Кривые второго порядка

(I'1)

(I'2)

(I'3)

(II'1)

(II'2)

(III'1)

(III'2)

(IV')

Доказательство. Каждая вещественная поверхность второго порядка эквивалентна относительно вещественных проективных преобразований одной из восьми поверхностей, выражаемых уравнениями (I'1) - (IV') в какой-нибудь фиксированной вещественной проективной системе координат. Попарная неэквивалентность этих восьми поверхностей вытекает из следующих их отличительных особенностей, различие между которыми, очевидно, сохраняется при всех вещественных проективных преобразованиях: поверхность (I'1) - нулевая, т. е. вовсе не содержит вещественных точек; поверхности (I'2) и (I'3) - неконические ненулевые, причем у первой из них дискриминант отрицателен, так что все точки - эллиптические, т. е. все образующие - мнимые, а у второй дискриминант положителен, так что все точки - гиперболические, т.е. через каждую точку проходят две вещественные образующие; поверхности (II'1) и (II'2) конические нераспадающиеся, причем у первой только вершина - вещественная, у второй же имеется бесконечное множество вещественных образующих; поверхность (III'1) есть пара сопряженных мнимых плоскостей, поверхность (III'2) - пара различных вещественных плоскостей, наконец, поверхность (IV') - пара совпадающих вещественных плоскостей.

Абсолютная величина разности между числом положительных и числом отрицательных членов в приведенном уравнении (I') вещественной поверхности второго порядка называется сигнатурой этой поверхности. Поверхности (I'1) -- (IV') имеют следующие ранги и сигнатуры:

Поверхность	(I'1)	(I'2)	(I'3)	(II'1)	(II'2)	(III'1)	(III'2)	(IV')
Ранг Сигнатура	4 4	4 2	4 0	3 3	3 1	2 2	2 0	1 1

Мы можем сказать, что проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка относительно группы вещественных проективных преобразований совпадает с классификацией этих поверхностей по их рангам и сигнатурам.

Если x,y,z,t-- однородные прямоугольные координаты в евклидовом пространстве, пополненном несобственными точками, т.е. однородные координаты, соответствующие прямоугольным декартовым координатам X, Y, Z, то уравнение (I'2) выражает сферу



уравнение(I'3) -- однополый гиперболоид

дополненный своими несобственными точками, а уравнение (II'2) - прямой круговой конус

(также дополненный своими несобственными точками).

Мы видим, что если ограничиться рассмотрением только вещественных точек, то теорему 2 можно сформулировать следующим образом:

Теорема 2'. Совокупность всех поверхностей второго пoрядка в вещественном проективном пространстве разбивается на восемь проективных классов, а именно, на:

«нулевую поверхность»;

«овалоиды», т. е. проективные образы сферы;

«тороиды», т. е. проективные образы однополого гиперболоида, пополненного своими несобственными точками);

поверхности, вырождающиеся в точку;

конусы - проективные образы прямого кругового конуса (по полненного своими несобственными точками);

поверхности, вырождающиеся в прямую;

пары пересекающихся плоскостей;

пары совпадающих плоскостей.

2.6.4 Уравнения, выражающие одну и ту же поверхность второго порядка в фиксированной системе координат

Из результатов, полученных в выше, вытекает также следующее важное предложение:

Теорема 3. Для того чтобы два однородных уравнения второго порядка относительно переменных х, у, z, t выражали в фиксированной системе проективных координат в комплексном проективном пространстве одну и ту же поверхность, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты их уравнений были пропорциональны.

Доказательство. Очевидно, в доказательстве нуждается лишь необходимость. Выберем за основной координатный тетраэдр новой системы проективных координат произвольный тетраэдр Z'1,Z'2Z'3Z'4, автополярный относительно рассматриваемой поверхности, а за новую единичную точку -- произвольную точку E' (разумеется, не лежащую в одной плоскости ни с какими тремя из точек Z'1,Z'2Z'3Z'4). При переходе от старого базиса Z1,Z2Z3Z4E к выбранному новому базису Z'1,Z'2Z'3Z'4 E' заданные уравнения поверхности преобразуются в уравнения

, (2)

соответственно,

(2')

и для доказательства пропорциональности старых уравнений поверхности достаточно будет доказать пропорциональность новых ее уравнений (2) и (2').

