Кривые второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Линии и пучки второго порядка на проективной плоскости

1.1 Определение кривой второго порядка

1.2 Пересечение кривой второго порядка с прямой линией

1.3 Классификация кривых второго порядка

1.4 Полярная теория кривых второго порядка

1.4.1 Гармоническая сопряженность точек относительно криво

1.4.2 Полюс и поляра

1.4.3 Касательная к кривой второго порядка

1.5 Пучки кривых 2-го порядка на плоскости

1.6 Теорема Паскаля

1.6.1 Частные случаи теоремы Паскаля

1.7 Теорема Брианшона

1.7.1 Частные случаи теоремы Брианшона

1.8 Аффинная геометрия с проективной точки зрения

2. Поверхности второго порядка в проективной плоскости

2.1 Определение поверхности второго порядка

2.2 Точки пересечения поверхности второго порядка с плоскостью и прямой

2.2.1 Общие точки поверхности второго порядка и плоскости. Распадающиеся поверхности второго порядка

2.2.2 Общие точки поверхности второго порядка и прямой

2.5 Полюсы и полярные плоскости поверхности второго порядка

2.5.1 Гармоническая сопряженность точек относительно поверхности второго порядка

2.5.2 Полюс и полярная плоскость

2.5.3 Диаметральные плоскости, как полярные плоскости несобственных точек. Центр, как полюс несобственной плоскости

2.5.4 Основные свойства полярных плоскостей

2.5.5 Полюсы и полярные плоскости относительно неконической поверхности второго порядка

2.5.6 Касательный конус

2.5.7 Автополярный тетраэдр

2.6 Проективная классификация поверхностей второго порядка

2.6.1 Уравнение поверхности второго порядка относительно автополярного основного координатного тетраэдра

2.6.2 Проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка

2.6.3 Проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка

2.6.4 Уравнении, выражающие одну и ту же поверхность второго порядка в фиксированной системе координат

2.7 Аффинно-проективная классификация поверхностей второго порядка60

2.7.1 Аффинно-проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка

2.7.2 Аффинная классификация поверхностей второго порядка в евклидовом пространстве

2.7.3 Аффинно-проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка

2.7.4 Аффинная классификация комплексных поверхностей второго порядка в комплексном евклидовом пространстве

Заключение

Список используемой литературы



Введение

пучок проективный порядок плоскость

Проективная геометрия возникла в первой половине XIX века. Ее появление связано с именем известного французского математика Понселе (1788-1867). Серьезный вклад в эту ветвь математики внесли также Шаль (1793-1880) и Штейнер (1796-1863). Понселе и Жергон (1771-1859) создали полярную теорию кривых. Термин "поляра" ввел Жергон.

Данная работа состоит из двух основных разделов. Первый раздел посвящен изучению свойств линий и пучков второго порядка на проективной плоскости. Второй раздел посвящен изучению поверхностей второго порядка в проективном пространстве.

Были поставлены следующие задачи:

изучить учебную научно-методическую литературу по данной теме;

выработать собственную методику изложения материала. Материал дипломной работы может быть использован для углубления знаний студентов в области геометрии в процессе спецкурсов и спецсеминаров.



1. Линии и пучки второго порядка на проективной плоскости

1.1 Определение кривой второго порядка

Определение. Кривой (линией) второго порядка называется множество точек, проективные координаты которых в некоторой проективной системе координат удовлетворяют уравнению:

(1)

Коэффициенты аij в уравнении (1) - действительные числа, не равные нулю одновременно. Матрица (аij), составленная из коэффициентов, предполагается симметричной. Её ранг называется рангом линии второго порядка. Кривая считается невырожденной, если ранг матрицы (аij) равен трем.

Теорема. Понятие линии второго порядка, её ранг не зависят от выбора проективной системы координат.

Действительно, рассмотрим совместно с первым проективным репером R(A1,A2,A3,E) второй проективный репер R'(А'1,А'2,А'3,Е'). Тогда формулы

(2)

определяют переход от координат точки в первом репере к координатам во втором репере.

Подставляя значения (2) в уравнение (1), найдем



Обозначим

тогда получаем уравнение кривой в виде

Из вида уравнения ясно, что порядок кривой не изменился. По условию , поэтому матрица (а 'ij) является произведением трех матриц.

Её ранг будет равен наименьшему рангу матриц-сомножителей. Так как ранг матрицы (аij)=3 максимален, то ранг матрицы (а 'ij) равен рангу (а ij). Последнее означает, что ранг кривой не зависит от выбора репера.

В развернутом виде уравнение кривой записывается следующим образом:

В уравнение кривой входят шесть параметров, из которых существенными являются пять. Уравнение кривой полностью определяется заданием пяти точек общего положения.

1.2 Теорема Паскаля

Определение. Шестивершинником в проективной геометрии называют упорядоченную совокупность шести точек и прямых, попарно последовательно их соединяющих.

Анализ показывает, что шесть точек определяют шестьдесят геометрически различных шестивершинников.

Теорема Паскаля. Во всяком шестивершиннике, вписанном в невырожденную кривую второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Паскаля данного шестивершинника.

Докажем теорему. Пусть шестивершинник вписан в овальную кривую второго порядка (рис. 8)

Рис. 8

В нём противоположными будут следующие стороны:

Введём точки пересечения противоположных сторон шестивершинника.

Пусть

Рассмотрим четыре точки . Они определяют пучок кривых второго порядка. Среди кривых этого пучка имеются распадающаяся кривая второго порядка с уравнением



Воспользуемся уравнением этих кривых и запишем уравнение пучка кривых второго порядка, проходящих через точки в виде

Исходная кривая входит в состав пучка кривых, поэтому её уравнение получится из уравнения пучка при специальном выборе коэффициентов. Пусть этими коэффициентами являются числа . Имеем

По условию кривая невырожденная, поэтому . Разделим обе части уравнения на один коэффициент и введём новые обозначения. Получим уравнение кривой в виде

(1)

Рассмотрим далее и пучок кривых второго порядка, определяемый этими точками. К этому пучку принадлежат две распадающиеся кривые второго порядка с уравнениями

.

Аналогично предыдущему случаю уравнение кривой можно записать в виде

(2)

Уравнение (1), (2) определяют одну кривую, поэтому

Коэффициент k можно положить равным единице. Для этого достаточно нормировать левые части уравнений прямых. Тогда имеем

После простых преобразований получаем

.

