рис.1).

Виходячи з умови відсутності осциляції в точці згущення ( ) і у сусідніх вузлових точках ( і ) повинна дотримуватися умова

, , (6)

де - кути згущення в і - му вузлі ДПК.

Для схеми (рис. 1) справедливий наступний вираз

(7)

В роботі запропоновано умову (8), яка полягає у тому, що кути згущення і становлять якусь задану частину від кута суміжності в точці згущення , тобто

, ,(8)

де - деякий коефіцієнт, який характеризує положення точки згущення.

Рис. 1. Схема на основі кутів згущення

В результаті підстановки виразу (8) в (6) одержимо нову варіативну схему згущення ДПК на основі кутових параметрів:

(9)

Використовуючи запропоновану в роботі методику побудови додаткових рівнянь при накладанні додаткової умови (10) була отримана різницева схема другого порядку (11)

(10)

(11)

В розглянутих вище дослідженнях не з'ясованим залишилося питання щодо вибору коефіцієнта . Тому подальші дослідження були направлені на визначення меж припустимих значень даного коефіцієнту та його аналітичне визначення.

Аналізуючи характер зміни згущеної кривої при різних фіксованих значеннях коефіцієнта було зроблено висновок, що для забезпечення умови відсутності осциляції значення даного коефіцієнту повинне знаходитися в межах інтервалу . Також було доказано, що запропонована в роботах Верещагою В.М. та Щербиною_В.М. схема згущення (на основі серединних перпендикулярів) є окремим випадком розробленої нами варіативної схеми згущення при .

Припустимо, що кути й пропорційні кутам й , при спільному ребрі

. (12)

Вираз (12) зберігає співвідношення між кутами суміжності переносячи їх з вихідної ДПК на згущену, дозволяючи при цьому враховувати геометричні властивості вихідної ДПК. З урахуванням виразу (8), вираз (12) прийме наступний вид

(13)

Оскільки вибір параметрів згущення пов'язаний з кутовими характеристиками вихідної ДПК, а сам параметр забезпечує збереження співвідношення між кутами суміжності переносячи їх з вихідної ДПК на згущену, то в роботі запропоновано називати його коефіцієнтом співвідношення кутових параметрів.

Основний алгоритм методу згущення на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів:

1. Визначаються геометричні характеристики вихідної ДПК, згідно з запропонованою в роботі методикою:

довжина ланок

(14)

кути суміжності у вузлах до згущення

(15)

де "+" - для опуклої ДПК ();

"-" - для увігнутої ДПК ();

- коефіцієнти рівнянь прямих, на яких розташовуються ланки та , відповідно;

Де

, и

- координати точок , , вихідного ТР.

кути суміжності в першому

та останньому вузлах ланок вихідної ДПК:

- для незамкненої кривої

(16)

- для замкненої кривої

(17)

– кут нахилу першої ланки до осі

(18)

– кути

,

2. Визначається конфігурація вихідної ДПК (опукла, увігнута, містить прямолінійні або перехідні ділянки) на підставі її дискретних геометричних характеристик (п.1).

3. Визначаються значення коефіцієнтів і згідно з (13).

4. Розраховуються кути суміжності

і

5. ланок згущеної ДПК, отриманих в результаті розв'язання різницевої схеми 2-го порядку.

Значення кутів суміжності в першому й останньому вузлах після згущення для не замкненої кривої визначаються згідно з (20)-(21), для замкненої кривої згідно з (22)

(20)

(21)

(22)

6. Розраховуються геометричні характеристики згущеної ДПК.

– коефіцієнти

(відношення проекцій довжин ланок СЛЛ на відповідні хорди)

(23)

перевищення точок згущення над відповідними хордами

, .; (24)

кути нахилу ланок згущеної СЛЛ ДПК до осі Ох

.; (25)

координати точок згущення

(26)

.;

Критерієм закінчення згущення є досягнення умови (27) на k-му кроці згущення

(27)

де - як завгодно мале наперед задане число.

При необхідності продовження згущення, точки ряду перенумеровуються і розрахунок повторюється. По досягненні цієї умови точки згущеної ДПК з'єднуються відрізками СЛЛ, що і вважається остаточною формою інтерполюючої кривої.

