Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО УКРАЇНИ З ПИТАНЬ НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЙ ТА У СПРАВАХ ЗАХИСТУ НАСЕЛЕННЯ ВІД НАСЛІДКІВ ЧОРНОБИЛЬСЬКОЇ КАТАСТРОФИ

Академія пожежної безпеки ім. Героїв Чорнобиля

Кафедра вищої математики та інформатики

КУРС ЛЕКЦІЙ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

для підготовки фахівців за спеціальністю

№ 7.092801 „Пожежна безпека” (другий курс)

Автори:

д. ф-м. н. Професор Акіньшин В.Д.

к.ф-м.н., доцент Частоколенко І.П.

Черкаси 2010р.

Тема 1: Елементарна математика

Глава 1: Алгебра

§ 1. Основні поняття

Визначення. Алгебраїчним виразом називається одна чи декілька алгебраїчних велечин (чисел чи букв) з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій (+, -, :, v і т.п.) і знаками послідовності цих дій (різноманітними дужками).

Тотожністю називається така рівність двох алгебраїчних виразів, яка залишається вірним, якщо замість букв, які в неї входять, підставить будь-які величини, якщо ж рівність вірна тільки при підстановці деяких певних значень, то вона називається рівнянням.

Класифікація алгебраїчних виразів.

В кожному алгебраїчному виразі виділяються буквені величини -- основні, неосновні (інші букви називаються параметрами виразу).

Кожний алгебраїчний вираз відноситься до того чи іншого класу в залежності від дій над ними чи величин, що входять в цей вираз. В цілих раціональних виразах над основними величинами виконується тільки додавання, віднімання і множення (включаючи і піднесення в цілу додатню степінь).

В дробових раціональних виразах входить ділення на основні величини або піднесення у від'ємну степінь.

В ірраціональних виразах приєднується взяття кореня з основних величин (піднесення в дробову степінь).

В показникових виразах -- піднесення в степінь, яка містить основні величини.

В логарифмічних виразах -- логарифмування основних величин.

§ 2. Цілі раціональні вирази

а) Представлення у вигляді многочлена, тобто можна представити у вигляді многочлена за допомогою елементарних перетворень (приведеня подібних членів і прості алгебраїчні дії).

Приклад:

б) Розклад многочлена на множники, тобто представлення многочлена у вигляді множників.

Приклад:

1) .

2)

в) Формули скороченого множення.

§ 3. Дробові раціональні вирази

1) Приведеня їх до найпростішого вигляду.

Приклад: Приведення до найпростішого вигляду.



2) Винесення цілої частини.

Приклад: Винести цілу частину з:

тоді

3) Розкладення на елементарні дроби.

Приклад:

і т.д.

Перетворення пропорцій:

з рівності співвідношень

випливає

§ 4. Ірраціональні вирази: перетворення степенів і коренів

1) Приведення до нормального вигляду може бути виконано за допомогою:

а) скорочення показника;

б) винесення за знак кореня;

в) знищення ірраціональностей в знаменнику.

Приклад:

1)

2)

3)

4)

5)

2) Перетворення степенів і коренів:

; ; ; ;

; ; ;

.

Приклад.

§ 5. Показникові і логарифмічні вирази

Визначення. Логарифмом А числа N при основі а (позначається ) називається показник степеня, в який потрібно піднести «а», щоб отримати N. Відповідно із рівності випливає і у зворотньому напрямку із другої випливає перша.

Будь-яке додатнє число має при будь-якій додатній основі (крім одиниці) свій логарифм.

Знаючи логарифм чисел при основі а, можна визначити логарифми цих чисел при іншій основі b по формулі

де модуль переходу.

Зручно користуватися наступною формулою, яку легко запам'ятати: де у правій частині логарифми при будь-якій одній і тій же основі.

Основні властивості логарифмів при одній і тій же основі а ():

Логарифмуванням даної величини називається знаходження її логарифма, знаходження величини по її логарифму називається потенціювання.

Бувають:

1. Десяткові логарифми при основі 10. Записуються

2. Натуральні логарифми при основі

,

Перетворення логарифмічних виразів

Приклад.

Прологарифмувати вираз

§ 6. Рівняння

З одним невідомим повинно бути одне, його звичайно приводять до канонічного вигляду:

Приклад:

Рівняння 1,2,3 … степені і т.д.

-- лінійні рівняння.

Рівняння другого степеня: або

дискримінант або

Якщо : дискримінант менше нуля -- 2 рішення (2 дійсних кореня);

дискримінант дорівнює нулю -- 1 рішення (2 однакових кореня);

дискримінант менше нуля -- немає рішень (2 уявних кореня).

Розв'язки.

1. Розкладення лівої частини на множники, якщо це можливо:

або

Приклад:

Теорема Вієта: .

2. Застосування формул:

для

для

Властивості коренів квадратного рівняння:

§ 7. Трансцендентні рівняння

Рівняння називається трансцендентним, якщо хоча б одна із функцій не являється алгебраїчною.

Приклади:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

1. Показникове рівняння, одним зі способів його розв'язання є його логарифмування:

2. Логарифмічне рівняння. Такі рівняння можна звести до алгебраїчних.

Приклад:

або

3. Тригонометричні рівняння також можна звести до алгебраїчних.

Приклад:

або Отримаєм

і

не дає дійсних розв'язків рівняння.

4. Гіперболічні рівняння -- розв'язуються заміною і приведенням до алгебраїчних рівнянь.

Глава 2: Геометрія

1. Планіметрія -- плоскі фігури.

2. Стереометрія -- об'ємні фігури.

1) Размещено на http://www.allbest.ru/

2) Шар, конус, куб, піраміда, паралепіпед, циліндр.