Изучим точки, через которые проходят кривые с уравнениями

Кривая с уравнением .проходит через точки X,Y,A1,A4. Следовательно, через эти точки должна пройти и распадающаяся кривая с уравнением .

Прямая f проходит через точки А1,А4 и поэтому не может проходить через точки X, Y. Тогда через точки X, Y проходит прямая с уравнением .

Замечаем, что прямая с уравнением дополнительно проходит через точку Z.

Следовательно, прямая с уравнением проходит через три точки X, Y, Z. Прямая Паскаля существует. Теорема доказана.

1.2.1 Частные случаи теоремы Паскаля

Если две точки А, В сближать на кривой второго порядка, то хорда А, В будет стремиться к положению касательной к кривой в общей точке. Это позволяет выделить ряд частных случаев теоремы Паскаля.

Теорема. Во всяком пятивершиннике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения двух пар несмежных сторон, пятой стороны с касательной в противоположной вершине лежат на одной прямой.

Действительно, рассмотрим одну из вершин пятивершинника как двойную точку. Тогда получаем шестисторонник А1А2А3А4А5 = А6.

Противоположными сторонами этого шестисторонника будут А1A2 -- А4А5, А2А3 - А5А6, А3А4 - А6А1 где прямая А5А6 - касательная к кривой в точке А5 (рис. 9).

Рис. 9

В четырёхвершиннике AlA2AsA4, вписанном в кривую второго порядка, можно любые две точки рассматривать как двойные, при этом будет получаться соответственный частный случай теоремы. Наиболее удобно в качестве двойных точек рассматривать противоположные вершины (рис. 10).



Рис. 10

В этом случае имеем теорему:

Теорема. Во всяком четырёхвершиннике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения двух пар противоположных сторон, двух пар касательных к кривой в противоположных вершинах лежат на одной прямой.

Теорема Паскаля для трёхвершинника может быть сформулирована следующим образом:

Теорема. Во всяком треугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения сторон с касательными в противоположных вершинах лежат на одной прямой, (рис. 11).

Рис. 11

1.3 Теорема Брианшона

Фигурой, двойственной к шестивершиннику, является шестисторонник, определяемый как совокупность шести прямых, взятых в определенном порядке, и шести точек попарного последовательного их пересечения.

По малому принципу двойственности точки кривой второго порядка перейдут в прямые линии. Касательные к кривой второго порядка перейдут в точки некоторой кривой. Получится новая двойственная кривая. Ее называют кривой второго класса.

Существует теорема Маклорена, утверждающая, что всякая кривая второго порядка является кривой второго класса и наоборот.

По малому принципу двойственности шестивершинник, вписанный в кривую второго порядка, перейдет в шестисторонник, описанный около кривой второго класса. Для таких шестисторонников справедлива теорема.

Теорема Брианшона. Во всяком шестистороннике, описанном около кривой второго порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке -- точке Брианшона (рис. 12).

Рис. 12

1.3.1 Частные случаи теоремы Брианшона

Теорема Брианшона для пятисторонника. Во всяком пятистороннике, описанном вокруг кривой второго порядка, прямые, соединяющие две пары несмежных вершин, пятую вершину с точкой прикосновения противоположной стороны с кривой проходят через одну точку.

Теорема Брианшона для четырехсторонника. Во всяком четырехстороннике прямые, соединяющие противоположные вершины, и прямые, соединяющие точки прикосновения противоположных сторон, пересекаются в одной точке.1.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой линией.

Теорема. Любая прямая может пересекать невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.

Предположим, что существует прямая, которая пересекает кривую второго порядка в трех точках М1, М2, М3 (рис. 1).

Рис. 1

Зададим на плоскости репер специальным образом. Точки M1, M2 примем за вершины репера. Третью вершину А3 выберем так, чтобы М3=А3Е?M1M2. Тогда имеем M1(1,0,0), M2(0,1,0), М3(1,1,0). Внесем координаты точек M1, М2, М3 в уравнение кривой

Получим: , или



Матрица (а ij) приобретает вид . Ранг такой матрицы меньше трех. Это противоречит условию невырожденности кривой.

Теорема доказана.

1.4 Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости

Левая часть уравнения кривой второго порядка является квадратичной формой

При изменении проективного репера на плоскости, матрица кривой второго порядка изменяется по закону

Этот закон совпадает с законом изменения матрицы квадратичной формы при переходе от одного базиса в векторном пространстве V3 к другому.

Известно, что в V3 существует базис, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид. Обозначим векторы этого базиса через положим

Тогда точки определят проективный репер в котором уравнение кривой имеет вид

,где .



Возможны случаи:

1. Ранг линии второго порядка равен 3. Имеем два различных возможных вида уравнений:

1)

2)

В первом случае кривая не имеет действительных точек. Она называется мнимой овальной кривой второго порядка.

Во втором случае кривая называется овальной кривой второго порядка.

2. Ранг линии второго порядка равен 2.

Возможны случаи:

1) .

Существует одна действительная точка (0, 0, 1), принадлежащая кривой. Кривая состоит из двух мнимых пересекающихся прямых с одной действительной точкой пересечения.

2) .

В этом случае имеем вырожденную кривую второго порядка, состоящую из пары пересекающихся действительных прямых.

3. Ранг линии второго порядка равен 1. Имеем:

Кривая состоит из пары действительных совпавших прямых.

Итак, на проективной плоскости существует пять и только пять кривых второго порядка:

мнимая овальная кривая;

овальная кривая;

пара мнимых пересекающихся прямых;

пара действительных пересекающихся прямых;

пара совпавших прямых.

Определение. Разбиением множества всех кривых второго порядка на указанные 5 классов называется проективной классификацией, и кривые одного класса называются проективно-эквивалентными.

Теорема. Аффинные классы кривых второго порядка типа эллипс, гипербола, парабола проективно эквиваленты.

Доказательство.

Проведем на модели конических сечений.

Если рассматривать центральное проецирование как модель проективного преобразования, то можно заметить, что все конические сечения (окружность, эллипс, гипербола и парабола) проективно эквивалентны и находятся соответственно в репере проективного класса кривых.

Теореме: (о проективных классах кривых)

На проективной плоскости существует только 5 классов кривых второго порядка.