На рис. 2 наведені тестові приклади згущення ДПК відповідно до основного алгоритму метода. Метою подальших досліджень було узагальнення та систематизація отриманих результатів при використанні відомих додаткових умов (, і ) та запропонованої умови (28) відповідно до нової варіативної схеми згущення (9):

(28)

Звідси

.

При цьому підході до моделювання з'являється можливість керування формою моделюємої кривої та її локальної корекції (за рахунок варіювання коефіцієнтом ), що не було можливо при використанні даних відомих додаткових умов в існуючих схемах згущення.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2. Тестові приклади

Однак, можливості отримання нових розрахункових схем при накладанні різноманітних додаткових умов ще далеко не вичерпані.

В роботі також було проведено дослідження розробленого метода на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів на стійкість.

У третьому розділі розглядаються задачі дискретної інтерполяції ДПК з особливостями в геометрії (з прямолінійними, перехідними ділянками, з особливими точками), а також задача згущення просторових кривих.

При моделюванні об'єктів і процесів часто зустрічаються ДПК, які мають перехідні ділянки. Для згущення перехідних ділянок ДПК (рис.3) були прийняти наступні припущення:

1. Перехідна ділянка розглядається як продовження опуклої ДПК ліворуч і увігнутої ДПК праворуч.

З огляду на це припущення, кути суміжності в крайніх точках цих кривих приймаються рівними

для опуклої ДПК

для увігнутої ДПК

2. З огляду на припущення 1, згущена СЛЛ ДПК обов'язково перетинає перехідну ділянку .

В залежності від вихідних умов (точка перегину визначена, або вимагає визначення) в роботі пропонуються два способи дискретної інтерполяції ДПК з перехідними ділянками, що спираються на основний алгоритм розробленого метода.

Перший спосіб (точка перегину визначена і знаходиться на перехідній ділянці) заснований на незалежному згущені ланок ДПК, що лежать ліворуч та праворуч від точки перегину, згідно з пунктами основного алгоритму метода згущення.

Найбільш часто при практичному моделюванні зустрічаються випадки, коли точка перегину не визначена. Для таких випадків у роботі було розроблено наступний алгоритм згущення ДПК з невизначеною точкою перегину:

1. Визначаються координати точок згущення - для опуклої гілки ДПК , що перебуває ліворуч і - для увігнутої гілки ДПК , що перебуває праворуч (рис. 3).

2. Визначаються координати і точки згущення згущеної СЛЛ ДПК в локальній системі координат

(29)

де , , ,

- координати точок згущення лівої і правої гілок в локальній системі координат:

(30)

(31)

- коефіцієнт, що показує яку частину ланки складає згущена ланка в проекції на вісь

(32)

- довжини ланок (див. рис. 3)

Переходячи до глобальної системи координат отримуємо

(33)

3. Перевіряємо на дотримання умови (27).

При необхідності повертаємося до п.1 і розраховуємо наступні точки згущення.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

На рис. 4 зображено тестовий приклад згущення ДПК з перехідною ділянкою за даним алгоритмом.

Нерідкі випадки, коли вихідна ДПК має прямолінійні ділянки. Для згущення ДПК з прямолінійними ділянками були прийняті наступні припущення:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Якщо в точці вихідної ДПК кут , то коефіцієнт співвідношення кутових параметрів для ланок, що стикуються в i-ої точці будемо визначати за формулою

(34)

2. Значення коефіцієнта на прямолінійних ділянках

(35)

Для згущення ДПК з прямолінійними ділянками в роботі було запропоновано наступні 3 способи (рис. 5):

– на основі (спосіб1);

– на основі розв'язання різницевої схеми другого порядку з незалежним згущенням опуклих і прямолінійних ділянок (спосіб2);

– на основі розв'язання різницевої схеми другого порядку без згущення прямолінійної ділянки (спосіб3);

Основними перевагами описаних способів є простота (спосіб 1), варіативність (способи 2-3), максимальна відповідність основному алгоритму методу згущення (спосіб 3). Запропоновані способи є логічним доповненням основного алгоритму метода.

Подальші дослідження були направлені на розгляд питання ідентифікації особливих точок за диференційно-геометричні властивості кривих, а також було застосовано розроблений метод для згущення ДПК в околі особливих точок, зокрема точок самоперетинання, точок загострення і зламу. Зауважимо, що при згущенні ДПК з точками самоперетинання особливість в їх геометрії не вносить ніяких змін в основний алгоритм метода. Слід відзначити, що при згущенні ДПК, які містять точку загострення або точку зламу, існує можливість нахлесту гілок СЛЛ ліворуч і праворуч від цих точок. Щоб уникнути цього в роботі було запропоновано два способи вирішення цього питання: накладання додаткових умов на співвідношення між кутами суміжності; врахування положення дотичної в особливій точці.