Тетраедр -- 4 трикутника. Куб -- 6 квадратів. Октаедр -- 8 трикутників. Додекаедр -- 12 п'ятикутників. Ікосаедр -- 20 трикутників.

Глава3: Тригонометрія

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.

2.

1		+	+	+	+	+	+
2		+	-	-	-	-	+
3		-	-	+	+	-	-
4		-	+	-	-	+	-

Зворотні тригонометричні функціії.

Приклад.

	--
		--
			--
				--

;

Факторіал

Факторіалом цілого додатнього числа n позначається , називається добуток

Основні властивості факторіала:

Тема 2:Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії

§ 1. Матриці. Дії над матрицями

Матриця вперше з'явилась в середині ХІХ століття в роботах англійських математиків У. Гамільтона і А. Келі [У.Гамільтон, 1805-1865, ірландський математик, іноземний член Петербурзької Академії Наук, теорія Комплексних Чисел. Побудував систему чисел -- кватерніонів (чотири).; А. Келі, 1821-1895, англійський математик, іноземний член Петербурзької Академії Наук, праці по теорії і алгебрі, квадратичні формули, проекційна геометрія, математичний аналіз і астрономія], на даний момент широко використовуються в прикладній математиці, вони значно спрощують розгляд складних систем рівнянь.

Визначеня. Матрицею називається прямокутна таблиця, складена з чисел чи функцій. Ми будемо розглядати тільки дійсні числові матриці. Така матриця має вигляд:

або або або (5) (1.1)

( ) -- знак матриці. В загальному вигляді матриці можна записати наступним чином:

(1.2)

Отже, елемент матриці має два індекси: перший -- номер строки, другий -- стовпця. Можна записати , таким чином

Кожна матриця має певні розміри, тобто кількість рядків і стовпчиків в (1.1) і (1.2) чим і визначається розмір матриці: (2х3), (3х3), (4х1), (1х1), (m x n). При m=n матриця називаєть-ся квадратною, яка має порядок m або n, оскільки вони рівні.

Визначення. Матриця, у якої всі елементи рівні нулю, називається нульовою. Квадрат-на матриця, у якої всі елементи рівні нулю, крім елементів, що стоять на головній діагоналі (яка проходить від верхнього лівого кута у правий нижній кут), називається діагональною і позначається diоg (a,b,…,k). Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці називається одиничною:

(1.3)

Матриці А і В будуть рівні, якщо однакові розміри і відповідні елементи, тобто .

Матриці одного й того ж розміру, тобто які складаються з однакової кількості рядків і стовпчиків алгебраїчно складають.

Сумою двох матриць і називається матриця , елементи якої рівні сумі відповідних елементів матриці і , . Символічно це запису-ють (1.4). Виконується закон: (1.5).

Щоб помножити матрицю А на число , потрібно на це число помножити кожний елемент матриці:

 (1.6)

Наслідок: якщо всі елементи матриці мають спільний множник, то його можна виносити за знак матриці.

Визначення. Матриця називається транспонованою, якщо зробити її строки стовпчиками з тими ж самими номерами, тобто

або (1.7)

Властивості транспонованих матриць:

(1.8)

Визначення: Добуток матриць. Дві матриці можна перемножити, якщо число стовпчиків першого множника дорівнює числу строк другого:

Приклад:

В загальному випадку, якщо якщо ми множимо матрицю розміру m x n на матрицю розміру n x p, ми отримаємо матрицю розміру m x p, елементи якої будуть обчислюватись по формулі: (1.9)

Завжди можна перемножити 2 квадратні матриці одного порядку, в результаті отримаємо квадратну матрицю того ж порядку, тобто можна помножити квадратну матрицю саму на себе, тобто піднести матрицю у квадрат, чого не можна зробити з прямокутною матрицею.

Іншим важливим частковим випадком є множення строчної матриці на стовпчикову, причому ширина першої повинна бути рівна висоті другої, що дає квадратну матрицю першого порядку, тобто число

Властивіть добутків матриць:

(1.10)

але!

§ 2. Визначники та їх властивості

До поняття визначника приходимо, розглядаючи системи алгебраїчних рівнянь першого степеня. Розглянемо систему рівнянь:

(2.1)

x та y -- невідомі, роз'язуючи її отримаємо систему:

 (2.2)

Вираз -- називається визначником (детермінантом) другого порядка і записується так:

(2.3)

де -- знак визначника.

Таким чином в кожній квадратичній матриці можна поставити у відповідність число, яке називається визначником матриці

(2.4)

Визначник другого порядка:

(2.5)

допоміжна головна діагональ

діагональ

Визначником третього порядка називається число, утворене так:

(2.6)



- - - + + +

Перетворення виразу (2.6) і застосування (2.3) приводить до формули:

(2.7)

По аналогії з формулою (2.7) визначається визначник четвертого порядка:

Аналогічно визначник п'ятого порядка і т.д.:

Властивості визначників

Будемо розглядати властивості визначників на основі визначників 3-го порядка, вони будуть справедливі для визначників будь-якого порядка.

1). Визначник не зміниться, якщо його транспонуювати.

 (2.8) Довести її самостійно.

2). Якщо переставить місцями два паралельних ряда (строки чи стовпця), то визначник змінить знак:

і т.д. (2.9)

3). Якщо визначник має два однакових ряда -- то він дорівнює нулю.

(2.10)

4). Визначник, що має нульовий ряд дорівнює нулю.

5). Спільний множник, що є у всіх елементах одного ряда, можна винести за знак визначника.

(2.11)

Наслідок: для множення визначника на число достатньо помножити на це число елементи одного рядка (строки чи стовпця).