Доказательство:

Напомним, что на аффинной плоскости существует девять классов кривых, а на проективной получается только пять.

1. К первому проективному классу относится кривые, уравнения которого можно привести к виду. 

 

-- невырожденные кривые (действительные) второго порядка, т.е. все точки этой кривой, имеют действительные координаты. В этом классе переходом к неоднородным координатам можно получить обычные кривые второго порядка.

2. Кривые, уравнение которое может быть приведено к виду:  -- это проективный класс мнимых кривых, т.е. все точки этих кривых имеют только мнимые координаты. Единственные точки  не существуют.

Аналогичный класс был для кривых второго порядка на аффинной плоскости (мнимый эллипс).

3. Отнесем сюда те кривые, уравнения которых можно привести к виду.

Класс вырожденных проективных кривых, которые распадаются на пару прямых.

Этот класс аналогичен соответствующему классу на аффинной плоскости (пара  прямых).

4.  Распадаются на пару мнимых прямых:



Это мнимая вырожденная кривая, распадающаяся на пару мнимых прямых.

5. -- это вырожденная кривая, которая распадается на пару действительных прямых, (совпадающих).

 Такая классификация содержит 5 проективных классов, которые охватывают все классы аффинных кривых.

Задание: Выясним, какие аффинные классы слились в один проективный.

Определение: Разбиением множества всех кривых второго порядка на указанные 5 классов называется проективной классификацией, и кривые одного класса называются проективно-эквивалентными.

Теорема: Аффинные классы кривых второго порядка типа эллипс, гипербола, парабола проективно эквиваленты.

Доказательство:

Проведем на модели конических сечений.

Если рассматривать центральное проецирование как модель проективного преобразования, то можно заметить, что все конические сечения (окружность, эллипс, гипербола и парабола) проективно эквивалентны и находятся соответственно в репере проективного класса кривых.

1.4 Полярная теория кривых второго порядка

1.4.1 Гармоническая сопряженность точек относительно кривой второго порядка

Зададим на плоскости кривую второго порядка с уравнением

и прямую , инцидентную двум точкам

Запишем параметрические уравнения прямой

Чтобы найти точки, общие для прямой и кривой, подставим значения из уравнений прямой в уравнение кривой. Имеем

где использовано свойство в силу симметрии .

Введем обозначения

Уравнение, определяющие точки пересечения кривой второго порядка с прямой линией, запишется в виде: (1)

Если все три коэффициента P, Q, R в уравнении равны нулю, то уравнение (1) обращается в тождество. Это означает, что точка прямой при любых значениях принадлежат к кривой. Вся прямая в этом случае входит в состав кривой, сама кривая является вырожденной, распадающийся.

Во всех других случаях уравнение (2) имеет два действительных, мнимых или совпадающих корня вида . Соответственно, прямая линия пересекает кривую второго порядка в двух действительных, мнимых или совпадающих точках.

Определение. Пусть дана кривая 2-го порядка с уравнением

на проективной плоскости. Точка называется полярно сопряжённой с точкой относительно кривой второго порядка, если выполняется условие

Матрица симметрична, поэтому из условия, что точка полярно сопряжена с точкой , следует, что точка полярно сопряжена с .

Выясним геометрический смысл полярной сопряжённости. Допустим, что прямая пересекает кривую в точках L,N (рис. 2). Докажем, что если точка полярно сопряжена с точкой , то четвёрка точек гармоническая, т.е. 

Рис.2

Пусть в репере точки имеют координаты Прямая имеет параметрические уравнения

В общем случае точки пересечения прямой с кривой второго порядка определяются уравнением где

По условию точки полярно сопряжены, поэтому Q=0 и уравнение, определяющее точки пересечения, имеет вид .

Отсюда Точки пересечения прямой с кривой имеют следующие координаты: где

На прямой l рассмотрим репер Тогда точки имеют в нём координаты:

Найдём сложное отношение этих точек. Получим

Задача. Дана невырожденная кривая второго порядка и точка. Построить точку, сопряжённую к данной точке, относительно данной кривой.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом полярной сопряженности точек относительно кривой второго порядка. Из доказанного свойства следует, что если через точку провести прямую, пересекающую кривую в двух точках, то полярно сопряжённая точка будет четвёртой гармонической к данной точке относительно точек пересечения.

Рис.3

Построение

1. Через точку А проводим прямую, пересекающую кривую в точках L,N (рис.3).

Приняв точки L,N за базисные точки, строим четвёртую гармоническую точку к точке А.

Точка В - искомая.

Очевидно, что задача имеет неоднозначное решение.

1.4.2 Полюс и поляра

Определение. Полярой данной точки относительно данной кривой второго порядка называется множество точек, полярно сопряженных с данной точкой.

Рассмотрим кривую точку и точку .

Точки M и N будут сопряжены, если

В развёрнутом варианте это условие записывается в вид:

Введём обозначения и перепишем последнее отношение

Получим линейное уравнение относительно переменных . Оно будет определять некоторую прямую, если хотя бы одно из значений не равно нулю.

Рассмотрим отдельно случай, когда . Тогда имеем систему уравнений

Эта система имеет не нулевое решение только в том случае, когда

= 0

Последнее равенство означает, что исходная кривая вырожденная.

Итак:

1. Если кривая невырожденная, то поляра любой точки плоскости относительно кривой второго порядка является прямой линией.

2.Если кривая вырожденная, то все точки плоскости разбиваются на два класса. Для точек первого класса поляра относительно кривой второго порядка является прямой линией. Точки второго класса не имеют определённой поляры.

Задача. Пусть дана невырожденная кривая второго порядка и точка. Требуется построить поляру точки относительно кривой.

Рассмотрим два способа построения поляры.

1. Через точку Р проведём две прямые, пересекающие кривую. Затем на каждой прямой построим четвёртую гармоническую точку к точке Р относительно точек пересечения прямой с кривой (рис. 4). Прямая, проходящая через построенные точки, будет полярой.



Рис. 4

2. Впишем в кривую второго порядка полный четырехвершинник так, чтобы точка Р была диагональной. Тогда диагональ четырёхвершинника, не проходящая через точку Р, будет полярой точки (рис. 5).

Справедливость утверждения следует из того, что на каждой стороне и каждой диагонали четырёхвершинника существует гармоническая четвёрка точек.