Замечаем прежде всего, что если в одном из уравнений (2), (2') какой-нибудь коэффициент равен нулю то равен нулю и коэффициент с тем же номером в другом уравнении. Так как не все коэффициенты этих уравнений равны нулю, то мы можем считать, например, что и потому, согласно сделанному только что замечанию, - также. Полагая t = 0, получаем для х, у и z уравнения

которые должны быть равносильны. Поэтому

(3)

Совершенно так же, полагая и в уравнениях (2) и (2'), например, получим, что

(4)

Равенства (3) и (4) в совокупности означают, что уравнения (2) и (2'), а значит, и первоначально заданные уравнения пропорциональны, и теорема доказана.

В силу соответствия между поверхностями второго порядка в комплексном евклидовом пространстве и поверхностями второго порядка в комплексном проективном пространстве, из теоремы 1 непосредственно следует:

Теорема 3'. Для того чтобы уравнения

и

выражали в фиксированной системе декартовых координат X, У, Z в комплексном евклидовом пространстве одну и ту же поверхность второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти уравнения были пропорциональны.

2.7 Аффинно-проективная классификация поверхностей второго порядка

Аффинно-проективным преобразованием комплексного проективного пространства , полученного путем пополнения комплексного евклидова пространства несобственными точками, мы будем называть всякое его проективное преобразование, переводящее несобственную плоскость в себя. Очевидно, вещественные аффинно-проективные преобразования пространства суть не что иное, как рассмотренные раннее аффинно-проективные преобразования вещественного проективного пространства, но только естественным образом распространенные и на мнимые точки. Так как аффинно-проективные преобразования образуют группу, то совокупность всех комплексных поверхностей второго порядка в разбивается относительно этих преобразований на «аффинно-проективные классы». Аналогично, и совокупность всех вещественных поверхностей второго порядка в разбивается на аффинно-проективные классы относительно группы всех вещественных аффинно-проективных преобразований.

2.7.1 Аффинно-проективная классификация вещественных поверхностей второго порядка

Теорема 1. Совокупность всех вещественных поверхностей второго порядка в пространстве разбивается по отношению к группе всех вещественных аффинно-проективных преобразований, на девятнадцать аффинно-проективных классов, представителями которых являются поверхности, выражаемые в какой-нибудь фиксированной вещественной однородной декартовой системе координат , соответственно, уравнениями:

[1] [2]

[3] [4]

[5] [6]

[7] [8]

[9] [10]

[11] [12]

[13] [14]

[15] [16]

[17] [18]

[19]

Доказательство. а) Пусть рассматриваемая поверхность не содержит всей несобственной плоскости. В качестве , возьмем произвольную вещественную несобственную точку, не принадлежащую поверхности. Полярная плоскость , точки в силу леммы 2 из пункта 2.5.4, не проходит через эту точку и потому является собственной плоскостью. Так как несобственная плоскость и плоскость -- вещественные, то и прямая их пересечения, т. е. несобственная прямая плоскости -- вещественная. В качестве , и возьмем пока произвольные две вещественные точки этой прямой, в качестве -- произвольную вещественную собственную точку плоскости , и в качестве Е -- произвольную вещественную точку, не лежащую в одной плоскости ни с какими тремя из точек Z1, Z2, Z3, Z4.

Пусть

(1)

-- уравнение рассматриваемой поверхности относительно базиса Z1, Z2, Z3, Z4.E. Так как точка (1:0:0:0) не принадлежит поверхности (1), то. Далее, так как точки (0: 1:0:0), (0:0:1:0) и (0:0:0: 1) гармонически сопряжены к (1:0:0:0), то . Поэтому уравнение (1) имеет вид

(1')

причем коэффициенты его, в силу вещественности поверхности и выбранного базиса, можно считать вещественными.

Рассмотрим теперь линию пересечения поверхности (1') с плоскостью , т. е. с плоскостью . Линия эта выражается на плоскости относительно базиса Z1, Z2, Z3, Z4, Е1, где Е1 -- проекции точки Е из центра Z1, на плоскость уравнением

(2)

получающимся из уравнения (1') при . Возможны два случая:

) Хотя бы один из коэффициентов уравнения (2) отличен oт нуля, так что это -- уравнение линии второго порядка. При надлежащем выборе точек Z2, Z3 и Z4, удовлетворяющих поставленным выше условиям, уравнение (2) будет уравнением одного из следующих семи видов:



(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Следовательно, уравнение (1') при таком выборе Z2, Z3 и Z4 будет уравнением одного из семи видов:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(где коэффициенты каждого уравнения все отличны от нуля).