6). Якщо всі елементи якого-небуть рядка представити у вигляді суми двох доданків, то увесь визначник можна представить у вигляді суми двох визначників по формулі:

 (2.12)

7). Визначник дорівнює нулю, якщо елементи двох рядків пропорційні:

якщо (2.13)

8). Якщо до кожного з елементів якого-небуть ряда додати числа, пропорційні другому ряду, паралельного першому, то значення визначника не зміниться.

(2.14)

Мінор і алгебраїчне доповнення визначника

Мінором називається визначник, складений з елементів даного визначника, якщо в ньому викреслити строку і стовпчик на перехресті якої стоїть елемент :

і т.д. (2.15)

Алгебраїчним доповненням елемента називається мінор цього елемента, помножений на множник .

 (2.16) і т.д.

Теорема: сума добутків елементів ряда визначника на відповідні їм алгебраїчні доповнення дорівнює визначнику

Приклади.

Всі ці властивості застосовуються при обчисленні визначників.

Обчислити Обчислити.

Для цього за допомогою застосування властивості 8 зробити в якому-небуть з рядів всі елементи, крім одного, рівними нулю: тоді розкладаючи отриманий визначник по елементам цього ряда отримаєм лише один доданок. Так, якщо ми хочем у третій строкі визначника залишити відмінний від нуля елемент лише на другому місці, то потрібно другий стовпчик помножити на (-2) і додати до першого, а потім в отриманому визначнику другий стовпчик додати до третього.

Отримаєм:

(віднімемо другу строку

з першої )

§ 3. Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь матричним способом

Визначення. Матриця називається оберненою матриці , якщо їх добуток , тобто рівний одиничній матриці.

Якщо квадратна матриця має зворотню матрицю, то вона єдина, цю матрицю позначають . Умовою існування зворотньої матриці є . Завжди (3.1) (3.2)

Тобто матриці і взаємозворотні. Побудуєм обернену матрицю для довільної квадратної матриці третього порядка:

, .

-- алгебраїчне доповнення у визначнику .

Алгебраїчні доповнення елементів визначника задовольняють наступним тотожностям:

(3.3)

при

Неважко переконатись, що оберненою матрицею по відношенню до матриці служить матриця:

(3.4)

В силу тотожностей (3.3) маємо:

; ,

що і треба було довести.

Необхідно звернути увагу на порядок індексів у матриці (3.4) -- транспоновані.

Матриця, побудована з алгебраїчних доповнень елементів визначника квадратної матриці , в якій алгебраїчні доповнення строк розташовані по стовпцям і навпаки, називається приєднаною матрицею матриці і позначається :

(3.5)

Тоді (3.6)

Приклад: .

Систему лінійних рівнянь перешого степеня можна записати у вигляді одного матричного рівняння:

позначимо

, ;

Тоді отримаєм матричне рівняння:. (3.7), якщо помножити на , то отримаєм

(3.8)

Звідси:

(3.9)

§ 4. Вектори. Лінійні операції над векторами, лінійні залежності векторів

Визначення: У фізиці векторними величинами або векторами називаються ті, які характеризуються не тільки їхнім числовим значенням, але й напрямком у просторі (швидкість, сила, прискорення).

Величини, які характеризуються тільки величиною, називаються скалярними або скалярами.

У математиці вводять поняття абстрактного математичного вектора, у якому збережені: величина, що характеризується позитивним числовим значенням, і напрямок. Довжина відрізка в обраних одиницях масштабу дорівнює числовому значенню -- модулю вектора, а напрямок відрізка вказується стрілкою, збігається з напрямком цього вектора.

Отже, задати вектор -- це задати його модуль і напрямок у просторі.

Вектор називається нульовим, якщо його довжина дорівнює нулю, йому приписується будь-який напрямок.

Вектор називається одиничним, якщо його довжина дорівнює одиниці.

Ортом вектора називається одиничний вектор, що має той же напрямок що й вектор.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих і їх напрямки паралельні.

Два вектори називаються протилежними, якщо вони мають однакові довжини, але протилежні по напрямку.

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Два вектори називаються рівними, якщо вони мають однакові довжини й однакові напрямки.

Позначаються й т.д.

Якщо відомо початок вектора А і кінець В, то . Нульовий , орт вектора .

Довжина вектора . , якщо і і мають однакові напрямки.

І. Додавання векторів.

До лінійних дій над векторами відносяться їхнє додавання (віднімання) і множення вектора на скаляр (число).

Додавання двох векторів визначається за правилом паралелограма.

При додаванні векторів справедливий перестановчий закон

.

Додавання вектора й скаляра неможливо.

Обчислити який-небудь вектор - це значить додати протилежний.

ІІ. Множення вектора на скаляр.

Добуток = вектора на безрозмірний скаляр : Якщо >0, то це вектор, отриманий з розтяганням (збільшенням) в раз без зміни напрямку, якщо ж <0, то треба розтягти в || раз і змінити напрямок на протилежний.

.

Звідси випливають властивості:

1) (-1) = -- . 2) 0 =0. 3) ( )=() .

4) (+) = + . 5) . 6) .

7) . 8) , n>0 і ціле.

Для простоти вважаємо всі вектори й скаляри безрозмірними величинами.

ІІІ. Лінійні комбінації векторів.

Нехай дано кілька векторів: , тоді всякий вектор, що має вид , де , , -- деякі скаляри, називаються лінійною комбінацією векторів . Говорять: вектор лінійно виражається через , тобто виходить із них за допомогою лінійних дій.

Визначення: Задані вектора називаються лінійно залежними, якщо який-небудь із цих векторів лінійно виражається через інші; у протилежному випадку ці вектори називаються лінійно незалежними (між собою).