Рис. 5

Определение. Рассмотрим на плоскости невырожденную кривую второго порядка. Все точки плоскости можно разбить в этом случае на три множества. Первое множество состоит из точек самой кривой. Второе множество содержит точки, поляра которых не пересекает кривую. Принято называть эти точки внутренними точками кривой второго порядка, а само множество внутренностью кривой. Третье множество содержит точки, поляра которых пересекает кривую. Эти точки называются внешними точками кривой второго порядка, само множество называется внешностью кривой.

Определение. Полюсом прямой l относительно кривой второго порядка называется точка, для которой эта прямая является полярой.

Пусть кривая второго порядка и прямая l заданы уравнениями:

,

Поляра произвольной точки М относительно кривой второго порядка имеет уравнение

Два уравнения определяют одну прямую, если выполняются соотношения

Перепишем эти соотношения в виде системы уравнений

Решая эту систему относительно величины рi, мы определим координаты полюса.

Принцип полярной взаимности. Пусть точка М полярно сопряжена с точкой N. Как было отмечено, в этом случае точка N также полярно сопряжена с точкой М. Следовательно, справедлив принцип полярной взаимности: если поляра точки М проходит через точку N, то поляра точки N проходит через точку М.

Задача. Дана невырожденная кривая второго порядка и прямая а. Построить полюс прямой относительно данной кривой.

1. На прямой а выберем две точки Р и Q, построим их поляры р и q (рис.6).

Рис. 6

2. Найдём точку А = p?q.

По принципу полярной взаимности точка А полярно сопряжена с точками Р и Q относительно кривой второго порядка. Следовательно, прямая а - поляра точки А, а сама точка А - полюс прямой а относительно кривой второго порядка.

1.4.3 Касательная к кривой второго порядка

Определение. Касательной к кривой второго порядка называется прямая, имеющая с этой кривой две совпавшие точки пересечения.

Теорема. Касательная к кривой второго порядка в точке кривой А является полярой этой точки относительно кривой, и обратно: поляра точки кривой А является касательной к кривой в этой точке.

Пусть прямая l - касательная к кривой в точке А. Докажем, что она является полярой этой точки относительно кривой. Так как точка А(ai) € к2, то , т.е точка А полярно сопряжена сама себе, её поляра должна проходить через неё. Если мы докажем, что любая точка В касательно полярно сопряжена с точкой А, то касательная АВ - поляра точки А(рис. 7).

Рис. 7

Запишем уравнение, определяющее точки пересечения прямой

AB: с кривой k2 :.

Имеем

Т.к. А € к2, то . По условию l - касательная к кривой.

Тогда , т.е. точки A и B полярно сопряжены. Прямая AB - поляра точки A.

Обратно. Докажем, что поляра точки А € к2 является касательной к кривой в этой точке. Так как А€ к2, то точка сама себе полярно сопряжена , поэтому поляра точки А проходит через точку А. Выберем на поляре точку В.

Точки А и В полярно сопряжены, поэтому Q=0. Точка А€ к2, поэтому Р = 0. Следовательно, Q2 -- PR = 0. Это означает, что прямая АВ пересекает кривую в двух совпавших точках, т.е. является касательной к кривой в точке А. Теорема доказана.

1.5 Пучки кривых 2-го порядка на плоскости

Для упрощения записи в данном разделе будем обозначать левую часть уравнения прямой линии и саму прямую линию одной буквой.

Пусть а и b две прямые. Уравнение пучка прямых линий с центром в точке пересечения прямых а и b запишется в виде лa + µb = 0, где л, µ Ђ R.

Рассмотрим произвольную кривую второго порядка. Она однозначно определяется указанием пяти своих точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой.

Пусть M1,M2,M3,M4 - четыре точки, не лежащие на одной прямой. Выбрав любую пятую точку М5, (неколлинеарную никаким трём предыдущим точкам), мы получим кривую второго порядка. Фиксировав четыре точки M1,M2,M3,M4 и меняя пятую точку М5, получим множество кривых второго порядка, которое называют пучком кривых второго порядка, проходящих через точки M1,M2,M3,M4.

Найдём уравнение пучка. Пусть

F1(x1, x2, x3) =0 и F2(x1, x2, x3) = 0



- уравнение кривых второго порядка, проходящих через точки M1,M2,M3,M4. Тогда очевидно, что кривая с уравнением

л1F1(x1, x2, x3) + л2F2(x1, x2, x3) = 0

тоже принадлежит к пучку кривых.

Чтобы доказать, что

л1F1(x1, x2, x3) + л2F2(x1, x2, x3) = 0 (**)

есть уравнение пучка, надо показать, что с помощью подбора коэффициентов л1, л2 из этого уравнения можно получить уравнение любой кривой пучка.

Рассмотрим произвольную кривую пучка. Она будет проходить через фиксированные точки M1,M2,M3,M4 и некоторую пятую точку M5 (x51, x52, x53). Координаты точек M1,M2,M3,M4 удовлетворяют уравнению (**). Подставим значения координат точки М5 в уравнение пучка, тогда

л1F1(x51, x52, x53) + л2F2(x51, x52, x53) = 0

Отсюда

Внесём найденные значения , в уравнение (**), получим уравнение с выбранной кривой. Итак, уравнение (**) есть уравнение пучка кривых второго порядка.



1.6 Аффинная геометрия с проективной точки зрения

Пусть Ф -- некоторая фигура на проективной плоскости. Проективные преобразования, переводящие фигуру Ф саму в себя, называют проективными автоморфизмами. Нетрудно проверить, что множество проективных автоморфизмов фигуры Ф образует группу преобразований, подгруппу группы проективных преобразований плоскости. Принято называть эту группу стационарной подгруппой фигуры Ф.

На проективной плоскости рассмотрим некоторую прямую d. Найдем стационарную подгруппу этой прямой в группе проективных преобразований плоскости. Как известно, проективные преобразования плоскости записываются в виде:

(*)

Зададим проективный репер R(A1,A2,A3,E) на плоскости специальным образом. Поместим точки A1(1,0,0,), А2 (0,2,0) на прямую d. Прямая d будет иметь в этом репере уравнение

После проективного автоморфного преобразования прямая должна переходить сама в себя, т.е. из условия следует, что .