) Все коэффициенты уравнения (2) равны нулю, так что плоскость , целиком входит в состав рассматриваемой поверхности. В этом случае уравнение (1')имеет вид



б) Пусть теперь несобственная плоскость целиком входит в состав рассматриваемой поверхности, так что эта поверхность распадается на пару плоскостей, из которых одна -- несобственная. Возможны два случая:

) Поверхность ранга 2; поэтому вторая из составляющих ее плоскостей -- собственная, и притом вещественная. В качестве Z2 и Z3 берем произвольные две вещественные точки прямой пересечения этих плоскостей, в качестве Z1 -- произвольную вещественную несобственную точку, отличную от Z2 и Z3, в качестве Z4-- произвольную вещественную собственную точку второй (собственной) плоскости и в качестве Е -- произвольную вещественную точку, не лежащую в одной плоскости ни с какими тремя из точек Z1, Z2, Z2, и Z4. Пусть (1) -- уравнение рассматриваемой поверхности относительно базиса Z1Z2Z3Z4E. Так как Z1, Z2, Z2, и Z4 принадлежат поверхности (1), то . Далее, так как Z2 и Z3 -- двойные точки, то они гармонически сопряжены друг с другом и с точками Z1 и Z4; поэтому . Таким образом, уравнение (1) имеет вид

(19)

) Поверхность ранга 1 и, значит, есть дважды взятая несобственная плоскость. В качестве Z1, Z2 и Z3 берем произвольные три вещественные несобственные точки, не лежащие на одной прямой, в качестве Z4 -- произвольную вещественную собственную точку и в качестве Е -- произвольную вещественную точку, не лежащую в одной плоскости ни с какими тремя из точек Z1, Z2, Z3, Z4. Пусть (1) -- уравнение поверхности относительно базиса Z1Z2Z3Z4E. Так как точки Z1, Z2 и Z3 лежат на поверхности (1), то . Далее, так как эти точки -- двойные, то тетраэдр Z1Z2Z3Z4 -- автополярный, и . Таким образом, уравнение (1) имеет вид

(110)

Итак, каждая вещественная поверхность второго порядка в пространстве представима в некоторой однородной декартовой системе координат одним из уравнений (l1) -- (110). Но подстановкой

(очевидно, оставляющей точки Z1, Z2, Z3 и Z4 на месте) и, возможно, перенумерацией вершин Z1, Z2, Z3 и изменением знака уравнения (l1) приводится к одному из видов [1] - [4]. Точно так же надлежащей подстановкой, оставляющей точки Z1, Z2, Z3 и Z4 на месте, и, возможно, перенумерацией вершин Z1, Z2, Z3 и изменением знака уравнение (18) приводится к одному из видов [5], [6], уравнение (18) -- к одному из видов [7], [8], уравнение (14) -- к одному из видов [9] -- [11], уравнение (15) -- к одному из видов [12], [13], уравнение (16) -- к виду [14], уравнение (17) --к одному из видов [15], [16], а уравнения же (18), (19), и (110) приводятся к уравнениям [17], [18] и [19] просто делением, соответственно, на , и . Таким образом, каждая вещественная поверхность второго порядка представляется в надлежащей вещественной однородной декартовой системе координат одним из уравнений [1] -- [19]. Отсюда следует, что каждая вещественная поверхность второго порядка в принадлежит аффинно-проективному классу одной из девятнадцати поверхностей, выражаемых уравнениями [1] -- [19] в какой-нибудь фиксированной вещественной однородной декартовой системе координат. Остается показать, что эти аффинно-проективные классы попарно различны.

Поверхность ранга n, несобственная линия которой имеет ранг m, будем называть поверхностью типа (n, m). При этом не исключено, что несобственная линия поверхности (1) имеет ранг 0, т. е. все коэффициенты уравнения

этой линии (на несобственной плоскости относительно базиса Z1Z2Z3Z4E) равны нулю; это означает, что несобственной линией служит вся несобственная плоскость.