Два вектори називаються лінійно залежними тоді й тільки тоді, якщо вони паралельні один одному, тобто , те .

Якщо вектори протилежні, то <0.

Три вектори лінійно залежні тоді й тільки тоді, коли вони паралельні одній площині.

Нехай . Усі з одного початку «0». Через вектора й одна площина Р, і лежать теж у цій площині «Р» і їхня сума також буде в цій площині, тобто у вихідному положенні були паралельні площини Р.

Таке розкладання називається розкладанням вектора по двох непаралельних векторах.

Чотири або більше вектори завжди лінійно залежні.

Якщо ці вектори лежать в одній площині, то див. задачу про три вектори.

Нехай тепер не лежать в одній площині. Проводимо через точку D (кінець вектора ) пряму, паралельну до перетину із площиною, у якій лежать вектора й . Це точка C, потім через точку C проводимо пряму, паралельну до перетину із прямою на якій лежить у точці В. Тоді

. (4.1)

Це подання називається розкладанням вектора по трьох векторах, не паралельним одній площині: воно ж називається розкладанням вектора по трьох осях (на мал. ll, mm, nn). Такі розкладання застосовуються в прикладних дисциплінах.

Кожний з доданків називається складовою або компанентою вектора по відповідній осі. Розкладання (4.1) можна здійснити лише єдиним способом.

§ 5. Поняття базису. Координати векторів. Єдиність координат. Афінна система координат. Складова й проекція вектора на вісь. Властивості проекцій. Декартова прямокутна система координат

Визначення: Сукупність лінійно незалежних векторів, по яких відбувається розкладання інших векторів, називається базисом.

Отже, у площині можуть служити базисом 2 вектори, не паралельні один з одним, а в просторі - будь-які 3 вектори, не паралельні одній площини.

Якщо -- базис, то у формулі (4.1) набір чисел , , однозначно визначає вектор і навпаки, у такий спосіб , , є координатами в базисі .

Якщо вектора складаються, то їхні координати в деякому базисі складаються.

Якщо вектор множиться на скаляр, то кожна координата множиться на це ж число.

. (5.1)

Таким чином, якщо в просторі вибрати точку «О» і з неї базис із векторів , то говорять, що в просторі задана система координат, точка «О» початок координат.

Визначення: Якщо вектора мають різні довжини й довільні напрямки, то система координат називається афінною.

Якщо ж вектори мають довжини, рівні 1, і ці вектори взаємно перпендикулярні, то система називається декартовою прямокутною.



. М -- характеризується 3-ма числами.

Нехай у декартовій системі координат заданий вектор (x,y,z), тоді ребра паралелепіпеда будуть |x|, |y|, |z|.

Довжина вектора | | -- це діагональ паралелепіпеда.

. (5.2)

Кути , , -- кути вектора з осями х, y, z відповідно

(5.3)

Визначення: сos , , називаються направляючими косинусами вектора й

. (5.4)

Вектор у декартовій системі координат запишеться

, (5.5)

де a_x, a_y, a_z -- проекції векторів на відповідні осі.

Визначення: Проекцією вектора на вісь l називається довжина відрізка ТN між основами перпендикулярів, опущених із точок Т і М на вісь l: причому додатньої, якщо ТМ збігається с l и навпаки -- від'ємної. Аналогічно визначається проекція одного вектора на іншій.

Властивості проекцій:

1. Знаки «+» або «--» проекції вказують, чи йде вектор уперед або назад стосовно осі. Проекція дорівнює 0 (тобто Т збігається з N) тоді й тільки тоді, коли .

2. При паралельному переносі вектора його проекція не змінюється.

3. . (5.6)

4. Скалярний множник можна винести за знак проекції

. (5.7)

5. Проекція суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) проекцій

. (5.8)

Визначимо відстань між двома точками М₁(х₁,y₁,z₁) і М₂(х₂,y₂,z₂).

Вектор .

. (5.9)

§ 6. Скалярний добуток векторів. Визначення, властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування

Визначення: Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними

. (6.1)

Таким чином, скалярний добуток двох векторів є скаляр.

Скалярний добуток більш ніж 2-х векторів не розглядається.

Застосовуючи формулу (5.6) можна одержати

. (6.2)

Скалярний добуток 2-х векторів дорівнює добутку модуля одного вектора на проекцію іншого. Розмірність скалярного добутку дорівнює добутку розмірностей його множників.

Властивості скалярного добутку

А. Алгебраїчні властивості:

.

.

, якщо , і дорівнює 0, якщо .

.

5. .

Б. Геометричні властивості:

1. при , тому що .

2. Скалярний добуток більше 0 при й менше 0 при .

В. Вираження скалярного добутку через координати векторів співмножників

У просторі задана система координат . У цьому базисі маємо

. (6.3)

Г. Застосування скалярного добутку

Скалярний добуток використовують для з'ясування умов перпендикулярності векторів

якщо або

x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0.

2. Скалярний добуток використовують для знаходження довжин векторів

, .



Нехай у базисі векторів і має вигляд =2 -- , причому | |=3, | |=2, . Знайти довжину вектора .

Скористаємося формулою

За допомогою скалярного добутку обчислюють роботу

.

4. Скалярний добуток можна використати при знаходженні проекції вектора на вектор

.

5. Скалярний добуток використовують для визначення кута між векторами й

§ 7. Ранг матриці. Еквівалентні перетворення матриці Трапецевидна матриця і її ранг. Обчислення рангу матриці

Визначення: Нехай дана матриця А=(mn), тоді мінором порядку «k» називають визначник, складений з елементів цієї матриці, якщо в неї викреслити (m--k) рядків й (n--k) стовпців, причому km й kn.