Согласно уравнениям (*) это возможно при выполнении соотношения



Это соотношение должно быть верно для любой точки прямой, поэтому

Формулы преобразований стационарной подгруппы прямой d принимают вид

(**)

Для точек M, не принадлежащих к прямой d, значение - Разделим левые и правые части первых двух уравнений (**) на значения из третьего уравнения. Получим

Введём новые обозначения, тогда имеем уравнения

При этом

Полученные уравнения аналогичны уравнениям преобразования аффинной плоскости. Следовательно, стационарная подгруппа прямой проективной плоскости изоморфна группе аффинных преобразований плоскости.

Проективную плоскость с фиксированной на ней прямой (абсолютом) можно рассматривать как модель аффинной плоскости. Каждому аффинному понятию на этой модели можно придать проективный смысл.

Рассмотрим примеры.

1. Определение параллелизма: Две прямые считаются параллельными, если их точка пересечения принадлежит к абсолюту (рис. 13)

Рис. 13

Определение понятия «лежать между»: Точка С прямой 1 лежит между точками А и В, если пара АВ разделяется парой CD, где D - точка пересечения прямой l с абсолютом.

Определение простого отношения трёх точек: Положим (ABC)=-(AB;CD).

Заметим, что если С - середина отрезка, то (АВС)=1 тогда

(AB;CD)=-1. Следовательно, середина отрезка вместе с точкой абсолюта, лежащей на прямой, содержащий отрезок, гармонически разделяют пару точек - концы отрезка.

Классификация кривых второго порядка. Возможны три случая расположения овальной кривой второго порядка на плоскости относительно абсолюта.

Если овальная кривая второго порядка не имеет с абсолютом общих точек, то кривая называется эллипсом, если имеет с абсолютом две общие точки - гиперболой, если имеет с абсолютом одну общую точку - параболой (рис 14)

Рис. 14

Понятиям центра, диаметра, асимптоты кривой второго порядка может быть придан проективный смысл.

Центр кривой второго порядка -- это полюс абсолюта относительно этой кривой.

Диаметры кривой второго порядка -- это поляры точек абсолюта относительно кривой.

По принципу полярной взаимности поляры точек абсолюта (диаметры) должны проходить через полюс абсолюта. Это соответствует известному свойству о том, что все диаметры кривой второго порядка проходят через центр этой кривой.

Асимптоты кривой второго порядка -- это касательные к этой кривой в точках пересечения кривой с абсолютом.

Учитывая особенности расположения эллипса, гиперболы, параболы относительно абсолюта, нетрудно дать проективную интерпретацию свойствам центра, диаметров, асимптот кривых.

Евклидовым свойствам фигур, так же как и аффинным свойствам, может быть дана проективная интерпретация. Так как группа подобий является подгруппой группы аффинных преобразований, то абсолют евклидовой геометрии должен строиться на основе абсолюта аффинной геометрии.

Зададим на некоторой прямой d проективной плоскости дополнительно две произвольные комплексно-сопряженные точки J1, и J2, (их называют циклическими точками). Выберем среди всех проективных преобразований плоскости, переводящих прямую d в d, те, которые переводят точки J1, в J1 ,J2 в J2 или J1 в J2, J2, в J1 .

Доказывается, что такие проективные преобразования существуют. Они образуют подгруппу проективных, преобразований, изоморфную группе подобий с уравнениями:



2. Поверхности второго порядка в проективной плоскости

2.1 Определение поверхности второго порядка

Совокупность всех точек комплексного проективного пространства, координаты которых х, у, z, t (относительно некоторой фиксированной системы проективных координат) удовлетворяют уравнению вида

(1)

(где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля), называется поверхностью второго порядка. Легко видеть, что поверхность второго порядка выражается уравнением вида (1) в любой системе проективных координат.

Поверхность второго порядка, представимая в проективных координатах с вещественными базисными точками уравнением (1), коэффициенты которого вещественны либо могут быть сделаны вещественными путем умножения на одно и то же комплексное число, называется вещественной.

2.2 Точки пересечения поверхности второго порядка с плоскостью и прямой

2.2.1 Общие точки поверхности второго порядка и плоскости. Распадающиеся поверхности второго порядка

Исследуем, какова может быть совокупность общих точек поверхности второго порядка

(1)

и плоскости

(2)

Теорема. Плоскость (2) пересекает поверхность второго порядка (1) по линии второго порядка, если только не входит целиком в состав этой поверхности; последнее имеет место тогда и только тогда, когда левая часть уравнения (1) распадается на два линейных множителя, одним из которых служит левая часть уравнения (2), так что поверхность (1) распадается на две различные или совпадающие плоскости.

Доказательство. Произведем преобразование к новым проективным координатам , для которых плоскость (2) служит одной из координатных плоскостей, например, плоскостью

(2')

Пусть

(1')

-- уравнение рассматриваемой поверхности в новых координатах Для нахождения общих точек поверхности (1') и плоскости (2') нужно подставить в уравнение (1') . Получаем уравнение

(3)

Но суть проективные координаты на плоскости относительно (новых) базисных координатных четверок (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0) и (0, 0, 1, 0). Таким образом, заключаем, что если хотя бы один из коэффициентов уравнения (3) отличен от нуля, то совокупность общих точек поверхности (1') и плоскости (2') или, что то же, поверхности (1) и плоскости (2') линия второго порядка на секущей плоскости. Если же все коэффициенты уравнения (3) равны нулю, то уравнение (1') принимает вид

(1'')

так что поверхность (1'') распадается на пару плоскостей, а именно, плоскость (2') и плоскость

(2'')

И, обратно, если плоскость (2') целиком входит в состав поверхности (1'), то уравнение (3) должно тождественно удовлетворяться дли всех а отсюда следует, что все его коэффициенты равны нулю и, значит, поверхность (1') распадается на плоскости (2') и (2''). Так как в этом случае уравнение (1') имеет вид (1"), т. е. левая часть его распадается на два линейных множителя, и так как при обратном преобразовании, возвращающем к исходным координатам , уравнение (1") переходит обратно в уравнение (1), то заключаем, что и левая часть уравнения (1) распадается на два линейных множителя, одним из которых, очевидно, служит левая часть уравнения (2). Тем самым теорема полностью доказана.