Легко теперь проверить, что поверхности

(11) (13)

(12) (14) (16)

(15) (17) (19)

(18) (110)

суть, соответственно, поверхности типов

(4,3) (4,2)

(3,3) (3,2) (3,1)

(2,2) (2,1) (2,0)

(1,1) (1,0).

Таким образом, поверхности [1] -- [19] разбиваются на группы

[1] -- [4] [7] -- [8]

[5] -- [6] [9] -- [11] [14]

[12] -- [13] [15]--[16] [18]

[17] [191]

различающиеся типом, т. е. рангом поверхности или рангом ее несобственной линии. Далее, в рамках группы [1] -- [4] поверхности различаются тем, что первая -- нулевая (т. е. вовсе не содержит вещественных точек), а остальные ненулевые, причем у второй вещественные точки -- эллиптические и несобственная линия -- нулевая, у третьей вещественные точки -- эллиптические и несобственная линия -- ненулевая, у четвертой же вещественные точки -- гиперболические. В рамках группы [5] --[6] поверхности различаются тем, что у первой несобственная линия -- нулевая, а у второй -- ненулевая; в рамках группы [7] -- [8] -- тем, что у первой вещественные точки -- эллиптические, а у второй -- гиперболические; в рамках группы [9] -- [11] -- тем, что у первых двух - несобственная линия есть пара мнимых, а у третьей -- пара вещественных прямых, причем поверхность [9] содержит только одну вещественную точку, а поверхность [10] -- бесконечное множество вещественных точек. Наконец, в рамках групп [12] -- [13] и [15] -- [16] поверхности различаются тем, что [12] и [15] суть пары мнимых, а [13] и [16] -- пары вещественных плоскостей. Так как все эти различия сохраняются при любых вещественных аффинно-проективных преобразованиях, то поверхности [1] -- [19] действительно принадлежат к различным вещественным аффинно-проективным классам, и теорема полностью доказана.

Очевидно, теорема 1 дает и аффинно-проективную классификацию поверхностей второго порядка в вещественном проективном пространстве, полученном путем пополнения евклидова пространства несобственными точками.

Сравнение этой теоремы с теоремой 2' предыдущей главы показывает, что в вещественном проективном пространстве проективные классы поверхностей второго порядка разбиваются на аффинно-проективные классы следующим образом:

Проективный класс, состоящий из «нулевой поверхности», остается и аффинно-проективным классом (поверхность [1]).

Проективный класс «овалоидов» (т. е. ненулевых поверхностей ранга 4 с эллиптическими вещественными точками или, что то же, проективных образов сферы) разбивается на три аффинно-проективных класса [2], [3] и [7]. Первый состоит из овалоидов, вовсе не пересекающихся с несобственной плоскостью, второй -- из пересекающихся с ней по овальной линии второго порядка и третий -- из касающихся несобственной плоскости в одной точке. Это -- не что иное, как, соответственно, эллипсоиды, двуполые гиперболоиды (пополненные несобственными точками, соответствующими асимптотическим направлениям) и эллиптические параболоиды (пополненные несобственной точкой, соответствующей особому направлению). Действительно, совокупность собственных точек поверхности [2], [3], [7] выражается в декартовых координатах соответственно, уравнением

[2'] , [3'] , [7'] ,.

Таким образом, эллипсоиды, двуполые гиперболоиды (пополненные своими несобственными точками) и эллиптические параболоиды (пополненные своей несобственной точкой) проективно эквивалентны, хотя и принадлежат различным аффинно-проективным классам.

Проективный класс «тороидов» (т. е. ненулевых поверхностей ранга 4 с гиперболическими вещественными точками или, что то же проективных образов однополого гиперболоида, пополненного своими несобственными точками) разбивается на два аффинно-проективных: класса: [4] и [8]. Первый состоит из тороидов, пересекающихся с несобственной плоскостью по овальной линии второго порядка, а второй - по паре вещественных прямых (так что несобственная плоскость есть касательная плоскость к тороиду [8] в точке пересечения указанных прямых). Это - не что иное, как, соответственно, однополый гиперболоид и гиперболический параболоид (пополненные своими несобственными точками). Действительно, совокупность собственных точек поверхности [4], [8] выражается в декартовых координатах X, У, Z, соответственно, уравнением

Таким образом, однополые гиперболоиды и гиперболические параболоиды (пополненные своими несобственными точками) проективно эквивалентны (хотя и принадлежат различным аффинно-проективным классам).