Приклад: Щоб у матриці А=(54) одержати мінор k=3, потрібно викреслити 2 рядка й один стовпець, наприклад маємо матрицю А=(23).

А= .

Написати всі мінори 2-го порядку.

М₁₁= , М₁₂= , М₁₃= .

Число «r» називається рангом матриці А=(mn), якщо:

У цій матриці знайдеться мінор порядку «r», відмінний від нуля.

Будь-який мінор порядку (k+1) і більш високого порядку цієї матриці дорівнює 0.

Приклад: Знайти ранг матриці А= .

М₁₁= =0, М₁₂= =0, М₁₃= =0.

Ранг матриці не дорівнює 2, а вектор 1, тому що |1|=10, у такий спосіб r(А)=1.

Визначення: Мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці й відмінний від «0», називається базисним мінором.

Приклад: А= , М= -- базисний мінор r(А)=2.

Базисних мінорів у матриці може бути кілька. Рядки й стовпці матриць, на перетині яких перебуває базисний мінор, називаються базисними рядками й базисними стовпцями.

Трапецевидна матриця і її ранг

Визначення: Матриця А=(mn) називається трапецевидною, якщо існує таке число l, що: 1) елементи а₁₁, а₂₂, …, а_ll -- не рівні 0 (l<m)(l<n), 2) елементи матриці, що стоять під елементами а₁₁, а₂₂, …, а_ll, a_l,l+1, …, a_ln (l<m), усі рівні 0, 3) елементи матриці, що стоять під елементами а₁₁, а₂₂, …, а_l--1,l--1 (l=m), усі рівні 0.

1.2.

(l<m)

Приклад:

А= , А=(45), r(А)=3, а₁₁=1, а₂₂=2, а₂₃=3, l=3.

Ранг трапецевидної матриці дорівнює l. Дійсно, мінор порядку l має вигляд

, r(А)=l

Еквівалентні перетворення матриці. Перехід до трапецевидної матриці того ж рангу.

Визначення: Матриця А називається еквівалентною матриці А, якщо вона отримана з матриці А за допомогою наступних операцій:

1) перестановка 2-х стовпців (або рядків); 2) додавання до елементів деякого рядка елементів іншого рядка, помножених на те саме число.

Справедливе твердження - еквівалентні матриці мають однакові ранги. Для підрахунку рангу матриці від даної матриці переходять до еквівалентної, домагаючись того, щоб через кілька кроків одержати трапецевидну матрицю. При кожному кроці ранг матриці не змінюється. Одержавши трапецевидну матрицю ми легко порахуємо ранг цієї матриці. Тим самим ми знайдемо ранг вихідної матриці. Покажемо як здійснюється перехід до трапецевидної матриці, переходячи до еквівалентної.

Нехай А= . Розглянемо перший рядок матриці.

Якщо всі елементи цього рядка рівні 0, переставляємо її на останнє місце. Інтерес становить випадок, коли в першому рядку є елементи, не рівні 0. Поміняємо стовпці місцями так, щоб елемент першого рядка не рівний 0, виявився на першому місці, у такий спосіб вважаємо а₁₁0.

За допомогою множення першого рядка на деяке число й додавання цього добутку до другого рядка, домагаємося, що на місці а₂₁ буде 0.

.

Множачи перший рядок на деяке число, можемо домогтися, щоб на місці а₃₁ стояв 0 і під а₁₁ були одні 0. Таким чином, перший рядок і перший стовпець перетворені. Припускаємо, що в другому рядку є елемент не рівний 0, перемістимо його на а₂₂, а під ним утворимо нулі й т.д.

Приклад: Обчислити ранг матриці

А=

r(А )=3, r(А)=(А )=3.

§ 8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

1. Будемо розглядати систему з «m» лінійних алгебраїчних рівнянь із «n» невідомими

(8.1)

Рішенням такої системи називається такий набір чисел х₁, х₂, …, х_n, що при підстановці яких у рівняння системи воно обертається в рівність.

Якщо система (8.1) має рішення, то вона називається сумісною, якщо не має, то -- несумісною.

Розглянемо для системи (8.1) матриці А и А *

A= й A *= . (8.2)

Матриця А складена з коефіцієнтів при невідомих і вона називається основною матрицею. Матриця А * виходить із А додаванням стовпця з вільних членів -- називається розширеною матрицею системи.

Теорема Кронекера-Капелі.

(Кронекер Леопольд (1823-1891) німецький математик, іноземний член-кореспондент Петербурзької АН (1872 р.). Праці по алгебрі й теорії чисел).

Система (8.1) сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці. (без доказу).

Наслідок. Якщо система сумісна, то ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної.

ІІ. Формула Крамера.

(Крамер Габріель (1704-1752), швейцарський математик. Праці по теорії алгебраїчних рівнянь (правило Крамера) і геометрії).

Теорема. Якщо визначник системи (8.1) не дорівнює нулю =|a_kl|0, де k=(1m), l=(1n), то система (8.1) має єдине рішення, що обчислює по формулі

, де j=(1n), (8.3)

де _j -- визначник, одержаний з визначника , якщо в ньому замінити числа j-го стовпця відповідно на числа b₁, …, b_n

_j = , (m=n) (8...4)

Приклади:

1. .

2.

=0. Матриця А= або r=1 і матриця А * = -- має r=2, тому що r(А *)>r(А), те система не має рішень.

3. А= , =0, r(А)=1, А *= , r(А *)=1,

тому що r(А)=r(А *), те буде одне рівняння

2х+2y=2 y=1--x^(*).