Замечание. Если поверхность (1) и плоскость (2) -- вещественные, то и линия их пересечении -- вещественная. Действительно, в этом случае базисные точки системы проективных координат , в которой плоскость (2) выражается уравнением (2'), можно взять вещественными. Тогда будут вещественными (или пропорциональными вещественным) и коэффициенты уравнения (1'), а значит, также уравнения (3). Но вершинами основного координатного треугольника системы проективных координат на плоскости будут служить точки а единичной точкой --- точка пересечения плоскости (2') прямой . Так как все эти четыре базисные точки вещественны (-- по условию, -- как точка пересечения вещественной плоскости с вещественной прямой), то и линия (3) пересечения плоскости (2') поверхностью (1') вещественна, как линия, выражаемая уравнением с вещественными (или пропорциональными вещественным) коэффициентами относительно вещественного базиса.

2.2.2 Общие точки поверхности второго порядка и прямой

Из теоремы предыдущего пункта непосредственно следует, что для пересечения прямой с поверхностью второго порядка имеются те же возможности, что и для пересечения прямой с линией второго порядка. Действительно, проведем через рассматриваемую прямую произвольную плоскость, не входящую целиком в состав поверхности (1). По теореме предыдущего пункта, эта плоскость будет пересекать поверхность (1) по линии второго порядка; но совокупность общих точек секущей прямой и поверхности (1), очевидно, совпадает с совокупностью общих точек прямой и этой линии второго порядка.

Таким образом, в комплексном проективном пространстве прямая имеет с поверхностью второго порядка либо две различные общие точки, либо только одну («двукратную»), либо целиком содержится в этой поверхности.

Для фактического нахождения общих точек поверхности (1) и прямой



или, в краткой записи,

(4)

где (и в частности, определения, какая именно из трех указанных возможностей осуществляется), удобнее всего применить следующий метол, а именно, пусть и

-- билинейная форма, соответствующая квадратичной форме, стоящей в левой части уравнения (1). Форма А симметрична, т. е.

Уравнение (1) можно записать в виде

Подставляя сюда вместо m выражение (4) и приняв во внимание билинейность и симметричность формы А, получаем для параметров и, v точек пересечения прямой (2) с поверхностью (1) уравнение

Таким образом, заключаем:

Если

то прямая (4) пересекает поверхность (1) в двух различных точках.

Если

но хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то прямая (4) имеет с поверхностью (1) только одну («двукратную») общую точку. Наконец, если

,

то прямая (4) целиком входит в состав поверхности (1).

При этом, если поверхность (1) и прямая (4) -- вещественные, то в первом случае точки их пересечения либо вещественные, либо мнимые комплексно сопряженные, а во втором «двукратная» точка пересечения -- обязательно вещественная.

2.5 Полюсы и полярные плоскости поверхности второго порядка

2.5.1 Гармоническая сопряженность точек относительно поверхности второго порядка

Определение гармонической сопряженности точек относительно поверхности второго порядка совершенно аналогично определению гармонической сопряженности относительно линии второго порядка. А именно, точка Q называется гармонически сопряженной относительно поверхности второго порядка

(1)

к точке , не лежащей на этой поверхности, если прямая PQ пересекает поверхность (1) в двух различных точках M1, M2, гармонически сопряженных относительно пары Р, Q (так что и Q гармонически сопряжена к Р относительно пары M1, M2), либо если Q есть «двукратная» точка пересечения прямой PQ с поверхностью (1). Точка Q называется гармонически сопряженной относительно поверхности (1) к точке Р этой поверхности, если Q лежит на какой-нибудь касательной, проведенной к поверхности (1) в точке Р.

Из этого определения, в частности, следует, что если поверхность (1) имеет двойную точку Р, то к этой точке гармонически сопряжена относительно поверхности (1) любая точка комплексного проективного пространства.

Теорема 1. Для того чтобы точка Q(q1: q2: q3:q4) были гармонически сопряжена к точке Р(р1:р2:р3:p4) относительно поверхности (1), необходимо и достаточно, чтобы

А(р;q) = 0, (2)

где р = (р1 : р2: р3: p4), q (q1: q2: q3:q4), или, в подробной записи,-- чтобы

(a11p1+a12p2+a13p3+a14p4)q1+(a12p1+a22p2+a23p3+a24p4)q2+

+(a13p1+a23p2+a33p3+a34p4)q3+(a14p1+a24p2+a34p3+a44p4)q4=0 (2')



Следствие. Гармоническая сопряженность точек относительно поверхности второго порядка есть свойство взаимное: если точка P гармонически сопряжена относительно поверхности (1) к точке Q, то и точка Q гармонически сопряжена относительно поверхности (1) к точке Р.

Непосредственно вытекает из теоремы 1 и симметричности форм и А(р;q) (равно как и прямо из определения гармонической сопряженности точек относительно поверхности второго порядка).

2.5.2 Полюс и полярная плоскость

Определение полярной плоскости относительно поверхности второго порядка совершенно аналогично определению поляры относительно линии второго порядка. А именно, в силу теоремы 1, геометрическое место точек комплексного проективного пространства, гармонически сопряженных относительно поверхности (1) к произвольной фиксированной точке М0(х0:у0:z0:t0), не являющейся двойной точкой этой поверхности, есть плоскость, выражаемая уравнением

A(m0;m)=0 (3)

или, в развернутой записи, - уравнением

(a11x0+a12y0+a13z0+a14t0)x+(a12x0+a22y0+a23z0+a24t0)y+

+(a13x0+a23y0+a33z0+a34t0)z+(a14x0+a24y0+a34z0+a44t0)t=0 (3')

Плоскость (3') называется полярной плоскостью точки М0 относительно поверхности (1), а точка М0, в свою очередь, - полюсом этой плоскости.

Уравнение (3') показывает, что полярная плоскость вещественной точки М0 относительно вещественной поверхности второго порядка (1) (для которой точка М0 - не двойная) вещественна.

Замечание. Если поверхность (1) имеет двойную точку, то через эту точку проходят все полярные плоскости. Действительно, двойная точка гармонически сопряжена ко всем точкам пространства.

2.5.3 Диаметральные плоскости, как полярные плоскости несобственных точек. Центр, как полюс несобственной плоскости

Пусть

a11X2+a23Y2+a33Z2+ 2a12XY+2a13XZ+ 2a23YZ +

+ 2a14X+2a24Y+2a34Z + a44=0 (4)

- поверхность второго порядка в комплексном евклидовом пространстве и

a11x2+a23y2+a33z2+ 2a12xy+2a13xz + 2a23yz +

+ 2a14xt+2a24yt+2a34zt+ a44t2=0 (4')

- та же поверхность, но пополненная своими несобственными точками, в комплексном проективном пространстве ,

х, у, z, t--однородные координаты в , соответствующие выбранным в евклидовом пространстве декартовым координатам X, Y, Z.