Значну роль у геометричному моделюванні різних явищ і процесів займають просторові криві. У роботі пропонується два способи згущення просторових ДПК: на основі природного представлення кривої; на основі параметричного представлення кривої.

Зокрема, першій спосіб (рис. 6) заснований на тім, що у площині здійснюється згущення проекції , просторової кривої , одним з розглянутих у роботі способів.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Згущаємо проекцію , . При цьому, в якості вихідних даних маємо абсциси точок згущення

, ,

знайдені при згущенні проекції , і кути суміжності в точках згущення

, ,

що визначаються одним із розглянутих способів (, , спосіб (28)). Отримані значення координат ,

визначають точки згущення на шуканій просторовій кривій в системі координат . Тестовий приклад наведено на рис 7.

У розділі 4 розглядається геометричне моделювання профілів лопаткових апаратів компресорів осьового типу.

При обробці деталі на ЧПУ обробний інструмент у проміжку між опорними точками в певних випадках може переміщатися за траєкторією, що трохи відрізняється від заданої. Однак, можна задати таку кількість опорних точок, при якому відхилення фактичної траєкторії від необхідної буде менше наперед заданої величини і деталь буде оброблена у межах заданої точності. Таким чином, початковий етап подання траєкторії обробки деталі пов'язаний, насамперед, з одержанням координат опорних точок траєкторії.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

При аналізі вихідних даних перетинів профілів лопатки іноді зустрічаються точки, що явно випадають із плавних обводів спинки або коритця лопатки компресора. Для того щоб у процесі виготовлення лопаток компресорів на високошвидкісному технологічному встаткуванні управляюча програма не привела до небажаних результатів, необхідно здійснювати аналіз вихідних даних на наявність цих аномальних точок з метою подальшої їх корекції. Тому в роботі було запропоновано спосіб корекції аномальних точок. Скориговані данні і є вихідною інформацією для формування обводів плоских перетинів лопаток.

Подальші дослідження були направлені на визначення додаткових точок, що разом зі скоригованими вихідними даними формують єдиний замкнений профіль. Після чого здійснюється процес згущення отриманого профілю (рис.8) згідно з основним алгоритмом розробленого методу та урахуванням особливостей в геометрії вихідного профілю.

На рис. 8 розраховано конкретний приклад профілювання перерізу лопатки компресора (ДП НВКГ "Зоря"-"Машпроект").

На рис. 9 зроблено порівняльний аналіз профілів перерізу лопатки поблизу вхідної кромки, що розраховані за пропонованою та традиційною методиками.

Переваги запропонованої методики:

1. Покрокове згущення профілю лопатки в цілому, що дозволяє контролювати результат моделювання на кожному кроці згущення і враховувати додаткові умови.

2. Забезпечення повноти обводу за умови відсутності осциляції у вузлах.

3. Можливість управління формою моделюємої кривої за рахунок широкої варіації значень керуючих параметрів, а так само здійснення локальної корекції аномальних точок.

4. Відсутність необхідності у відшуканні лімітаційних точок, оскільки відсутня необхідність у сполученні обводів.

5. Простота алгоритмічної реалізації і, як наслідок, зменшення обчислювальної похибки.

6. Отриманий профіль, задовольняє необхідним конструктивним вимогам.



ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ

На підставі проведених у дисертаційній роботі досліджень вирішена важлива науково-прикладна задача неосцилюючої дискретної інтерполяції плоских та просторових дискретно представлених кривих ліній довільної конфігурації в декартовій системі координат на основі співвідношення між кутовими параметрами вихідної і згущеної ДПК у якості яких виступають кути суміжності.

З цією метою у роботі розроблений новий метод на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів, що спирається на схему, виражену через кути згущення, які складають деяку задану частину від кутів суміжності в точках згущення.