Це значення y дає всі рішення системи рівнянь. Ми можемо задати будь-яке х (--; +) і обчислити y по формулі (*). Множина всіх систем (х, х--1), де х(--; +) складає множину рішень вихідної системи.

Приклад 3.

Матриці А= й А *= мають r(А)=r(А *)=2.

Виберемо із цієї системи 2 рівняння, так щоб ранг матриці з коефіцієнтів цих рівнянь був рівний 2.

Перенесемо в праві частини цих рівнянь одне з невідомих так, щоб коефіцієнти при залишившихся невідомих утворювали матрицю, у якої r=2. У нас можна перенести х або y. Отже, неоднорідна система

Тому вона має єдине рішення

Таким чином, трійка чисел (1--y, y, 0) при всякому y=(--,) дає рішення шуканої системи й автоматично рішення 3-го рівняння системи.

§ 9. Метод Гауса

(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) іноземний член Петербурзької АН (1824), німецький математик. Праці: вища алгебра, диференціальна геометрія, математична фізика, геодезія, астрономія, особливий внесок у теорію електрики й магнетизму).

Цей метод рішення системи рівнянь шляхом виключення невідомого.

Нехай дана система:

(9.1)

Розглянемо будь-яке рівняння системи, наприклад 1-ше, якщо всі коефіцієнти рівні 0, то рівняння переставляється на останнє місце, але якщо всі коефіцієнти при невідомих дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює 0, тобто

0x₁+…+0x_n=b₁0,

то рівняння рішень не має й система рішень не має й на цьому рішення припиняється.

Тому становить інтерес випадок, коли в 1-му рівнянні хоча б один коефіцієнт не був рівний нулю, нехай а₁₁0, тоді використовуючи 1-ше рівняння, ми можемо домогтися того, що в інших рівняння буде відсутній х₁, після цього переписуємо 1-ше рівняння й інші, у яких немає х₁ і переходимо до другого, виключаємо х₂ з 3-го й 4-го рівнянь і т.д.

Таким чином, застосовуючи метод Гауса, провівши кінцеве число кроків й у випадку якщо система сумісна, одержимо систему виду:

(9.2)

Якщо l=n, то r(А)=n.

Тоді останнє рівняння буде мати вигляд

. (9.3)

У передостаннім рівнянні буде 2 невідомих х_n--₁ і х_n. Підставляючи з останнього х_n знайдемо х_n--₁, і т.д. дійшовши до 1-го рівняння, знайдемо х₁. Система буде вирішена й одержимо один набір значень. Якщо l<n, тоді з останнього знаходимо х_l, воно виражається через х_l=f(х_l+1, …, х_n), підставляючи в передостаннє, знайдемо х_l--₁ через ті ж самі невідомі й так дійшовши до х₁ -- також виражені через ці невідомі. Тоді одержимо х₁, х₂, …, х_l -- базисні невідомі, а х_l+1, …, х_n -- вільні невідомі.

Ми виразили базисні через вільні.

У цьому випадку вільним невідомим ми можемо самі надавати довільні значення, а для базисних знаходити значення з виразу через вільні.

Тому що число вільних не дорівнює нулю (l<n), то й рішень буде нескінченна множина.

Якщо r(А)=r(А *), у цьому випадку може трапитися, що r(А)=n, тоді користуючись методом Гауса, ми одержимо l=n. У цьому випадку всі невідомі будуть базисними й система має одне рішення.

Якщо ж r(А)=r(А *), але r(А)<n, то в цьому випадку l<n -- базисних невідомих число вільних невідомих буде n--l0 і система має нескінченну кількість рішень.

Таким чином, метод Гауса складається в приведенні розширеної матриці системи (А *) до трапецевидного виду. При цьому не допускається перестановка стовпця з вільних членів з іншими стовпцями.

Приклад: Користуючись методом Гауса вирішити систему.

1.

дана система не має рішень.

2.

x₃=-2, x₁=1--x₂,



.

Метод Гауса дає можливість перейти від даної системи (9.1) до системи з «r» рівнянь (у випадку якщо система сумісна) і виразити базисні невідомі через вільні.

Метод Гауса опирається на наступні елементарні перетворення системи:

1) Перестановка рівнянь системи.

2) Зміна нумерації невідомих у системі.

3) Додавання до рівняння системи інших її рівнянь, коефіцієнти яких помножені на те саме число.

У результаті чого одержуємо систему, рівносильну вихідній.

§ 10. Рішення систем лінійних однорідних рівнянь

Визначення: Алгебраїчні лінійні рівняння називаються однорідними, якщо в них вільний член дорівнює нулю.

Розглянемо таку систему, що має вигляд:

(10.1)

Ця система завжди сумісна, тому що її рішенням є набір х₁=0, х₂=0, …, х_n=0 -- який називають нульовим рішенням.

Розглянемо матрицю А цієї системи

A= . (10.2)

Якщо r(А)=n, то базисних невідомих буде n й у цьому випадку система має одне рішення -- це рішення нульове. Якщо r(А)=l, а l<n, то система має нескінченно число рішень, у цьому випадку l базисних виражаються через n--l вільних невідомих.

Допишемо до цієї системи очевидні рівності

. (10.3)

Таким чином, невідомий вектор є лінійною комбінацією векторів і т.д.

Якщо r(А)=l=n -- то система має одне рішення. Якщо r(А)=l<n -- то нескінченну множину.

§ 11. Векторний добуток векторів. Визначення. Властивості, вираження через координати векторів співмножників. Застосування

І. Визначення: 3-х векторів. Трійка векторів називається впорядкованою, якщо відомо, який із цих векторів 1, 2, 3 і називається правою, якщо обертання 1-ого вектора до другого по найменшому куту між ними (спостерігаємо з кінця 3-ого ) відбувається проти часової стрілки й лівої, якщо по часовій.