Совершенно так же, можно показать, что каждая диаметральная плоскость поверхности (4), пополненная своей несобственной прямой, есть полярная плоскость некоторой несобственной точки относительно поверхности (4'), а именно, несобственной точки прямых, направление которых сопряжено относительно поверхности (4) к наклону рассматриваемой диаметральной плоскости. Далее, можно показать, что центр неконической поверхности (4) (если таковой существует) есть полюс несобственной плоскости относительно поверхности (4').



2.5.4 Основные свойства полярных плоскостей

Полярные плоскости обладают следующими тремя основными свойствами:

Лемма 1. Если точка Р лежит на полярной плоскости точки Q, то точка Q лежит на полярной плоскости точки Р.

Разумеется, точки Р и Q предполагаются не двойными.

Лемма 2. Для того чтобы (не двойная) точка М0 лежала на своей полярной плоскости относительно поверхности второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы М0 была точкой самой этой поверхности.

Лемма 3. Полярной плоскостью каждой (не двойной) точки поверхности второго порядка служит касательная плоскость к поверхности в этой точке. Коротко: касательная плоскость есть полярная плоскость точки касания.

2.5.5 Полюсы и полярные плоскости относительно неконической поверхности второго порядка

Относительно неконической поверхности второго порядка каждая точка имеет определенную полярную плоскость и, обратно, каждая плоскость имеет определенный полюс, т. е. служит полярной плоскостью некоторой, притом однозначно определенной, точки.

Отсюда, в частности, следует, что лемму 1 предыдущего пункта можно сформулировать также следующим образом: если плоскость в проходит через полюс плоскости б, то плоскость б проходит через полюс плоскости в. Таким образом, заключаем, что если вращать плоскость вокруг какой-нибудь точки Р, то полюс этой плоскости будет зачерчивать полярную плоскость точки Р, и обратно.

Взаимно однозначное отображение совокупности всех точек комплексного проективного пространства на совокупность всех его, плоскостей и совокупности всех плоскостей -- на совокупность всех точек, сохраняющее инцидентности точек и плоскостей, называется коррелятивным преобразованием комплексного проективного пространства. Если при этом каждая плоскость переходит в тy точку, которая переходит в эту плоскость (и. следовательно, также каждая точка -- в ту плоскость, которая переходит в эту точку), то коррелятивное преобразование называется инволютивным. Из предшествующего ясно, что отображение, относящее каждой точке ее полярную плоскость относительно заданной неконической поверхности второго порядка, а каждой плоскости -- ее полюс относительно этой поверхности, есть инволютивное коррелятивное преобразование. Оно называется поляритетом комплексного проективного пространства относительно рассматриваемой неконической поверхности второго порядка. Можно показать, что каждое инволютивное коррелятивное преобразование комплексного проективного пространства есть поляритет относительно некоторой неконической поверхности второго порядка.

2.5.6 Касательный конус

Теорема 2. Касательные прямые, проведенные к поверхности (1) ранга >1 из точки Р, не лежащей на этой поверхности, образуют конус второго порядка, -- так называемый «касательный конус», -- направляющей которого и одновременно геометрическим местом точек касания служит линия пересечения поверхности (1) с полярной плоскостью точки Р. Ранг этого конуса на единицу меньше ранга поверхности; таким образом, у неконической поверхности (1) касательный конус - нераспадающийся, у нераспадающейся конической - распадающийся на пару различных. плоскостей, а у пары различных плоскостей - пара совпадающих плоскостей.

Доказательство. Пусть р = (р1, р2, p3, р4) - какая-нибудь координатная четверка точки Р и т=(х, у, z, t) -- координатная четверка произвольной точки М. Так как Р не лежит на поверхности (1), то А(р; р)?0. Поэтому для того, чтобы прямая РМ была касательной к поверхности (1), т. е. имела с этой поверхностью только одну («двукратную») общую точку, необходимо и достаточно, чтобы

А(р; р) А(т; т) - А2(р; m)=0. (5)

Это и есть уравнение касательного конуса. Так как A (m; m)-- квадратичная, а А (р; m) -- линейная форма относительно х, у, z, t, то уравнение (5) есть уравнение второго порядка, если только не все его коэффициенты равны нулю; но в последнем случае мы имели бы

А(т; т)? A2(p;m)

и поверхность (1) представляла бы собой пару совпадающих плоскостей

А(р; m) = 0, (6)

т. е. была бы ранга 1, в противоречие с условием теоремы. Итак, касательный конус есть конус второго порядка.

Точки касания, т. е. точки пересечения конуса (5) с поверхностью (1), находятся из совместного решения уравнений (1) и (5). Но система этих двух уравнений, очевидно, равносильна системе уравнений (1) и (6). Следовательно, геометрическое место точек касания, действительно, есть линия пересечения поверхности (1) с полярной плоскостью (6) точки Р.

Остается исследовать ранг конуса (5). Для этого заметим, прежде всего, что если какая-нибудь точка М конуса (5), отличная от его вершины Р, есть двойная точка этого конуса, то и вся прямая РМ состоит из двойных точек и, в частности, точка Q касания этой прямой с поверхностью (1) или, что то же, точка пересечения прямой РМ с полярной плоскостью (6) точки Р есть двойная точка конуса (5). С другой стороны, и каждая двойная точка поверхности (1), согласно замечанию, сделанному в конце пункта 2.5.2, лежит на полярной плоскости (6), а тем самым, по доказанному выше, - и на конусе (5). Докажем теперь, что каждая двойная точка поверхности (1) есть вместе с тем двойная точка конуса (5) и, обратно, каждая двойная точка конуса (5), лежащая на плоскости (6), есть двойная точка поверхности (1). Действительно, пусть m и m' - произвольные две координатные четверки.

Положим

В(т; т')? А(р; р) А(m;m') - A(p; m)А(р; т').