Проективный класс поверхностей второго порядка, вырождающихся в точку, распадается на два аффинно-проективных класса: и . Первый состоит из поверхностей, вырождающихся в собственную точку, а второй - из вырождающихся в несобственную точку.

Проективный класс конусов (т. е. невырожденных поверхностей ранга 3) распадается на четыре аффинно-проективных класса: [6], [10], [11] и [14]. Первый состоит из конусов, имеющих собственную вершину, а остальные - из конусов с несобственной вершиной, причем второй не содержит больше несобственных точек, третий пересекается с несобственной плоскостью по паре образующих, четвертый же касается несобственной плоскости вдоль одной своей образующей. Это - не что иное, как, соответственно, эллиптические конусы и эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры (пополненные все своими несобственными точками). Действительно, совокупность собственных точек поверхности [6], [10], [11], [14] выражается в декартовых координатах X, У, Z, соответственно, уравнениями

Таким образом, эллиптические конусы и эллиптические, гиперболические и параболические цилиндры (пополненные все своими несобственными точками) проективно эквивалентны, хотя и принадлежат различным аффинно-проективным классам.

Проективный класс поверхностей второго порядка, вырождающихся в прямую, разбивается на два аффинно-проективных класса: [12] и [15]. Первый состоит из поверхностей, вырождающихся в собственную прямую, а второй - из вырождающихся в несобственную прямую.

Проективный класс пар пересекающихся плоскостей распадается на три аффинно-проективных класса: [13], [16] и [18]. Первые два состоят из пар собственных плоскостей, пересекающихся, соответственно, по собственной или несобственной прямой, а третий -- из пар, образованных несобственной плоскостью и произвольной собственной плоскостью.

Наконец, проективный класс пар совпадающих плоскостей распадается на два аффинно-проективных класса: [17] и [19]. Первый состоит из пар собственных плоскостей, а второй образован дважды взятой несобственной плоскостью.

2.7.3 Аффинно-проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка

Теорема 2. Совокупность всех комплексных поверхностей второго порядка в комплексном проективном пространстве Q, полученном путем пополнения комплексного евклидова пространства несобственными точками, разбивается по отношению к группе всех комплексных аффинно-проективных преобразований пространства Q на десять аффинно-проективных классов. Представителями этих классов являются поверхности, выражаемые в какой-нибудь фиксированной однородной декартовой системе координат x , у , z , t , соответственно, уравнениями

Доказательство. Совершенно так же, как при доказательстве теоремы 1 (но не заботясь уже о вещественности выбираемых базисных точек), убеждаемся в том. что каждая поверхность второго порядка в пространстве Q представима в некоторой однородной декартовой системе координат одним из уравнений . Каждая поверхность второго порядка в Q принадлежит аффинно-проективному классу одной из десяти поверхностей, выражаемых уравнениями в какой-нибудь фиксированной однородной декартовой системе координат, причем эти аффинно-проективные классы попарно различны, поскольку поверхности отличаются друг от друга либо рангом самой поверхности, либо рангом ее несобственной линии. Тем самым теорема 2 доказана.

Таким образом, аффинно-проективная классификация комплексных поверхностей второго порядка совпадает с их классификацией по их рангам и рангам их несобственных линий.

Заключение

Таким образом, в работе рассмотрена полярная теория кривых второго порядка на проективной плоскости. Дана проективная классификация линий второго порядка, пучков второго порядка. Рассмотрены геометрические свойства овальной линии второго порядка.

Материал курсовой работы может быть использован для проведения спецкурсов и спецсеминаров по проективной геометрии. Отдельные параграфы могут найти применение при проведении факультативных занятий в школе с углубленным изучением математики.

Список использованной литературы

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979.

2. Болодурин B.C. Краткий курс лекций по геометрии. 4.2. Оренбург: ОГПУ, 2005.

3. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. М.: Учпедгиз, 1960.

4. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия. Т. 2. М., 1949.

Размещено на Allbest.ru