Рис.1

ІІ. Визначення: Векторним добутком вектора на вектор називається новий вектор , що позначається

= (11.1)

і обумовлений наступними трьома умовами:

1. Модуль вектора | | дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах й (після сполучення їх початків), тобто

. (11.2)

2. Вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма (тобто перпендикулярний обом векторам й ).

3. Вектор спрямований у ту сторону від цієї площини, що найкоротший поворот від до навколо (після сполучення всіх початків векторів у точці) здається направленим проти часової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора , тобто права трійка векторів.

(11.3)

ІІІ. Властивості векторного добутку

1. Векторний добуток двох векторів дорівнює нулю, якщо один з них або обидва є нуль-векторами або ж це колінеарні вектори, тобто =0 або =

. (11.4)

2. При перестановці місцями векторів-співмножників векторний добуток змінює знак, тобто перетворюється в протилежний вектор (мал.2)

. (11.5)

3. Векторний добуток має розподільну властивість

. (11.6)

4. Щоб помножити векторний добуток двох векторів на довільний множник, досить помножити на нього один з векторів, що перемножують, (будь-який):

. (11.7)

IV. Вираження векторного добутку через координати векторів співмножників.

(11.8)

(11.9)

Тоді

(11.10)

або

. (11.11)

Приклад: =(-1,2,4), =(1,0,3). ?

.V. Застосування векторного добутку.

За допомогою векторного добутку знаходять площу трикутника:

. (11.12)

Якщо трикутник заданий координатами вершин, то потрібно попередньо знайти вектори двох будь-яких його сторін по заданих координатах, а потім скористатися формулою (11.12).

Приклад: Знайти площу трикутника з вершинами А(2,-1,3), В(1,3,-5), С(0,-2,-3).

§ 12. Мішаний добуток векторів. Визначення. Геометричний зміст. Вираження через коефіцієнт. Застосування

І. Визначення: Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду , де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться скалярно на третій вектор. Це скалярна величина.

Абсолютне значення мішаного добутку некомпланарних векторів і дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, а знак його залежить від орієнтації векторів (права трійка -- «+», ліва -- «--»).

-- площа основи, Sccos -- об'єм.

ІІ. Властивості мішаного добутку 3-х векторів.

1. Мішаний добуток дорівнює нулю коли:

а) і -- компланарні, якщо їх випустити з однієї точки, то вони будуть в одній площині V=0;

б) два з векторів, що перемножуються, колінеарні;

в) хоча б один з векторів є нуль-вектор.

2. Мішаний добуток не змінюється, якщо:

а) перемножувані вектори переставляти в круговому порядку

. (12.1)

б) поміняти місцями знаки векторного й скалярного множення

. (12.2)

3. Перестановка в мішаному добутку будь-яких двох векторів змінить лише його знак

. (12.3)

ІІІ. Вираження мішаного добутку векторів через їхні координати.

Розкладемо перемножувані вектора по ортах:

.

Тоді

. (12.4)

Або, якщо їх розкласти по елементах першого рядка, одержимо:

.

Таким чином, одержали скалярний добуток вектора на вектор .

IV. Застосування мішаного добутку векторів.

1. Обчислення об'єму чотиригранної піраміди (тетраедра).

Об'єм такої піраміди дорівнює одній шостій об'єму паралелепіпеда, побудованого на його збіжних в одній вершині ребрах. Об'єм цього паралелепіпеда шукається по формулі (12.4) як абсолютна величина мішаного добутку трьох векторів, загальний початок яких перебуває в одній з вершин піраміди, а кінці - в інших 3-х її вершинах.

Якщо вершинами піраміди служать крапки М₁, М₂, М₃, М₄, то думаючи , обчислюємо об'єм піраміди по формулі

. (12.5)

Приклад: Вершини М₁(1,2,3), М₂(0,-1,1), М₃(2,5,2), М₄(3,0,-2). V=?

Рішення:

2. Умова компланарності трьох векторів.

Три вектори і компланарні тоді й тільки тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює 0

(12.6)

або

. (12.7)

§ 13. Пряма на площині. Площина в просторі

Пряма в просторі

І. Пряма на площині

1. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору



Нехай на площині ХО задана точка М₀(х₀,y₀) і вектор (A,B). Запишемо рівняння прямої, що проходить через М₀ перпендикулярно вектору .

Рівнянням прямої буде таке рівняння, якому задовольнять координати кожної точки, що лежить на цій прямій, і не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій прямій. Для складання рівняння візьмемо точку М(х,y). Розглянемо вектор (x--x₀,y--y₀). Тоді для прямої необхідна умова

( )=(x--x₀)A+(y--y₀)B=0. (13.1)

Це і є шукане рівняння.

2. Загальне рівняння прямої. Пряма як лінія першого порядку. Окремі випадки рівняння прямої.

З рівняння (13.1) одержимо, розкривши дужки

Ax+By--Ax₀--Bx₀=0 Ax+Bx+C=0. (13.2)

число

Рівняння (13.2) і є загальне рівняння прямої на площині.

Зауваження: Лінія, рівняння якої є рівняння першого степеня, називається лінією першого порядку.

Якщо дано рівняння першого степеня, то коефіцієнти при змінних х и y -- це А и В, які є коефіцієнтами вектора перпендикулярного цій прямій.

Приклад: 5х--7y+8=0, те (5,-7).

Рівняння прямої, що проходить через дану крапку паралельно даному вектору.

Нехай пряма проходить через дану крапку М₀(х₀,y₀) паралельно даному вектору (m,n). Тоді

. (13.3)

Це умова паралельності векторів.