Очевидно, В (m; m')--симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме

В (m; m')?A(р; р)А(т; т) - А2(p;m),

стоящей в левой части уравнения (5). Пусть m0 - координатная четверка точки М0. Если М0 - двойная точка поверхности (1), то

А(m0; m)?0(7)

(т. е. А(m0; m)? 0 для всех m); но тогда и

В(m0;m)?A (p; р) А(m0; m)-- A(m0; р) A(р; m)?0, (8)

и, следовательно, М0 - также двойная точка конуса (5). Обратно, если M0 - двойная точка конуса (5), лежащая на плоскости (6), т. е. имеет место тождество (8) и равенство А (m0; p)=0, то, так как .A (p; p) ? 0, имеет место также тождество (7) и, следовательно, М0 -- двойная точка поверхности (1). Итак, совокупность двойных точек конуса (5), лежащих на плоскости (6), совпадает с совокупностью двойных точек поверхности (1). Таким образом, соответственно тому, будет ли поверхность (1) ранга 4, 3 или 2, эта совокупность двойных точек конуса (5), лежащих на плоскости (6), будет пустым множеством, точкой или прямой, следовательно, совокупность всех двойных точек конуса (5) будет точкой (Р), прямой или плоскостью, а значит, конус (5) будет ранга 3, 2 или 1. Тем самым теорема полностью доказана.

2.5.7 Автополярный тетраэдр

Автополярным тетраэдром относительно заданной поверхности (1) называется тетраэдр, вершины которого попарно гармонически сопряжены относительно этой поверхности.

Если поверхность (1) -- ранга 4 и, значит, не имеет двойных точек, то можно также сказать, что автополярным называется тетраэдр, каждая грань которого служит полярной плоскостью ложной вершины.

Таким образом, при поляритете относительно этой поверхности тетраэдр преобразуется сам в себя, чем и объясняется наименование его автополярным.

Из определения ясен и способ построения автополярного тетраэдра. В качестве первой вершины выбираем произвольную точку , не лежащую на поверхности (1) (и тем самым заведомо не являющуюся двойной точкой). Пусть Н -- полярная плоскость точки Р. Возможны два случая:

1° Н входит целиком в состав поверхности (1).

В этом случае все точки плоскости Н суть двойные точки поверхности (1) (так что эта поверхность есть пара плоскостей, совпадающих с Н). Действительно, если бы на плоскости Н имелась не двойная точка Q, то полярная плоскость этой точки, по лемме 1, проходила бы через , а по лемме 3 совпадала бы с Н (как касательная плоскость к поверхности в точке Q). Но это противоречит тому, что , по предположению, не лежит на поверхности (1).

В качестве трех других вершин берем произвольные три точки Q, R и S плоскости Н, не лежащие на одной прямой. По доказанному, они двойные и, значит, гармонически сопряжены относительно поверхности (1) как друг с другом, так и с точкой Р. Тем самым тетраэдр PQRS -- автополярный.

2° Н не входит целиком в состав поверхности (1).

В этом случае, Н пересекает поверхность (1) по некоторой линии второго порядка, и в качестве трех других вершин берем вершины Q, R и S произвольного треугольника на плоскости Н, автополярного относительно этой линии. Будучи попарно гармонически сопряжены относительно линии пересечения поверхности (1) с плоскостью Н, они, очевидно, будут попарно гармонически сопряжены и относительно самой поверхности (1); с другой стороны, по построению, каждая из них гармонически сопряжена к Р. Тем самым тетраэдр PQRS -- автополярный.

Мы видим, что относительно любой поверхности второго порядка существует бесконечное множество автополярных тетраэдров. Нетрудно показать, что каждый из таких тетраэдров можно получить описанным способом.

2.6 Проективная классификация поверхностей второго порядка

2.6.1 Уравнение поверхности второго порядка относительно автополярного основного координатного тетраэдра

Пусть в комплексном проективном пространстве задана какая-нибудь поверхность второго порядка. Выберем в качестве основного координатного тетраэдра Z1Z2Z3Z4 произвольный тетраэдр, автополярный относительно этой поверхности; в качестве единичной точки возьмем любую точку Е (разумеется, не лежащую в одной плоскости ни с какими тремя из точек Z1Z2Z3Z4). Пусть

(1)

- уравнение рассматриваемой поверхности относительно этого базиса Z1Z2Z3Z4E. Покажем, что



(2)

Действительно, так как точки Z1 (1;0;0;0) и Z2 (0;1;0;0), по условию, гармонически сопряжены относительно поверхности (1), то, по теореме 1 предыдущего параграфа,

т.е. а12=0. И совершенно так же из гармонической сопряженности точек Z1 и Z3, Z1 и Z4, Z2 и Z3, Z2 и Z4, Z3 и Z4 следуют остальные пять равенств (2).

Таким образом, любую поверхность второго порядка можно отнести к такой системе проективных координат, что в уравнении этой поверхности останутся только члены с квадратами координат, т. е. это уравнение примет вид

(1')

Так как ранг поверхности (1') равен числу коэффициентов уравнения (1'), отличных от нуля, причем зависит только от геометрических свойств самой этой поверхности, то заключаем, что (надлежащим образом нумеруя вершины Z1,Z2, Z3, Z4 автополярного основного координатного тетраэдра) поверхность ранга 4 можно представить уравнением

, (I)

ранга 3--уравнением



, (II)

ранга 2 -- уравнением

(III)

и ранга 1--уравнением

(IV)

где все коэффициенты, входящие в соответствующее уравнение, отличны от нуля.

2.6.2 Проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка

Теорема 1. Совокупность всех комплексных поверхностей второго порядка в комплексном проективном пространстве разбивается по отношению к группе всех его проективных преобразований на четыре проективных класса, а именно, проективные классы поверхностей ранга 4, ранга 3, ранга 2 и ранга 1. Представителями этих классов являются поверхности, выражаемые в какой-нибудь фиксированной системе проективных координат, соответственно, уравнениями

, (I')

, (II')

, (Ш')

. (IV')

2.6.3 Проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка

При классификации вещественных поверхностей второго порядка считают допустимыми лишь вещественные системы проективных координат, т. е. системы с вещественными базисными точками, и в соответствии с этим - лишь вещественные проективные преобразования, т. е. проективные преобразования, переводящие вещественные базисы снова в вещественные.

Теорема 2. Совокупность всех вещественных поверхностей второго порядка разбивается по отношению к группе всех вещественных проективных преобразований на восемь вещественных проективных классов, представителями которых являются поверхности, выражаемые в какой-нибудь фиксированной вещественной системе проективных координат, соответственно, уравнениями