Метод відзначається широкою варіативністю розв'язків, за рахунок можливості збільшення кількості управляючих параметрів; дозволяє формувати глобальне узгоджене згущення уздовж всієї ДПК; дозволяє здійснювати локальну корекцію розв'язку; дозволяє здійснювати згущення ДПК з особливостями в геометрії (ДПК з перехідними, прямолінійними та особливими точками) у рамках основного алгоритму метода. При цьому спостерігається простота реалізації розрахункових схем і алгоритмів при обов'язковому дотриманні умови відсутності осциляції.

Значення для науки запропонованого методу полягає в тому, що він розвиває теорію дискретної інтерполяції в напрямку моделювання плоских і просторових ДПК довільної конфігурації на основі кутових параметрів за умови відсутності осциляції з можливістю врахування додаткових умов задачі.

Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при розробці нових методів геометричного моделювання і розв'язку ряду прикладних задач, що вимагають варіативності рішення і можливості локальних розв'язків за умови забезпечення відсутністі осциляції.

Значення для практики складається в підвищенні точності і ефективності моделювання, за рахунок відсутності осциляції розв'язку і можливості задоволення додатковим вимогам моделювання; у наданні користувачеві можливості широкої корекції і підвищенні варіативності розв'язку; у можливості згущення ДПК довільної форми за один прохід; у скороченні термінів проектування за рахунок локальних і варіативних властивостей методу.

Загальні висновки по роботі:

1. Пріоритетним напрямком для науки і техніки є дослідження та побудова моделей кривих ліній і поверхонь, що описують характер протікання досліджуваного явища або процесу. Плоскими перерізами, для більшості зазначених поверхонь, є замкнуті криві лінії, неоднозначність яких щодо осі Ох призводить до складності їхнього опису. Ефективність розв'язку подібних задач підтвердили дослідження (що спираються на кутові параметри), проведені в рамках ДГМ у напрямку дискретної інтерполяції. Разом з тим були виявлені недоліки відомих методів, які пов'язані з обмеженими можливостями керування (варіювання) формою моделюємої кривої і її локальної корекції, що звужує сферу їхнього застосування. Тому можливості даного напрямку дискретної інтерполяції з урахуванням усунення виявлених недоліків, далеко не вичерпані.

2. Запропоновано новий метод дискретної інтерполяції, основу і зміст якого складають:

- спосіб визначення геометричних характеристик вихідної ДПК, однаково ефективний як для однозначних, так і для неоднозначних кривих. Використання даного алгоритму дозволяє ідентифікувати ділянки вихідної ДПК, залежно від її геометричних характеристик, що є актуальним при програмній реалізації методу;

- нова варіативна схема, отримана в результаті накладення додаткової умови (кути згущення становлять деяку задану частину від кута суміжності в точці згущення), стосовно до схеми на основі кутів згущення. В даній схемі значення кутів суміжності визначаються шляхом роз'вязку різницевих схем другого порядку, що дозволяє збільшити варіативність рішення (збільшується кількість керуючих параметрів до трьох), формуючи при цьому глобальне узгоджене згущення всієї ДПК;

- основний алгоритм методу;

- введено в роботі поняття безрозмірного коефіцієнта співвідношення кутових параметрів, що входить у розроблену варіативну схему згущення. Даний коефіцієнт переносить співвідношення між кутами суміжності з вихідної на згущену ДПК, що дозволяє збільшити ступінь впливу вихідної інформації про моделюєму криву на процес глобального узгодженого згущення всієї ДПК;

- спосіб складання і розв'язання різницевих схем одержаних в в результаті накладання додаткових умов на співвідношення між кутами суміжності;

3. Як розвиток методу з метою розширення його можливостей у роботі запропоновані:

- спеціальні розрахункові схеми які враховують геометричні характеристики вихідної ДПК;

- три способи згущення ДПК, що містить прямолінійні ділянки, які спираються на основний алгоритм розробленого методу, і є його логічним доповненням з урахуванням геометричних властивостей зазначених ділянок;

- два способи згущення ДПК на нерівномірній сітці, що містять перехідні ділянки при різних варіантах завдання вихідних умов (точка перегину визначена чи потребує визначення). Запропоновані алгоритми згущення розроблені на основі основного алгоритму методу. Використання даних алгоритмів розширює спектр додаткових умов, які можна сформулювати на етапі постановки задачі;

- спосіб ідентифікації особливих точок, що зустрічаються в практиці геометричного моделювання. Вирішено задачу дискретної інтерполяції ДПК в околі особливих точок на основі методу варіативного формування різницевих схем кутових параметрів;

- два способи розв'язку задачі дискретної інтерполяції просторових ДПК при різних варіантах завдання вихідних даних (природне чи параметричне подання);

4. Складене програмне забезпечення запропонованого методу, що включає в себе підпрограми (модулі) розрахунку відповідно до розроблених способів згущення.