Приклад: М₀(5,7), =(-2,3) те рівняння прямої буде

3х+2y--29=0.

4. Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Тоді

. (13.4)

5. Параметричне рівняння прямих.

Нехай дане рівняння . Тоді

(13.5)

Це і є параметричне рівняння прямої, де t -- параметр.

Приклад: М₀(5,7), =(-2,3).

6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма задана рівнянням

, n0.

Помножимо на «n», одержимо

n/m(x--x₀)=y--y₀,

n/m -- кутовий коефіцієнт, рівний k,

k=tg,

де -- кут нахилу прямої до осі ОХ. Тоді

y--y₀= k(x--x₀). (13.6)

Це і є рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку. Тоді

kx--kx₀= y--y₀ y=kx+b,

де b=y₀--x₀.

7. Нормоване рівняння прямої.

Нехай на площині дана пряма, не перпендикулярна осям координат.

Позначимо через Р довжину перпендикуляра , -- кут .

Знаючи Р и напишемо рівняння цієї прямої, розглядаючи радіус вектор , тоді проекція на буде

або ,

| |=1, але ₀=(cos,sin). Тоді можна записати

, (x,y)(cos,sin)=P,

xcos+ysin=P. (13.7)

Це і є нормоване рівняння прямої. A= cos, B= sin.

8. Відстань від точки до прямої на площині.

Задано пряму L, її рівняння Ах+Вy+С=0 і дана точка М₀(х₀,y₀). Необхідно знайти d -- відстань від точки М₀ до прямої L. Проведемо через М₀ пряму перпендикулярну L й одержимо М₁(х₁,y₁)

.

Але х₁ й y₁ -- невідомі. Тоді зробемо так, рівняння прямої NL і минаючої через М₀(х₀,y₀) може бути записане у вигляді

В(х-х₀)-А(y--y₀)=0.

Координати точки М₁(х₁,y₁), у якій перетинаються прямі L й N повинні задовольняти рівнянням обох цих прямих, тобто

(*)

До першого рівняння додамо й віднімемо Ах₀+Вy₀. Тоді

(**) А(х₁-х₀)+В(y₁--y₀)= --(Ах₀+Вy₀+С).

Для відшукання d піднесемо до квадрата другу з рівностей (*) і (**) і складемо почленно, одержимо

(A²+B²)[(x₁--x₀)²+(y₁--y₀)²]=(Ax₀+Bx₀+C)².

d²

Тоді

. (13.8)

Приклад: М₀(1,-4). Визначити її відстань до прямої 4х--3y+12=0.

.

9. Рівняння прямої у відрізках (самостійно).

Припустимо, що відомо координати точок перетину прямої з осями координат: а -- з віссю ОХ, b -- з віссю ОY (їх називають відрізками прямої на осях координат). Складемо за цим даними рівняння прямої. Тому що нам відомі М₁(а,0), М₂(0,b) через які проходить пряма, то можна написати рівняння

. (13.9)

Це рівняння називається рівнянням у відрізках. Його використовують тоді, коли за параметри, що визначають положення прямої на координатній площині зручно прийняти відрізки, що відтинають пряма на осях координат.

10. Кут між прямими.

Нехай дані дві прямі

A₁x+B₁y+C₁=0 A₂x+B₂y+C₂=0

. (13.10)

Наприклад:

Зауваження: 1) Прямі перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли cos=0, тобто А₁А₂+В₁B₂=0

=₂--₁,

. (13.11)



Якщо прямі паралельні, то tg=0, тобто k₂=k₁, а перпендикулярні, то 1+

k₁k₂=0, .

ІІ. Площина в просторі

1. Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно даному вектору

Нехай площина проходить через точку М₀(х₀,y₀,z₀) і перпендикулярна =(A,B,C).

Візьмемо на площині точку М(х,y,z), тоді .

A(x--x₀)+B(y--y₀)+C(z--z₀)=0. (13.12)

2. Загальне рівняння площини. Площина як поверхня першого порядку. Окремі випадки загального рівняння.

Перетворимо рівняння (13.13). Одержимо

Ax+By+Cz+D=0, (13.13)

де D= --(Ax₀+By₀+Cz₀)=const.

Це загальне рівняння площини, бачимо, що воно першого степеня відносно х, y, z.

Справедливо й зворотне твердження: усяке рівняння першого степеня відносно х, y, z є рівнянням площини.

Окремі випадки розглянути самостійно.

1. А=0 By+Cz+D=0 площина паралельна осі ОХ; В=0 || OY, С=0 || OZ.

2. D =0 -- площина проходить через початок координат.

3. А=В=0 Cz+D=0-- площина паралельна осям ОХ й ОY, тобто паралельна ХОY і перпендикулярна OZ рівняння z=С.

А=C=0 ОY, В=C=0 ОХ й y=b, x=a.

4. А=D=0 -- площина проходить через вісь ОХ, тобто вона паралельна ОХ і проходить через початок координат.

Аналогічно В=D=0 через ОY, C=D=0 через ОZ.

5. А=В=D=0 -- площина збігається з ХОY рівняння z=0.

А=C=D=0 ХОY, y=0; C=В=D=0 YОZ, х=0.

3. Рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.



М₀(х₀,y₀,z₀), =(a_x,a_y,a_z), =(b_x,b_y,b_z), М(х,y,z)

, , -- компланарні, тобто паралельні одній площини. Тоді ( ) =0, тобто

(13.14)

Рівняння площини, що проходить через три точки.

М₁(х₁,y₁,z₁), М₂(х₂,y₂,z₂), М₃(х₃,y₃,z₃)