5. Вірогідність отриманих результатів підтверджується розрахунками тестових прикладів, візуалізацією розв'язку, логічністю розроблених алгоритмів, вирішенням практичних задач в процесі впровадження.

6. Впроваджено результати досліджень у рамках науково-виробничої програми ДП НВКГ "Зоря"- "Машпроект" (м. Миколаїв) при розробці нових проектів лопаткових апаратів осьових компресорів газотурбінних двигунів і вдосконаленні проточних частин компресорів двигунів, що перебувають у виробництві.

Практичні й теоретичні результати досліджень використовуються у навчальному процесі Таврійського державного агротехнологічного університету (м. Мелітополь) у курсах: "Основи дискретної прикладної геометрії" для обробки результатів експерименту інтерполяційним методом на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів, "Чисельні методи" для проведення інтерполяції вихідних точкових рядів, "Прикладна математика" при розгляді інтерполяції плоских ДПК.

7. Подальший розвиток запропонованих досліджень доцільно проводити в наступних напрямках: збільшення числа додаткових умов; збільшення числа керуючих параметрів з метою задоволення додатковим вимогам моделювання; застосування методу для згущення ДПП; розв'язку інших прикладних задач геометричного моделювання, обумовлених потребами виробництва.



СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Найдиш В.М.Формування додаткових рівнянь при розрахунку згущення ДПК на основі кутових параметрів / В.М. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 34 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С.31-35.

2. Найдиш В.М. Варіативна схема згущення ДПК на основі кутових параметрів з використанням додаткових умов / В.М. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 35 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТА, 2007. - С.3-9.

3. Спірінцев Д.В. Варіативне формування різницевих схем згущення ДПК на основі кутових параметрів / Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 36 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Мелітополь: ТДАТА, 2008. - С.34-137.

4. Найдиш А.В. Дискретна інтерполяція перехідних ділянок ДПК на основі розв'язання різницевих схем / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. Випуск 37 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Мелітополь: ТДАТА, 2008. - С.3-8.

5. Найдиш А.В. Обґрунтування вибору коефіцієнту співвідношення кутових параметрів / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Випуск 38 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - С.3-9.

6. Спірінцев Д.В. Згущення прямолінійних ділянок ДПК на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів / Д.В. Спірінцев // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Випуск 39 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТУ, 2008. - С.155-161.

7. Найдиш А.В. Дискретна інтерполяція ДПК в околі особливих точок на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів / А.В. Найдиш, В.М. Малкіна, Д.В. Спірінцев // Вісник Херсонського національного технічного університету. Випуск 2(31).- Херсон: ХНТУ, 2008. - С.339-345.

8. Спірінцев Д.В. Формування різницевої схеми згущення ДПК на основі кутових параметрів / Спірінцев Д.В. // Міжвідомчий науково-технічний збірник. Випуск 81 "Прикладна геометрія та інженерна графіка". - Київ: КНУБА, 2008. - С.172-176.

9. Спірінцев Д.В. Геометричне моделювання профілю плоских перерізів пера лопатки компресора / Д.В. Спірінцев // Праці Харківського державного університетту харчування та торгівлі. Випуск 22 "Геометричне та комп'ютерне моделювання". - Харків: ХДУХТ, 2009. - С.156-161.

10. Найдиш А.В. Згущення просторових ДПК на основі їх параметричного подання / А.В. Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Харківського державного університетту харчування та торгівлі. Випуск 23 "Геометричне та комп'ютерне моделювання". - Харків, 2009. - С.66-71.

11. Найдиш А.В. Особливості визначення кутових характеристик вихідного точкового ряду для неоднозначних ДПК / А.В.Найдиш, Д.В. Спірінцев // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. Випуск 48 "Прикладна геометрія та інженерна графіка".- Мелітополь: ТДАТУ, 2010. - С.30-35.



АНОТАЦІЇ

Спірінцев Д.В. Дискретна інтерполяція на основі варіативного формування різницевих схем кутових параметрів. - Рукопис.